无穷级数练习题
(整理)无穷级数习题选择题
无穷级数习题一选择题1、若极限lim 0n n u →∞≠， 则级数1nn u∞=∑ ( )A 、 收敛；B 、 发散；C 、条件收敛；D 、绝对收敛。
2、如果级数1nn u∞=∑发散，k 为常数，则级数1nn ku∞=∑ ( )A 、 发散；B 、 可能收敛；C 、收敛；D 、无界。
3、如果级数1nn u∞=∑发散，下列结论正确的是（ ）A 、 lim 0;n n u →∞≠ B 、 lim 0;n n u →∞= C 、nn n1)1(1∑∞=-D 、)1(1nn ∑∞=-4、若级数1nn u∞=∑收敛,n s 是它前n 项部分和,则该级数的和s =( )A 、 n sB 、 n uC 、 lim n x u →∞D 、 lim n x s →∞5、级数2221111()()()234++++是( )A 、 幂级数B 、 调和级数C 、p 级数 D.等比级数6、在下列级数中,发散的是 ( )A 、1n ∞=∑ B 、0.01+C 、111248+++D 、 2343333()()()5555-+-+7、下列级数中,发散的是( )A 、 2221111357-+-+B 、11(1)n n ∞-=-∑C 、 11(1)nn n ∞=-∑ D 、231(1)nn n∞-=-∑8、如果级数1nn u∞=∑收敛，且0(0,1,2,3),n u n ≠=其和为,s 则级数11n nu ∞=∑（ ）； A 、收敛且其和为1s； B 、收敛但其和不一定为s ； C 、发散； D 、敛散性不能判定。
9、 下列级数发散的是 （ ） A 、n n n 1)1(11∑∞=-- B 、 )111()1(11++-∑∞=-n n n n C 、nn n1)1(1∑∞=-D 、)1(1nn ∑∞=-10、设常数0,a ≠几何级数1nn aq∞=∑收敛，则q 应满足( )A 、 1;q <B 、 11;q -<<C 、1;q <D 、 1.q >11、若p 满足条件( ),则级数211p n n∞-=∑一定收敛 ；A 、 0;p >B 、 3;p >C 、 2;p <D 、 23.p <<12、若级数211p n n∞-=∑发散，则有 （ ） ；A 、 2;p >B 、 3;p >C 、 3;p ≤D 、 2.p ≤13、 下列级数绝对收敛的是（ ）A 、∑∞=-2)1(n nnnB 、nn n 1)1(21∑∞=-- C 、 ∑∞=-1ln )1(n nn D 、 ∑∞=--2321)1(n n n14、下列级数收敛的是（ ）A 、∑∞=+1)1ln(1n n B 、 ∑∞=+-1)1ln()1(n n n C 、 ∑∞=+-112)1(n nn nD 、 ∑∞=+112n n n15、下列级数中条件收敛的是（ ）A 、 ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-132)1(n nn；B 、∑∞=--11)1(n n n ； C 、∑∞=-+-1112)1(n n n n ；D 、∑∞=--13151)1(n n n。
高数 无穷级数练习
姓名
学号
第十一章
无穷级数
习题 11－1 1、用级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性
(1)
∑
∞
1
n +1 + n n =1 解：设前 n 项部分和为 S n ，则
n →∞
lim S n = lim
n→∞
∑
i =1
n
1
i +1 + i
= lim
n →∞
∑(
i =1
n
i + 1 − i ) = lim ( n + 1 − 1) = ∞
n →∞
由级数敛散性定义知：级数
(2)
∑
n =1
∞
1
n +1 + n
发散。
∑ (n + 1)!
n =1
∞
n
解：设前 n 项部分和为 S n ，则
n →∞
lim S n = lim
n →∞
∑ (i + 1)! = lim ∑ (i + 1)! = lim ∑ ( i! − (i + 1)!) = lim (1 − (n + 1)!) = 1
∞
解：因为
lim
n →∞
由比值审敛法知：级数 ∑ (−1) n
n =1
n! 收敛，且绝对收敛。 1 ⋅ 3 ⋅ 5 L (2n − 1)
59
班级
姓名
∞ n +1
学号
(3)
∑ (−1)
n =1
n 1 + n2 1 n > 2 n 1+ n
解：因为
(−1) n +1
数学竞赛无穷级数(习题)
58. 设 f .x/ 是以 2 为周期的连续函数，其傅立叶系数为 an、bn（n D 0; 1; 2; : : :）. 又
设
1 ∫ xCh
gh.x/ D 2h
f .t/ dt :
xh
试证明：(1) gh.x/ 也是以 2 为周期的周期函数，并且 gh.x/ 具有连续的导数；
(2) 求 gh.x/ 的以 2 为周期的傅立叶级数并说明此傅立叶级数在 . 1; C1/ 上收敛于
44.
设
p
D
X 1
nD0
.4n
4n
，q C 1/Š
D
X 1
nD0
.4n
4n
，计算 C 3/Š
p q
.
45. 计算 lim .1 x/3 P1 n2xn .
x!1
nD1
ˇˇf
46. .x0/
f设.x00f/ˇˇ.x6/
满足 kjx0
条 件 ： 对 于 任 意 x0 与 x00j. 对于给定的 x0，定义
51. 设 f .x/ D arcsin.sin x/，求 f .x/ 的以 2 为周期的傅立叶级数，并写出此傅立叶级 数的收敛和。
52. 设 f .x/ D x2， 6 x 6 . 试将 f .x/ 展开成以 2 为周期的傅立叶级数，并写出 它的收敛和。
53. 设 f .x/ D x2，0 6 x 6 2 . 试将 f .x/ 展开成以 2 为周期的傅立叶级数，并写出 它的收敛和。
.
X 1 .2n 1/ŠŠ 1 Án
7. 1 C
.2n/ŠŠ 2 D
.
nD1
(
8.
设 f .x/ D
x C 1; 0;
当 当
无穷级数练习题
n1
n1
n1
7 o 若
u n收敛 ,则
u
2 n
收
敛
.
（
n1
n1
）
）
）
）
）
）
.
）
.
8 o 若
u
2 n
收
敛
,则
u n收敛 .
（）
n1
n1
9 o
若 u n收敛
n1
,则
1 必发散
n1 u n
.
（）
10 o
若 u n发散， 则
n1
1 n1 u n
(1f)(x)的麦克劳林 (2)f级 (x)在 数 x； 1处的泰.勒
7 求 幂 级 nn x数 的 和 函数 (n1)， n (1)的 并. 和 求
n1(n1)!
n1
n !
8.
将函f(数 x)πx在 (π,π)上展2成 π为 以周期的傅 2
级数，分 f(x别 )以画 及 级出 数的s和 (x)的 函图 数 .并 形 求 s(5π). 4
第十一部分：无穷级数 练习题
一 判断是非 （是：√；非：×, 后者请举反例.）
1 o 若级数 u n 收敛，则 n1
lim
n
u
n
0.
（
2 o
若
lim
n
u
n
0，则级数
u n收敛 .
n1
（
3 o 若 | u n | 收敛，则
u n收敛 .
