山东省潍坊市昌乐县2020届高三4月高考模拟数学试题

1山东省潍坊市昌乐县2020届高三4月高考模拟数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|230A x x x =--<，{}2|log 2B x x =<，则集合A B =IA ．{|14}x x -<<B ．{|03}x x <<C ．{|02}x x <<D ．{|01}x x <<2．设复数z 满足||1z i +=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则A ．22(1)1x y ++= B ．22(1)1x y -+= C ． 22(1)1x y ++= D ．22(1)1x y +-=3．已知123a =，131log 2b =，21log 3c =，则 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>4．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则A ．70x =，275s <B ．70x =，275s >C ．70x >，275s <D ．70x <，275s >5.已知角α的终边经过点(sin47,cos 47)P o o ，则sin(-13)=αoA.2-B. 12-C.2D.126．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，……，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三数起，每一个数都等于它前面 两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则 ()()()222132243354+a a a a a a a a a -+-+-+L L ()2201320152014a a a -=A.1006- B ．0 C ．1007 D ．127．已知双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点．P是双曲线在第一象限上的点，直线PO 交双曲线C 左支于点M ，直线2PF 交双曲线C 右支于另一点N ．若122PF PF =，且260MF N ︒∠=，则双曲线C 的离心率为 AB． C． D8．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()x f x e =，若对任意的[,1]x a a ∈+，不等式2()()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的最大值是A ．32-B ．23-C ．34-D ．2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.设函数(32)1,1()(0,1),1x a x x f x a a a x --≤⎧=>≠⎨>⎩，下列关于函数的说法正确的是 A.若2a =，则2(log 3)3f = B.若()f x 为R 上的增函数，则312a << C.若(0)1f =-，则32a = D.函数()f x 为R 上的奇函数 10.已知函数()|cos |sin f x x x =+，则下列结论正确的是A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 的图象是轴对称图形C.函数()f xD.函数()f x 的最小值为1-11.已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为A.1MB.2MC.3MD.4M312.在三棱锥D-ABC 中,AB=BC=CD=DA =1,且AB ⊥BC ,CD ⊥DA ,M,N 分别是棱,BC CD 的中点,下面结论正确的是A. AC ⊥BDB. MN//平面ABDC.三棱锥A-CMN的体积的最大值为12D.AD BC 与一定不垂直 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是_________． 14.已知向量a r ，b r 满足4a =r ，b r 在a r 上投影为2-，则3a b -r r 的最小值为 .15.F 为抛物线24x y =的焦点，过点F 且倾斜角为150︒的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，1l ，2l 分别是该抛物线在A ,B 两点处的切线,1l ,2l 相交于点C ,则CA CB ⋅=____，||CF =___．16.在四棱锥P ABCD -中，PAB ∆是边长为的正三角形，底面ABCD 为矩形，2AD =，PC PD ==。

若四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，则球O 的表面积为 .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC 中，3B π∠=，b =， ，求BC 边上的高．在①sin A =；②sin 3sin A C =；③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．418.（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知四边形11AAC C 为矩形，16AA =，4AB AC ==，160BAC BAA ∠=∠=︒，1A AC ∠的角平分线AD 交1CC 于D .（1）求证:平面⊥BAD 平面11AAC C ；（2）求二面角111A B C A --的余弦值.19.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N .(1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式;(2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.520.（12分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少．．有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有．．．．