(完整版)成人高考数学—导数
成人高考专升本《高等数学二》公式大全
成人高考专升本《高等数学二》公式大全1.函数的导数公式：1）常数函数求导：(C)'=02）幂函数求导：(x^n)' = nx^(n-1), 其中n为常数3）指数函数求导：(a^x)' = a^x * ln(a), 其中a>0且a≠14）对数函数求导：(log_a(x))' = 1 / (x * ln(a)), 其中a>0且a≠15）三角函数求导：(sin(x))' = cos(x), (cos(x))' = -sin(x), (tan(x))' = sec^2(x), (cot(x))' = -csc^2(x)6）反三角函数求导：(arcsin(x))' = 1 / sqrt(1 - x^2), (arccos(x))' = -1 / sqrt(1 - x^2), (arctan(x))' = 1 / (1 + x^2)2.高等数学中的极限公式：1）常数函数极限：lim(C) = C, 其中C为常数2）多项式函数极限：lim(a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... +a_1*x + a_0) = a_n*x^n, 其中n为正整数，a_n为非零常数3）指数函数极限：lim(a^x) = 1, 其中a>0且a≠14）对数函数极限：lim(log_a(x)) = log_a(1) = 0, 其中a>0且a≠15）三角函数极限：lim(sin(x) / x) = 1, lim((1 - cos(x)) / x) = 0, 当x趋近于0时3.定积分公式：1）换元积分法：∫f(g(x)) * g'(x)dx = ∫f(u)du, 其中u = g(x) 2）分部积分法：∫u * dv = u * v - ∫v * du3）凑微分法：∫f(x)dx = ∫f(x) *1dx = ∫f(x) *[g'(x)/g'(x)]dx = ∫(f(x) * g'(x))/g'(x)dx4.微分方程公式：1）一阶线性微分方程：dy/dx + P(x)y = Q(x), y = e^(-∫P(x)dx) * ∫[Q(x) * e^(∫P(x)dx)]dx2）一阶齐次线性微分方程：dy/dx = f(y/x), 令v = y/x, 可得dv = [(f(v) - v)/x]dx5.级数公式：1）等比数列前n项和：S_n=a(1-q^n)/(1-q),其中a为首项，q为公比2）调和级数：∑(1/n)是发散级数3）幂级数展开：e^x = ∑(x^n)/n!, sin(x) = ∑[(-1)^n *(x^(2n+1))/(2n+1)!], cos(x) = ∑[(-1)^n * (x^(2n))/(2n)!]。
成人高考导数知识点
成人高考导数知识点导数作为微积分的重要概念，是数学中的一门关键知识点，对于成人高考考生来说，了解和掌握导数知识至关重要。
本文将介绍成人高考中导数的相关知识点，帮助考生更好地掌握这一部分内容。
一、导数的定义和几何意义导数是函数在某一点上的变化速率的极限。
具体而言，对于函数f(x)，其在点x上的导数定义为：f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h这一定义表明了函数在点x处的切线斜率，也就是函数的变化速率。
基于这一定义，我们可以看出导数的几何意义，即函数图像在某一点的切线斜率。
二、导数的基本性质1. 常数函数的导数为0：对于常数函数f(x) = c，其中c为常数，有f'(x) = 0。
这是由于常数函数的斜率为0，不随自变量变化而变化。
2. 变量的n次幂函数的导数：对于函数f(x) = x^n，其中n为正整数，有f'(x) = nx^(n-1)。
这一性质表明了幂函数导数的变化规律，对于不同次数的幂函数来说，导数的倍数与次数呈线性关系。
3. 多项式函数的导数：对于多项式函数f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0，其中a_i为常数，有f'(x) = na_nx^(n-1) + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + ...。
多项式函数的导数可以通过对各项分别求导然后相加得到。
三、常见函数的导数1. 正弦函数的导数：对于函数f(x) = sin(x)，有f'(x) = cos(x)。
正弦函数的导数是余弦函数。
2. 余弦函数的导数：对于函数f(x) = cos(x)，有f'(x) = -sin(x)。
余弦函数的导数是负的正弦函数。
3. 指数函数的导数：对于函数f(x) = e^x，有f'(x) = e^x。
指数函数的导数等于自身。
4. 对数函数的导数：对于函数f(x) = ln(x)，有f'(x) = 1/x。
成人高考专升本高等数学公式(含特殊三角函数值)
