双曲线的定义及其标准方程教案
双曲线及其标准方程教案与说明(甘肃)
双曲线及其标准方程教案与说明（甘肃）教案内容：一、教学目标1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。
2. 引导学生掌握双曲线的标准方程及其变换。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学重难点1. 重点：双曲线的定义、性质、标准方程及其变换。
2. 难点：双曲线标准方程的推导及应用。
三、教学准备1. 教师准备：双曲线的课件、例题、习题。
2. 学生准备：笔记本、文具、已学过的相关知识。
四、教学过程1. 导入：通过复习直线、圆等基本几何图形，引导学生思考双曲线的定义和特点。
2. 新课导入：介绍双曲线的定义，引导学生掌握双曲线的性质。
3. 例题讲解：讲解双曲线的标准方程及其变换，让学生通过例题理解并掌握双曲线的标准方程。
4. 课堂练习：让学生独立完成练习题，巩固双曲线标准方程的知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调双曲线标准方程的重要性和应用。
五、课后作业1. 完成课后习题，加深对双曲线及其标准方程的理解。
2. 结合生活实际，寻找双曲线模型的应用，提高学生的数学应用能力。
说明：本教案根据甘肃地区的教学实际情况编写，注重学生的基本数学素养的培养，难度适中。
在教学过程中，教师要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的学习兴趣和自信心。
通过课后作业的设置，让学生将所学知识应用到实际生活中，提高学生的数学应用能力。
六、教学拓展1. 引导学生探索双曲线的参数方程及其图像。
2. 介绍双曲线在其他领域的应用，如物理学、天文学等。
七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，让学生总结双曲线及其标准方程的知识。
2. 强调双曲线在数学和实际生活中的重要性。
八、课后反思1. 教师对本节课的教学情况进行反思，分析学生的学习效果。
2. 根据学生的反馈，调整教学方法和解题策略，为下一节课做好准备。
九、章节测试1. 设计一份章节测试题，测试学生对双曲线及其标准方程的掌握程度。
2. 及时批改测试题，了解学生的学习状况，为下一步教学提供依据。
双曲线及其标准方程教案
双曲线及其标准方程一.教学目标:1.使学生掌握双曲线的定义和标准方程的推导过程;2.使学生掌握双曲线的两类标准方程,会求解双曲线的标准方程 二.教学重点:双曲线的定义 三.教学难点:双曲线方程的推导 四.教学过程: (一)复习回顾椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数2a （2a >|F 1F 2|）的点的轨迹 (二)双曲线的定义:1.问题:若把椭圆定义中”距离之和”改为”距离之差”,那么动点的轨迹是什么?它的方程是怎么样的呢?2. 双曲线的定义: 平面内与两定点12,F F 的距离的差的绝对值是常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点12,F F 叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。
3.简单演示(使用几何画板)。
4. 12||||||2MF MF a -= （*）注意：①当122||a F F =时，12||||||2MF MF a -=表示两条射线.②（*）式中是差的绝对值，在1202||a F F <<条件下：12||||2MF MF a -=时为双曲线的一支（含2F 的一支）；21||||2MF MF a -=时为双曲线的另一支（含1F 的一支）.③当122||a F F =时，12||||||2MF MF a -=表示两条射线。
○4当122||a F F >时，12||||||2MF MF a -=不表示任何图形。
(三).双曲线标准方程的推导: 现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导。
标准方程的推导: (1).建系设点:取过焦点12F ,F 的直线为x 轴，线段12F ,F 的垂直平分线为y 轴(如图所示)建立直角坐标系,设()M x,y 为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是()2c c 0>，那么12F ,F 的坐标分别是()1F c,0-()1F c,0．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值为2a 。
双曲线的定义及其标准方程教案
双曲线的定义及其标准方程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义；（2）掌握双曲线的标准方程及性质；（3）能够运用双曲线方程解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察图形，培养学生的空间想象能力；（2）通过公式推导，培养学生的逻辑思维能力；（3）通过实例分析，提高学生的解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神；（3）引导学生感受数学与实际生活的联系，提高学生的应用意识。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义；（2）双曲线的标准方程及性质。
2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的推导过程；（2）双曲线性质的理解与应用。
三、教学准备1. 教学工具：黑板、粉笔、多媒体教学设备；2. 教学素材：双曲线的图形、公式、例题。
四、教学过程1. 导入新课：（1）复习椭圆的定义及标准方程；（2）通过提问，引出双曲线的定义及标准方程。
2. 自主探究：（1）学生根据已有知识，尝试给出双曲线的定义；（2）学生根据椭圆的标准方程，尝试推导双曲线的标准方程。
3. 课堂讲解：（1）讲解双曲线的定义，强调关键要素；（2）讲解双曲线的标准方程及性质，示例分析；（3）讲解双曲线方程在实际问题中的应用。
4. 巩固练习：（1）学生独立完成课后习题；（2）教师挑选代表性题目进行讲解，解答学生疑问。
5. 课堂小结：（2）强调双曲线性质的重要性及应用。
五、课后作业1. 完成课后习题；2. 运用双曲线方程解决实际问题；3. 预习下一节课内容。
六、教学拓展1. 对比椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程，分析它们的异同；2. 探讨双曲线在现实生活中的应用实例，如天文学、物理学等；3. 介绍双曲线的几何性质，如焦点、准线、离心率等。
七、课堂互动1. 提问：双曲线与椭圆、抛物线有何区别？2. 提问：双曲线的标准方程如何推导？3. 提问：双曲线在实际生活中有哪些应用？八、教学评价1. 课后习题完成情况；2. 学生对双曲线定义及标准方程的理解程度；3. 学生运用双曲线方程解决实际问题的能力。
双曲线的定义及其标准方程教案
双曲线的定义及其标准方程教案教学目标：1. 理解双曲线的定义2. 掌握双曲线的标准方程及其性质3. 能够应用双曲线标准方程解决实际问题教学重点：双曲线的定义及其标准方程教学难点：双曲线标准方程的推导与应用教学准备：黑板、PPT、教案、练习题教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入话题：复习椭圆的定义及其标准方程2. 提问：椭圆的定义是什么？它的标准方程是什么？二、双曲线的定义（10分钟）1. 提问：双曲线是什么？它的定义是什么？2. 讲解双曲线的定义：双曲线是平面上到两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的轨迹。
3. 引导学生理解双曲线的性质：双曲线有两条渐近线，渐近线的方程是什么？三、双曲线的标准方程（10分钟）1. 讲解双曲线的标准方程：双曲线的标准方程是\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)（a>b>0)。
