第六讲 运输、指派与转运问题..
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运输问题及指派问题
见下表，问：应如何调运煤炭可使总运输费用最小？
销地 产地
B1
B2
B3 产量
6
4
6
A1
200
x11
x12
x13
6
5
5
A2
300
x21
x22
x23
销量 150 150 200 500
解： 此为产销平衡的运输问题（总产量 = 总销量）。
设xij为从产地Ai (i=1,2)运往销地Bj (j=1,2,3)的运输量, 则该问 题的数学模型为
指派问题
指派问题的求解
非标准指派问题
本章教学目标与要求
n 掌握产销平衡运输问题的数学模型及其特点； n 掌握运输问题的表上作业法，包括初始调运方案的确定、 检验数的计算、运输方案的调整方法；
n 掌握产销不平衡运输问题转化为产销平衡问题的处理办 法；掌握运输问题在实践中的典型应用；
n 掌握标准指派问题的求解方法，会将各种非标准指派问 题转化为标准指派问题。
导入案例
运储物流的运输问题
运输成本占物流总成本的35％-50％左右，占商品价格的4％ -10％，运输对物流总成本的节约具有举足轻重的作用。运储 物流在物流运输管理中要着重考虑：运输方式的选择，运输路 线的选择，编制运输计划等问题。
运输方式合适与否决定了运输时间的长短，决定了成本的 高低，各种运输工具都有其使用的优势领域，对运输工具进行 优化选择，按运输工具特点进行装卸运输作业，最大限度地发 挥所用运输工具的作用；选择运输路线要与交通运输工具结合 起来，尽量安排直达运输，以减少运输装卸、转运环节，缩短 运输时间；编制运输计划还要从全局出发，深入调查研究，综 合平衡，积极组织计划运输、合理运输、直达运输、均衡运输 ，按照成本最低的原则来制定合理的资调运工作。 某时期内将生产基地的煤、钢铁、粮食、矿砂、木材等各类物 资，分别运送到需要这些物资的地区。
运筹学中的运输问题
1 运输问题基本概念
例1 某公司有三个加工厂A1、A2、A3生产某产品，每日 的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别 运往四个销售点B1、B2、B3、B4，各销售点每日销量分 别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单 位产品运价如表1所示。问该公司应如何调运这些产品， 在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？
（3）销大于产（供不应求）运输问题
（以满足小的产量为准） i
j=
2 运输问题数学模型和电子表格模型
例2 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供 10，15，25，20台同一规格的柴油机。已知该厂各 季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表所示。 如果生产出来的柴油机当季不交货的，每台每积压 一个季度需储存、维护等费用1500元。要求在完成 合同的情况下，做出使该厂全年生产（包括储存、 维护）费用最小的决策。
表1 各工厂到各销售点的单位产品运价（元/吨）
B1
B2
B3
B4 产量（吨）
A1
3
A2
1
A3
7
销量（吨） 3
11
3
10 7
9
2
84
4
10
5
9
6
5
6
对于例1，其数学模型如下： 首先，三个产地A1、A2、A3的总产量为7＋4＋9＝20；四个
销地B1、B2、B3、B4的总销量为3＋6＋5＋6＝20。由于总产 量等于总销量，故该问题是一个产销平衡的运输问题。
3 各种变形的运输问题建模
现实生活中符合产销平衡运输问题每一个条件的情况很少。一 个特征近似但其中的一个或者几个特征却并不符合产销平衡运 输问题条件的运输问题却经常出现。 下面是要讨论的一些特征：
最新运筹学--第4章-运输问题和指派问题精品文档
i 1
j 1
i1 j1
n
xij ai
(i 1, 2,
,m)
(产 量 约 束 )
j1
m
s.t. xij b j ( j 1, 2, , n ) (销 量 约 束 )
i1
x
ij
0
(i 1, 2,
, m ; j 1, 2,
, n)
RUC, School of Information ,Ye Xiang
例4.1的电子表格模型
RUC, School of Information ,Ye Xiang
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
第4章 运输问题 和指派问题
需要注意的是：运输问题有这样一个性质 （整数解性质），只要它的供应量和需求 量都是整数，任何有可行解的运输问题必 然有所有决策变量都是整数的最优解。因 此，没有必要加上所有变量都是整数的约 束条件。
i1
x
ij
0
(i 1, 2 ,
, m ; j 1, 2 ,
, n)
RUC, School of Information ,Ye Xiang
4.2 运输问题数学模型和电子表格模型
第4章 运输问题 和指派问题
对于例4.1，其数学模型如下： 首先，三个产地A1、A2、A3的总产量为7＋4＋9＝20；四 个销地B1、B2、B3、B4的总销量为3＋6＋5＋6＝20。由 于总产量等于总销量，故该问题是一个产销平衡的运输问 题。
