章 离散型随机变量及分布
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2.2离散型随机变量及其概率分布
8
5
k
24
小结
离 散 型 随 机 变 量 的 分 布
二项分布 泊松分布
两点分布
两点分布
n1
二项分布
n 10, p 0.1, np
泊松分布
25
二项分布与 (0 1) 分布、泊松分布之间的 关系 .
二项分布是 (0 1) 分 布 的 推 广 , 对 于n 次 独 立重复伯努利试验 ,每 次 试 验 成 功 的 概 率 为 p, 设 , 1, 若 第 i 次 试 验 成 功 Xi ( i 1,2, , n) . 0, 若 第 i 次 试 验 失 败 它们都服从 (0 1) 分 布 并 且 相 互 独 立 , 那末 X X1 X 2 X n 服 从 二 项 分 布 , 参 数 为( n, p).
定义2 如果随机变量 X 只有两个可能取 值，其概率分布为
P{ X x1 } P , P{ X x2 } q 1 p(0 p 1, p q 1)
则称X服从 x1 , x2 处参数为p的两点分布. 特别，若X服从
x1 1, x 0 处参数为p的两点分布，即
p
k 1
5
k
1
1 a . 15
5
关于分布律的说明：
若已知一个离散型随机变量X的概率分布 X P x1 p1 x2 p2 ... ... xn ... pn ...
则可以求X所生成的任何事件的概率，特别地：
P{a X b} P{ { X xi }} pi
a xi b a xi b
26
以 n, p ( np ) 为参数的二项分布 ,当 n 时趋 于以 为参数的泊松分布 ,即
2-2离散型随机变量及其分布律
松定理（第二章）和中心极限定理（第五章），利用这些定理
可以近似计算出它们的值．
3．泊松分布
定义 2.5 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} k e ， k 0,1, 2,L ， 0 ，
k!
就称 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ P() ．
【注 1】 P{X
k
k}
e
0 ， k 0,1, 2,L
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
样本点
{1,2}，且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ，其中 p P{X 1} P({2}) ．
在现实生活中，0 1两点分布有着广泛的应用．例如某产品 合格与不合格；某课程的考试及格与不及格；某事件 A 发生与 不发生等许多现象都能够刻划成 0 1两点分布．
§2 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念 定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个，就 称 X 为离散型随机变量．
定义 2.2 设 X 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 x1, x2 ,L , xi ,L ，且
P{X xi} pi ， i 1, 2,L ．
的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的
分布律，并问 X 取何值时的概率最大． 解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标，因此整个射击过程为 4 重的贝
努里试验．故由题意知， X ~ B(4, 0.6) ，即
P{X k} C4k 0.6k 0.44k ， k 0,1, 2,3, 4 ．
P{X
10}
离散型随机变量及其分布列
p2
„
„
基础知识梳理
称为离散型随机变量X的概率分布 列，简称X的分布列．有时为了表达简 单，也用等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1,2， …，n 表示X的分布列． (2)离散型随机变量分布列的性质 ① pi≥0，i＝1,2，…，n ；
② i＝1 . ③一般地，离散型随机变量在某一 范围内取值的概率等于这个范围内每个 随机变量值的概率 之和 ．
pi＝1
n
基础知识梳理
如何求离散型随机变量的分 布列？ 【思考·提示】 首先确定 随机变量的取值，求出离散型随 机变量的每一个值对应的概率， 最后列成表格．
基础知识梳理
2．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X的分布列是 X P 0 1－p 1 p
则这样的分布列称为两点分布列． 如果随机变量X的分布列为两点分 布列，就称X服从 两点 分布，而称p＝ P(X＝1)为成功概率．
课堂互动讲练
课堂互动讲练
所以随机变量X的概率分布列为
X P 2 1 30 3 2 15 4 3 10 5 8 15
【名师点评】 分布列的求解应 注意以下几点：(1)搞清随机变量每个 取值对应的随机事件；(2)计算必须准 确无误；(3)注意运用分布列的两条性 质检验所求的分布列是否正确．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：“一次取出的 3
3 1
个小球上的数字互不相同”的事件记 为 A，则
1 1 C5 C2 C2 C2 2 P(A)＝ ＝ . 3 C10 3
课堂互动讲练
法二：“一次取出的3个小球上的 数字互不相同”的事件记为A，“一次 取出的3个小球上有两个数字相同”的 事件记为B，则事件A和事件B是互斥 事件． C51C22C81 1 因为 P(B)＝ ＝ ， 3 C10 3 1 2 所以 P(A)＝1－P(B)＝1－ ＝ . 3 3
离散型随机变量及其分布
m>1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,…
P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并 且在前m次试验中成功了m-1次}
7
常见的离散型随机变量的分布 (1) 0 – 1 分布
X = xk 1
0
Pk
p 1-p
0<p<1
应用场合 凡试验只有两个可能的结果，常用 0 – 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.
