【数学】函数的最大小值与导数
函数的极值与最大(小)值 高中数学人教A版2019选择性必修第二册
称极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函
数的局部性质.
思考? 极大值一定比极小值大吗？
如下图是函数y=f(x)，x∈[a, b]的图象，找出哪些是极
小值，哪些是极大值？
图中f(x1), f(x3) , f(x5)是极小值， f(x2) , f(x4) , f(x6)
附近其他点的函数值都大，f′(b)=0 ; 而且在点x=b附近的左
侧，f′(x)>0, 右侧f′(x)< 0.
y
y = f ( x)
a
O
b
c
d
e
x
我们把 a 叫做函数 y=f(x) 的极小值点 , f(a)叫做函数
y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函
数y=f(x)的极大值.
当x变化时，f′(x), f(x)的变化情况如下表：
x
0
f (x)
f (x)
(0 , 2)
2
0
━
4 单调递减↘
-
(2 , 3)
3
+
4
单调递增↗
3
1
由上表可知，在区间[0, 3]上，当x=2时，函数f(x)有极
小值f(2)= - .
又由于 f(0)=4 , f(3)=1，
所以，函数f(x)在区间[0, 3]上的最大值4，最小值- .
解: (3) f(x)的大致图像如图所示.
方程 f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数
y=f(x)的图像与直线y=a的交点个数.
由(1)及图可得，当x=-2时，
f(x)有最小值f(-2)=− .
高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件
3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
高三数学总复习优质课件 函数 导数及其应用 第2节 函数的单调性与最值
(B)(1,+∞)
(C)(-∞,1)
(D)(0,+∞)
解析:因为f(x)是R上的减函数且f(2a-1)<f(a),所以2a-1>a,所以a>1,故
选B.
4.若函数f(x)=(m-2)x+b在R上是减函数,则f(m)与f(2)的大小关系是
( A )
(A)f(m)>f(2)
(B)f(m)<f(2)
在这一区间具有(严格的)单调性, 区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
条件
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
(3)对于任意的 x∈I,
(1)对于任意的x∈I,都有 f(x)≤M ; 都有 f(x)≥M
;
(2)存在x ∈I,使得 f(x0)=M _
(4)存在x ∈I,使得
所以(2a+2b)x+c=0,所以 c=0,a=-b,
所以二次函数图象的对称轴方程为 x= .
因为 f(x)在区间[2m,m+1]上不单调,所以 2m< <m+1,所以- <m< .
答案:(- , )
[对点训练3] 若函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,则a的取值范
是增函数;如果y=f(u)和u=g(x)的单调性相反,那么y=f(g(x))是减函数.在
应用这一结论时,必须注意:函数u=g(x)的值域必须是y=f(u)的单调区间的
子集;
(3)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函
【新高考】高三数学一轮复习知识点专题3-2 导数与函数的单调性、极值与最值
专题3.2 导数与函数的单调性、极值与最值（精讲）【考情分析】1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；4.会用导数求函数的极大值、极小值；5.会求闭区间上函数的最大值、最小值。
【重点知识梳理】知识点一函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点二函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点三函数的极值与导数形如山峰形如山谷知识点四函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【特别提醒】1.函数f (x )在区间(a ，b )上递增，则f ′(x )≥0，“f ′(x )>0在(a ，b )上成立”是“f (x )在(a ，b )上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【典型题分析】高频考点一求函数的单调区间例1.【2019·天津卷】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数，求()f x 的单调区间。
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f （x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，函数的最大值和最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
2.6.3函数的最值—2021-2022学年高二下学期数学 北师大版（2019）选择性必修第二册
∵ ℎ 1 = 0,当 ∈
1 时， ℎ > 0,从而
′ > 0这时函数f(x)单调递增；
当 ∈ 1 2 时， ℎ < 0,从而 ′ < 0,这时
函数f(x)单调递减.
.
min
= 1 = 1.