例4.3 某公司从两个产地A1、A2将物品运往 三个销地 B1、B2、B3，各产地的产量、各 销地的销量和各产地运往各销地每件物品的 运费如表4－6所示。问应如何调运，可使得 总运输费最小？
表4－6 例4.3的运输费用表
第六章 运输问题和指派问题
表6.15 特塞格公司新炼油厂的备选建造地点以及它们的主要优势 备选地点 主要优势 1.靠近加州的油田 2.可以从阿拉斯加的油田取得原油 3.十分靠近旧金山配送中心 1.靠近得克萨斯油田 2.可以从中东进口原油 3.靠近公司总部 1.较低的运营成本 2.处于配送中心的中央地域 3.已经有了穿过密西西比河的输油 途径
表6.6
求佳产品公司问题中的数据 单位成本（美元） 产品： 1 41 40 37 20 2 27 29 30 30 3 28 — 27 30 4 24 23 21 40 75 75 45 生产能力
工厂 1 2 3 要求的产量
现在管理者需要决定的是在哪个工厂里生产哪种产品， 才能使总成本最低。（注意：在不止一个工厂里生产同样 的一种产品是允许的。）
表6.1 P＆T公司的运输数据表（单位：车）
罐头加工厂 贝林翰 尤基尼 艾尔贝· 李
合 表6.2 计
产 量
75 125 100 300
仓 库 萨克拉门托 盐湖城 赖皮特城 奥尔巴古 合 计
分配量
80 65 70 85 300
P＆T公司的单位卡车的运输成本（单位：美元） 仓 库 从 至 萨克拉门托 盐湖城 赖皮特城 奥尔巴古 464 352 995 513 416 682 654 690 388 867 791 685
划分学生入学区域
米德尔城学区(Middletown School District)开办了第三 所中学，需要为每一所学校重新划定这个城市内的服务区域。 在初步计划中，这个城市被分成了拥有大致相同数量人 口的9个区域。表6.12给出了每一所学校与每一个区域之间 的近似距离。最右一列给出了明年每一个区域的高中学生数 量（这些数字在未来几年之内估计会有缓慢的增长）。最下 面两行表示了每一所学校所能够安排的最少和最多的学生数 量。 学区管理者认为划分入学区域界限的适当目标是要使学 生到学校的平均路程最短。在这个初步的计划之中，他们要 确定为了实现这一目标每一个区域内有多少学生要安排到每 一所学校中，同时又要满足表6.12最后两行规定的约束条件。
运筹与决策PPT：运输问题和指派问题
+ 690x23 + 791x24 + 995x31 + 682x32 + 388x33 + 685x34
s.t.
工厂 1: 工厂 2: 工厂 3: 仓库 1: 仓库 2: 仓库 3: 仓库 4:
x11 + x12 + x13 + x14
x21 + x22 + x23 + x24
= 75 供
= 125 x31 + x32 + x33 + x34 = 100
运输问题的Excel求解模型－ 案例1
B
C
3 Unit Cost
4
5 Source
Bellingham
6 (Cannery)
Eugene
7
Albert Lea
8
9
10 Shipment Quantity
11 (Truckloads)
12 Source
Bellingham
13 (Cannery)
Eugene
问题：如何改进运输策略以降低成本？
案例1：P&T公司的配送问题
CANNERY1 Bellingham
最偏远的厂
CANNERY2 Eugene
WAREHOUSE 3 Rapid City
WAREHOUSE 2 Salt Lake City
WAREHOUSE 1 Sacramento
WAREHOUSE 4 Albuquerque
4、运输问题和指派问题
引例
案例1：P&T公司的配送问题
▪ 家族经营的小公司，加工蔬菜罐头并分销到各地：
– 三个食品厂，四个分销仓库
运输问题与指派问题
4 20 5
10
1.13 1.15
生产管理人员需要制定出一个每月生产多少发 动机的计划,使制造和存储的总成本达到最小。
例 产品分配计划
求佳产品公司决定使用三个有生产余力 的工厂进行四种新产品的生产制造。就 哪个工厂生产哪种产品做决策,使总成本 达到最小。
公司的产品数据
单位成本
能力 产品
工厂 1 2 3
4. 运输问题：在满足供应节点的供应量约束和 需求节点的需求量约束的条件下，为了使运输 成本最低，如何安排运输。
二、运输问题的分类
1、供需均衡的运输问题 所有供应点的供应量之和等于所有需求点 的 需求量之和的运输问题。
2、供需非均衡的运输问题 所有供应点的供应量之和不等于所有需求点 的需求量之和的运输问题。
例 ：设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥， 假定等量的化肥在这些地区使用效果相同。各化 肥厂年产量，各地区年需要量及从各化肥厂到各 地区运送单位化肥的运价如表所示，试求出总的 运费最节省的化肥调拨方案。
运价：万元/万吨
需求地区 地区1 地区2 地区3 地区4 产量
化肥厂
（万吨）
厂1
16 13 22 17
线性规划模型为：
Min 70A1+40 A2 +80 A3 60 A4 +70B1+100 B 2 +110 B 3 +50 B 4 + 80C 1+70 C 2 +130 C 3 +40 C4
s.t.
