佛山一模文科数学
2025届广东省佛山市普通高中高三第一次调研测试数学试卷含解析
2025届广东省佛山市普通高中高三第一次调研测试数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．2．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x=-，则()}{21x f x +>=（ ） A ．{3x x <-或}0x > B ．{0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x >D ．{2x x <或}4x >3．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i4．直角坐标系 xOy 中，双曲线2222 1x y a b -=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率e =（ ） A ．43B ．54C ．65D ．765．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积222221()42a b c S ab ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2B ．22C ．6D ．236．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．356B ．328C ．314D ．147．运行如图程序，则输出的S 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2018D ．20178．设过抛物线()220y px p =>上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线()280y px p =>交于,A B 两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．3y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±10．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A ．()85424π++B ．()85824π++C ．()854216π++D ．()858216π++11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ）A ．2B ．32C ．3D ．412．双曲线﹣y 2=1的渐近线方程是（ ）A ．x±2y=0B ．2x±y=0C ．4x±y=0D ．x±4y=0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
佛山一中高考数学模拟试卷文科.doc
广东省佛山市第一中学201X 届高考模拟(文科数学)试题命题人：李向明 审题人：高三备课组 201X.5一．选择题(每小题5分，共60分)1.设集合},02|{2R x x x x A ∈≤-=，}21,|{2≤≤--==x x y y B ，则C R （A ∩B ）等于A ． RB ．}0,|{≠∈x R x xC ． {0}D ．φ 2.函数)13lg(14)(2++-+=x xx x f 的定义域为A ．),31(+∞-B ．)31,(--∞C ．)1,31(-D ．)31,31(-3.现要完成3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行卫生检查；②科技报告厅有座椅32排，每排40个座位，有一次报告会恰好坐满了观众，抽取32位进行座谈；③某中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了解教职工对校务公开方面的意见，抽取一个容量为20的样本进行调查A ．①简单随机抽样②系统抽样③分层抽样B ．①简单随机抽样②分层抽样③系统抽样C ．①系统抽样②简单随机抽样③分层抽样D ．①分层抽样②系统抽样③简单随机抽样 4.曲线x x y 23+-=在横坐标为1-的点处的切线为L ，则点（3,2）到L 的距离是A ．227 B ．229 C ．2211 D ．10109 5.在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是CD 和BC 的中点，若AF AE AC μλ+=，其中R ∈μλ,，则μλ+的值是A ．34B ．1C ． 32 D. 316.一个空间几何体的三视图如下，则它的体积是 A ．32+π B ．3344+π C ．3322+π D ．332+π7.设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若三角形F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A ．212- B ．22C ．22-D ．12- 8.三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是c b a ,,，则A c C a cos cos +的值是 A ． b B ．2cb + C ．B cos 2 D ． B sin 2 9.下列四个命题中真命题是P1：xxx )31()21(),,0(≥+∞∈∀ P2：x x x 3121log log ),1,0(≤∈∀P3：x x x21log )21(),,0(≤+∞∈∃ P4：x x x31log )21(),31,0(≥∈∃A ．P1，P3B ．P1，P4C ．P2，P3D ．P2，P4 10.当x>0时，下列函数中最小值为2的是 A ．111+++=x x y B ．322+-=x x y C ．11072+++=x x x y D ．xx y ln 1ln +=正视图侧视图俯视图22222二．填空题(每小题5分，共20分)(必做题11----13，选做题14----15考生只能从中选做一题)11.过原点且倾斜角为60度的直线被圆0422=-+y y x 所截得的弦长为 12.设复数z 满足，且i z i 6)33(=-，则=z13.设y x ,满足⎩⎨⎧≥≤-+-21)2()2(22y y x ，则x y的取值范围是14.极坐标方程为θρcos =与θρsin =的两个圆的圆心距为 15. 如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，BD=8，则圆O 的半径等于三．解答题16.(12分)掷两枚骰子，记事件A 为“向上的点数之和为n ”. （1）求所有n 值组成的集合；（2）n 为何值时事件A 的概率P(A)最大？最大值是多少？ （3）设计一个概率为0.5的事件（不用证明）17.(12分)如图，有三个并排放在一起的正方形，βα=∠=∠AFB AGB ,. （1）求βα+的度数；（2）求函数1cos sin 3sin 2-+=x x x y的最大值及取得最大值时候的x 值。
佛山市普通高中高三教学质量检测(一)文科数学试题答案
佛山市普通高中高三教学质量检测（一） 数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题 本大题共10小题，每小题5分，共50分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBBCACBDAD二、填空题 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． 11．< 12．12 13．(1,0)(1,)-+∞ 14．(2,2)()3k k Z ππ-∈ 15．92三、解答题 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．16．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）4cos ,5B =且(0,180)B ∈，∴23sin 1cos 5B B =-=． -------------------------------2分 sin sin(180)sin(135)C A B B =--=- ------------------------------- 3分242372sin135cos cos135sin ()252510B B =-=⋅--⋅=． ------------------------------6分 （Ⅱ）由正弦定理得sin sin BC AB A C =，即10722102AB=，解得14AB =． -----------------------------10分则ABC ∆的面积113sin 101442225S AB BC B ==⨯⨯⨯= ------------------------------12分17．（本题满分12分）解：（Ⅰ）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为0.30.065=．频率直方图如下：-------------------------------2分第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n ==． 由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==． 第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯=．-------------------------------5分（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采 用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人. -------------------------------8分设[40,45)岁中的4人为a 、b 、c 、d ，[45,50)岁中的2人为m 、n ，则选取2人作为领队的有(,)a b 、(,)a c 、(,)a d 、(,)a m 、(,)a n 、(,)b c 、(,)b d 、(,)b m 、(,)b n 、(,)c d 、(,)c m 、(,)c n 、(,)d m 、(,)d n 、(,)m n ，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(,)a m 、(,)a n 、(,)b m 、(,)b n 、(,)c m 、(,)c n 、(,)d m 、(,)d n ，共8种. -------------------------------10分所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为815P =. -------------------------------12分 18．解：（Ⅰ）∵312S =，即12312a a a ++=，∴2312a =，所以24a =，--------------------------------2分 又∵12a ，2a ，31a +成等比数列，∴22132(1)a a a =⋅+，即22222()(1)a a d a d =-⋅++， --------------------------------4分解得，3d =或4d =-（舍去），∴121a a d =-=，故32n a n =-； ---------------------------------------7分（Ⅱ）法1：321(32)333n n n n na nb n -===-⋅， ∴231111147(32)3333n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯， ①①13⨯得，2341111111147(35)(32)333333n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②①-②得，234121111113333(32)3333333n n n T n +=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯2111111(1)115111333(32)(32)133623313n n n n n n -+-+-=+⨯--⨯=-⨯--⨯-∴2511321565144323443n n n n n n T --+=-⨯-⨯=-⨯． ---------------------------------------14分 法2：1321123333n n n n n na nb n --===⋅-⨯， 设231111112343333n n A n -=+⨯+⨯+⨯++⨯， ①则234111111234333333n n A n =+⨯+⨯+⨯++⨯， ② ①-②得，2312111111333333n n n A n -=+++++-⨯1113313()1322313nn n n n -=-⨯=-+⨯-∴9931()4423n n A n =-+⨯， ∴11(1)993115651332()(1)14423344313n n n n n n n T A n ⨯-+=-⨯=-+⨯--=-⨯-．----------------------------14分 19．解：（Ⅰ）在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，11//DD CC ， ∵1//EF CC ，∴1//EF DD ， ---------------------------------------2分 又∵平面//ABCD 平面1111A B C D ， 平面ABCD 平面1EFD D ED =， 平面1111A B C D 平面11EFD D FD =，∴1//ED FD ，∴四边形1EFD D 为平行四边形，---------------------------------------4分 ∵侧棱1DD ⊥底面ABCD ，又DE ⊂平面ABCD 内，∴1DD DE ⊥，∴四边形1EFD D 为矩形； ---------------------------------------6分 （Ⅱ）证明：连结AE ，∵四棱柱1111ABCD A BC D -为直四棱柱， ∴侧棱1DD ⊥底面ABCD ，又AE ⊂平面ABCD 内，∴1DD AE ⊥， ---------------------------------------8分 在Rt ABE ∆中，2AB =，2BE =，则22AE = ---------------------------------------9分 在Rt CDE ∆中，1EC =，1CD =，则2DE =； ---------------------------------------10分 在直角梯形中ABCD ，22()10AD BC AB CD =+-=∴222AE DE AD +=，即AE ED ⊥，又∵1EDDD D =，∴AE ⊥平面1EFD D ； ---------------------------------------12分由（Ⅰ）可知，四边形1EFD D 为矩形，且2DE =11DD =， ∴矩形1EFD D 的面积为112EFD D S DE DD =⋅=，∴几何体1A EFD D -的体积为11114222333A EFD D EFD D V S AE -=⋅==．-----------------------------14分 20．解：（Ⅰ）由题意得，26a =，∴3a =， -----------------------1分又242c =，∴22c =2221b a c =-=，故椭圆的方程为2219x y +=； ---------------------------------------3分 （Ⅱ）设000(,)(0)P x y y ≠，(3,0)A -，(3,0)B ，则220019x y +=，即220019x y =-， 则0103y k x =+，0203y k x =-， ---------------------------------------4分即2202001222200011(9)1999999x x y k k x x x --⋅====----，∴12k k 为定值19-． ---------------------------------------8分（Ⅲ）由题意可知，四边形ABCD 是梯形，则1()(62)2S x x y =+⋅，且2219x y =-，------------------9分于是222232(3)(1)()9()(3)(1)3(03)33993x x S x x x x f x x x x x x +-===+-=--++<<++------------------10分 22()133x f x x '=--+，令()0f x '=，解之得11,x =或3x =-（舍去） ------------------11分当01x <<，()0f x '>，函数()f x 单调递增； ---------------------------------------12分 当13x <<，()0f x '<，函数()f x 单调递减； ---------------------------------------13分 所以()f x 在1x =时取得极大值，也是最大值329. ---------------------------------------14分 21．