（
n1
(完整版)无穷级数习题及答案.doc
第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
无穷级数必考经典习题(附答案).pdf
无穷级数同步测试一、单项选择题1．下列结论中，错误的是（ ）()A 若lim 0→∞≠n n u ，则级数21∞=∑n n u 发散.()B 若级数1∞=∑n n u 绝对收敛，则21∞=∑n n u 收敛.()C 若级数1∞=∑n n u 收敛，则21∞=∑n n u 收敛.()D 若级数21∞=∑n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u 收敛.2．已知幂级数1(1)∞=−∑nn n a x 在0=x 处收敛，在2=x 处发散，则该级数的收敛域（ ）()[0,2)()(0,2]()(0,2)()[0,2]A B C D3．已知幂级数1∞=∑nn n a x 的收敛半径1=R ，则幂级数0!∞=∑n n n a x n 的收敛域为（ ）()(1,1)()[1,1)()(1,1]()(,)−−−−∞+∞A B C D4. 设常数0>x ，则级数11(1)sin ∞−=−∑n n x n （ ）. ()A 发散 ()B 条件收敛 ()C 绝对收敛 ()D 收敛性与x 有关二、填空题5. 级数11()2∞=∑nn n 的和为 .6．2!lim(!)→∞=n n n .7．已知级数22116π∞==∑n n ，则级数211(1)∞=−=∑n n n .8．幂级数2101!∞+=∑n n x n 的和函数()=S x . 三、解答题9.判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在，并给出正确解法.级数∞=n n .又由于0=n，但=n u 不是单调递减的，由此得出该级数不满足莱布尼茨定理的第二个条件，故级数发散.10.讨论级数21(0)(1)(1)(1)∞=≥+++∑nn n x x x x x 的敛散性.11.求级数11(21)2∞=+∑nn n n 的和. 12.将2()ln(3)=−f x x x 展开为1−x 的幂级数. 13.求极限2313521lim()2222→∞−++++nn n . 14.验证函数3693()1()3!6!9!(3)!=++++++−∞<<+∞n x x x x y x x n 满足微分方程()()()'''++=xy x y x y x e ，并求幂级数30(3)!∞=∑nn x n 的和函数.第九章 多元函数微分法及其应用同步测试B 答案及解析一、单项选择题答案详细解析1. 解 利用级数的性质.若lim 0→∞≠n n u ，则2lim 0→∞≠nn u ，因此级数21∞=∑n n u 发散， ()A 正确；若1∞=∑n n u 绝对收敛，即1∞=∑n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u ，2lim lim 01→∞→∞==<nn n n nu u u根据正项级数的比较审敛法知21∞=∑n n u 收敛，()B 正确；若级数21∞=∑n n u 收敛，则2lim 0lim 0→∞→∞=⇒=nn n n u u ，()D 正确； 故选()C .事实上，令(1)=−nn u ，则1∞=∑n n u 收敛，但2111∞∞===∑∑n n n u n发散. 『方法技巧』 本题考查级数收敛的必要条件及正项级数的比较审敛法. 『特别提醒』 比较审敛法只限于正项级数使用.2.解 由于幂级数1(1)∞=−∑n n n a x 在0=x 处收敛，则该级数在以1为中心，以0和1之间的距离1为半径的开区间11−<x ，即02<<x 内，级数绝对收敛.又级数在2=x 处发散，则在以1为中心，以1和2之间的距离1为半径的区间外11−>x ，即0<x 或2>x 内，级数发散.因此级数的收敛区间（不含端点）为(0,2)，则收敛域为[0,2)，故选()A .『方法技巧』 本题考查幂级数的阿贝尔定理.『特别提醒』 阿贝尔定理经常出现在各类考试的选择题或填空题中，要求大家熟练掌握它.3. 解 由于1∞=∑n n n a x 的收敛半径1=R ，则有1lim1→∞+=nn n a a . 幂级数0!∞=∑nn n a x n 的收敛半径为 11!lim lim (1)(1)!→∞→∞++'==+=+∞+nn n n n n a an R n a a n ，因此收敛域为(,)−∞+∞，故选()D .『方法技巧』 本题考查幂级数的收敛半径和收敛域. 由于级数是标准的幂级数，直接代入公式即可求出收敛半径=+∞R .4. 解 由于存在充分大的n ，有,sin 02π<>x xn n，所以从某时刻开始，级数1(1)sin ∞−=−∑k k nxk 是交错级数，且满足 sin sin ,limsin 01→∞≤=+k x x x k k k ，即满足莱布尼茨定理的条件，所以此交错级数收敛，而前有限项（1−n 项）不影响级数的敛散性，因此原级数11(1)sin ∞−=−∑n n xn 收敛.又由于sinlim 01→∞=>n xn x n，因此级数111(1)sin sin ∞∞−==−=∑∑n n n x x n n 发散，所以原级数11(1)sin ∞−=−∑n n xn 条件收敛，故选()B .『方法技巧』 本题考查正项项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概念和级数的性质.『特别提醒』 解题中需要说明，此级数可能不是从第一项就是交错级数，从某项以后为交错级数，而前有限项不影响级数的敛散性. 二、填空题 5. 2 6. 0 7. 212π− 8. 2x xe答案详细解析5. 解 考查幂级数1∞=∑n n nx ，其收敛域为(1,1)−.由111∞∞−===∑∑nn n n nx x nx，令11()∞−==∑n n f x nx ，则111()1∞∞−=====−∑∑⎰⎰xxn n n n x f x dx nx dx x x因此21()()1(1)'==−−x f x x x ，故21()(1)∞===−∑nn x nx xf x x ，所以 2111112()()21222(1)2∞====−∑n n n f 『方法技巧』 本题考查幂级数的收敛域及和函数.求常数项级数的和经常转化为讨论幂级数的和函数在确定点的值.『特别提醒』 在幂级数求和时，经常使用逐项积分和逐项求导的方法，将其转化为熟悉的幂级数（如等比级数），注意级数的第一项（0=n 或1=n ）.6. 解 考虑级数21!(!)∞=∑n n n ，由比值审敛法 212(1)!(!)1lim lim lim 01![(1)!]1+→∞→∞→∞+===<++n n n n nu n n u n n n 因此级数21!(!)∞=∑n n n 收敛，由收敛级数的必要条件得2!lim 0(!)→∞=n n n . 『方法技巧』 本题考查利用收敛级数的必要条件求极限.这是求数列极限的一种方法，有些数列变形十分复杂，可考虑将其作为级数的一般项讨论.7. 解 由题设 222211111236π∞==+++=∑n n，则2222222111111111(2)42464624ππ∞∞====++=⨯=∑∑n n n n 22222222111111111(21)35(2)6248πππ∞∞∞====+++=−=−=−∑∑∑n n n n n n 故 222222222111111111(1)122234(21)6812πππ∞∞∞===−=−+−+−=−=−⨯=−−∑∑∑nn n n n n n 『方法技巧』 本题考查收敛级数的性质——收敛级数的代数和仍收敛（此性质只适用于收敛级数）.『特别提醒』 一些同学不熟悉符号∑，可以将其写成普通和的形式，看起来会方便一些.8. 解 由于函数xe 的幂级数展开式为 01()!∞==−∞<<+∞∑xnn e x x n ，而 2122000111()!!!∞∞∞+=====∑∑∑n n n n n n x x x x x n n n 因此 22120011()()!!∞∞+=====∑∑n n x n n S x x x x xe n n .『方法技巧』 本题考查指数函数()=x f x e 的幂级数展开式01()!∞==−∞<<+∞∑xnn e x x n 一般而言，若幂级数的系数为1!n 时，求和时可能与指数函数x e 有关；若幂级数的系数为1(21)!−n 或1(2)!n 时，求和时可能与三角函数sin x 或cos x 有关.三、解答题9. 解 判断条件收敛的运算过程是错误的.由于lim11→∞→∞===n n n n u ，因此由比较审敛法知，级数∞=n2∞=n n 不是绝对收敛的.错误在于：莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的一个充分条件，不是必要的，因此并不能说明不满足莱布尼茨定理的第二个条件，级数就一定不收敛.本题的正确解法要用级数收敛的充分必要条件，即研究lim →∞n n S 是否存在.正确解法：212⎛=+++ ⎝n S n由于每个括号均为负数，因此2n S 单调递减，且有212⎛=+++⎝n S n12⎛>+++⎝n=> 因此2lim →∞n n S 存在，不妨设2lim →∞=n n S S ，而21221221lim lim()lim lim 0+++→∞→∞→∞→∞=+=+=+=+=n n n n n n n n n n S S u S u S S S从而得到lim →∞=n n S S ，即级数∞=n n .『方法技巧』 本题考查绝对收敛和条件收敛的概念、莱布尼茨定理的应用及级数收敛的充分必要条件.1∞=∑nn u收敛⇔部分和n S 的极限存在，即lim →∞=n n S S『特别提醒』 莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的充分非必要条件，即使不满足莱布尼茨定理，级数也可能收敛.10. 解 由于级数的一般项中含有连乘的形式，所以用比值审敛法1111lim 0 111limlim0111 12→∞+++→∞→∞⎧⎪=>⎪⎪+⎪⎪==≤<⎨+⎪⎪=⎪⎪⎪⎩n n n n n n n nx x x u xx x u x x 故对任意的0≥x ，原级数均收敛.『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法.若正项级数的一般项中含有连乘（包括阶乘!n ）时，一般考虑用比值审敛法判断级数的敛散性.『特别提醒』 由于x 的范围不同，1lim+→∞n n nu u 不同，故需要分别进行讨论，但不论什么情况，极限值均小于1，因此级数收敛.11. 解 考虑幂级数21(21)∞=+∑nn x n n由于2211(1)(23)limlim 1(21)+→∞→∞++==+n n n nu n n x x u n n ，故其收敛半径为1=R ，而当1=±x 时，级数11(21)∞=+∑n n n 均收敛，因此幂级数的收敛域为[1,1]−.