环节五
最值与参数
3
2
4.函数 = − 6 + ,是否存在实数a，
北师大（2019）选择性必修第二册
§ 2.6.3 函数的最值
（第一课时）
胡
琪
知识目标
1、使学生理解函数的最大值与最小值的概念；
2、使学生掌握用导数求函数的最值的方法和步
骤
重点：
利用导数求函数的最大值与最小值的方法
难点：
函数的最大值、最小值与函数的极大值和极
小值的关系。
环节一
复习
函数的极值与导数之间的关系
4
−
3
又·： 0 = 4, 3 = 1
4
∴函数f(z)在[0，3]的最大值是4，最小值是 −
3
思
考
将例题中的区间[0，3]改为 −3 4 ,最大值最
小值又会是多少？ −3 5 呢？
3
2
2.求 = − 3 + 2在区间 −1 1 上的最大值
与最小值.
′
2
= 3 − 6 = 3 − 2 ,
函数在定义域上的最小值.
注意
函数的最值是整体性的概念
函数的极值不一定是最值，最值不
一定是极值
当f(x)在区间[a，b]上连续 当f(x)在区间 上
连续不断且单调时，其最值在端不断时，其最
值在端点处或点处取得极值点处取得
导数的最大值与原函数的最大值大小关系
导数的最大值与原函数的最大值大小关系一、导数的最大值与原函数的极值在微积分中，导数代表了函数在某一点的变化率。
对于一个连续可导的函数，其导数存在最大值的情况是很常见的。
这种情况下，我们常常会思考导数的最大值与原函数的最大值之间是否存在某种大小关系。
二、导数的最大值1. 定义导数的最大值指的是函数在某一区间上导数的绝对值的最大值。
也就是说，导数的最大值是指在特定区间上，函数的变化率最大的点所对应的导数值。
2. 导数的最大值的意义当导数的最大值出现时，这意味着函数在某一点上的变化率最大。
这个点可能是函数的极大值点，也可能是函数的拐点。
在这个点上，函数的变化速率达到了最高点。
三、原函数的最大值1. 定义原函数的最大值指的是函数在某一区间上的函数值的最大值。
也就是说，原函数的最大值是指在特定区间上，函数取得的最大值。
2. 原函数的最大值的意义当函数的最大值出现时，这意味着函数在某一点上取得了最大值。
这个点就是函数的最高点或者最大点。
在这个点上，函数的取值达到了最大值。
四、导数的最大值与原函数的最大值的关系1. 关系的探讨在一般情况下，导数的最大值与原函数的最大值之间是存在某种关系的。
通常来说，如果函数在某一点上的导数的最大值为正数，那么函数在该点上的变化率最大，意味着函数在该点上是递增的，从而原函数在该点上可能取得最大值。
同样地，如果函数在某一点上的导数的最大值为负数，那么函数在该点上的变化率最大，意味着函数在该点上是递减的，从而原函数在该点上可能取得最大值。
2. 特殊情况然而，也存在一些特殊情况。
某个函数的导数在某一点上存在最大值，但是函数在该点上并不取得极值。
这种情况下，导数的最大值与原函数的最大值之间并不一定存在确定的关系。
五、结论导数的最大值与原函数的最大值之间存在某种关系，在一般情况下，可以通过导数的最大值来推断原函数的最大值。
然而，也存在一些特殊情况，需要具体问题具体分析。
导数的最大值与原函数的最大值之间具有一定的关系，但需要根据具体情况具体分析。
高中数学选修2(人教A版)课件5.3.2.2函数的最大(小)值
方法归纳
(1)含参数的函数最值问题的两类情况 ①能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问 题． ②对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质 是讨论导函数大于 0，等于 0，小于 0 三种情况．若导函数恒不等 于 0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导 函数可能等于 0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定 最值．
极小值
因为 f(－1)＝10，f(3)＝18，f( 2)＝－8 2，
所以当 x＝ 2时，f(x)取得最小值－8 2；
当 x＝3 时，f(x)取得最大值 18.