解：（Ⅰ）当2a =时，2222,2()2222,2x x x f x x x x x x ⎧--≥⎪=--=⎨-+-<⎪⎩， --------------1分① 当2x ≥时，22()22(1)3f x x x x =--=--，∴()f x 在(2,)+∞上单调递增； --------------2分 ② 当2x <时，22()22(1)1f x x x x =-+-=---，∴()f x 在(1,2)上单调递减，在(,1)-∞上单调递增； --------------3分 综上所述，()f x 的单调递增区间是(,1)-∞和(2,)+∞，单调递减区间是(1,2). --------------4分 （Ⅱ）（1）当0a =时，()||f x x x =，函数()y f x =的零点为00x =； -----5分（2）当0a >时，22,(),x ax a x af x x x a a x ax a x a⎧--≥⎪=--=⎨-+-<⎪⎩， --------------6分故当x a ≥时，22()()24a a f x x a =---，二次函数对称轴2a x a =<， ∴()f x 在(,)a +∞上单调递增，()0f a <； -----------7分当x a <时，22()()24a a f x x a =--+-，二次函数对称轴2a x a =<， ∴()f x 在(,)2aa 上单调递减，在(,)2a -∞上单调递增； ---------------------------------------8分∴()f x 的极大值为22()()2224a a a a f a a a =-+⨯-=-， 1 当()02af <，即04a <<时，函数()f x 与x 轴只有唯一交点，即唯一零点，由20x ax a --=解之得函数()y f x =的零点为0x =或0x =（舍去）； -----------------------10分2 当()02af =，即4a =时，函数()f x 与x 轴有两个交点，即两个零点，分别为12x =和22x ==+ -----------------------11分3 当()02af >，即4a >时，函数()f x 与x 轴有三个交点，即有三个零点，由20x ax a -+-=解得，x =∴函数()y f x =的零点为2a x =和02a x =. --------------------12分综上可得，当0a =时，函数的零点为0；当04a <<；当4a =时，有两个零点2和2+当4a >. --------------------14分。
广东省佛山市第一中学2024届高三第一次模拟考试数学试题
一、单选题1.中，，，是的中点，若，则（ ）A ．0B ．2C ．4D ．82.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．3.如图，一个直四棱柱型容器中盛有水，底面为梯形，，且侧棱长，当侧面ABCD水平放置时，液面与棱的交点恰为的中点，当底面水平放置时，液面高为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．84. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用[x ]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，已知函数，则函数的值域为（ ）A．B．C．D．5. 已知数列对任意满足，则（ ）A ．3032B ．3035C ．3038D ．30416. 已知向量，则x 的值为（ ）A．B．C．D．7.，则与位置关系是 ( )A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交8. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．9.已知直线与圆相切，交曲线于点，若是坐标原点，则以为圆心，以为半径的圆与圆的位置关系为（ ）A ．相交B ．内含C ．外离D ．外切10. 已知,,，则（ ）A．B．C．D．11. 已知是定义在上的奇函数，，若，则（ ）A ．2B．C ．2或D ．2或112. 已知角的终边经过点，则（ ）.A．B．C．D．广东省佛山市第一中学2024届高三第一次模拟考试数学试题二、多选题三、填空题13. 如图，在梯形ABCD 中，，，E 在线段BC 上，且BE =2EC ，现沿线段AE 将ABE 折超，折成二面角，在此过程中：（）A．B ．三棱锥B —AED 体积的最大值为6C ．若G ，F 是线段AE 上的两个点，GE =1，AF =，则在线段AB 上存在点H ，当AH =1时，HF //BG D．14. 下图是我国2011-2020年载货汽车产量及增长趋势统计图，针对这10年的数据，下列说法正确的是（）A ．与2019年相比较，2020年我国载货汽车产量同比增速不到15%B ．这10年中，载货汽车的同比增速有增有减C ．这10年我国载货汽车产量的极差超过150万辆D ．这10年我国载货汽车产量的中位数不超过340万辆15. 定义在R上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）A．B ．时，C．D．16.已知长方体中，点P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，BC ，，的中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．平面B．平面C ．平面D．平面17. 已知函数为奇函数，且对定义域内的任意x 都有．当时，．给出以下4个结论：①函数的图象关于点成中心对称；②函数是以2为周期的周期函数；③当时，；④函数在上单调递减．其中所有正确结论的序号为______．四、填空题五、解答题六、解答题七、解答题18.把函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数的图象关于点对称，则实数的最小值为___________.19. 已知是第二象限角，且，，则__________．20. 已知圆心在原点的圆与直线相切，则圆的半径为______；若圆沿着直线向上滚动一周得到圆，则圆的圆心坐标为______.21.二项式的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为__________．22. 求值.（1）；（2）.23. 已知的内角的对边分别为，且，(1)求的大小；(2)若，求的面积．24. 已知函数f （x）＝（1）在图中画出函数f （x）的大致图象；（2）写出函数f （x ）的最大值和单调递减区间．25. 已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．26.如图，四棱锥中，平面平面，底面为等腰梯形，，，，为正三角形.(1)求证：平面；(2)设的中点为，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值.八、解答题九、解答题27. 足球比赛淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2：0，则不需要再踢第5轮了）；③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出.(1)假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有的可能性将球扑出，若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前三次扑出点球的个数的分布列和期望：(2)现有甲､乙两队在半决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方战平，需进行“点球大战”来决定胜负，设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.（i ）若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球（不含常规赛和加时赛进球）并胜出的概率；（ii ）求“点球大战”在第6轮结束，且乙队以5：4（不含常规赛和加时赛得分）胜出的概率.28. 已知中，内角所对的边分别为，且满足.(1)若，求；(2)求的取值范围.。
2023年广东省佛山市高考数学一模试卷【答案版】
2023年广东省佛山市高考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈N |x 2﹣3x +4＜0}，B ＝{x ∈N |﹣1＜x ≤2}，则A ∪B ＝（ ） A ．∅B ．（﹣1，4）C ．{1，2}D ．{0，1，2}2．设复数z 满足（1+i ）2z ＝5﹣2i ，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知单位向量a →，b →满足a →⋅b →=0，若向量c →=a →+√3b →，则cos〈a →，c →〉=（ ） A ．√32B ．12C ．√34D ．144．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2a 4＝9，9S 4＝10S 2，则a 2+a 4的值为（ ） A ．30B ．10C ．9D ．65．已知双曲线C 的中心位于坐标原点，焦点在坐标轴上，且虚轴比实轴长．若直线4x +3y ﹣20＝0与C 的一条渐近线垂直，则C 的离心率为（ ） A ．54B ．43C ．53D ．746．已知事件A ，B ，C 的概率均不为0，则P （A ）＝P （B ）的充要条件是（ ） A ．P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ） B ．P （A ∪C ）＝P （B ∪C ） C ．P(AB)=P(AB)D ．P （AC ）＝P （BC ）7．已知球O 的直径SC ＝2，A ，B 是球O 的球面上两点，∠ASC =∠BSC =∠ASB =π3，则三棱锥S ﹣ABC 的体积为（ ） A ．√26B ．√23C ．√22D ．√28．已知函数f （x ）={log a x ，0＜x ＜12a −x ，x ≥12（a ＞0且a ≠1），若对任意x ＞0，f （x ）≥x 2，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0，e −1e ]B ．[116，e −1e ]C ．(0，e −2e ]D ．[116，e −2e ]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．中国共产党第二十次全国代表大会的报告中，一组组数据折射出新时代十年的非凡成就，数字的背后是无数的付出，更是开启新征程的希望．二十大首场新闻发布会指出近十年我国居民生活水平进一步提高，其中2017年全国居民恩格尔系数为29.39%，这是历史上中国恩格尔系数首次跌破30%．恩格尔系数是由德国统计学家恩斯特•恩格尔提出的，计算公式是“恩格尔系数=食物支出金额总支出金额×100%”．恩格尔系数是国际上通用的衡量居民生活水平高低的一项重要指标，一般随居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格尔系数达60%以上为贫困，50%～60%为温饱，40%～50%为小康，30%～40%为富裕，低于30%为最富裕．如图是近十年我国农村与城镇居民的恩格尔系数折线图，由图可知（ ）A ．城镇居民2015年开始进入“最富裕”水平B ．农村居民恩格尔系数的平均数低于32%C ．城镇居民恩格尔系数的第45百分位数高于29%D ．全国居民恩格尔系数等于农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数10．设单位圆O 与x 轴的左、右交点分别为A 、B ，直线l ：x cos θ﹣y sin θ+1＝0（其中0＜θ＜π）分别与直线x +1＝0、x ﹣1＝0交于C 、D 两点，则（ ） A ．θ=2π3时，l 的倾斜角为π6B ．∀θ∈（0，π），点A 、B 到l 的距离之和为定值C ．∃θ∈（0，π），使l 与圆O 无公共点D ．∀θ∈（0，π），恒有OC ⊥OD11．若正实数x ，y 满足xe x ﹣1＝y （1+lny ），则下列不等式中可能成立的是（ ）A ．1＜x ＜yB ．1＜y ＜xC ．x ＜y ＜1D ．y ＜x ＜112．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱DD 1上的动点（不含端点），则（ ）A．过点M有且仅有一条直线与AB，B1C1都垂直B．有且仅有一个点M到AB，B1C1的距离相等C．过点M有且仅有一条直线与AC1，BB1都相交D．有且仅有一个点M满足平面MAC1⊥平面MBB1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在（√x−1）6展开式中常数项是．（用数字作答）x14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3﹣3x+1，则f（3）＝．15．抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，M是C上的一点，点N在l上，若FM⊥FN，且|MF|＝10，则|NF|＝．16．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜π2）．T为f（x）的最小正周期，且满足f(13T)=f(12T)．若函数f（x）在区间（0，π）上恰有2个极值点，则ω的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑．在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应．坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米．坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构．底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高．（1）请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列{a n}的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；（2）佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米．根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m（m∈N*）项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为2a 1、3a 2、4a 3、……、（m +1）a m （（m +1）a m 表示高度为a m 的方体连续堆叠m +1层的总高度），请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由．18．（12分）在锐角三角形△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，CD →为CA →在CB →方向上的投影向量，且满足2csinB =√5|CD →|． （1）求cos C 的值；（2）若b =√3，a ＝3c cos B ，求△ABC 的周长．