定比分点的向量公式及应用_慕泽刚
定比分点的向量公式
定比分点的向量公式定比分点的向量公式，这可是高中数学里一个相当重要的知识点呢！咱们先来聊聊啥是定比分点。
想象一下，在一条直线上有两个点 A 和 B，然后又有一个点 P 把线段 AB 按照一定的比例分成了两段。
这个点 P 就叫做线段 AB 的定比分点。
那定比分点的向量公式是啥呢？假设点 A 的坐标是 (x₁, y₁) ，点B 的坐标是 (x₂, y₂) ，点 P 的坐标是 (x, y) ，并且点 P 分线段 AB 的比是λ ，那么定比分点的向量公式就是：x = (x₁ + λx₂) / (1 + λ) ，y = (y₁ + λy₂) / (1 + λ) 。
听起来是不是有点晕乎？别担心，我给您举个例子哈。
有一次我在课堂上讲这个知识点，有个学生一脸迷茫地看着我，我就知道他没听懂。
于是我走到他身边，问他：“你是不是觉得有点迷糊呀？”他使劲儿点头。
我就拿了一支笔在纸上画了一条直线，标上 A 点和 B 点，然后跟他说：“咱们就把这当成是一条路，A 点是你家，B 点是学校，你每天上学走到某个地方，这个地方就是点 P 。
现在假设你走的路程和剩下的路程有个比例，那这个点 P 的位置是不是就能算出来啦？”这孩子听了，眼睛一下子亮了，好像突然就明白了。
咱们继续说这个公式啊。
定比分点的向量公式在解决很多几何问题的时候特别有用。
比如说，已知两个点的坐标和分点的比例，就能轻松算出定比分点的坐标。
在实际生活中，这个公式也能派上用场呢。
比如说，在规划物流路线的时候，要确定货物在某个路段的分配点，就可以用到这个公式。
还有在建筑设计中，计算一些结构的位置也能用到。
再比如，咱们想象一个场景，有一辆送快递的车，要在一条路线上的几个站点送货，每个站点的需求比例不同。
这时候，就可以用定比分点的向量公式来计算最佳的送货停留点，这样就能提高送货效率啦。
总之，定比分点的向量公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多做几道题，多联系实际，就能很好地掌握它，让它成为咱们解决问题的有力工具。
最新高中数学知识点：平面向量的公式的知识点总结优秀名师资料
高中数学知识点：平面向量的公式的知识点总结定比分点定比分点公式(向量P1P=λ向量PP2)设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ)。
(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在?ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为?ABC的重心[编辑本段]向量共线的重要条件若b?0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件a?b的充要条件是 a b=0。
a?b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.设a=(x，y)，b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律:交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且?λa?=?λ? ?a?。
当λ>0时，λa与a同方向;当λ<0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。
定比分点的向量公式及应用
定比分点的向量公式及应用向量是在数学中广泛应用的一种重要概念。
在向量中，可以定义加法、减法和数量乘法等运算，这些运算规则以及向量的模、方向等性质，使得向量在数学、物理和工程等领域的应用中具有重要的意义。
在计算机科学和计算机图形学中，向量被广泛用于表示三维空间中的点、方向和位移等概念。
这些向量通常表示为[x,y,z]，其中x、y和z分别表示在三个坐标轴上的分量。
定比分点的向量公式可以用于计算两个点之间的中点、分点以及线段的长度。
假设有两个点A和B，它们的坐标分别为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，我们可以使用如下的公式来计算两个点之间的中点：M=(A+B)/2其中M是点A和点B之间的中点，"+"表示向量的加法运算，"/"表示向量与标量的除法运算。
通过这个公式，我们可以计算出两个点之间的中点的坐标。