(2)f′(x)＝12＋cos x，令 f′(x)＝0，
又 x∈[0,2π]，解得 x＝23π 或 x＝43π.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x
0 0，23π
23π
32π，34π
43π
34π，2π 2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
极大值
极小值
f(x) 0
π3＋
3 2
23π－
3 2
π
∴当 x＝0 时，f(x)有最小值 f(0)＝0；
当 x＝2π 时，f(x)有最大值 f(2π)＝π.
方法归纳
导数法求函数最值 (1)求 f′(x)，令 f′(x)＝0，求出在(a，b)内使导数为 0 的点， 同时还要找出导数不存在的点． (2)比较三类点处的函数值：导数不存在的点，导数为 0 的点及 区间端点的函数值，其中最大者便是 f(x)在[a，b]上的最大值，最小 者便是 f(x)在[a，b]上的最小值．
(2)函数 y＝xln x 的最小值为( ) A．－e－1 B．－e
函数的极大值、极小值
【学习目标】1.理解极大值、极小值的概念.2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.3.掌握求可导函数的极值的步骤【重点与难点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤【学法提示】讲练结合【课前预习】用导数法求下列函数的单调区间.(1) 2()2f x x x =-- (2)311433y x x =-+1.极大值：2.极小值：3.极大值与极小值统称为极值取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的即函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数/()f x(2)求方程/()f x =0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列表.检查/()f x 在方程根左右的值的符号，若左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；若左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值【能力交流】例1求y =31x 3－4x +31的极值【课堂小结】【课堂巩固】1．求下列函数的极值.(1)y =x 2－7x +6(2)y =x 3－27x2.求ln ,(0,2)y x x x =-∈的极值【学后反思】。
【人教A版】数学《优化方案》选修2-2课件第1章1.3.3
x f′(x)
f(x)
(－1,0)
0
(0,2)
＋
0
－
↗ 最大值3 ↘
∴当x＝0时，f(x)取最大值，∴b＝3. 又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3， f(－1)＝－7a＋3>f(2)， ∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29， ∴a＝2， ∴a＝2，b＝3.
【思维总结】 本题属于逆向探究题型．解这 类问题的基本方法是待定系数法．从逆向思维 出发，实现由已知向未知的转化，最终落脚在 比较极值与端点值大小上，从而解决问题．
【解】 ∵f(x)＝x3－12x2－2x＋5， ∴f′(x)＝3x2－x－2. 令 f′(x)＝0，即 3x2－x－2＝0，
∴x＝1，或 x＝－23. 列表：
x －1
(－1，－23) －23
(－23，1)
1
(1,2) 2
f′(x)
f(x)
11
2
＋
↗
0
157 27
－
↘
0
7 2
＋
↗
7
∴当 x＝－23时，f(x)取得极大值 f－23＝52227；
值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注
意以下几点： (1)对函数进行准确求导； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点 函数值； (3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要 利用作差或作商，甚至要分类讨论．
变式训练1 求下列各函数的最值． (1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]； (2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正常数． 解：(1)f′(x)＝－4x3＋4x， 令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0， 得x＝－1或x＝0或x＝1. 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
函数的最大(小)值(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
函数的最大（小）值
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.
如果x0 是函数 y=f(x)的极大（小）值点，那么在x = x0 附近找不到比f(x0 )更大（小）的值.
但是在解决实际问题或研究函数的性质时，往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，
哪个值最小.
如果x0 在某个区间上函数 y=f(x) 的最大（小）值点，那么f(x0 )不小（大）于函数
问题 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从
数学上知道它的道理吗？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
例3 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8 2 分，其中r
（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商
人教A版2019
选择性必修第二册
一元函数的导数及其应用
5.3.2.2 函数的最大（小）值
问题引入
问题：求函数极值的一般方法是？
提示：
解方程f ′ x = 0，当f ′ x0 = 0 时：
（1）如果在x0 附近的左侧f ′ x > 0 ，右侧f ′ x < 0，那么f(x0 )是极大值；
（2）如果在x0 附近的左侧f ′ x < 0 ，右侧 f ′ x > 0，那么f(x0 )是极小值.
当x → +∞时， f(x) → +∞, f ′ (x) → +∞ .