19．（12分）如图，△ACD 和△BCD 都是边长为2的等边三角形，平面ACD ⊥平面BCD ，EB ⊥平面BCD ． （1）证明：EB ∥平面ACD ；（2）若点E 到平面ABC 的距离为√5，求平面ECD 与平面BCD 夹角的正切值．20．（12分）近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱．在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个．已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2．（1）顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃．求甲购买一盒猕猴桃的概率；（2）顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率． 21．（12分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F （﹣1，0），左、右顶点及上顶点分别记为A 、B 、C ，且CF →⋅CB →=1． （1）求椭圆Γ的方程；（2）设过F 的直线PQ 交椭圆Γ于P 、Q 两点，若直线P A 、QA 与直线l ：x +4＝0分别交于M 、N 两点，l 与x 轴的交点为K ，则|MK |•|KN |是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．22．（12分）已知函数f(x)=lnx+k x，g （x ）＝2e 1﹣x+1，其中k 为实数． （1）求f （x ）的极值；（2）若h （x ）＝g （x ）﹣f （x ）有4个零点，求k 的取值范围．2023年广东省佛山市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈N |x 2﹣3x +4＜0}，B ＝{x ∈N |﹣1＜x ≤2}，则A ∪B ＝（ ） A ．∅B ．（﹣1，4）C ．{1，2}D ．{0，1，2}解：集合A ＝{x ∈N |x 2﹣3x +4＜0}＝∅，B ＝{x ∈N |﹣1＜x ≤2}＝{0，1，2}，则A ∪B ＝{0，1，2}． 故选：D ．2．设复数z 满足（1+i ）2z ＝5﹣2i ，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵（1+i ）2z ＝5﹣2i ，∴2i •z ＝5﹣2i ，∴z =5−2i2i =−1−52i ， ∴z 在复平面内对应的点位于第三象限． 故选：C ．3．已知单位向量a →，b →满足a →⋅b →=0，若向量c →=a →+√3b →，则cos〈a →，c →〉=（ ）A ．√32B ．12C ．√34D ．14解：∵a →，b →为单位向量，且a →⋅b →=0，∴a →⋅c →=a →⋅(a →+√3b →)=1，|a →|=1，|c →|=√(a →+√3b →)2=√a →2+3b →2=√4=2， ∴cos ＜a →，c →＞=a →⋅c →|a →||c →|=12． 故选：B ．4．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2a 4＝9，9S 4＝10S 2，则a 2+a 4的值为（ ） A ．30B ．10C ．9D ．6解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＞0，且q ≠1， ∵a 2a 4＝9，∴a 32=9， 又∵a n ＞0，∴a 3＝3，∴{a 1q 2=39⋅a 1(1−q 4)1−q =10⋅a 1(1−q 2)1−q ，解得{a 1=27q =13， ∴a 2+a 4=a 1q +a 1q 3=10． 故选：B ．5．已知双曲线C 的中心位于坐标原点，焦点在坐标轴上，且虚轴比实轴长．若直线4x +3y ﹣20＝0与C 的一条渐近线垂直，则C 的离心率为（ ） A ．54B ．43C ．53D ．74解：根据渐近线与直线4x +3y ﹣20＝0垂直可得渐近线方程为y =±34x ， 当双曲线的焦点在x 轴上时渐近线为y =±ba x ，即ba=34，因为双曲线的虚轴比实轴长，故不符合题意，舍去，当双曲线的焦点在y 轴上时渐近线为y =±ab x ，即ab=34，满足虚轴比实轴长，所以a b=√c 2−a 2=√e 2−1=34，解得e =53或e =−53（舍去），所以e =53．故选：C ．6．已知事件A ，B ，C 的概率均不为0，则P （A ）＝P （B ）的充要条件是（ ） A ．P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ） B ．P （A ∪C ）＝P （B ∪C ） C ．P(AB)=P(AB)D ．P （AC ）＝P （BC ）解：对于A ：因为P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （A ∩B ），由P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）， 只能得到P （A ∩B ）＝0，并不能得到P （A ）＝P （B ），故A 错误； 对于C ：因为P(AB)=P(A)−P(AB)，P(AB)=P(B)−P(AB)， 又P(AB)=P(AB)，所以P （A ）＝P （B ），故C 正确；对于B ：因为P （A ∪C ）＝P （A ）+P （C ）﹣P （A ∩C ），P （B ∪C ）＝P （B ）+P （C ）﹣P （B ∩C ）， 由P （A ∪C ）＝P （B ∪C ），只能得到P （A ）﹣P （A ∩C ）＝P （B ）﹣P （B ∩C ）， 由于不能确定A ，B ，C 是否相互独立，故无法确定P （A ）＝P （B ），故B 错误； 对于D ：由于不能确定A ，B ，C 是否相互独立，若A ，B ，C 相互独立，则P （AC ）＝P （A ）P （C ），P （BC ）＝P （B ）P （C ）， 则由P （AC ）＝P （BC ）可得P （A ）＝P （B ），故由P （AC ）＝P （BC ）无法确定P （A ）＝P （B ），故D 错误； 故选：C ．7．已知球O 的直径SC ＝2，A ，B 是球O 的球面上两点，∠ASC =∠BSC =∠ASB =π3，则三棱锥S ﹣ABC 的体积为（ ） A ．√26B ．√23C ．√22D ．√2解：因为SC ＝2为球O 的直径，A ，B 是球O 的球面上两点，所以∠SAC ＝∠SBC ＝90°，又SC ＝2，∠ASC =∠BSC =∠ASB =π3， 所以AC =BC =SC ⋅sinπ3=√3，SA =SB =SC ⋅cos π3=1， 所以△SAB 为等边三角形且AB ＝1， 设△SAB 的外接圆的半径为r ，则2r =1sin π3=2√33，所以r =√33，则球心O 到平面SAB 的距离d =√(SC 2)2−r 2=√63， 所以点C 到平面SAB 的距离ℎ=2d =2√63， 又S △SAB =12SA ⋅SBsinπ3=√34， 所以V S−ABC =V C−SAB =13S △SAB ⋅ℎ=13×√34×2√63=√26． 故选：A ．8．已知函数f （x ）={log a x ，0＜x ＜12a −x ，x ≥12（a ＞0且a ≠1），若对任意x ＞0，f （x ）≥x 2，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0，e −1e ]B ．[116，e −1e ]C ．(0，e −2e ]D ．[116，e −2e ]解：当0＜x ＜12时，f(x)=log a x ≥x 2，由图可知，0＜a ＜1，此时若对任意0＜x ＜12，log a x ≥x 2， 只需log a 12≥14，即log a 12≥log a a 14，∴a 14≥12，即a ≥116，∴116≤a ＜1；当x≥12，f(x)=(1a)x≥x2，此时若对任意x≥12，(1a)x≥x2，即ln(1a)x≥lnx2，∴xln(1a)≥2lnx，∴ln(1a)≥2lnxx，所以只需ln(1a)≥(2lnxx)max．令g(x)=2lnxx，则g′(x)=2−2lnxx2，当x∈（0，e），g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（e，+∞），g'（x）＜0，g（x）单调递减，∴g(x)max=g(e)=2e，∴ln(1a)≥2e，a≤e−2e，综上可得116≤a≤e−2e．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．中国共产党第二十次全国代表大会的报告中，一组组数据折射出新时代十年的非凡成就，数字的背后是无数的付出，更是开启新征程的希望．二十大首场新闻发布会指出近十年我国居民生活水平进一步提高，其中2017年全国居民恩格尔系数为29.39%，这是历史上中国恩格尔系数首次跌破30%．恩格尔系数是由德国统计学家恩斯特•恩格尔提出的，计算公式是“恩格尔系数=食物支出金额总支出金额×100%”．恩格尔系数是国际上通用的衡量居民生活水平高低的一项重要指标，一般随居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格尔系数达60%以上为贫困，50%～60%为温饱，40%～50%为小康，30%～40%为富裕，低于30%为最富裕．如图是近十年我国农村与城镇居民的恩格尔系数折线图，由图可知（）A．城镇居民2015年开始进入“最富裕”水平B．农村居民恩格尔系数的平均数低于32%C ．城镇居民恩格尔系数的第45百分位数高于29%D ．全国居民恩格尔系数等于农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数解：对于选项A ：从折线统计图可知2015年开始城镇居民的恩格尔系数均低于30%，即从2015年开始进入“最富裕”水平，故A 选项正确；对于选项B ：农村居民恩格尔系数只有2017、2018、2019这三年在30%～32%之间， 其余年份均大于32%，且2012、2013这两年大于（等于）34%， 故农村居民恩格尔系数的平均数高于32%，故B 选项错误；对于选项C ：城镇居民恩格尔系数从小到大排列（所对应的年份）前5位分别为2019、2018、2017、2021、2020，因为10×45%＝4.5，所以第45百分位数为第5位，即2020年的恩格尔系数，由图可知2020年的恩格尔系数高于29%，故C 选项正确；对于选项D ：由于无法确定农村居民与城镇居民的比例，显然农村居民占比要大于50%，故不能用农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数作为全国居民恩格尔系数，故D 选项错误； 故选：AC ．10．设单位圆O 与x 轴的左、右交点分别为A 、B ，直线l ：x cos θ﹣y sin θ+1＝0（其中0＜θ＜π）分别与直线x +1＝0、x ﹣1＝0交于C 、D 两点，则（ ） A ．θ=2π3时，l 的倾斜角为π6B ．∀θ∈（0，π），点A 、B 到l 的距离之和为定值C ．∃θ∈（0，π），使l 与圆O 无公共点D ．∀θ∈（0，π），恒有OC ⊥OD 解：依题意A （﹣1，0），B （1，0），对于A ：当θ=2π3时直线l ：xcos 2π3−ysin 2π3+1=0，即−12x −√32y +1=0， 所以直线l 的斜率k =−√33，所以直线l 的倾斜角为5π6，故A 错误；对于B ：点A 到直线l 的距离d 1=|−cosθ+1|√cos 2θ+sin θ=|−cosθ+1|，点B 到直线l 的距离d 2=|cosθ+1|√cos 2θ+sin θ=|cosθ+1|，所以点A 、B 到直线l 的距离之和为d ＝|﹣cos θ+1|+|cos θ+1|，因为θ∈（0，π），所以cos θ∈（﹣1，1），所以d ＝﹣cos θ+1+cos θ+1＝2， 即对∀θ∈（0，π），点A 、B 到直线l 的距离之和为定值2，故B 正确；对于C ：坐标原点O 到直线l 的距离d O =1√cos 2θ+sinθ=1，所以直线l 与单位圆相切，即直线l 与单位圆必有一个交点，故C 错误； 对于D ：对于直线l ：x cos θ﹣y sin θ+1＝0，令x ＝﹣1，解得y =−cosθ+1sinθ， 令x ＝1，解得y =cosθ+1sinθ， 即C(−1，−cosθ+1sinθ)，D(1，cosθ+1sinθ)， 所以OC →=(−1，−cosθ+1sinθ)，OD →=(1，cosθ+1sinθ)，所以OC →⋅OD →=−1+cosθ+1sinθ⋅−cosθ+1sinθ=−1+1−cos 2θsin 2θ=−1+sin 2θsin 2θ=0，所以OC →⊥OD →，即∀θ∈（0，π），恒有OC ⊥OD ，故D 正确； 故选：BD ．11．若正实数x ，y 满足xe x ﹣1＝y （1+lny ），则下列不等式中可能成立的是（ ）A ．1＜x ＜yB ．1＜y ＜xC ．x ＜y ＜1D ．y ＜x ＜1 解：因为xe x ﹣1＝y （1+lny ），所以xe x ﹣1＝（1+lny ）e （1+lny ）﹣1，因为x ＞0，所以xe x ﹣1＞0，则1+lny ＞0，令f （x ）＝xe x ﹣1，x ∈（0，+∞），则f '（x ）＝（x +1）e x ﹣1＞0，所以f （x ）＝xe x﹣1在（0，+∞）上单调递增，由f （x ）＝f （1+lny ），可得x ＝1+lny ，令g （x ）＝lnx +1﹣x ，则g ′(x)=1x −1=1−xx ，所以当0＜x ＜1时g '（x ）＞0，当x ＞1时g '（x ）＜0， 所以g （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g （x ）max ＝g （1）＝0，则g （x ）＝lnx +1﹣x ≤0，即lnx +1≤x 当且仅当x ＝1时取等号， 即1+lny ≤y 当且仅当y ＝1时取等号，又x＝1+lny，所以x≤y，当且仅当x＝y＝1时取等号，当y≠1时1＜x＜y或x＜y＜1，结合y＝lnx+1与y＝x的图象也可得1＜x＜y或x＜y＜1．故选：AC．12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是棱DD1上的动点（不含端点），则（）A．过点M有且仅有一条直线与AB，B1C1都垂直B．有且仅有一个点M到AB，B1C1的距离相等C．过点M有且仅有一条直线与AC1，BB1都相交D．有且仅有一个点M满足平面MAC1⊥平面MBB1解：对于A，设过点M与AB，B1C1都垂直的直线为l，∵AB∥A1B1，l⊥AB，∴l⊥A1B1，∵l⊥B1C1，A1B1∩B1C1＝B1，∴l⊥面A1B1C1D1，而过点M作平面A1B1C1D1的垂线有且只有一条直线，即为DD1，∴过点M有且只有一条直线与AB、B1C1都垂直，故A正确；对于B，连接MA，MC1，由题意知，AB⊥面ADD1A1，B1C1⊥面CDD1C1，∴AB⊥MA，B1C1⊥MC1，∴MA为点M到AB的距离，MC1为点M到B1C1的距离，在Rt△ADM中，MA=√AD2+MD2，在Rt△C1D1M中，MC1=√C1D12+MD12，∵AD＝D1C1，∴当MD＝MD1时，MA＝MC1，∴当M为DD1的中点时，点M到AB，B1C1的距离相等，∴有且仅有一个点M到AB，B1C1的距离相等，故B正确；对于C，如图，连接AC，BD，交于点O，连接A1C1，B1D1，交于点O1，连接OO1交AC1于点N，则N ∈面BDB 1D 1，∵M ∈面BDB 1D 1，且M ∈DD 1，M ∈OO 1，∴连接MN 必与BB 1交于点G ，即过点M 在且仅有一条直线与AC 1，BB 1都相交，故C 正确； 对于D ，设正方体的棱长为2，以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A （2，0，0），C 1（0，2，2），B （2，2，0），D （0，0，0），B 1（2，2，2）， 设M （0，0，m ），（0≤m ≤2），则MA →=（2，0，﹣m ），AC 1→=（﹣2，2，2），DB 1→=（2，2，2），DB →=（2，2，0）， 设面MAC 1的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅MA →=2x −mz =0n →⋅AC 1→=−2x +2y +2z =0， 当m ＝0时，取y ＝1，得n →=（0，1，1）， 当0＜m ≤2时，取x ＝1，得n →=（1，1−2m ，2m），设平面BMB 1的一个法向量为m →=（a ，b ，c ），则{m →⋅DB →=2a +2b =0m →⋅DB 1→=2a +2b +2c =0，取a ＝1，得m →=（1，﹣1，0）， 当m ＝0时，n →⋅m →=−1，∴此时平面MAC 1⊥平面MBB 1不成立， 当0＜m ≤2时，n →⋅m →=1+2m −1=2m=0，无解，此时平面MAC 1⊥平面MBB 1不成立， ∴不存在点M 满足平面MAC 1⊥平面MBB 1，故D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在（√x −1x ）6展开式中常数项是 15 ．