《初等数论》作业.

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初等数论作业(3)答案

初等数论作业(3)答案

第三次作业答案:一、选择题1、整数5874192能被( B )整除.A 3B 3与9C 9D 3或92、整数637693能被(C )整除.A 3B 5C 7D 93、模5的最小非负完全剩余系是( D ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,44、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则(A )A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠二、解同余式(组)(1))132(mod 2145≡x .解 因为(45,132)=3¦21,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程)44(mod 715≡x .我们再解不定方程74415=-y x ,得到一解(21,7).于是定理4.1中的210=x .因此同余式的3个解为)132(mod 21≡x ,)132(mod 65)132(mod 313221≡+≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡⨯+≡x .(2))45(mod 01512≡+x解 因为(12,45)=3¦15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),即定理4.1中的100=x .因此同余式的3个解为)45(mod 10≡x ,)45(mod 25)45(mod 34510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 345210≡⨯+≡x .(3))321(m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3¦75,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程)107(mod 2537≡x .我们再解不定方程2510737=+y x ,得到一解(-8,3).于是定理4.1中的80-=x .因此同余式的3个解为)321(mod 8-≡x ,)321(mod 99)321(mod 33218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 332128≡⨯+-≡x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x .解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式)7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x ,得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为).494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯≡x(5)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题)三、证明题1、 如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.证明 设a 是一正整数,并将a 写成10进位数的形式:a =1101010n n n n a a a --+++,010i a ≤.因为10≡0(mod5), 所以我们得到)5(mod 0a a ≡所以整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.2、证明当n 是奇数时,有)12(3+n .证明 因为)3(mod 12-≡,所以)3(mod 1)1(12+-≡+n n .于是,当n 是奇数时,我们可以令12+=k n .从而有)3(mod 01)1(1212≡+-≡++k n , 即)12(3+n .。

初等数论习题与答案、及测试卷

初等数论习题与答案、及测试卷

初等数论习题与答案、及测试卷1 证明:n a a a ,,21 都是m 的倍数。

∴存在n 个整数n p p p ,,21使n n n m p a m p a m p a ===,,,222111又n q q q ,,,21 是任意n 个整数m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数2 证:)12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n从而可知12)(1(/6++n n n3 证: b a , 不全为0∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数,因而有形如by ax +的最小整数00by ax +Z y x ∈?,,由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+则b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00,由00by ax +是S 中的最小整数知0=rax by ax ++∴/00 下证8P 第二题by ax by ax ++/00 (y x ,为任意整数)b by ax a by ax /,/0000++∴ ,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 0/),(by ax ba +∴故),(00b a by ax =+4 证:作序列 ,23,,2,0,23,b b b b b b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在一个整数q ,使b q a b q 212+<≤成立(i 当q 为偶数时,若.0>b 则令b q a bs a t q s 2 ,2-=-==,则有22220b t b q b q a b q a t bs a <∴<-=-==-≤若0,2+=-=-=,则同样有2b t <)(ii 当q 为奇数时,若0>b 则令b q a bs a t q s 2 1,21+-=-=+=,则有21212b t b q a b q a bs a t b ≤∴<+-=+-=-=≤-若 01,21++=-=+-=则同样有 2b t ≤综上存在性得证下证唯一性当b 为奇数时,设11t bs t bs a +=+=则b s s b t t >-=-)(11而b t t t t b t b t ≤+≤-∴≤≤1112,2矛盾故11,t t s s ==当b 为偶数时,t s ,不唯一,举例如下:此时2b 为整数 2,2),2(2212311b t b t b b b b b ≤=-+?=+=?2,2,222211b t b t t bs t bs a ≤-=+=+=5.证:令此和数为S ,根据此和数的结构特点,我们可构造一个整数M ,使MS 不是整数,从而证明S 不是整数(1)令S=n14131211+++++,取M=p k 75321-这里k 是使n k≤2最大整数,p 是不大于n 的最大奇数。

《初等数论》网络作业

《初等数论》网络作业

《初等数论》网络作业11、证明整数105L02个3001能被1001 整除。

n n n 1 n 2 n 2 n 1 证明:利用公式:若n 是正奇数,则a b (a b)(a a b L ab b ) ∴ 10L2 301 10511 (103)171 (103 1)[(103)16 (103)15 L 103 1] 50个03∴ 103 1 1001 能够整除10L2 30150个02、若n 是奇数,证明8|(n2 1)。

证明:设n 2k 1,k Z ,则n2 1 (2k 1)2 1 4k(k 1)∵ k,k +1 中必有一个是偶数∴ 8|(n2 1)3、设正整数n 的十进制表示为n a k L a1a0 ,其中0 a i 9,0 i k,a k 0 ,且S(n) a k a k 1 L a1 a0,证明9 | n的充分必要条件是9|S(n) 。

k证明:∵ n a k L a1a0 a k 10 L a1 10 a0,S(n) a k a k 1 L a1 a0k∴ n S(n) a k (10k 1) L a1 (10 1)对所有的0 i k ,有9|(10i 1)∴ 9|(n S(n))∴ 9|n 的充分必要条件是9|S(n)4 、设r 是正奇数,证明对任意的正整数n,n 2不能整除(1r 2r L n r) 。