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 222212211cos 12sin udu dx x tg u uu x uu x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx xtgx a xxln 1)(logln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin xarcctgx xarctgx xx xx +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x ax dx Cshx chxdx C chx shxdx Caadx aC x ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx xdxC tgx xdx x dxxx)ln(ln csc csc sec sec cscsinsec cos 22222222Cax xa dxCx a x a ax a dx C a x a x a a x dx C ax arctg a x a dxCctgx x xdx Ctgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Ca x ax a x dx x a Ca x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n nnn arcsin22ln 22)ln(221cos sin22222222222222222222220ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin2cos2sin sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xx arthx x x archx x x arshx ee e e chxshx thx ee chx ee shx xxx x xxxx-+=-+±=++=+-==+=-=----11ln 21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim==+=∞→→e xx x xx x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctgtg·正弦定理：R Cc Bb Aa 2sin sin sin ===·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k nn uvvuk k n n n v un n v nuv uvuCuv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
(完整word版)成人高考高升专数学常用知识点及公式(打印版)
成人高考高升专数学常用知识点及公式第1章 集合和简易逻辑知识点1：交集、并集、补集1、交集：集合A 与集合B 的交集记作A ∩B ，取A 、B 两集合的公共元素2、并集：集合A 与集合B 的并集记作A ∪B ，取A 、B 两集合的全部元素3、补集：已知全集U ，集合A 的补集记作A C u ,取U 中所有不属于A 的元素 解析：集合的交集或并集主要以列举法或不等式的形式出现知识点2：简易逻辑概念：在一个数学命题中，往往由条件甲和结论乙两部分构成，写成“如果甲成立，那么乙成立”。
若为真命题，则甲可推出乙，记作“甲=乙”；若为假命题，则甲推不出乙，记作“甲≠乙”。
题型：判断命题甲是命题乙的什么条件，从两方面出发：①充分条件看甲是否能推出乙 ②必要条件看乙是否能推出甲 A 、 若甲=乙 但 乙=甲，则甲是乙的充分必要条件（充要条件） B 、若甲=乙 但 乙≠甲，则甲是乙的充分不必要条件 C 、若甲≠乙 但 乙=甲，则甲是乙的必要不充分条件D 、若甲≠乙 但 乙≠甲，则甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件技巧：可先判断甲、乙命题的范围大小，再通过“大范围≠小范围，小范围=大范围”判断甲、乙相互推出情况第2章 不等式和不等式组知识点1：不等式的性质1. 不等式两边同加或减一个数，不等号方向不变2. 不等式两边同乘或除一个正数，不等号方向不变3. 不等式两边同乘或除一个负数，不等号方向改变（“>”变“<”）解析：不等式两边同加或同乘主要用于解一元一次不等式或一元二次不等式移项和合并同类项方面 知识点2：一元一次不等式1. 定义：只有一个未知数，并且未知数的最好次数是一次的不等式，叫一元一次不等式。
2. 解法：移项、合并同类项（把含有未知数的移到左边，把常数项移到右边，移了之后符号要发生改变）。
3. 如：6x+8>9x-4，求x ？ 把x 的项移到左边，把常数项移到右边，变成6x-9x>-4-8，合并同类项之后得-3x>-12,两边同除-3得x<4（记得改变符号）。