(n 1) p 1 k (n 1) p
14
当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值
当( n + 1) p 整数时, 在 k = [( n + 1) p ]
处的概率取得最大值
对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称
场 ⑤ 放射性物质发出的 粒子数；
合 ⑥ 一匹布上的疵点个数；
⑦ 一个容器中的细菌数；
⑧ 一本书一页中的印刷错误数；
23
都可以看作是源源不断出现的随机 质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质
点数可X见t ~泊P松( 分t )布的应用是相当广泛的，
而且由下面定理可以看到二项分布与泊松
分布有着密切的联系。
泊松定理 在二项分布 B(n, pn ) 中，如果
lim npn ( 0 是常数），则成立
lim
n
Cnk
pnk
(1
P{X=m+1}=P{第m+1次试验时成功并 且在前m次试验中成功了m-1次}
7
常见的离散型随机变量的分布 (1) 0 – 1 分布
X = xk 1
0
Pk
p 1-p
0<p<1
应用场合 凡试验只有两个可能的结果，常用 0 – 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.
(n 1) p 1 k (n 1) p
14
当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值
当( n + 1) p 整数时, 在 k = [( n + 1) p ]
处的概率取得最大值
对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称
场 ⑤ 放射性物质发出的 粒子数；
合 ⑥ 一匹布上的疵点个数；
⑦ 一个容器中的细菌数；
⑧ 一本书一页中的印刷错误数；
23
都可以看作是源源不断出现的随机 质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质
点数可X见t ~泊P松( 分t )布的应用是相当广泛的，
而且由下面定理可以看到二项分布与泊松
分布有着密切的联系。
泊松定理 在二项分布 B(n, pn ) 中，如果
lim npn ( 0 是常数），则成立
lim
n
Cnk
pnk
(1
第二节 离散性随机变量及其分布
X 0 0.1 1 0.6
。 。 。
1
2 0.3
解： F ( x )＝P{ X x }
0, 0.1, ＝ 0.7, 1, x0 0 x1 1 x 2 x2
1
Pk
F ( x)
0
2
x
0, 0.1 , F ( x )＝ 0.7 , 1,
k!
,
k =0,1,2, …,
0
解: 依据概率分布的性质: P{X =k}≥0,
P{ X k } 1
k 0
这里用到了幂级数 展开式
欲使上述函数为概率分布
a≥0
a
k 0
k
k!
e
ae 1
k!
k 0
k
从中解得
ae
。
3. 利用分布律求事件概率 离散型随机变量的分布律不仅给出了{X=xk }
x0 0, F ( x )＝P{ X x }＝ x, 0 x 1 1, x1
1
x
0
1
用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？
a
b
P{a X b} ?
的概率，而且通过它可以求事件{a X b}, a b 发生的概率。 由概率的有限可加性有
P{a X b}
a xk b
P{ X xk }
a xk b
pk
例2.3 设袋中有5只球，其中有2只白3只红。现从
中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概
注:
1. 这里分布函数的定义对任何随机变量都适用。 2. 分布函数F(x)＝P {Xx} 是一个普通的函数，它 的自变量是全体实数。掌握了X的分布函数就掌 握了X在(－∞, +∞)上的概率分布情况。
。 。 。
1
2 0.3
解： F ( x )＝P{ X x }
0, 0.1, ＝ 0.7, 1, x0 0 x1 1 x 2 x2
1
Pk
F ( x)
0
2
x
0, 0.1 , F ( x )＝ 0.7 , 1,
k!
,
k =0,1,2, …,
0
解: 依据概率分布的性质: P{X =k}≥0,
P{ X k } 1
k 0
这里用到了幂级数 展开式
欲使上述函数为概率分布
a≥0
a
k 0
k
k!
e
ae 1
k!
k 0
k
从中解得
ae
。
3. 利用分布律求事件概率 离散型随机变量的分布律不仅给出了{X=xk }
x0 0, F ( x )＝P{ X x }＝ x, 0 x 1 1, x1
1
x
0
1
用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？
a
b
P{a X b} ?
的概率，而且通过它可以求事件{a X b}, a b 发生的概率。 由概率的有限可加性有
P{a X b}
a xk b
P{ X xk }
a xk b
pk
例2.3 设袋中有5只球，其中有2只白3只红。现从
中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概
注:
1. 这里分布函数的定义对任何随机变量都适用。 2. 分布函数F(x)＝P {Xx} 是一个普通的函数，它 的自变量是全体实数。掌握了X的分布函数就掌 握了X在(－∞, +∞)上的概率分布情况。
7-2离散型随机变量及其分布列(教学课件)——高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册
4
10
5
X的分布列为：
X
1
2
3
4
5
P
1
10
1
4
3
10
1
5
3
20
例3 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.如果从中随机挑
选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.
解：设随机挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0, 1, 2.
根据古典概型的知识，可得
C30C72 3
C31C71 7
离散变量的分布列可以用表格表示，如下表所示.
X
x1
x2
‧‧‧
xn
P
p1
p2
‧‧‧
pn
分布列的构成
离散型随机变量的分布列的性质：
(1)列出了随机变量X的所有取值xi；
(1)Pi ≥0，i=1，2， …，n，
(2)求出了的每一个取值xi的概率pi ．
(2) P1+P2+ … +Pn =1．
练习 某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为
本点与一个实数对应. 即通过引人一个取值依赖
于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应
关系，实现样本点的数量化.