证明:当n=1 时,结论显然成立。

面设n 2,令S 1r 2r L n r则2S 2 (2r n r) [3r (n 1)r] L (n r 2r )利用公式:若n 是正奇数,则a n b n (a b)(a n 1 a n 2b L ab n 2 b n 1)∴ 对2 i n,(n 2) |(i r (n 2 i)r )∴ 2S 2 (n 2)q ,q 是整数∵ n 2 2∴ n+ 2 不能整除2S∴ n+ 2 不能整除S5 、设n 为正整数,证明(n! 1,(n 1)! 1) 1。

福师《初等数论》在线作业二答卷

福师《初等数论》在线作业二答卷
22.{图}

A.A
B.B
C.C
D.D
答案:D
23.{图}

A.A
B.B
C.C
D.D
答案:B
24.整数202()
A.能够写成两数平方和
B.能够写成两数平方差
C.都可以
D.都不能
答案:A
25.题见图片
{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:B
二、判断题(共25道试题,共50分)
26.题面见图片{图}
答案:错误
B.1
C.2
D.无穷
答案:B
5.a,b大于1且互素,则不定方程ax-by=ab的正整数解的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.无穷
答案:D
6.9x+11y=99的正整数解的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.无穷
答案:A
7.题见图片
{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:C
8.{图}

A.A
B.B
C.C
D.D
答案:B
福师《初等数论》在线作业二-0002
试卷总分:100得分:100
一、单选题(共25道试题,共50分)
1.题见图片
{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:D
2.题见图片
{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:A
3.题见图片
{图}
A.A
B.B
C.C
D.D
答案:B
4.9x+11y=100的正整数解的个数是()

《初等数论》习题集及答案

《初等数论》习题集及答案

《初等数论》习题集第1章 第 1 节1. 证明定理1。

2. 证明:若m - p ∣mn + pq ,则m - p ∣mq + np 。

3. 证明:任意给定的连续39个自然数,其中至少存在一个自然数,使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p 是n 的最小素约数,n = pn 1,n 1 > 1,证明:若p >3n ,则n 1是素数。

5. 证明:存在无穷多个自然数n ,使得n 不能表示为a 2 + p (a > 0是整数,p 为素数)的形式。

第 2 节1. 证明:12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ,n ∈Z 。

2. 设3∣a 2 + b 2,证明:3∣a 且3∣b 。

3. 设n ,k 是正整数,证明:n k 与n k + 4的个位数字相同。

4. 证明:对于任何整数n ,m ,等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。

5. 设a 是自然数,问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数?6. 证明:对于任意给定的n 个整数,必可以从中找出若干个作和,使得这个和能被n 整除。

第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。

3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x ,y ∈Z ,17∣2x + 3y ,证明:17∣9x + 5y 。

5. 设a ,b ,c ∈N ,c 无平方因子,a 2∣b 2c ,证明:a ∣b 。

6. 设n 是正整数,求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。

第 4 节1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a ,b 是正整数,证明:(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。

4. 求正整数a ,b ,使得a + b = 120,(a , b ) = 24,[a , b ] = 144。

5. 设a ,b ,c 是正整数,证明:),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。

初等数论作业汇总

初等数论作业汇总

一、选择题1、如果a|b,b|c,则(C )。

A:a=c B:a=-c C:a|c D:c|a2、360与200的最大公约数是(D )。

A:10 B:20 C:30 D:403、如果a|b,b|a ,则(C )。

A:a=b B:a=-b C:a=b或a=-b D:a,b的关系无法确定4、-4除-39的余数是(C )。

A:3 B:2 C:1 D:05、设n,m为整数,如果3整除n,3整除m,则9(A )mn。

A:整除B:不整除C:等于D:小于6、整数6的正约数的个数是(D )。

A:1 B:2 C:3 D:47、如果5|n ,7|n,则35(D )n 。

A:不整除B:等于C:不一定D:整除8、288与158的最大公约数是(A)。

A:2 B:4 C:6 D:89、-337被4除余数是(D )。

A:0 B:1 C:2 D:310、两个整数的公因数是它们的最大公因数的(A)。

A:因数B:倍数C:和D:差11、小于40的素数的个数(D)。

A:10 B:9 C:8 D:1212、定方程525x+231y=210(A )。

A:有解B:无解C:有正整数解D:有负整数解13、因为(D ),所以不定方程12x+15y=7没有解。

A:7不整除(12,15)B:7不整除[12,15] C:[12,15]不整除7 D:(12,15)不整除7二、填空题(1)模7的最小非负完全剩余系是0,1,2,3,4,5,6 .142535036021020252510100736025202545(2){-3.8} = 0.2 ;[-4.38] = -5 . (3)890的标准分解式是 2×5×89 .(4)16除-81的商是 -6 ,余数是 15 . (5)(1516,600)= 4 .(6)不定方程ax + by = c (其中a ,b ,c 是整数)有整数解的充要条件是 c b a ),(. (7)710被11除的余数是 1 .(8)340的十进位表示中的个位数字是 1 . (1)98!的末尾有_______22________个零。

《初等数论》作业.

《初等数论》作业.