2. 解释方程中各个参数的含义：a 是双曲线的实轴半长，b 是双曲线的虚轴半长。
3. 引导学生推导双曲线的标准方程：通过焦点和距离关系推导出双曲线的标准方程。
四、双曲线的性质（10分钟）1. 讲解双曲线的性质：引导学生了解双曲线的渐近线、顶点、对称性等性质。
2. 举例说明双曲线的性质：通过具体例子解释双曲线的渐近线、顶点、对称性等性质。
五、应用与练习（10分钟）1. 提问：双曲线在实际生活中有哪些应用？2. 讲解双曲线的应用：通过实际例子讲解双曲线在工程、物理等领域中的应用。
3. 布置练习题：让学生应用双曲线的标准方程解决实际问题。
本节课讲解了双曲线的定义及其标准方程，学生掌握了双曲线的性质及其应用。
通过练习题的布置，让学生进一步巩固双曲线的知识，并能够应用到实际问题中。
六、双曲线的渐近线（10分钟）1. 讲解双曲线的渐近线：引导学生了解双曲线的渐近线方程为y = ±(b/a)x。
2. 解释渐近线的性质：渐近线是双曲线的斜率趋于无穷大的直线，当x 趋于±∞时，双曲线的曲线部分与渐近线趋于重合。
双曲线的标准方程教案
双曲线的标准方程教案双曲线是高中最常见的几何形状之一，它的正弦函数形式引起了很多人的兴趣，但是大部分人还不知道它的标准方程是什么。
那么，本教案将引导大家正确地了解双曲线的标准方程，以便更透彻地理解双曲线。
一、双曲线的定义双曲线是椭圆的一种，它的定义是：当把它的焦点作为起点，连接两个焦点之间的任意一点，会形成一个曲线。
双曲线有两种：超几何双曲线和另一种名为等距双曲线。
超几何双曲线是双曲线中最常见的类型，它的一般方程是：$frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$其中，a为椭圆长轴，b为椭圆短轴。
另一种叫等距双曲线，它的一般方程是：$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$二、双曲线的标准方程我们已经了解到双曲线的一般方程，接下来就要介绍标准方程。
标准方程是一种更方便的表示双曲线的形式，它由三个参数a、b和e构成，是经过仿射变换（放大、缩小、旋转）后的双曲线的一般方程。
超几何双曲线的标准方程是：$frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=e^2$其中，e是双曲线的振率，取值范围为[0,∞]；e=0时，该方程为一个等距双曲线。
等距双曲线的标准方程是：$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=e^2$等距双曲线的振率e的取值范围为[0,1]；当e=1时，该方程为一个超几何双曲线。
三、双曲线的特征1、双曲线存在两个焦点，即它的两个顶点，记做F1和F2，它们位置的关系可以由双曲线的标准方程得出。
2、双曲线的对称轴为x轴，即双曲线的两个轴的焦点位于x轴的同一侧。
3、双曲线具有吸引性，即它的顶点F1和F2之间有一个虚拟的引力，它会将任意一点拉向它的顶点。
四、双曲线的应用双曲线的几何性质可以在许多领域中使用，它可以用来解决不同种类的几何问题，例如求椭圆的面积、求圆心角、求圆周长等。
另外，双曲线也被广泛用于统计学、经济学、计算机图像处理等领域。
双曲线及其标准方程学案
双曲线及其标准方程学案一、双曲线的定义双曲线是一类重要的数学曲线，它在几何学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
双曲线可以通过平面上的一对焦点和总距离来定义。
具体而言，对于两个给定的焦点F₁和F₂以及一个给定的常数C，双曲线定义为到焦点F₁和F₂的距离之差等于常数C的所有点的集合。
双曲线可以分为两支，分别延伸到无穷远处，这两支称为双曲线的两个分支。
二、双曲线的标准方程双曲线的标准方程是指在坐标系中，以坐标原点为中心、x轴和y轴为对称轴的标准双曲线的方程。
标准双曲线的方程可以表示为：x²/a² - y²/b² = 1 或 y²/b² - x²/a² = 1，其中a和b分别是双曲线的半轴长度。
具体而言，在第一种标准方程中，a代表x轴上的半轴长度，b代表y轴上的半轴长度；在第二种标准方程中，a代表y轴上的半轴长度，b代表x轴上的半轴长度。
三、双曲线的性质1. 双曲线的离心率双曲线的离心率是确定双曲线形状的一个重要参数。
对于标准方程为x²/a² - y²/b² = 1的双曲线，离心率e可以通过以下公式计算得到：e = √(a² + b²) / a。
2. 双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支无限靠近，且与双曲线的两个分支垂直。
这两条渐近线的斜率分别为±b/a，方程可以表示为y = ±(b/a)x。
3. 双曲线的焦点和直径双曲线的焦点是定义双曲线的重要元素。
对于标准方程为x²/a²- y²/b² = 1的双曲线，焦点的坐标可以表示为(F₁,0)和(-F₂,0)，其中F₁和F₂分别是双曲线的焦距。
双曲线的主轴长度为2a，副轴长度为2b，主轴和副轴的交点与双曲线的两个分支的交点分别称为双曲线的顶点。
教案双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程教学目标：1. 了解双曲线的定义和性质。
2. 学会如何求解双曲线的标准方程。
3. 能够运用双曲线的性质和标准方程解决实际问题。
教学内容：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义1.2 双曲线的性质第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程2.2 双曲线标准方程的求解方法第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义3.2 渐近线与双曲线的关系第四章：双曲线的焦点和顶点4.1 焦点的定义和性质4.2 顶点的定义和性质第五章：双曲线的参数方程5.1 参数方程的定义5.2 双曲线的参数方程求解方法教学过程：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义【讲解】双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差等于常数的点的轨迹。
【例题】求点P(x, y)到两个定点F1(-3, 0)和F2(3, 0)距离之差等于4的点的轨迹方程。
1.2 双曲线的性质【讲解】1. 双曲线的中心在原点。
2. 双曲线的焦点在x轴上。
3. 双曲线的实轴是连接两个焦点的线段。
4. 双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【练习】判断双曲线的焦点位置和渐近线方程。
第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程【讲解】双曲线的标准方程为：x^2/a^2 y^2/b^2 = 1。
【例题】求双曲线的标准方程，已知焦点在x轴上，实轴长为2a，焦距为2c。
2.2 双曲线标准方程的求解方法【讲解】求解双曲线标准方程的方法有：1. 直接法：根据双曲线的定义和性质，列出方程。
2. 代换法：将双曲线的参数方程代入标准方程求解。
【练习】求解双曲线的标准方程，给定焦点和实轴长。
第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义【讲解】双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【例题】求双曲线的渐近线方程，已知双曲线的标准方程为x^2/4 y^2/3 = 1。
3.2 渐近线与双曲线的关系【讲解】渐近线与双曲线相交于两个点，这两个点的坐标满足双曲线的方程。
《双曲线的定义及标准方程》教学案例
高中数学教案《双曲线的定义及其标准方程》【活动方案】一、说教材学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。