试验1，从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验
，变量X表示三个元件中的次品数；
用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1构成的长
度为3的字符串表示样本点:
数集，随机变量的取值X（ω）随着试验结果ω的变化而变化，使得我们
可以利用数学工具研究随机事件。
随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫
(Chebyshev，1821-1894)在19世纪中
10
5
X的分布列为：
X
1
2
3
4
5
P
1
10
1
4
3
10
1
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例3 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.如果从中随机挑
选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.
解：设随机挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0, 1, 2.
根据古典概型的知识，可得
C30C72 3
C31C71 7
离散变量的分布列可以用表格表示，如下表所示.
X
x1
x2
‧‧‧
xn
P
p1
p2
‧‧‧
pn
分布列的构成
离散型随机变量的分布列的性质：
(1)列出了随机变量X的所有取值xi；
(1)Pi ≥0，i=1，2， …，n，
(2)求出了的每一个取值xi的概率pi ．
(2) P1+P2+ … +Pn =1．
练习 某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为
本点与一个实数对应. 即通过引人一个取值依赖
于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应
关系，实现样本点的数量化.
试验1，从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验
，变量X表示三个元件中的次品数；
用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1构成的长
度为3的字符串表示样本点:
数集，随机变量的取值X（ω）随着试验结果ω的变化而变化，使得我们
可以利用数学工具研究随机事件。
随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫
(Chebyshev，1821-1894)在19世纪中
2-1离散型随机变量及其分布律(2)
X 的分布律为
k P { X = k } = C 400 ( 0.02)k (0.98)400 k , k = 0,1,,400.
因此 P { X ≥ 2} = 1 P{ X = 0} P { X = 1}
= 1 (0.98)
400
400( 0.02)(0.98)
399
= 0.9972.
5. 泊松分布
n→∞
∴lim (λn )k = λk
n→ ∞
1 又∵ lim = lim λn = λ 0 = 0 n→∞ n n→∞ n
λn
∴由重要极限,得 由重要极限,
n→∞
lim(1
λn
n
)
nk
= lim[(1
n→∞
λn
n
n
)
λn
]
λn
n
(nk)
= lim[(1
n→∞
λn
n
)
λn (λn+ n k)
方法1. P {0 < X ≤ 2} 方法
= P{ X = 1} + P{ X = 2} 0 .3 .1 P 0.1, 0.6 ≤0x < 1 0 F( x) = = 0.6 + 0.3 = 0.9 P { 0 ≤ X < 2} = P{ X = 0} + P { X = 1} = 0.1 + 0.6 = 0.7
λk
k!
eλ
其中 λ ≈ npn.
(k = 0,1,, n)
有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过 每天有大量汽车通过,设 例4 有一繁忙的汽车站 每天有大量汽车通过 设 每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为 每辆汽车在一天的某段时间内 出事故的概率为 0.0001,在每天的该段时间内有 在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过 辆汽车通过, 在每天的该段时间内有 问出事故的次数不小于2的概率是多少 的概率是多少? 问出事故的次数不小于 的概率是多少 解 设 1000 辆车通过 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则 X ~ B ( 1000 , 0 . 0001 ), 故所求概率为 P { X ≥ 2} = 1 P { X = 0} P { X = 1}
k P { X = k } = C 400 ( 0.02)k (0.98)400 k , k = 0,1,,400.
因此 P { X ≥ 2} = 1 P{ X = 0} P { X = 1}
= 1 (0.98)
400
400( 0.02)(0.98)
399
= 0.9972.
5. 泊松分布
n→∞
∴lim (λn )k = λk
n→ ∞
1 又∵ lim = lim λn = λ 0 = 0 n→∞ n n→∞ n
λn
∴由重要极限,得 由重要极限,
n→∞
lim(1
λn
n
)
nk
= lim[(1
n→∞
λn
n
n
)
λn
]
λn
n
(nk)
= lim[(1
n→∞
λn
n
)
λn (λn+ n k)
方法1. P {0 < X ≤ 2} 方法
= P{ X = 1} + P{ X = 2} 0 .3 .1 P 0.1, 0.6 ≤0x < 1 0 F( x) = = 0.6 + 0.3 = 0.9 P { 0 ≤ X < 2} = P{ X = 0} + P { X = 1} = 0.1 + 0.6 = 0.7
λk
k!
eλ
其中 λ ≈ npn.
(k = 0,1,, n)
有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过 每天有大量汽车通过,设 例4 有一繁忙的汽车站 每天有大量汽车通过 设 每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为 每辆汽车在一天的某段时间内 出事故的概率为 0.0001,在每天的该段时间内有 在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过 辆汽车通过, 在每天的该段时间内有 问出事故的次数不小于2的概率是多少 的概率是多少? 问出事故的次数不小于 的概率是多少 解 设 1000 辆车通过 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则 X ~ B ( 1000 , 0 . 0001 ), 故所求概率为 P { X ≥ 2} = 1 P { X = 0} P { X = 1}
2.2(离散型随机变量)
2.2.2 注意: 注意
常用离散型分布 伯努利概型对试验结果没有等可能的要求， 伯努利概型对试验结果没有等可能的要求，
但有下述要求： 但有下述要求： (1) 每次试验条件相同； 每次试验条件相同； (2) 每次试验只考虑两个互逆结果 或 每次试验只考虑两个互逆结果A或 P(A)=p ， P( A ) = 1− p (3) 各次试验相互独立 各次试验相互独立.