令 22111()(1)(21)(21)+∞∞====<++∑∑n n n n x x S x x x n n n n则 2212112(),()21∞∞−=='''===−∑∑n n n n x xS x S x x n x 因此 22002()(0)()ln(1)1''''−===−−−⎰⎰xxxS x S S x dx dx x x又 (0)0'=S ，则 2()ln(1)'=−−S x x ，同理2201()(0)()ln(1)ln(1)2ln1+'−==−−=−−+−−⎰⎰xxxS x S S x dx x dx x x x x而 (0)0=S ，则 21()ln(1)2ln1+=−−+−−xS x x x x x，故1111)](21)22∞====+−+∑nn n n2ln 21)=++『方法技巧』 本题考查利用幂级数求常数项级数的和，这是一种常用方法，关键要做出合适的幂级数.本题由于级数一般项的分母中含有因式21+n ，故所做级数为21(21)∞=+∑n n x n n，此时只要令=x ，即为所求的常数项级数.『特别提醒』 在求幂级数的和时，不要忽略了收敛域的讨论，要保证常数项级数是幂级数取收敛域内的点.12. 解 2()ln(3)ln ln(3)=−=+−f x x x x x1ln[1(1)]ln[2(1)]ln[1(1)]ln 2ln[1()]2−=+−++−=+−+++xx x x 由于 234111ln(1)(1)(1)(11)234∞−−=+=−+−++−+=−−<≤∑nnn n n x x x x x x x x nn则 11111()(1)2()ln 2(1)(1)∞∞−−==−−=+−+−∑∑n nn n n n x x f x n n12111(1)(1)ln 2(1)(1)2∞∞−−==−−=+−+−∑∑n nn n nn n x x n n 111(1)ln 2[(1)]2∞−=−=+−−∑nn n n x n且满足1111112−<−≤⎧⎪⎨−−<≤⎪⎩x x，即 02<≤x . 『方法技巧』 本题考查形如()ln(1)=+f x x 的函数展开式及收敛域11−<≤x .首先将2()ln(3)=−f x x x 化为1()ln[1(1)]ln 2ln[1()]2−=+−+++xf x x ，将第一项中的1−x 看成标准形中的x ，第二项中的12−x看成标准形中的x ，再展开. 『特别提醒』 ()ln(1)=+f x x 的展开式可以用如下方法记忆：由于 231111111(1)(1)1∞−−−−==−+−++−+=−+∑n n n n n x x x xx x两边积分得11234011111(1)(1)ln(1)1234−−∞=−−+==−+−+++=+∑⎰n n xnnn x dx x x x x x x x n n13. 解 所求极限实际上是级数1212∞=−∑nn n 的和，因此可考虑幂级数 221(21)∞−=−∑n n n x令 22221222111()(21)()()1(1)∞∞−−==+''=−===−−∑∑n n n n x x S x n xxx x故2321113521112lim()31222222(1)2→∞+−++++===−n n n S 『方法技巧』 本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个适当的幂级数，利用它求出常数项级数的和，再利用级数收敛的充要条件求极限.『特别提醒』 1212∞=−∑nn n 不刚好等于S ，而是相差12倍. 14. 解 当(,)∈−∞+∞x 时，3693()13!6!9!(3)!=++++++n x x x x y x n ，(0)1=y则 25831()2!5!8!(31)!−'=+++++−n x x x x y x n ，(0)0'=y4732()4!7!(32)!−''=+++++−n x x x y x x n ，故4732258314!7!(32)!2!5!8!(31)!−−'''++=+++++++++++−−n n x x x x x x x y y y x n n369313!6!9!(3)!+++++++n x x x x n2345612!3!4!5!6!!=++++++++++=n x x x x x x x x e n所以()y x 满足方程'''++=x y y y e .由于幂级数30(3)!∞=∑nn x n 的和函数为()y x ，因此所要求的是二阶常系数非齐次线性微分方程 '''++=x y y y e 的满足条件(0)1,(0)0'==y y 的特解()y x .其特征方程为210++=r r ，特征根为1,2122=−±r i ，对应的齐次方程的通解为212(cossin )22−=+x Y e C x C x ，又因1λ=不是特征根，则其特解形式为*=x y Ae ，代入原方程，解得13=A ，故微分方程的通解为11 2121(cos sin )223−=++x x y e C x C x e ，将(0)1,(0)0'==y y 代入得122,03==C C ，所求微分方程的特解为221cos 323−=+x x y e x e 因此32021cos (3)!323∞−==+∑x n x n x e x e n 『方法技巧』 本题考查幂级数逐项求导及二阶常系数非齐次线性微分方程的求通解和特解.。
无穷级数练习题
无穷级数练习题无穷级数题一、填空题1、设幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}ax^n$ 的收敛半径为3，则幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}na(x-1)^n(n+1)$ 的收敛区间为 $(-2,4)$。
2、幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(2n+1)x^n$ 的收敛域为 $(-1,1)$。
3、幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{( -3)^n}{n+2}(2n-1)x^n$ 的收敛半径 $R= \dfrac{1}{3}$。
4、幂级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{(n+1)(x-2)^{2n}}$ 的收敛域是 $(-\infty。
2) \cup (2.\infty)$。
5、级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{n^4(\ln3)^n}$ 的收敛域为 $(0,4)$。
6、级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ 的和为 $\dfrac{\pi^2}{6}$。
7、级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n(n-1)}$ 的和为 $1$。
8、设函数 $f(x)=\pi x+x(-\pi<x<\pi)$ 的___级数展开式为$a_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$，则其系数 $b_3$ 的值为 $0$。
9、设函数 $f(x)=\begin{cases} -1.& -\pi<x\leq 0 \\ 1+x。
& 0<x\leq \pi \end{cases}$，则其以 $2\pi$ 为周期的___级数在点$x=\pi$ 处的收敛于 $1$。
无穷级数测试题
无穷级数测试题一、单项选择（每小题2分，共20分） 1、级数∑+∞=1n n u 收敛的必要条件是（ ）。
A 、0lim =+∞→n n SB 、0lim =+∞→n n uC 、1lim 1<++∞→n n n u u D 、1lim 1>++∞→nn n u u2、若级数∑+∞=1n n u 发散，则下列级数一定发散的是（ ）。
A 、∑+∞=+15n n u B 、∑+∞=1n n au （a 为某常数） C 、∑+∞=-1)5(n n u D 、∑+∞=-1)1(n n nu3、下列级数收敛的是（ ）。
A 、∑+∞=-211n n B 、∑+∞=-2211n n C 、∑+∞=-21n n n D 、∑+∞=-2311n n 4.下列无穷级数中，发散的无穷级数为（ ）A.()∑∞=+111n n nB. ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+13101n n C. ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+121101n n n D. ∑∞=+1132n n n5．设正项级数∑∞=1n n u 收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（ ）A ．∑∞=+1100n n uB ．∑∞=++11)(n n n u uC ．∑∞=1)3(n n uD ．∑∞=+1)1(n n u6、级数∑∞=0n n n x a 在3=x 处收敛，则∑∞=-0)2(n n n a （ ）。
A 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、无法判别敛散性7、已知∑+∞=1n nn x a （,...2,10=≠n a n ，）的收敛域为)1,1(-，则∑+∞=+1)1(n n n x a 的收敛域为（ ）。
A. )1,1(-B. )2,0(C. )0,2(-D. )2,2(-8、幂级数∑∞=0!2n nn x 的和函数为（ ） A. x e 2 B. x e 2- C. x e 2- D. x e 29、将函数x e -展开成x 的幂级数为（ ）。
A 、∑+∞=0!n nn x B 、∑+∞=-0!n n n x C 、∑+∞=-0!)(n n n x D 、∑+∞=1!n n n x10、将函数x +21展开成x 的幂级数为（ ）。
无穷级数题(含答案)
⎛ ⎜⎝
∞ n=0
xn
⎞′′ ⎟⎠
=
1 2
(1 +
∞
x)n=2n(n− 1) x n −2
∑ ∑ = 1 ∞ n(n −1)xn−2 + 1 ∞ n(n −1)xn−1
2 n=2
2 n=2
∑ ∑ ∑ = 1
∞ (n + 2)(n +1)xn + 1
∞
(n +1)nxn =
∞
(n +1)2 xn ,
x <1
n=1
(2n)!n
∑ 27, 令 S(x) = ∞ 2n + 3 x2n , x ∈ (−∞, +∞).，则 n=0 n!
∑ ∑ ∑ S(x) =
∞
2nx2n + 3 ∞
(x2 )n
∞
=2
x2n + 3ex2
n=0 n!
n=0 n!
n=1 (n −1)!
∑∞
=2
x2 (x2 )n + 3ex2 = 2x2ex2 + 3ex2 = (2x2 + 3)ex2 .