如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。
所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。
二、说学情知识方面，学生已经学习了椭圆和抛物线，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会。
能力方面，学生有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力。
三、教学目标（一）知识与技能目标：理解双曲线的定义，能推导出双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程。
（二）过程与方法目标：培养学生类比推理能力，培养学生数形结合研究解析几何问题的能力。
（三）情感态度与价值观目标：让学生体会数学的理性和严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。
四、教学重难点（一）重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程；（二）难点：双曲线标准方程的推导。
五、教学法（一）教法：可采用引导探究法，充分利用青少年富有创造性，对体验成功的渴望的特点，让学生自觉主动地创造性的去分析问题、讨论问题、解决问题；（二）学法：在学习方法的制定上，要充分发挥学生在学习活动中的作用，通过学生主动探索、动手实践调动学生学习的积极性，在与学生的互动交流中注重培养学生类比推理、数形结合解决问题的能力，转变学生的学习方式，形成理性、严谨的解决问题的态度。
六、教学过程（一）回顾椭圆【设置问题】在课的开始可以设置几个问题让学生回答，在学生回答之后，把双取线定义和标准方程的答案展示出来，然后演示椭圆的生成过程。
【设计意图】通过回顾，既检测了学生对前面知识的掌握情况，同时又为下面双曲线的学习做好铺垫，之后告诉学生：我们要学习一种新的曲线——双曲线。
【创设情境】播放一首“悲伤双曲线的MTV”，让学生认识双曲线。
双曲线教学设计共3篇 双曲线课程讲解
双曲线教学设计共3篇双曲线课程讲解下面是整理的双曲线教学设计共3篇双曲线课程讲解，以供参考。
双曲线教学设计共1双曲线及其标准方程教学设计一.教学目标: 1.知识目标:掌握双曲线的定义并会推导其方程.2.能力目标:能根据已知条件,选择恰当的形式的双曲线方程解题;加深对类比,化简,分类讨论的思想的理解与运用.3.情感目标:利用教学内容促进学生对量变,质变规律的理解和对学生进行爱国主义教育.二.教学重点与难点分析: 本节的教学重点是准确理解双曲线的定义.本节的教学难点是选择恰当的双曲线方程解题.三.教学方法和学习方法的设计: 教法:1.在教学目标的指导下,采用”信息环境下情境性问题解决”教学模式实施教学.这种方法是以问题为中心,以学生主动探索数学知识和强化创新意识为主要特征的探究型教学方式.在探索过程中经历”提出问题———分析问题———分组讨论———提炼总结———深化反思”五个不同的教学环节.在整个教学过程中,教师利用问题引路,学生独立思考和分组讨论,从而自己解决问题.2.通过课件和动画展示数学知识的发生﹑发展过程;帮助学生理解抽象的数学概念;借助信息技术实现数学思维的“再现”.学法:在教师的组织,点拨,引导作用下,通过学生积极思考,大胆想象,总结规律,自己不能解决的问题通过小组讨论解决,充分发挥他们的主体作用,让学生置身于提出问题﹑思考问题﹑解决问题的动态过程中.四.媒体选择:多媒体课件.39五.教学过程设计: 探索问题一: 定圆圆O1内含于定圆圆O2,当圆M与圆O2内切而与圆O1外切时, 圆M的圆心M的轨迹是什么曲线? 学生: 是椭圆.教师: 面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.若将“距离之和”改为“距离之———差”.那将会出现什么情况呢? 探索问题二: 设圆O1,圆O2外离,其半径分别为r1,r2.动圆圆M与圆O1内切而与圆O2外切,求动圆M的圆心M的轨迹又是什么曲线? 分析: 设动圆M半径为r,有O2M?O1M??r2?rr?r1??r1?r2 教师: 谁能画出点M的轨迹?(没反应)困难在哪里呢? 学生: 动圆M有无数个,画起来困难.所以点M的轨迹画不出来! (课件演示) 教师:原来点M的轨迹是一条开口向左的,向外伸展的不封闭的一条曲线,这是单曲线吗?:是否还有其他情况? 学生:如果圆M与圆O1外切而与圆O2内切情况会怎样? 此时, O1M?O2M??r1?rr?r2??r1?r2.大概是开口向右的一条曲线吧.课件演示.教师:我们把上述两条曲线称为双曲线(演示课件).请给出双曲线的定义.学生:平面内与两个定点的距离的差的绝对值是常数的点的轨迹.教师:好.请看——(课件演示)当圆O1与圆O2外切时,虽然MO1?MO2?r1?r2?O1O2,但点在线段O1O2的两侧,是两条射线.动点M必定满足一个什么样的特定条件? 40学生:应在前面的叙述中,在”常数”后加上附加条件”小于O1O2”.教师:如果这个常数为0呢?这时点的轨迹是什么? 学生:平面内与两个定点O1,O2的距离的差的绝对值是0的点的轨迹是线段O1O2的垂直平分线.所以这个常数不能为0.教师:这就完整了.称O1,O2为双曲线的焦点.它与椭圆定义比较又有和联系呢? 学生:在椭圆定义中,由三角形两边之和大于第三边的要求,而双曲线的定义中应满足三角形的两边之差的绝对值小于第三边的要求.教师:如此复杂的曲线和平面几何中最简单的结论紧密联系,这充分反映了事物间的和谐的本质属性.问题延伸: 教师:利用平面直角坐标系,我们可以求出该曲线方程,这就是数形结合的思想.问题是如何建立平面直角坐标系? 学生:以O1,O2所在的直线为x轴,线段O1O2的中垂线为y轴,建立直角坐标系.教师:为什么不以O1或O2为原点建立直角坐标系呢? 学生:那样的话, O1与O2就不能关于y轴对称,从前面我们学习的椭圆方程的推导过程中知道,所得的方程较繁.教师:对.请同学们自行推导双曲线方程.(学生推演,教师归纳).教师:同学们都能得出方程?c2?a2?x2?a2y2??c2?a2?a2.仿照推导椭圆方程的方法.可x2y2令c?a?b.则得焦点在x轴上的双曲线方程: 2?2?1.类似地,当焦点在y轴上ab222时,(或者说以O1O2所在的直线为y轴.线段O1O2的中垂线为x轴建立直角坐标系).双曲线的方程是———y2x2 学生: 2?2?1ab 41教师:它们都是双曲线的标准方程.焦点在二次项系数为正的字母所表示的轴上.思考问题一: 例1.(1)已知双曲线两个焦点的坐标为F1??5,0?,F2?5,0?,双曲线上一点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.(2)已知双曲线的中心是坐标原点,焦点在y轴上,焦距为12,且经过点P?2,?5?,求双曲线的方程.(3).求过点A2,43和B?2,?4的双曲线标准方程.(第(1),(2)小题为课本的例习题.) (请三位同学板演,再请三位同学讲评.第(1),(2)小题略.第3小题不少学生仍分焦点在x,y轴的情况求解.过程较繁.) 学生:第(3)题他解对了,但比较繁.我认为只要设mx2?ny2?1.然后把两点坐标分别代入,1得到两个二元一次方程组成的方程组,解得m?1, n??,表明它是双曲线,同时表示不6存在过这两点的椭圆.教师:对!讲得有道理.求中心在原点的椭圆.双曲线标准方程,只需两个独立变量.这是它们的本质属性.理解这一点,解题运算量就小多了.教师:上述图形的变化过程反映了事物在一定范围内由量的积累引起质的变化情况.它包括了目前我们所学的几种曲线.现在让我们来了解双曲线在军事上的一些应用.思考问题二:一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.(1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速为340ms,求曲线的方程.(3)要想确定爆炸点的准确位置.应采取什么措施? (学生分组讨论.教师巡视指导.把学生解答用投影仪展示.) 