《初等数论》作业.《初等数论》作业第⼀次作业:⼀、单项选择题1、=),0(b (). A b B b - C b D 02、如果a b ,b a ,则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=3、如果1),(=b a ,则),(b a ab +=(). A a B b C 1 D b a +4、⼩于30的素数的个数(). A 10 B 9 C 8 D 75、⼤于10且⼩于30的素数有(). A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果n 3,n 5,则15()n .A 整除B 不整除C 等于D 不⼀定 7、在整数中正素数的个数().A 有1个B 有限多C ⽆限多D 不⼀定⼆、计算题1、求24871与3468的最⼤公因数?2、求[24871,3468]=?3、求[136,221,391]=? 三、证明题1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯⼀的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.2、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 3、任意⼀个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数. 4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.第⼆次作业⼀、单项选择题1、如果( A ),则不定⽅程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),(2、不定⽅程210231525=+y x (A ).A 有解B ⽆解C 有正数解D 有负数解⼆、求解不定⽅程 1、144219=+y x .解:因为(9,21)=3,1443,所以有解;化简得4873=+y x ;考虑173=+y x ,有1,2=-=y x ,所以原⽅程的特解为48,96=-=y x ,因此,所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

初等数论练习题一(含答案)

初等数论练习题一(含答案)

《初等数论》期末练习二一、单项选择题1、=),0(b ( ).A bB b -C bD 02、如果1),(=b a ,则),(b a ab +=( ).A aB bC 1D b a +3、小于30的素数的个数( ).A 10B 9C 8D 74、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C (mod )ac bc m ≡/D b a ≠5、不定方程210231525=+y x ( ).A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果a b ,b a ,则( ).A b a =B b a -=C b a ≥D b a ±=8、公因数是最大公因数的( ).A 因数B 倍数C 相等D 不确定9、大于20且小于40的素数有( ).A 4个B 5个C 2个D 3个10、模7的最小非负完全剩余系是( ).A -3,-2,-1,0,1,2,3B -6,-5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5,6D 0,1,2,3,4,5,611、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解.A [12,15]不整除7B (12,15)不整除7C 7不整除(12,15)D 7不整除[12,15]12、同余式)593(m od 4382≡x ( ).A 有解B 无解C 无法确定D 有无限个解二、填空题1、有理数ba ,0,(,)1ab a b <<=,能写成循环小数的条件是( ). 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解,而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设n 是一正整数,Euler 函数)(n ϕ表示所有( )n ,而且与n ( )的正整数的个数.5、设b a ,整数,则),(b a ( )=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的( )数码的和能被3整除.7、+=][x x ( ).8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程2537107=+y x .(8分)3、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. (8分) 4、解同余式)321(m od 75111≡x .(8分) 5、求[525,231]=?6、求解不定方程18116=-y x .7、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解?8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.(11分)2、证明当n 是奇数时,有)12(3+n .(10分)3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.(11分)4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.《初等数论》期末练习二答案一、单项选择题1、C2、C3、A4、A5、A6、B7、D8、A9、A 10、D 11、B 12、B二、填空题1、有理数ba ,1),(,0=b a b a ,能写成循环小数的条件是( 1)10,(=b ). 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解,而且解的个数为( 3 ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).4、设n 是一正整数,Euler 函数)(n ϕ表示所有( 不大于 )n ,而且与n ( 互素 )的正整数的个数.5、设b a ,整数,则),(b a ( ],[b a )=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的( 十进位 )数码的和能被3整除.7、+=][x x ( }{x ).8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( 3 ). 9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( 因数 ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?解:因为(24871,3468)=17所以[24871,3468]= 17346824871⨯=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。

电大《初等数论》形考作业二

电大《初等数论》形考作业二

试卷总分:100 得分:1001.不定方程525x+231y=210()A.有解B.有负数解C.无解D.有正数解【答案】:A2.设p是素数,则不定方程x2+y2=p解的情况()A.无穷多解B.两个解C.唯一解D.无解【答案】:C3.设p是素数,则不定方程p=x2+y2有()A.两个解B.唯一解C.无解D.无穷多解【答案】:B4.不定方程x+2y=3()A.有整数解B.无法确定C.无解D.有非整数解【答案】:A5.一个小于200的自然数,除以11余数为8,除以13余数为10,这个数为()A.140B.120C.100D.110【答案】:A6.a,b的公倍数是他们的最小公倍数的()A.差B.商C.倍数D.和【答案】:C7.不定方程x2-3y2=-1的解的情况()A.唯一组正整数解B.无正整数解C.无法确定D.有正整数解【答案】:B8.不定方程6x-17y=18的一组整数解()A.无解B.(27,-9)C.(18,3)D.(54,-18)【答案】:D9.补丁方程107x+37y=25的一组特解为()A.(107,25)B.(225,-650)C.(37,25)D.(107,37)【答案】:B10.因为(),所以不定方程12x+15y=7无解A.7不整除[12,15]B.(12,15)不整出7C.7不整除(12,15)D.[12,15]不整除7【答案】:B11.不定方程2x+6y+8z+14t=5无整数解.【答案】:正确12.不定方程中方程个数少于未知量的个数.【答案】:正确13.如果整数a的个倍数是5,则该数是5的倍数. 【答案】:正确14.不定方程4x+6y+14z=5无整数解.【答案】:正确15.不定方程4x-6y=7有整数解.【答案】:错误16.不定方程3x+5y=31无整数解.【答案】:错误17.形如4n-1的整数能写成两个平方数的和. 【答案】:错误18.不定方程120x+4y=3有整数解.【答案】:错误19.不定方程4x+6y+12z=8有整数解.【答案】:正确20.不定方程100x+99y=5有整数解.【答案】:错误。