在计算两个点之间的分点时，可以使用类似的方法。
假设有一个分点P，它位于点A和点B之间的t比例处，我们可以使用如下的公式来计算分点的坐标：P=A+t*(B-A)其中t是一个介于0和1之间的比例值。
当t等于0时，分点P的坐标就是点A的坐标；当t等于1时，分点P的坐标就是点B的坐标。
通过改变t的值，我们可以在点A和点B之间找到任意位置的分点。
除了计算中点和分点之外，向量的长度也是一个重要的概念。
在三维空间中，向量的长度可以通过计算其模来获得。
一个向量的模定义为其各个分量的平方和的平方根。
对于一个三维向量V=[x,y,z]，其模的计算公式如下：V， = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)通过计算向量的模，我们可以获得向量的长度信息。
定比分点的向量公式在计算机图形学中有许多应用。
例如，在三维建模中，我们经常需要计算物体的表面上的点的位置和属性。
通过定比分点的向量公式，我们可以在物体的两个顶点之间找到任意位置的点，从而进行物体的细分或者其他形变操作。
此外，向量的线性插值也是一个重要的应用。
高三数学线段的定比分点
高三备课组
一、基础知识
1、 线段的定比分点
（1）定义
设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同 于P1,P2的任意一点，则存在一个实数 ， P 使p1 p pp ， 所 2 叫做点P分有向线段 1P 2 成的比。
0 ；当点P在线 当点P在线段 P 上时， 1P 2 <0 段 P1 P2 或 P2 P1 的延长线上时，
（2）定比分点的向量表达式：
点P分有向线段 P 所成的比是 ，则 1P 2 1 OP OP1 OP2 1 1 （O为平面内任意点）
（3）定比分点的坐标形式
x1 x 2 x 1 y y 2 y 1 1
,
（4）中点坐标公式
当 =1时，分点P为线段的中点，即有
练习：
若直线x+2y+m=0，按向量a 1,2平移后与圆C：
x 2 y 2 2x 4 y 0
相切
则实数m的值等于
例5．是否存在这样的平移，使抛物线： y x 2 平移后 过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与 x 轴的两个 交点构成的三角形面积为 1 ，若不存在，说明理由；若 存在，求出函数的解析式。 例4．设函数
x1 x y y 1 x2 2 y2 2
ABC 的重心坐标公式： （5）
x A x B xC x 3 y A y B yC y 3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有 点按照同一方向移动同样长度，得到图形 F’ ， 我们把这一过程叫做图形的平移。
A(4,1), B(3,4), C (1,2) ， BD 是角 ABC 的平分 线，求点D的坐标及BD的长。
空间向量定比分点公式及应用
即
x x1e1 y y1e2 z z1e3 x2 xe1 y2 ye2 z2 ze3.
也就是
x x1 x2 xe1 y y1 y2 ye2 z z1 z2 ze3 0.
2.平面向量r 的坐标运算r ： (r1).r已知 a (x1, y1),b r(x2r, y2),
a rb (x1 x2, y1 y2), a b (x1 x2, y1 y2)
a (x1, y1)
(2).若A(x1, y1), B(x2, y2),则AB (x2 x1, y2 y1)
x y z
x1 y1 z1
1
1
1
x2 y2 z2
x1 , y1 , z1 .
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从而
x
y
z
x1 x2 1 y1 y2 1 z1 z2 1
也可能与P2更靠近.,设P的坐标是x, y, z,
分情况讨论: ( A) P靠近点P1,则P是分向量P1P2
定比为 1的分点.由定比分点公式,
3 得 P的坐标是 1 , 1 , 3 .
4 4 4
( A) P靠近点P2 ,则P是分向量P1P2
定比为 3的分点.由定比分点公式,
这些向量后, 再化简就可以了.
上一页
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由于P是分向量P1P2
定比为的分点,即
P1P PP2 ,
又P1P2 P1P PP2, 所以
P1P
1
P1 P2 .
