一元二次方程章节重点知识点复习教学提纲
初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料
初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料习是一架保持平衡的天平，一边是付出，一边是收获，少付出少收获，多付出多收获，那么你们知道关于初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料内容还有哪些呢?下面是小编为大家准备初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料大全，欢迎参阅。
初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：①只含有一个未知数;②未知数的次数是2;③是整式方程。
知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项。
知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
21.2降次——解一元二次方程21.2.1配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=?a.(2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
初中数学九年级上册《一元二次方程》知识点
九上数学第21章《一元二次方程》知识点1.一元二次方程的定义及一般形式：(1)等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数式2(二次)的方程，叫做一元二次方程。
(2)一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠。
其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。
2.一元二次方程的解法(1)直接开平方法：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=或者x a +=，∴x a =-。
注意：若b<0，方程无解(2)因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
(3)配方法：用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤：①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。
注意：当0n <时，方程无解(4)公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的判别式：24b ac∆=-0∆>⇔方程有两个不相等的实根：2b x a-±=(240b ac -≥)0∆=⇔方程有两个相等的实根0∆<⇔方程无实根3.韦达定理(根与系数关系)我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：1x +2x ＝b a -；1x ∙2x ＝c a4.一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
《一元二次方程》复习资料(打印版)
《一元二次方程》第一节认识一元二次方程知识点一：一元二次方程的定义（重点）（温馨提示：紧扣定义理解一元二次方程的三要素：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2，这三个要素必须同时满足，缺一不可。
）例题1：下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2=2（x+1） B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2-1对应练习1：下列方程是一元二次方程的是（）A． B．2x-3y+1=0 C．（x-3）（x-2）=x2 D．（3x-1）（3x+1）=3 知识点二：一元二次方程的一般形式（重点）（温馨提示：一元二次方程的一般形式的特点为方程右边是0，方程左边是关于x的二次整式，其中a≠0是重要组成部分。
）例题1、一元二次方程2x2-5x-7=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．5；2；7 B．2；-5；-7 C．2；5；-7 D．-2；5；7对应练习1：把一元二次方程（1-x）（2-x）=3-x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）其中a、b、c分别为（）A．2、3、-1 B．2、-3、-1 C．2、-3、1 D．2、3、1对应练习2：下列一元二次方程是一般形式的为（）A．（x-1）2=0 B．3x2-4x+1=0 C．x（x+5）=0 D．（x+6）2-9=0对应练习3：把方程（x-1）2+2=2x（x-3）化为一般形式是，其中二次项是，一次项系数是．知识点三：一元二次方程的解温馨提示：根据方程的解的定义，用代入法和整体思想求代数式的值。
例题1、已知m是方程x2-2014x+1=0的一个根，求代数式2m2-4027m-2+ 的值．对应练习1：（2016•攀枝花）若x=-2是关于x的一元二次方程x2+ax-a2=0的一个根，则a的值为（）A．-1或4 B．-1或-4 C．1或-4 D．1或4对应练习2：[易错题哦～～～]（2016•济宁二模）关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值是（）A．-1 B．1 C．1或-1 D．-1或0知识点四：根据实际问题列一元二次方程（重点）例题1：（2016•兰州）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2-3x+16=0 C．（x-1）（x-2）=18 D．x2+3x+16=0第二节：用配方法求解一元二次方程（温馨提示：适用方程为一边是未知数或含有未知数的代数式的平方，另一边是非负．．常数。
《一元二次方程》知识讲解
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤： 审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型 数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释： 列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.【答案与解析】依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1，故m ＝－1.【总结升华】依题意可知m －1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三：【变式】若方程2(310m m x mx --=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．【答案】根据题意得22,0,m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩ 解得所以当方程2(310m m x mx ---=是关于x的一元二次方程时，m =．类型二、一元二次方程的解法2．解下列一元二次方程．(1)224(3)25(2)0x x ---=； (2)225(3)9x x -=-； (3)2(21)4(21)40x x ++++=．【答案与解析】(1)原方程可化为：22[2(3)][5(2)]0x x ---=，即(2x-6)2-(5x-10)2＝0，∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0，即(7x-16)(-3x+4)＝0，∴ 7x-16＝0或-3x+4＝0，∴ 1167x =，243x =． (2)25(3)(3)(3)x x x -=+-，25(3)(3)(3)0x x x --+-=， ∴ (x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0，即(x-3)(4x-18)＝0，∴ x-3＝0或4x-18＝0，∴ 13x =，292x =． (3)2(21)4(21)40x x ++++=，∴ 2(212)0x ++=．