=1 e
≠ 0 ，级数发散。
n
（6） lim un+1 = 0 ， 级数收敛。 u n→∞
n
（7）因为 lim n→∞
un 1
∑ = lim n +1 = 1 ， 原级数与级数 ∞
1
敛散
n→∞ n
n=1 (n +1) ln(n +1)
(n +1) ln(n +1)
性相同，故原级数发散。 18， （1）条件收敛（用莱布尼兹判别法即可）；（2）条件收敛；
(完整版)无穷级数练习题
无穷级数习题一、填空题1、设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n n n na x ∞+=-∑的收敛区间为 。
2、幂级数0(21)n n n x ∞=+∑的收敛域为 。
3、幂级数211(3)2n n nn nx ∞-=-+∑的收敛半径R = 。
4、幂级数0nn ∞=的收敛域是 。
5、级数21(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域为 。
6、级数0(ln 3)2nnn ∞=∑的和为 。
7、111()2n n n ∞-==∑ 。
8、设函数2()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑，则其系数3b 的值为 .9、设函数21,()1,f x x -⎧=⎨+⎩ 0,0,x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。
10、级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑的和 。
11、级数21(2)4nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为 。
参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3、R =、[1,1)- 5、(0,4) 6、22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、1411、(0,4)二、选择题1、设常数0λ>,而级数21n n a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑是( ）.（A ）发散 (B ）条件收敛 （C)绝对收敛 （D)收敛与λ有关 2、设2n n n a a p +=，2n nn a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是( ）。
（A ）若1n n a ∞=∑条件收敛,则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑都收敛。
（B ）若1n n a ∞=∑绝对收敛，则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑都收敛。
（C ）若1n n a ∞=∑条件收敛，则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑的敛散性都不一定.（D ）若1n n a ∞=∑绝对收敛，则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑的敛散性都不定。
无穷级数习题
1 时发散； 4 1 （C）在 x < 4 时绝对收敛； （D）在 x > 时发散. 2 3．将下列函数展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间. （A）在 x < 2 时绝对收敛； （B）在 x > （1） ln(a + x) (a > 0) （2） sin 2 x （3） x2 (1 + x 2 ) 2
π 4．将 f ( x) = cos x 展开成 ( x + ) 的幂级数. 3
1 展开成 ( x − 3) 的幂级数. x 1 6．将函数 f ( x) = 2 展开成 ( x + 4) 的幂级数. x + 3x + 2 5．将 f ( x ) =
第七节
傅里叶级数
1 ( x + π )2 , −π ≤ x < 0 π ，写出 f ( x ) 的以 2π 为周期的傅里叶级数的和函 1．设 f ( x) = 1 x2 , 0 ≤ x ≤ π π 数 S ( x ) 在 [−π , π ] 上的表达式. 2．将 f ( x) = e 2 x (−π ≤ x < π ) （ f ( x ) 周期为 2π ）展开成傅里叶级数. x + 1, 0 ≤ x ≤ π 3．将 f ( x ) = 展开为傅里叶级数. x , −π < x < 0 4．将函数 f ( x) = 2 x 2 (0 ≤ x ≤ π ) 展开成余弦级数. 5．将函数 f ( x ) = π−x (0 ≤ x ≤ π ) 展开成正弦级数. 2
8．利用级数收敛的必要条件证明 lim
第三节 1． 求下列幂级数的收敛域. （1） x x2 x3 xn + + + L + +L 1 ⋅ 3 2 ⋅ 32 3 ⋅ 33 n ⋅ 3n ( x − 5) n n n =1
无穷级数练习及答案
第九章 无穷级数 测试题一、选择题（每小题4分，共24分） 1.级数∑∞=+111n na 敛散的情况是（ ） A. 当0>a 时收敛 B. 当0>a 时发散C. 当10≤<a 时发散，当1>a 时收敛D.当10≤<a 时收敛，当1>a 时发散 2. 级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1cos 11n n n α （常数0>α） （ ）（A ）发散； （B ）条件收敛；（C ）绝对收敛； （D ）敛散性与α有关. 3. 设0lim =∞→n n a ，则常数项级数∑∞=1n na（ ）（A ）一定收敛且和为0 （B ）一定收敛但和不一定为0（C ）一定发散 （D ）可能收敛也可能发散 4. 若∑∞=1n nu收敛，则下列级数中哪一个必收敛。
（ ）(A)∑∞=-1)1(n n nu (B)∑∞=12n nu(C)()∑∞=+-11n n nu u(D)∑∞=1n nu5、如果81lim 1=+∞→nn n a a ,则幂级数∑∞=03n n n x a ( )(A)当2<x 时收敛 (B) 当8<x 时收敛 (C) 当81>x 时发散 (D) 当21>x 时发散 6、级数 ∑∞=1!2n n n n n （1） 与级数∑∞=1!3n n n nn （2）( )（A ）级数（1）（2）都收敛 （B ）级数（1）（2）都发散（C ）级数（1）收敛，级数（2）发散 （D ）级数（1）发散，级数（2）收敛二、填空题（每小题4分，共28分） 1.已知级数∑∞=1n n u 的前n 项部分和13+=n ns n () 2, 1=n 则此级数的通项=n u .2.设幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径是4，则幂级数∑∞=+012n n n x a 的收敛半径是 .3. 幂级数()()()∑∞=---121311n n nn n x 的收敛域为 . 4. x ln 在10=x 处展开成的泰勒级数为x ln =_____________________ 5、如果幂级数()nn n x a 10-∑∞=的收敛半径是1，则级数在开区间 内收敛.6、幂级数nn nx n n ∑∞=12cos 的收敛域是 . 7、幂级数()∑∞=-15n n nx 的收敛半径是 ，收敛域是 .三、解答下列各题（每题12分，共48分）1. 判别级数21cos 32n n n n π∞=∑的敛散性。
无穷级数(习题及解答).doc
第十一章无穷级数§级数的概念、性质一、单项选择题1. 若级数an 1 q n收敛 ( a为常数 )，则q 满足条件是( )．(A) q 1 ；(B) q 1 ；(C) q 1 ；(D) q 1 ．答 (D) ．2.下列结论正确的是 ()．(A) 若 lim u n 0 ，则u n收敛； (B) 若 lim( u n 1 u n ) 0 ，则u n 收敛；n n 1 n n 1(C) 若u n 收敛，则 lim u n 0 ； (D) 若u n 发散，则 lim u n 0. 答 (C) ．n 1 n n 1 n3. 若级数u n 与v n 分别收敛于 S1 , S2，则下述结论中不成立的是( )．n 1 n 1(A) (u n v n ) S1 S2；(B) ku n kS1；n 1 n 1(C) kv n kS2；(D) u n S1 ．答 (D) .n 1 n 1v n S24. 若级数u n 收敛，其和 S 0 ，则下述结论成立的是( )．n 1(A) ( u n S) 收敛；(B) 1收敛；n 1 n 1 u n(C) u n 1 收敛；(D) u n 收敛 . 答 (C) .n 1 n 15. 若级数a n 收敛，其和 S 0 ，则级数( a n a n 1 a n 2 ) 收敛于( )．n 1 n 1(A) S a1 ；(B) S a2； (C) S a1 a2；(D) S a2 a1．答 (B) .6. 若级数a n发散，b n收敛则( )．n 1 n 1(A)(a n b n ) 发散；(B)(a n b n ) 可能发散，也可能收敛；n 1 n 1(C)a n b n发散；(D)( a n2 b n2 ) 发散. 答 (A) .n 1 n 1二、填空题1. 设 a1 ，则( a)n.答： 1.n 01 a2. 级数 (ln 3)n 的和为．答：22n1 .n 0ln 33. 级数( n 2 2 n1 n) ，其和是．答： 12 .n 04.数项级数1的和为 . 答： 1.n 1 (2n1)(2n 1)25*. 级数2n 1 的和为.答： 3.n 02n 三、简答题1． 判定下列级数的敛散性(1)8 82 83L( 1) 8n 答： 收敛 .9 29 39 n L9解：1 1 1 L1 答： 发散 .(2)6 9 L33n解：1 1 1L1L答： 发散 .(3)333 n3 3解：3 32 33 L3n L答： 发散 .