1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以．1．小时为计量单位．．．．．．．）被每套系统监测出排放超标的概率均为(01)p p <<，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.（1）当12p =时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率； （2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由.21.（12分）椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞(0,1)P 做斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于y轴时AB =（1）求椭圆E 的方程；（2）当k 变化时，在x 轴上是否存在点(,0)M m ，使得△AMB 是以AB 为底的等腰三角形，若存在求出m 的取值范围，若不存在说明理由．622.（12分）已知函数1()()ln ().2f x x a x x a R =-+∈ (1)若()f x '是f (x )的导函数,讨论()()ln g x f x x a x '=--的单调性;(2)若1(2a e e∈是自然对数的底数),求证: ()0f x >.7 参考答案一、选择题：1-8、BCAA DDBC二、多项选择题：9.AB 10.BCD 11.BD 12.ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 14 14. 10 15. 0，316. 28π四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：选择①，在△ABC 中，由正弦定理得sin sin a b A B ==， 解得2a =，由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，即7＝22+c 2﹣2×2×c ×12， 化简得c 2﹣2c ﹣3＝0，解得c ＝3或c ＝﹣1（舍去）；所以BC 边上的高为h ＝c sin B ＝3选择②，在△ABC 中，由正弦定理得sin sin a c A C=， 又因为sin A ＝3sin C ，所以3sin sin a c C C=，即a ＝3c ； 由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，8即7＝（3c ）2+c 2﹣2×3c ×c ×12， 化简得7c 2＝7，解得c ＝1或c ＝﹣1（舍去）；所以BC 边上的高为h ＝c sin B ＝1×2＝2． 选择③，在△ABC 中，由a ﹣c ＝2，得a ＝c +2；由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，即7＝（c +2）2+c 2﹣2×（c +2）×c ×12， 化简得c 2+2c ﹣3＝0，解得c ＝1或c ＝﹣3（舍去）；所以BC 边上的高为h ＝c sin B ＝118.证明：（1）如图，过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接,CE BE ，设AD CE O =I ，连接BO ，1AC AA ⊥Q ，DE AE ∴⊥，又AD 为1A AC ∠的角平分线，∴四边形AEDC 为正方形，CE AD ∴⊥，又AC AE =Q ，BAC BAE ∠=∠，BA BA =，BAC BAE ∴∆≅∆，BC BE ∴=，又O Q 为CE 的中点，CE BO ∴⊥又,AD BO ⊂Q 平面BAD ，AD BO O ⋂=，CE ∴⊥平面BAD ，又CE ⊂Q 平面11AAC C ，∴平面⊥BAD 平面11AAC C ，（2）在ABC ∆中，4AB AC ==Q ，60BAC ∠=︒，4BC ∴=，在Rt BOC ∆中，12CO CE ==QBO ∴= 又4AB =，12AO AD ==222BO AO AB +=Q ，BO AD ∴⊥， 又BO CE ⊥，AD CE O ⋂=，,AD CE ⊂平面11AAC C ，BO ∴⊥平面11AAC C ， 故建立如图空间直角坐标系O xyz -，则(2,2,0)A -，1(2,4,0)A ，1(2,4,0)C -，1B，11C B ∴=u u u u r ，1(4,6,0)AC =-uuu r ，11(4,0,0)C A =u u u u r ，9设平面11AB C 的一个法向量为111(,,)m x y z =u r ，则111m C B m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩uuu u v v uuu v v ，1111146022220x y x y z -+=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩， 令1=6x ，得(6,4,52)m =-u r ,设平面111A B C 一个法向量为222(,,)n x y z =r ，则1111n C B n C A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩uuu u v v uuu u v v ， 22224022220x x y z =⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令2=2y ，得21)n =-r ,， 所以317cos ,||||m n m n m n ⋅<>==u r r u r r u r r ，由图示可知二面角111A B C A --是锐角， 故二面角111A B C A --的余弦值为31717. 19.解：(1)∵121n n S S +-=，∴()1121n n S S ++=+，*n N ∈，因为111a S ==，所以可推出10n S +>． 故1121n n S S ++=+，即{}1n S +为等比数列． ∵112S +=，公比为2，∴12n n S +=，即21n n S =-，∵1121n n S --=-，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，11a =也满足此式，∴12n n a -=；(2) 因为12n n n n n b a -==，01112222n n n T -=++⋅⋅⋅+， 的10 ∴121122222n n n T =++⋅⋅⋅+，两式相减得:011111122222222n n n nn n T -+=++⋅⋅⋅+-=- 即1242n n n T -+=-，代入1250n n T n -⋅=+，得2260n n --=． 