根据以上信息，我们画出 f(x)的大致图象如图所示.
例2 给定函数 = ( + 1) .
（3）求出方程f(x)=a( ∈ ) 的解的个数.
高一数学必修1函数的单调性
讨论函数f(x)＝
(a≠0，－1＜x＜1)的单调性.
解：设－1＜x1＜x2＜1，
那么f(x1)－f(x2)＝
＝
.
∵－1＜x1＜x2＜1， ∴|x1|＜1，|x2|＜1，x2－x1＞0，
－1＜0， －1＜0，|x1x2|＜1， 即－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0.
∴
＞0.
因此，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0. 即f(x1)＞f(x2)，此时函数f(x)在(－1,1)上为减函数； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)，此时函数f(x)在(－1,1)上为增函数.
讨论函数f(x)＝ [思路点拨]
(a＞0)的单调性.
[课堂笔记] ∵f(x)＝
，
∴函数的定义域为{x|x∈R且x≠1}.
法一：(定义法)任取x1，x2∈R，且x1，x2均不为1，x1＜x2
，
那么f(x1)－f(x2)＝(a＋
)－(a＋
)
＝
＝
.
①设x1＜x2＜1，x1－1＜0，x2－1＜0，x2－x1＞0，a＞0， ∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2). ②设1＜x1＜x2，x2－1＞0，x1－1＞0，x2－x1＞0，a＞0， ∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2). ∴函数f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均为减函数.
答案：D
4. y ＝ 的递减区间是
区间是
.
，y＝
的递减
解析：y＝
＝
＝－1＋
,
∴y＝
的递减区间是(－1，＋∞)和(－∞，－1).
要使函数y＝
有意义，那么
≥0，且1＋x≠0，
∴－1＜x≤1
专题13 导数与函数的极(最)值--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】
【热点聚焦】新课程及新高考对极值（最值）的基本要求是：了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.从高考命题看，往往以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势．【重点知识回眸】（一）函数的极值1.函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2.函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点4.极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点 （2）极值点是函数最值点的候选点5.()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点⇒()0'0f x = 说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点⇒导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③上述结论告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点） 6.求极值点的步骤：（1）筛选： 令()'0f x =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点） （2）精选：判断函数通过()'fx 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题.但要注意检验零点能否成为极值点. 8、极值点与函数奇偶性的联系：（1）若()f x 为奇函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极小（极大）值点（2）若()f x 为偶函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极大（极小）值点 （二）函数的最值1.在闭区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值．2.若函数f(x)在[a ，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3.最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点4.最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值.例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到.()f x 没有最大值.5.一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个.6．“最值”与“极值”的区别和联系如图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．7.结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．8.最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点. 9.利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值. 10.最值(点)的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =-+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤-.x 3x 2x 1baxOy【典型考题解析】热点一 函数极值的辨析【典例1】（重庆·高考真题（理））设函数()f x 在R 上可导，其导函数为 ()'f x ，且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(2)f【典例2】【多选题】（2022·江苏·常熟市尚湖高级中学高二期中）已知函数221()e 4x f x x x x =---，则（ ）A ．12-和0是函数()f x 的极值点B ．()f x 在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 的极大值为12e-D ．()f x 的极小值为14-【总结提升】1.函数极值的辨析问题，特别是有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f (x )的图象还是f ′(x )的图象，若给的是f (x )的图象，应先找出f (x )的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x )的图象，应先找出f ′(x )的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．