k lim Cn p k (1 − p ) n− k = n→ ∞
λk
k!
e −λ
2.2.2
常用离散型分布
定理的条件np = λ（常数）意味着当 很大时 必 常数）意味着当n很大时 很大时p必 定理的条件 定很小．因此， 很大p很小 定很小．因此，当n很大 很小，有下面近似计算公 很大 很小， 式 k ( np) − np k k n− k Cn p (1 − p ) ≈ e , k = 0,1, 2, ⋯ k! 该公式说明， 在对二项分布B(n， p)计算概率 该公式说明 ， 在对二项分布 ， 计算概率 时，如果n很大 很小，可以由参数为λ = np的泊松 如果 很大p很小， 的泊松 很大 很小 分布的概率值来近似． 分布的概率值来近似．
把检查一只元件是否为 一级品看成是一次试 验 , 检查 20 只元件相当于做 20 重伯努利试验 .
2.2.2
常用离散型分布
解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数 ,
则 X ~ B( 20, 0.2),
因此所求概率为
20 P { X = k } = (0.2)k (0.8)20− k , k = 0, 1,⋯, 20. k
2.2.1
离散型随机变量及其分布律
定义2.3 设X是一个离散型随机变量，若X的全 是一个离散型随机变量， 定义 是一个离散型随机变量 的全 部可能取值为x 部可能取值为 1 ， x2 ， …，xn ， …，则称 取 xi 的 ， ， 则称X取 概率P{X = xi} = pi，i = 1，2，…为X的概率分布或 概率 ， ， 为 的概率分布或 简称分布律 也可以称为概率函数 分布律， 概率函数． 简称分布律，也可以称为概率函数． X的分布律也可用如下的表格形式来表示： 的分布律也可用如下的表格形式来表示： 的分布律也可用如下的表格形式来表示
离散型随机变量及其分布
（0－1）分布的分布律用表格表示为：
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
离散型随机变量及其分布列知识点
离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量是指在有限个或无限个取值中，只能取其中一个数值的随机变量。
离散型随机变量可以用分布列来描述其概率分布特征。
离散型随机变量的概率分布列概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的表格，通常用符号P 表示。
其一般形式如下：P(X=x1)=p1P(X=x2)=p2P(X=x3)=p3…P(X=xn)=pn其中，Xi表示随机变量X的取值，pi表示随机变量X取值为Xi的概率。
离散型随机变量的特点1. 离散型随机变量只取有限或无限个取值中的一个，变化不连续。
2. 取值之间具有间隔或间距。
3. 每个取值对应一个概率，概率分布可用概率分布列来体现。
4. 概率之和为1。
离散型随机变量的常见分布1. 0-1分布0-1分布是指当进行一次伯努利试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=0)=1-pP(X=1)=p2. 二项分布二项分布是进行n次伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p时，恰好出现k次事件发生的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)为从n中选出k个的组合数。
3. 泊松分布泊松分布是指在某个时间段内，某一事件发生的次数符合泊松定理的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=λ^ke^(-λ)/k!其中，λ为这段时间内事件的平均发生次数。
总结离散型随机变量及其分布列是概率论中的重要基础概念之一，具有广泛的应用。
掌握离散型随机变量及其分布列的知识点对于深入理解概率论及其实际应用有重要意义。
概率论-离散型随机变量及其分布律、分布函数
4. 泊松分布
设随机变量X的分布律为 P{X k} ke , k 0,1,2,,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分
布,记为 X ~ π().
通常在n很大，p很小时，用泊松分布近似代替二项分布， 简称泊松近似。
Cnk
pk (1 p)nk
k e
k！
，
其中 np ，可查表 p247 得到泊松分布的概率。
(2) n 重伯努利试验
伯努利资料
设试验 E 只有两个可能结果: A 及 A,则称 E 为伯努利试验. 设 P( A) p (0 p 1),此时P( A) 1 p.
将 E 独立地重复地进行n 次,则称这一串重 复的独立试验为n 重伯努利试验.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面的情况. 若将硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
3
4
0.0625 0.0625
例2 随机变量 X 的概率分布律如下，求常数 c
X01 2
1
1
3
pk
c 2
c 4
c 8
3
解：∵ pk 1,
k 1
即 1c 1c 3c 1
248
∴
c8 9
例3 设随机变量 X 的概率分布律如下，
X 0 1 23 4 5 6 pk 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
分析：这是不放回抽样.但由于这批元件 的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元 件的总数来说又很小,因而此抽样可近似 当作放回抽样来处理. 把检查一只元件是否为一级品看成是一次试 验, 检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
解： 以 X 记 20 只元件中一级品的只数,
则 X ~ b(20, 0.2), 因此所求概率为
2-2离散型随机变量及其分布律
k P{ X k } C10 0.2k 0.810k , k 0,1,10
即P
X
0
1
2 0.30
3 0.20
4 0.09
5 0.03
6
7
8 0.00
9 0.00
10 0.00
0.11 0.27
0.01 0.00
P ( X 1) P ( X 0) P ( X 1)
1 0.2 0.89 =0.38. 0.810 +C10
第二章 一维随机变量及其分布
第二节 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量的分布律
对于离散型随机变量，我们所关心的问题： （1）随机变量所有可能的取值有哪些？ （2）取每个可能值的概率是多少？ 定义 设x1，x2，…为离散型随机变量X的可能取值， p1，p2，…为 X 取 x1，x2，… 的概率，即 P(X=xi ) = pi (i=1,2,…) (1)
(0 p 1) ，则在n重伯努利试验中事件A出现k次 的概率为
C pq
k n
k
n k
其中p q 1
k 0,1,, n.
k k n k pq 若随机变量 X 的分布律为 PX k Cn
其中 k 0,1,, n; 0 p 1; q 1 p. 即 X p
k e xk e x，易知 1. 利用级数 k 0 k ! k 0 k!
