模拟滤波器的设计

附录A 模拟低通滤波器Lowpass Filter设计
反混叠 S/H A/D DSP 滤波器
D/A
重构
滤波器
1 滤波器特性 该图显示了一个低通滤波器的幅度响应|Ha(j)|
定义在0 p的通带中
1-p |Ha(j)| 1+ p , || p
即，幅度|Ha(j)|以误差p逼近1。 在定义为s 的阻带中
和最大阻带波纹1/A来决定这两个参数。
2
Ha ( jp )
1
(
1 p
)2
N
1
1 2
c
Ha ( js ) 2
1 1 ( s )2N
1 A2
那么
c
N 1 log10[A2 1) / 2 ] log10(1/ k1) 2 log10(s / p ) log10(1/ k)
求一个0.5dB截止频率为2.1kHz、在8kHz处 有最小衰减30dB的低通巴特沃兹滤波器的最 低阶数。
Type 1 Chebyshev Filter
Magnitude
N=2
1
N=3
0.8
N=8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
如果在 = c处，幅度等于1/A，则
Ha(
js )
2
1
1 2TN2 (s
/
p)
1 A2
故
N
cosh1( A2 1/ )
cosh1(s / p )
cosh1(1/ k1) cosh1(1/ k)
|Hlp(s)|
p
|Hhp(p)|
p
s
pp s
例：一个巴特沃兹高通滤波器的指标如下： Fp=5MHz,Fs=0.5MHz,αp=0.3dB, αs=45dB。 相应的模拟低通滤波器的频带截止频率和阶数
是多少？高通滤波器的阶数是多少？
令
H5lp.(2s)为模低拟通带系通统滤函波数器，设H b计p ( s )为 带 通 系 统 函 数 ；
低通-->带阻变换对应关系
|Hbr(p)|
B
0, 0

s1
p
s2
p
0
|Hlp(s)|
B
0
s1 0 s2
p 0
p
0 p2p1
H
br
B
( s )
p2 p1
Hlp(s)
02
p
|
ss
s
p 2 p1
p
(s2s202 s1
)
0=0.00255135, =0.0025513525
因此 N = 2.23308
故 N=3
Elliptic Filter
Magnitude
N=3
1
N=4
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
附录B 模拟高通、带通和带阻滤波器的设计 各种模拟滤波器的理想幅频特性：
|H(ej Ω)
|H(ej Ω)
|H(ej Ω)
p为低通截止频率，
p2为带通低端截止频率，p1为带通高端截止频率
0为带通几何中心频率 p2p1
带通滤波器是以带通的中心频率0，
模拟低通-->模拟带通的变换的映射对应关系
|Hbp(p)|
变成 带通 滤波 器
0
B
p1 0
平移中心频率至
0
0
p2
p2
p1
0
p
p
p
|Hlp(s)|
B
0
p
0 p1p2
由p, s, 和 A可以确定N：
N 2 log10 (4 / k1)
log10 (1/ )
其中 k' 1 k 2
0
1 2(1
k' k ')
0 2(0 )5 15(0 )9 150(0 )13
例：设计一个低通椭圆滤波器，求其最低阶 数。其中传输函数的1dB截止频率为1kHz， 在5kHz处有一个40dB的最小衰减。 由于 K = 0.2 且 1/k1=196.5134 则 k’=0.979796
|Ha(j)| s s
即，幅度|Ha(j)|以误差s 逼近0。
p－－通带截止频率passband edge frequency s－－阻带截止频率stopband edge frequency p －－通带波纹peak ripple value in the passband s －－阻带波纹peak ripple value in the stopband 通带峰值波纹Peak passband ripple ：
Butterworth Filter
Magnitude
1
N=2 N=4
当N增大时，
0.8
N = 10
滤波器的特
0.6