2024年成人高考成考(高起专)数学(文科)试题及答案指导
2024年成人高考成考数学(文科)(高起专)模拟试题(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、已知函数f(x)=2x2−3x+1，则该函数的导数f′(x)为：A.4x−3B.2x−3C.4x+1D.2x+12、在下列各数中，绝对值最小的是（）A、-3/2B、-1/2C、3/2D、1/23、若一个正方形的边长增加其原长的25%，则新正方形的面积比原来增加了多少百分比？A、50%B、56.25%C、75%D、100%4、在下列各数中，不是有理数的是：A、-5.25B、√16C、πD、0.35、已知直线(l)的方程为(2x−3y+6=0)，则直线(l)的斜率是多少？)A、(23)B、(32)C、(−23)D、(−326、下列函数中，定义域为全体实数的是（）A、f(x) = √(x+1)B、f(x) = √(x^2 - 4)C、f(x) = 1 / (x-2)D、f(x) = 1 / (x^2 + 1)7、设函数f(x)=2x2−3x+1，则该函数的最小值为（）。
A.−18B.18C.−1D.1)，则下列说法正确的是：8、若函数(f(x)=3x2−2x+1)的图像的对称轴为(x=13A.(f (0)=f (1))B.(f (0)=f (−13))C.(f (13)=f (−13))D.(f (0)+f (1)=2f (13))9、若直线(l )的方向向量为((3,−4))，则直线(l )的斜率为：A.(34)B.(−34)C.(43)D.(−43)10、在下列各数中，有理数是（ ）A.√2B.πC.13D.ln211、一个等差数列的前三项分别是2、5、8，那么该数列的公差是多少？A 、3B 、4C 、5D 、612、已知函数f (x )=2x−1x 2−2x+1，下列说法正确的是：A. 函数的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)B. 函数的值域为(−∞,0)∪(0,+∞)C. 函数的增减性在x=1处发生改变D. 函数的图像关于直线x=1对称二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）1、若函数f(x)=12x2−3x+4在x=1处取得极值，则该极值为_______ 。
数学高考导数知识点总结
数学高考导数知识点总结数学是一门理科学科，也是高考中的一门重要科目。
对于高考来说，数学的导数知识点是必须要掌握的内容之一。
导数作为微积分的基础，不仅在高考中会考到，而且在大学阶段的数学学习中也是必不可少的。
本文将对数学高考导数知识点进行总结，帮助广大考生更好地复习和理解。
一、导数的定义导数是函数的变化率。
当自变量变化一个无穷小的增量时，函数的值相应地变化了多少。
定义如下：$f'(x) = \lim _{ \Delta x \rightarrow 0 } \frac{f(x_0 + \Delta x) -f(x_0)}{\Delta x}$其中，$f(x_0)$是函数在$x_0$处的值，$f'(x)$表示函数在$x_0$处的导数。
二、导数的基本运算规则1. 常数函数的导数为0。
2. 幂函数的导数等于幂次乘以底数的幂次减一。
3. 指数函数的导数等于自然对数的底数乘以指数函数的值。
4. 对数函数的导数等于自然对数的底数乘以函数自变量的导数的倒数。
5. 三角函数的导数可以通过导数公式进行推导。
三、导数的基本性质1. 导数存在性定理：若函数在某一点附近存在导数，则在该点处函数连续。
2. 可导条件：当函数在某一点时，左极限等于右极限，并且存在导数，则该函数在该点可导。
3. 函数在最值点处的导数为0。
4. 若函数在某一点存在导数，则函数在该点处可导。
反之，函数在某一点处可导，则函数在该点存在导数。
四、常用函数的导数1. 幂函数的导数：$(x^n)' = nx^{n-1}$，其中$n$为常数。
2. 指数函数的导数：$(e^x)' = e^x$。
3. 对数函数的导数：$(\ln x)' = \frac{1}{x}$。
4. 三角函数的导数：$(\sin x)' = \cos x, (\cos x)' = -\sin x, (\tan x)' =\sec^2x$。
成人高考(专升本)高等数学(一)知识点复习资料
C.关于坐标原点对称 D.关于直线 y=x对称 [答]B.
，由于不论 x为何值，总有 ，所以它的图形总是在 x轴的上 。
[主要知识内容] （一）函数的概念 1.函数的定义
由方程 为隐函数。
确定的函数关系
（4）在 ，称
内，下列函数中是无界函数的是
定义 设在某个变化过程中有两个变量 x和 y，变量 y 例如
母 y换成 x得
（1）各组函数中，两个函数相等的是
3）对分段函数求函数值时，不同点的函数值应代入相 结论：
应范围的公式中去求；
这就是
的反函数。
A.
