集合与简易逻辑与不等式

求集合的子集： 是任何集合的子集 5．四种命题：
1。原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。判断命 题真假时常常借助判断其逆否命题的真假。 2． 命题的否定 是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅 否定结论’所得命题” ，但 否命题 是“既否定原命题的条件 作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题” 6．充要条件的判断： （ 1）定义法
值的位置，以确定最优解
[ 自测题 ]
1. A、 B 是 非 空 集 合 ， 定 义 A B { x | x A B,且x A B} ， 若
A { x| y 2x 3 x}, B { y| y 3x} ，则 A B =
．
2：设集合 M y | y x2 2 x 1 , N x | y x2 2 x 5 ，则
复数： || z1 | | z2 || | z1 z2 | | z1 | | z2 |
向量： || a | | b || | a b | | a | | b |
14. 不等式的恒成立 , 能成立 , 恰成立等问题 ：常应用函数方程思想和
“分离变量法” 转化为最值问题， 也可抓住所给不等式的结构特征，
母）有理化； （ 6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法 ； (8) 图象法。 11 利用 重要不等式求函数 最值时 ，要“ 一正二定三相等，和定积最
大，积定和最小 ” a 2 b2 2
ab 2
ab
2。
11
ab
12. 简单的一元高次不等式的解法 ：标根法：
13. 含绝对值不等式的性质 ：
a、 b 同号或有 0 | a b | | a | |b | ||a | | b || | a
还是负值，我们都可以把 y 项的系数变形为正数
当 B＞0 时，①Ax+By+C＞ 0 表示直线 Ax+By+C=0
的区域；
② Ax+By+C＜ 0 表示直线 Ax+By+C=0
Hale Waihona Puke Baidu
的区域
注意：当两个点 （ x1,y 1）( x2 , y2 ) 位于直线 Ax+By+C=0 的两侧，则满
足
16. 线性规划 :
不变，
仅否定
’所得命题” ，但 否命题 是“既否定原命题
的
，又否定原命题的
”
6．充要条件的判断：
（ 1）定义法 ---- 正、 反方向推理。 关键是分清条件和结论 （划
主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；
由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。 ；
（ 2）集合解释， A { x | x 满足条件 p} B { x | x 满足条件 q} ，
第一部分 集合与简易逻辑与不等式 （学案）
1．研究集合问题， 一定要理解集合的意义――抓住集合的代表
元素。（ 最好将集合都表示成区间 ）元素是函数关系中自变
量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…
；
2． 集合元素具有
性、无序性和
3．注意补集思想、数形．结．合．． ：
借助
、直角坐标系或韦恩图等工具
母）有理化； （ 6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法 ；
(8) 图象法。
11 重要不等式 2 11 ab
a2 b2 （求函数 最值时 ，要 2
“一 二 三
，和定积最
，积定和最
”）
12. 简单的一元高次不等式的解法 ：标根法：其步骤是：
（ 1）分解成若干个一次因式的积， 并使每一个因式中最高次项
在平面直角坐标系中，已知直线 Ax+By+C=0，坐标平面内的点 P
（ x0， y0） B＞ 0 时，
① Ax0 +By0+C＞ 0，则点 P（x0，y0）在直线的
；