初等数论作业答案

初等数论作业答案

初等数论1:[单选题]已知361a是一个4位数(其中a是个位数),它能被5整除,也能被3整除,则a的值是()。

A:0B:2C:5D:9参考答案:C2:[单选题]下面的()是模4的一个简化剩余系。

A:4,17B:1,15C:3,23D:13,6参考答案:B3:[单选题]小于20的正素数的个数是()。

A:11B:10C:9D:8参考答案:D 4:[单选题]下面的数是3的倍数的数是()。

A:19B:119C:1119D:11119参考答案:C5:[单选题]-4除-39的余数是()。

A:3B:2C:1D:0参考答案:C6:[单选题]一个正整数n的各位上的数字是0或1,并且n能被2和3整除,则最小的n 是()。

A:1110B:1101C:1011D:1001参考答案:A7:[单选题][[4.5]+[3.7]]等于()。

A:3B:4C:7D:8参考答案:C8:[单选题]{{1.8}+{2.9}}等于()。

A:0.4B:0.5C:0.6D:0.7参考答案:D 9:[单选题]100与44的最小公倍数是()。

A:4400B:2200C:1100D:440参考答案:C10:[单选题]使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于()。

A:6B:2C:3D:13参考答案:A11:[单选题]设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系,则a+b+c+d对模5同余于()。

A:0B:1C:2D:3参考答案:A12:[单选题]下面的()是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。

A:x=0,y=3B:x=2,y=1C:x=4,y=2D:x=2,y=2参考答案:D13:[单选题]下面的()是模4的一个完全剩余系。

A:9,17,-5,-1B:25,27,13,-1C:0,1,6,7D:1,-1,2,-2参考答案:C14:[单选题]下面的()是模12的一个简化剩余系。

A:0,1,5,11B:25,27,13,-1C:1,5,7,11D:1,-1,2,-2参考答案:C15:[单选题]若a,b均为偶数,则a + b为()。

初等数论作业3-第二章

初等数论作业3-第二章

初等数论作业3-第二章
姓名:成绩:亳州师专《初等数论》自考助学作业《初等数论》作业题3(第二章)
第二章复习要点:
1. 用辗转相除法解二元(三元)不定方程. ★
2. 不定方程ax+by=c有整数解?(a,b)|c.
3. 不定方程ax+by+cz=d有整数解?(a,b,c)|d.
4. (P25)定理1,一切解:x=x0-b1t, y=y0+a1t. t∈Z.
第二章作业题:
一、填空题
1. 不定方程2x+3y=1有一组解为x=2, y=-1, 则所有整数解为 .
二、解答题
1. 求不定方程17x+40y=28的所有整数解.
2. 求不定方程21x+35y=98的所有整数解.
3.(P31)求不定方程15x+25y=100的所有整数解.
4. (P31) 求不定方程306x-360y=630的所有整数解.
5. (P31)把100分成两份,使一份可被7整除,一份可被11整除.
6. (P34)把17/60写成分母为两两互质的三个既约分数之和.。

初等数论练习题一

初等数论练习题一
12、如果(a,b)二1,那么(ab, a b)=().
三、计算题
1、求24871与3468的最小公倍数?
2、求解不定方程107x・37y=25.(8分)
3、求429,其中563是素数.(8分)
(563
4、解同余式111x三75(mod321) .( 8 分)
5、求[525,231]=?
6、求解不定方程6x_11y=18.
4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.
5、 如果a,b是两个整数,b '0,则存在唯一的整数对q, r,使得a=bq,r,其中0_r b无限个解
、填空题
1、有理数-,0:::a:::b,(a,b)=1,能写成循环小数的条件是(
b
2、 同余式12x V5三0(mod45)有解,而且解的个数为().
3、 不大于545而为13的倍数的正整数的个数为().
4、 设n是一正整数,Euler函数::(n)表示所有()n,而且与n(
大于20且小于40的素数有(
4个B5个C2个

-6,
12x15^7没有解.
B
D
-3, -2,-1,0,1,2,3 B
因为(),所以不定方程
[12,15]不整除7
7不整除(12,15)
(12,15)不整除7
7不整除[12,15]
0,1,2,3,4, 5, 6
12、
同余式
2
x三438(mod 593)(
有解B无解
整数5874192能被(
3 B 3与9
C有正数解)整除.
9
7、
如果ba,a b,
).
a =b B
公因数是最大公因数的(
因数B倍数C

王进明_初等数论_习题解答

王进明_初等数论_习题解答

王进明 初等数论 习题及作业解答1.已知两整数相除,得商12,余数26,又知被除数、除数、商及余数之和为454.求被除数.解:1226,1226454,a b a b =++++=12261226454,b b ++++=(121)454122626390,b +=---=b =30, 被除数a =12b +26=360+26=386. 这题的后面部分是小学数学的典型问题之一——“和倍” 问题。

2.证明:(1) 当n ∈Z 且39(09)n q r r =+≤<时,r 只可能是0,1,8;证:把n 按被9除的余数分类,即:若n=3k, k ∈Z ,则3327n k =, r=0;若n=3k +1, k ∈Z ,则3322(3)3(3)3(3)19(331)1n k k k k k k =+++=+++,r=1; 若n=3k -1, k ∈Z ,则33232(3)3(3)3(3)19(331)8n k k k k k k =-+-=-+-+,r=8. (2) 当 n ∈Z 时,32326n n n -+的值是整数。