4）分段函数的定义域是各段定义域的并集。
（1）直接函数
与它的反函数 y=
的
例 4.分段函数
图形，必定对称于直线 y=x（一般地，二者是不同的函
B.
数，其图形是不同的曲线）；
， 等都是初等函数。
y=arcsin x 和 。
的定义域都是 附录：常用的初等数学基本公式
一、乘法公式；反之，因式分解公式
，
第一节 极限
[复习考试要求]
个常数 1.我们称：当
1.理解极限的概念（对极限定义
、
、有
等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的 （3）当 左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必
就是一个隐函数，它可以转化成显 (A)
(B)
随变量 x的变化而变化，如果变量 x在实数集合 D或 D 的某一个子集合中每取一数值时，变量 y依照某一法则 函数的形式
(C) y=sin x(D)
f总有一个确定的数值与之对应，则称变量 y为变量 x 要注意的是：并非所有隐函数都可以转化为成显函数。 （四）反函数
2023年成人高考-高起点数学-考前冲刺3之导数
2023年成人高考-高升专数学-考前冲刺3之导数一、知识回顾1.常考初等函数的导数公式（1）（C)’=0（2） (xμ)’=μxμ−1特别地’（3）(a x)’=a x lna (a>0,且a≠1)特别地。
(e x)’=e x二、解题思路及步骤1求：求导令f’(x)=0解得x_1，x_22解：解不等式，f’(x)>0 单增f’(x)<0 单减3图：断点写解，对应写区域4写：极值 f(x 1)=f(x 2)=三、例题讲解例.已知函数f(x) =x ³+x ²-5x-1.求(Ⅰ)f(x)的单调区间; (Ⅱ)f(x)零点的个数解：(1)f(x)=3x ²+2x-5 令f ’(x)=0得x 1=1，x 2=-53 当x>1或x<- -53时,f ’(x)>0当-53<x<-1时,f ’(x)<0 故f(x)的单调增区间为(-∞,-53)或（1,+∞） 单调减区间为（-53，1） (2) f(-53)>0, f(x)<0 ∴f(x)有3个零点已知函数 f(x)=2x ³-12x+1求f(x)的单调区间和极值解: f ’(x)=6x ²-12 令f ’(x)=0得 x 1=√2 x 1=-√2当x>√2 或x<-√2 时,f ’(x)>0当−√2<x<√2时, f ’(x)<0故f(x)的单调增区间为(-∞,-√2)或（√2,+∞）单调减区间为（-√2，√2）当x=-√2时函数取得极大值f(-√2)=8√2+1当x=-√2时函数取得极大值f(-√2)=8√2+1四、习题巩固已知函数f(x)=2x³-3x²+2.(Ⅰ)求f'(x);(Ⅱ)求f(x)在区间[-2,2]的最大值与最小值.解：(1)f'(x)=6x²-6x(2)令f'(x)=0,解得x=0或x=1.因为f(-2)=-26,f(0)=2,f(1)=1.f(2)=6.所以f(x)在区间[-2,2]的最大值为6,最小值为-26.五、思维导图。
(完整版)高考导数专题(含详细解答)
导数及其应用导数的运算1. 几种常有的函数导数：①、 c（ c 为常数）； ②、( x n )（ n R ）； ③、 (sin x) = ；④、 (cos x) =；⑤、( a x )； ⑥、 ( ex)； ⑦、 (log a x ) ； ⑧、 (ln x ).2. 求导数的四则运算法规：(u v)u v ； (uv) u vu'u v ' uv 'u ( v0 ) 注：① u, v 必定是可导函数 .uv ； (u)vuvvvv 223. 复合函数的求导法规：f x ( ( x))f (u) ? ( x) 或 y xy u ? u x一、求曲线的切线（导数几何意义）导数几何意义： f (x 0 ) 表示函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 的斜率；函数 y f (x) 在点 ( x 0 ， f (x 0 ) )处切线 L 方程为 y f (x 0 )f (x 0 )(x x 0 )1. 曲线在点 处的切线方程为（ ）。
A:B:C:D:答案详解 B 正确率 : 69%, 易错项 : C解析 :本题主要观察导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。
对 求导得，代入 得 即为切线的斜率， 切点为，因此切线方程为即。
故本题正确答案为B 。