即
x x1, y y1, z z1 上一页
高考数学复习 线段的定比分点与平移
2008高考数学复习 线段的定比分点与平移高考要求：掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式并且能熟练运用掌握平移公式。
知识要点：1.线段的定比分点定义：设P 1,P 2是直线L 上的两点，点P 是L 上不同于P 1,P 2的任意一点，则存在一个实数λ，使12PP PP λ=，λ叫做点P 分有向线段21P P所成的比当点P 在线段21P P 上时，0>λ；当点P 在线段21P P 或21P P 的延长线上时，λ<0 2.定比分点的向量表达式：点P 分有向线段21P P 所成的比是λ， 则21111OP OP OP λλλ+++=（O 为平面内任意点） 3.定比分点的坐标形式: ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ,其中P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2), P (x,y) 4.中点坐标公式: 当λ=1时，分点P 为线段21P P 的中点，即有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 5.ABC ∆的重心坐标公式：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=33CB AC B A y y y y x x x x6.图形平移的定义:设F 是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形F ’，我们把这一过程叫做图形的平移。
7平移公式: 设点),(y x P 按向量),(k h a = 平移后得到点),(y x P '''，则P O '＝+a或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x ，曲线)(x f y =按向量),(k h a =平移后所得的曲线的函数解析式为：)(h x f k y -=- ，这个公式叫做点的平移公式，它反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系。
题型讲解例1 已知点)2,5(),4,1(B A --，线段AB 上的三等分点依次为1P 、2P ，求1P 、2P ，点的坐标以及A 、B 分21P P 所成的比λ解：设),(111y x P 、),(222y x P ，则P AP 1121=P AP 222= ∴135221152111=+-=+⨯+-=x232821122141-=+-=+⨯+-=y ，即)2,1(1-P339215212==+⨯+-=x ，0212242=+⨯+-=y ，即)0,3(2P由211AP P λ=，得：111311λλ+⨯+=-，∴211-=λ；由221BP P λ=，得：221315λλ+⨯+=，∴22-=λ；点评:定比是根据λ=求得的,必须搞清起点、分点、终点顺序不可搞错例2 已知ΔABC 的三个顶点为A(1,5),B(─2,4),C(─6,─4),BC 边上有一点M ，使ΔABM 的面积等于ΔABC 面积的1/4求线段AM 的长度。
【推荐下载】高考数学必背：平面向量公式汇总
[键入文字]
高考数学必背：平面向量公式汇总
编者按：高考前的第一轮复习正在火热进行中，同学们要利用这些复习的时间强化学习，为大家整理了高考数学必背：平面向量公式汇总，在高三数学第一轮复习时，给您最及时的帮助!
定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数λ，使向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。
(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
1。
高三数学线段的定比分点
变式一：若 BD 把 ABC 分成面积相等 的两部分，求点D的坐标及BD的长。 变式二：直线L//AC，且交AB、CB于E、F 两点，若BEF的面积与 ABC 的面积之比 4 为 ，求E有向线段 P 所成的比是 ，则 1P 2 1 OP OP1 OP2 1 1 （O为平面内任意点）
（3）定比分点的坐标形式
x1 x 2 x 1 y y 2 y 1 1