(4)2223 2n2解：1 1 1 1 1 11 1 L 答： 收敛 .(5)3223223 33L3n2 2n解：§正项级数收敛判别法、 P — 级数一、单项选择题1. 级数u n 与v n 满足 0 u n v n , (n 1,2,L ) ，则 ()．n 1n 1(A) 若v n 发散 ,则 u n 发散； (B) 若u n 收敛 ,则 v n 收敛；n 1n 1n 1n 1(C) 若u n 收敛 ,则v n 发散； (D) 若u n 发散，则v n 发散 .答 (D) .n 1n 1n 1n12. 若 0a n 1, ( n 1,2, L ) ，则下列级数中肯定收敛的是()．n (A)a n ；(B)( a n 1 a n ) ；n1n1(C)a n2；(D)a n ．答 (C) .n 1n 13. 设级数 (1)2n nn!与 (2)3n n n! ，则 ( )．n 1nn 1 n(A) 级数 (1)、 (2)都收敛；(B) 级数 (1) 、 (2)都发散；(C) 级数 (1)收敛，级数 (2)发散；(D) 级数 (1)发散，级数 (2)收敛．答 (C) .4. 设级数 (1)1 与 (2) 10n , 则 ( ).n 1n nn 1 n!(A) 级数 (1)、 (2)都收敛；(B) 级数 (1) 、 (2)都发散；(C) 级数 (1)收敛 ,级数 (2)发散；(D) 级数 (1)发散 ,级数 (2)收敛．答 (D) .5. 下列级数中收敛的是 ()．(A)n1 ； (B)sin1；n 1 n( n 2) n 1n(C)( 1)nn ； (D)1． 答 (A) .n 13n 1n 1 2n 11 216*. 若级数，则级数().n 1 n 2 6 n 1 (2n1)22222(A);(B);(C);(D).答 (B) .4812167. 设 u n 与 v n 均为正项级数 ,若 lim u n1，则下列结论成立的是().n 1n 1nv n(A)u n 收敛 ,v n 发散；(B)u n 发散 ,v n 收敛；n 1n1n 1n 1(C)u n 与v n 都收敛 ,或 u n 与 v n 都发散 .(D) 不能判别 .答 (C) .n 1n1n 1n 18. 设正项级数u n 收敛，则 ().n 1(A) 极限 limun 11；(B)极限 limu n 1 1；nu nnu n(C) 极限 lim n u n1；(D) 无法判定 .答 (A)n9. 用比值法或根值法判定级数u n 发散，则u n ().n 1n 1(A) 可能发散； (B) 一定发散；(C) 可能收敛；(D) 不能判定 .答 (B)二、填空题1. 正项级数u n 收敛的充分必要条件是部分和 S n.答：有上界 .n 12. 设级数2n 1收敛，则 的范围是.n 1n3. 级数u n 的部分和 S n2n ，则 u n.n 1n 14. 级数2n1是收敛还是发散.n 02n3 答：．22答：.n( n 1)答：收敛 . 5. 若级数1收敛，则 p 的范围是.答： p 0 . n 1n p sinn6. 级数3n n! 是收敛还是发散.答：发散 .n 1n n三、简答题1. 用比较法判定下列级数的敛散性：(1)1 n ；答：发散 . (2)1 ；答： 收敛 .n 1 1 n 2n 1 (n 1)(n 2)(3)sin n ；答：收敛 . (4)1 n (a 0) .答 a 1 收敛 ; a 1 发散 .a n 12 n 112. 用比值法判定下列级数的敛散性：(1)3n ； 答：发散 .(2)n 2 ；答： 收敛 .n 1 n 2nn 1 3n解：(3)2n nn!；答： 收敛 .(4)n tan n 1．答： 收敛 .n 1 nn 12解：3. 用根值法判定下列级数的敛散性： (1)n 1解：(3)n1nn1；答： 收敛 .(2) ；答：收敛 .2n 1 n 1[ln( n 1)]n解：2n 1n； 答：收敛 .3n 1解：b n(4) 其中 a n a, (n ) ， a n , b, a 均为正数．a nn 1答：当 b a 时收敛，当 b a 时发散，当 b a 时不能判断．§一般项级数收敛判别法一、单项选择题1. 级数u n 与v n 满足u n v n , ( n 1,2, L ) ,则 ( )．n 1 n 1(A) 若v n 收敛 ,则u n 发散；(B) 若u n 发散 ,则v n 发散；n 1 n 1 n 1 n 1(C)若u n 收敛 ,则v n 发散；(D) 若v n 收敛 ,则u n 未必收敛．答(D) .2.下列结论正确的是 ()．(A)u n收敛，必条件收敛；(B)u n 收敛，必绝对收敛；n 1 n 1(C)u n 发散，则u n 必条件收敛；n 1 n 1(D)u n 收敛，则u n 收敛．答 (D) .n 1 n 12.下列级数中，绝对收敛的是 ()．(A) ( 1)n n; (B) ( 1)n 1 1 ；n 1 3n 1 n 1 n2(C) ( 1)n 1 1 ；(D) ( 1)n 1 1．答 (B) .n 1 ln( n 1) n 1 n3. 下列级数中，条件收敛的是 ( )．nn 2(A) ( 1)n 1 ；(B) ( 1)n 1 ；n 12n3 1 n 1 3(C) ( 1)n 1 1 ；(D) ( 1)n 1 1 ．答 (A) .n 1n2 n 1 n 2n4. 设为常数，则级数sin n 1( ).n2 nn 1(A) 绝对收敛；(B) 条件收敛；(C) 发散；(D) 敛散性与的取值有关．答 (C) .5. 设a n cos n ln(1 1 ) (n 1,2,3, ) ，则级数( ).n(A) a n 与a n2 都收敛 . (B) a n与a n2 都发散 .n 1 n 1 n 1 n 1(C) a n 收敛，a n2发散. (D) a n发散，a n2 收敛 . 答 (C) .n 1 n 1 n 1 n 16.设0 a n 1(n 1,2,3, ) ,则下列级数中肯定收敛的是(). n(A) a n . (B) ( 1) n a n.(C) an . (D) a n2 ln n . 答 (D) .n 1 n 1 n 2ln n n 27.下列命题中正确的是( ).(A) 若u n2与v n2都收敛,则(u n v n)2收敛 .n 1 n 1 n 1(B) 若u n v n收敛,则u n2与v n2都收敛.n 1 n 1 n 1(C) u n 发散 ,则u n 1若正项级数.n 1 n(D) 若u n v n (n 1,2,3, ) ,且u n 发散 ,则v n 发散 . 答 (A) .n 1 n 1二、填空题1. 级数( 1)n 1的取值范围是．答：1.绝对收敛，则n 1 n2. 级数1 sin n条件收敛， 则 的取值范围是 ．答： 01.n 1 n 23. 级数a n 2收敛，则( 1)nan是条件收敛还是绝对收敛．n 0n 0n答：绝对 收敛 .三、简答题1. 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛(1)( 1)n 11； n 1n解：(2)( 1)n 1 n；n 13n1解：sin n(3)n 1( n 1)2；解：(4)( 1)n 11；n 13 2n解：(5)( 1)n 11 ；n 1ln( n 1)解：(6)n 1 2n2( 1)n 1n!答： 条件收敛 .答： 绝对收敛 .答： 绝对收敛 .答： 绝对收敛 .答： 条件收敛 .答： 发散 .解：§幂级数收敛判别法一、单项选择题1. 幂级数x n 的收敛区间是 ( )．n 1 n(A) [ 1, 1] ；(B) ( 1, 1) ；(C) [ 1, 1) ； (D) ( 1, 1] ．答 (C) .2. 幂级数( 1)n (x 1)n 的收敛区间是 ( )．n 1n 2n(A) [ 2 , 2] ；(B) ( 2 , 2) ；(C) [ 2, 2) ； (D) ( 2, 2] ．答 (D) .3. 幂级数x 2 n的收敛半径是 ( ).1 n2 3nn(A) R 3 ；(B) R 3 ；(C) R 1(D)1答 (B) . ；R ．3 3（ A）(C)（ B）(D)4. 若级数C n ( x 2)n在x 4 处是收敛的，则此级数在x 1 处 ( ).n 1(A) 发散； (B) 条件收敛；(C) 绝对收敛；(D) 收敛性不能确定．答 (C) .5. 若级数C n ( x 2)n在x 4 处是收敛的，则此级数在x 1 处( ).n 1(A) 发散；(B) 条件收敛；(C) 绝对收敛；(D) 收敛性不能确定．答 (D) . 6．若幂级数a n (x 1)n在x 1处条件收敛，则级数a n( ).n 0 n 0(A) 条件收敛；(B) 绝对收敛；(C) 发散；(D) 敛散性不能确定. 答(B) .二、填空题1. 幂级数xn的收敛域是．答： [ 1,1]. n 1n22. 幂级数2n 3n n的收敛域是．答：1 1n n2 x3,. n 1 33. 幂级数( 1)n 1 x2 n 1的收敛半径 R ，和函数是．(2 n 1)!n 1答： R , sin x.4. 幂级数( 1)n x 2n，和函数是．(2 n)!的收敛半径 Rn 0答： R , cosx.5. 设a n x n的收敛半径为R，则a n x2 n的收敛半径为．答： R.n 0 n 06. 设幂级数a n x n 的收敛半径为 4 ，则a n x2n 1的收敛半径为．答： 2.n 0 n 07. 幂级数( 1)n 1 (2 x 3)n 的收敛域是. 答： (1, 2].n 0 2n 18. 幂级数a n ( x 1)2 n在处x 2 条件收敛，则其收敛域为.答：[ 0,2] .n 0一、简答题1.求下列幂级数的收敛域．(1) nx n；答： ( 1,1). (2) ( 1)n 1 x n ；答： [ 1,1].n 1 n 1n2(3) x n ；答： [ 3, 3) ．(4) 2n x n；答： 1 , 1．n 1 n 3nn 1 n2 1 2 2(5) ( x 5)n ;答：[4, 6). (6) ( 1)n x2n 1 ．答： [ 1,1].n 1 n n 1 2n 12.