2.3. 设函数f ( x) g( x) x2，曲线 y g(x) 在点 (1,g(1)) 处的切线方程为 y 2x 1，则曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1))处切线的斜率为( )A ．41C．21B ． D ．4 24. 已知函数 f ( x) 在R上满足 f ( x) 2 f (2 x) x28x 8，则曲线y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是()A . y2x 1 B. y x C. y3x 2 D. y2x 3变式二：5. 在平面直角坐标系xoy 中，点P在曲线C : y x310 x 3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为.6. 设曲线 yx n 1 (n N * ) 在点（ 1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,令 a n lg x n ，则 a 1 a 2 L a 99 的值为.7. 已知点 P 在曲线 y=4 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则的取值范围是e x1, 3]D 、 [ 3,A 、 [0, )B 、 [, ) C 、 ( )44 22 4 4变式三：8. 已知直线y =x＋ 1 与曲线y ln( x a) 相切，则α的值为( )A . 1 B. 2 C. － 1 D. － 29. 若存在过点 (1,0)的直线与曲线 yx 3 和 y ax 2 15 x 9 都相切，则 a 等于4( )A ． 1或 -25B ． 1或21C ． 7 或 - 25D ．7或 76444 6441 110. 若曲线 yx 2 在点 a, a 2 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 aA 、64B 、 32C 、 16D 、811. （本小题满分 13 分） 设 f ( x)ae x 1b( a 0) . （ I ）求 f ( x) 在 [0, ) 上的最小值；ae x3x ；求 a,b 的值 .（ II ）设曲线 yf ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y212. 若曲线 f x ax2Inx 存在垂直于y轴的切线，则实数 a 的取值范围是.二、求单调性或单调区间1、利用导数判断函数单调性的方法：设函数y f (x) 在某个区间 D 内可导，若是 f ( x) ＞0，则y f (x) 在区间D上为增函数；若是 f ( x) ＜0，则y f (x) 在区间 D 上为减函数；若是 f ( x) =0恒成立，则y f (x) 在区间 D 上为常数 .2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式 f ( x) ＞0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f ( x) 的增区间；不等式 f ( x) ＜0的解集与函数y f (x) 定义域的交集，就是y f (x) 的减区间 .1、函数f (x) ( x 3)e x的单调递加区间是( )A . ( ,2) B. (0,3) C. (1,4) D . (2, )2. 函数f (x)x315x233x 6 的单调减区间为.3. 已知函数，，谈论的单调性。
成人高考高数复合函数求导PPT课件
例子:求椭圆
在点
处的切线方程.
解:对椭圆方程的两边分别求导(在此把y看成是关于x 的函数)得:
于是所求切线方程为:
14
利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下:
(1)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P0(x0,y0)的切线方程 是: (22))(过过x0椭椭-a圆圆)(x-a)+(y上0上-一b一)点(点yP-Pb0(0)x(=x0,r0y2,0y.)0的)的切切线线方方程程是是: :
又圆面积S=πR2,所以 =40π(cm)2/s. 故圆面积增加的速度为40π(cm)2/s.
例4:在曲线
上求一点,使通过该点的切线平行于
x轴,并求此切线的方程.
解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知:
切线斜率
把x0=0代入曲线方程得:y0=1. 所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论:
“可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导 函数为偶函数”.现在我们利用复合函数的导数重新加 以证明:
证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x
求导得:
,故
为
奇函数.
同理可证另一个命题.
我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数
量 的求导.
3.复合函数的求导法则: 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间
变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.