（用数字作答）解：在（√x −1x ）6展开式中的通项公式为T r +1=C 6r•（﹣1）r •x 6−3r 2，令6−3r 2=0，求得r ＝2，所以展开式的常数项是C 62=15，故答案为：15．14．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＝2x 3﹣3x +1，则f （3）＝ 44 ． 解：函数f （x ）是定义在R 上的奇函数， 当x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＝2x 3﹣3x +1，则f （3）＝﹣f （﹣3）＝﹣[2×（﹣27）﹣3×（﹣3）+1]＝44， 故答案为：44．15．抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，M 是C 上的一点，点N 在l 上，若FM ⊥FN ，且|MF |＝10，则|NF |＝ 5 ．解：∵抛物线C 方程为y 2＝8x ，∴抛物线的焦点F （2，0），准线l ：x ＝﹣2， 设点M （x 0，y 0）（x 0，y 0＞0）， 则|MF |＝x 0+2＝10，∴x 0＝8， ∴y 02=64，∴y 0＝8，∴M （8，8）， ∴直线MF 的斜率k MF =8−08−2=43， ∵FM ⊥FN ，∴直线NF 的斜率k NF =−34， ∴直线NF 的方程y =−34(x −2)， 令x ＝﹣2，解得y ＝3，∴N （﹣2，3）， 故|NF|=√(−2−2)2+(3−0)2=5． 故答案为：5．16．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（其中ω＞0，|φ|＜π2）．T 为f （x ）的最小正周期，且满足f(13T)=f(12T)．若函数f （x ）在区间（0，π）上恰有2个极值点，则ω的取值范围是 (116，176] ． 解：由题意可得：f （x ）的最小正周期T =2πω，∵f(13T)=f(12T)，且12T −13T =16T ＜12T ，则x =12T+13T 2=512T 为f （x ）的一条对称轴， ∴ω×512T +φ=56π+φ=kπ+π2(k ∈Z)，解得φ=kπ−π3(k ∈Z)， 又∵φ∈(−π2，π2)，则k =0，φ=−π3，故f(x)=sin(ωx −π3)，∵x ∈（0，π），则ωx −π3∈(−π3，ωπ−π3)，若函数f （x ）在区间（0，π）上恰有2个极值点，则32π＜ωπ−π3≤52π，解得116＜ω≤176，故ω的取值范围是(116，176]． 故答案为：(116，176]．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑．在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应．坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米．坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构．底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高．（1）请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列{a n }的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；（2）佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米．根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m （m ∈N *）项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为2a 1、3a 2、4a 3、……、（m +1）a m （（m +1）a m 表示高度为a m 的方体连续堆叠m +1层的总高度），请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由．解：（1）由题意可知：a 1＝33.6，注意到33.6﹣24＝9.6，24﹣19.2＝4.8， 取等差数列的公差d ＝﹣2.4，则a n ＝33.6﹣2.4（n ﹣1）＝36﹣2.4n ， 令a n ＝36﹣2.4n ＝24，解得n ＝5，即24为第5项；令a n ＝36﹣2.4n ＝19.2，解得n ＝7，即19.2为第7项； 故a n ＝36﹣2.4n 符合题意； （2）可以，理由如下：由（1）可知：m ≤7，a 1＝33.6，a 2＝31.2，a 3＝28.8，a 4＝26.4，a 5＝24，a 6＝21.6，a 7＝19.2， 设数列{（n +1）a n }的前n 项和为S n ， ∵S 7＝2a 1+3a 2+4a 3+...+8a 7＝856.8＞310， 故新堆叠坊塔的高度可以超过310米．18．（12分）在锐角三角形△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，CD →为CA →在CB →方向上的投影向量，且满足2csinB =√5|CD →|． （1）求cos C 的值；（2）若b =√3，a ＝3c cos B ，求△ABC 的周长． 解：（1）∵CD →为CA →在CB →方向上的投影向量， ∴|CD →|＝|CA →|cos ∠C ＝b •cos C ， 又∵2csinB =√5|CD →|， ∴2c sin B =√5b •cos C ， ∴2sin C sin B =√5sin B cos C ， 又∵B ∈（0，π），∴sin B ≠0， ∴2sin C =√5cos C ，∵C ∈（0，π），∴sin C ＞0，∴cos C ＞0，sin C =√52cosC ， 又∵sin 2C +cos 2C ＝1， ∴(√52cosC)2+cos 2C =1，解得cos C =23；（2）∵a ＝3c cos B ，b =√3，∴a ＝3c ⋅a 2+c 2−b22ac ，∴3（a 2+c 2﹣3）＝2a 2，∴c 2=9−a 23，∵cos C =23，∴a 2+b 2−c 22ab =23，∴a 2+3﹣c 2=4√33a ，∴a2+3−9−a23=4√33a，解得a=√3，∴c=√2，∴△ABC的周长为a+b+c＝2√3+√2．19．（12分）如图，△ACD和△BCD都是边长为2的等边三角形，平面ACD⊥平面BCD，EB⊥平面BCD．（1）证明：EB∥平面ACD；（2）若点E到平面ABC的距离为√5，求平面ECD与平面BCD夹角的正切值．解：（1）证明：如图，取CD的中点，连接AO，则AO⊥CD，又因为平面ACD⊥平面BCD，且平面ACD∩平面BCD＝CD，AO⊂平面ACD，则AO⊥平面BCD，又EB⊥平面BCD，所以EB∥AO，又EB⊄平面ACD，AO⊂平面ACD，所以EB∥平面ACD．（2）如图，连接EO，BO，取BC的中点F，连接DF，则DF⊥BC，因为|AB|=√|AO|2+|BO|2=√6，则等腰△BAC 的面积为S △BAC =12×√6×√102=√152， 所以三棱锥E ﹣ABC 的体积为V E−ABC =13×√152×√5=5√36， 因为EB ⊥平面BCD ，DF ⊂平面BCD ，则DF ⊥EB ，又因为DF ⊥BC ，EB ∩BC ＝B ，EB ⊂平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，则DF ⊥平面EBC ， 因为EB ∥AO ，则点A 到平面EBC 的距离等于点O 到平面EBC 的距离等于12|DF|=√32， 因为S △EBC =12×2×|EB|=|EB|，则V A−EBC =13×|EB|×√32=√36|EB|， 又V E ﹣ABC ＝V A ﹣EBC ，所以|EB |＝5，因为EB ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，则EB ⊥BC ，EB ⊥BD ， 所以|EC |＝|ED |，所以EO ⊥CD ，所以平面ECD 与平面BCD 夹角的平面角为∠EOB ， 则tan ∠EOB =|EB||OB|=53=5√33， 所以平面ECD 与平面BCD 夹角的正切值为5√33． 20．（12分）近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱．在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个．已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2．（1）顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃．求甲购买一盒猕猴桃的概率；（2）顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率．解：（1）由题意可得：甲不购买一盒猕猴桃情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个时抽到这个烂果，甲购买一盒猕猴桃的概率P =1−0.2×C 193C 204=0.96．（2）用“√”表示购买，“╳”表示不购买，乙第5周购买有如下可能：故乙第5周网购一盒猕猴桃的概率P ＝（0.8）4+0.2×0.8×0.8+0.8×0.2×0.8+0.2×0.2+0.8×0.8×0.2＝0.8336．21．（12分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F （﹣1，0），左、右顶点及上顶点分别记为A 、B 、C ，且CF →⋅CB →=1． （1）求椭圆Γ的方程；（2）设过F 的直线PQ 交椭圆Γ于P 、Q 两点，若直线P A 、QA 与直线l ：x +4＝0分别交于M 、N 两点，l 与x 轴的交点为K ，则|MK |•|KN |是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．解：（1）由题意可得A （﹣a ，0），B （a ，0），C （0，b ），F （﹣1，0）， 所以CF →=（﹣1，﹣b ），CB →=（a ，﹣b ）， 所以CF →•CB →=−a +b 2， 由题意可得﹣a +b 2＝1，① 又a 2﹣b 2＝c 2＝1，② 由①②可得a ＝2，b 2＝3， 所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；（2）由（1）可得A （﹣2，0），当直线PQ 的斜率不为0时，设直线PQ 的方程为：x ＝my ﹣1，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 联立{x =my −13x 2+4y 2=12，整理可得：（4+3m 2）y 2﹣6my ﹣9＝0， 可得y 1+y 2=6m 4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2， 由题意K （﹣4，0）， 设直线P A 的方程为：y =y 1x 1+2（x +2），令x ＝﹣4，可得y =−2y 1x 1+2，即M （﹣4，−2y 1x 1+2）， 同理可得N （﹣4，−2y 2x 2+2），所以|MK |•|NK |＝|−2y 1x 1+2 |•|−2y 2x 2+2 |=4|y 1y 2||(my 1+1)(my 2+1)|=4|y 1y 2||m 2y 1y 2+m(y 1+y 2)+1|=4⋅|−94+3m2||−9m 24+3m2+6m 24+3m2+1|=364=9为定值； 即|MK |•|KN |为定值9．当直线PQ 的斜率为0时，则由题意可得直线PQ 为x 轴，则P ，Q 中有一个点与A 重合，所以直线PQ 的斜率不为0，综上所述：|MK |•|KN |为定值9． 22．（12分）已知函数f(x)=lnx+k x，g （x ）＝2e 1﹣x +1，其中k 为实数． （1）求f （x ）的极值；（2）若h （x ）＝g （x ）﹣f （x ）有4个零点，求k 的取值范围． 解：（1）∵f(x)=lnx+kx，x ∈（0，+∞）， ∴f ′(x)=−lnx+1−k x 2，令f '（x ）＞0，解得0＜x ＜e 1﹣k ，令f '（x ）＜0，解得x ＞e 1﹣k， ∴f （x ）在（0，e 1﹣k ）上单调递增，在（e 1﹣k ，+∞）上单调递减， ∴f （x ）在x ＝e 1﹣k处取得极大值，即f(x)极大值=f(e 1−k )=e k−1，无极小值；（2）令h （x ）＝0， ∴lnx+k x−(2e 1−x +1)=0，∴2xe 1﹣x +x ﹣lnx ﹣k ＝0， 令F （x ）＝2xe 1﹣x +x ﹣lnx ﹣k ，则F ′(x)=(1−x)(2e1−x−1x )=(1−x)(2x−e x−1)xe x−1，设p （x ）＝2x ﹣e x ﹣1，则p '（x ）＝2﹣e x ﹣1，由p ′（x ）＞0，得0＜x ＜ln 2+1；由p ′（x ）＜0，得x ＞ln 2+1， ∴p （x ）在（0，ln 2+1）上单调递增，在（ln 2+1，+∞）上单调递减， 且p （1）＝1，p （3）＝6﹣e 2＜0，p(15)=25−e −45＜0， 即p(15)p(1)＜0，p （1）p （3）＜0，∴存在x 1∈(15，1)，x 2∈（1，3）使得p （x 1）＝0，p （x 2）＝0， 即2x 1=e x 1−1，2x 2=e x 2−1①，故F （x ）在（0，x 1）上单调递减，在（x 1，1）上单调递增，在（1，x 2）上单调递减，在（x 2，+∞）上单调递增，故F （x ）的极大值为F （1）＝3﹣k ，极小值为F （x 1）和F （x 2） 对①式两边取对数可得lnx 1＝x 1﹣1﹣ln 2，lnx 2＝x 2﹣1﹣ln 2②， 将①②代入F （x 1），可得：F(x 1)=2x 1e 1−x 1−lnx 1+x 1−k =e x 1−1e 1−x 1−(x 1−1−ln2)+x 1−k =2+ln2−k ，同理可得F（x2）＝2+ln2﹣k，要使F（x）有四个零点，则{F(x1)=F(x2)=2+ln2−k＜0F(1)=3−k＞0，解得2+ln2＜k＜3，又F(e−3)=2e−3e1−e−3+e−3−lne−3−k＞3−k＞0，F（5）＝10e﹣4﹣ln5+5﹣k＞5﹣ln5﹣k＞2﹣ln5＞0，∴当2+ln2＜k＜3时，F（x）有且仅有4个零点，即h（x）有4个零点，∴实数k的取值范围为（2+ln2，3）．。
广东省佛山市高考数学一模试卷(文科)