A1+ B1 + C1 =20
A2+ B2 + C2=15
A3+ B3 + C3 =23
A4+ B4 + C4 =32
运输问题与指派问题讲义(PPT 40页)
§3 Transportation Network 运输问题的网 络表示
销地
供应量
产地
B1
B2
B3
B3
ai
A1
6
7
5
3
25
A2
8
4
2
7
10
A2
5
9
10
16
15
需求量 bj
13
21
9
7
Transportation Network 运输问题的网络表示
sources
运价
Destinations 需求地
Warehouses
Destinations目的地
Output from a cannery
Supply from a source运出量
Allocation to a warehouse
Demand at a destination需求量
Shipping cost per truckload from a Cost per unit distributed from a
Eugene
125 truckloads
Salt Lake City
Albert Lea
100 truckloads
Rapid City
Total
300 truckloads
Albuquerque
Total
总产量=总的需求量=300车，产销平衡
分配量Allocation 80 truckloads 65 truckloads 70 truckloads 85 truckloads 300 truckloads
运输模型
例1、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的 产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，
运筹学中的运输问题
月份
正常生产能力 （台）
加班生产能力 （台）
协议销量（台）
单台费用 （万元）
1月
60
10
104
15
2月
50
10
75
14
3月
90
20
115
13.5
4月
100
40
160
13
5月
100
40
103
13
6月
80
40
70
13.5
4 运送问题应用举例
例7 华中金刚石锯片厂有两条生产线，分别生产直 径900-1800mm大锯片基体20230片，直径350-800mm 中小锯片基体40000片。企业在全国有25个销售网 点，主要销售区域集中在福建、广东、广西、四川、 山东5个石材主产区。为完毕总厂旳要求，企业决 定一方面拿出10%旳产量稳定与前期各个客户旳联 系以确保将来旳市场区域份额，另一方面，面临如 何将剩余旳90%旳产量合理分配给五个石材主产区 和其他省区，以获取最大旳利润。各个销售区旳最 低需求、销售固定费用、每片平均运费、每片从总 厂库房旳购进价与本地旳销售价差贡献等自然情况 见表。问应怎样分配给各个销售区，才干使得总利 润为最大？
2 运送问题数学模型和电子表格模型
Min z = 10.80 x11 + 10.95 x12 + 11.10 x13 + 11.25 x14
+ 11.10x22 + 11.25 x23 + 11.40 x24
该生产与 储存问题 （转化为 产不小于销 旳运送问 题）旳数 学模型为
+ 11.00 x33 + 11.15 x34 + 11.30 x44
运输问题和指派问题_图文
表4－1 各工厂到各销售点的单位产品运价（元/吨）
B1
B2
B3
B4 产量（吨）
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量（吨） 3
6
5
6
3.2 运输问题数学模型和电子表格模型
（1）产销平衡运输问题的数学模型
具有m个产地Ai（i＝1,2,,m）和n个销地
Bj（j＝1,2,,n）的运输问题的数学模型为
运输问题是一种特殊的线性规划问题，一般采用“表上作 业法”求解运输问题，但Excel的“规划求解”还是采用 “单纯形法”来求解。
例4.1的电子表格模型
3.2 运输问题数学模型和电子表格模型
需要注意的是：运输问题有这样一个性质 （整数解性质），只要它的供应量和需求 量都是整数，任何有可行解的运输问题必 然有所有决策变量都是整数的最优解。因 此，没有必要加上所有变量都是整数的约 束条件。
工厂1 工厂2 工厂3 需求量
表4－7 产品生产的有关数据
产品1 41 40 37 20
单位成本（元）
产品2 27 29 30 30
产品3 28 － 27 30
产品4 24 23 21 40
生产能力
75 75 45
3.3 各种运输问题变形的建模
解：指定工厂生产产品 可以看作运输问题来求 解。本题中，工厂2不能 生产产品3，这样可以增 加约束条件x23＝0 ；并 且，总供应（ 75+75+45=195）>总需求 （20+30+30+40=120）。 其数学模型如下： 设xij为工厂i生产产 品j的数量
第六章 运输问题与指派问题
能否省一点？
12
运输与指派问题 P&T公司配送问题 P&T Company Distribution Problem
Network Representation
Supplies Demands Destinations Sources
464
(Bellingham) 75 S1
D1
80 (Sacr amento)
2
运输与指派问题 Session Topics
6.指派问题模型 The Model for Assignment Problem 7.指派问题的变形 Variants of Assignment Problem 8.指派问题的应用 Applications of Assignment Problem