,
（4）中点坐标公式
当 =1时，分点P为线段的中点，即有
（2）平移公式 设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的 x x h ’ ’ ’’ 对应点P (x ,y )，且 PP 的坐标为(h,k)，则有 ， y y k 这个公式叫做点的平移公式，它反映了图形中的每 一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系。
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二、题型剖析
x1 x y y 1 x2 2 y2 2
ABC 的重心坐标公式： （5）
x A x B xC x 3 y A y B yC y 3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有 点按照同一方向移动同样长度，得到图形 F’ ， 我们把这一过程叫做图形的平移。
线段的定比分点与平移
高三备课组
一、基础知识
1、 线段的定比分点
（1）定义
设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同 于P1,P2的任意一点，则存在一个实数 ， P 使p1 p pp ， 所 2 叫做点P分有向线段 1P 2 成的比。
向量的定比分点公式运用
向量的定比分点公式运用设有向量AB表示一条线段，点C为分割点，将AB分成的两个线段分别为AC和CB。
那么根据向量的定比分点公式，我们可以得到以下关系式：AC=λABCB=(1-λ)AB其中，λ是一个标量，表示分割点C到点A的距离与线段AB的长度之比。
下面我们将介绍向量的定比分点公式的几种具体运用。
1.证明三点共线：给定三个点A、B、C，要证明它们共线，可以使用向量的定比分点公式。
假设分割点C在点A和点B之间，那么根据向量的定比分点公式，可以得到AC=λAB，CB=(1-λ)AB。
若AC与CB的坐标相同，则说明三点共线。
2.点的坐标求解：已知线段AB的坐标，要求分割点C的坐标。
根据向量的定比分点公式，我们可以得到AC=λAB，即(x_C-x_A,y_C-y_A)=λ(x_B-x_A,y_B-y_A)。
令点C的坐标为(x_C,y_C)，代入这个关系式可以求解出点C的坐标。
3. 矢量平均值：给定一组n维向量，要求它们的平均值。
可以使用向量的定比分点公式求解。
假设向量集合为{v_1, v_2, ..., v_n}，则平均向量v_avg可以表示为v_avg = λ_1*v_1 + λ_2*v_2 + ... +λ_n*v_n。
其中，λ_1 + λ_2 + ... + λ_n = 1，且λ_i >= 0。
这样可以求得平均向量v_avg的坐标。
4.线段的等分点：已知线段AB的长度，要求线段上的一个点C，使得AC与AB的长度比为m:n。
根据向量的定比分点公式，我们可以得到AC=λAB，其中λ=(m/(m+n))。
将AB的长度乘以λ，得到AC的长度，即可得到分割点C的坐标。
5.找出一些点到线段的最近点：假设有线段AB和点P，要求点P到线段AB上的最近点Q的坐标。
根据向量的定比分点公式，可以得到向量AQ=λAB，其中λ表示AQ与AB的长度之比。
我们可以通过遍历0≤λ≤1的所有值，计算出对应的点Q的坐标，再选择距离最近的点作为最近点Q的坐标。
高三数学线段的定比分点
（2）平移公式 设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的 x x h ’ ’ ’’ 对应点P (x ,y )，且 PP 的坐标为(h,k)，则有 ， y y k 这个公式叫做点的平移公式，它反映了图形中的每 一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系。
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二、题型剖析
x 1 f ( x) x2
1 （1）试根据函数 y x 的图象
作出 f ( x)的图象，并写出变换过程；
（2） f ( x) 的图象是中心对称图形吗？
（3）写出 f ( x) 的单调区间。