即2(23)0x +=，∴ 1232x x ==-． 【总结升华】 (1)方程左边可变形为22[2(3)][5(2)]x x ---，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式，可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)2＝0再求解．举一反三：【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)．【答案】(1)移项，得3x+15+(2x 2+10x)＝0，∴ 3(x+5)+2x(x+5)＝0，即(x+5)(3+2x)＝0，∴ x+5＝0或3+2x ＝0，∴ 15x =-，232x =-． (2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0，∴ (x-3)(2x-2)＝0，∴ x-3＝0或2x-2＝0，∴ 13x =，21x =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根．则a 满足（ ）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠5【答案】A ；【解析】①当50a -=，即5a =时，有410x --=，14x =-，有实数根； ②当50a -≠时，由△≥0得2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得1a ≥且5a ≠．综上所述，使关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根的a 的取值范围是1a ≥．答案：A【总结升华】注意“关于x 的方程”与“关于x 的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．4． k 为何值时，关于x 的二次方程2690kx x -+=（1）k 满足 时,方程有两个不等的实数根；（2）k 满足 时,方程有两个相等的实数根；（3）k 满足 时,方程无实数根.【答案】（1）10k k ≠＜，且；（2）1k =；（3）1k ＞.【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围.【总结升华】根据判别式ac b 42-=∆及k ≠0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．（2016•凉山州）已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，结合根与系数的关系可得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2，将其代入x 1﹣x 1x 2+x 2中即可算出结果．【答案】D ．【解析】解：∵x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，∴x 1+x 2=﹣=﹣，x 1•x 2==﹣2，∴x 1﹣x 1x 2+x 2=﹣﹣（﹣2）=．故选D ．【总结升华】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．。
一元二次方程复习提纲
一元二次方程复习一、知识系统：概念——解法——实际应用——根的判别式、根系关系——二次函数1、概念：)0(02≠=++a c bx ax 叫一元二次方程。
理解：⎩⎨⎧≠=02a x 的最高次数 21） 2） 配方法：02=++c bx ax （适用所有方程，但方程易化成022=++C kx x 的形式）|3） 公式法：02=++c bx ax 有根的前提△≥0，a ac b b x 2422,1-±-= 4） 因式分解法：能用公式法（完全平方公式、平方差公式）、十字相乘法对左边c bx ax ++2分解成：()()21x x x x a --3、实际应用（与二次函数最值联系）：面积、增长率、销售等%4、根的判别式、根系关系：)0(02≠=++a c bx ax￥根系关系：ab a b b a b a b x x -=∆--∆+-=∆--+∆+-=+22221,()a c aac b b a b a b a b x x =--=∆--=∆--⋅∆+-=⋅22222221444)()(22 5、二次函数c bx ax y ++=2，令y=0变为一元二次方程02=++c bx ax ，抛物线与x 轴的两交点横坐标21,x x 则为方程02=++c bx ax 的两根。
二、例题：1、若032)1(12=+--+x x m m是关于x 的一元二次方程，求这个方程的根。
%2、用适当方法解下列方程：①61232=+x x ②x x 210)5(32-=- ③0222=--x x\3、已知关于x 的方程：0362=++x x ,不解方程求下列式子的值：①21x x + ②21x x ⋅ ③2221x x + ④1221x x x x + ⑤3231x x + ⑥222316122x x x ++-$ 4、已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x ，①求证：无论m 取什么实数，方程总有两个不同的实数根。
一元二次方程复习提纲
一元二次方程复习提纲考点一：概念（1）定义：含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程叫做一元二次方程。
（2）一般形式：ax 2+bx+c=0(a ≠0)，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
（3）判断一元二次方程的依据：①只含有一个未知数。
② 是整式方程。
③ 二次项系数不为“0”。
④ 未知数最高次数是“2”。
典型例题：1、下列是关于x 的一元二次方程的是（ ）2、方程2269x x -=的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )．A 、629，，B 、269-，，C 、269--，，D 、 269-，， 3若方程2210mx x -+=是关于x 的一元二次方程，则m ．4、当m 时，方程mx 2-3x =2x 2-mx +2 是一元二次方程考点二：一元二次方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值典型例题：关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值为( ).(A) 1 (B) 1- (C) 1或1- (D)21. 考点三：一元二次方程的解法1、直接开平方法适用方程特征：()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±= 典型例题：(1) x 2 = 5 (2)(y+2)2=3 (3)2(3a-1)2-1=022221 320 B 2x +y-1=0 C x 00 D x xA x -+==、、、、适用方程特征：方程左边可以化为两个因式的乘积，右边是0，即形如 (x+a)(x+b)=0的方程都可以用因式分解法。
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。
（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
典型例题：解方程（1）3x 2 = 2x (2) 0)1(3)1(2=-+-x x x(3) 22)12()3(+=-x x (4)y 2 =3y +43、配方法即通过配方将方程化为（x+a ）2=b(b ≥0)的形式，再用直接开平方法求解。
一元二次方程提纲
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法 1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=b 1x=-a+b 2x=-a-b 2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a acbbx242(b2－4ac≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2 －4ac＜0，则方程无解．⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2 =3（x＋4）中，不能随便约去x ＋4。
