数学分析21.3格林公式、曲线积分与路线的无关性(含习题及参考答案)

第二十一章 重积分

3格林公式、曲线积分与路线的无关性

一、格林公式

概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L.

定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式：

⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向.

证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d.

这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE

的方程, ∴⎰⎰

∂∂D

d x Q

σ=⎰⎰∂∂)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=⎰d c dy y y Q )),((2ψ-⎰d c dy

y y Q )),((1ψ

=⎰⋂

CBE dy y x Q ),(-⎰⋂

CAE dy y x Q ),(=⎰⋂

CBE dy y x Q ),(+⎰⋂

EAC dy y x Q ),(=⎰L dy y x Q ),(.

同理可证：-⎰⎰

∂∂D

d y P

σ=⎰L dx y x P ),(. 即有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)，

则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，

然后逐块按(1)得到它们的格林公式，相加即可.

图2中区域D 可分成三个既是x 型又是y 型的区域D 1,D 2,D 3，则有

⎰⎰⎪

⎪⎭⎫

⎝

⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂2D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂3D d y P x Q σ =⎰+1

L Qdy Pdx +⎰+2

L Qdy Pdx +⎰+3

L Qdy Pdx =⎰+L Qdy Pdx

.

(3)若区域D 由几条闭曲线所围成(如图3)， 可适当添加直线AB, CE,把区域转化为(2)的情况处理.

图D 的边界线由AB,L 2,BA,⌒AFC ,CE,L 3,EC 及⌒CGA

构成. 由(2)知 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++++++⎰

⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⋂

⋂

CGA EC l CE AFC

BA l AB

32(Pdx+Qdy)

=()⎰⎰⎰++1

3

2

L L L (Pdx+Qdy)=⎰+L Qdy Pdx .

注：格林公式可写为：⎰⎰

∂∂

∂∂D

d Q

P y x σ=⎰+L Qdy Pdx .

例1：计算⎰AB xdy ，其中曲线AB 为半径为r 的圆在第一象限部分. 解：如图，对半径为r 的四分之一圆域D 应用格林公式有

⎰⎰-D d σ=⎰-L xdy =⎰OA xdy +⎰AB xdy +⎰BO xdy =⎰AB xdy . ∴⎰AB xdy =⎰⎰-D

d σ=-41πr 2

.

例2：计算I=⎰+-L

y x ydx

xdy 2

2, 其中L 为任一不包含原点的闭区域的边界线.

解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x =2222

2)(y x x y +-, ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-∂∂2

2y x y y =2222

2)(y x x y +- 在上述区域D 上连续且有界，∴⎰⎰⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂D

d y

x y

x y x x x σ22

22=0. 由格林公式可得I=0.

注：在格林公式中，令P=-y, Q=x ，则得到一个计算平面区域D 的面积S D 的公式：S D =⎰⎰D

d σ=

⎰-L ydx xdy 2

1

.

例3：如图，计算抛物线(x+y)2=ax (a>0)与x 轴所围的面积.

解：曲线⌒AMO

由函数y=x ax -, x ∈[0,a]， 直线OA 为直线y=0， ∴S D =

⎰-ydx xdy 21=⎰-OA ydx xdy 21+⎰⋂-AMO ydx xdy 21=⎰⋂-AMO ydx xdy 21

=dx x ax ax a

x a ⎰⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0)(1221=dx ax a ⎰-02121=dx x a a

⎰

4=6

2

a .

二、曲线积分与路线的无关性

概念：若对于平面区域D 上任一封闭曲线，皆可不经过D 以外的点而连续收缩于属于D 的某一点，则称此平面区域为单连通区域，否则称为复连通区域。单连通区域也可以描述为：

D 内任一封闭曲线所围成的区域内只含有D 中的点。或通俗地讲，