定比分点的向量公式及应用_慕泽刚

１＋λ １＋λ ６
６
＝（ ４， ４） ．
所以 Ｃ 点的坐标为（ ４， ４） ．
评注 利用定比分点的向量公式求点的坐标
关键是要正确确定 λ的值．确定 λ的 值 的 方 法 有 多
种 ， 特 别 要 抓 住 条 件 中 的 比 例 关 系 、平 行 关 系 及 图
形的相似性等．
二、用于表示向量
由于定比分点的向量公式均以向量的形式出
１＋λ １＋ｎ
（
ｎ １＋ｍ）（
１＋ｎ）
， 即 ＰＲ ＲＣ
＝ （
ｎ １＋ｍ）（
１＋ｎ）
．
评注 本题通过选择基底， 将有关向量用基底
表示出来再求解， 这是利用向量解决平面几何问题
常用的方法之一．
数学爱好者 #$%
在线段
ＡＢ 上 ，
且 ＡＰ ＰＢ
＝ｍ， Ｑ 在 线 段
ＡＤ 上 ，
且
ＡＱ ＱＤ
＝ｎ， ＢＱ 与 ＣＰ 相交于 Ｒ， 求 ＰＲ 的值． ＲＣ
Ａ
Ｑ
Ｄ
ＰＲ
Ｂ
Ｃ
解析 设!Ｂ"Ａ ＝ａ， Ｂ!"Ｃ ＝ｂ， Ｐ!"Ｒ ＝λＲ!"Ｃ ，
所以
ＰＲ ＲＣ
＝λ，
由题意有!Ａ"Ｐ ＝ｍＰ!"Ｂ ， Ａ!"Ｑ ＝ｎＱ!"Ｄ ， 则
所以
３＋５λ １＋λ
＝
ｋ·３－ λ＋１， 解得 λ＝ ３ｋ－ ２ ．
１＋λ
ｋ＋４
所以 ３ｋ－ ２ ≥０， 即 ｋ≥ ２ 或 ｋ＜－ ４．
ｋ＋４
３
而当 Ｐ 点与 Ｂ 重合时， ｋ＝－ ４ 也适合．
综上所述， 实数 ｋ 的取值范围是 ｋ≥ ２ 或 ３
ｋ≤－ ４．
评注 本题利用定比分点坐标公式解答此类
题型时必须明确分点是内分点还是外分点， 特别是
则!Ｏ"Ｃ′＝ １ !Ｏ"Ａ ＋ λ Ｏ!"Ｂ ＝ １ （ ａ， ｂ＋ｃ） ＋ λ
１＋λ １＋λ １＋λ
１＋λ
（ ｂ， ｃ＋ａ） ＝（ ａ＋λｂ ， λａ＋ｂ＋λｃ＋ｃ ） ， １＋λ １＋λ
#
%%ｃ＝
%
ａ＋λｂ １＋λ
，
则
% $
解
得
#
%%%λ＝
’
ａ－ ｃ－
ｃ ｂ
，
%
%%ｙ＝
λａ＋ｂ＋λｃ＋ｃ
，
% &
②当 Ｐ 为 ＢＡ 延长线上时， － １＜λ＜０； 当 Ｐ 与 Ａ 重合
时， λ＝０； 当 Ｐ 与 Ｂ 重合时， λ不存在．
例 ４ 已 知 点 Ａ（ ３， ３） ， Ｂ（ － １， ５） ， 一 次 函 数 ｙ＝
ｋｘ＋１ 的图象与线段 ＡＢ 有公共点， 求实数 ｋ 的 取 值
范围．
解析 设 Ｐ（ ｘ， ｙ） 为一次函数图象与线段 ＡＢ的
例 １ 已 知 点 Ａ（ － ６， － １） ， Ｂ（ ６， ５） ， 点 Ｃ 为 直 线
高
一 ＡＢ 上一点， 且Ａ!"Ｃ ＝－ ５!Ｂ"Ｃ ， 求 Ｃ 点的坐标．
解析 因为!Ａ"Ｃ ＝－ ５Ｂ!"Ｃ ， !Ａ"Ｃ ＝５!Ｃ"Ｂ ， 所以 λ＝５，