2021年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x﹣x2=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．（0，1） D．{0，1}2．（5分）设复数z 1=2+i，z2=1+ai，若，则实数a=（）A．﹣2 B．C．D．23．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．94．（5分）袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p：∀x＞1，log2x+4log x2＞4，则¬p为（）A．¬p：∀x≤1，log2x+4log x2≤4 B．¬p：∃x≤1，log2x+4log x2≤4C．¬p：∃x＞1，log2x+4log x2=4 D．¬p：∃x＞1，log2x+4log x2≤46．（5分）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原先的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称7．（5分）当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．20 B．42 C．60 D．1808．（5分）已知tanθ=2，则=（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=，则下列函数为奇函数的是（）A．f（sinx）B．f（cosx）C．xf（sinx）D．x2f（cosx）10．（5分）如图，在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则tan∠APA1的最大值是（）A．B．1 C．D．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，以右顶点A为圆心的圆与直线l：x﹣y+c=0相切于点N．设l与C 的交点为P、Q，若点N恰为线段PQ的中点，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．212．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2+2x，若x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=f（x）﹣λx的两个极值点，现给出如下结论：①若﹣1＜λ＜0，则f（x1）＜f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＜f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设=（1，2），=（﹣1，1），=+λ，若⊥，则实数λ的值等于．14．（5分）设曲线y=xlnx在点（1，0）处的切线与曲线在点P处的切线垂直，则点P的横坐标为．15．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积S=．16．（5分）平面四边形ABCD中，，沿直线AC 将△ACD翻折成△ACD'，当三棱锥D'﹣ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}满足．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就入职廊架公司的意愿做了统计，得到如下数据分布：人员结构选择意愿40岁以上（含40岁）男性40岁以上（含40岁）女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司11012014080选择乙公司150********（1）请分布运算40岁以上（含40岁）与40岁以下全体中选择甲公司的概率（保留两位小数），依照运算结果，你能初步得出什么结论？（2）若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，运算得到的K2的观测值为k1=5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：P（K2≥k）0.0500.0250.0100.005 k 3.841 5.024 6.6357.879 19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=4，PC=PD，∠PAB=∠PAD=60°．（1）证明：顶点P在底面ABCD的射影为边CD的中点；（2）点Q在PB上，且DQ⊥PB，求三棱锥Q﹣BCD的体积．20．（12分）已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4．（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）过点A（﹣2，0）的直线l与C2交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M'，证明：直线M'N恒过一定点．21．（12分）已知函数，（其中a∈R）（1）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＜0，求证：函数f（x）有唯独的零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），曲线C的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设C与l交于M，N两点（异于原点），求|OM|+|ON|的最大值．23．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范畴；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a的取值范畴．2020年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x﹣x2=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．（0，1） D．{0，1}【解答】解：B={x|x﹣x2=0}={0，1}，则A∩B={0，1}，故选：D2．（5分）设复数z 1=2+i，z2=1+ai，若，则实数a=（）A．﹣2 B．C．D．2【解答】解：∵z1=2+i，z2=1+ai，∴，若，则1﹣2a=0，即a=．故选：C．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．9【解答】解：画出变量x，y满足约束条件可行域如图阴影区域：目标函数z=3x﹣2y可看做y=x﹣z，即斜率为，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，z最小由得A（﹣1，﹣1）∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=﹣3×0+2×1=﹣1．故选：A．4．（5分）袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，差不多事件有10个，分别为：（红1，红2），（红1，红3），（红1，篮1），（红1，篮2），（红2，红3），（红2，篮1），（红2，篮2），（红3，篮1），（红3，篮2），（篮1，篮2），这两个球颜色不同且标号之和不小于4包含的差不多事件有3个，分别为：（红2，篮2），（红3，篮1），（红3，篮2），故这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为p=．故选：A．5．（5分）已知命题p：∀x＞1，log2x+4log x2＞4，则¬p为（）A．¬p：∀x≤1，log2x+4log x2≤4 B．¬p：∃x≤1，log2x+4log x2≤4C．¬p：∃x＞1，log2x+4log x2=4 D．¬p：∃x＞1，log2x+4log x2≤4【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即：¬p：∃x＞1，log2x+4log x2≤4，故选：D．6．（5分）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原先的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称【解答】解：把曲线上所有点向右平移个单位长度，可得y=2sin（x﹣﹣）=2sin（x﹣）的图象；再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原先的，得到曲线C2：y=2sin（2x﹣）的图象，关于曲线C2：y=2sin（2x﹣）：令x=，y=1，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故A错误；令x=，y=2，为最值，故它的图象关于直线对称，故B正确；令x=，y=﹣1，故它的图象不关于点对称，故C错误；令x=π，y=﹣，故它的图象不关于点（π，0）对称，故D错误，故选：B．7．（5分）当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．20 B．42 C．60 D．180【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构运算并输出变量S=5×4×3的值，S=5×4×3=60．故选：C．8．（5分）已知tanθ=2，则=（）A．B．C．D．【解答】解：tanθ=2，则======．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）=，则下列函数为奇函数的是（）A．f（sinx）B．f（cosx）C．xf（sinx）D．x2f（cosx）【解答】解：依照题意，关于函数f（x）=，当x＞0时，f（x）=x2+2x，则有﹣x＜0，f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，则函数f（x）为偶函数，分析选项：关于A，设g（x）=f（sinx），有g（﹣x）=f[sin（﹣x）]=f（﹣sinx）=f（sinx）=g（x），为偶函数，不符合题意；关于B，设g（x）=f（cosx），有g（﹣x）=f[cos（﹣x）]=f（cosx）=g（x），为偶函数，不符合题意；关于C，设g（x）=xf（sinx），有g（﹣x）=（﹣x）f[sin（﹣x）]=﹣xf（﹣sinx）=﹣xf（sinx）=﹣g（x），为奇函数，符合题意；关于D，设g（x）=x2f（sinx），有g（﹣x）=（﹣x）2f[sin（﹣x）]=x2f（﹣sinx）=x2f（sinx）=g（x），为偶函数，不符合题意；故选：C．10．（5分）如图，在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则tan∠APA1的最大值是（）A．B．1 C．D．【解答】解：连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，设正方形ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，∵在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，∴AO PM，∴A 1P=C1M=，∴tan∠APA1===2．∴tan∠APA1的最大值是2．故选：D．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，以右顶点A为圆心的圆与直线l：x﹣y+c=0相切于点N．设l与C 的交点为P、Q，若点N恰为线段PQ的中点，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．2【解答】解：如图，∵以右顶点A为圆心的圆与直线l：x﹣y+c=0相切于点N，∴，∵直线l：x﹣y+c=0的倾斜角为300，，∠NAF1=600，∴由，得（y2﹣2．y N=整理得：c3﹣3c2a+4a3=0⇒e3﹣3e2+4=0，（e3+1）﹣3（e2﹣1）=0⇒（e+1）（e2﹣4e+4）=0．∴e=2，故选：C12．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2+2x，若x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=f（x）﹣λx的两个极值点，现给出如下结论：①若﹣1＜λ＜0，则f（x1）＜f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＜f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣λx，∴g′（x）=f′（x）﹣λ，令g′（x）=0，∴f′（x）﹣λ=0，即f′（x）=λ有两解x1，x2，（x1＜x2）∵f（x）=x3﹣3x2+2x，∴f′（x）=3x2﹣6x+2，分别画出y=f′（x）与y=λ的图象如图所示：①当﹣1＜λ＜0时，则f（x1）＞f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＞f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设=（1，2），=（﹣1，1），=+λ，若⊥，则实数λ的值等于﹣5．【解答】解：=+λ=（1，2）+λ（﹣1，1）=（1﹣λ，2+λ），∵⊥，∴=1﹣λ+2（2+λ）=0，则实数λ=﹣5故答案为：﹣5．14．（5分）设曲线y=xlnx在点（1，0）处的切线与曲线在点P处的切线垂直，则点P的横坐标为±2．【解答】解：由y=xlnx，得y′=1+lnx，∴y′|x=1=1，由y=，得y′=﹣，设P（x0，y0），则y′=|=﹣，由题意可得：﹣=﹣1，∴x0=±2．则P点的横坐标为±2．故答案为：±2．15．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积S=．【解答】解：△ABC中，∵cosA=，可得：sinA==，∴由正弦定理可得：b===7，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：49=25+c2﹣5c，解得：c=8或﹣3（舍去），∴S=acsinB==．△ABC故答案为：．16．（5分）平面四边形ABCD中，，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，当三棱锥D'﹣ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积是24π．【解答】解：在三角形ABC中，由余弦定理可得cosB==﹣，则sinB==，=2，则AC边上的高为h=1，平面四边形ABCD中，，四边形是筝形，AC⊥BD，当三棱锥D'﹣ABC的体积取得最大值时，△ACD翻折成△ACD'两个三角形所在平面垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，如图：则A（0，0，0），B（0，1，1），C（0，4，0），D（1，1，0），设外接球的球心为（x，y，z），则|OA|=|OB|=|OC|=|OD|，可得：，解得x=﹣1；y=2，z=﹣1，外接球的半径为：r=|OA|==，外接球的表面积为：4πr2=24π；故答案为：24π．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}满足．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n．+b n=n，则a2+b1=1，得a2=4，a3+b2=2，得a3=8，【解答】解：（1）因为a n+1因为数列{a n}是等比数列，因此，因此．（2）由（1）可得，因此=．18．（12分）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就入职廊架公司的意愿做了统计，得到如下数据分布：人员结构选择意愿40岁以上（含40岁）男性40岁以上（含40岁）女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司11012014080选择乙公司150********（1）请分布运算40岁以上（含40岁）与40岁以下全体中选择甲公司的概率（保留两位小数），依照运算结果，你能初步得出什么结论？（2）若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，运算得到的K2的观测值为k1=5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：P（K2≥k）0.0500.0250.0100.005 k 3.841 5.024 6.6357.879【解答】解：（1）设40岁以上（含40岁）与40岁以下群体中选择甲公司的概率分别为P1，P2，由数据知P1==≈0.49，P2==≈0.42，因为P1＞P2，因此年龄40岁以上（含40岁）的群体选择甲公式的可能性要大；（2）因为k1=0.5513＞5.024，依照表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表：选择甲公司选择乙公司合计男250350600女200200400合计4505501000运算K2==≈6.734，且K2=6.734＞6.635，依照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.01＜0.025，因此与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=4，PC=PD，∠PAB=∠PAD=60°．