8
运输与指派问题 P&T公司配送问题 P&T Company Distribution Problem
CANNE RY 1 Bel li ng h am WARE HOUSE 3 Rap id Ci ty WARE HOUSE 2 Sal t L ake Cit y WARE HOUSE 1 Sacramen to WARE HOUSE 4 Alb u qu erq ue
每一个出发地都有一定的供应量（supply）配送到 目的地，每一个目的地都有需要有一定的需求量（ demand），接收从出发地发出的产品 需求假设（The Requirements Assumption） 可行解特性（The Feasible Solutions Property） 成本假设（The Cost Assumption） 整数解性质（Integer Solutions Property）
约 19 束
运筹学运输问题笔记
运筹学运输问题笔记
运筹学运输问题是指在运输中寻找最优方案的问题，主要包括供应商到销售点、工厂到市场、仓库到经销商等物流过程。
常见的运输问题有：
1. 指派问题：将n个工作任务分配给m个工作人员，每个工作任务有一个工作量和时间上的限制，目标是在满足约束条件的前提下，最小化总代价或最大化总利润。
2. 运输问题：用最少的代价将一批货物从若干个供应商运送到若干个销售点，满足供求平衡条件。
可以使用线性规划方法，将供应商和销售点之间的运输路线看作一个网络，利用线性规划的方法求解最小代价或最大收益。
3. 配给问题：采购部门需要为生产线提供原材料，同时工厂需要将成品配给销售部门。
目标是在满足约束条件的前提下，最小化总代价或最大化总利润。
4. 路径问题：给定一个网络，寻找两个点之间的最短路径。
可以采用广度优先搜索等方法解决。
5. 负载平衡问题：当多个任务需要在多个工作站上完成时，如何平衡各个工作站的负载。
可以采用贪心算法、动态规划等方法解决。
在实际应用中，以上问题常常彼此关联，可以采用综合算法或求解器进行求解。
第六讲 运输问题(指派问题)
乙 11 7 9 10 乙 x21 x22 x23 x24
丙
13 2 10 5
丙 x31 x32 x33 x34
丁 17 9 15 13 丁 x41 x42 x43 x44
40
（2）确定目标函数
14x11+ 9 x12+4 x13+15 x14+11 x21+7 x22+9 x23 +10 x24+ 13 x31+2 x32+10 x33+5 x34+17 x41+9 x42+15 x43+13 x44 所以目标函数为： min f =14x11+ 9 x12+4 x13+15 x14+11 x21+7 x22+9 x23 +10 x24+13 x31+2 x32+10 x33+5 x34+17 x41+9 x42+15 x43+13 x44
5
求解结果
6
一、引言
整数线性规划（ILP，Integer Linear Programming）是一类要求变量取整数值 的线性规划。
根据变量取值的性质，又可分为纯 整数线性规划，混合整数线性规划，0-1 整数线性规划等。
7
纯整数线性规划：所有决策变量 要求取非负整数。
8
混合整数线性规划：只有一部分 的决策变量要求取非负整数，另一 部分可以取非负实数。
零件 A
B
C
D
设备
甲
0
0
1
0
乙
1
0
0
0
丙
13
Chapter06运输问题和指派问题
The Transportation Problem is an LP
•subject to (约束)
Cannery 1: x11 + x12 + x13 + x14 = 75 Cannery 2: x21 + x22 + x23 + x24 = 125 Cannery 3: x31 + x32 + x33 + x34 = 100 Warehouse 1: x11 + x21 + x31 = 80 Warehouse 2: x12 + x22 + x32 = 65 Warehouse 3: x13 + x23 + x33 = 70 Warehouse 4: x14 + x24 + x34 = 85 and xij ≥ 0 (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4)
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Chapter06运输问题和指派问题
P&T Company Distribution Problem
•试建立该网络 配送问题的数 学模型？
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Chapter06运输问题和指派问题
运输问题
•运输问题关心的是以最 低的总配送成本把出发 地的任何产品运送到每 一个目的地
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Network Representation
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Chapter06运输问题和指派问题
运输问题的网络表述
• 忽略出发地和目的地在地理上的 布局
• 左边一列为出发地(S)，旁边的数 字代表供应量
• 右边一列为目的地(D)，旁边的 数字代表需求量
• 箭头表示可能的运输途径，其上 面的数字代表单位运输成本
运筹学中的运输问题课件PPT
由于运输量经常以卡车、集装箱等为单 位，如果卡车不能装满的话，就很不经 济了。整数解性质就避免了运输量（运 输方案）为小数的麻烦。