② Ax0 +By0+C＜ 0，则点 P（x0，y0）在直线的
对于任意的二元一次不等式 Ax+By+C＞0（或＜ 0），无论 B 为正值
9. 不等式的性质 ：
（ 1）若 a b,c d ，则 a c b d
（ 2）若 a b 0, c d 0 ，则 ac bd
（ 3）若 ab
0 ，a
b ，取倒数 1
1 ；若 ab 0 ，a
1 b ，则
1
。
ab
ab
10. 不等式大小比较的常用方法 ：
（ 1）作差；（ 2）作商；（ 3）分析法；（ 4）平方法；（ 5）分子（或分
M N 等于（ ）（ A） (B) 1,4 (C) 4, (D) 0, 3： | x 2 | | x 1| m 在 R 上存在 x 的值，求 m 的取值范围 4：若 集合 A {0,1,a} ， B {0,a2} ， A B B ，则实数 a =
5：函数 f (x)
lg(4 x) 的定义域是
x2 2x 3
6：命题“ 若 a b,则 a 1 b 1 ”的否．命．题．是
7. 命题“ x 0 ，有 x2 0 ”的否定是
8．下列四个命题：① n R ，n 2≥ n ；
② n R，n2 n ；
③ n R， m R， m2 n ；④ n R， m R，m n m ．
其中真命题的序号是
．
9. 已知命题 p :"
求线性目标函数在线性约束条件下的
的
问题，统称为线性规划问题
其步骤如下：
（ 1）设出变量 x、 y；
（ 2）找线性约束条件；
（ 3）确定目标函数 z=f （ x， y）； （ 4）画出可行域；
（ 5）利用线性目标函数作平行直线系 f （x， y） =t （ t 为参数）；
（ 6）观察图形，找到直线 f （x，y）=t 在可行域上使 t 取得欲求最
（ 1）若 a b,c d ，则 a c b d
（ 2）若 a b 0, c d 0 ，则 ac bd
（ 3）不等式两边同号时，不等式 两边取倒数 ，不等号方向要改变：
若 ab 0 ， a b ，取倒数则
；
若 ab 0 ， a b ，取倒数则
。
10. 不等式大小比较的常用方法 ：
（ 1）作差；（2）作商；（ 3）分析法；（ 4）平方法；（5）分子（或分
4．对集合 A、 B ， A B
“极端”情况：
；
A B A B A A B B“极端” 情况：
；
5．四种命题：
⑴原命题：若 p 则 q； ⑵逆命题：若 q 则 p；
⑶否命题：若 p 则 q；⑷逆否命题：若 q 则 p
注： 1。原命题与
等价；逆命题与否命题等价。
判断命题真假时常常借助判断其
的真假。
2． 命题的否定 是“ P 命题的非 P 命题，也就是‘
8．全称量词与存在量词
⑴全称量词 ------- “所有的”、“任意一个” 等， 用
表示；
全称 p： x M , p(x) ；全称 p 的否定 p：
⑵存在量词 -------- “存在一个” 、“至少有一个” 等，用
特称 p： x M , p( x) ；特称 p 否定 p：
表； ；
9. 不等式的性质 ：
≤ m ≤ 2，求使不等式 a b ≥ 1 m 成立的 x 的解集； 求使不等 ab
式 a b ≥ 1 m 对于一切 x 0恒成立的实数 m 取值集合． ab
16．关于 x 的方程 x2 bx 2c 0 的两根 x1, x2 满足
c1
0 x1 1 x2 2，求
的范围
b1
20．已知函数 f (x) ex kx, x R 。若 k 0 ，对于任意的 x 0 ，
元素。（ 最好将集合都表示成区间 ）元素是函数关系中自变
量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…
；
2． 集合元素具有确定性、无序性和 互异性
3．注意补集思想、数形．结．合．． ：
借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具
4．对集合 A、 B ， A B “极端” 情况： A
或B
；
A B A B A A B B “极端”情况： A ；
x≥ 1 x y 1≤ 0 ，则 x2 2x y 2≤ 0
y2 的最
小值为 .