一元二次方程复习提纲
一元二次方程复习提纲数学是初中学习中的一个重要科目，是三大主科之一，但是有许多同学的数学成果并不志向，以下是我给大家整理的一元二次方程复习提纲，盼望对大家有所协助，欢送阅读!一元二次方程复习提纲一、目标与要求1.了解一元二次方程及有关概念，一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念，应用一元二次方程概念解决一些简洁题目。
2.驾驭通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程，驾驭依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法，应用娴熟驾驭以上学问解决问题。
二、重点1.一元二次方程及其它有关的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。
2.判定一个数是否是方程的根;3.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。
4.运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，领悟降次──转化的数学思想。
5.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题.三、难点1.一元二次方程配方法解题。
2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型， 再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。
3.用公式法解一元二次方程时的探讨。
4.通过依据平方根的意义解形如x2=n，学问迁移到依据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。
5.建立一元二次方程实际问题的数学模型，方程解与实际问题解的区分。
6.由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。
7.学问框架四、学问点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数;(2)且未知数次数次数是2;(3)是整式方程。
要判定一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，假设是，再对它进展整理。
假如能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，那么这个方程就为一元二次方程。
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解一元二次方程是高中数学中的重要内容，它是一种形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的方法有因式分解、配方法和求根公式法。
下面将对这些解法进行讲解。
一、因式分解法如果一元二次方程能够因式分解为两个一次因式的乘积，即 (px + q) (rx + s) = 0，那么方程的解就可以直接得到。
具体步骤如下：1. 将二次方程化简成标准形式：ax^2 + bx + c = 0；2. 因式分解方程：(px + q) (rx + s) = 0；3. 解方程：px + q = 0 或 rx + s = 0；4.求解方程得到x的值。
例如，对方程x^2-5x+6=0应用因式分解法：1.方程已经是标准形式；2.可以将方程改写为(x-2)(x-3)=0；3.解方程得到x-2=0或x-3=0；4.求解方程可得x=2或x=3，这就是原方程的解。
二、配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，有时候可以通过配方法将方程转化为一个平方差或一个完全平方式。
具体步骤如下：1.当a≠0时，将方程两边同时除以a，化简为x^2+(b/a)x+c/a=0；2. 计算出一个值k，使得(b/a)^2 + 2(b/a)k + k^2 = k^2、其中，2(b/a)k为bx的一半，k^2为(c/a)的相反数的一半；3.将方程变形为(x+k)^2+m=0，即(x+k)^2=-m；4.解方程得到x+k=±√(-m)；5.求解方程得到x的值。
例如，对方程x^2-6x+8=0应用配方法：1.将方程化简为(x-3)^2-1=0；2.得到k=3，使得(-6/2)^2+2(-6/2)k+k^2=1；3.方程变形为(x-3)^2=1；4.解方程得到x-3=±1；5.求解方程可得x=2或x=4，这就是原方程的解。
三、求根公式法一元二次方程的求根公式是美国数学家Vieta发现的，它的公式形式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
2024九年级数学上册“第二十一章一元二次方程“必背知识点
2024九年级数学上册“第二十一章一元二次方程”必背知识点一、一元二次方程的定义定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。
其中，ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c 是常数项。
方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
二、一元二次方程的解法1. 配方法步骤：一移 （把常数项移到等号的右边）、二除 （方程两边都除以二次项系数）、三配 （方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式）、四开 （若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解）。
2. 公式法求根公式：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠。
0），如果b²-4ac ≥ 0，则方程的两个根为x1,2=−b±√b2−4ac2a 根的判别式：Δ = b² - 4ac。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
当Δ < 0时，方程无实数根。
3. 直接开平方法适用条件：如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
步骤：移项、使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1、两边直接开平方。
4. 因式分解法方法：把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解。
三、一元二次方程的根与系数的关系对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），若其两个根为x₁和x₂，则有：x₁ + x₂ = -b/ax₁x₂ = c/a四、一元二次方程的实际应用列一元二次方程解应用题的一般步骤：审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
第二章 一元二次方程复习 讲义
龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名： 辅导课目：数学 年级：八年级 学科教师：汪老师 授课日期及时段课 题第二章 一元二次方程复习重点、难点、考点1、一元二次方程的基本概念2、一元二次方程的解法及应用学习目标1、理解一元二次方程的基本概念及其相应的应用2、一元二次方程的解法及其应用教学内容一、知识回顾:1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数。