（1）证明：顶点P在底面ABCD的射影为边CD的中点；（2）点Q在PB上，且DQ⊥PB，求三棱锥Q﹣BCD的体积．【解答】（1）证明：取CD的中点为O，连接OP，OB，则OD=BA=2，因为AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2，因此四边形ABOD是正方形，OB⊥CD，因为PC=PD，O为CD中点，因此PO⊥CD，由OP∩OB=O，因此CD⊥平面POB，PB⊂平面POB，因此CD⊥PB，因为AB∥CD，因此AB⊥PB，则在Rt△ABP中，∠PAB=60°，AB=2，因此，在Rt△DOP中，，因此OB2+OP2=4+8=12=PB2，即OP⊥OB，又CD∩OB=O因此PO⊥底面ABCD，即顶点P在底面ABCD的射影为边CD的中点．（2）解：由题设与（1）可得，因为DQ⊥PB，因此，解得，因此，又，设三棱锥Q﹣BCD的高为h，则，又，因此三棱锥Q﹣BCD的体积．20．（12分）已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4．（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）过点A（﹣2，0）的直线l与C2交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M'，证明：直线M'N恒过一定点．【解答】解：（1）设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得，则，代入x=c，得y2=4ax，即，因此，则有，因此椭圆C1的方程为，抛物线C2的方程为y2=8x．（2）依题意，可知直线l的斜率不为0，可设l：x=my﹣2，联立，得y2﹣8my+16=0，设M（x1，y1），N（x1，y1），则M'（x1，﹣y1），△＞0，得m＜﹣1或m＞1，，因此直线M'N的斜率，可得直线M'N的方程为，即=，因此当m＜﹣1或m＞1时，直线M'N恒过定点（2，0）．21．（12分）已知函数，（其中a∈R）（1）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＜0，求证：函数f（x）有唯独的零点．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，令f'（x）=0，即，①当x1=x2，即时，f'（x）≥0，f（x）是（0，+∞）上的增函数；②当x1＜x2，即时，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；③当x2＜x1，即时，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；综上所述，当时，f（x）在单调递增，在单调递减；当时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当时，f（x）在单调递增，在在单调递减．（2）若a＜0，令f'（x）=0，即（2x﹣a）（1+lnx）=0，得，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故当时，f（x）取得极小值，以下证明：在区间上，f（x）＜0，令，则，，，因为a＜0，t＞1，不等明显成立，故在区间上，f（x）＜0，又，即，故当a＜0时，函数f（x）有唯独的零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），曲线C的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设C与l交于M，N两点（异于原点），求|OM|+|ON|的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为为参数），∴消去参数β，得曲线C的一般方程为x2+（y﹣2）2=4，化简得x2+y2=4y，则ρ2=4ρsinθ，因此曲线C的极坐标方程为ρ2=4ρsinθ．（2）∵直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），∴由直线l的参数方程可知，直线l必过点（0，2），也确实是圆C的圆心，则，不妨设，其中，则，因此当，|OM|+|ON|取得最大值为．23．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范畴；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a的取值范畴．【解答】解：（1）f（1）+f（﹣1）=|1﹣a|﹣|1+a|＞1，若a≤﹣1，则1﹣a+1+a＞1，得2＞1，即a≤﹣1时恒成立，若﹣1＜a＜1，则1﹣a﹣（1+a）＞1，得，即，若a≥1，则﹣（1﹣a）﹣（1+a）＞1，得﹣2＞1，即不等式无解，综上所述，a的取值范畴是．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当x∈（﹣∞，a]时，，因为，因此当时，，即，解得﹣1≤a≤5，结合a＞0，因此a的取值范畴是（0，5]．。
佛山一模文科数学试卷分析
佛山一模文科数学试卷分析一、总体情况1、单科有效分情况2、贡献率情况本次考试上本科线的人数与摸底考试的上本科线的人数都是26人，说明前段培养目标生的效果不理想，上三A线的人数从摸底考试的19人增至33人，说明4个月来的教学促进了部分后进生的提高。
二、回顾前段的教学措施1、备课时，研读教材，将联系紧密的章节整合，从教材或《备考指南》中挑选题目作为课堂的例、习题，有针对性地上课，布置与本节课内容匹配的习题，使学生通过作业把当天复习过的内容加以巩固。
2、将相同类型的题目的思考方向、解题过程整理归纳成操作性强的步骤，让学生熟练相同类型题的解法套路。
3、引导学生在堂上或课余时间反复阅读、理解、记忆《备考指南》中的内容提要。
4、坚持周四的晚测，这有利于促进学生的解选择题、填空题的能力，同时起到了滚动复习各章知识、方法的作用。
5、将2007-2013年的广东高考试题按6种类型筛选改编，引导学生试解前1-2问，如求数列的指定项、通项；求轨迹方程；求导数，求切线方程。
帮助学生树立在后三题得分信心，削弱对后三道大题的恐惧感。
三、根据试卷反映出来的情况，后段实施如下措施。
1、备课时根据教学目标尽量多设置问题串，堂上多提问，尤其是目标生；估计学生可能出现的疑点、易错易混点，引导他们多思考、多比较，从中发现并归纳整理知识方法。
2、每节课设置1-2道紧扣本节核心内容的中档题，2道填空题，3道选择题，保证学生在堂上有足够的练习量，侧重引导学生学会自我查漏，整理知识，归纳方法。
3、每堂课板书一道规范的解题过程，板演2次详细的计算过程。
要求学生草稿清洁，计算不跳步，弄清每一步推算的理由。
4、每节课后布置1道中档题，全收全改，第二天教师讲评、学生订正；试卷讲评后，让学生再次订正并上交老师重批；按失分情况编拟同类题让学生反馈纠正巩固。
5、每周找2位目标生谈话或面批作业，了解他们的遇到的问题，及时帮助他们解决。
6、加强函数部分复习，尤其二次函数、分段函数、指数函数、对数函数：从定义入手，分析解析式结构特征、弄清定义域、值域，从图像分析出单调性、奇偶性、最值，求导考察函数的变化率。
广东省佛山市第一中学2024届高三第一次模拟考试数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 设全集，，，则A．B．C．D．2. 在一次语文考试的阅卷过程中，两位老师对一篇作文打出的分数都是两位的正整数，且十位数字都是，则两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于的概率为（ ）A．B．C．D．3. 随机变量服从正态分布，，，则的最小值为A．B．C．D．4. 已知向量，，且，则实数等于（ ）A ．2B ．1C ．－1D ．－25. 已知函数（且）在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．6. 下列命题错误的是A ．命题“若，则x ，y 中至少有一个为零”的否定是：“若，则x ，y 都不为零”B．对于命题，使得，则，均有C ．命题“若，则方程有实根”的逆否命题为“若方程无实根，则”D ．“”是“”的充分不必要条件7. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（）A．B．C．D．8. 在直三棱柱中，，，M 为的中点，，则该直三棱柱的体积为（ ）A．B ．4C．D．9. 已知函数， 且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ）A ．的最小正周期是B．若，则C ．若恒成立，则满足条件的有且仅有1个D ．若，则的取值范围是10. 受益于年轻人的线上消费倾向，在线外卖行业市场规模不断快速增长.如图为2011-2021年中国在线外卖行业市场规模及年增长率统计广东省佛山市第一中学2024届高三第一次模拟考试数学试题(1)广东省佛山市第一中学2024届高三第一次模拟考试数学试题(1)三、填空题四、解答题图，则下列结论正确的是（ ）2011-2021年中国在线外卖行业市场规模及年增长率A ．2012-2021年中国在线外卖行业市场规模年增长率都不低于15%B ．2012-2021年中国在线外卖行业市场规模年增长率的极差为56.3%C ．2012-2021年中国在线外卖行业市场规模年增加量最大的是2014年D ．2011-2021年中国在线外卖行业市场规模年平均增长率低于40%11. 若函数在区间上单调，则的取值可以是（ ）A．B．C．D．12. 已知平面向量，且，满足，若﹐则可能的取值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．1613.函数的最小正周期为________，最大值为________.14. 在锐角△ABC 中，，D 点在线段BC 上，且BD =2DC ，，则△ABC 的面积为___________.15. 如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，，使得它们分别与圆锥的侧面和平面都相切，平面分别与球，相切于点，.数学家Ger min alDandelin 利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为Dandelin 双球.若球，的半径分别为6和3，球心距离，则此椭圆的长轴长为___________.16. 已知椭圆：的离心率为，直线被圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由.17. 某收费APP （手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计､方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP 所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用（单位：元）及该月对应的用户数量（单位：万人），得到如下数据表格：用户一个月月租减免的费用（元）34567用户数量（万人）1 1.1 1.5 1.9 2.2已知与线性相关.(1)求关于的线性回归方程；(2)据此预测，当月租减免费用为10元时，该月用户数量为多少？参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，18. 设函数．(1)求函数的值域；(2)设函数，若对，求正实数a的取值范围．19. 国家公务员考试，某单位已录用公务员5人，拟安排到三个科室工作，但甲必须安排在科室，其余4人可以随机安排．（1）求每个科室安排至少1人至多2人的概率；（2）设安排在科室的人数为随机变量，求的分布列和数学期望.20. 由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表．非常喜欢喜欢合计A3015B x y合计已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0．35．(1)现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．(3)若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望．附：，，．050．0100．0013．8416．63510．82821. 2020年新型冠状病毒席卷全球，美国是疫情最严重的国家，截止2020年6月8日美国确诊病例约为200万人，经过随机抽样，从感染人群中抽取1000人进行调查，按照年龄得到如下频数分布表：年龄（岁）频数50a32030080（Ⅰ）求a的值及这1000例感染人员的年龄的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（Ⅱ）用频率估计概率，求感染人群中年龄不小于60岁的概率.。
广东省佛山市高明一中高三第一次模拟考试数学（文）
广东省佛山市高明一中高三第一次模拟考试数学试卷（文科）注意事项1、不准使用计算器；2、解答题必须写在答题卷里的答题框里，否则一律不计分；3、必须用黑色或蓝色的水笔或圆珠笔作答，不准用铅笔作答；4、要求格式工整，不准随意涂画。
一、选择题（每题5分，共8题，满分40分）1．设{}{}(,)46,(,)38A x y y x B x y y x ==-+==-，则A B = {}{}{}{}.(2,1).(2,2).(3,1).(4,2).A B C D ----2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是A 0.5log y x =()0≠xB x xy +=1 ()0≠x C x x y --=3 D xy 9.0=3．函数()1f x ax a =+-在[]1,2上有最大值5，则实数a = A 2或3 B 3 C 2或3- D 24．已知向量(1,2),(2,),1a b x a b ==⋅=-且，则x 的值等于 A 21 B 1- C 23 D 23- 5．函数223y x x =-+A {}13x x -≤≤，{}2y y ≥B {}13x x -≤≤，{}0y y ≥ C {}x x R ∈，{}2y y ≥D {}1,3x x x ≤-≥或，{}0y y ≥6．命题“042,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为A 042,2≥+-∈∀x x R xB 042,2>+-∈∃x x R xC 042,2≤+-∉∀x x R xD 042,2>+-∉∃x x R x7．将函数222y x x =++的图象沿直线0x y +=2个单位，得到函数()y f x =的图象，则()y f x =的表达式为A 2y x =或246y x x =++ B 222y x x =++2222y x x =++C 22222y x x +222y x x =+8．设0x 是方程ln 4x x +=的解，则0x 属于区间A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D.（3，4）9．已知a >0且a ≠1, 函数y ＝a －x 与y ＝log a (－x )的图象只能是：yyy yA B C D10．定义A D D C C B B A ****,,,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A ）、（B ）所对应的运算结果可能是（1） （2） （3） （4） （A ） （B ） A 、C A D B **, B 、D A D B **, C 、D A C B **, D 、D A D C **, 二．填空题（每题5分，共4题，满分20分）11．已知集合{}{}20,3,21,3,A m B m =-=，若B A ⊆，则实数m =***；12．在△ABC 中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠所对的边，若00105,45,22A B b ∠=∠== 则c =***；13．在极坐标系中，圆4=ρ上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最大值是**********；14．对于函数()y f x =，定义域为D ，以下命题正确的是（只要求写出命题的序号） ****** ；①若(1)(1),(2)(2)f f f f -=-=，则()y f x =是D 上的偶函数； ②若(1)(0)(1)(2)f f f f -<<<，则()y f x =是D 上的递增函数； ③若(2)0f '=，则()y f x =在2x =处一定有极大值或极小值；④若x D ∀∈，都有(1)(3)f x f x +=-+成立，则()y f x =的图象关于直线2x =对称。