2021/3/10
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（3）销大于产（供不应求）运输问题
（以满足小的产量为准） i
j=
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2 运输问题数学模型和电子表格模型
例2 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供 10，15，25，20台同一规格的柴油机。已知该厂各 季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表所示。 如果生产出来的柴油机当季不交货的，每台每积压 一个季度需储存、维护等费用1500元。要求在完成 合同的情况下，做出使该厂全年生产（包括储存、 维护）费用最小的决策。
各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本
季度 生 产 能 力 （ 台 ） 单位成本（万元）
1 25
10.8
2 35
11.1
3 30
11.0
4 10
11.3
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2 运输问题数学模型和电子表格模型
解：这是一个生产与储存（库存）问题，可以转化为 运输问题来做。
由于每个季度生产出来的柴油机不一定当季交货，
(1)决策变量
设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输量(i＝1,2,3;j=1,2,3,4) （2）目标函数
本问题的目标是使得总运输费最小
Min z =3x11 + 11x12 + 3x13 + 10 x14
+ x21 + 9 x22 + 2 x23 + 8 x24
+ 7 x31 + 4 x32 + 10 x33 + 5 x34
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（3）销大于产（供不应求）运输问题
（以满足小的产量为准） i
j=
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2 运输问题数学模型和电子表格模型
例2 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供 10，15，25，20台同一规格的柴油机。已知该厂各 季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表所示。 如果生产出来的柴油机当季不交货的，每台每积压 一个季度需储存、维护等费用1500元。要求在完成 合同的情况下，做出使该厂全年生产（包括储存、 维护）费用最小的决策。
各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本
季度 生 产 能 力 （ 台 ） 单位成本（万元）
1 25
10.8
2 35
11.1
3 30
11.0
4 10
11.3
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2 运输问题数学模型和电子表格模型
解：这是一个生产与储存（库存）问题，可以转化为 运输问题来做。
由于每个季度生产出来的柴油机不一定当季交货，
(1)决策变量
设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输量(i＝1,2,3;j=1,2,3,4) （2）目标函数
本问题的目标是使得总运输费最小
Min z =3x11 + 11x12 + 3x13 + 10 x14
+ x21 + 9 x22 + 2 x23 + 8 x24
+ 7 x31 + 4 x32 + 10 x33 + 5 x34
第六讲+运输、指派与转运问题
需求约束条件
波士顿分销售中心需要量： x11 + x21 + x31= 芝加哥分销售中心需要量： x12 + x22 + x32= 圣.路易斯分销售中心需要量： x13 + x23 + x33= 莱克星顿分销售中心需要量： x14 + x24 + x34=
6000
4000
用决策变量写出目标函数
从克利夫兰运输货物的成本： 3x11＋2x12＋7x13 + 6x14 从贝德福德运输货物德成本： 7x21＋5x22＋2x23 + 3x24 从约克运输货物德成本： 2x31＋5x32＋4x33 + 5x34
这些公式的总和为我们提供了福斯特发电厂运输总成本的目 标函数。
同样,路线的最小量也可以得到说明。例如： x22≥2000，这一条件保证了我们可以在最优解中 继续维持先前承诺的至少2000单位的贝德福德—芝 加哥路线的交货订单。
不可接受的路线
构建从每一个起点到终点的路线并不都是可能的。 去除网络图中相关的弧和线性规划模型中相关的变 量。
运输问题的一般线性规划模型
实践——海军陆战队的调遣
美国海军陆战队已经建立了一个网络模型，以备在世 界危机或者战争中用来调遣军官。这个问题要解决的 就是尽可能快地把每个军官指派到合适的位臵（职位 指派）。 起点节点或者供应节点代表现有的军官，目标节点或 者需求节点代表的是职位。实际执行时有40000个军官 和25000个职位。如果所有军官-职位的连接弧都是可 行的，那么这个运输问题就有1亿条弧。为了减小问题 的规模，相似条件的军官可以汇集成一个供应节点， 相似的职位可以汇集成一个需求节点。用这个方法将 不可行的弧删除，海军陆战队在10秒钟之内就通过一 台个人电脑解决了包含27000个军官和10000个工作职 位的指派问题。