性曲线变得
0.4
陡峭，则更
接近理想矩
0.2
形幅度特性。
0
0
1
2
3
3dB截止频率和阶数N可以完全描述一个巴
特沃兹滤波器。可以通过通带截止频率p 、 最小通带幅度1/(1 + 2) 、阻带截止频率S
B p2 p1 p
H bp (p)
Hlp(s)
|
s
s
(
s 2 p
02 2 p1
)
p
5.3 模拟带阻滤波器设计
Hlp(s)为低通系统函数，Hbr (p)为带阻系统函数；
p为低通截止频率，
s1为带阻低端截止频率，s2为带阻高端截止频率
0为带阻几何中心频率 s1s2
带阻滤波器是以带阻的中心频率0，
p 20log10 (1 p ) dB
最小阻带衰减Minimum stopband attenuation ：
s 20log10(s ) dB
模拟低通滤波器的幅度响应用归一化normalized form形式：
其它的参数： 过渡比Transition ratio或选择性参数k：
k = p/ s
s F(s)
H H H
DDLP(((ssS)))::所低H需L通P类(系S)型统/s系函F(统s数) 函，数
，
H LP(S) H D (s) / sF1(s);
5.1 模拟高通滤波器设计
H lp (s)为 低 通 系 统 函 数 ，H hp ( s )为 高 通 系 统 函 数 ；
p为低通截止频率， p为高通截止频率
|H(ej Ω)
c Ω
2
（低通）
c Ω
2
（高通）
l hΩ
2
（带通）
Ω
l h
2
（带阻）
高通、带通和带阻滤波器的传输函数可以通过 频率变换，分别由低通滤波器的技术指标，按 照该技术指标先设计低通滤波器，再通过频率 变换，将低通的传输函数转换成所需类型的滤 波器传输函数。
设为：了s为防低止通符L号变混换淆，，s为先所规需定类一型些（符例号高如通）下L变：换；
3 切比雪夫Chebyshev逼近
切比雪夫1型逼近：
N阶模拟低通切比雪夫1型滤波器幅度平方响应为：
Ha (s)
2
1
1 2TN2 ( / p
)
其中， TN()是N阶切比雪夫多项式：
cos(N cos1 ), 1
TN
()
cosh(
N
cosh
1
),
1
不同的N值对应的归一化切比雪夫1型滤波器的 幅度响应曲线（c =1）：
分辨参数Discrimination parameter k1：
k1 = / (A2 -1)
通常k1<<1
2 巴特沃思Butterworth逼近
N阶模拟低通巴特沃兹滤波器幅度平方响应为：
Ha
(
j)
2
1
1 ( / c
)2N
因此， |Ha(j)|2在 = 0处的前2N－1阶导数为0， 则它在 = 0处有最大平坦幅度特性maximally-flat
切比雪夫2型逼近：
N阶模拟低通切比雪夫2型滤波器幅度平方响应为：
Ha
(
j)
2
1
1 2 TN (s / p )2 TN (s / )
Magnitude
Type 2 Chebyshev Filter
N=3
1
N=5
0.8
N=7
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
N可以通过, s,和A确定则
N
cosh1( A2 cosh 1 ( s
1/
/p)
)
cosh1(1/ k1) cosh1(1/ k)
例：设计一个切比雪夫低通滤波器的N，其中 传输函数的1dB截止频率为1kHz，在5kHz处有 一个40dB的最小衰减。
4 椭圆Elliptic逼近
N阶模拟低通椭圆滤波器幅度平方响应为：
Ha
(
j)
2
1
1 2RN2 (
/
p
)
其 中R（ N )是 雅 可 比(Jacobi) 椭 圆 函 数， ε 为 与 通 带 衰 减 有 关 的 参 数。且是RN(1/)= 1/ RN() 的N阶有理函数。其分子的根落在0< <1 ，分母的根落在1< <
magnitude 。单位为db的巴特沃兹滤波器的增益
为： G()=10log10|Ha(j)|2
在 = 0处，其增益为0，而在处c ，增益：
G(c)=10log10(0.5)=-3.0103-3 dB
c ：3dB截止频率3-dB cutoff frequency