2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （注意：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）（2）配方法：关键化原方程为2()x m n +=的形式 （警告： 用配方法时二次项系数要化1.）（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（注意：方程要先化成一般形式.）（4）因式分解法（主要有提取公因式、运用平方差公式、运用完全平方公式、十字相乘法）：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.（注意：方程要先化成一般形式.）3．一元二次方程根的判别式: 24b ac ∆=-(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。
知识点练习知识一：一元二次方程的概念1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ； 一次项系数是 ；常数项是 。
第21章一元二次方程重难点总结(教案)
在今天的一元二次方程教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解和掌握这个数学工具。首先，通过日常生活中的例子导入新课，我希望能够激发学生的兴趣，让他们意识到数学与现实生活的紧密联系。这种方法似乎很有效，我看到学生们在听到问题时都显得很兴奋，这为后续的学习打下了一个良好的基础。
在理论介绍环节，我发现有些学生对一元二次方程的基本概念接受得很快，但也有一些学生显得有些困惑。我意识到，对于这样的抽象概念，仅仅通过语言描述是不够的，还需要结合图形和具体例题来加深理解。因此，我及时调整了教学方法，通过图解和动画来展示方程的解和抛物线的关系，这帮助学生更好地理解了方程的根的性质。
-对于因式分解法的应用，学生容易在分解过程中出现错误，需引导学生理解并掌握因式分解的技巧。
（3）图解法的应用：利用抛物线图像分析一元二次方程的根；
-图解法对于学生的几何直观能力要求较高，需要通过具体实例和绘图练习来提高学生的图解能力。
（4）一元二次方程根的判别式Δ的应用；
-判别式Δ的意义及其与根的关系是学生理解的难点，需要通过具体例题和练习，让学生明确判别式Δ对根的影响。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的解法（公式法、配方法、因式分解法）和根的性质这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示一元二次方程在实际问题中的应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的方程。它在数学和物理学等多个领域有着广泛的应用，是解决平方关系问题的有力工具。
初三数学 一元二次方程复习知识精讲 华东师大版
初三数学 一元二次方程复习知识精讲 华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：第23章 一元二次方程复习复习目标：⑴了解一元二次方程的有关概念．⑵能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、•因式分解法解一元二次方程． ⑶会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况．⑷知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有关问题．⑸能运用一元二次方程解决简单的实际问题．⑹了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想．二. 基础知识回顾1. 方程中只含有_______•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（ ）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．例如：一元二次方程7x －3＝2x 2化成一般形式是________•其中二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是________．2. 解一元二次方程的一般解法有⑴_________；⑵________；⑶•_________；•⑷•求根公式法，•求根公式是______________．3. 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根．例如：不解方程，判断下列方程根的情况：⑴x （5x ＋21）＝20 ⑵x 2＋9＝6x ⑶x 2－3x ＝－54. 设一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝_______，x 1·x 2＝______．例如：方程x 2＋3x －11＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________；x 1·x 2＝_______．5. 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝•_______，•x 1·x 2＝________．三. 重点讲解1. 了解一元二次方程的概念，对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，即①是整式方程；②化简后只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．2. 解一元二次方程时，应根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．3 .一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式正反都成立．利用其可以⑴不解方程判定方程根的情况；⑵根据参系数的性质确定根的X 围；⑶解与根有关的证明题．4. 一元二次方程根与系数的应用很多：⑴已知方程的一根，不解方程求另一根及参系数；⑵已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；⑶已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．5. 能够列出一元二次方程解应用题．能够发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程．6. 本章解题思想总结：⑴转化思想转化思想是初中数学最常见的一种思想方法．运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题．在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一次方程等．⑵从特殊到一般的思想从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等．⑶分类讨论的思想一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想．四. 易错点点拨易错点1：对一元二次方程的定义的理解．判断一个方程是否一元二次方程，关键是将整式方程化简后只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，特别地，当二次项的系数用字母表示时，二次项系数不为零不能漏掉．易错点2：一元二次方程的一般形式．在确定一元二次方程的二次项、一次项及常数项时，一定要将一元二次方程化为一般形式．易错点3：关于解一元二次方程时的易错点．⑴是在解形如“2x x =”这样的方程时，千万不能在方程左右两边都除以x ，从而造成方程丢根；⑵用配方法时，当二次项的系数不为1时，应将二次项系数化为1，再将方程左边配成完全平方式；⑶利用公式法求一元二次方程的解时，要先判断24b ac -必须非负才能求解；⑷利用因式分解法求一元二次方程的解时，方程右边一定要变为0．易错点4：在用一元二次方程解决有关实际问题时，注意运用转化思想，如图形问题中，如何通过平移，旋转等变换把不规则的图形转化为规则的图形．另外，对于增长率问题，要把握基础数与总数的关系．特别地，一元二次方程的两个解，一定要会判断检验其是否符合实际意义．【典型例题】考点1：一元二次方程的概念及一般形式相关知识：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx ＋c ＝0（a 、b 、c 为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．