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这些公式的总和为我们提供了福斯特发电厂运输总成本 的目标函数。
用决策变量写出约束条件
每个起点的供给能力和每个目的地的特定 需求量是有限的。 供给约束条件和需求约束条件
供给约束条件
克利夫兰的供给约束条件则为: x11＋x12＋x13 + x14≤5000 贝德福德的供给约束条件： x21＋x22＋x23 + x24≤5000 约克的供给约束条件： x31＋x32＋x33 + x34≤2500
有容量限制的运输问题
如果从起点i到终点j之间的运输容量为Lij，增加 约束条件：xij≤Lij。 如果起点i到终点j之间必须处理的运输容量最小 为Mij，增加约束条件：xij≥Mij。
练习
某种产品在3个不同的工厂生产后被运输到3个不 同的仓库（下表显示了每件的运输成本），相关 信息如下表。
运输问题中最常用的目标是要使货物从起点到目 的地的运输成本最低。
案例—— 福斯特发电机公司的运输问题
从3个加工厂运输一种产品到4个分销中心。福斯特发电 机公司在俄亥俄州的克里夫兰、印第安纳州的贝德福德 和宾夕法尼亚州的约克有3个工厂，下3个月德计划期内 的这个特殊型号的发电机的生产能力如下：
起点 工厂 三个月生产能力（台）
使用表7—3中的符号和完成时间数据，我们得出了完成 时间表达式： 特瑞完成配臵所用的总天数： 卡尔完成配臵所用的总天数： 迈克孟德完成配臵所用的总天数： 10x11+15x12+9x13 9x21+18x22+5x23 6x31+14x32+3x33
目标函数： Min Z=10x11+15x12+9x13+9x21+18x22+5x23+6x31+ 14x32+3x33
定义决策变量
运用双下标决策变量。 x11表示起点1(克利夫兰)运送到终点(波士顿)的货物数量， x12 表示从起点 1(克利夫兰 )运送到终点 2(芝加哥)的货物 数量等等。 一般来说,运输问题的决策变量有m个起点和n个终点，如 下:
用决策变量写出目标函数
从克利夫兰运输货物的成本： 3x11＋2x12＋7x13 + 6x14 从贝德福德运输货物德成本： 7x21＋5x22＋2x23 + 3x24 从约克运输货物德成本： 2x31＋5x32＋4x33 + 5x34
建立线性规划模型的步骤
1、全面地了解问题； 2、描述目标； 3、描述约束条件； 4、定义决策变量； 5、用决策变量写出目标函数； 6、用决策变量写出约束条件。
描述目标和约束条件
确定使用哪些路线以及每条线路上的流量是多少 时，使得总的运输成本最低。 每个起点的供给能力和每个目的地的特定需求量 是有限的。
实践——海军陆战队的调遣
结果是令人满意的：合适级别和工作资历的军官 都被派遣到了需要的工作岗位上。遇到危机时， 如果能够获得并使用这套系统的话，他能够决定 我们将对此做出适当的反应还是将去面对一场灾 难。先前的系统需要2～4天来产生这么一个完整 的分配计划且这个计划的军官资历和职位需求之 间的匹配度比较低。海军陆战队利用现在这个分 配模型提高了它在和平时期的运作能力。
总供给小于总需求——运输问题的线性规划模型没有可 行解。增加一个虚拟起点，等于不被满足的需求。从虚 拟起点出发的弧上单位的运输成本为零。最优解中目的 地节点处显示的运输量为这个节点需求不被满足的货物 短缺量。
最大化目标函数
问题——在某些运输问题中，目标是要找到最大化利润 或者收入的解决方案。
福尔公司指派问题的线性规划模型
min Z 10x11 15x12 9 x13 9 x21 18x22 5 x23 6 x31 14x32 3 x33 x11 x12 x13 1 x21 x22 x23 1 x31 x32 x33 1 x11 x21 x31 1 x x x 1 22 32 12 x13 x23 x33 1 1 i 3 ,1 j 3 xij 0 或1 ；
线性规划模型——约束条件
保证每个负责人能够被至多分配给一个客户且每个客户 必须有一个分配过来的负责人。
x11+x12+x13≤1 x21+x22+x23≤1 x31+x32+x33≤1 x11+x21+x31＝1 x12+x22+x32＝1 x13+x23+x33＝1
对特瑞的指派 对卡尔的指派 对迈克孟德的指派 客户1 客户2 客户3
第六讲 运输、指派与转运问题
物流管理系 薛伟霞
主要内容
运输问题：网络模型与线性规划模型 指派问题：网络模型与线性规划模型 转运问题：网络图与线性规划模型 生产与库存应用
运输问题
运输问题经常出现在计划货物配送和从某些供给 地区到达需求地区之间的服务中，特别是每个供 给地区（起点）的货物可获得量是有限的，每个 需求地区（目的地）的货物需求量是已知的。
福斯特公司的线性规划模型
目标函数： min Z 3 x11 2 x12 7 x13 6 x14 7 x21 5 x22 2 x23 3 x24 2 x31 5 x32 4 x33 5 x34 x11 x12 x13 x14 5000 x x x x 6000 23 24 21 22 x31 x32 x33 x34 2500 x11 x21 x31 6000 约束条件： x12 x22 x32 4000 x13 x23 x33 2000 x14 x24 x34 1500 x 0 , i 1, 2 , 3 ; j 1, 2 , 3 , 4 . ij
型如下:
min Z cij xij
i 1 j 1
m
n
n xij si i 1 , , m j 1 m 约束条件： xij d j j 1 , , n i 1 xij 0 i 1 , , m； j 1,, n