历史上，泊松分布是作为二项分布的 近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 . 近数十年来，泊松分布日益显示其重要性 , 成为概率论中最重要的几个分布之一 . 在 实际中，许多随机现象服从或近似服从泊 松分布. 二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在 观察与分析放射性物质放出的 粒子个数 的情况时,他们做了2608 次观察(每次时 间为7.5 秒)发现放射性物质在 规定的一段时间内, 其放射的粒 子数X 服从泊松分布.
即P
X
0
1
2 0.30
3 0.20
4 0.09
5 0.03
6
7
8 0.00
9 0.00
10 0.00
0.11 0.27
0.01 0.00
P ( X 1) P ( X 0) P ( X 1)
1 0.2 0.89 =0.38. 0.810 +C10
第二章 一维随机变量及其分布
第二节 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量的分布律
对于离散型随机变量，我们所关心的问题： （1）随机变量所有可能的取值有哪些？ （2）取每个可能值的概率是多少？ 定义 设x1，x2，…为离散型随机变量X的可能取值， p1，p2，…为 X 取 x1，x2，… 的概率，即 P(X=xi ) = pi (i=1,2,…) (1)
(0 p 1) ，则在n重伯努利试验中事件A出现k次 的概率为
C pq
k n
k
n k
其中p q 1
k 0,1,, n.
k k n k pq 若随机变量 X 的分布律为 PX k Cn
其中 k 0,1,, n; 0 p 1; q 1 p. 即 X p
k e xk e x，易知 1. 利用级数 k 0 k ! k 0 k!
历史上，泊松分布是作为二项分布的 近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 . 近数十年来，泊松分布日益显示其重要性 , 成为概率论中最重要的几个分布之一 . 在 实际中，许多随机现象服从或近似服从泊 松分布. 二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在 观察与分析放射性物质放出的 粒子个数 的情况时,他们做了2608 次观察(每次时 间为7.5 秒)发现放射性物质在 规定的一段时间内, 其放射的粒 子数X 服从泊松分布.
离散型随机变量及其分布律
机变量.若以T记某元素的寿命,它所可能取的值充满
一个区间,是无法按一定次序一一列举出来的，因而 它是一个非离散型的随机变量.本节只讨论离散型随 机变量.
概率论
容易知道,要掌握一个离散型随机变量X的统计规律, 必须且只需知道X的所有可能取的值以及取每一个可
能值的概率.
设离散型随机变量X的所有可能取的值为 xk k 1,2,L ,
特别,当n=1时二项分布化为
PX k pkqnk , k 0,1
这就是(0-1)分布.
概率论
例2 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 1500小时的为一级品.已知某一在批产品的一级品率 为0.2,现在从中随机地抽查20只.问20只元件中愉有
k只(k=0,1,…,20)为一级品的概率是多少？
1pg4p2gL43gpg114 p4g4142p4gL4g4143p pk 1 p nk
k个
nk个
这种指定的方式共有
n k
种，它们是两两互不相容的，故在n次
试验中A发生k次的概率为
n k
pk
1
p nk
，记q
1
p，即有
显然
PX
k
n k
pk
1
p nk
,k
0,1, 2,L
,n
概率论
修”，则知80台中发生故障不能及时维修的概率为
P A1 U A2 U A3 U A4 P A1 PX 2
而X : b20,0.01，故有
概率论
1
PX 2 1 X k k 0
1
k
1 0
20 k
0.01k
0.99 20 k
0.0169.
即有P A1 U A2 U A3 U A4 0.0169
一个区间,是无法按一定次序一一列举出来的，因而 它是一个非离散型的随机变量.本节只讨论离散型随 机变量.
概率论
容易知道,要掌握一个离散型随机变量X的统计规律, 必须且只需知道X的所有可能取的值以及取每一个可
能值的概率.
设离散型随机变量X的所有可能取的值为 xk k 1,2,L ,
特别,当n=1时二项分布化为
PX k pkqnk , k 0,1
这就是(0-1)分布.
概率论
例2 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 1500小时的为一级品.已知某一在批产品的一级品率 为0.2,现在从中随机地抽查20只.问20只元件中愉有
k只(k=0,1,…,20)为一级品的概率是多少？
1pg4p2gL43gpg114 p4g4142p4gL4g4143p pk 1 p nk
k个
nk个
这种指定的方式共有
n k
种，它们是两两互不相容的，故在n次
试验中A发生k次的概率为
n k
pk
1
p nk
，记q
1
p，即有
显然
PX
k
n k
pk
1
p nk
,k
0,1, 2,L
,n
概率论
修”，则知80台中发生故障不能及时维修的概率为
P A1 U A2 U A3 U A4 P A1 PX 2
而X : b20,0.01，故有
概率论
1
PX 2 1 X k k 0
1
k
1 0
20 k
0.01k
0.99 20 k
0.0169.