证 因为32326n n n -+=32236n n n -+,只需证明分子3223n n n -+是6的倍数。

32223(231)(1)(21)n n n n n n n n n -+=-+=--(1)(21)n n n n =--++=(1)(2)n n n --+(1)(1)n n n -+.由k ! 必整除k 个连续整数知:6 |(1)(2)n n n --,6 |(1)(1)n n n -+.或证:2!|(1)n n -, (1)n n -必为偶数.故只需证3|(1)(21)n n n --.若3|n, 显然3|(1)(21)n n n --;若n 为3k +1, k ∈Z ,则n -1是3的倍数,得知(1)(21)n n n --为3的倍数;若n 为3k -1, k ∈Z ,则2n -1=2(3k -1)-1=6k-3, 2n -1是3的倍数.综上所述,(1)(21)n n n --必是6的倍数,故命题得证。

华师《初等数论》在线作业答案

华师《初等数论》在线作业答案
A.120
B.130
C.140
D.150
答案:C
二、判断题(共10道试题,共40分)
21.若3|n且7|n,则21|n.
答案:正确
22.294与194的最大公因数是2.
答案:正确
23.111是素数.
答案:错误
24.存在数m,使ψ(m) =14.
答案:错误
25.已知ψ(m) =4,则m可能为5.
答案:正确
答案:错误
华师《初等数论》在线作业-0001
试卷总分:100得分:100
一、单选题(共20道试题,共60分)
1.整数6的正约数的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:D
2.(221,391,136)=( ).
A.13
B.17
C.19
D.23
答案:B
3.同余方程6x≡18(mod3)解的个数为().
A.1个解
A.2
B.3
C.6
D.12
答案:C
14.下列各组数哪一组是模8的完全剩余系().
A.1,3,5,7,9,11,13,15
B.2,4,6,8,17,21,23
C.-7,-12,-17,-22,-27,-32,-37,-42
D.–2,–7,11,15,18,21,24,27
答案:C
15.取1元、2元、5元的硬币共10枚,付出18元,有()种不同的付法
26.欧拉函数ψ(480) =128.
答案:正确
27.若(a,b)=(a,c),则[a,b]=[a,c].
答案:错误
28.若(a,m)=1,x通过模m的简化剩余系,则ax+b也通过模m的简化剩余系.

《初等数论》试卷及参考答案(与闵嗣鹤第三版配套)

《初等数论》试卷及参考答案(与闵嗣鹤第三版配套)

《初等数论》试卷一、 单项选择题:(1分/题×20题=20分) 1.设x 为实数,[]x 为x 的整数部分,则( ) A.[][]1x x x ≤<+; B.[][]1x x x <≤+; C.[][]1x x x ≤≤+; D.[][]1x x x <<+. 2.下列命题中不正确的是( ) A.整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数; B.整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数C.整数a 与它的绝对值有相同的倍数 D.整数a 与它的绝对值有相同的约数3.设二元一次不定方程ax by c +=(其中,,a b c 是整数,且,a b 不全为零)有一整数解()00,,,x y d a b =,则此方程的一切解可表为( )A.00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =-=+=±± B.00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =+=-=±± C.00,,0,1,2,;bax x t y y t t d d =+=-=±± D.00,,0,1,2,;bax x t y y t t dd =-=-=±±4.下列各组数中不构成勾股数的是( )A.5,12,13; B.7,24,25; C.3,4,5; D.8,16,17 5.下列推导中不正确的是( )A.()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ B.()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ C.()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ D.()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡ 6.模10的一个简化剩余系是( ) A.0,1,2,,9; B.1,2,3,,10;C.5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- D.1,3,7,9. 7.()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) A.;m a b - B.;a b m - C.;m a b + D..a b m +8.设()43289f x x x x =+++,同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( ) A.1x =或1;- B.1x =或4; C.1x ≡或()1mod5;- D.无解. 9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解,则:( )A .()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解 B .()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C .()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中 D .()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10.()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数:( ) A .有时大于p 但不大于n; B .可超过pC .等于pD .等于n11.若2为模p 的平方剩余,则p 只能为下列质数中的 :( )A .3B .11C .13D .23 12.若雅可比符号1a m ⎛⎫=⎪⎝⎭,则 ( ) A .()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B .()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C .()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D .()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解.13.()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )A . 4B .3C . 2D . 1 14. 模12的所有可能的指数为;( )A .1,2,4B .1,2,4,6,12C .1,2,3,4,6,12D .无法确定 15. 若模m 的单根存在,下列数中,m 可能等于: ( ) A . 2 B .3 C . 4 D . 12 16.对于模5,下列式子成立的是: ( )A .322ind =B .323ind =C .350ind =D .3331025ind ind ind =+ 17.下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A .茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B . 欧拉函数()a φ;C .不超过x 的质数的个数()x π;D .除数函数()a τ;18. 若x 对模m 的指数是ab ,a >0,ab >0,则x α对模m 的指数是( ) A .a B .b C .ab D .无法确定 19.()f a ,()g a 均为可乘函数,则( ) A .()()f a g a 为可乘函数; B .()()f ag a 为可乘函数 C .()()f a g a +为可乘函数; D .()()f a g a -为可乘函数 20.设()a μ为茂陛乌斯函数,则有( )不成立A .()11μ=B .()11μ-=C .()21μ=-D .()90μ= 二.填空题:(每小题1分,共10分)21. 3在45!中的最高次n = ____________________; 22. 多元一次不定方程:1122n n a x a x a x N +++=,其中1a ,2a ,…,n a ,N 均为整数,2n ≥,有整数解的充分必要条件是___________________;23.有理数ab,0a b <<,)(,1a b =,能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________;24. 设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡,a ≡()0mod m 的一个解,则它的所有解为_________________________;25. 威尔生(wilson )定理:________________________________________; 26. 勒让德符号5031013⎛⎫⎪⎝⎭=________________________________________; 27. 若)(,1a p =,则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件); 28. 在模m 的简化剩余系中,原根的个数是_______________________; 29. 设1α≥,g 为模p α的一个原根,则模2p α的一个原根为_____________; 30.()48ϕ=_________________________________。