圣•路易斯 莱克星顿 计
4000
2000 1500 13500
案例—— 福斯特发电机公司的运输问题
运输成本如下所示：
终点 波士顿 3 芝加哥 2 圣•路易斯 7 莱克星顿 6
起点 克利夫兰
贝德福德
约克
7
2
5
5
2
4
3
5
管理层想知道从每个加工厂运输到分销中心的产品 运输量为多少。
网络图
圆圈表示节点，连接 节点的线条表示弧。 每个起点和目的地都 由节点表示，每个可 能的运输路线都由弧 表示。 供给量写在起始节点 边上，需求量写在每 个目的地节点边上。 从起始节点到目的地 节点之间运输的货物 数量表示了这个网络 的流量。
需求约束条件
波士顿分销售中心需要量： x11 + x21 + x31= 芝加哥分销售中心需要量： x12 + x22 + x32= 圣.路易斯分销售中心需要量： x13 + x23 + x33= 莱克星顿分销售中心需要量： x14 + x24 + x34=
6000
4000
2000 1500
工厂 仓 W1 W2 库 W3 工厂生产 能力
P1 P2 P3
仓库需求
20 10 12
200
16 10 18
400
24 8 10
300
300 500 100
练习
a.设计一个网络模型来求解这个问题。 b.设计一个线性规划模型，该模型的目标是最小 化总运输成本；求解最低成本方案。 c.假设表中的数据表示在工厂i生产出来的运到 仓库j的每件产品的利润，你在(b)部分所建的模 型该如何变动？ d.如果W2总需求变为500，试改变模型。
案例——富尔市场调查公司
为了解决这个指派问题，福尔的管理层必须首先 考虑所有可能的负责人-客户的分配方法，然后 预测相对应的完成项目所需的时间。
网络模型
线性规划模型
决策变量
i备分配给客户 j 1 如果项目负责人 xij 0 其他情况
这里i＝1，2，3；j＝1，2，3。
线性规划模型——目标函数
同样,路线的最小量也可以得到说明。例如： x22≥2000，这一条件保证了我们可以在最优解中 继续维持先前承诺的至少2000单位的贝德福德—芝 加哥路线的交货订单。
不可接受的路线
构建从每一个起点到终点的路线并不都是可能的。 去除网络图中相关的弧和线性规划模型中相关的 变量。
运输问题的一般线性规划模型
实践——海军陆战队的调遣
美国海军陆战队已经建立了一个网络模型，以备在世 界危机或者战争中用来调遣军官。这个问题要解决的 就是尽可能快地把每个军官指派到合适的位臵（职位 指派）。 起点节点或者供应节点代表现有的军官，目标节点或 者需求节点代表的是职位。实际执行时有40000个军官 和25000个职位。如果所有军官-职位的连接弧都是可 行的，那么这个运输问题就有1亿条弧。为了减小问题 的规模，相似条件的军官可以汇集成一个供应节点， 相似的职位可以汇集成一个需求节点。用这个方法将 不可行的弧删除，海军陆战队在10秒钟之内就通过一 台个人电脑解决了包含27000个军官和10000个工作职 位的指派问题。
用决策变量写出约束条件
每个起点的供给能力和每个目的地的特定 需求量是有限的。 供给约束条件和需求约束条件
供给约束条件
克利夫兰的供给约束条件则为: x11＋x12＋x13 + x14≤5000 贝德福德的供给约束条件： x21＋x22＋x23 + x24≤5000 约克的供给约束条件： x31＋x32＋x33 + x34≤2500
有容量限制的运输问题
如果从起点i到终点j之间的运输容量为Lij，增加 约束条件：xij≤Lij。 如果起点i到终点j之间必须处理的运输容量最小 为Mij，增加约束条件：xij≥Mij。
练习
某种产品在3个不同的工厂生产后被运输到3个不 同的仓库（下表显示了每件的运输成本），相关 信息如下表。
运输问题中最常用的目标是要使货物从起点到目 的地的运输成本最低。
案例—— 福斯特发电机公司的运输问题
从3个加工厂运输一种产品到4个分销中心。福斯特发电 机公司在俄亥俄州的克里夫兰、印第安纳州的贝德福德 和宾夕法尼亚州的约克有3个工厂，下3个月德计划期内 的这个特殊型号的发电机的生产能力如下：
起点 工厂 三个月生产能力（台）
使用表7—3中的符号和完成时间数据，我们得出了完成 时间表达式： 特瑞完成配臵所用的总天数： 卡尔完成配臵所用的总天数： 迈克孟德完成配臵所用的总天数： 10x11+15x12+9x13 9x21+18x22+5x23 6x31+14x32+3x33
目标函数： Min Z=10x11+15x12+9x13+9x21+18x22+5x23+6x31+ 14x32+3x33
定义决策变量
运用双下标决策变量。 x11表示起点1(克利夫兰)运送到终点(波士顿)的货物数量， x12 表示从起点 1(克利夫兰 )运送到终点 2(芝加哥)的货物 数量等等。 一般来说,运输问题的决策变量有m个起点和n个终点，如 下:
用决策变量写出目标函数
从克利夫兰运输货物的成本： 3x11＋2x12＋7x13 + 6x14 从贝德福德运输货物德成本： 7x21＋5x22＋2x23 + 3x24 从约克运输货物德成本： 2x31＋5x32＋4x33 + 5x34
建立线性规划模型的步骤
1、全面地了解问题； 2、描述目标； 3、描述约束条件； 4、定义决策变量； 5、用决策变量写出目标函数； 6、用决策变量写出约束条件。
描述目标和约束条件
确定使用哪些路线以及每条线路上的流量是多少 时，使得总的运输成本最低。 每个起点的供给能力和每个目的地的特定需求量 是有限的。
实践——海军陆战队的调遣