广东省佛山市第一中学2024届高三第一次模拟考试数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为，则展开式中常数项为A．B．C．D．2. 在中，，点在双曲线上，则（ ）A．B．C．D．3. 已知圆，若圆上的点到直线与直线的距离之和的最小值为1，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．4.若，且，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．5. 已知点是抛物线上的一点，若以其焦点为圆心，以为半径的圆交抛物线的准线于、两点，若且满足，当的面积为时，则实数的值为A ．4B．C．D．6. 已知为锐角，且，则（ ）A．B．C．D．7.在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则 的值为（ ）A．B ．1C ．2D ．48.将函数的图象向右平移个单位后得到的图象的一条对称轴是A．B．C．D．9. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数a ，b 的算术平均数，为正数a ，b 的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.已知实数a ，b 满足，，a +b =2，则下列结论正确的有（ ）A．的最小值是B ．的最小值为3C．的最大值为3D ．的最小值是210. 在一次歌唱比赛中，以下表格数据是5位评委给甲､乙两名选手评出的成绩（分数），则下列说法正确的是（ ）甲乙87909691869086928795A ．甲选手成绩的极差大于乙选手成绩的极差B ．甲选手成绩的75%分位数小于乙选手成绩的75%分位数C ．从甲的5次成绩中任取2个，均大于甲的平均成绩的概率为广东省佛山市第一中学2024届高三第一次模拟考试数学试题(高频考点版)广东省佛山市第一中学2024届高三第一次模拟考试数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题D ．从乙的5次成绩中任取3个，事件“至多1个超过平均分”与事件“恰有2个超过平均分”是对立事件11.如图，在正方体中，P 为的中点，，，则下列说法正确的是（）A．B．当时，平面C ．当时，PQ 与CD所成角的余弦值为D ．当时，平面12. 下列命题成立的是（ ）A ．若，则B ．若，，，则C ．若，，则D ．若，，则13.已知定义在上的偶函数满足，则的一个解析式为___________．14. 双曲线的右焦点为F ，直线与双曲线相交于A ，B两点，若，则双曲线C 的离心率为___________.15. 在中，点M ，N是线段上的两点，，，则_______________，的取值范围是______________.16. 在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ．已知sinA+sinC=psinB （p ∈R ）．且ac=b 2．（1）当p=，b=1时，求a ，c 的值；（2）若角B 为锐角，求p 的取值范围．17. 在刚刚过去的寒假，由于新冠疫情的影响，哈尔滨市的､两所同类学校的高三学年分别采用甲､乙两种方案进行线上教学，为观测其教学效果，分别在两所学校的高三学年各随机抽取名学生，对每名学生进行综合测试评分，记综合评分为及以上的学生为优秀学生.经统计得到两所学校抽取的学生中共有名优秀学生，且学校的优秀学生占该校抽取总人数的.（1）填写下面的列联表，并判断能否在犯错误概率不超过的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关.（2）在学校的名学生中依据综合测评是否优秀进行分层抽样，抽取容量为的样本，在名学生中随机抽取名同学，求名同学都是优秀学生的概率.优秀学生非优秀学生合计甲方案乙方案合计附：，其中.18. 椭圆的离心率，在上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为短轴端点，过作直线交椭圆于两点(异于)，直线交于点.求证：点恒在一定直线上.19. 已知椭圆：的离心率为，且椭圆过点，记椭圆的左、右顶点分别为，点是椭圆上异于的点，直线与直线分别交于点.(1)求椭圆的方程；(2)过点作椭圆的切线，记，且，求的值.20. 如图，在圆柱中，正方形是该圆柱的轴截面，为圆柱下底面的直径，为底面圆周上一点，点与不重合，且．(1)求证：平面平面．(2)若与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值．21. 如图所示，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且，点在线段上，且，点是以为直径的圆上一动点．(1)当时，证明：平面平面；(2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．。
2023年广东省佛山一中高考数学一模试卷【答案版】
2023年广东省佛山一中高考数学一模试卷一、单选题（本大题共8小题，每题只有一个正确选项，共40分）1．已知集合A ＝{x |ax ﹣1＝0}，B ＝{x ∈N *|2≤x ＜5}，且A ∪B ＝B ，则实数a 的所有值构成的集合是（ ） A ．{12，13} B ．{14，13}C ．{12，13，14}D ．{0，12，13，14}2．设复数z 满足iz ＝1+i ，则|z 2−zz |＝（ ） A ．0 B ．√2C ．2D ．2√23．已知sinα=√55，α为钝角，tan(α−β)=13，则tan β＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣24．二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动人民的智慧四句诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气．若从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为（ ） A ．146B ．123C ．523D ．165．在△ABC 中，设AC →2−AB →2=2AM →⋅(AC →−AB →)，那么动点M 的轨迹必通过△ABC 的（ ） A ．垂心B ．内心C ．重心D ．外心6．设函数f(x)=sin(ωx +π6)，x ∈(0，5π)，方程[f （x ）]2＝1恰有5个实数解，则实数ω的取值范围是（ ） A ．[1315，1615) B ．(1315，1615]C ．(2930，76) D ．(136，196) 7．已知a ＝e﹣0.02，b ＝0.01，c ＝ln 1.01，则（ ）A ．c ＞a ＞bB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．b ＞c ＞a8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，且|MF 1|＝2|MA |，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2√33B ．√2C ．2D ．√3+1二、多选题（本大题共4小题，共20分。
广东省佛山市佛山三中2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析
广东省佛山市佛山三中2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()ln xf x x =，()x g x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221kx e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为（ ） A ．2e B ．eC ．24e D ．21e 2．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．247-B ．1731-C ．247D ．17313．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．24．已知抛物线2:4C x y =,过抛物线C 上两点,A B 分别作抛物线的两条切线,,PA PB P 为两切线的交点O 为坐标原点若.0PA PB =,则直线OA 与OB 的斜率之积为（ ） A ．14-B ．3-C ．18-D ．4-5．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下： 小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的； 小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ）6．已知函数1222,0,()log ,0,x x f x x x +⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．163,5⎛⎫⎪⎝⎭B ．163,5⎛⎤⎥⎝⎦C ．(3,4)D ．(]3,47．设M 是ABC ∆边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若AN AB AC λμ=+，则λμ+的值为( ) A ．1B ．12C ．13D ．148．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．159．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，117DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）A ．321B ．322C ．251D ．25210．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ）11．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知,a b 为非零向量，“22a b b a =”为“a a b b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省佛山市高考数学一模试卷(文科)
广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题详细信息1.难度：中等已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x-3＜0}，那么集合（CUA）∩B=（）A．{x|-1≤x＜3}B．{x|-1＜x＜3}C．{x|x＜-1}D．{x|x＞3}详细信息2.难度：中等已知等差数列{an }的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．-4B．-6C．-8D．-10详细信息3.难度：中等下列函数中既是奇函数，又在区间（-1，1）上是增函数的为（）A．y=|x|B．y=sinC．y=e x+e-xD．y=-x3详细信息4.难度：中等已知i是虚数单位，m、n∈R，且m（1+i）=1+ni，则（）2=（）A．iB．-iC．1D．-1详细信息5.难度：中等已知椭圆的离心率，则实数k的值为（）A．3B．3或C．D．或详细信息6.难度：中等“关于x的不等式x2-2ax+a＞0的解集为R”是“o≤a≤1”（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件详细信息7.难度：中等把函数y=sinx x∈R 的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（）A．x∈RB．x∈RC．x∈RD．x∈R详细信息8.难度：中等一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④详细信息9.难度：中等某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20，45）岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（）A．31.6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁详细信息10.难度：中等已知向a=（x，2），=（1，y），其中x＞0，y＞0．若•=4，则的最小值为（）A．B．2C．D．2二、填空题详细信息11.难度：中等某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）合唱社粤曲社书法社高一45 30 a高二15 10 20学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有．详细信息12.难度：中等已知不等式组，表示的平面区域的面积为4，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为．详细信息13.难度：中等对任意实数a，b，函数F（a，b）=，如果函数f（x）=-x2+2x+3，g（x）=x+1，那么函数H（x）=F（f（x），g（x））的最大值等于．详细信息14.难度：中等（选做题）在极坐标系下，已知直线l的方程为ρcos（θ-）=，则点M （1，）到直线l的距离为．详细信息15.难度：中等如图，P为圆O外一点，由P引圆O的切线PA与圆O切于A点，引圆O的割线PB与圆O交于C点．已知AB⊥AC，PA=2，PC=1，则圆O的面积为．三、解答题详细信息16.难度：中等在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=60°，cos（B+C）=-．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若a=5，求△ABC的面积．详细信息17.难度：中等文科班某同学参加广东省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级A和获得等级不是A的机会相等，物理、化学、生物获得等级A的事件分别记为W1、W 2、W3，物理、化学、生物获得等级不是A的事件分别记为、、．（1）试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的所有可能结果（如三科成绩均为A记为（W1，W2，W3））；（2）求该同学参加这次水平测试获得两个A的概率；（3）试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于85%，并说明理由．详细信息18.难度：中等如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，PB=BC=CA=4，E为PC的中点，M为AB 的中点，点F在PA上，且AF=2FP．（1）求证：BE⊥平面PAC；（2）求证：CM∥平面BEF；（3）求三棱锥F-ABE的体积．详细信息19.难度：中等已知圆C1：（x-4）2+y2=1，圆C2：x2+（y-2）2=1，动点P到圆C1，C2上点的距离的最小值相等．（1）求点P的轨迹方程；（2）点P的轨迹上是否存在点Q，使得点Q到点A（，0）的距离减去点Q 到点B（）的距离的差为4，如果存在求出Q点坐标，如果不存在说明理由．详细信息20.难度：中等设a∈R，函数f（x）=lnx-ax．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）已知x1=（e为自然对数的底数）和x2是函数f（x）的两个不同的零点，求a的值并证明：x2＞．详细信息21.难度：中等设n∈N+，圆Cn ：x2+y2=R（Rn＞0）与y轴正半轴的交点为M，与曲线y=的交点为N（xn ，yn），直线MN与x轴的交点为A（an，0）．（1）用xn 表示Rn和an；（2）若数列{xn }满足：xn+1=4xn+3，x1=3．①求常数P的值使数列{an+1-p•an}成等比数列；②比较a与2•3n的大小．n。