学生(1)由声速及A,B两处听到爆炸声的时间差为2s,可知A,B两处与爆炸点的距离的42差为PA?PB?680?800,因此爆炸点应该位于以A,B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上.(2)如图,建立直角坐标系xoy,使A,B两点在x轴上,并且点O与线段AB中点重合.设爆炸点P的坐标为?x,y?.则PA?PB?340?2?680 ?AB 即2a?680,a?340.又AB?800 所以2c?800,c?400b2?c2?a2?因为PA?PB?680?0 所以x?0.x2y2所求双曲线方程为??1(x?0)(3).利用两个不同的观测点侧得同一炮弹爆炸声的时间差,可以确定爆炸点所在的双曲线的方程但不能确定爆炸点的准确位置.如果再增设一个观测点C,利用B, C (或A, C)两处侧得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程.解这两个方程组成的方程组,就可以确定爆炸点的准确位置.变式一:若将“在A处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s”改为“在A处听到爆炸声的时间比在B处晚40s”那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 17变式二:若将“A,B两地相距800m”改为“A,B两地相距600m” 那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 变式三:假若在A,B两处同时听到爆炸声, 那么爆炸点P又在怎样的曲线上呢? 六.小结: 1.双曲线的定义,关键词是绝对值的差小于F1F2.432.求双曲线方程要注意选择方程的形式,以简化计算.3.主要思想方法有类比思想及特殊与一般量变与质变的辨证关系.七.教学效果: 这节课充分发挥了多媒体教学的优势,教学设计充分体现”主导----主体”现代教学思想,彻底地改变了传统教学过程汇总学生被动接受知识的状态,学生能够自主探索获取知识,愿意学习也学会学习;学生主动参与的意识提高了.通过多媒体教学,教师把学生引上探索问题之路,调动了每一个学生学习的主动性和创造性,体现了学生的主体地位,有利于学生潜能的开发和创造性思维的培养.44双曲线教学设计共2双曲线及其标准方程一、学习目标：【知识与技能】:1、通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,并理解这一定义及其标准方程的探索推导过程.2、理解并熟记双曲线的焦点位置与两类标准方程之间的对应关系.【过程与方法】: 通过“实验观察”、“思考探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟,形成良好的数学观.【情感、态度与价值观】: 通过实例的引入和剖析,让学生再一次感受到数学来源于实践又反作用于实践;生活中处处有数学.二、学情分析：1、在学生已学习椭圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后,学习双曲线定义及其标准方程,符合学生的认知规律,学生有能力学好本节内容;2、由于学生数学运算能力不强,分析问题、解决问题的能力,逻辑推理能力,思维能力都比较弱,所以在设计的时候往往要多作铺垫,扫清他们学习上的障碍,保护他们学习的积极性,增强学习的主动性.三、重点难点：教学重点:双曲线的定义、标准方程教学难点:双曲线定义中关于绝对值,2a三、教学过程：【导入】1、以平面截圆锥为模型，让学生认识双曲线，认识圆锥曲线；2、观察生活中的双曲线；【设计意图:让学生对圆锥曲线整体有所把握,体会数学来源于生活.】探究一活动1：类比椭圆的学习，思考：研究双曲线，应该研究什么？怎么研究？从而掌握本节课的主线：实验、双曲线的定义、建系、求双曲线的标准方程；活动二：数学实验：(1)取一条拉链，拉开它的一部分，(2)在拉链拉开的两边上各取一点，分别固定在点F1，F2 上，(3)把笔尖放在拉头点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线。
双曲线的标准方程教案
双曲线的标准方程教案第一章：双曲线的基本概念1.1 实轴、虚轴和焦点1.2 实半轴、虚半轴和焦距1.3 双曲线的定义第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程的引入2.2 双曲线的标准方程的推导2.3 双曲线的标准方程的形式第三章：双曲线的性质3.1 双曲线的开口方向和大小3.2 双曲线的渐近线3.3 双曲线的离心率第四章：双曲线的图形4.1 双曲线的图形特征4.2 双曲线的对称性4.3 双曲线的渐近线图形第五章：双曲线方程的应用5.1 双曲线在实际问题中的应用5.2 双曲线方程在几何问题中的应用5.3 双曲线方程在其他领域的应用第六章：双曲线的参数方程6.2 双曲线的参数方程的推导6.3 双曲线的参数方程的应用第七章：双曲线的渐近线方程7.1 双曲线的渐近线方程的引入7.2 双曲线的渐近线方程的推导7.3 双曲线的渐近线方程的应用第八章：双曲线的图像变换8.1 双曲线图像的平移8.2 双曲线图像的缩放8.3 双曲线图像的旋转第九章：双曲线与其他曲线的交点9.1 双曲线与椭圆的交点9.2 双曲线与抛物线的交点9.3 双曲线与其他曲线的交点问题第十章：双曲线的综合应用10.1 双曲线在物理学中的应用10.2 双曲线在工程学中的应用10.3 双曲线在其他学科中的应用第六章：双曲线的渐近线方程6.1 双曲线的渐近线方程的引入6.2 双曲线的渐近线方程的推导第七章：双曲线的图像变换7.1 双曲线图像的平移7.2 双曲线图像的缩放7.3 双曲线图像的旋转第八章：双曲线与其他曲线的交点8.1 双曲线与椭圆的交点8.2 双曲线与抛物线的交点8.3 双曲线与其他曲线的交点问题第九章：双曲线方程的应用9.1 双曲线方程在实际问题中的应用9.2 双曲线方程在几何问题中的应用9.3 双曲线方程在其他领域的应用第十章：双曲线的综合应用10.1 双曲线在物理学中的应用10.2 双曲线在工程学中的应用10.3 双曲线在其他学科中的应用教案内容简要概述：第一章：双曲线的基本概念，介绍了实轴、虚轴、焦点、实半轴、虚半轴和焦距等基本概念，并通过具体实例让学生理解双曲线的定义。
双曲线及其标准方程教案与说明(甘肃)
双曲线及其标准方程教案与说明（甘肃）一、教学目标：1. 理解双曲线的定义及其性质。
2. 掌握双曲线的标准方程及其求法。
3. 能够运用双曲线的性质和标准方程解决实际问题。
二、教学内容：1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差为常数的点的轨迹。
2. 双曲线的性质：双曲线是中心对称图形，其两支分别向无穷远延伸，且不存在最大值和最小值。
3. 双曲线的标准方程：双曲线的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中\(a > 0, b > 0\)），其中\(a\) 称为实轴半长，\(b\) 称为虚轴半长。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：双曲线的定义、性质及其标准方程。
2. 教学难点：双曲线标准方程的求法和应用。
四、教学方法与手段：1. 教学方法：采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。
2. 教学手段：利用黑板、PPT、几何画板等教学辅助工具。
五、教学安排：1. 课时：本章共4 课时。
2. 教学过程：第1 课时：介绍双曲线的定义和性质。
第2 课时：讲解双曲线的标准方程及其求法。
第3 课时：练习双曲线标准方程的求解和应用。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对双曲线定义、性质和标准方程的理解程度。
2. 课后作业：布置有关双曲线的练习题，检验学生对知识的掌握情况。
3. 单元测试：进行一次双曲线知识点的测试，全面评估学生的学习效果。
七、教学反思：1. 针对学生的掌握情况，调整教学策略，加强对难点知识点的讲解。