2.f (x )在x ＝x 0处有极值时，一定有f ′(x 0)＝0，f (x 0)可能为极大值，也可能为极小值，应检验f (x )在x ＝x 0两侧的符号后才可下结论；若f ′(x 0)＝0，则f (x )未必在x ＝x 0处取得极值，只有确认x 1<x 0<x 2时，f (x 1)·f (x 2)<0，才可确定f (x )在x ＝x 0处取得极值．3.易错提醒：（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．热点二 已知函数（图象），求极值点的个数【典例3】（2022·北京·北师大二附中高二阶段练习）已知函数()f x 的定义域为(a ，b )，导函数()'f x 在(a ，b )上的图象如图所示，则函数()f x 在(a ，b )上的极大值点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【典例4】【多选题】（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）A ．有两个极值点B ．有三个零点C ．点是曲线的对称中心D ．直线是曲线的切线【易错提醒】极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号． 热点三 已知函数（图象），求极值（点）【典例5】（陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．是的零点 B ．1是的极值点 C ．3是的极值D ．点在曲线上【典例6】（2017·全国·高考真题（理））若是函数的极值点，则的极小值为（ ）． A ．B ．C ．D ．【典例7】（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））函数21()ln 2f x x x =-的极值点是_________. 【方法总结】一般地，有两种类型，即根据函数图象和已知函数求极值（点）问题，已知函数求极值（点）3()1f x x x =-+()f x ()f x (0,1)()y f x =2y x =()y f x =2()f x ax bx c =++a 1-()f x ()f x ()f x (2,8)()y f x =2x =-21()(1)x f x x ax e -=+-()f x 1-32e --35e -1问题，求已知函数的极值，要注意f ′(x)＝0的根是否在定义域内． 热点四 已知极值(点)，求参数的值或取值范围【典例8】（2021·全国·高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（ ） A ．B ．C ．D ．【典例9】（广东·高考真题（文））设，若函数，，有大于零的极值点，则（ ） A ．B ．C ．D ． 【典例10】（2023·全国·高三专题练习）若函数3()3f x x bx b =-+在区间(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(1,0)-【典例11】（2022·全国·高考真题（理））已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．【典例12】（2022·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））若函数()2x f x e ax =+无极值点，则a 的取值范围是______． 【规律方法】1.已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．2.由函数极值（个数）求参数的值或范围．讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号． 热点五 利用导数求函数的最值【典例13】（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为36π，则该正三棱锥体积的最大值为___________.【典例14】（2022·安徽滁州·高二期末）已知函数()()cos ,R f x ax b x a b =++∈，若()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为122y x =+． (1)求a ，b 的值；(2)求函数()f x 在[]0,2π上的最大值．0a ≠x a =()()()2f x a x a x b =--a b <a b >2ab a <2ab a >a R ∈e x y ax =+x ∈R 1a <-1a >-1a e<-1a e>-【典例15】（2021·北京高考真题）已知函数()232xf x x a-=+． （1）若0a =，求()y f x =在()()1,1f 处切线方程；（2）若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值． 【规律方法】1.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．2.当导函数y ＝f ′(x )无法判断正负时，可令g (x )＝f ′(x )再求g ′(x )，先判断g (x )＝f ′(x )的单调性，再根据单调性确定y ＝f ′(x )的正负号． 热点六 函数的最值求参数值（范围）【典例16】（2021·全国高三二模）已知直线y kx =与曲线()ln y x b =+相切，当b 取得最大值时，k 的值为_______________________．【典例17】（2022·福建·莆田一中高二期末）已知函数()()3231312f x x k x kx =-+++，其中R k ∈.(1)当3k =时，求函数()f x 在()0,3内的极值点；(2)若函数()f x 在[]1,2上的最小值为3，求实数k 的取值范围. 【易错提醒】1．由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．热点七 利用导数解决生活中的优化问题【典例18】](2020·江苏高考)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO ′为铅垂线(O ′在AB 上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离h 1(米)与D 到OO ′的距离a (米)之间满足关系式h 1＝140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2(米)与F 到OO ′的距离b (米)之间满足关系式h 2＝－1800b 3＋6b .已知点B 到OO ′的距离为40米．(1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO ′的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点)．