复习策略：准确理解一元二次方程的定义，一元二次方程首先是整式方程，然后是经过化简后能得到一元二次方程的一般形式的方程才是一元二次方程．例1. ⑴下列方程是关于x 的一元二次方程的是 （ ）A.23(1)2(1)x x +=+ B.21120x x+-= C.20ax bx c ++= D.2221x x x +=-⑵方程215x x -=的一次项的系数是． 分析：⑴选A ．因为B 选项含有分式，不是一元二次方程；C 选项由于a 的取值不确定，有可能等于0，不一定是一元二次方程；D 选项化简后是一元一次方程．⑵确定一元二次方程的二次项、一次项及常数项时，一定要将方程化为一般形式．解：⑴选A ．⑵5或－5．【评注】概念性的问题关键是抓住概念的本质．一元二次方程必须符合三个条件：①是整式方程；②化简后只含一个未知数；③未知数的最高次数为2．考点2：一元二次方程的解相关知识：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，或叫做一元二次方程的根．复习策略：要判断一个值是否是一元二次方程的解，只要将这个值代入一元二次方程，看看方程左右两边是否相等即可．相等，则是方程的解；反之，则不是．例2. 如果关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0，求m 的值． 分析：根据方程的解的意义可知，当x ＝0时，方程左右两边相等，此题即是求当x ＝0时，m 的值．但同时一定要记住，当方程是一元二次方程时，二次项系数不为0这一前提条件，即m －2≠0．解：将x ＝0 代入方程中，得： 22(2)03040m m -⨯-⨯+-=，整理得：24m =，2m =±．∵方程为关于x 的一元二次方程，∴m －2≠0，即 m ≠2∴m 的值为－2．【评注】已知方程的解确定方程中的待定系数的值，是逆向思维的运用，有时将方程的解代入方程中，可能还会出现含两个待定系数的方程，这时要注意整体思想方法的运用．考点3：了解方程并判定方程根的情况相关知识：一元二次方程根的判别：⑴当24b ac ->0时，方程有两个不相等的实数根；⑵当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根；⑶当24b ac -<0时，方程没有实数根．反之也成立．复习策略：要掌握一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程判别根的情况；②根据方程解的情况确定系数的取值X 围；③求解与根有关的综合题．例3. ⑴（2007某某市）一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根⑵（2007某某某某）若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值X 围是（ ）A. m <lB. m >－1C. m >lD. m <－1分析：⑴判定一元二方程的根的情况，一种方法是根据乘方的定义，即任何一个数的平方都是非负数来确定；另一种方法就是根据“Δ＝24b ac -”的值来确定．⑵一元二次方程根的判别式的性质反用也成立，即已知根的情况，可以得到一个等式或不等式，从而确定系数的值或取值X 围．解：⑴因为方程Δ＝24b ac -＝2(2)41(1)--⨯⨯-＝8＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故选B ；⑵根据一元二次方程根的判别式可得：2(2)4m --＜0 ，解得：m ＞l ，故选C ．【评注】一元二次方程根的判别式的运用，是一正一反的过程，在运用时，一定要明确是确定方程的根的情况还是根据根的情况确定字母系数的值或X 围，从而选择正用还是逆用．考点4：解一元二次方程相关知识：我们知道，一元二次方程的解法有四种：直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法．而解一元二次方程的关键是判断方程的特点，选择最佳解题方法，其基本思想是“ 降次”，把二次转化为一次．这四种方法各有千秋，在解一元二次方程时可根据方程的特点，选用最佳解法．复习策略：灵活选用一元二次方程的解法，可从以下几点考虑：⑴对于形如x 2＝a （a ≥0）或（mx －n ）2＝a （m ≠0， a ≥0）的方程，可根据平方根的意义，用直接开平方的方法求解．⑵如果一元二次方程缺少常数项，或方程的右边为0，左边很容易分解因式，可考虑用因式分解法．⑶当一元二次方程的二次项系数为1，一次项的系数是偶数时，可考虑使用配方法． ⑷如果用以上几种方法都不易求解时，可考虑用公式法求解．例4. 解下列方程：⑴（x ＋1）2＝12⑵（2x ＋1） （3x －1）＝1⑶2x （x ＋2）＋1＝0⑷16－x 2－4x ＝0⑸3（x －2）2＝x （x －2）解析：⑴方程形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0），所以选用直接开平方法解简便．另外，把方程整理成一般形式之后，如果一次项系数等于零，也选用直接开平方法来解．用直接开平方法：得 x ＋1x 1－1， x 2＝ －1． ⑵方程整理为 6x 2＋x －2＝0；其左边可分解成（2x －1）（3x ＋2），所以选用因式分解法．当然，如果方程中常数项为零，一次项系数不为零也可用因式分解法．用因式分解法：（2x －1）（3x ＋2）＝0 ∴x 1＝12，x 2＝－23． ⑶方程整理成一般形式：2x 2＋4x ＋1＝0；左边不能在有理数X 围内因式分解，所以选用公式法简便．用公式法：∵b 2－4ac ＝42－4×2×1＝8，∴x ＝2b a -±1±2⑷方程整理为 x 2＋4x －16＝0；由于不易分解，且系数简单，可选用配方法，当然也可用公式法．（此题用配方法写解题过程）整理方程得：x 2＋4x ＝16 配方得x 2＋4x ＋4＝16＋4 （x ＋2）2＝20 则x ＋2＝±∴x 1＝2， x 2＝ －2．⑸观察方程特点，方程左右两边都有因式（x －2），当然用因式分解法了．由3（x －2）2＝x （x －2）得3（x －2）2－x （x －2）＝0 因式分解为得（x －2）[3（x －2）－x]＝0∴x －2＝0或2x －6＝0， ∴x 1＝2， x 2＝3．由以上解析可以这样来总结：解一元二次方程，首先要把原方程变形为一般形式，然后计算b 2－4ac ，最后考虑用何种方法求解．如果b 2－4ac 是完全平方数，则用因式分解法，如果b 2－4ac 不是完全平方数且大于零，则用公式法，配方法实际是公式法的推导过程，因此，除题目要求，一般不用配方法．例5. 解方程：⑴（2007）解方程：2410x x +-=．⑵（2007某某某某）解方程：x 2＋3＝3（x ＋1）．分析：⑴根据计算：Δ＝24b ac -＝20，其值不是完全平方数，所以不宜用因式分解法，因此，可考虑配方法或公式法来解．⑵方程先化成一般形式x 2－3x ＝0，再分析，很明显用因式分解法．解：⑴配方，得：（x ＋2）2＝5，解得：x 1＝－2x 2＝－2；⑵原方程化为：x 2－3x ＝0，解得：1x ＝0，2x ＝3【评注】一元二次方程的四种解法用哪一种解法最简便，是因题而异的，解题步骤也不是如上面总结一成不变的，必须经过对题目的观察与分析，才能选择适当方法，使解题过程简捷．考点5：根据根与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值相关知识： 一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为已知数，a ≠0，240b ac -≥）的两个实数根为12,x x ，则ac x x ,a b x x 2121=-=+．即：一元二次方程两个根的和等于方程的一次项系数除以二次项系数的商的相反数；两个根的积等于常数项除以二次项系数的商．复习策略：根与系数的关系存在的前提是：①a≠0，即方程一定是一元二次方程；②b 2－4ac≥0，即方程一定有实数根．根据新课标的要求，在课改实验区的中考试题中，运用一元二次方程根与系数的关系的考题主要是求与方程的根有关的代数式的值的题型．例6. ⑴（2007某某某某）若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ，且满足2121x x x x =+．