法则可以推广到两个以上的中间变量. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变 量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接 求导,就不必再选中间变量.
成人高考-专升本课件-导数的应用PPT课件
24
例1 解
讨论 y 2x 8 的单调性. x
定义域: (, 0) (0, )
y
2
8 x2
0
x1 x ln x x 1 0
lim ln x 1 1
x1 ln x 11 2
16
例11
求
lim
x
2
arctan x
1
ln x.
00
解 运用取对数法 .
lim
x
2
arctan x
1 ln x
lim exp{ 1 } ln( arctan x) 0
x
ln x 2
{ } ln( arctan x)
f (x) f (x0) x Uˆ (x0) ,
则称 f (x0) 为 f (x) 的极小值 , x0为函数的极小点.
29
三、函 数 的 极 值
函数的极值是个局部性的概念. 在 U(x0 )内比较 f (x) 与 f (x0 ) 的大小.
我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式: 费马定理 — 可微函数取极值的必要条件 函数的单调性判别定理和方法
其中 , 0 表示无穷小量; 表示无穷大量; 1表示以1为极限的变量 .
2
0
取 对 数 法 1 00 0
倒数法
0
0
只需讨论 这两种极限
3
罗必达法则
设在某一极限过程中
(1) lim f (x) 0 , lim g(x) 0 ,
0
2012年成人高考 ——数学(导数、三角、解析、概率)资料
正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、 周期性、单调性、奇偶性。什么叫最小正周期？
函数y=Asin(ωx+Φ)的周期，最大值与最小值
先比较图像y=sinx与y=sin2x，再比较y=sinx与y=sin(1/2)x 的图像，那么sinωx的最小正周期怎么算？ y=sinωx(ω＞0)的最小正周期为2π/ω
导(函)数的定义
如果函数 f(x)在开区间 (a ,b)内的每一点都可导，此
时对于每一个x ∈(a ,b) ，都对应着一个确定的导数
从而构成了一个新的函数 f ( x ) 。
f ( x ) 为函数 y = f(x )在开区间内的导 函数，简称导数。也可记作 yˊ，即 f ( x )
称这个函数
Dy f ( x Dx ) f ( x ) f ( x ) y lim lim Dx 0 Dx Dx 0 Dx
角度制 弧度制
等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，用弧度做量 角单位。正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角 的弧度数为零，任一已知角α 的弧度数的绝对值：
其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径。
l | | r
角度与弧度的换算
360°=2π 180 °=π
导数的基本公式
1、(C)’=0(C为常数） (xn)’=nxn-1(n为正整数，即n∈N+） 2、和（或差）的导数 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数 的导数的和（或差），即： （u±v）’=u’ ±v’ 3、常数与函数的积的导数 常熟与函数的积的导数，等于常数乘函数的导 数，即 （Cu）’=Cu’(C为常数)
函数的极值 函数极值的定义 求函数极值的常规办法（三步法），尤其是第三步，怎样判 断极大值和极小值。
数学专升本导数知识点总结
数学专升本导数知识点总结一、导数的定义及几何意义1.1 导数的定义函数y=f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中f'(a)为函数f(x)在点x=a处的导数。
导数的定义是利用极限的概念来描述函数在某一点处的瞬时变化率。
1.2 导数的几何意义导数可以解释函数在某一点处的切线斜率，也可以表示函数在该点的瞬时变化率。
直观来说，导数就是函数曲线在某一点处的斜率，可以描述函数在该点的变化情况。
1.3 导数的图形表示导数的图形表示是函数的切线斜率的曲线图形，可以通过导数曲线的斜率正负来判断函数的递增和递减区间，以及函数的凹凸性质。
二、导数的计算方法及性质2.1 基本导数公式在微积分中，有一些基本函数的导数公式，例如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