桥墩EF 每米造价k (万元)，桥墩CD 每米造价32k (万元)(k ＞0)，问O ′E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？ 【易错提醒】1.利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )．(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． (4)回归实际问题，结合实际问题作答．2.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等一般都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，若函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．【精选精练】一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）函数()f x 的定义域为R ，导函数()f x '的图象如图所示，则函数()f x （ ）A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点2．（2022·新疆·新和县实验中学高二期末（文））已知函数()f x 的导函数()'f x 的图像如图所示，以下结论：①()f x 在区间(2,3)-上有2个极值点 ②()'f x 在1x =-处取得极小值 ③()f x 在区间(2,3)-上单调递减④()f x 的图像在0x =处的切线斜率小于0 正确的序号是（ ） A ．①④B ．②③④C ．②③D ．①②④3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=+的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 有极大值()3f -和()3fB ．函数()f x 有极小值()3f -和()3fC ．函数()f x 有极小值()3f 和极大值()3f -D ．函数()f x 有极小值()3f -和极大值()3f4．（2023·全国·高三专题练习）设直线x t =与函数()22f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为（ ） A ．1B ．12C 5D 2 5．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知函数()f x 321132x x cx d =+--有极值，则c 的取值范围为（ ） A ．14c <-B ．14c ≤-C ．14c ≥-D ．14c >-6．（2021·青海·西宁市海湖中学高三开学考试（理））若函数()2ln f x x x=-，满足() f x a x ≥-恒成立，则a 的最大值为（ ） A ．3B ．4C ．3ln 2-D ．3ln 2+7．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）若函数2()()2f x x x c x =-=在处有极大值，则常数c 的值为（ ） A ．4B ．26或C ．2D ．68．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（ ） A ．1ππB ．22ππC ．-1D ．09．（河南省部分名校2021-2022学年高三上学期8月数学（理）开学考试巩固试题）已知函数()sin f x x x =-，12,0()e ,0x x x g x x -+≤⎧=⎨>⎩，若关于x 的方程(())0f g x m +=有两个不等实根1x ，2x ，且12x x <，则12x x +的最大值是（ ）A ．0B ．2C ．1ln2+D ．42ln 2+10．（2022·福建·泉州市城东中学高二期中）已知1x ，2x 是函数()222ln f x x ax x =-+的两个极值点，且12x x <，当52a ≥时，不等式()12f x mx ≥恒成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．8ln 2,09⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．8,ln 29⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦C ．8ln 2,09⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．8ln 2,9⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题11．（2022·江西·丰城九中高二期末（理））函数32()132ax ax f x x =-++在区间1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭内仅有唯一极值点的一个充分不必要条件为（ ）A ．9,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭C ．1,06a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭D ．19,62a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭12．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）设函数()()24143e x f x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦.若()f x 在2x =处取得极大值，a 的值可能为（ ）A ．-2B ．14C ．1D ．2 三、填空题13．（2019·浙江·杭州四中高三开学考试）已知函数()4f x a x a x=-++在区间[]1,4上的最大值是5，则实数a 的取值范围是________．14．（2022·广东广州·高二期末）已知函数()()2ln 21f x x a x =++有两个不同的极值点1x 、2x ，且12x x <，则实数a 的取值范围是___________.15．（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知关于x 不等式e x a x b ≥+对任意R x ∈和正数b 恒成立，则a b的最小值为______．16．（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）若1x =-是函数()()221e -=-+x f x x ax 的极值点，则=a ______；()f x 的极大值为______.三、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝ax ﹣1﹣ln x （a ∈R ）．(1)讨论函数f （x ）的定义域内的极值点的个数；(2)若函数f （x ）在x ＝1处取得极值，∀x ∈（0，+∞），f （x ）≥bx ﹣2恒成立，求实数b 的最大值．18.（2018·北京高考真题（文））设函数f(x)=[ax 2−(3a +1)x +3a +2]e x . （Ⅰ）若曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a ；（Ⅱ）若f(x)在x =1处取得极小值，求a 的取值范围.。