则k 的值为（ ）（A ）－1或34（B ）－1 （C ）34（D ）不存在 ⑵（2007某某德阳）阅读材料：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系：12b x x a+=-，a c x x 21=．根据该材料填空： 已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为______ 分析：以上所选的两道中考题，属于同一种类型，即都是根据一元二次方程根与系数的关系，分别求得12x x +和12x x 的值，⑴是利用方程思想求字母系数k 的值，特别要注意一元二次方程一定有实数根这一前提条件的检验．⑵是求代数式2112x x x x +的值时，要先转化为含有12x x +和21x x ⋅的形式．解：⑴由题意，得：12x x +＝－k ，21x x ＝243k -，再代入2121x x x x =+，得：－k＝243k -，即：2430k k +-=，所以(1)(43)0k k +-=，解得k 的值为－1或34； 又∵k ＝－1时，方程为：210x x -+=，该方程无解，∴舍去．故选C ．⑵因为2112x x x x +＝221212x x x x +＝2121212()2x x x x x x +-，再将12x x +=－6和3x x 21=代入，得：原式＝36233-⨯＝10． 【评注】不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求两个代数式的值关键是把所给的代数式经过恒等变形，化为含12x x +，21x x ⋅的形式，然后把12x x +，21x x ⋅的值代入，即可求出所求代数式的值．常见的代数式变形有：①222121212()2x x x x x x +=+-②12121211x x x x x x ++= ③212122221212()211()x x x x x x x x +-+=④22112121212()2x x x x x x x x x x +-+=⑤12x x -=考点6： 一元二次方程的应用相关知识：应用一元二次方程解决实际问题的步骤：在日常生活实践中，许多问题都可以通过建立一元二次方程这个模型来进行求解，然后回到实际问题中去进行解释和检验．首先要把实际问题加以分析，抽象成数学问题，然后用数学知识去解决它．应用一元二次方程解决实际问题的步骤可归结为：“设、找、列、解、验、答”：⑴设：是指设未知数，可分为直接设和间接设．所谓直接设，就是指问什么设什么；在直接设未知数比较难列出方程或者列出的方程比较复杂时，可考虑间接设未知数．⑵找：是指读懂题目，审清题意，明确已知条件和未知条件，找出它们之间的等量关系．⑶列：就是指根据等量关系列出方程．⑷解：就是求出所列方程的解．⑸验：分为两步．一是检验解出的数值是否是方程的解，二是检验方程的解是否符合实际情况．⑹答：就是书写答案，一定要遵循“问什么答什么，怎么问就怎么答”的原则． 以上几个步骤中，审题是基础，找出等量关系是解决问题的关键，能否恰当设元直接影响着列方程和解方程的难易，所以要根据不同的具体情况把握好解题的每一步．复习策略：1. 一元二次方程解应用题应注意：⑴写未知数时必须写清单位，用对单位；列方程时，方程两边必须单位一致；答必须写清单位．⑵注意语言和代数式的转化，要把用语言给出的条件用代数式表示出来．2. 常见的应用题：⑴几何图形的面积问题：这类问题的面积公式是等量关系，如果图形不规则，应分割或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程．⑵平均增长（降低）率问题：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新的数据，解这类问题需牢记公式2(1)a x b +=或2(1)a x b -=，其中a 表示增长（降低）前的数据，x 表示增长或降低率，b 表示后来得到的数据，“＋”表示增长，“－”表示降低．[方法·规律]：⑴解此类问题所列的方程，一般用直接开平方法求解．⑵增长率不能为负数，降低率不能大于1．⑶营销问题：解决此类问题首先要清楚几个名称的意义，如成本价、售价、标价、打折、利润、利润率等以及它们之间的等量关系．[梳理·总结]：此类问题常见的等量关系是：“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品的利润×销售数量，100⨯售价－进价利润率＝％进价” 例7. （2007某某省）据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率．（取2≈1.41）分析：此题是平均增长率问题，相等关系是“2008年的利用率达到60%”．对于每年产出的农作物秸杆的总量，可以作为1，也可以设一个未知数，在解题中会自然约去．解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a ，合理利用量的增长率是x ，由题意得： 30%a （1＋x ）2＝60%a ，即（1＋x ）2＝2，∴x 1≈0.41，x 2≈－2.41（不合题意舍去）．∴x ≈0.41.答：我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%．例8. 一块矩形耕地大小尺寸如图1，如果修筑同样宽的两条“之”字形的道路，如图1所示，余下的部分作为耕地．要使耕地的面积为540m 2，道路的宽应是多少？分析：在面积问题中有一些计算题，如采用平移的方法适当改变图形的形状，可以给解决问题带来意想不到的美妙效果．此题如不采用“平移法”，很难人手．若把“之”字道路平移一下位置，变为图2，则此题即可迎刃而解．图1 图2解：设道路的宽应是x 米，依题意得：(20)(32)540x x --=整理得：2521000x x -+=解得：12250x x ==，（不符合题意，舍去）答：道路的宽应是2米．【评注】方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型，在运用一元二次方程解决实际问题时，要注重对数量关系的分析，要有意识地弄清各数量之间的变化规律，用相应的数学知识和我们已有的经验去解决问题．考点7：一元二次方程中考阅读理解题例析与一元二次方程相关的阅读理解问题，是近几年的一种新题型，由于这类问题有助于培养学生的阅读理解能力、创新意识，而备受大家的关注，现略举几例与同学们共赏析． 例9. （2006年某某某某市）阅读下面的例题：解方程：x 2—|x|—2＝0解：（1）当x ≥0时，原方程化为x 2—x —2＝0，解得：x 1＝2，x 2＝—1（不合题意，舍去）．（2）当x <0时，原方程化为x 2＋x —2＝0，解得：x 1＝1（不合题意，舍去），x 2＝—2∴原方程的根是x 1＝2，x 2＝—2．请参照例题解方程x 2—|x —3|—3＝0，则此方程的根是．分析：本题首先请阅读例题的解法，再仿照其方法解类似的一元二次方程．解：当x —3≥0时，原方程化为x 2—x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝1均不合题意，舍去． 当x —3<0时，原方程化为x 2＋x —6＝0，解得x 1＝2，x 2＝—3．∴原方程的根是x 1＝2，x 2＝—3．故填2，—3．点评：认真看懂例题的解题方法是关键．例10. （2006年某某某某市）先阅读，再填空解题：（1）方程x 2－x －12＝0 的根是：x 1＝－3，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝－12；（2）方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝32； （3）方程x 2－3x ＋1＝0的根是：x 1＝， x 2＝．则x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝；根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、21x x ⋅与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．分析：本题首先请同学们阅读两个一元二次方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系，再通过第3个方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系特点，归纳猜想出一元二次方程的两个根与系数的关系．