即有P A1 U A2 U A3 U A4 0.0169
《概率论》第2章2离散型随机变量-24页文档资料
C n k p k ( 1 p ) n k ( k 0 ,1 ,2 ,,n )
第二章 随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 11/23
则
P{X1}P(A1) p
P{X2}P(A1A2)P(A2| A1)P(A1) p(1 p)
P{X3}P(A1A2A3) P (A 3|A 1A 2)P (A 2|A 1 )P (A 1 ) p(1 p)2
P{X 4} P (A 1 A 2A 3A 4) P (A 1 A (12 A 3 pA )4 3)
故 X的分布律为
P{X 0} 1 8
P{X
1}
3 8
P{X 2} 3 8
所有样本点 遍历一次
全部和为1
P{X 3} 1 8
分布律有什么特点
第二章 随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 3/23
pk0, k1,2,
pk 1
k 1
pk P{X xk}
k1
k1
P
U{X
k 1
xk }
P(S) 1
第二章 随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 8/23
只产生两个结果 A , 的A 试验 伯努利试验产生什么样的随机变量
将伯努利试验独立重复进行 n 次的试验
某战士用步枪对目标进行射击，记
Байду номын сангаас
A { 击中目标 } ,A { 没击中目标 } 每射击一次就是一个伯努利试验 ,如果对目标进行 n 次射
第二章 随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 6/23
如果 r.v 的X 分布律为
P{X c}1
则称 r.v 服X 从 单点，分其布中 为常数c
第二章 随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 11/23
则
P{X1}P(A1) p
P{X2}P(A1A2)P(A2| A1)P(A1) p(1 p)
P{X3}P(A1A2A3) P (A 3|A 1A 2)P (A 2|A 1 )P (A 1 ) p(1 p)2
P{X 4} P (A 1 A 2A 3A 4) P (A 1 A (12 A 3 pA )4 3)
故 X的分布律为
P{X 0} 1 8
P{X
1}
3 8
P{X 2} 3 8
所有样本点 遍历一次
全部和为1
P{X 3} 1 8
分布律有什么特点
第二章 随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 3/23
pk0, k1,2,
pk 1
k 1
pk P{X xk}
k1
k1
P
U{X
k 1
xk }
P(S) 1
第二章 随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 8/23
只产生两个结果 A , 的A 试验 伯努利试验产生什么样的随机变量
将伯努利试验独立重复进行 n 次的试验
某战士用步枪对目标进行射击，记
Байду номын сангаас
A { 击中目标 } ,A { 没击中目标 } 每射击一次就是一个伯努利试验 ,如果对目标进行 n 次射
第二章 随机变量及其分布
§2 离散型随机变量及其分布律 6/23
如果 r.v 的X 分布律为
P{X c}1
则称 r.v 服X 从 单点，分其布中 为常数c
高中数学第二章 2.1.2离散型随机变量的分布列(一)课件
答案 是.离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是 彼此互斥的.
答案
返回
题型探究
重点突破
题型一 求离散型随机变量的分布列 例1 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中 摸出2个球. (1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率； (2)有X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列.
解析 根据所给的分布列，
由离散型随机变量的性质得12＋13＋p＝1，解得 p＝16.故选 B.
解析答案
1234
2.设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ＝i)＝a(13)i，i＝1,2,3，则 a 的值为( C )
9
27
11
A.1
B.13
C.13
D.13
解析 由分布列的性质，得 a(13＋19＋217)＝1， ∴a＝1237.
假设身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子〞，身高在175 cm 以下定义为“非高个子〞，且只有“女高个子〞才能担任“礼仪小姐
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子〞和“非高个子〞中抽取5人，再从 这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子〞的概率是多少？
解析答案
(2)假设从所有“高个子〞中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任 “礼仪小姐〞的人数，试写出ξ的分布列. 解 依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，那么 P(ξ＝0)＝CC31382＝1545，P(ξ＝1)＝CC14C31228＝2585， P(ξ＝2)＝CC24C31218＝1525，P(ξ＝3)＝CC31342＝515. 因此，ξ的分布列为
P
1 10
3 10
3 5
解析答案
易错点 无视分布列的性质致误
概率与数理统计 第二章-2-离散型随机变量及其分布律
(0–1)分布的分布律也可以写成：
P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1,0 p 1.
两点分布的模型为：
（1）Ω= {1, 2}， 只有两个基本事件。
P({1}) = p , P({2}) = 1-p =q.
令
X
()
1, 0,
1, 2,
（2） W A A ，有两个结果。
1
2
P 0.04 0.32 0.64
PX 0 0.2 0.2 0.04
PX 1 0.80.2 0.20.8 0.32
PX 2 0.8 0.8 0.64
(2) ∵是并联电路 ∴ P{线路接通} =P{只要一个继电器接通} =P{X≥1} =P{X=1}+P{X=2}=0.32+0.64=0.96
所以，X 的概率分布为
P{X k } C4k p k (1 p )4k ,
k 0, 1, 2, 3, 4 .