2. 注重培养学生运用双曲线知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对双曲线图像的认识，加强直观教学。
八、拓展与延伸：1. 探讨双曲线在其他领域的应用，如物理学、天文学等。
2. 介绍双曲线的变形式，如双曲函数、双曲线方程的解法等。
3. 引导学生深入研究双曲线的性质，探寻更多规律。
九、课后作业：（1）经过点\(A(2,0)\) 和\(B(-2,0)\) 的双曲线。
《双曲线及其标准方程》教案
《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。
2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其应用。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 双曲线的定义2. 双曲线的性质3. 双曲线的标准方程4. 双曲线方程的求解方法5. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程及其求解方法3. 双曲线在实际问题中的应用四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索双曲线的定义与性质。
2. 利用案例分析法，让学生了解双曲线的标准方程及其应用。
3. 运用数形结合法，帮助学生直观理解双曲线的特点。
4. 开展小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示生活中常见的双曲线现象，引发学生对双曲线的兴趣。
2. 讲解双曲线的定义与性质：引导学生通过观察图形，总结双曲线的特点，进而给出双曲线的定义，并讲解其性质。
3. 介绍双曲线的标准方程：借助实例，引导学生理解双曲线标准方程的推导过程，并掌握其求解方法。
4. 应用实例：让学生运用双曲线方程解决实际问题，体会双曲线在实际中的应用价值。
5. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调双曲线及其标准方程的重要性。
6. 布置作业：设计具有针对性的习题，巩固学生对双曲线及其标准方程的理解。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课堂表现，评估学生对双曲线定义和性质的理解程度。
2. 通过课后习题和实践项目，评估学生对双曲线标准方程的掌握及应用能力。
3. 结合小组讨论和课堂互动，评估学生的合作能力和数学思维能力。
七、教学拓展：1. 探讨双曲线在其他领域的应用，如物理学中的引力定律、天文学中的星系运动等。
2. 介绍双曲线的进一步研究，如双曲线几何性质的深入分析和双曲线方程的多种求解方法。
八、教学资源：1. 教学PPT和教学视频，用于展示双曲线的图形和实例。
双曲线及其标准方程教案
双曲线及其标准方程教案一、教学目标：1.了解双曲线的定义。
2.熟练掌握双曲线的标准方程。
3.能够利用标准方程确定双曲线的基本性质。
二、教学重难点：1.双曲线的标准方程。
2.双曲线的性质及应用。
三、教学过程：Step 1 引入新知识（5分钟）1.师生共同回顾了上一节所学的椭圆，问：椭圆有哪些特点？2.引入新知识：同椭圆一样，双曲线也是一个有两个焦点的曲线。
Step 2 新知呈现（10分钟）1.定义：- 双曲线是平面上满足椭圆定义中的定理四的所有点的集合。
- 双曲线有两个相交的分支，分别在两个焦点的两侧。
2.双曲线的标准方程：- 对于顶点在原点的双曲线：方程形式为：x²/a² - y²/b² = 1 （横轴为 x 轴）方程形式为：y²/a² - x²/b² = 1 （横轴为 y 轴）- 对于顶点不在原点的双曲线：方程形式为：(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1 （横轴为 x 轴）方程形式为：(y - k)²/a² - (x - h)²/b² = 1 （横轴为 y 轴）3.教师讲解并分析标准方程的含义。
Step 3 梳理知识点（5分钟）1.对比椭圆和双曲线的标准方程。
2.总结双曲线的基本性质。
Step 4 拓展练习（15分钟）1.同学们一起完成教材上的例题，巩固标准方程的应用。
2.同学们根据已学知识，互相出题，进行小组内自主练习。
3.教师带领同学们讨论与解答疑惑。
Step 5 活动延伸（15分钟）1.让同学们观看相关视频，了解更多有关双曲线的知识。
2.设计小组活动，让同学们根据已学知识进行双曲线的绘制，提高运用能力。
四、教学反思：通过本节课的教学，使学生了解了双曲线的定义及其标准方程，掌握了双曲线的基本性质和应用。
在教学过程中，通过引入新知识、新知呈现、梳理知识点、拓展练习和活动延伸等多种教学方法，提高了学生的学习兴趣和参与度，培养了学生的综合运用能力，同时也发现了一些问题和不足，为进一步优化教学提供了思路。
双曲线及其标准方程教学设计(教案)
双曲线及其标准方程教学设计(教案)一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。
2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其求法。
3. 培养学生运用双曲线解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程3. 双曲线方程的求法4. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：双曲线的定义、性质、标准方程及其求法。
2. 教学难点：双曲线方程的求法及其应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索双曲线的性质与标准方程。
2. 利用数形结合法，让学生直观地理解双曲线的特点。
3. 运用实例分析法，培养学生解决实际问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：简要介绍双曲线的起源和发展，激发学生的学习兴趣。
2. 自主学习：让学生通过阅读教材，了解双曲线的定义与性质。
3. 课堂讲解：讲解双曲线的标准方程及其求法，引导学生掌握关键步骤。
4. 例题分析：分析典型例题，让学生学会运用双曲线方程解决实际问题。
5. 巩固练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，提醒学生注意双曲线在实际问题中的应用。
7. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固双曲线及其标准方程的知识。
六、教学评价：1. 评价学生对双曲线定义和性质的理解程度。
2. 评价学生是否能熟练掌握双曲线的标准方程及其求法。
3. 评价学生是否能运用双曲线方程解决实际问题。
七、教学资源：1. 教材：双曲线及其标准方程相关章节。
2. 课件：双曲线图像、性质和标准方程的示例。
3. 练习题：涵盖双曲线定义、性质、标准方程及应用的题目。
八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍双曲线定义与性质。
2. 第二课时：讲解双曲线的标准方程及其求法。
3. 第三课时：例题分析与实际应用。
4. 第四课时：巩固练习与课堂小结。
九、教学反思：1. 反思教学方法是否有效，学生是否能积极参与。
2. 反思教学内容是否适合学生的认知水平。
教案双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其变化规律。
2. 过程与方法：（1）通过实例分析，培养学生的观察和分析能力；（2）运用数形结合的方法，引导学生探索双曲线的标准方程。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学美的欣赏，培养其对数学的兴趣；（2）培养学生团结协作、积极探究的精神。
二、教学重难点1. 教学重点：双曲线的定义、性质及标准方程。
2. 教学难点：双曲线标准方程的推导和应用。
三、教学过程1. 导入：（1）回顾椭圆的定义和标准方程；（2）通过提问，引出双曲线的概念。