解：（3）.25—3,25321=+=x x .1,32121=•=+x x x x 猜想.,—2121mp x x m n x x =•=+ ∵一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0，且m ，n ，p 为常数）的两个实数根是.24,242221mmp n n x m mp n n x —————=+= ∴m n m mp n n m mp n n x x ——————=++=+24242221， .4)4()(242422222221m p m mp n n m mp n n m mp n n x x ==•+=•———————点评：本题是探索一元二次方程根与系数之间的关系．关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0，且m ，n ，p 为常数）的两根为x 1，x 2，那么.,—2121m p x x m n x x =•=+由方程（1），（2），（3）的根与系数的关系特点，通过观察、比较、猜想发现一般性规律，并进行验证，培养同学们由特殊到一般的数学思想方法．【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1、（2007某某市）一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根2、（2007某某某某）若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m的取值X 围是（ ）A. m<lB. m>－1C. m>lD. m<－13、（2007某某内江）用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ）A. 2(2)2x -=B. 2(2)2x +=C. 2(2)2x -=-D. 2(2)6x -= 4、（2007某某某某）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A. x 2＋4＝0B. 4x 2－4x ＋1＝0C. x 2＋x ＋3＝0D. x 2＋2x －1＝05、（2007某某某某）某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）A. 200（1＋a%）2＝148B. 200（1－a%）2＝148C. 200（1－2a%）＝148D. 200（1－a 2%）＝1486、（2007某某某某）已知关于x 的一元二次方程22x m x -= 有两个不相等的实数根，则m 的取值X 围是（ ）A. m ＞－1B. m ＜－2C. m ≥0D. m ＜07、（2007某某某某）如果2是一元二次方程x 2＝c 的一个根，那么常数c 是（ ）A. 2B. －2C. 4D. －4二、填空题1、（2007某某）已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x2、（2007某某眉山）关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为1和2，则b ＝______；c ＝______.3、（2007某某某某）方程220x x -=的解是.4、（2007某某某某）已知方程230x x k -+=有两个相等的实数根，则k =5、（2007某某某某）已知x 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，那么代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值为＿＿＿＿． 6、（2007某某某某）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________。
一元二次方程知识点提纲(二)
一元二次方程知识点提纲（二）第二节解一元二次方程前言导入：1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3．体会不同解法的相互的联系；知识点一：开平方法▲对于形如x2=n或(ax+b)2=n(a≠0)的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解。
形如x2=n的方程的解法：例题1、x2-4=0 例题2、x2-14=0知识点二：配方法▲通过配方的方法把一元二次方程转化为(x+m)2=n的方程，再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为(x+m)2=n 的形式；④求解：例题1、用配方法解下列各式13x 2--x =0 0282=-+x x 05622=--x x1242=-x x 0108632=-+x x 2)72(+-=+x x x知识点三：公式法▲一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：例题1、用公式法求解下列方程x x 2122-=3)72(-=+x x x 021072=++x x知识点四：因式分解法▲因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若ab=0，那么a=0或b=0。
因式分解法的一般步骤：①若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；②把方程的左边分解因式；③令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；④解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。
例题1、用因式分解法解下列方程0)23)(12(=-+x x 0322=-x x 02422=--x x06582=--y y 056)32()32(2=-+-+x x☀十字相乘法(1) a2－7a+6=0(2)8x2+6x－35=0(3)18x2－21x+5=0 (4) 20－9y－20y2=0(5)2x2+3x+1=0(6)2y2+y－6=0 (7)6x2－13x+6=0(8)3a2－7a－6=0(9)6x2－11x+3=0第二节练习题1、用合适的方法解下列方程4m2+8m+3=010x2－21x+2=08m2－22m+15=0x2=16 2x2=32 (2x+1)2=0(2x －1)2=10132=-+x x 22360x x +-=x 2+5x －1=0 2x 2－4x －1=02430x x -+=4x 2+4x －1=0242=0x -2635=0x x +-。
一元二次方程复习参考课件教学提纲
3.公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当 b 2 4ac 0时,它 的 根 是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
2.几何与方程
• 例1 .一块长方形草地的长和宽分别为20cm和
15cm,在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已
知小路的面积为246cm2,求小路的宽度.
解 : 设 小 路 的 宽 度xm, 根 据 题 意, 得 20+2x
(20 2x)15 2x 25 15 246.
20
15+2x 15
1.数字与方程
例1.一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个 位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.
解 :设这两位数的个位数字为x,根据题意,得
x2 10x 3 x.
整理得x2 11x 30 0.
解 得 x1 5, x2 6. x 3 5 3 2,或x 3 6 3 3. 答 : 这个两位数为25,或36.
整理得 :
2x2 35x 123 0,
解得 :
x1
3;
x2
41 (不合题意, 舍去). 2
答 :小路的宽度为3m.
几何与方程
例2. 如图,在一块长92m,宽60m的矩形 耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等. 水渠把耕地分成面积均为885m2的6个 矩形小块,水渠应挖多宽.