(完整版)初等数论练习题二(含答案)

(完整版)初等数论练习题二(含答案)

《初等数论》期末练习一、单项选择题1 如果 ba , a b ,则().A a b Bab2、如果 3n , 5n ,贝U 15 (A 整除B 不整除 C3、 在整数中正素数的个数( ).A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、 如果a b (modm ) ,c 是任意整数 贝UA ac bc(modm)B a bC ac bc(mod m) Dab5、 如果(),则不定方程ax by c 有解.A (a,b) cB c(a, b)C a cD (a, b)a6、 整数5874192能被()整除.A 3B 3 与 9C 9D 3 或 97、 如果 2n , 15n ,贝U 30( ) n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定& 大于10且小于30的素数有(). A 4个 B 5个 C 6个 D 7个9、 模5的最小非负兀全剩余系是( ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 10、 整数637693能被()整除. A 3 B 5 C 7 D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是(). 2、 同余式ax b O (modm )有解的充分必要条件是().8、 如果同余式ax b O (modm )有解,则解的个数(). 9、 在176与545之间有()是13的倍数.10、 如果 ab 0 则[a,b ](a,b )=( ). Cab Dab )n . 等于 D 不一定 3、 如果a,b 是两个正整数,则不大于 4、 如果p 是素数,a 是任意一个整数 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的6、 如果a,b 是两个正整数,则存在a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ().,则a 被p 整除或者().(). )整数 q, r ,使 a bq r, 0 r b. y 2有( ).11、如果(a,b) 1,那么(ab,a b)=().二、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程9x 21y 144.3、解同余式12x 15 0(mod45).4294、求——,其中563是素数.(8分)5635、求[24871,3468]=?6、求解不定方程6x 17y 18.7、解同余式111x 75(mod321).8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数2n nn,数3 23—是整数.62、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如4n 1的整数不能写成两个平方数的和4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、 素数写成两个平方数和的方法是(唯一的)2、 同余式ax b 0(modm)有解的充分必要条件是 ((a,m)b ).3、 如果a,b 是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ([-]). b4、 如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者(与p 互素).5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、 如果a,b 是两个正整数,则存在(唯一)整数q, r ,使a bq r, 0 r b.7、 设p 是素数,则不定方程p x 2 y 2有(唯一解 ).8、 如果同余式ax b 0(mod m)有解,则解的个数((a, m)).9、 在176与545之间有(28 )是13的倍数.10、 如果 ab 0 则[a,b](a,b)=( ab ).11、 如果(a,b) 1,那么(ab, a b)=(1). 三、计算题1、求[136,221,391]=? ( 8 分) 解[136,221,391]=[[136,221],391]=[1768,391] 1768 391 17=104 391 =40664.解:因为(9,21)=3, 3144,所以有解;化简得3x 7y 48 ;考虑 3x 7y 1,有 x 2, y 1,所以原方程的特解为 x 96, y 48,因此,所求的解是 x 96 7t, y 48 3t,t Z 。

初等数论习题(第三章)

初等数论习题(第三章)
故 与 展开式中每一项均相等,因此
. #
证法二fg*e,f1g1*e,则f*g1g*e*g1g*g1*eg*(g1*e)g*f1. #
25.设f(x)是一个整系数多项式,(n)代表
f(0),f(1),,f(n1) (1)
中与n互素的数的个数,证明:
(1)(n)是积性数论函数;
(2)(p)p1(pbp),bp代表(1)中被素数p整除的数的个数.
(2) (a,p)1(a,p)1,而
f(0),f(1),…,f(p1)
f(p),f(p1),…,f(2p1)
n1时结论显然.
n>1时,由于u(n),(n)均是积性函数,所以u2(d)/(d), 也是积性函数.设np11…pss,则
右边 .
左边 .
故 .#
12.证明: 的充分必要条件是 .
证明:
设n ,p1,…,pk为不同的素数,i1,i1, 2,…,k.
所以, . #
13.证明:
.
证明:
n1时结论显然.
假设对nk时成立,即
.
证明:
(1)证法一只需设n1,n2,…,nk均为正数,设p为任意素数,则vp((n)!) ,vp((nj)!) ,只需证 对i1均成立,而由P64性质2知这是显然的,故 Z.
证法二n2时, ,
假设n1时结论成立,则当n时
(由归纳假设知 ,又 Z.)
(2)若n是素数,且max(n1,n2,…,nk)<n,故n|n!,而n n1!,n2!,…,nk!,所以
或d2 (mod 3),n/d1 (mod 3),
和d3 (mod 8),n/d5 (mod 8)
或d5 (mod 8),n/d3 (mod 8)
或d1 (mod 8),n/d7 (mod 8)

初等数论练习题与答案

初等数论练习题与答案

初等数论练习题一一、填空题1、 (2420)=27; (2420)=_880_2、设 a , n 是大于 1 的整数,若 a n -1 是质数,则 a=_2.3、模 9 的绝对最小完全剩余系是 _{-4 ,-3,-2, -1,0,1,2,3,4}.4、同余方程 9x+12≡0(mod 37)的解是 x ≡11(mod 37)。