利用定比分点的向量公式有
Ｏ!"Ｃ ＝ １ !Ｏ"Ａ ＋ λ !Ｏ"Ｂ ＝ １ （ － ６， － １） ＋ ５ （ ６， ５）
名师点金
ＭｉｎｇＳｈｉＤｉａｎＪ ｉｎ
方法技巧
定比分点的向量公式及应用 定比分点的向量公式及应用
定 比 分 点 的 向 量 公 式 ： 设 Ｐ１， Ｐ２ 是 直 线 ｌ 上 的
两 点 ， 点 Ｐ 是 ｌ 上 异 于 Ｐ１， Ｐ２ 的 任 一 点 ， 且Ｐ!"１Ｐ ＝λ
!Ｐ"Ｐ２ ， Ｏ 是 此 平 面 内 任 一 点 ，
Ｂ!"Ｐ ＝ １ Ｐ!"Ａ ＝ １ !Ｂ"Ａ ＝ １ ａ，
ｍ
１＋ｍ
１＋ｍ
因为 Ｑ 分!Ａ"Ｄ 的比为 ｎ， 则
人 教 大 纲
专 业Ｓ
精心策划
!Ｂ"Ｑ ＝ １ !Ｂ"Ａ ＋ ｎ !Ｂ"Ｄ ＝ １ ａ＋ ｎ （ ａ＋ｂ） ＝
１＋ｎ
１＋ｎ
１＋ｎ １＋ｎ
高
ａ＋ ｎ ｂ，
一
１＋ｎ
Ｂ!"Ｒ ＝ １ Ｂ!"Ｐ ＋ λ Ｂ!"Ｃ ＝
的．此题点 Ｃ′也可以设为（ ｘ， ａ＋ｂ） ．
四、求字母系数范围
利用定比分点坐标公式求参数的取值范围主
要是根据分点 Ｐ 的位置不同， 对应定比 λ的范围也
不 同 求 解 的 ， 即 当 Ｐ 为 内 分 点 时 λ＞０； 当 Ｐ 为 外 分
点时， λ＜０（ λ≠－ １） ， ①当 Ｐ 为 ＡＢ 延长线上点时， λ＜－ １，
１＋λ
%
&%%ｙ＝ａ＋ｂ．
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所 以 点 Ｃ′（ ｃ， ｙ） 与 点 Ｃ（ ｃ， ａ＋ｂ） 重 合 ， 由 题 设 知
Ｃ 在 ＡＢ 上， 所以 Ａ， Ｂ， Ｃ 三点共线．
评注 本题证明三点共线是借助已知点 Ｃ 的
横坐标另设一点 Ｃ（′ｃ， ｙ） ， 再通过利用定比分点坐标
公式求出 ｙ， 进而得出 Ｃ′与 Ｃ 点重合达 到 证 明 的 目
ＭｉｎｇＳｈｉＤｉａｎＪｉｎ 名师点金
分点在端点的情况， 同时注意分类讨论思想的应用．
五、解决平面几何问题
定比分点的向量形式实质上应用在三点共线
的基础上的， 而平面几何图形中无处不存在三点共
线的情况， 因此只要我们善于捕捉与所要解决问题
相关的三点共线， 就可以使问题顺利解决．
例 ５ 如图所示， 在平行四边形 ＡＢＣＤ 中， Ｐ 点
Ｂ
Ｄ
Ｃ Ｏ
Ａ
解析一 因为 Ｃ 为!Ａ"Ｂ 上的三等分点， 则 λ＝ １ ，
２
所
以!Ｏ"Ｃ ＝
１ !Ｏ"Ａ ＋
１＋λ
λ !Ｏ"Ｂ ＝
１＋λ
２ ３
ａ＋ １ ３
ｂ，
又 Ｄ 为Ｃ!"Ｂ 的三等分点， 则 λ′＝ １ ，
２