(1) 幂函数的导数对于函数y=x^n，其中n是任意实数，则该函数的导数为：y' = nx^(n-1)(2) 指数函数的导数对于函数y=a^x，其中a为常数，该函数的导数为：y' = a^x * ln(a)(3) 对数函数的导数对于函数y=log_a(x)，其中a为常数，该函数的导数为：y' = 1/(xlna)(4) 三角函数的导数三角函数的导数公式包括sinx、cosx、tanx、cotx、secx、cscx的导数公式。
2.2 导数的基本运算法则导数的基本运算法则包括了导数的加法法则、乘法法则、商法则和复合函数的导数公式。
(1) 导数的加法法则若函数y=f(x)和y=g(x)的导数分别为f'(x)和g'(x)，则这两个函数的和(差)的导数为：(f+g)' = f' + g'(2) 导数的乘法法则若函数y=f(x)和y=g(x)的导数分别为f'(x)和g'(x)，则这两个函数的乘积的导数为：(fg)' = f'g + fg'(3) 导数的商法则若函数y=f(x)和y=g(x)的导数分别为f'(x)和g'(x)，则这两个函数的商的导数为：(f/g)' = (f'g - fg') / g^2(4) 复合函数的导数若函数y=f(g(x))，其中f和g都可导，则该复合函数的导数为：y' = f'(g) * g'2.3 隐函数的导数对于隐函数的导数计算，通常使用求导公式结合隐函数求导法则进行计算。
成人高考高数学(一)9
成人高考高数学（一）9.导数与微分
1、知识范围
(1)导数概念
导数的定义、左导数与右导数、函数在一点处可导的充分必要条件导数的几何意义与物理意义、可导与连续的关系
(2)求导法则与导数的基本公式
导数的四则运算、反函数的导数、导数的基本公式
(3)求导方法
复合函数的求导法、隐函数的求导法、对数求导法由参数方程确定的函数的求导法、求分段函数的导数
(4)高阶导数
高阶导数的定义、高阶导数的计算
(5)微分
微分的定义、微分与导数的关系、微分法则一阶微分形式不变性
2、要求
(1)理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，掌握用定义求函数在一点处的导数的方法。
(2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
(3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法，会求反函数的导数。
(4)掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。
(5)理解高阶导数的概念，会求简单函数的阶导数。
(6)理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。
(二)微分中值定理及导数的应用
1、知识范围
(1)微分中值定理
罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理
(2)洛必达(L‘Hospital)法则
(3)函数增减性的判定法
(4)函数的极值与极值点最大值与最小值
(5)曲线的凹凸性、拐点
(6)曲线的水平渐近线与铅直渐近线。
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代入切线方程公式，得 y 3 6(x 1)
整理成标准形式，得 6x y 3 0
练习 : 求下列函数的导数及在点(0,1)处的切线方程：
(1)f(x ) 2x 3 2x 2 x
解：(1) f (x) 6x2 4x 1 f (0) 1
代入切线方程公式，得 y 1 1(x 0)
(3) f ' (x) 1 f (1) 1
(4) f '(x) 0 f (1) 0
多项式幂函数求导举例
求函数f (x) x3 2x2 3x 1的导数f (x)；
解：f '(x) 3x2 2 2x 3 3x2 4x 3
若f (x) 2x4 5x3 x2 3,求f (x), f (1)
例(1)利用导数求函数 y x2 2x 3的单调区间;
解：函数 y x2 2x 3的定义域是 (,) y 2x 2 2(x 1)
令y 2(x 1) 0, 得函数y x2 2x 3的一个驻点 x 1; x 1把区间(,)分成两个区间 (,1)和(1,);
当x (,1)时，y 2(x 1) 0 区间(,1)是y x2 2x 3的单调递减区间 .
第五章 导数
一、导数定义 二、幂函数求导公式和法则（重要） 三、导数的几何意义（考点） 四、函数的单调性与极值（考点） 五、函数的最大值和最小值（考点）
一、导数: 幂函数求导公式和法则
(1)如果f (x) C，则f (x) 0，即常数的导数是零； (2)如果f (x) xn，则f (x) nxn1； (3)如果f (x) Cxn，则f (x) C nxn1.