2024年广东省佛山一中高考数学模拟试卷(一)
2024年广东省佛山一中高考数学模拟试卷（一）一.选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．(★)(5分)已知集合A到B的映射f：x→y=2x+1，那么集合A中元素2在B中的象是() A．2B．5C．6D．82．(★)(5分)下列函数中，在区间(0， 1)上是增函数的是()A．y=|x|B．y=3-x C．y=D．y=-x2+43．(★)(5分)二次函数f(x)=x2-2ax+1在区间[-2， 2]单调递增，则a的取值范围是() A．[-2， 0]B．(-∞， -2]C．[0， 2]D．[2， +∞)4．(★)(5分)水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1， A′O′=，那么原△ABC是一个()A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形5．(★)(5分)直线L1：ax+3y+1=0， L2：2x+(a+1)y+1=0，若L1∥L2，则a的值为()A．-3B．2C．-3或2D．3或-26．(★)(5分)如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是() A．平行B．相交且垂直C．不相交也不平行D．相交成60°7．(★)(5分)若直线Ax+By+C=0在第一、二、三象限，则()A．AB＞0， BC＞0B．AB＞0， BC＜0C．AB＜0， BC＞0D．AB＜0， BC＜08．(★)(5分)P(2， 5)关于直线x+y=0的对称点的坐标是()A．(5， 2)B．(2， -5)C．(-5， -2)D．(-2， -5)9．(★)(5分)正方体的内切球与外接球的半径之比为()A．B．C．D．10．(★)(5分)若奇函数f(x)在[1， 3]上为增函数，且有最小值0，则它在[-3， -1]上() A．是减函数，有最小值0B．是增函数，有最小值0C．是减函数，有最大值0D．是增函数，有最大值0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．(★★)(5分)函数y=的定义域是{x|x≥-2，且x≠1}．12．(★★)(5分)已知f(x)=，若f(x)=10，则x=-3或5．13．(★★★)(5分)直线：x+y-5=0与直线：2x+2y+9=0的距离为．14．(★★★)(5分)方程(m+2)x+(m-3)y+4=0(m∈R)所表示的直线必过的定点坐标为(-，)．15．(★★★)(5分)设m,n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α， n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ， m⊥α，则m⊥γ；③若m⊥α， n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；其中正确命题的序号是①②③．三、解答题（共6小题，满分75分）16．(★★)(12分)已知集合A={x|x-1＜0}， B={x|x2-4≥0}，求A∩B和A∪B．17．(★★★)(12分)已知直线l经过点(0， -2)，其倾斜角的大小是60°．(1)求直线l的方程；(2)求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．18．(★★★★)(12分)如图，已知在正四棱锥P-ABCD中， E是PC的中点．求证：(1)PA∥平面BDE；(2)平面BDE⊥平面PAC．19．(★★★)(12分)已知直线l1：x-3y+10=0与l2：2x+y-8=0相交于点A，点O为坐标原点．P 为线段OA的中点．(Ⅰ)求点P的坐标；(Ⅱ)过点P作直线l分别交直线l1， l2于B， C两点，若△ABC为直角三角形，求直线l的方程．20．(★★★★)(13分)如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角△SAB， Q为底面圆周上一点．①若QB的中点为C， OH⊥SC，求证OH⊥平面SBQ；②如果∠AOQ=60°，，求此圆锥的全面积．21．(★★★)(14分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a+b≠0时，都有．(1)若a＞b,试比较f(a)与f(b)的大小关系；(2)若f(9x-2•3x)+f(2•9x-k)＞0对任意x∈[0， +∞)恒成立，求实数k的取值范围．。
广东省佛山市第一中学2024届高三第一次模拟考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 两条平行直线：，：之间的距离是（ ）A ．1B．C．D ．22.设，则（ ）A．B．C．D．3. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点P 为椭圆C 的上顶点．直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若的斜率之积为，则椭圆C 的长轴长为（ ）A ．3B ．6C．D．4. 已知函数在区间上恰有2个最大值点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 过直线上一点P 作圆的两条切线PA ，PB ，若，则点P 的横坐标为（ ）A．B．C．D．6.已知，且，则在的展开式中，的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．207. 高为5的圆锥的顶点和底面圆都在球的表面上，若球的体积为，则这个圆锥的体积为（ ）A．B．C．D．8. 已知复数z 1，z 满足z 1＝﹣1﹣i ，z 1z ＝4，则复数在复平面内对应点的坐标为（ ）A ．（2，﹣2）B ．（﹣2，2）C ．（2，2）D ．（﹣2，﹣2）9.在平面四边形中，，，则（ ）A．B．C．D．10. 已知抛物线：过点，焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，，分别交于，两点，则（ ）A．B ．最小值为4C ．准线的方程为D ．以为直径的圆恒过定点，11. 已知函数，则（ ）A ．是偶函数B ．在区间上是增函数C．的最大值为0D ．在内有2个零点12.若，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．广东省佛山市第一中学2024届高三第一次模拟考试数学试题广东省佛山市第一中学2024届高三第一次模拟考试数学试题三、填空题四、解答题13. 设，其中．当时，____；当时，的一个取值为____．14.在数列中，，．设向量，已知，给出下列四个结论：①；②，；③，；④，．其中所有正确结论的序号是___________．15. 如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线，为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路，上分别设立游客接送点M ，N，且千米，若要求观景台P与两接送点所成角与相等，记，观景台P 到M ，N 建造的两条观光线路与之和记为y ，则把y 表示为的函数为y =______；当两台观光线路之和最长时，观景台P 到A点的距离______千米.16.已知函数的最小正周期为.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若，求取值的集合.17. 已知函数，，是的两个相邻极值点，且满足．(1)求函数图象的对称轴方程；(2)若，求．18.已知等差数列 满足：的前n项和为 ．(1)求及 ；(2)令，若对于任意，数列的前n项和 恒成立，求实数m 的取值范围．19. 如图1，菱形中，，，于E ，将沿翻折到，使，如图2．(1)求三棱锥的体积；(2)在线段上是否存在一点F ，使∥平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．20. 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ，AB ＝AD ，PA ⊥PD ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝60°，M ，N 分别为AD ，PA 的中点.(1)证明：平面BMN∥平面PCD；(2)若，求平面BMN与平面BCP所成锐二面角的余弦值.21. 已知点，直线，为轴右侧或轴上动点，且点到的距离比线段的长度大1，记点的轨迹为.（1）求曲线的方程；（2）已知直线交曲线于，两点（点在点的上方），，为曲线上两个动点，且，求证：直线的斜率为定值.。
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2017届佛山市普通高中高三教学质量检测（一）
一、选择题：本大题共12小题，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
1．已知集合{}1|<=x x A ，{}
0|2<-=x x x N ，则=B A I （ ）
A ．[]1,1-
B ．[]1,0
C ．(]1,0
D ．[)1,0 2．设复数21,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且i z +=21，=⋅21z z （ ）
A ．i 34+-
B ．i 34-
C ．i 43--
D ．i 43-
3．命题“00≤∃x ，使得02
0≥x ”的否定是（ ）
A ．0≤∀x ，02<x
B ．0≤∀x ，02≥x
C ．00>∃x ，020>x
D ．00<∃x ，020≤x 4．变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤--≥-+10202y y x y x ，则目标函数
y x z 3+=的最小值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．5
D ．6
5．本学期王老师任教两个平行班高三A 班、高三B 班，两个
班都是50个学生，图1反映的是两个班在本学期5次数学测试
中的班级平均分对比，根据图表，不正确的结论是（ ）
A ．A 班的数学成绩平均水平好于
B 班
B ．B 班的数学成绩没有A 班稳定
C ．下次考试B 班的数学平均分要高于A 班
D ．在第1次考试中，A 、B 两个班的总平均分为98
6．抛物线x y 162
=的焦点到双曲线11242
2=-y x 的渐近线 的距离是（ ）
A ．1
B ．3
C ．2
D ．32
7．已知函数12cos 2sin 3)(+-=x x x f ，下列结论中错误的是（ ）
A ．)(x f 的图像关于)1,12(π
中心对称 B ．)(x f 在)12
11,125(ππ上单调递减 C ．)(x f 的图像关于3π
=x 对称 D ．)(x f 的最大值为3
8．一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB 、AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于K ，若AE AB 2=，AF AD 3=，)(R AK AC ∈=λλ，则=λ（ ）
A ．2
B ．2
5 C ．3 D ．5 9．对任意R a ∈，曲线)21(2a ax x e y x -++=在点)21,0(a P -处的切线l 与圆16)1(:22=+-y x C 的
位置关系是（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．以上均有可能
10．如图2所示的程序框图，输出的值为（ ）
A ．1615
B ．1211
C ．813
D ．413
11．某几何体的三视图如图3所示，则该几何体外接球
的表面积为（ ）
A ．π4
B ．π12
C ．π48
D ．π36
12．已知函数c bx ax x x f +++=23)(，
c b a b ax x x g ,,(23)(2++=是常数)，若)(x f 在)1,0(上单调递减，则下列结论中：
①0)1()0(≤⋅f f ；②0)1()0(≥⋅g g ；③b a 32-有最小值．正确结论的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分
13．函数x
ax x x f -++=11log 1)(2为奇函数，则实数=a ________
14．已知20π
<<x ，且10
2)42sin(-=-π
x ，则=+x x cos sin ________ 15．数轴上有四个间隔为1的点依次记为A 、B 、C 、D ，在线段AD 上随机取一点E ，则E 点到 B 、C 两点的距离之和小于2的概率为________
16．ABC ∆中的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若54=b ，5=c ，C B 2=，点D 为边BC 上 一点，且6=BD ，则ADC ∆的面积位________
三．解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)(1*2N n n a S n n ∈-+=
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：4
311121<+++n S S S Λ 18．（本小题满分12分）
我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：
（Ⅰ）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？
（Ⅱ）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；
（Ⅲ）政府计划为80岁及以上长者或生活不能自理的老人每人购买1000元/年的医疗保险，为其余老人每人购买600元/年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥ABCD P -中，PAD ∆为正三角形，CD AB //，CD AB 2=，︒
=∠90BAD ， CD PA ⊥，E 为棱PB 的中点
（Ⅰ）求证：平面⊥PAB 平面CDE ；（Ⅱ）若2==CD AD ，求点P 到平面ADE 的距离
20．（本小题满分12分）
已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 过点)1,2(M ，且离心率为23 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于Q P ,两点，且在直线062:2=+-y x l 上存在点M ，使得 MPQ ∆为等边三角形，求直线1l 的方程
21．（本小题满分12分）
设函数x e x f ax ln )(λ+=，其中0<a ，e 是自然对数的底数
（Ⅰ）若)(x f 是),0(+∞上的单调函数，求λ的取值范围； （Ⅱ）若e
10<<λ，证明：函数)(x f 有两个极值点 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
在极坐标系中，射线6:π
θ=l 与圆2:=ρC 交于点A ，椭圆Γ的方程为θ
ρ22sin 213+=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy
（Ⅰ）求点A 的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；
（Ⅱ）若E 为椭圆Γ的下顶点，F 为椭圆Γ上任意一点，求⋅的取值范围
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲
已知不等式0123<--+x x 的解集为),(0+∞x
（Ⅰ）求0x 的值；（Ⅱ）若函数)0(1)(0>-++-=m x m x m x x f 有零点，求实数m 的值。