用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数．(1)nx n 1；答： S(x) 1 2 , x ( 1,1) ．n 1 (1 x)解：(2)x2n 1 1 1 x．2n．答： S(x)ln1, x ( 1,1)n 1 1 2 x解：3*. 求级数1的和．答： 2ln 2. n 1 n 2n解：§函数展开成幂级数一、单项选择题1. 函数f ( x) e x2 展开成 x 的幂级数是( )．(A) 1 x 2 x4 x6L ； (B) 1 x 2x4 x6；2! 3! 2!L3!(C) 1 x x2 x3L ； (D) 1 xx2 x3．答 (B) . 2! 3! 2!L3!2. 如果f ( x)的麦克劳林展开式为a n x2 n，则 a n是( )．n 0(A) f ( n) (0) ；(B) f (2 n ) (0) ；(C) f (2 n ) (0) ；(D) f ( n ) (0) ．答 (A) .n! n! (2 n)! (2 n)!3. 如果f ( x)在x x0的泰勒级数为a n ( x x0 ) n，则 a n是( )．n 0(A) f ( n) ( x0 ) ；(B) f (2 n ) ( x ) f (2 n ) ( x ) f ( n ) ( x )0； (C)n!0； (D) 0 ．答 (C) .n! n!4. 函数 f ( x)sin 2x 展开成 x 的幂级数是 ( )． (A)xx 3 x 5 x 7 ； (B) 1 22 x 2 24 x 4 26 x 6；3! 5! L 2! 4! L7! 6!(C) 2 x 23 x 325 x 527 x 7 L ； (D) 1x 2x 4x 6L ．答 (C) .3!5!7!4! 6!二、填空题1. 函数 f ( x) a x的麦克劳林展开式为x 12. 函数 f ( x) 3 2 的麦克劳林展开式为3. n 1x 2n 1幂级数( 1)(2n 的和函数是n 11)!4. 1 的麦克劳林级数为函数 f ( x)1 x5. 1的麦克劳林级数为函数 f ( x)1 x6. 函数 f ( x) ln(1 x) 的麦克劳林级数为7. 函数 f ( x) e x在 x 1 处的泰勒级数． 答：(ln n a) x n .n 0n!n． 答： 3ln 3 x n.n 02 n!．答： sin x .．答：n 0 x n .．答：( 1)n x n .n 0．答：(n 1x n1).n 1n． 答：e( x 1)n .n 0n!8. 函数 f ( x)1 在 x 1处的泰勒级数．答：( 1)n ( x 1)n .x 1n 02n 19. 函数 f ( x) 1 展开成 x 3 的幂级数为 ．答：( 1)n (x3)n .xn 03n 110. 函数 f ( x)21n22 n 1 x 2n.cos x 展开成 x 的幂级数为． 答：( 1)(2n)!2 n 011. 级数( 1)n 的和等于.答： cos1.n 0 (2n)!三、简答题1. 将下列函数展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间．(1) f ( x) ln( a x), ( a 0) ；解：答： ln(an 1x nn. x) ln a( 1)n an 1(2) f ( x) sin2 x ；解：答： sin2 x ( 1)n 1 (2 x) 2 n , ( , ).n 1 2(2n)!(3) f ( x) (1 x)ln(1 x) ；解：答： (1 x)ln(1( 1)n 1 x nx) x , ( 1, 1].n 2 n( n 1)(4*) f ( x) x ；1 x2 解：x ( 1)n 2(2 n)! x 2 n 1答：x , [ 1, 1].1 x2 n 1 ( n!) 2 2(5). f ( x) x ．2xx2 3解：x 1 1 ( 1)n 1 x n 2(2n)! x 2 n 1答：, ( 1, 1).x 2 2 x 3 4 n 1 3n ( n!) 2 22. 将函数 f ( x) cos x 展开成 x的幂级数．3解：2 n2 n 1 n答： cosx1 ( 1)n 1 x 33 x 3, ( ,).2 n 0(2n)!(2n 1)! 3*. 将函数 f ( x) ln(3 x x 2 ) 在 x 1 展开成幂级数．解：答： ln(3 xx 2 ) ln 2( 1)n 11 ( x 1)n , (0, 2].n 02n n4*. 将函数 f (x)1展开成 x 4 的幂级数 .2 3xx 2解：答：1 11n3x 2n 0 2n 13n 1 ( x 4) , ( 6, 2).x 2§2 为周期的傅里叶级数一、单项选择题1. 函数系 1, cosx ,sin x ,cos 2x ,sin 2x, L ,cos nx ,sin nx,L ( ).(A) 在区间 [ , ] 上正交； (B) 在区间 [ , ] 上不正交；(C) 在区间 [0, ] 上正交； (D) 以上结论都不对．答 (A) .2. 函数系 1, sin x , sin 2x, L , sin nx ,L().(A) 在区间 [0,] 上正交；(B) 在区间 [0, ] 上不正交；(C) 不是周期函数；(D) 以上结论都不对．答 (B) .3. 下列结论不正确的是 ()．(A) cosnx cosmxdx 0, ( n m) ； (B) sin nxsin mxdx 0, (n m) ； (C)cosnx sin mxdx 0 ；(D)cosnx cosnxdx0 ． 答 (D) .4. f ( x) 是以 2 为周期的函数，当 f ( x) 是奇函数时，其傅里叶系数为 ()．(A) a n 0, b n 1 f ( x)sin nxdx ； (B) a n 0, b n 1 f ( x)cos nxdx ；0 0(C) a n 0, b n 20, b n2sin nxdx ．答 (C) .f ( x)sin nxdx ； (D) a n0 05. f ( x) 是以 2 为周期的函数，当 f ( x) 是偶函数时，其傅里叶系数为( )．(A) b n 0, a n 1 f ( x)sin nxd x ； (B) b n 0, a n 2 f ( x)cos nxdx ；0 0(C) b n 0, a n 10, a n2cosnxdx ．答 (B) .f (x)cos nxdx ； (D) b n0 0二、填空题1. f ( x) 是以 2 为周期的函数， f ( x) 傅里叶级数为．答：a0 (a n cosnx b n sin nx). 其中2 n 1a n1f ( x)cos nxdx , n 0,1,2,L , b n1f ( x)sin nxdx , n 1,2,L .2. f ( x) 是以 2 为周期的偶函数， f ( x) 傅里叶级数为．答： a0 a n cosnx. 其中 a n 2 f ( x)cos nxdx , n 0,1,2, L .2 n 1 03. f ( x) 是以 2 为周期的奇函数， f ( x) 傅里叶级数为．答：b n sin nx.2f ( x)sin nxdx , n 1,2, L . 其中 b nn 1 04. 在 f ( x) x,( x ) 的傅里叶级数中，5. 在 f ( x) x 1,( x ) 的傅里叶级数中，6. 在 f ( x) x 1,( x ) 的傅里叶级数中，sin x 的系数为．答：2. sin 2x 的系数为．答： 1. cos2 x 的系数为．答：0.三、简答题1.下列函数 f ( x) 的周期为 2 ，试将其展开为傅里叶级数．(1) f ( x) 3x21, (x) ；解：答： f ( x) 2 1 12 ( 1)2 n cosnx , ( , ).n 1 nbx , x 0 (2) f ( x) 0 x ；ax ,解：答： f (x)(a b) [1 ( 1)n]( ba)cosnx ( 1)n 1 ( a b) sin nx ,4n 1n 2nx (2 k 1) .2. 将函数 f (x)xx) 展开为傅里叶级数．2sin (3解：答： f (x)18 3( 1)n 1n sin nx, ( , ).n 19n 213. 将函数 f ( x)x ,(x) 展开成傅里叶级数．cos2解：答： f (x)2 4 ( 1)n 11 cosnx, [ , ].n 14n 214. 将函数 f (x)x x) 展开成正弦级数．, (02解：答： f (x)sin nx , (0, ]. n 1n 5. 将函数 f ( x) 2x 2 , (0 x) 展开成正弦级数和余弦级数．解：41)n2 22答： f (x)( nsin nx, [0, ).n 1n 3n 3f ( x) 228 ( 1)n cosnx , [0,].3n 1n 2§ 一般周期函数的傅里叶级数一、单项选择题1. 下列结论不正确的是 ( )．ln x m x(A) coscos dx 0, ( n m) ；ll l(B)lxsinm xd x 0, ( nm) ；sin nlll(C) ln x sinm xd x 0 ； (D) lx sin n xdx 0答 (D) . cos sin n．l l l ll l2. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，则 f (x) 的傅里叶级数为 ( )． (A) a 0a n cosn xb n n x ； (B) a 0a n cosnx b n n x ；n 1l l 2n 1l l(C) b n n x ；(D) a 0 a n cos nx ． 答 (B) .n 1l 2 n 1 l 3. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，当 f (x) 是偶函数时，其傅里叶级数为 ( )． (A) a 0a n cosnx ；(B) a 0a n cosnx ；2n 1ln 1l(C)b n sinn x；(D) a 0a n sin nx ． 答 (A) .n 1l2 n 1 l4. f ( x) 是以 2l 为周期的函数，当f (x) 是奇函数时，其傅里叶级数为 ( )．