(1) 伯努利试验 若随机试验E只有两个可能的结果： 事件A发生与事件A不发生，则称这样的 试验为伯努利(Bermourlli)试验。记
P(A) p, P(A) 1 p q (0 p 1),
P{X=1}：o o o Co41 p1(1 p)41
P{X=2}：o o oo oo oo C42opo2(1oop)42
P{X=3}：ooo oo o o oo oooC43 p3(1 p)43 P{X=4}：oooo C44 p4(1 p )44 p4
其中“×”表示未中，“○”表示命中。
P(A) p, P(A) 1 p ；
③ 各次试验相互独立。
我们关心的问题是：
n次的独立伯努利试验中，事件A发生的次数 及A发生k次的概率。
人教版高中数学选修2-3课件：2.1 离散型随机变量及其分布列(共52张PPT)
预习探究
[探究] 以下随机变量是离散型随机变
量的是
.
①某部手机一小时内收到短信的次数
ξ;
②电灯泡的寿命ξ; ③某超市一天中的顾客量ξ; ④将一颗骰子掷两次出现的点数之和
ξ.
⑤连续不断地射击,首次命中目标所需
要的射击次数ξ.
④将一颗骰子掷两次出现点数之和ξ的取
值为2,3,…,12,是离散型随机变量;
三维目标
3．情感、态度与价值观 使学生感悟数学与生活的和谐之美，学会合作探讨，体验成功，提 高学习数学的兴趣．
重点难点
[重点] (1)随机变量、离散型随机变量的意义； (2)离散型随机变量的分布列的概念．
[难点] (1)随机变量、离散型随机变量的意义； (2)求简单的离散型随机变量的分布列．
教学建议
例1 指出下列变量中,哪些是随机变量, 哪些不是随机变量,并说明理由. (1)任意掷一枚质地均匀的硬币5次,出 现正面向上的次数; (2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数 (最上面的数字); (3)某个人的属相随年龄的变化; (4)在标准状况下,水在0℃时结冰.
(3)属相是出生时便确定的,不随年龄的变化 而变化,不是随机变量. (4)标准状况下,水在0℃时结冰是必然事件, 不是随机变量.
P
分别求出随机变量η1=2ξ1,η2=ξ2的分布列.
当ξ取-1与1时,η2=ξ2取相同的值,故η2的分布 列为 η2 0 1 4 9
考点类析
例2 指出下列随机变量是不是离散型 随机变量,并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片(从1号到 10号)中任取1张,被取出的卡片的号数; (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球,从 中任取3个,其中所含白球的个数; (3)某林场树木最高达30 m,则此林场中 树木的高度; (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与 规定的外径尺寸之差.
离散型随机变量及其分布列 课件 高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册
自学新教材，提炼知识要点
1．随机变量 一般地，对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点 ω，都有唯一 的 实数 X(ω)与之对应，我们称 X 为随机变量．可能取值为有限个或可 以 一一列举 的随机变量，我们称之为离散型随机变量．通常用大写 英文字母表示随机变量，例如 X，Y，Z ；用小写英文字母表示随机 变量的取值，例如 x，y，z .
变式训练
设随机变量 X 的概率分布列为
X1 2 34
P
1 3
m
1 4
1 6
则 P(|X－3|＝1)＝( )
7 A.12
B．152
C．14
D．16
变式训练
B 解析：根据概率分布列的性质得出：13＋m＋14＋16＝1，所以m＝ 1 4. 所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝152.
变式训练
【例 4】从装有除颜色外完全相同的 6 个白球，4 个黑球，2 个黄球 的箱中随机地取出 2 个球，规定每取出 1 个黑球赢 2 元，而每取出 1 个白球输 1 元，取出黄球无输赢． (1)以 X 表示赢得的钱数，随机变量 X 可以取哪些值？求 X 的分布列； (2)求出赢钱(即 X>0 时)的概率．
方法总结
判定离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的结果数量化． (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出， 则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
例题剖析
【例 3】设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝kkC＋1，k＝1,2,3，C 为常数，则 P(0.5<X<2.5)＝________.
变式训练
所以随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 1
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⑷
⑵二项分布
在n重贝努利试验中, 若以X 表示事件A在n次试验中 出现的次数. 则 X的取值为 0,1, 2, , n, 相应的概率为:
P X k Cnk pk 1 p nk k 0,1, n. ⑸
分布律为
X0
1
k
n
P 1 pn Cn1 p 1 p n1
Cnk pk 1 p nk
. pn
X3 45 P 1 3 6.
10 10 10
例 设随机试验E表示射击试验, 以 X 表示首次命中时 所进行过的射击次数. 则X 的取值为1, 2, , n, .
设每次命中目标的概率为0.8，求随机变量的分布律
及 P X 3.
解： 分布律为
X1 2 P 0.8 0.20.8
n 0.2n1 0.8
P X 3 0.8 0.20.8 0.22 0.8 0.992.
对应的概率可以表示为
P A P0 X 1000.