三．课堂小结： （1） 定比分点坐标公式时，一定要分清起点、 终点和分点，在学习中不仅学会利用结论解决问题， 也要注意该公式的推导过程，从中可得到一些启迪， 为今后的学习打下思想方法的基础。 （2） 使用平移公式时，要注意：点的平移时，给 x x h 定平移向量由旧标求新标用公式 y y k ；由新标求旧 x x h 标用公式 y y k 。图形平移时，给定平称向量，由旧 x x h 解析式求新解析式，用式子 y y k 代入旧式整理得到； x x h 由新解析式求旧解析式，用公式 代入新式整理 y y k 得到。
x1 x y y 1 心坐标公式： （5）
x A x B xC x 3 y A y B yC y 3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有 点按照同一方向移动同样长度，得到图形 F’ ， 我们把这一过程叫做图形的平移。
练习：
若直线x+2y+m=0，按向量a 1,2平移后与圆C：
空间向量定比分点公式及应用.
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又G是分向量P , 再由 1M 1定比 2的分点 定比分点公式得 G的坐标是
x2 x3 y2 y3 z 2 z3 y1 2 z1 2 x1 2 2 , 2 , 2 1 2 1 2 1 2 ,
x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 即G , , . 3 3 3
(3) 由于P是线段P , 所以点P 1P 2的四等分点 也可能与P2更靠近., 设P的坐标是x, y, z , 分情况讨论: ( A) P靠近点P 1 , 则P是分向量P 1P 2
1 定比为 的分点.由定比分点公式 , 3 1 1 3 得 P的坐标是 , , . 4 4 4
所以
x x1 , y y1 , z z1 x2 x, y2 y, z2 z.
上一页
返回
即
x x1 e1 y y1 e2 z z1 e3 x2 x e1 y2 y e2 z2 z e3 .
P
P2 P2 P2 P P2
P1 P2 P 上一页 问题2 点P的位置与P把向量P P 分得的两个向量 1 2
下一页
P 、 PP ? 1P 2的方向有何关系
返回
问题3. 无论点P的位置, 两个向量P 、 PP 1P 2 的有何位置关系?
定义 P为向量P , 1P 2所在直线上的一点 点P把向量P P PP2 , 1P 2分成两个共线向量 1 P、 如果PP2 0, 设 P 1 P PP 2 .称点P为分向量 P . 1P 2定比为的分点
上一页下一页返回悬挂法测定三角形的重实验重心的作用实验所在直线上任取一点在向量问题上一页下一页返回分得的两个向量把向量的位置与问题pp两个向量的位置无论点问题pp的分点定比为为分向量分成两个共线向量把向量所在直线上的一点为向量定义pppp的取值有何关系的位置与问题上一页返回的分点定比为为分向量取定标架问题来表示向量用向量可以直接向量法方法一分析再化简就可以了这些向量后用坐标表示出代数法方法二pp上一页返回的分点定比为是分向量由于上一页返回也就是上一页返回定比分点坐标空间上一页返回的坐标是什么的中点上一页返回的坐标求此三角形的重心边的中点对应上一页返回的坐标需确定坐标是三中线的交点三角形的重心分析的分点的向量定比是分所在边的坐标即可确定公式连续使用两次定比分点上一页返回的坐标是公式得由定比分点的分点上一页返回的坐标是定比分点公式得再由的分点上一页返回能否用此公式重合的坐标能否用此公式求得不与它们重合重合公式有何联系与区别它与空间定比分点分点公式是什么平面上点分线段的定比中学里上一页返回三中线共点的结论证明三角形节习题试用第定比分点坐标公式的结论推导空间向量节习题试用第并尝试解决它问题用定比分点的搜集一些现实生活中使上一页返回作业上一页返回心坐标向量法确定三角形的重所以的中点所以的分点上一页返回标公式代数法确定定比分点坐所以上一页返回也就是上一页返回的方法唯一线性表示所以用不共面所以上一页返回从而公式空间向量定比分点坐标上一页返回感谢徐德明老师的帮助与建议的坐标确定的坐标确定所在的直线上位于的坐标确定的四等分点是线段公式由定比分点的坐标是的坐标是所以点p于是有的分点定比为是分向量故可设所在的直线上位于所以坐标不相同分情况讨论的坐标是更靠近也可能与当然更靠近可能与内部位于线段所以点的四等分点是线段由于由定比分点公式的分点定比为是分向量由定比分点公式的分点定比为是分向量的方法唯一线性表示所以用不共面从而公式空间向量定比分点坐标的坐标确定的坐标确定所在的直线上位于的坐标确定的四等分点是线段公式由定比分点的坐标是的坐标是所以点p于是有的分点定比为是分向量故可设所在的直线上位于所以坐标不相同分情况讨论的坐标是更靠近也可能与当然更靠近可能与内部位于线段所以点的四等分点是线段由于由定比分点公式的分点定比为是分向量由定比分点公式的分点定比为是分向量2
