高等数学-格林公式

规定 边界曲线L的正向
当观察者沿边界行走时,区域D总在他的 左边.
y
L
L
D
D
l
注O
x
(1) P、Q在闭区域D上一阶偏导数的连续性;
(2) 曲线L是封闭的,并且取正向.
4
格林公式及其应用
证明
D
(
Q x
P )dxdy y
L Pdx
QБайду номын сангаасy
(1)先对简单区域证明:
若区域D既是 X 型 又是Y 型
y
d
x 1( y)
D 单连通区域
D
复连通区域
2
格林公式及其应用
2. 格林公式
格林定理(定理1) 设闭区域D由分段光滑的 曲线L围成,函数P( x, y)及Q( x, y) 在D上具有
一阶连续偏导数,则有
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(1)
其中L是 D的取正向的边界曲线. 公式(1)称 格林公式.
3
格林公式及其应用
解 P e y , Q xy3 xe y 2 y y
P e y , Q y3 e y
y
x
.
O
1
2x
Q P y3 x y
对称性
由格林公式有 I y3dxdy 0
D
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格林公式及其应用
对平面闭曲线上的对坐标曲线积分, 当Q P 比较简单时,常常考虑通过格林
x y 公式化为二重积分来计算.
又是Y 型的区域 D1, D2 , D3 .
D1
L1
(Q P )dxdy
(Q P )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
D2 L2
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格林公式及其应用
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(Q P )dxdy
(Q P )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
E y 2(x)
DB
即平行于坐标轴的直线
A
x 2( y)
和L至多交于两点.
c Oa
C y 1(x)
bx
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b}
D {( x, y)1( y) x 2( y),c y d}
5
格林公式及其应用
Q P
(
D
x
y
)dxdy
L Pdx
( )(Pdx Qdy) L2 L3 L1
( 0, 0)
AB BA
CE EC
Pdx Qdy
L
(L1,L2 , L3对D来说为正方向)
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格林公式及其应用
Q P
(
D
x
y
)dxdy
L Pdx
Qdy
格林公式的实质
沟通了沿闭曲线的积分与二重积分
之间的联系.
10
格林公式及其应用
所围成的面积.
y
解 由公式 A 1 xdy ydx 2L
D
O
x
得 A 1 2 ab(cos2 t sin2 t )dt 20
ab
12
格林公式及其应用
(2) 简化曲线积分
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
例 计算I e ydx ( xy3 xe y 2 y)dy, L 其中L为圆周 x2 y2 2x 的正向.
x
y
可知 Q P m
x y
非常简单.
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L不闭合+边L＊,使L+ L＊闭合,再用格林公式.
为应用格林公式再补充一段曲线, 使之构成 闭曲线.因在补充的曲线上还要算曲线积分, 所以
补充的曲线要简单, 通常是补充与坐标轴平行的 直线段. 因而这里补加直线段 OA. y
解 由格林公式 Q P m
格林 Green.G. (1793—1841) 英国数学家、物理学家
第三节 格林公式及其应用
格林(Green)公式 平面上曲线积分与路径无关的 条件 二元函数的全微分求积 小结 思考题 作业
1
格林公式及其应用
一、格林公式
1. 区域连通性的分类 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围
成的部分都属于D, 则称D为平面 单连通区域, 否则称为复连通区域.
3. 简单应用
(1) 计算平面面积
y x
格林公式
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
得 2 dxdy L xdy ydx
D
闭区域D的面积 A 1 xdy ydx 2L
或A Ñ L xdy， A Ñ（L y）dx 11
格林公式及其应用
例 求椭圆 x a cost, y bsint,0 t 2
D1
(
Q x (Q
P )dxdy y P )dxdy
(
D2
Q x
P y
)dxdy
D3 x y
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L3
L Pdx Qdy
D3 L3
( L1,L2 , L3对D来说为正方向)
L
D
D1
L1
D2 L2
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格林公式及其应用
边界 对区
Qdy
Q dxdy
d
dy
2 ( y) Qdx
D x
c
1( y) x
d c
Q(
x,
y
)
2 1
( (
y) y)
dy
y
d
E
x 1( y)
d
d
c Q( 2( y), y)dy c Q(1( y), y)dy
D
B
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
CAE
A
c
C x 2( y)
(3) 对复连通区域证明: 若区域不止由一条闭曲线
所围成.添加直线段 AB,CE .
则D的边界曲线由AB, L2 , BA,
AFC , CE, L3 ,EC 及CGA 构成.
由(2)知
D
(Q x
P y
)dxdy
GD
L2 B
L3
E
C
L1 F A
{ } (Pdx Qdy) AB L2 BA AFC CE L3 EC CGA
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格林公式及其应用
例
计算
(e x sin y my )dx (e x cos y m)dy,
AO
其中A⌒O是从点 A(a,0) 到点O(0,0)的上半圆周
x2 y2 ax.
y
分析 此积分路径 A⌒O 不是闭曲线!
但由
P
e
x
sin
y
my
,
Q
ex
cos
y
O
m
•
A(a,0) x
Q e x cos y, P e x cos y m
(e
x
sin
y
my
x
)dx
y
(e
x
cos
y
m)Ody
AOOA
•
A(a,0) x
mdxdy
1 8
ma
2
D
OA的方程为y 0, 0 x a 0
故
(ex sin0y m0y)dx (ex cos y m)dy
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
EAC
O
x
LQ( x, y)dy
Q P
D
(
x
y
)dxdy
L Pdx
Qdy
同理可证
D
P y
dxdy
L
P(
x,
y)dx
6
格林公式及其应用
(2) 再对一般区域证明:
若区域D由按段光 滑的闭曲线围成.(如图)
积分区域的可加性
D3 L3
将D分成三个既是 X 型 L D