2. 自主学习：（1）让学生根据已有知识，尝试描述双曲线的特征；3. 合作交流：（1）分组讨论，让学生探究双曲线的标准方程；4. 知识拓展：（1）介绍双曲线在实际应用中的例子；（2）引导学生思考双曲线与其他几何图形的关系。
四、课堂练习1. 填空题：（1）双曲线是平面上一对_____为定值的点的轨迹；（2）双曲线的标准方程为_____。
2. 解答题：（1）已知双曲线的方程为\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)，求证它是双曲线；（2）求双曲线\(\frac{x^2}{4} \frac{y^2}{3} = 1\) 的实轴长和虚轴长。
五、课后作业1. 复习双曲线的定义、性质和标准方程；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 探索双曲线在其他领域的应用。
六、教学评价1. 评价目标：了解学生对双曲线及其标准方程的理解和掌握程度。
2. 评价方法：（1）课堂练习的完成情况；（2）课后作业的质量；（3）学生对双曲线实际应用案例的分析能力。
七、教学反思1. 反思内容：（1）学生对双曲线定义和性质的理解程度；（2）学生在探索双曲线标准方程过程中的困难与问题；（3）教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 改进措施：（1）针对学生的掌握情况，调整教学进度和难度；（2）采用更多直观的教学工具，如图形软件，以增强学生的直观感受；（3）鼓励学生提问和参与课堂讨论，提高学生的主动学习意识。
《2.2.1 双曲线的定义与标准方程》教案
《双曲线的定义与标准方程》教案教学目标1．通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义， 双曲线的标准方程的探索推导过程．2．在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，培养学生会合情猜想，进一步提高分析、归纳、推理的能力．3．培养学生浓厚的学习兴趣，独立思考、勇于探索精神及实事求是的科学态度． 教学重难点重点：双曲线的定义和标准方程，用待定系数法求标准方程。
难点：双曲线的探索推导过程，定义中的“差的绝对值”，a 与c 的关系的理解． 教学过程情景引入通过音乐引入双曲线。
通过图片展示感受双曲线。
合作探究探究1：类比椭圆的定义，你能给出双曲线的定义吗？定义应注意什么？ 结合几何画板动画展示发现双曲线的运行轨迹并形成定量关系，归纳得出双曲线的定义。
探究2：如何建立适当的坐标系求双曲线标准方程？通过求曲线的方程的方法步骤推导双曲线方程（学生分成两组，分别自主探究焦点在x 轴上和y 轴上的标准方程。
练习：判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 ,,a b c 及焦点坐标。
()()222211214242x y x y -=-=- 思考：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？焦点跟着正项走。
探究3: 双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何异同点?探究4: 如何求双曲线的标准方程?例1：已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P 满足||PF1|-|PF2||=6，求动点P 的轨迹方程。
变一变1：已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P 满足||PF1|-|PF2||=10，求动点P 的轨迹方程。
变一变2：已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P 满足|PF1|-|PF2|=6，求动点P 的轨迹方程。
例2：已知双曲线焦点在x 轴上，且经过两点 )2,315(),3,2(-- ，求它的标准方程。
变一变：已知双曲线且经过两点 )2,315(),3,2(--，求它的标准方程。
总结归纳用待定系数法求标准方程的基本步骤。
双曲线及其标准方程教学设计(教案)
双曲线及其标准方程教学设计(教案)第一章：双曲线的概念引入1.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的起源和发展历程。
(2) 通过实例让学生感受双曲线的几何性质。
1.2 教学内容：(2) 双曲线的历史：介绍双曲线在数学、天文学和物理学等领域的应用，让学生了解双曲线的重要性。
(3) 双曲线的图形展示：利用多媒体展示双曲线的图形，让学生感受双曲线的美丽和神秘。
1.3 教学方法：(1) 实例分析：通过具体的例子，让学生感受双曲线的特点。
(3) 多媒体展示：利用多媒体展示双曲线的图形，增强学生的直观感受。
第二章：双曲线的标准方程2.1 教学目标：(1) 使学生掌握双曲线的标准方程及其实际应用。
(2) 培养学生利用双曲线标准方程解决实际问题的能力。
2.2 教学内容：(1) 双曲线的标准方程：介绍双曲线标准方程的推导过程，让学生理解并掌握双曲线标准方程。
(2) 双曲线标准方程的应用：通过实例，让学生了解双曲线标准方程在实际问题中的应用。
2.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线标准方程的推导过程，利用图形演示双曲线标准方程的特点。
(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线标准方程的应用。
(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线标准方程的计算，分组讨论解决问题。
第三章：双曲线的性质3.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的基本性质。
(2) 培养学生利用双曲线性质解决实际问题的能力。
3.2 教学内容：(1) 双曲线的性质：介绍双曲线的几何性质，如渐近线、离心率等。
(2) 性质的应用：通过实例，让学生了解双曲线性质在实际问题中的应用。
3.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线的性质，利用图形演示性质的特点。
(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线性质的应用。
(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线性质的计算，分组讨论解决问题。
第四章：双曲线方程的求解4.1 教学目标：(1) 使学生掌握求解双曲线方程的方法。
《双曲线及其标准方程》教案
《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标1. 让学生理解双曲线的定义和性质。
2. 引导学生掌握双曲线的标准方程及其应用。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 双曲线的定义与性质定义：双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差为常数的点的轨迹。
性质：双曲线是中心对称图形，具有对称性、渐进线等性质。
2. 双曲线的标准方程形式：\(\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > 0, b > 0\)）焦点：\((\pm c, 0)\)，其中\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)实轴：\(x = \pm a\)虚轴：\(y = \pm b\)渐近线：\(y = \pm\frac{b}{a}x\)三、教学重点与难点1. 重点：双曲线的定义、性质和标准方程。
2. 难点：双曲线标准方程的推导和应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探索双曲线的性质和标准方程。