解 : 设 水 渠 的 宽 度xm, 根 据 题 意, 得
新人教版初中数学一元二次方程全章复习知识点及讲义
新人教版初中数学一元二次方程全章复习知识点及讲义新人教版初中数学一元二次方程全章复知识点及讲义内容简介：1.了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式：ax+bx+c=0(a≠0).2.掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用。
3.掌握一元二次方程根的判别式，并能运用它解相应问题。
4.掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们解决有关问题。
5.会解一元二次方程应用题。
知识点一：一元二次方程的定义及一般形式知识要点】一元二次方程的一般形式：ax+bx+c=0(a≠0)例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A。
(x+1)^3=2(x+1)B。
2x^2+11x-2=0C。
ax+bx+c=2D。
x+2x=x+1变式：当k时，关于x的方程kx+2x=x+3是一元二次方程。
例2、方程(m+2)x针对练：1、方程8x=7的一次项系数是8，常数项是7.2、若方程(m-1)x+(m+3)m x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为-2或1.知识点二：一元二次方程的解知识要点】1、当已知一元二次方程的一个根时，要熟练地将这个根代入原方程，并灵活运用得到的等式。
2、在ax+bx+c=0(a≠0)中，x取特殊值时，a、b、c之间满足的关系式。
例1、已知2y+y-3的值为2，则4y+2y+1的值为11.例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+a-4=0的一个根为2，则a的值为5.例3、一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程x^2-8x+5m=0的两个根，则m的值为10.针对练：1、已知方程x+kx-10=0的一根是2，则k为-5，另一根是-2.2、已知m是方程x^2-x-1=0的一个根，则代数式m^2-m-1=0.3、已知a是x^2-3x+1=0的根，则2a-6=0，a=3.4、方程(a-b)x+(b-c)x+c-a=0的一个根为（）A。
完整版一元二次方程知识点总结和例题复习
知识框架 知识点总结：一兀二次方程4. 一元二次方程的解法(1) 直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如 (X 可知，X a 是b 的平方根，当 b<0时，方程没有实数根。
(2) 配方法 配方法是一种重要的数学方法，2a) b 的一元二次方程。
根据平方根的定义b 0 时，X a4b , X a J b ，当它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2a 2ab b (a b)，把公式中的a 看做未知数x ，并用x X 2 2bx b 2(x b)2。
配方法解一元二次方程的一般步骤： 现将已知方程化为一般形式；代替，则有 化二次项系知识点、概念总结 1. 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元) ，并且未知 数的最高次数是 2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程有四个特点：(1) 含有一个未知数； (2) 且未知数次数最高次数是 2; (3) 是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整 式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a 丰0)的形 式，则这个方程就为一元二次方程。
(4 )将方程化为一般形式： 3. 一元二次方程的一般形式 过整理，？都能化成如下形式 一个一元二次方程经过整理化成 是二次项系数；bx 是一次项， 2ax +bx+c=0时，应满足( :一般地，任何一个关于 X 2ax +bx+c=0 (aM 0)。
2ax +bx+c=0 (a 丰 0)后，b 是一次项系数；a 丰0) 的一元二次方程，经其中ax 2是二次项,c 是常数项。
数为1;常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边 配成一个完全平方式；变形为 (X+P) 2=q 的形式，如果q > 0，方程的根是x=-p ±V q ;如果qv 0,方程无实根.(3) 公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法， 方法。
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一元二次方程章节重点知识点复习一元二次方程章节复习一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方．．．程．就是一元二次方程。
)0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。
⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。
★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。
★★4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。
★★5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）A 1-B 1C c b -D a -★★★6、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。
()m x m m x ±=⇒≥=,02※※对于()m a x =+2，()()22n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法例1、解方程：();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132=--x例2、若()()2221619+=-x x ，则x 的值为 。
）A.12322-=+x xB.()022=-x C.x x -=+132 D.092=+x)()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或0”，()()22n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ， 0222=++a ax x例1、()()3532-=-x x x 的根为（ ）A 25=xB 3=xC 3,2521==x x D 52=x 例2、若()()044342=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。
变式1：()()=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 。
变式2：若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。
例3、解方程： ()04321322=++++x x例4、已知023222=--y xy x ,则y x y x -+的值为 。
★1、下列说法中：①方程02=++q px x 的二根为1x ，2x ，则))((212x x x x q px x --=++② )4)(2(862--=-+-x x x x .③)3)(2(6522--=+-a a b ab a ④ ))()((22y x y x y x y x -++=-⑤方程07)13(2=-+x 可变形为0)713)(713(=-+++x x正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个★2、以71+与71-为根的一元二次方程是（）A ．0622=--x xB ．0622=+-x xC ．0622=-+y yD ．0622=++y y★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： ★★4、若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则x+y 的值为（ ）A 、-1或-2B 、-1或2C 、1或-2D 、1或25、方程：2122=+xx 的解是 。
()002≠=++a c bx 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
例1、 试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。
例2、 已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
例3、 已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。
例4、 分解因式：31242++x x★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。
★★2、已知041122=---+x x x x ，则=+x x 1 . ★★★3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。
)04,02≥-≠acba且aacbbx242-±-=,()04,02≥-≠acba且例1、选择适当方法解下列方程：⑴().6132=+x⑵()().863-=++xx⑶0142=+-xx⑷01432=--xx⑸()()()()5211313+-=+-xxxx⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。
例1、如果012=-+xx，那么代数式7223-+xx的值。
例2、已知a是一元二次方程0132=+-xx的一根，求1152223++--aaaa的值。
①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。
例2、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( )A.10≠≥且m mB.0≥mC.1≠mD.1>m例3、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。
例4、已知二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值.★1、当k 时，关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。
★2、当k 取何值时，多项式k x x 2432+-是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？★3、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 .★★4、k 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+--+=.0124,22y x y kx y （1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.例1、关于x 的方程()03212=-++mx x m⑴有两个实数根，则m 为 ,⑵只有一个根，则m 为 。
例1、 不解方程，判断关于x 的方程()3222-=+--k k x x 根的情况。
例3、如果关于x 的方程022=++kx x 及方程022=--k x x 均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。
02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥∆时，ac x x a b x x =-=+2121,例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）A.3B.3C.6D.6例2、已知关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
例4、已知βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 .1、已知21,x x 是方程092=--x x 的两实数根，求663722231-++x x x 的值。
⑴“碰面、握手”问题；⑵“增长率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？3、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？4、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。
（3）两个正方形的面积之和最小为多少？。