用向量来诠释有向线段的定比分点
用向量来诠释有向线段的定比分点首先来看线段的定比分点的概念：设P 1，P 2是直线l 上两点， P 是l 上不同于P 1P 2的任意一点，若21pp p p λ=，则称λ叫点P 分有向线段21p p 所成的比，点P 叫线段21p p 的定比分点。
（回顾）平面向量共线定理：a ρ∥b ρ（0ρρ≠b ）⇔a ρ=λb ρ （λ为实数）平面向量共线性质：若0ρρ≠a 且0ρρ≠b ，λ>0，则a ρ与b ρ共线同向；若λ<0，则a ρ与b ρ共线反向。
平面向量坐标运算公式：若()11,y x a =ρ，()22,y x b =ρa ρ=λb ρ， 则()()2211,,y x y x λ=一、解释定义：由定义知P 1，P ，P 2三点共线，且P 又是l 上不同于P 1、P 2的任意一点，则p p 1与2p p 为非零共线向量，由共线定理得，必存在实数λ使得21pp p p λ=，点P 左右着有向线段p p 1与2p p 的数量，点P 叫做确定有向线段21p p 的定比λ大小的分点。
可见线段的定比分点实质上是共线定理的体现。
二、解释λ与分点P 的位置关系：由定义知P 1，P ，P 2三点在l 上的可能位置只有三种，如图示① ②③ 由21pp p p λ=若λ>0，则p p 1与2p p 共线同向，只有图①故 若P 线段21p p 上⇔λ>0, 特别的λ=1时，点P 是线段 的中点。
若λ<0，则p p 1与2p p 共线反向如图②③故若P 在线段21p p 的延长线或反向延长线上⇔λ<0,特别的：如果P 点在线段P 1P 2的延长线上，则λ＜-1；如果P 点在线段P 2P 1的延长线上，则-1＜λ＜0.三、解释公式 λ是点P分有向线段21p p 所成的比，各点的坐标为()()()y x P y x P y x P ,,,,,222111）(1)由定义得21pp P P =λ(2) 若P 是线段21p p 内分点，则λ>0,所以||21pp P P =λ (3) 若P 在线段21p p 外分点，则λ<0,所以||21pp P P -=λ(4)由向量的坐标公式还可得x x x x --=21λ ，yy y y --=21λ (5) 由(4)得分点P 的坐标公式为（λ≠ —1）特别的当λ=1，中点P 的坐标公式为221x x x p +=，221y y y p += 四、拓展与注意⑴当分点P 与起点P 1重合时，λ=0；但分点P 不能与终点P 2重合，λ≠ —1⑵21pp =λ更不是有向线段的比⑶起点、分点、终点的固定性：公式21=λ线段的数量；分母是分点到终点的有向线段的数量⑷起点、分点、终点的相对性：当P 1，P 2，P 3三点共线时，任何一点都可以作为起点、分点、终点，当选点发生变化时，内分、外分常互相转化，因而在计算过程中要灵活选择分点以求方便！。
平面向量的公式的高中数学知识点归纳总结
平面向量的公式的高中数学知识点归纳总结鉴于数学知识点的重要性,XX为您提供了这篇有关,希望对同学们的数学有所帮助。
定比分点定比分点公式(向量P1P=λ向量PP2)设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数λ,使向量P1P=λ向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ)。
(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心向量共线的重要条件若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是 ab=0。
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.设a=(x,y),b=(x',y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x',y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律:交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且?λa?=?λ??a?。