2. 利用数形结合法，直观展示双曲线的几何特征。
3. 运用实例分析法，让学生学会解决实际问题。
五、教学安排1. 第一课时：介绍双曲线的定义与性质。
2. 第二课时：推导双曲线的标准方程。
3. 第三课时：应用双曲线的标准方程解决实际问题。
4. 第四课时：巩固练习，拓展提高。
教案仅供参考，具体实施时可根据学生实际情况进行调整。
六、教学策略1. 利用多媒体课件，展示双曲线的图形，增强学生对双曲线几何形状的认识。
2. 设计具有梯度的练习题，让学生在实践中掌握双曲线的标准方程。
3. 组织小组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高解决问题的能力。
七、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对双曲线定义、性质和标准方程的理解程度。
2. 练习题：评价学生运用双曲线标准方程解决实际问题的能力。
3. 小组讨论：评价学生在团队合作中的表现和解决问题的能力。
八、教学反馈1. 课堂讲解：通过提问、回答问题等方式，了解学生对双曲线知识点的掌握情况。
《双曲线的定义及标准方程》教学案例
《双曲线的定义及标准方程》教学案例教学案例：《双曲线的定义及标准方程》一、教学目标：1.理解双曲线的定义及性质。
2.掌握双曲线的标准方程及其图形特点。
3.能够根据给定双曲线的图形特点写出其标准方程。
4.能够通过双曲线的标准方程确定其图形特点。
二、教学内容及流程：1.导入（5分钟）引入双曲线的概念，通过展示一些与双曲线有关的图片，让学生对双曲线有初步的了解。
2.双曲线的定义及性质（15分钟）a.定义：双曲线是平面上一点到两个给定点的距离差为常数的轨迹。
b.性质：-双曲线有两个焦点，两个焦点之间的距离为2a。
-所有点到焦点的距离差的绝对值等于常数e。
-双曲线的两支分别称为左支和右支。
-双曲线关于x轴和y轴对称。
-双曲线不过坐标原点。
3.双曲线的标准方程（20分钟）a.一般方程的推导：1）设焦点为F1（c,0），F2（-c,0），离心率为e，任意点P(x,y)到F1，F2点的距离之差为2a。
2）根据勾股定理得到双曲线的一般方程：(x-c)^2/a^2-(y-0)^2/b^2=13）根据离心率与焦距之间的关系，得到椭圆的离心率e=c/a。
b.双曲线的标准方程：右支的标准方程：(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1左支的标准方程：(y-k)^2/b^2-(x-h)^2/a^2=14.双曲线的图形特点及画图（40分钟）a.图形特点：-右支：左右开口，焦点在x轴右侧，顶点在x轴上方。
-左支：左右开口，焦点在x轴左侧，顶点在x轴上方。
-右支和左支均无渐近线。
b.画图：1）确定焦点F1和F2的位置。
2）确定顶点的位置。
3）确定轴的位置，轴的长度为2a。
4）确定两支的开口方向。
5.解析练习（20分钟）提供一些练习题，让学生根据给定的双曲线的图形特点写出其标准方程，并画出图形。
三、教学反思：《双曲线的定义及标准方程》的教学过程应当以学生的参与为主导，通过引导学生观察、思考和分析，使他们深入理解双曲线的定义及性质，并能够应用所学知识解决实际问题。
双曲线及其标准方程教案
双曲线及其标准方程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其求法；（3）能够运用双曲线及其标准方程解决相关问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳双曲线的性质，提高学生的逻辑思维能力；（2）运用数形结合的方法，引导学生理解双曲线的标准方程的求法；（3）培养学生的动手实践能力，提高学生解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生的探索精神；（2）培养学生合作交流的能力，提高学生的团队协作意识；（3）培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义及其性质；（2）双曲线的标准方程及其求法。
2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的求法；（2）运用双曲线及其标准方程解决实际问题。
三、教学方法1. 情境导入法：通过展示与双曲线相关的实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生进入学习状态。
2. 讲授法：系统讲解双曲线的定义、性质及其标准方程，使学生掌握双曲线的基本知识。
3. 案例分析法：分析典型例题，引导学生运用双曲线及其标准方程解决问题，提高学生的实践能力。
4. 小组讨论法：组织学生分组讨论，培养学生的合作精神和团队意识。
四、教学过程1. 导入新课：展示与双曲线相关的实际问题，引导学生关注双曲线在实际生活中的应用。
2. 讲解双曲线的定义及其性质：结合图形，讲解双曲线的定义，引导学生理解双曲线的性质。
3. 讲解双曲线的标准方程：引导学生观察双曲线的性质，引导学生归纳出双曲线的标准方程。
4. 案例分析：分析典型例题，引导学生运用双曲线及其标准方程解决问题。
5. 小组讨论：组织学生分组讨论，探讨双曲线及其标准方程在实际问题中的应用。
五、课后作业1. 复习双曲线的定义及其性质；2. 复习双曲线的标准方程及其求法；3. 完成课后练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对双曲线定义及其性质的理解程度。
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圆锥曲线教案双曲线的定义及其标准方程教案
教学目标
1．通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，双曲线的标准方程的探索推导过程．
2．在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，培养学生会合情猜想，进一步提高分析、归纳、推理的能力．
3．培养学生浓厚的学习兴趣，独立思考、勇于探索精神及实事的科学态度．
教学重点与难点
双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点．定义中的“差的绝对值”，a与c的关系的理解是难点．
教学过程
师：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？
(学生口述椭圆的两个定义，标准方程，教师利用投影仪把椭圆的定义、标准方程和图象放出来．)
师：椭圆的两个定义虽然都是由轨迹的问题引出来的，但所采用的方法是不同的．定义二是在认识上已经把椭圆和方程统一起来，在掌握了坐标法基础上利用坐标方法建立轨迹方程．这是通过方程去认识轨迹曲线．定义中设定的常数
2a，|F1F2|=2c，它们之间的变化对椭圆有什么影响？
生：当a=c时，相应的轨迹是线段F1F2．当a＜c时，轨迹不存在．这是因为a、c的关系违背了三角形中边与边之间的关系．
师：如果把椭圆定义中的“平面与两个定点F1、F2的距离的和”改写为“平面与两个定点F1、F2的距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程又是怎样的呢？
(师生共同做一个简单的实验，请同学们把准备好的实验用具拿出来，一起做实验．教师把教具挂在黑板上，同时板书：平面与两个定点F1、F2的距离之差为常数的点的轨迹是什么曲线？边画、边操作、边说明．)
师：做法是：适当选取两定点F1、F2，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另一边上截取一段AF2(＜F1F2)，作为动点M到两定点F1和F2距离之差．而后把它固定在F2处．这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉锁的逐渐打开铅笔就徐徐画出一条曲线；同理可画出另一支．如图2-36．
师：通过这个实验，你们发现了什么？