(A) b 0b n sinnx ；(B) b 0b n cosnx2 n1ln 1l(C)b n sinn x；(D)b n cosnx ．答 (C) .n 1ln 1l二、填空题1. f ( x) 是以 2为周期的函数 , f ( x) 的傅里叶级数为.答：aa n cos nx b n sinnx .2n 122其中 an 11f ( x)cosnxdx,n 0,1,2, , bn1 1f (x)sin nxdx , n 1,2, L .2 12L2 122. f ( x) 是以 2l 为周期的偶函数 ,f ( x) 的傅里叶级数为.答：aa n cosnx. 其中 a n2 2 n 1lllnf ( x)cos xdx , n 0,1,2, L .3. f ( x) 是以 2l 为周期的奇函数， f (x) 的傅里叶级数为 .答：b n sinn x . 其中 b n2 0 f (x)sin nxdx , n 1,2, L .n 1 l l l4. 设 f ( x) 是以 3 为周期的函数，1 x , 1 x 0 f ( x) , 0x．又设 f ( x) 的傅里叶x 2 级数的和函数为 S( x) ，则 S(0)， S(3)．答： S(0)S(3) 1 .25. 设 f ( x) 是以 3 为周期的函数， 2 ,1x 0f ( x)0 x，则 f (x) 的傅里叶级数x 3 ,1在 x 1 处收敛于．答： 3.2x ,1 0 x6. 设f ( x)是以2为周期的函数， f ( x)2，又设 S( x) 是 f ( x) 的正0,1x 12弦级数的和函数，则7．S4答： S 71 .4 4三、简答题1. 设周期函数在一个周期内的表达式为f (x) 1 x21x 1 ，试将其展开2 2为傅里叶级数．解：答：11 1 ( 1)n 1x) ( , ).f ( x) 2 cos(2n12 n 122. 设周期函数在一个周期内的表达式为 f ( x) 2x 1, 3 x 0，试将其展开1 , 0 x 3 为傅里叶级数．解：答：1 62 [1 ( n n n 1 6 nf (x)n 1 n 2 1) ]cos x ( 1) sinx , x 3(2 k 1).2 3 n 33*. 将函数f ( x) x2 , (0 x 2) 分别展开成正弦级数和余弦级数．解：答： 28 ( 1)n 1 2 n nx n n3 2 [( 1) 1] sin 2 x, 0 x 2.n 1x 24 16 ( 1)n n0 x 2. 32n2 cos x,n 1 2。
第十一章 无穷级数(答案)
第十一章 无穷级数一、选择题1、无穷级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ，是该无穷级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 2、无穷级数∑∞=1n nu的一般项n u 趋于零，是该级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 3、若级数∑∞=1n nu发散，常数0≠a ，则级数∑∞=1n nauBA 、一定收敛B 、一定发散C 、当0>a 收敛，当0<a 发散D 、当1<a 收敛，当1>a 发散。
4、若正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数必定收敛的是 AA 、∑∞=+1100n n uB 、∑∞=+1)100(n nuC 、∑∞=-1)100(n n u D 、∑∞=-1)100(n n u5、若级数∑∞=1n na收敛，∑∞=1n nb发散，λ为正常数，则级数∑∞=-1)(n n nb aλ BA 、一定收敛B 、一定发散C 、收敛性与λ有关D 、无法断定其敛散性 6、设级数∑∞=1n nu的部分和为n S ，则该级数收敛的充分条件是 DA 、0lim =∞→n n u B 、1lim1<=+∞→r u u nn nC 、21nu n ≤D 、n n S ∞→lim 存在7、设q k 、为非零常数，则级数∑∞=-11n n qk收敛的充分条件是 CA 、1<qB 、1≤qC 、1>qD 、1≥q 8、级数∑∞=+111n p n发散的充分条件是 AA 、0≤pB 、1-≤pC 、0>pD 、1->p 9、级数∑∞=1n n a 收敛，是级数∑∞=1n n a 绝对收敛的 C 条件A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分必要D 、既不充分，又非必要 10、交错级数∑∞=++-111)1(n p n n绝对收敛的充分条件是 AA 、0>pB 、0≥pC 、1>pD 、1≥p11、设常数0>k ，则级数∑∞=+-12)1(n nnn k BA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与k 有关12、设常数0>a ，则级数∑∞=12sinn na AA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与a 有关13、级数∑∞=12!n nn 与∑∞=+-11)1(n nn 的敛散性依次是 、DA 、收敛，收敛B 、发散，发散C 、收敛，发散D 、发散，收敛14、下列级数中，为收敛级数的是 CA 、∑∞=131n n B 、∑∞=+111n n C 、∑∞=+121n nn D 、∑∞=+112n nn15、下列级数中，为发散级数的是 BA 、∑∞=1!2n nn B 、∑∞=12!n nn C 、∑∞=+121n nn D 、∑∞=-12)1(n nn16、下列级数中，为绝对收敛级数的是 DA 、∑∞=+111n n B 、∑∞=+-11)1(n nn C 、∑∞=+-1212)1(n nn n D 、∑∞=-12)1(n nn17、下列级数中，为条件收敛级数的是 AA 、∑∞=+-121)1(n nn n B 、∑∞=+-11)1(n nn n C 、∑∞=+-121)1(n nn n D 、∑∞=-12!)1(n nnn18、幂级数∑∞=+12)1(n nnn x的收敛区间是 BA 、[-2，2]B 、[)2,2-C 、(-2,2)D 、(]2,2- 19、幂级数∑∞=-+-111)1(n nn n x的收敛域是 、DA 、(-1,1)B 、[-1，1]C 、[)1,1-D 、(]1,1- 20、幂级数∑∞=+++-111)1()1(n nn n x 的收敛域是 CA 、[-2，0]B 、（-2，0）C 、(]0,2-D 、[)0,2- 二、填空题21、当参数α满足条件 时，级数∑∞=--+111n nn n α收敛。
(完整版)无穷级数习题及答案.doc
第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
浙江理工大学无穷级数测验(含答案)
无穷级数自测题一、选择题（每题5分）1、当n 充分大时，有 ，则由∑∞=1n nb发散，可确定∑∞=1n na发散。
（ ）（A ）n n b a ≥ （B ）n n b a ≥|| （C ）||n n b a ≥ （D ）||||n n b a ≥2、幂级数nn nn n n x ba b a ∑∞=+-0，()b a <<0的收敛半径为 （ ） （A ）b （B ）a 1 （C ）b1（D ）半径与b a ,无关 3、设a 为正实数，若级数∑∞=1!n n n n n a 收敛，级数∑∞=--+222n an n n 发散，则 （ ） （A ）e a > （B ）e a = （C ）e a <<21 （D ）210≤<a4、设()⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=πππx x x x f 21201的正弦级数∑∞=1sin n nnx b 和函数为()x s ，则=⎪⎭⎫⎝⎛π25s （ ） （A ）1 （B ）12-π （C ）4π（D ）0 5、幂级数()()() -⋅-+⋅--⋅-+--5314313312311443322x x x x 在其收敛区间的两个端点处（ ）（A ）全发散 （B ）全收敛 （C ）左端点收敛，右端点发散（D ）左端点发散，右端点收敛二、填空题（每题5分） 1、()∑∞=-111n p nn，当 时绝对收敛，当 时条件收敛。
2、若幂级数∑∞=0n n nx a在3-=x 处条件收敛，则其收敛半径为 。
3、幂级数()∑∞=⋅-122n nnn x 的收敛域为 。
4、()=-∑∞=11.0n nn。
5、把()11+=x x f 展开为()1-x 的幂级数，其收敛区间为 。
三、讨论级数()∑∞=-11n nn na ，()0>a 的敛散性。
（10分）四、求级数∑∞=1ln 2n nn x n的收敛域。
（10分）五、将函数()()221x x f -=展开成x 的幂级数。
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无穷级数习题一、填空题1、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为nn n a x∞=∑11(1)n nn na x ∞+=-∑。
2、幂级数的收敛域为 。
0(21)nn n x∞=+∑3、幂级数的收敛半径 。
211(3)2n n nn n ∞-=-+∑R =4、幂级数的收敛域是 。
n ∞=5、级数的收敛域为 。
21(2)4nnn x n ∞=-∑6、级数的和为 。
(ln 3)2nnn ∞=∑7、。
111()2n n n ∞-==∑8、设函数 的傅里叶级数展开式为2()f x x x π=+()x ππ-<<，则其系数的值为。
1(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑3b 9、设函数 则其以为周期的傅里叶级数在点处的21,()1,f x x -⎧=⎨+⎩0,0,x x ππ-<≤<≤2πx π=敛于。
10、级数的和 。