求函数最值的12种方法
求函数最值的12种方法在数学中，函数的最值是指函数在定义域上的极大值和极小值。
求函数的最值有很多不同的方法，下面将介绍12种常用的方法。
希望能够帮助你对函数的最值求解有更深入的理解。
方法一：函数图像法这是最直观的方法之一，通过绘制函数的图像，可以清楚地观察到函数的最值点所在的位置。
最大值对应函数的极大值点，最小值对应函数的极小值点。
方法二：导数法求函数的最值，常常使用导数法。
首先求函数的导数，然后将导数为零的点与定义域的边界进行比较，即可得到函数的最值点。
方法三：导数的符号法求函数的最值，还可以通过分析导数的符号来求解。
当导数恒大于零时，函数是递增的，函数的最大值出现在定义域的上界；当导数恒小于零时，函数是递减的，函数的最小值出现在定义域的下界。
方法四：高次函数的极值点对于高次函数来说，还可以通过求导数的高阶导数来找到极值点。
当高阶导数为零时，该点可能是极值点；当高阶导数不为零时，可通过判断导数的符号来确定它是极大值还是极小值。
方法五：函数的平均值定理利用函数的平均值定理可以得到函数最值的一个粗略的估计。
平均值定理指出，如果函数连续且可微分，那么在两个点之间存在一个点，使这三个点的斜率与两点之间切线的斜率相同。
这个点可能是函数的极值点。
方法六：拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法可以求解带有约束条件的函数最值问题。
通过引入拉格朗日乘子，将带有约束条件的函数最值问题转化为无约束条件的函数最值问题。
然后可以利用导数法等方法来求解。
方法七：边界法对于函数的有界定义域，可以通过比较边界处函数值的大小来求解最值问题。
找到定义域的上界和下界，并将其代入函数，比较函数值的大小即可得到最值。
方法八：几何法对于一些特殊的函数图像，可以利用函数的几何性质来求解最值。
如对于抛物线函数，其最值点处对应抛物线的顶点。
方法九：二次函数的最值对于二次函数，可以通过求取顶点坐标来得到函数的最值。
二次函数的顶点坐标即为函数的最值点。
方法十：三角函数的最值对于一些三角函数，可以利用函数图像的周期性来求解最值问题。
重庆市南坪中学高二数学(新课标人教A版)《3.3.3函数的最大小值与导数》导学案
§3.3.3函数的最大小值与导数[自学目标]:1.理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；2.掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤.[重点]: 利用导数求函数的最大值和最小值的方法[难点]: 函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系[教材助读]:一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是 ，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．（1）如果在某一区间上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，则称函数()y f x =在这个区间上 ．（2）给定函数的区间必须是 ，在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． 如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； （3）在闭区间上的每一点必须 ，即函数图像 。
（4）函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的 条件．[预习自测]1．下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2． 函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( )A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能3.求()31443f x x x =-+在[]0,3的最大值与最小值.待课堂上与老师和同学探究解决。
[合作探究 展示点评]探究一：最值的概念(最大值与最小值)观察下面函数()y f x =在区间[],a b 上的图象, 回答:● 在哪一点处函数()y f x =有极大值和极小值?● (2) 函数()y f x = 在[],a b 上有最大值和最小值吗?如果有, 最大值和最小值分别是什么?探究二：利用导数求函数的最值求函数2()46f x x x =-+在区间[]1,5内的最大值和最小值。
数学人教A选修课时规范训练：333函数的最大小值与导数 含解析
第三章 3.3 3.3.3基础练习1．函数y ＝ln xx 的最大值为( )A ．e －1 B ．e C ．e2 D ．103【答案】A2．已知函数f (x )＝x －eln x ，则f (x )的最小值为( ) A ．0 B ．e C ．－1 D ．1【答案】A3．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上取最大值时，x 的值为( ) A ．0 B ．π6C ．π3D ．π2【答案】B4．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m 的值为( ) A ．2 B ．－4 C ．4 D ．－2 【答案】C5．(2019年河北张家口期末)已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a＝________.【答案】－12【解析】y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1，∴函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．若a ＞－1，则最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12⎝⎛⎭⎫a ＝－32舍去；若a ≤－1，则最大值为f (－1)＝－1＋2＋3＝4≠154.综上知a ＝－12.6．函数y ＝e xx在区间⎣⎡⎦⎤12，e 上的最小值是________．【答案】e【解析】函数y ＝e xx 的导函数为y ′＝x e x －e x x 2.令y ′＝0，可得x ＝1.所以当x ∈⎣⎡⎭⎫12，1时，y ′＜0，函数是减函数；当x ∈(1，e]时，y ′＞0，函数是增函数．所以函数在x ＝1取得极小值也是最小值f (1)＝e.7．