当λ>0时,λa与a同方向;当λ当λ=0时,λa=0,方向任意。
定比分点向量式de变式及其应用(高一、高二)
定比分点向量式de变式及其应用(高一、高二)
李继
【期刊名称】《数理天地：高中版》
【年(卷),期】2006(000)004
【摘要】已知有向线段P1P2,如果点P使得并设O为平面上任意一点,则此式称为有向线段(?)的定比分点P的向量表达式,若令
【总页数】1页(P)
【作者】李继
【作者单位】湖北省枣阳市第二中学;441200
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.线段的定比分点的向量表示式的应用
2.浅谈定比分点的向量式及其应用
3.用线段定比分点的向量式解几何题
4.定比分点向量式的变式及其应用
5.对定比分点向量公式、向量基本定理的理解与应用
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１ ｂ＝ ４ ａ＋ ５ ｂ． ３９９
解 析 二 由 已 知 条 件 得 Ｄ 分 ＡＢ 所 成 的 λ＝
５ ， 则Ｏ!"Ｄ ＝ １ Ｏ!"Ａ ＋ λ !Ｏ"Ｂ ＝ ４ ａ＋ ５ ｂ．
４
１＋λ １＋λ ９ ９
评注 用已知向量表示其他向量也是一个热
点， 常规的解法是利用三角形法则或平行四边形法
则， 而本题利用定比分点的向量公式， 过程相对较
Ｂ!"Ｐ ＝ １ Ｐ!"Ａ ＝ １ !Ｂ"Ａ ＝ １ ａ，
ｍ
１＋ｍ
１＋ｍ
因为 Ｑ 分!Ａ"Ｄ 的比为 ｎ， 则
人 教 大 纲
专 业Ｓ
精心策划
!Ｂ"Ｑ ＝ １ !Ｂ"Ａ ＋ ｎ !Ｂ"Ｄ ＝ １ ａ＋ ｎ （ ａ＋ｂ） ＝
１＋ｎ
１＋ｎ
１＋ｎ １＋ｎ
高
ａ＋ ｎ ｂ，
一
１＋ｎ
Ｂ!"Ｒ ＝ １ Ｂ!"Ｐ ＋ λ Ｂ!"Ｃ ＝
在线段
ＡＢ 上 ，
且 ＡＰ ＰＢ
＝ｍ， Ｑ 在 线 段
ＡＤ 上 ，
且
ＡＱ ＱＤ
＝ｎ， ＢＱ 与 ＣＰ 相交于 Ｒ， 求 ＰＲ 的值． ＲＣ
Ａ
Ｑ
Ｄ
ＰＲ
Ｂ
Ｃ
解析 设!Ｂ"Ａ ＝ａ， Ｂ!"Ｃ ＝ｂ， Ｐ!"Ｒ ＝λＲ!"Ｃ ，
所以
ＰＲ ＲＣ
＝λ，
由题意有!Ａ"Ｐ ＝ｍＰ!"Ｂ ， Ａ!"Ｑ ＝ｎＱ!"Ｄ ， 则
１＋λ １＋ｎ
（
ｎ １＋ｍ）（
１＋ｎ）
， 即 ＰＲ ＲＣ
＝ （
ｎ １＋ｍ）（
１＋ｎ）
．
评注 本题通过选择基底， 将有关向量用基底
表示出来再求解， 这是利用向量解决平面几何问题
常用的方法之一．
数学爱好者 #$%
１＋λ
%
&%%ｙ＝ａ＋ｂ．
所 以 点 Ｃ′（ ｃ， ｙ） 与 点 Ｃ（ ｃ， ａ＋ｂ） 重 合 ， 由 题 设 知
Ｃ 在 ＡＢ 上， 所以 Ａ， Ｂ， Ｃ 三点共线．
评注 本题证明三点共线是借助已知点 Ｃ 的
横坐标另设一点 Ｃ（′ｃ， ｙ） ， 再通过利用定比分点坐标
公式求出 ｙ， 进而得出 Ｃ′与 Ｃ 点重合达 到 证 明 的 目
所以
３＋５λ １＋λ
＝
ｋ·３－ λ＋１， 解得 λ＝ ３ｋ－ ２ ．
１＋λ
ｋ＋４
所以 ３ｋ－ ２ ≥０， 即 ｋ≥ ２ 或 ｋ＜－ ４．
ｋ＋４
３
而当 Ｐ 点与 Ｂ 重合时， ｋ＝－ ４ 也适合．
综上所述， 实数 ｋ 的取值范围是 ｋ≥ ２ 或 ３
ｋ≤－ ４．
评注 本题利用定比分点坐标公式解答此类
题型时必须明确分点是内分点还是外分点， 特别是
１
ａ＋
１＋λ
１＋λ
（ １＋λ）（ １＋ｍ）
λ ｂ， １＋λ
又 Ｂ， Ｒ， Ｑ 三 点 共 线 ， 所 以 存 在 实 数 ｔ 使!Ｂ"Ｑ ＝
ｔＢ!"Ｒ ， 所以
ｔ
ａ＋ λｔ ｂ＝ａ＋ ｎ ｂ，
（ １＋λ）（ １＋ｍ） １＋λ １＋ｎ
所以
ｔ
＝１， 且 λｔ ＝ ｎ ， 所 以 λ＝
（ １＋λ）（ １＋ｍ）
则 !Ｏ"Ｐ ＝ Ｏ!"Ｐ１ ＋λＯ!"Ｐ２ ＝
１＋λ
１ １＋λ
Ｏ!"Ｐ１ ＋
λ １＋λ
!Ｏ"Ｐ２ ．
人
特例：
若
Ｐ
为
Ｐ１Ｐ２
的中点，
则有Ｏ!"Ｐ ＝
Ｏ!"Ｐ１ ＋Ｏ!"Ｐ２
２
．
教
大
一、求点的坐标
纲
利用定比分点的向量形式求点的坐标主要是
专 数学中的整体思想的应用， 即将点的纵横坐标处理 业Ｓ 精心策划 在包含纵横坐标的向量中， 其解题过程简单快捷．
１＋λ １＋λ ６
６
＝（ ４， ４） ．
所以 Ｃ 点的坐标为（ ４， ４） ．
评注 利用定比分点的向量公式求点的坐标