结果是令人满意的：合适级别和工作资历的军官 都被派遣到了需要的工作岗位上。遇到危机时， 如果能够获得并使用这套系统的话，他能够决定 我们将对此做出适当的反应还是将去面对一场灾 难。先前的系统需要2～4天来产生这么一个完整 的分配计划且这个计划的军官资历和职位需求之 间的匹配度比较低。海军陆战队利用现在这个分 配模型提高了它在和平时期的运作能力。
总供给小于总需求——运输问题的线性规划模型没有可 行解。增加一个虚拟起点，等于不被满足的需求。从虚 拟起点出发的弧上单位的运输成本为零。最优解中目的 地节点处显示的运输量为这个节点需求不被满足的货物 短缺量。
最大化目标函数
问题——在某些运输问题中，目标是要找到最大化利润 或者收入的解决方案。
福尔公司指派问题的线性规划模型
min Z 10x11 15x12 9 x13 9 x21 18x22 5 x23 6 x31 14x32 3 x33 x11 x12 x13 1 x21 x22 x23 1 x31 x32 x33 1 x11 x21 x31 1 x x x 1 22 32 12 x13 x23 x33 1 1 i 3 ,1 j 3 xij 0 或1 ；
线性规划模型——约束条件
保证每个负责人能够被至多分配给一个客户且每个客户 必须有一个分配过来的负责人。
x11+x12+x13≤1 x21+x22+x23≤1 x31+x32+x33≤1 x11+x21+x31＝1 x12+x22+x32＝1 x13+x23+x33＝1
对特瑞的指派 对卡尔的指派 对迈克孟德的指派 客户1 客户2 客户3
第六讲 运输、指派与转运问题
物流管理系 薛伟霞
主要内容
运输问题：网络模型与线性规划模型 指派问题：网络模型与线性规划模型 转运问题：网络图与线性规划模型 生产与库存应用
运输问题
运输问题经常出现在计划货物配送和从某些供给 地区到达需求地区之间的服务中，特别是每个供 给地区（起点）的货物可获得量是有限的，每个 需求地区（目的地）的货物需求量是已知的。
福斯特公司的线性规划模型
目标函数： min Z 3 x11 2 x12 7 x13 6 x14 7 x21 5 x22 2 x23 3 x24 2 x31 5 x32 4 x33 5 x34 x11 x12 x13 x14 5000 x x x x 6000 23 24 21 22 x31 x32 x33 x34 2500 x11 x21 x31 6000 约束条件： x12 x22 x32 4000 x13 x23 x33 2000 x14 x24 x34 1500 x 0 , i 1, 2 , 3 ; j 1, 2 , 3 , 4 . ij
型如下:
min Z cij xij
i 1 j 1
m
n
n xij si i 1 , , m j 1 m 约束条件： xij d j j 1 , , n i 1 xij 0 i 1 , , m； j 1,, n
圣•路易斯 莱克星顿 计
4000
2000 1500 13500
案例—— 福斯特发电机公司的运输问题
运输成本如下所示：
终点 波士顿 3 芝加哥 2 圣•路易斯 7 莱克星顿 6
起点 克利夫兰
贝德福德
约克
7
2
5
5
2
4
3
5
管理层想知道从每个加工厂运输到分销中心的产品 运输量为多少。
网络图
圆圈表示节点，连接 节点的线条表示弧。 每个起点和目的地都 由节点表示，每个可 能的运输路线都由弧 表示。 供给量写在起始节点 边上，需求量写在每 个目的地节点边上。 从起始节点到目的地 节点之间运输的货物 数量表示了这个网络 的流量。
需求约束条件
波士顿分销售中心需要量： x11 + x21 + x31= 芝加哥分销售中心需要量： x12 + x22 + x32= 圣.路易斯分销售中心需要量： x13 + x23 + x33= 莱克星顿分销售中心需要量： x14 + x24 + x34=
6000
4000
2000 1500
工厂 仓 W1 W2 库 W3 工厂生产 能力
P1 P2 P3
仓库需求
20 10 12
200
16 10 18
400
24 8 10
300
300 500 100
练习
a.设计一个网络模型来求解这个问题。 b.设计一个线性规划模型，该模型的目标是最小 化总运输成本；求解最低成本方案。 c.假设表中的数据表示在工厂i生产出来的运到 仓库j的每件产品的利润，你在(b)部分所建的模 型该如何变动？ d.如果W2总需求变为500，试改变模型。
案例——富尔市场调查公司
为了解决这个指派问题，福尔的管理层必须首先 考虑所有可能的负责人-客户的分配方法，然后 预测相对应的完成项目所需的时间。
网络模型
线性规划模型
决策变量
i备分配给客户 j 1 如果项目负责人 xij 0 其他情况
这里i＝1，2，3；j＝1，2，3。
线性规划模型——目标函数
同样,路线的最小量也可以得到说明。例如： x22≥2000，这一条件保证了我们可以在最优解中 继续维持先前承诺的至少2000单位的贝德福德—芝 加哥路线的交货订单。
不可接受的路线
构建从每一个起点到终点的路线并不都是可能的。 去除网络图中相关的弧和线性规划模型中相关的 变量。
运输问题的一般线性规划模型
实践——海军陆战队的调遣
美国海军陆战队已经建立了一个网络模型，以备在世 界危机或者战争中用来调遣军官。这个问题要解决的 就是尽可能快地把每个军官指派到合适的位臵（职位 指派）。 起点节点或者供应节点代表现有的军官，目标节点或 者需求节点代表的是职位。实际执行时有40000个军官 和25000个职位。如果所有军官-职位的连接弧都是可 行的，那么这个运输问题就有1亿条弧。为了减小问题 的规模，相似条件的军官可以汇集成一个供应节点， 相似的职位可以汇集成一个需求节点。用这个方法将 不可行的弧删除，海军陆战队在10秒钟之内就通过一 台个人电脑解决了包含27000个军官和10000个工作职 位的指派问题。