已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )．(1)当f ′(1)＝3时，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )在区间[0,2]上的最大值． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax .因为f ′(1)＝3－2a ＝3，所以a ＝0. 当a ＝0时，f (1)＝1，f ′(1)＝3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0. (2)令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3.当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增， 从而[f (x )]max ＝f (2)＝8－4a . 当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减， 从而[f (x )]max ＝f (0)＝0.当0＜2a3＜2，即0＜a ＜3时，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎡⎦⎤2a 3，2上单调递增， 从而[f (x )]max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，0＜a ≤2，0， 2＜a ＜3.综上所述，[f (x )]max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，a ≤2，0，a ＞2.8．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值是20，求它在该区间上的最小值． 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9. 令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3.∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)∵f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ， f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， ∴f (2)＞f (－2)．∵在(－1,3)上f ′(x )＞0，∴f (x )在(－1,2)上单调递增． 又由于f (x )在(－2，－1)上单调递减，∴f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值． 于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2. ∴f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2. ∴f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f (x )在区间[－2,2]上的最小值为－7.能力提升9. 在区间⎣⎡⎦⎤12，2上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝2x ＋1x 2在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值是( )A ．134B ．54C ．8D ．4【答案】D【解析】g ′(x )＝2－2x3，当x ＜1时，g ′(x )＜0，当x ＞1时，g ′(x )＞0，故函数g (x )在x＝1处取得最小值，g (1)＝3.∴对于函数f (x )，当x ＝1时，函数有最小值3，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝3，－p2＝1.解得p ＝－2，q ＝4.∴f (x )＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3.∴函数f (x )的对称轴为x ＝1，开口向上．∴在区间⎣⎡⎦⎤12，2上，函数f (x )的最大值为f (2)＝4.故选D ．10．已知函数f (x )＝x 4cos x ＋mx 2＋x (m ∈R )，若导函数f ′(x )在区间[－2,2]上有最大值12，则导函数f ′(x )在区间[－2,2]上的最小值为( )A ．－12B ．－10C ．－8D ．－6【答案】B【解析】由已知得f ′(x )＝4x 3cos x －x 4sin x ＋2mx ＋1.令g (x )＝4x 3cos x －x 4sin x ＋2mx ，则g (x )是奇函数．由f ′(x )的最大值为12，知g (x )的最大值为11，最小值为－11，从而f ′(x )的最小值为－11＋1＝－10.11．若不等式2y 2－x 2≥c (x 2－xy )对任意满足x >y >0的实数x ，y 恒成立，则实数c 的最大值为________．【答案】22－4【解析】由x >y >0,2y 2－x 2≥c (x 2－xy )得c ≤2y 2－x 2x 2－xy ，即c ≤2－x 2y 2x 2y 2－x y .设t ＝x y ，则t >1.令g (t )＝2－t 2t 2－t ＝－t 2＋t ＋2－tt 2－t＝－1＋2－t t 2－t，g ′(t )＝－(t 2－t )－(2t －1)(2－t )(t 2－t )2＝t 2－4t ＋2(t 2－t )2.当1<t <2＋2时，g ′(t )<0；当t >2＋2时，g ′(t )>0.所以g (t )min ＝g (2＋2)＝22－4，则c ≤22－4，即实数c 的最大值为22－4.12．(2019年湖北孝感模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋ax .(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．解：(1)f (x )＝ln x ＋a x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2.∵a <0，∴f ′(x )>0.故f (x )在其定义域(0，＋∞)上单调递增． (2)x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a ≤1时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a ≤1，与f (x )在[1，e]上的最小值是32矛盾．②当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1.由ln a ＋1＝32，得a ＝ e.③当a ≥e 时，显然f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋a e ≥2，与最小值是32矛盾．综上，a的值为 e.。