关键是要正确确定 λ的值．确定 λ的 值 的 方 法 有 多
种 ， 特 别 要 抓 住 条 件 中 的 比 例 关 系 、平 行 关 系 及 图
形的相似性等．
二、用于表示向量
由于定比分点的向量公式均以向量的形式出
交点， 把 Ｐ 看作!Ａ"Ｂ 的定比分点， 定比为 λ， 则有 λ≥
０， 由 定 比 分 点 公 式 有 Ｏ!"Ｐ ＝ １ !Ｏ"Ａ ＋ λ !Ｏ"Ｂ ＝
１＋λ
１＋λ
１ （ ３， ３） ＋ λ （ － １， ５） ＝（ ３－ λ ， ３＋５λ） ．
１＋λ
１＋λ
１＋λ １＋λ
而 Ｐ 点 在 函 数 ｙ＝ｋｘ＋１ 图 象 上 ，
现的， 公式的右边是左边向量式的表示， 因此进行
ห้องสมุดไป่ตู้
向量表示时， 如果题中出现分点或比例关系时， 就
可以借助此公式．
例 ２ 如图， 已知!Ｏ"Ａ ＝ａ， Ｏ!"Ｂ ＝ｂ， Ｃ 为!Ａ"Ｂ 上距 Ａ
!"# 数学爱好者
◇ 重庆 慕泽刚
较 近 的 一 个 三 等 分 点 ， Ｄ 为Ｃ!"Ｂ 上 距 Ｃ 较 近 的 一 个 三等分点， 用 ａ， ｂ 表示!Ｏ"Ｄ ．
为简单， 特别是解析二．
三、证明三点共线
利用定比分点的向量形式解决三点共线的主
要方法是在其中两个点确定的直线上确定一个点，
与第三点重合， 即可证明三点共线．
例 ３ 已知点 Ａ（ ａ， ｂ＋ｃ） ， Ｂ（ ｂ， ｃ＋ａ） ， Ｃ（ ｃ， ａ＋ｂ） ，
求证： Ａ， Ｂ， Ｃ 三点共线．
证明 设 Ｃ′（ ｃ， ｙ） 在Ａ!"Ｂ 上， Ｃ′分!Ａ"Ｂ 的比为 λ，
的．此题点 Ｃ′也可以设为（ ｘ， ａ＋ｂ） ．
四、求字母系数范围
利用定比分点坐标公式求参数的取值范围主
要是根据分点 Ｐ 的位置不同， 对应定比 λ的范围也
不 同 求 解 的 ， 即 当 Ｐ 为 内 分 点 时 λ＞０； 当 Ｐ 为 外 分
点时， λ＜０（ λ≠－ １） ， ①当 Ｐ 为 ＡＢ 延长线上点时， λ＜－ １，
ＭｉｎｇＳｈｉＤｉａｎＪｉｎ 名师点金
分点在端点的情况， 同时注意分类讨论思想的应用．
五、解决平面几何问题
定比分点的向量形式实质上应用在三点共线
的基础上的， 而平面几何图形中无处不存在三点共
线的情况， 因此只要我们善于捕捉与所要解决问题
相关的三点共线， 就可以使问题顺利解决．
例 ５ 如图所示， 在平行四边形 ＡＢＣＤ 中， Ｐ 点
②当 Ｐ 为 ＢＡ 延长线上时， － １＜λ＜０； 当 Ｐ 与 Ａ 重合
时， λ＝０； 当 Ｐ 与 Ｂ 重合时， λ不存在．
例 ４ 已 知 点 Ａ（ ３， ３） ， Ｂ（ － １， ５） ， 一 次 函 数 ｙ＝
ｋｘ＋１ 的图象与线段 ＡＢ 有公共点， 求实数 ｋ 的 取 值
范围．
解析 设 Ｐ（ ｘ， ｙ） 为一次函数图象与线段 ＡＢ的
例 １ 已 知 点 Ａ（ － ６， － １） ， Ｂ（ ６， ５） ， 点 Ｃ 为 直 线
高
一 ＡＢ 上一点， 且Ａ!"Ｃ ＝－ ５!Ｂ"Ｃ ， 求 Ｃ 点的坐标．
解析 因为!Ａ"Ｃ ＝－ ５Ｂ!"Ｃ ， !Ａ"Ｃ ＝５!Ｃ"Ｂ ， 所以 λ＝５，
利用定比分点的向量公式有
Ｏ!"Ｃ ＝ １ !Ｏ"Ａ ＋ λ !Ｏ"Ｂ ＝ １ （ － ６， － １） ＋ ５ （ ６， ５）
Ｂ
Ｄ
Ｃ Ｏ
Ａ
解析一 因为 Ｃ 为!Ａ"Ｂ 上的三等分点， 则 λ＝ １ ，
２
所
以!Ｏ"Ｃ ＝
１ !Ｏ"Ａ ＋
１＋λ
λ !Ｏ"Ｂ ＝
１＋λ
２ ３
ａ＋ １ ３
ｂ，
又 Ｄ 为Ｃ!"Ｂ 的三等分点， 则 λ′＝ １ ，
２
所以!Ｏ"Ｄ ＝ １ Ｏ!"Ｃ ＋ λ′Ｏ!"Ｂ ＝ ２ （ ２ ａ＋ １ ｂ） ＋
１＋λ′ １＋λ′ ３ ３ ３
名师点金
ＭｉｎｇＳｈｉＤｉａｎＪ ｉｎ
方法技巧
定比分点的向量公式及应用 定比分点的向量公式及应用
定 比 分 点 的 向 量 公 式 ： 设 Ｐ１， Ｐ２ 是 直 线 ｌ 上 的
两 点 ， 点 Ｐ 是 ｌ 上 异 于 Ｐ１， Ｐ２ 的 任 一 点 ， 且Ｐ!"１Ｐ ＝λ
!Ｐ"Ｐ２ ， Ｏ 是 此 平 面 内 任 一 点 ，
则!Ｏ"Ｃ′＝ １ !Ｏ"Ａ ＋ λ Ｏ!"Ｂ ＝ １ （ ａ， ｂ＋ｃ） ＋ λ
１＋λ １＋λ １＋λ
１＋λ
（ ｂ， ｃ＋ａ） ＝（ ａ＋λｂ ， λａ＋ｂ＋λｃ＋ｃ ） ， １＋λ １＋λ
#
%%ｃ＝
%
ａ＋λｂ １＋λ
，
则
% $
解
得
#
%%%λ＝
’
ａ－ ｃ－
ｃ ｂ
，
%
%%ｙ＝
λａ＋ｂ＋λｃ＋ｃ
，
% &