12：正数 x, y 满足 x
2y
1 1 ，则
x
1
的最小值为 ______
y
13. 若函数 f ( x)
x x2
a
(
a
0 ) 在 1,
3
上的最大值为
,则
3
a 的值为
14．已知复数 z1 1 i ,| z2 | 3 ，那么 | z1 z2 |的最大值是
19 ． 已 知 P [ 1 , 3]， f ( x) 2
log 2 (ax2
2x
2) 的 定 义 域 是 Q， 若
P Q ，求字母 a 的取值范围。
21．已知函数
f ( x)
2
x
2mx
2
m
1 m
3 ，当 x
(0,
22
f ( x) 0 ，求 m的取值范围．
) 时，恒有
22．已知向量 a 1, x ，向量 b x2 x, x ．已知常数 m 满足 2
8．全称量词与存在量词 ⑴全称量词 ------- “所有的”、“任意一个”等，用 表示；
全称 p： x M , p( x) ；全称 p 的否定 p： x M , p(x)
⑵存在量词 -------- “存在一个” 、“至少有一个” 等，用 表；
特称 p： x M , p( x) ；特称 p 否定 p： x M , p( x) ；
利用数形结合法
1). 恒成立问题
若不等式 f ( x) A 在区间 D 上恒成立 , 则等价于
；
若不等式 f x B 在区间 D 上恒成立 , 等价于 f x max B 。
2). 能成立问题
若在区间 D 上存在实数 x使不等式 f x A 成立 , 则等价于在
区间 D 上 f x max A ；
若在区间 D 上存在实数 x使不等式 f x
15. 设 集 合 A= { x | log 1 (3 x)
2
A B ，求实数 a 的范围。
2a
2} ， B= { x |
1} ， 若
xa
17．若关于 x 的不等式 x
值范围。
lg | a |
的解集为正实数集， 则字母 a 的取
x
2
18．若存在 a∈ [1 ，3] ，使得不等式 ax ＋（ a-2 ）x-2>0 成立，则实 数 x 的取值范围．
若
；则 p 是 q 的充分非必要条件
A
B；
若
；则 p 是 q 的必要非充分条件
A
B；
若
；则 p 是 q 的充要条件 A
B；
若
；则 p 是 q 的既非充分又非必要条件
A
B
7．判断命题的真假
“或命题”的 真假特点是 “一真即真，要假全假” ；
“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真” ；
“非命题”的真假特点是“一真一假”
B 成立 , 则等价于在
区间 D 上的
.
3). 恰成立问题
若 不 等 式 f x A 在 区 间 D 上 恰 成立 , 则 等 价 于 不 等 式
f x A的解集为 D ；若不等式 f x 等价于不等式 f x B 的解集为 D .
B 在区间 D 上恰成立 , 则
15. 二元一次不等式表示平面区域 :
的系数为正 ；
（ 2）将每一个一次因式的根标在数轴上， 从最大根的右上方依
次通过每一点画曲线；并注意 奇穿过偶弹回 ；
（ 3）根据曲线显现 f ( x) 的符号变化规律， 写出不等式的解集。
13. 含绝对值不等式的性质 ：
a、 b 同号或有 0 | a b | | a | |b | ||a | | b || | a b |； a、 b 异号或有 0 | a b | | a | | b | || a | | b || | a b | .
b |；
a、 b 异号或有 0 | a b | | a | | b | || a | | b || | a b | .
复数： || z1 | | z2 || | z1 z2 | | z1 | | z2 |
向量： || a | | b || | a b | | a | | b |
14. 不等式的恒成立 , 能成立 , 恰成立等问题 ：常应用函数方程思想和 “分离变量法” 转化为最值问题， 也可抓住所给不等式的结构特征， 利用数形结合法
x
12 [1,2], x
ln x
a
0" 与命题
2
q :" x R, x2 2ax 8 6a 0" 都是真命题 , 则实数
a 的取值范围是 10. 已知函数 f ( x)= 3 x2 2bx c 在区间 [ － 1， 2 ] 上函数值恒为
非正数，那么 b＋ c 最大值 11. 如果实数 x, y 满足不等式组
f ( x) 0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围。
23. 知 f (x) x | x a | 2 .（ 1）若 a 0 ,求 f (x) 的单调区间；
（ 2）若当 x [ 0,1] 时 ,恒有 f ( x) 0 ,求实数 a 的取值范围 .
第一部分集合与简易逻辑与不等式（教案）
1．研究集合问题， 一定要理解集合的意义――抓住集合的代表
（ 2）从集合角度解释，若 A B ，则 A 是 B 的充分条件； 若 B A ，则 A 是 B 必要条件；若 A=B，则 A 是 B充要条件。
7．判断命题的真假 关键是 “抓住 关联字词 ”；注意：“不‘或’ 即‘且’，不‘且’ 即‘或’”。 “或命题”的 真假特点是 “一真即真，要假全 假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真” ；“非 命题”的真假特点是“一真一假”