5、不定方程 18x-23y=100 的通解是 x=900+23t ,y=700+18tt Z 。

.6、分母是正整数 m 的既约真分数的个数为 _ ( m) _。

7、18100被 172除的余数是 _256。

8、65=-1。

103p19、若 p 是素数,则同余方程 x1(mod p) 的解数为 p-1 。

21、解同余方程: 3x 11x 20 0 (mod 105) 。

同余方程 3x 2 11x 20 0 (mod 3) 的解为 x 1 (mod 3) ,同余方程 3x 2 11x 38 0 (mod 5) 的解为 x 0, 3 (mod 5) ,同余方程 3x 2 11x 20 0 (mod 7) 的解为 x 2,6 (mod 7) ,故原同余方程有 4 解。

作同余方程组: x b 1 (mod 3) ,x b 2 (mod 5) ,x b 3 (mod 7) ,其中 b 1 = 1 ,b 2 = 0 ,3,b 3 = 2 ,6,由孙子定理得原同余方程的解为x 13,55, 58,100 (mod 105) 。

2、判断同余方程 x 2 ≡42(mod 107)是否有解?解: 42 ) ( 2 37)( 2 )(3 )(7 ) 107 107 1071071072 ) 33 1 107 1107 )2 )7)(7 1 107 1107 2 )(,( )( )22( ( ,( )22 () ( 11071107133110717 7( 42) 1 107故同余方程 x 2≡ 42(mod 107)有解。

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《初等数论》作业第一次作业:一、单项选择题1、=),0(b ( ). A b B b - C b D 02、如果a b ,b a ,则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=3、如果1),(=b a ,则),(b a ab +=( ). A a B b C 1 D b a +4、小于30的素数的个数( ). A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素数有( ). A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果n 3,n 5,则15()n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定 7、在整数中正素数的个数( ).A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定 二、计算题1、求24871与3468的最大公因数?2、求[24871,3468]=?3、求[136,221,391]=? 三、证明题1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.2、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 3、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数. 4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.第二次作业一、单项选择题1、如果( A ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),(2、不定方程210231525=+y x (A ).A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解二、求解不定方程 1、144219=+y x .解:因为(9,21)=3,1443,所以有解;化简得4873=+y x ;考虑173=+y x ,有1,2=-=y x , 所以原方程的特解为48,96=-=y x , 因此,所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

2、18176=-y x .解:因为 18)17,6(,所以有解; 考虑1176=-y x ,1,3==y x ; 所以18,54==y x 是特解, 即原方程的解是 t y t x 618,1754-=-= 3、2537107=+y x .解:因为(107,37)=125,所以有解;考虑137107=+y x , 有26,9-==y x , 所以,原方程特解为259⨯=x =225,2526⨯-=y =-650, 所以通解为t y t x 107650,37225--=+= 4.求不定方程471325=++z y x 的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解 25x+13y=t, t+7z=4. 利用求二元一次不定方程的方法,因为 25(-t)+13(2t)= t, 32+7⨯(-4)=4, 所以,上面两个方程的解分别为⎩⎨⎧-=+-=1125213k t y k t x , ⎩⎨⎧--=+=224732k z k t .消去t 就得到所求的解⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=-+-=22121414256471332kz k k y k k x ,这里21,k k 是任意整数.5.求不定方程8594=+-z y x 的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解4x-9y=t, t+5z=8.利用求二元一次不定方程的方法,因为4(-2t)-9(-t)= t, 48+5⨯(-8)=8, 所以,上面两个方程的解分别为⎩⎨⎧--=--=11492k t y k t x , ⎩⎨⎧--=+=228548k z k t .消去t 就得到所求的解⎪⎩⎪⎨⎧--=---=---=2212185********kz k k y k k x ,这里21,k k 是任意整数.第三次作业:一、选择题1、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或92、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 93、模5的最小非负完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,4 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠ 二、解同余式(组) (1))132(mod 2145≡x . (2))45(mod 01512≡+x(3))321(m od 75111≡x . (4)⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x .(5)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x .三、证明题1、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.2、证明当n 是奇数时,有)12(3+n .第四次作业:一、计算:1、判断同余式)593(m od 4382≡x 是否有解?2、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解?3、求11的平方剩余与平方非剩余.4、计算⎪⎭⎫⎝⎛563429,其中563是素数. 5、计算⎪⎭⎫⎝⎛443383 二、证明题:1、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.2、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.4、素数写成两个平方数和的方法是唯一的.答案:第一次作业:一、单项选择题 1、=),0(b (C ).A bB b -CD 0 2、如果a b ,b a ,则(D ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±= 3、如果1),(=b a ,则),(b a ab +=(C A a B b C 1 D b a +4、小于30的素数的个数(A ). A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素数有( C ). A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果n 3,n 5,则15(A )n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定7、在整数中正素数的个数(C ). A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定二、计算题1、 求24871与3468的最大公因数? 解: 24871=3468⨯7+5953468=595⨯5+493 595=493⨯1+102 493=102⨯4+85 102=85⨯1+1785=17⨯5, 所以,(24871,3468)=17. 2、 求[24871,3468]=?解:因为 (24871,3468)=17 所以 [24871,3468]=17346824871⨯ =5073684所以24871与3468的最小公倍数是5073684。