2、判断函数单调性的步骤：
(1)求出函数f (x)的定义域;
(2)求出函数f (x)的导数f (x);
(3)令f (x) 0,并求出使f (x) 0得点x,这样的点叫做 函数f (x)的驻点; (4)驻点把函数 f (x)的定义域分成若干个区 间;
(5)在上述每一个区间内考查f (x)的符号,并根据定理 判断函数f (x)在各区间内的单调性;
1)求曲线y x2在点(2,5)处的切线的斜率 ;
2)求曲线y x2 x在点(0,1)处的切线方程 ;
1)对函数求导，得y 2x,则y x2 4 即在点P（- 2,5）处切线斜率为- 4
2)对函数求导，得y 2x 1,则y x0 1 即斜率为1,又由条件点x 0处可求出对应的y 1 即切点为(0,1),代入直线点斜式可得: y 1 1 (x 0) 整理得：x y 1 0
整理得x y 1 0
解：(2) f (x) x3 x2 x x2 x 1 x3 1
f (x) 3x2
f (0) 0
代入切线方程公式，得 y 1 0(x 0) 整理得y 1 0
例：已知函数 f (x) x4 2x2 3。
09年考题第23题12分
（1）求曲线Βιβλιοθήκη f (x) x4 2x2 3在点(2,11)处的切线方程；
❖ 对应的切线方程： y y0 f (x0 )( x x0 )
求曲线y x2 x在点(1,2)处的斜率及切线方程
解：首先求导，得： y 2x 1
代入横坐标，得斜率 f (1) y |x1 211 3
代入切线方程公式，得 y 2 3(x 1) 整理成标准形式，得 3x y 1 0
当x (1,)时，y 2(x 1) 0 区间(1,)是y x2 2x 3的单调递增区间 .
例：已知函数 f (x) x4 2x2 3。
09年考题第23题12分
（1）求曲线 f (x) x4 2x2 3在点(2,11)处的切线方程；
（2）求函数 f (x)的单调区间。
（2）函数f (x) x4 2x2 3的定义域是 (,)
（2）求函数 f (x)的单调区间。
解：(1) f (x) 4x3 4x 4x(x 1)( x 1)
f (2) 4 23 4 2 24
曲线f (x) x4 2x2 3在点(2,11)处的切线方程: y 11 24(x 2) 即24x y 37 0
曲线 y x2 1与直线 y kx只有一个公共点，则k=
f (x) 2 4x3 53x2 2x 8x3 15x2 2x f (1) 8 15 2 25
应用一：求切线
导数的几何意义： ❖ 导数是曲线 y f (x) 在点(x0 , y0 )处的切线的斜率 (1) 切线的斜率方法就是先对曲线方程所对应函数求 导 (2)然后再代入点坐标，求出具体的导数值
（A）2或2 （B）0或4 （C）1或1 （D）3或7
y
y 2x
2
x
y 2x
y x2 1的切线y 2x就与y x2 1只有一个公共点，
y
y x
2x
y
2x2
y y
x2 1
2x2
x
1,k
y
2
应用二：判断函数的单调性
1、定理：设函数f (x)在区间(a,b)内可导， 如果在(a,b)内f (x) 0，那么f (x)在(a,b)内是增函数； 如果在(a,b)内f (x) 0，那么f (x)在(a,b)内是减函数； 如果在(a,b)内恒有f (x) 0，那么f (x)在(a,b)内是常数。
注意: f (x)是x的函数， f (x0 )是一个函数值
幂函数求导举例（降幂）
求下列函数的导数及f (1)： (1)f(x ) x 3;(2)f(x ) 6x 5; (3)f(x ) x;(4)f(x ) 5 (1) f ' (x) 3x2 f ' (1) 3 (1)2 3
(2) f ' (x) 5 6x4 30 x4 f ' (1) 30 (1)4 30
11年考题第20小题4分
例：曲线 f (x) 2x2 3在点(1,5)处切线的斜率为 __________;
解： y 4x y |x1 4 (1) 4
例：曲线 f (x) 2x3 1在点(1,3)处的切线方程为 __________;
10年考题第19小题4分
解： y 6x2
y |x1 6 12 6