令()226x f x x =--(1x ≥)，()2ln 210x f x '=->在[)1,x ∈+∞成立，∴()226xf x x =--，()1,x ∈+∞为增函数， 而()()540f f ⋅<，所以不存正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立．20.解：（1）Q 某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为2332333333321111()()112()()22222C C C C ⨯==++, 某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为1323119()[1()]2232C -=∴某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为192523232+=. （2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500.123(1500)(1)P X C p p ==-Q ，123(900)1(1)==--P X C p p121233()900[1(1)]1500(1)E X C p p C p p ∴=---⨯⨯+29001800(1)p p =+-令2()(1),(0,1)g p p p p =-∈,则2()(1)2(1)(31)(1)g p p p p p p '=---=-- 当1(0,)3p ∈时，()0g p '>，()g p 在1(0,)3上单调递增； 当1()1,3p ∈时，()0g p '<，()g p 在上1(,1)3单调递减, ()g p ∴的最大值为14()327=g , ∴实施此方案，最高费用为441009000(9001800)10115027-+=⨯+⨯⨯（万元）， 11501200<Q ，故不会超过预算.11 21.解：（1所以c a ==，整理得2249b a =． 故椭圆的方程为2222149x y a a +=．由已知得椭圆过点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以22279144a a+=，解得29a =， 所以椭圆的E 方程为22194x y +=． （2）由题意得直线l 的方程为1y kx =+． 由221194y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()224918270k x kx ++-=， 其中2221849()427()432(31)0k k k ∆=+⨯⨯=+>+．设()()1122,,,A x y B x y ， AB 的中点()00,C x y 则1212221827,4949k x x x x k k +=-=-++， 所以12029249x x k x k+-==+， ∴0024149y kx k =+=+， ∴点C 的坐标为2294,4949k C k k -⎛⎫⎪++⎝⎭． 假设在x 轴存在点(),0M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形， 则点(),0M m 为线段AB垂直平分线与x 轴的交点．12①当0k ≠时，则过点C 且与l 垂直的直线方程221944949k y x k k k ⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭， 令0y =，则得2554499k x m k k k==-=-++． 若0k >，则554129k k ≤=+， ∴5012m -≤<． 若0k <，则555441299k k kk =-≥-+--， ∴5012m <≤． ②当0k =时，则有0m =． 综上可得551212m -≤≤． 所以存在点M 满足条件,且m 的取值范围是55,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 22.解：（1）因为3()ln 2a f x x x '=-+，所以3()(1)ln 2a g x a x x x =---+， (1)()()(0)x x a g x x x-+'=->， ①当0a -≤，即0a ≥，所以0x a +>，且方程()0g x '=在0+)∞（，上有一根，故()g x 在(0,1)为增函数，(1,)+∞上为减函数.②当0a <时，方程()0g x '=在0+)∞（，上有两个不同根或两等根， 当1a =-时，2(1)()0x f x x-'=≤，所以()f x 在0+)∞（，上减函数，13当1a <-时，()0f x '>得，1x a <<-，所以()f x 在-)a （1，上增函数，在(0,1)，+)a -∞（，上减函数，当-10a <<时，()0f x '>得，1a x -<<，所以()f x 在-1)a （，上增函数，在(0,-)a ，(1+)∞，上减函数，（2）证明：因为3()ln 2a f x x x '=-+，令3()ln 2a h x x x =-+，则 21()0a h x x x'=+>， 即()h x 在0+)∞（，是增函数， 下面证明()h x 在区间(,2)2aa 上有唯一零点0x ， 因为1()ln 222aa h =-，(2)ln 21h a a =+，因为1(,2a e ∈，所以1()ln 0222a h <-=，1(2)ln 2102h a e>+=， 由零点存在定理可知，()h x 在区间(,2)2aa 上有唯一零点0x ，在区间0(0,)x 上，()()0h x f x '=<，()f x 是减函数，在区间0(+)x ∞，上，()()0h x f x '=>，()f x 是增函数， 故当0x x =时，()f x 取得最小值00001()()ln 2f x x a x x =-+， 因为0003()ln =02a h x x x =-+，所以003ln =2a x x -， 所以0000000311()()()()(2)222a a f x x a x x a x x x =--+=--， 因为0(,2)2ax a ∈，所以()0f x >，14所以1(,2a e ∈，()0f x >.。