11(1)(2)n n n n ∞=++∑11、级数的收敛域为 。
21(2)4nnn x n ∞=-⋅∑参考答案：1、 2、 3、 4、 5、(2,4)-(1,1)-R =[1,1)-(0,4)6、7、8、9、10、11、22ln 3-423π212π14(0,4)二、选择题1、设常数，而级数收敛，则级数是（ ）。
0λ>21n n a ∞=∑1(1)nn ∞=-∑（A ）发散 （B ）条件收敛（C ）绝对收敛（D ）收敛与有关λ2、设，，，则下列命题中正确的是（）。
2n n n a a p +=2n nn a a q -= 1.2n = （A ）若条件收敛，则与都收敛。
1nn a∞=∑1nn p∞=∑1nn q∞=∑（B ）若绝对收敛，则与都收敛。
1nn a∞=∑1nn p∞=∑1nn q∞=∑（C ）若条件收敛，则与的敛散性都不一定。
1nn a ∞=∑1nn p ∞=∑1nn q∞=∑（D ）若绝对收敛，则与的敛散性都不定。
1nn a∞=∑1nn p∞=∑1nn q∞=∑3、设，若发散，收敛，则下列结论正确的是（0,1,2n a n >= 1nn a∞=∑11(1)n n n a ∞-=-∑）。
（A ）收敛，发散. （B ）收敛，发散.211n N a∞-=∑21nn a∞=∑21nn a∞=∑211n n a∞-=∑（C ）收敛.（D ）收敛.2121()n n n aa ∞-=+∑2121()n n n aa ∞-=-∑4、设为常数，则级数是（ ）α21sin()()n n n α∞=∑（A ）绝对收敛.（B ）条件收敛. （C ）发散.（D ）收敛性与取值有关.α5、级数（常数）是（）1(1)(1cos)n n nα∞=--∑0α （A ）发散.（B ）条件收敛.（C ）绝对收敛.（D ）收敛性与有关.α6、设，则级数(1)ln(1)nn u =-+（A ）与都收敛.（B ）与都发散.1nn u∞=∑21nn u∞=∑1nn u∞=∑21nn u∞=∑（C ）收敛而发散. （D ）发散而收敛.1nn u∞=∑20nn u∞=∑1nn u∞=∑21nn u∞=∑7、已知级数，则级数等于（）。
12111(1)2,5n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑1n n a ∞=∑（A ）3. （B ）7.（C ）8. （D ）9.8、设函数，而2()(01)f x x x =≤≤，1()sin n n S x b n x π∞==∑x -∞<<∞其中，，则等于（ ）。
12()sin n b f x n xdx π=⎰1,2,3n = 1()2S -（A ）. （B ）. （C ）. （D ）.12-14-14129、设，,()22,x f x x ⎧=⎨-⎩102112x x ≤≤<<01()cos 2n n a S x a n x π∞==+∑x -∞<<+∞其中则等于（ ）。
12()cos n a f x n xdx π=⎰(0,1,2,)n = 5()2S -（A ）. （B ）. （C ）. （D ）.1212-3434-10、设级数收敛，则必收敛的级数为1nn μ∞=∑（A ）. （B ）. （C ）. （D ）.1(1)nnn u n ∞=-∑n ∞=∑21nn u∞=∑2121()n n n uu ∞-=-∑11()n n n u u ∞+=+∑11、已知级数，，则级数等于（）。
11(1)2n n n a ∞-=-=∑2151n n a∞-==∑1nn a∞=∑（A ）3. （B ）7. （C ）8.（D ）9.12、若级数收敛，则级数（）1nn a∞=∑（A ）收敛. （B ）收敛. （C ）收敛.（D ）收敛.1n n a ∞=∑1(1)nn n a ∞=-∑11n n n a a ∞+=∑112n n n a a ∞=++∑13、若在处收敛，则此级数在处（）。
(1)nn n a x ∞=-∑1x =2x =（A ）条件收敛.（B ）绝对收敛.（C ）发散. （D ）敛散性不能确定.14、设幂级数与与，则幂级数的收敛半0nn n a x ∞=∑1nn n b x ∞=∑13221nn n na xb ∞=∑径为（ ）（A ）5. （B （C ） （D ）1.31.5参考答案：1234567891011121314CBDCCCBCDCDBA三、解答题1、设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数()f x 0x =0()lim0x f x x→=绝对收敛。
11()n f n∞=∑【分析一】表明时是比高阶的无穷小，若能进一步确定0()lim0x f x x→=0x →()f x x 是的阶或高于阶的无穷小，，从而也是的阶或高于阶的()f x x p p 1p >1()f n 1np p 无穷小，这就证明了绝对收敛。
11()n f n∞=∑【证明一】由及的连续性。
再由在0()lim0x f x x→=()f x ⇒(0)0,(0)0f f '==()f x 邻域有二阶连续导数及洛必达法则0x =2000()()()1lim lim lim (0)222x x x f x f x f x f x x →→→'''''⇒=== ⇒20()1lim(0).2x f x f x →''=由函数极限与数列极限的关系⇒21()1lim (0)12x f nf n →+∞''=因收敛收敛，即绝对收敛。
211n n ∞=∑11()n f n ∞=⇒∑11()n f n ∞=∑s2、设正项数列单调减小，且发散，试问级数是否收敛？n a 1(1)nn n a ∞=-∑11()1nn n a ∞=+∑【分析与求解】因单调下降有下界极限。
若，由莱{}n a 0⇒∃lim 0n x a a →+∞=≥0a =布尼兹法则，并错级数收敛，与假设矛盾，于是。
1(1)nnn a∞=-∑0a >现在对正项级数可用根值判别法：因为11()1nn n a ∞=+∑，11lim lim 111n n n a a →+∞→+∞==<++所以原级数收敛。
3、求幂级数收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。
113(2)nn nn x n ∞=+-∑【分析与求解】 直接用求收敛半径的公式，先求1limlim.3n n ==于是收敛半径，收敛区间为3R =(3,3).-当时是正项级数：3x =131.3(2)n n nn n ∞=⋅+-∑，而发散，311()3(2)n n n n n n ⋅→+∞+-:11n n ∞=∑ 发散，即时原幂级数发散。
⇒1313(2)n n nn n ∞=+-∑:3x =当时是变号级数，我们用分解法讨论它的敛发散。
3x =-31(1)(3(2)(2)13(2)3(2)n n n n n n n n n n n-+---=⋅+-+-(1)213(2)n n n n n n-=-⋅+-因收敛，1213123(2)lim lim 0,()23(2)33n n n n n n n n n n n nnn ∞→+∞→+∞=+-=⋅=+-∑收敛，又收敛收敛，即时1213(2)n n n n n ∞=⇒⋅+-∑1(1)n n n ∞=-∑1313(2)n n n n n∞=⇒+-∑3x =-原幂级数收敛。
4、（1）验证函数满足微分方程3693()1()3!6!9(3)!nx x x x y x x n =++++++-∞<<+∞ ；x y y y e '''++= （2）利用（1）的结果求幂级数的和函数。
30(3)!nn x n ∞=∑【分析与求解】（1）首先验证该幂级数的收敛区间是这是缺项幂级数，令，则(,).-∞+∞3t x =原级数300(3)!(3)!n nn n x t n n ∞∞====∑∑由11(3(1))!lim lim 01(33)(32)(31)(3)!n n n n n n n →+∞→+∞+==+++，从而时原级数收敛。
(,)t ⇒∈-∞+∞(,)x ∈-∞+∞其次，在收敛区间内对幂级数可以逐项求导任意次，这里要求逐项求导两次：， ， 311()(31)!n n x y x n -∞='=-∑321()(32)!n n x y x n -∞=''=-∑(,).x ∈-∞+∞于是()()()y x y x y x '''++32313110(32)!(31)!(3)!n n nn n n x x x n n n --∞∞∞====++--∑∑∑级数的线性性质 3231311()(32)!(31)!(3)!n n nn x x x n n n --∞=+++--∑2345601()()2!3!4!5!6!!nn x x x x x xx n ∞==+++++++=∑（收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和）x e =().x -∞<<∞（2）因为幂级数的和函数满足微分方程30(3)!nn x n ∞=∑()y x①.x y y y e '''++=又知②(0)1,(0)0.y y '==所以为求只须解二阶线性常系数微分方程的初值问题①+②()y x 该方程相应的齐次方程的特征方程为 210.λλ++=特征根为 相应齐次方程的通解为1,212λ=-±⇒ 1212().x y ec x c x -=+设非齐次方程的一个特解为，代入方程①得xy Ae *=3.x x y y y Ae e '''*+*+*== ⇒1.3A = 非齐次方程①的通解为 ⇒2121(cos).3x x y e c x c x e -=++令，由初始条件② 0x =⇒1121(0)1,311(0)0.23y c y c ⎧=+=⎪⎪⎨⎪'=-++=⎪⎩⇒122,0.3c c ==因此32021()(3)!33xn xn x y x e x e n ∞-===+∑()x -∞<<+∞5、求幂级数的收敛区间与和函数1211(1)(1)(21)n n n x n n ∞-=-+-∑().f x【分析与求解】这是缺项幂级数，令考察，其中2,t x=1nnna t∞=∑11(1)(1).(21)nnan n-=-+-由1⇒ 1.n的收敛半径为1原幂级数收敛半径为1，收敛区间为。