二、概率函数
在上节的几个例子中, 我们看到问题中所涉及的几个 随机变量的取值为有限多个或“可列”多个, 这类随机 变量称为离散型随机变量.
1.离散型随机变量和概率函数
设 X为离散型随机变量, X 的可能取值为
a1,a2, ,an, ,
事件X ai的概率为pi , 即:
第二章 离散型随机变量及分布
本章要点
本章引入随机变量的概念, 讨论几种类型的随机变量 及相应的分布. 主要内容有: 一、一维离散型随机变量及分布 二、一维离散型随机变量的常用分布 三、二维离散随机变量的联合分布与边缘分布 四、随机变量的独立性 五、随机变量函数的分布
一、随机变量
1.随机变量
例1 设随机试验 E为抛硬币试验, 我们以符号H表示出 现的是正面, 符号F表示出现的是反面, 为了更好的刻画
引进变量 X 来表示其中的次品随机试验E表示射击试验, 以 X 表示首次命中时 所进行过的射击次数. 则X 的取值为1, 2, , n, .
将上面的问题一般化, 我们引入下面概念.
定义 设E为随机试验, 为样本空间, 定义在上的函 数称为上的（一维）随机变量. 记为
例4 设袋中有5球, 编号为1, 2, 2,3,3, 从袋中随机地 取一球, 以 X表示取到的球的编号, 求X 的分布.
解 以 X表示取到球的编号, 则 X的取值为1, 2, 3. 因1
号球只有一个, 故
P X 1 1 .
5
同理,
P X 2 2 ,
5
及
P X 3 2 .
5
从而随机变量 X的分布律为
X123 P 1 2 2.
555
例 设袋中有5球, 编号分别为 1, 2,3, 4,5, 从袋中随
机地取3个球, 以 X 表示取到的3个球中的最大编号,求
X 的分布律.
解 X 的取值为 3, 4,5.
PX
3
1 C53
1. 10
PX
4
C32 C53
3. 10
PX
5
C42 C53
6. 10
X 的分布律为：
X
:
i
R, X
i
.
引入了随机变量以后, 随机事件及相应的概率可以用 随机变量方式加以刻画.
例如, 某厂生产的灯泡按国家标准其合格品的寿命时
间应该不小于1000小时. 此时 0,.
记 A表示“取到的一只产品是不合格品”, 再以 X表
示取出的灯泡的寿命, 则事件 A可以表示为
A 0 X 1000.
P X ai pi,
⑴
满足 pi 0i 1,2, , pi 1.
i1
称⑴式为随机变量X 的分布（分布律）, 又称为概率函
数. 上式又可用表格的形式给出:
X a1 a2 P p1 p2
an
pn
.
注：随机变量的取值按从小到大的顺序排列，概率 为零的项不必列出.
P X K P X ai . 其中 K 为某一实数集. aiK
解 由条件, 以 X表示包内螺丝钉为次品的件数, 则包 被退回意味着 X 1, 故所求的概率为
P X 1 1 P X 0 P X 1 1 0.9910 C1100.01 0.999 0.0043.
被退回的概率近似等于0.43%.
例8 设有保险公司的某保险险种有1000人投保, 每个 人在一年内死亡的概率为0.005, 且每个人在一年内是否 死亡是相互独立的. 试求在未来一年中这1000个投保人 死亡人数不超过10个人的概率.
⑹
其中 p为事件A发生的概率. 则称X 服从参数为 n, p 的
二项分布, 记成 X Bn, p.
在概率论中, 二项分布是一个重要的分布. 在许多独 立重复试验中, 都具有二项分布的形式.
0 1 分布是二项分布在 n 1 时的特殊情况.
例6 某特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问 至少有8人治愈的概率有多少？
解 设 X 为10人中治愈的人数，则 X B10,0.95,
P X 8 P X 8 PX 9 PX 10
C8 10
0.958
0.052
C9 10
0.959
0.051
0.9510
0.9885.
例7 已知某公司生产的螺丝钉的次品率为0.01, 并设 各个螺丝钉是否为次品是独立的. 这家公司将10个螺丝 钉包成一包出售, 并保证若发现包内多于一个次品就可 退款. 问卖出的某包螺钉被退回的概率有多大？
这类随机试验, 我们 用一个数对应一个试验的结果，由
此引入一个变量 X
1 出现正面,
X 0
出现反面.
例2 设随机试验E为一次打靶试验, 其基本结果是中与
不中. 同样可以引入变量:
1 击中目标,
X 0
未击中目标.
也有很多试验，其结果本身就用数来表示的. 例如 在一大批产品中有5%的次品，从中抽取10件产 品，其中的次品数在抽取之前是不确定的，我们可以
解 以随机变量 X表示在未来一年中这1000个投保人死
亡的人数, 则相应的问题转变为求概率P X 10. 由
X ~ B1000,0.005, 可得
10
P X 10
Ck 1000
三、常用离散型随机变量
⑴ 0 1分布
若随机变量 X的取值为0, 1, 相应的概率记为
P X 1 p, P X 0 1 p0 p 1, ⑶
则称服从 0 1分布. 记为
X B1, p.
一个只有两个基本结果的随机试验, 都可转化为 0 1
分布.
习惯上, 0 1分布又常写成
X 01
P 1 p p,