3、求[136,221,391]=?解: [136,221,391]=[[136,221],391]=[391,17221136⨯]=[1768,391] = 173911768⨯=104⨯391=40664.三、证明题6、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0. 证明 :首先证明唯一性.设q ',r '是满足条件的另外整数对,即r q b a '+'=,b r '≤0.所以r bq r q b +='+',即()r r q q b '-=-',r r q q b '-=-'.又由于b r ≤0,b r '≤0,所以b r r '-.如果q q '≠,则等式r r q q b '-=-'不可能成立.因此q q '=,r r '=.其次证明存在性.我们考虑整数的有序列……,,3,2,,0,,2,3b b b b b b ---……则整数a 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q 使()b q a qb 1+≤ .我们设qb a r -=,则有r bq a +=,b r ≤0.7、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 证明: 因为62332n n n ++=)32(62n n n ++=)2)(1(61++n n n ,而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,并且(2,3)=1, 所以从)2)(1(2++n n n 和)2)(1(3++n n n 有)2)(1(6++n n n ,即62332n n n ++是整数.8、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数. 证明: 因为=-121a a a a n n 12211101010a a a a n n n n +⨯++⨯+⨯--- , n n a a a a 121- =n n n n a a a a +⨯++⨯+⨯---10101012211 ,所以,121a a a a n n --n n a a a a 121- =).101()101(10)110(10)110(1132311------+-⨯++-⨯+-⨯n n n n n n a a a a 而上面等式右边的每一项均是9的倍数,于是所证明的结论成立. 9、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.证明: 设相邻两个偶数分别为)22(,2+n n 所以)22(2+n n =)1(4+n n 而且两个连续整数的乘积是2的倍数 即)1(4+n n 是8的倍数. 第二次作业答案: 一、单项选择题1、 如果( A ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(2、不定方程210231525=+y x (A ). A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 二、求解不定方程 1、144219=+y x .解:因为(9,21)=3,1443,所以有解;化简得4873=+y x ;考虑173=+y x ,有1,2=-=y x , 所以原方程的特解为48,96=-=y x , 因此,所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

2、18176=-y x .解:因为 18)17,6(,所以有解; 考虑1176=-y x ,1,3==y x ; 所以18,54==y x 是特解, 即原方程的解是t y t x 618,1754-=-=3、2537107=+y x .解:因为(107,37)=125,所以有解;考虑137107=+y x ,有26,9-==y x ,所以,原方程特解为259⨯=x =225,2526⨯-=y =-650, 所以通解为t y t x 107650,37225--=+= 4.求不定方程471325=++z y x 的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解25x+13y=t, t+7z=4.利用求二元一次不定方程的方法,因为25(-t)+13(2t)= t, 32+7⨯(-4)=4,所以,上面两个方程的解分别为⎩⎨⎧-=+-=1125213k t y k t x , ⎩⎨⎧--=+=224732k z k t . 消去t 就得到所求的解⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=-+-=22121414256471332kz k k y k k x , 这里21,k k 是任意整数.5.求不定方程8594=+-z y x 的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解 4x-9y=t, t+5z=8. 利用求二元一次不定方程的方法,因为 4(-2t)-9(-t)= t, 48+5⨯(-8)=8, 所以,上面两个方程的解分别为 ⎩⎨⎧--=--=11492k t y k t x , ⎩⎨⎧--=+=228548k z k t .消去t 就得到所求的解 ⎪⎩⎪⎨⎧--=---=---=2212185********kz k k y k k x , 这里21,k k 是任意整数.第三次作业答案: 一、选择题1、整数5874192能被( B )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或92、整数637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 93、模5的最小非负完全剩余系是( D ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,44、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则(A )A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠ 二、解同余式(组) (1))132(mod 2145≡x .解 因为(45,132)=3¦21,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )44(mod 715≡x . 我们再解不定方程74415=-y x ,得到一解(21,7). 于是定理4.1中的210=x . 因此同余式的3个解为)132(mod 21≡x , )132(mod 65)132(mod 313221≡+≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡⨯+≡x .(2))45(mod 01512≡+x解 因为(12,45)=3¦15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+.我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的100=x . 因此同余式的3个解为)45(mod 10≡x ,)45(mod 25)45(mod 34510≡+≡x ,)45(mod 40)45(mod 345210≡⨯+≡x . (3))321(m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3¦75,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod 2537≡x . 我们再解不定方程2510737=+y x ,得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的80-=x . 因此同余式的3个解为)321(mod 8-≡x ,)321(mod 99)321(mod 33218≡+-≡x ,)321(mod 206)321(mod 332128≡⨯+-≡x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x .解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式)7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x ,得到)9(m o d 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为).494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯≡x(5)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题)三、证明题1、 如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.证明 设a 是一正整数,并将a 写成10进位数的形式:a =1101010n n n n a a a --+++ ,010i a ≤ .因为10≡0(mod5), 所以我们得到 )5(mod 0a a ≡ 所以整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数. 2、证明当n 是奇数时,有)12(3+n .证明 因为)3(mod 12-≡,所以 )3(mod 1)1(12+-≡+n n . 于是,当n 是奇数时,我们可以令12+=k n .从而有)3(mod 01)1(1212≡+-≡++k n , 即)12(3+n.第四次作业答案: 一、计算:1、 判断同余式)593(m od 4382≡x 是否有解?(答:无解。

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