(完整版)成人高考数学—导数

1)求曲线y x2在点(2,5)处的切线的斜率 ;
2)求曲线y x2 x在点(0,1)处的切线方程 ;
1)对函数求导，得y 2x,则y x2 4 即在点P（- 2,5）处切线斜率为- 4
2)对函数求导，得y 2x 1,则y x0 1 即斜率为1,又由条件点x 0处可求出对应的y 1 即切点为(0,1),代入直线点斜式可得: y 1 1 (x 0) 整理得：x y 1 0
(3) f ' (x) 1 f (1) 1
(4) f '(x) 0 f (1) 0
多项式幂函数求导举例
求函数f (x) x3 2x2 3x 1的导数f (x)；
解：f '(x) 3x2 2 2x 3 3x2 4x 3
若f (x) 2x4 5x3 x2 3,求f (x), f (1)
第五章 导数
一、导数定义 二、幂函数求导公式和法则（重要） 三、导数的几何意义（考点） 四、函数的单调性与极值（考点） 五、函数的最大值和最小值（考点）
一、导数: 幂函数求导公式和法则
(1)如果f (x) C，则f (x) 0，即常数的导数是零； (2)如果f (x) xn，则f (x) nxn1； (3)如果f (x) Cxn，则f (x) C nxn1.
2、判断函数单调性的步骤：
(1)求出函数f (x)的定义域;
(2)求出函数f (x)的导数f (x);
(3)令f (x) 0,并求出使f (x) 0得点x,这样的点叫做 函数f (x)的驻点; (4)驻点把函数 f (x)的定义域分成若干个区 间;
(5)在上述每一个区间内考查f (x)的符号,并根据定理 判断函数f (x)在各区间内的单调性;
（A）2或2 （B）0或4 （C）1或1 （D）3或7
y
y 2x
2
x
y 2x
y x2 1的切线y 2x就与y x2 1只有一个公共点，
y
y x
2x
y
2x2
y y
x2 1
2x2
x
1,k
y
2
应用二：判断函数的单调性
1、定理：设函数f (x)在区间(a,b)内可导， 如果在(a,b)内f (x) 0，那么f (x)在(a,b)内是增函数； 如果在(a,b)内f (x) 0，那么f (x)在(a,b)内是减函数； 如果在(a,b)内恒有f (x) 0，那么f (x)在(a,b)内是常数。
f (x) 2 4x3 53x2 2x 8x3 15x2 2x f (1) 8 15 2 25
应用一：求切线
导数的几何意义： ❖ 导数是曲线 y f (x) 在点(x0 , y0 )处的切线的斜率 (1) 切线的斜率方法就是先对曲线方程所对应函数求 导 (2)然后再代入点坐标，求出具体的导数值
（2）求函数 f (x)的单调区间。
解：(1) f (x) 4x3 4x 4x(x 1)( x 1)
f (2) 4 23 4 2 24
曲线f (x) x4 2x2 3在点(2,11)处的切线方程: y 11 24(x 2) 即24x y 37 0
曲线 y x2 1与直线 y kx只有一个公共点，则k=
注意: f (x)是x的函数， f (x0 )是一个函数值
幂函数求导举例（降幂）
求下列函数的导数及f (1)： (1)f(x ) x 3;(2)f(x ) 6x 5; (3)f(x ) x;(4)f(x ) 5 (1) f ' (x) 3x2 f ' (1) 3 (1)2 3
(2) f ' (x) 5 6x4 30 x4 f ' (1) 30 (1)4 30
当x (1,)时，y 2(x 1) 0 区间(1,)是y x2 2x 3的单调递增区间 .
例：已知函数 f (x) x4 2x2 3。
09年考题ຫໍສະໝຸດ Baidu23题12分
（1）求曲线 f (x) x4 2x2 3在点(2,11)处的切线方程；
（2）求函数 f (x)的单调区间。
（2）函数f (x) x4 2x2 3的定义域是 (,)
11年考题第20小题4分
例：曲线 f (x) 2x2 3在点(1,5)处切线的斜率为 __________;
解： y 4x y |x1 4 (1) 4
例：曲线 f (x) 2x3 1在点(1,3)处的切线方程为 __________;
10年考题第19小题4分
解： y 6x2
y |x1 6 12 6
代入切线方程公式，得 y 3 6(x 1)
整理成标准形式，得 6x y 3 0
练习 : 求下列函数的导数及在点(0,1)处的切线方程：
(1)f(x ) 2x 3 2x 2 x
解：(1) f (x) 6x2 4x 1 f (0) 1
代入切线方程公式，得 y 1 1(x 0)
整理得x y 1 0
解：(2) f (x) x3 x2 x x2 x 1 x3 1
f (x) 3x2
f (0) 0
代入切线方程公式，得 y 1 0(x 0) 整理得y 1 0
例：已知函数 f (x) x4 2x2 3。
09年考题第23题12分
（1）求曲线 f (x) x4 2x2 3在点(2,11)处的切线方程；
例(1)利用导数求函数 y x2 2x 3的单调区间;
解：函数 y x2 2x 3的定义域是 (,) y 2x 2 2(x 1)
令y 2(x 1) 0, 得函数y x2 2x 3的一个驻点 x 1; x 1把区间(,)分成两个区间 (,1)和(1,);
当x (,1)时，y 2(x 1) 0 区间(,1)是y x2 2x 3的单调递减区间 .
❖ 对应的切线方程： y y0 f (x0 )( x x0 )
求曲线y x2 x在点(1,2)处的斜率及切线方程
解：首先求导，得： y 2x 1
代入横坐标，得斜率 f (1) y |x1 211 3
代入切线方程公式，得 y 2 3(x 1) 整理成标准形式，得 3x y 1 0