章 离散型随机变量及分布

⑷
⑵二项分布
在n重贝努利试验中, 若以X 表示事件A在n次试验中 出现的次数. 则 X的取值为 0,1, 2, , n, 相应的概率为:
P X k Cnk pk 1 p nk k 0,1, n. ⑸
分布律为
X0
1
k
n
P 1 pn Cn1 p 1 p n1
Cnk pk 1 p nk
. pn
⑹
其中 p为事件A发生的概率. 则称X 服从参数为 n, p 的
二项分布, 记成 X Bn, p.
在概率论中, 二项分布是一个重要的分布. 在许多独 立重复试验中, 都具有二项分布的形式.
0 1 分布是二项分布在 n 1 时的特殊情况.
例6 某特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问 至少有8人治愈的概率有多少？
X3 45 P 1 3 6.
10 10 10
例 设随机试验E表示射击试验, 以 X 表示首次命中时 所进行过的射击次数. 则X 的取值为1, 2, , n, .
设每次命中目标的概率为0.8，求随机变量的分布律
及 P X 3.
解： 分布律为
X1 2 P 0.8 0.20.8
n 0.2n1 0.8
P X 3 0.8 0.20.8 0.22 0.8 0.992.
引进变量 X 来表示其中的次品数，其取值为
X 0,1, 2, ,10.
例3 设随机试验E表示射击试验, 以 X 表示首次命中时 所进行过的射击次数. 则X 的取值为1, 2, , n, .
将上面的问题一般化, 我们引入下面概念.
定义 设E为随机试验, 为样本空间, 定义在上的函 数称为上的（一维）随机变量. 记为
X123 P 1 2 2.
555
例 设袋中有5球, 编号分别为 1, 2,3, 4,5, 从袋中随
机地取3个球, 以 X 表示取到的3个球中的最大编号,求
X 的分布律.
解 X 的取值为 3, 4,5.
PX
3
1 C53
1. 10
PX
4
C32 C53
3. 10
PX
5
C42 C53
6. 10
X 的分布律为：
P X ai pi,
⑴
满足 pi 0i 1,2, , pi 1.
i1
称⑴式为随机变量X 的分布（分布律）, 又称为概率函
数. 上式又可用表格的形式给出:
X a1 a2 P p1 p2
an
pn
.
注：随机变量的取值按从小到大的顺序排列，概率 为零的项不必列出.
P X K P X ai . 其中 K 为某一实数集. aiK
X
:
i
R, X
i
.
引入了随机变量以后, 随机事件及相应的概率可以用 随机变量方式加以刻画.
例如, 某厂生产的灯泡按国家标准其合格品的寿命时
间应该不小于1000小时. 此时 0,.
记 A表示“取到的一只产品是不合格品”, 再以 X表
示取出的灯泡的寿命, 则事件 A可以表示为
A 0 X 1000.
解 设 X 为10人中治愈的人数，则 X B10,0.95,
P X 8 P X 8 PX 9 PX 10
C8 10
0.958
0.052
C9 10
0.959
0.051
0.9510
0.9885.
例7 已知某公司生产的螺丝钉的次品率为0.01, 并设 各个螺丝钉是否为次品是独立的. 这家公司将10个螺丝 钉包成一包出售, 并保证若发现包内多于一个次品就可 退款. 问卖出的某包螺钉被退回的概率有多大？
这类随机试验, 我们 用一个数对应一个试验的结果，由
此引入一个变量 X
1 出现正面,
X 0
出现反面.
例2 设随机试验E为一次打靶试验, 其基本结果是中与
不中. 同样可以引入变量:
1 击中目标,
X 0
未击中目标.
也有很多试验，其结果本身就用数来表示的. 例如 在一大批产品中有5%的次品，从中抽取10件产 品，其中的次品数在抽取之前是不确定的，我们可以
三、常用离散型随机变量
⑴ 0 1分布
若随机变量 X的取值为0, 1, 相应的概率记为
P X 1 p, P X 0 1 p0 p 1, ⑶
则称服从 0 1分布. 记为
X B1, p.
一个只有两个基本结果的随机试验, 都可转化为 0 1
分布.
习惯上, 0 1分布又常写成
X 01
P 1 p p,
解 以随机变量 X表示在未来一年中这1000个投保人死
亡的人数, 则相应的问题转变为求概率P X 10. 由
X ~ B1000,0.005, 可得
10
P X 10
Ck 1000
解 由条件, 以 X表示包内螺丝钉为次品的件数, 则包 被退回意味着 X 1, 故所求的概率为
P X 1 1 P X 0 P X 1 1 0.9910 C1100.01 0.999 0.0043.
被退回的概率近似等于0.43%.
例8 设有保险公司的某保险险种有1000人投保, 每个 人在一年内死亡的概率为0.005, 且每个人在一年内是否 死亡是相互独立的. 试求在未来一年中这1000个投保人 死亡人数不超过10个人的概率.
例4 设袋中有5球, 编号为1, 2, 2,3,3, 从袋中随机地 取一球, 以 X表示取到的球的编号, 求X 的分布.
解 wk.baidu.com X表示取到球的编号, 则 X的取值为1, 2, 3. 因1
号球只有一个, 故
P X 1 1 .
5
同理,
P X 2 2 ,
5
及
P X 3 2 .
5
从而随机变量 X的分布律为
对应的概率可以表示为
P A P0 X 1000.
二、概率函数
在上节的几个例子中, 我们看到问题中所涉及的几个 随机变量的取值为有限多个或“可列”多个, 这类随机 变量称为离散型随机变量.
1.离散型随机变量和概率函数
设 X为离散型随机变量, X 的可能取值为
a1,a2, ,an, ,
事件X ai的概率为pi , 即:
第二章 离散型随机变量及分布
本章要点
本章引入随机变量的概念, 讨论几种类型的随机变量 及相应的分布. 主要内容有: 一、一维离散型随机变量及分布 二、一维离散型随机变量的常用分布 三、二维离散随机变量的联合分布与边缘分布 四、随机变量的独立性 五、随机变量函数的分布
一、随机变量
1.随机变量
例1 设随机试验 E为抛硬币试验, 我们以符号H表示出 现的是正面, 符号F表示出现的是反面, 为了更好的刻画