生：所画的曲线不是椭圆，是两条相同的曲线，只是位置不同．其原因都是应用“平面与两个定点的距离之差|MF1|-|MF2|(或|MF2|-|MF1|)是同一常数的条件画图的．
师：所画出图象与椭圆完全不同，能说出属于哪一类曲线吗？
生：属于双曲型曲线．
师：很好！我们把这类曲线就叫做双曲线．我们思考以下几个问题：
1．|MF1|和|MF2|哪个大？
生：不一定．当点M在双曲线右支时，有|MF1|＞|MF2|，当点M在双曲线左支时，|MF1|＜|MF2|．
师：2．点M与点F1、F2距离之差是否就应是|MF1|-|MF2|？
生：未必是．也可以是|MF2|-|MF1|．
师：如何表示这两种情况？
生：若要同时表示这两种情况，正确的表示是应||MF1|-|MF2||．无论哪种情况总是成立的．
师：3．点M与点F1、F2的距离之差的绝对值与|F1F2|的大小关系怎样？
生：由三角形的两边之差小于第三边可知，应是小于|F1F2|．否则作不出图形．
在上述讨论的基础上，引导学生概括出双曲线的定义，教师板书课题．
(学生试叙述，教师协助完成．)
一、双曲线的定义
平面与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数2a(a＞0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，这两个焦点间的距离叫做焦距，记作2c(c＞0)．
通过学生自己动手画图，得到了双曲线定义，同时进一步让学生在实验中观察定义中两个常数间大小关系对于动点M的轨迹的影响．激发学生探求知识的兴趣，调动学生的求知的渴望．师生共同归纳：
师：由定义知||MF1|-|MF2||=2a，|F1F2|=2c，并设动点为M，请大家讨论以下几个问题：
(1)当0＜a＜c时，动点M的轨迹是什么？
学生略思考一下，回答出是双曲线．
(2)当a=c时，动点M的轨迹是什么？
分析若a=c，也就是||MF1|-|MF2||=2a=2c，如图2-37所示：
可以看出，动点M的轨迹是分别以点F1、F2为端点，方向指向F1F2外侧的两条射线．
(3)当a＞c＞0时，动点M的轨迹是什么？
由前面归纳已知动点M的轨迹不存在．这是因为a、c的关系违背了三角形中两边之差小于第三边的性质．
二、双曲线的标准方程
师：现在来研究双曲线的方程．我们可以参照求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．首先建立直角坐标系，即以两定点连线为x轴，两定点的垂直平分线为y轴．然后，观察双曲线的特征，猜测双曲线方程的结构与椭圆方程的结构是否有类似之处？(如图2-38)
当点M移动到x轴上点A1、A2时，如何求点A1、A2的坐标？
生：点A1、A2是关于原点对称的，所以
|A1A2|=|F1F2|-|F1A1|-|F2A2|=|F1F2|-2|F2A2|=|F1A2|-|F2A2|=2a．
所以点A1和A2的坐标分别是(-a，0)和(a，0)．
师：请同学们对照椭圆的定义及其标准方程推导过程导出双曲线的标准方程．
生：1．建立直角坐标系．
2．设双曲线上任意一点的坐标为M(x、y)，|F1F2|=2c，并设F1(-c，0)，F2(c，0)．
3．由两点间距离公式，得
4．由双曲线定义，得|MF1|-|MF2|=±2a，即
5．化简方程
两边平方，得化简得：
两边再平方，整理得
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．
(为使方程简化，更为对称和谐起见．) 由2c-2a＞0，即c＞a，所以c2-a2＞0．设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式，得
b2x2-a2y2＝a2b2，
也就是
师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质．这一简化的方程称为双曲线的标准方程．
结合图形再一次理解方程中a＞b＞0的条件是不可缺少的．b的选取不仅使方程得到了简化、和谐，也有实际的几何意义．具有c2=a2+b2与椭圆中a2=b2+c2的不同之处．
师：与椭圆方程一样，如果双曲线的焦点在y轴上，这时双曲线的标准方程形式又怎样呢？我们可以从所画的图形上观察，对比来看一看互相间的转化．(图2-39、图2-40)
生：从图形的对称来看，只要交换一下x轴、y轴的名称，然后逆时针翻转90°使之y轴向上、下，x轴水平放置即可得到焦点在y轴上的双曲线．
师：从方程上来分析，只要将方程(1)的x、y互换就可以得到它的方程
此方程也是双曲线的标准方程．
师：如何记忆这两个标准方程？
生：双曲线的方程右边为1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相应的坐标轴为实轴，焦点在该轴上，且分母为a2．负项相应的坐标轴为虚轴，且分母为b2．
师：用一句话概括“以正负定实虚”．
三、举例
例1 已知两点F1(-4，0)和F2(4，0)，曲线上的点到两个焦点的距离之差为6，求曲线方程．
解由焦点坐标可知c=4，2a=6，
所以a=3，而b2=c2-a2=16-9=7．
所以，所求的双曲线方程为
例2 求满足下列条件的双曲线方程
1．若a=4，b=3，焦点在x轴上；
解(1)因为a=4，b=3，并且焦点在x轴上，所以所求的双曲线方程为
(2)由题意设双曲线的标准方程为：
所以代入双曲线方程得
所以b2=16，所以所求的双曲线的标准方程为
例1和例2可由学生自行解答，黑板上板演，并对照检查对错．
四、小结(师生共同参与完成)
1．知识方面
双曲线的定义和双曲线的标准方程；方程中的3个常数a、b、c间的关系：c2=a2+b2．
理解“以正负定实虚”的意义，会确定实轴、虚轴、焦点所在位置，会求双曲线的标准方程．
2．在教学中体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美．
五、作业：第89页习题七1，2．
六、课后思考题
2．结合图形的演示，试讨论||MF1|-|MF2||=2a，在2a趋近于零的过程中双曲线的变化趋势．
设计说明
1．关于教学目标
(1)由于双曲线的定义及其标准方程是本章的重点之一，因而作为本节课的教学目标之一．
(2)MM教育方式的基本要求，其课堂教学要师生共同参与．每个环节都应给学生创设一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机会．运用教具的演示，增强了数学教学的直观性，有助于培养学生观察、比较、分析、抽象、归纳及数学语言的运用能力．对全面提高学生素质起着十分重要作用，待此制定了教学目标2和3．
2．关于教学重点
为实现教学目标，把充分展现双曲线的定义及其标准方程的探索、发现、推理的思维过程和知识形成过程作为本节课的重点．
3．关于教学方法
按照MM教育方式“学习、教学、研究同步协调原则”和“二主方针”，在教学中充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用．运用问题性，给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，使学生在开放、、愉悦和谐的教学氛围中获取新知识，提高能力，促进思维发展．因此，采用讨论式、启发式的教学方法．
4．关于教学过程
(1)利用学生已清楚的知识，转换条件提出问题，通过自己动手和联想，为类比地探索双曲线的定义奠定基础，最后推出双曲线的定义．
(2)在双曲线的标准方程的推导过程中，揭示科学实验的规律，巧妙地把学生从旧知识引向新知识，使知识过渡那么自然，学生学起来不感到困难．体现数学发现的本质，培养学生合情推理能力、逻辑思维能力、科学思维方式、实事的科学态度及勇于探索的精神．
(3)例题比较简单，由学生自行解答，同时由学生板演，在解题过程中培养学生合理地思考问题，清楚地表达思想和有条不紊的学习习惯．同时随时注意纠正学生在学习过程中的偏差．
(4)以学生为主，教师协助的方式进行本节课的小结，充分发挥学生的主观能动性，提高学生分析、概括、综合、抽象能力，注意把学生本节课所学到的新知识纳入学生已有知识体系中，使学生学习解析几何容形成一个知识结构，对学生掌握解析几何的学习是大。