所以!Ｏ"Ｄ ＝ １ Ｏ!"Ｃ ＋ λ′Ｏ!"Ｂ ＝ ２ （ ２ ａ＋ １ ｂ） ＋
１＋λ′ １＋λ′ ３ ３ ３
１ ｂ＝ ４ ａ＋ ５ ｂ． ３９９
解 析 二 由 已 知 条 件 得 Ｄ 分 ＡＢ 所 成 的 λ＝
５ ， 则Ｏ!"Ｄ ＝ １ Ｏ!"Ａ ＋ λ !Ｏ"Ｂ ＝ ４ ａ＋ ５ ｂ．
４
１＋λ １＋λ ９ ９
评注 用已知向量表示其他向量也是一个热
点， 常规的解法是利用三角形法则或平行四边形法
则， 而本题利用定比分点的向量公式， 过程相对较
为简单， 特别是解析二．
三、证明三点共线
利用定比分点的向量形式解决三点共线的主
要方法是在其中两个点确定的直线上确定一个点，
与第三点重合， 即可证明三点共线．
例 ３ 已知点 Ａ（ ａ， ｂ＋ｃ） ， Ｂ（ ｂ， ｃ＋ａ） ， Ｃ（ ｃ， ａ＋ｂ） ，
求证： Ａ， Ｂ， Ｃ 三点共线．
证明 设 Ｃ′（ ｃ， ｙ） 在Ａ!"Ｂ 上， Ｃ′分!Ａ"Ｂ 的比为 λ，
现的， 公式的右边是左边向量式的表示， 因此进行
向量表示时， 如果题中出现分点或比例关系时， 就
可以借助此公式．
例 ２ 如图， 已知!Ｏ"Ａ ＝ａ， Ｏ!"Ｂ ＝ｂ， Ｃ 为!Ａ"Ｂ 上距 Ａ
!"# 数学爱好者
◇ 重庆 慕泽刚
较 近 的 一 个 三 等 分 点 ， Ｄ 为Ｃ!"Ｂ 上 距 Ｃ 较 近 的 一 个 三等分点， 用 ａ， ｂ 表示!Ｏ"Ｄ ．
交点， 把 Ｐ 看作!Ａ"Ｂ 的定比分点， 定比为 λ， 则有 λ≥
０， 由 定 比 分 点 公 式 有 Ｏ!"Ｐ ＝ １ !Ｏ"Ａ ＋ λ !Ｏ"Ｂ ＝
１＋λ
１＋λ
１ （ ３， ３） ＋ λ （ － １， ５） ＝（ ３－ λ ， ３＋５λ） ．
１＋λ
１＋λ
１＋λ １＋λ
而 Ｐ 点 在 函 数 ｙ＝ｋｘ＋１ 图 象 上 ，
则 !Ｏ"Ｐ ＝ Ｏ!"Ｐ１ ＋λＯ!"Ｐ２ ＝
１＋λ
１ １＋λ
Ｏ!"Ｐ１ ＋
λ １＋λ
!Ｏ"Ｐ２ ．
人
特例：
若
Ｐ
为
Ｐ１Ｐ２
的中点，
则有Ｏ!"Ｐ ＝
Ｏ!"Ｐ１ ＋Ｏ!"Ｐ２
２
．
教
大
一、求点的坐标
纲
利用定比分点的向量形式求点的坐标主要是
专 数学中的整体思想的应用， 即将点的纵横坐标处理 业Ｓ 精心策划 在包含纵横坐标的向量中， 其解题过程简单快捷．
１
ａ＋
１＋λ
１＋λ
（ １＋λ）（ １＋ｍ）
λ ｂ， １＋λ
又 Ｂ， Ｒ， Ｑ 三 点 共 线 ， 所 以 存 在 实 数 ｔ 使!Ｂ"Ｑ ＝
ｔＢ!"Ｒ ， 所以
ｔ
ａ＋ λｔ ｂ＝ａ＋ ｎ ｂ，
（ １＋λ）（ １＋ｍ） １＋λ １＋ｎ
所以
ｔ
＝１， 且 λｔ ＝ ｎ ， 所 以 λ＝
（ １＋λ）（ １＋ｍ）