圆锥曲线(教师版全套)

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圆锥曲线之点差法-讲义(教师版)

圆锥曲线之点差法一、课堂目标1、熟练掌握点差法的应用步骤；2、理解点差法相对于联立法有哪些优势。

【备注】在联立法的基础上再学习点差法，是为了让学生在面对一些特殊题型时，能简化步骤和运算量，同时训练学生一题多解的能力。

二、方法说明联立法作为圆锥曲线题型的通法，方法固定，思路简单是它最大的优点，但同时，运算量偏大也是联立法自始至终存在的问题，在应对跟弦的斜率和中点有关的题型时，我们找到了一种比联立法更为优化的特殊武器，尤其是减少了运算量，可以帮我们在考试中节省更多时间，这种方法就是点差法。

【备注】1、在方法类讲义用，用方法说明替代了高考链接，因为对于一个方法的使用是灵活的，方法类的讲义在各版本试卷中是通用的，指向某套考卷意义不大，在这里重点为学生讲解这种方法用在什么类型题中，在后续的类型题讲义中，我们会重点解释该类型题的高考链接。

2、点差法主要应用于中点弦问题。

三、知识讲解1. 知识回顾【备注】提问环节，对圆锥曲线基础知识点选择性提问，如果学生对于这部分基础掌握有问题，老师自行带学生回顾，本讲义难度有所提升，只做方法应用讲解，不单独做基础梳理。

2. 方法提升方法引入1.已知椭圆，过点作直线，设与椭圆交于、两点，若为线段的中点，求直线的方程．【答案】．【解析】方法一：方法二：易知点在椭圆内，不妨设，，设直线的斜率为，由，作差得，又∵，即，，∴的斜率，的方程为，即．不妨设，，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入中，得，【备注】以基础类型题引入方法，这是一个常规的中点弦问题，解析中分别给出了联立法和点差法两种方法，要结合对比着讲给学生听，重点让学生理解点差法在中点弦问题中的优势是简化运算。

∴，判别式，则，∵的中点为，∴，则，∴直线的方程为，即．【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；中点弦问题步骤归纳点差法常规步骤（以椭圆为例，双曲线和抛物线同理）：1、设直线与圆锥曲线交点，,，A和B的中点坐标为.2、将交点坐标带入椭圆方程3、两式做差得(显然前提是,)4、灵活运用等式注意：根据步骤三可知，使用点差法的前提是直线斜率存在，且斜率不为零，对于斜率不存在或者为零的情况，我们需要分类讨论。

圆锥曲线(教师版全套)

圆锥曲线与方程1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程． 2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质． 4．了解圆锥曲线的初步应用．圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。

纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点： 1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a 、b 、c 、e 、p 五个参数的求解． ②圆锥曲线的几何性质的应用．2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．知识网络考纲导读高考导航圆锥曲线椭圆定义标准方程几何性质双曲线定义标准方程几何性质抛物线定义标准方程几何性质第二定义第二定义统一定义直线与圆锥曲线的位置关系椭圆双曲线抛物线a 、b 、c 三者间的关系3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．第1课时椭圆1．椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是． ②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到的距离与到的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的，定直线l 是，常数e 是． 2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+b y a x ，其中( > >0，且=2a )(2) 焦点在y轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222=+b x a y ，其中a ，b 满足：．（3）焦点在哪个轴上如何判断？ 3．椭圆的几何性质(对12222=+b y a x ,a > b >0进行讨论)(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为；对称中心基础过关为．(3) 顶点坐标：，焦点坐标：，长半轴长：，短半轴长：；准线方程：．(4) 离心率：=e ( 与的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越；e 越接近0，椭圆越接近于．(5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则=1PF ，122PF a PF -== 。

圆锥曲线的轨迹方程问题(教师版)

圆锥曲线的轨迹方程问题1.抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，P 在抛物线C 上，O 是坐标原点，当PF 与x 轴垂直时，△OFP 的面积为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)若A ，B 都在抛物线C 上，且OA ⋅OB =-4，过坐标原点O 作直线AB 的垂线，垂足是G ，求动点G 的轨迹方程.【答案】(1)y 2=4x ;(2)x 2+y 2-2x =0x ≠0【解析】(1)当PF 与x 轴垂直时，P p 2,p ，故S △OFP =12×p 2×p =1，故p =2，故抛物线的方程为：y 2=4x .(2)设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2，直线AB :x =ty +m ，因为OA ⋅OB =-4，故y 21y 2216+y 1y 2=-4，整理得到：y 21y 22+16y 1y 2+64=0，故y 1y 2=-8.由x =ty +my 2=4x可得y 2-4ty -4m =0，故-4m =-8即m =2，故直线AB :x =ty +2，此直线过定点M 2,0 .因为OG ⊥GM ，故G 的轨迹为以OM 为直径的圆，其方程为：x -0 x -2 +y -0 y -0 =0即x 2+y 2-2x =0.因为直线AB :x =ty +2与x 轴不重合，故G 不为原点，故G 的轨迹方程为：x 2+y 2-2x =0x ≠0 .2.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率e =233，且经过点P 3,1 .(1)求双曲线C 的方程；(2)设A ，B 在C 上，PA ⊥PB ，过P 点向AB 引垂线，垂足为M ，求M 点的轨迹方程.【答案】(1)x 26-y 22=1;(2)x -92 2+y +122=92(去掉点P )【解析】(1)∵双曲线的离心率e =c a =233，∴c 2=43a 2=a 2+b 2，即a 2=3b 2，将P 3,1 代入C :x 23b 2-y 2b 2=1，即93b 2-1b2=1，解得b 2=2，a 2=6，故双曲线C 的方程为x 26-y 22=1；(2)当直线AB 斜率不存在时，不满足PA ⊥PB ，故不满足题意；当直线AB 斜率存在时，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，AB :y =kx +m ，代入双曲线方程整理得：3k 2-1 x 2+6kmx +3m 2+6 =0.Δ>0，则x 1+x 2=-6km 3k 2-1，x 1x 2=3m 2+63k 2-1，∵PA ⊥PB ，∴x 1-3 x 2-3 +y 1-1 y 2-1 =0，即x 1-3 x 2-3 +kx 1+m -1 kx 2+m -1 =0，整理得18k 2+9km +m 2+m -2=0，即3k +m -1 6k +m +2 =0，当3k +m -1=0时，AB 过P 点，不符合题意，故6k +m +2=0，直线AB 化为y +2=k x -6 ，AB 恒过定点Q 6,-2 ，∴M 在以PQ 为直径的圆上且不含P 点，即M 的轨迹方程为x -92 2+y +12 2=92(去掉点P ).3.已知抛物线C :y =x 2，过点M 1,2 的直线交抛物线C 于A ,B 两点，以A ,B 为切点分别作抛物线C 的两条切线交于点P .(1)若线段AB 的中点N 的纵坐标为32，求直线AB 的方程；(2)求动点P 的轨迹.【答案】(1)x -y +1=0；(2)2x -y -2=0【解析】(1)依题意有：直线AB 的斜率必存在，故可设直线AB 的方程为y -2=k (x -1).由y -2=k (x -1)，y =x 2，可得：x 2-kx +k -2=0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2.于是：y 1+y 2=x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=k 2-2k +4=3，解得k =1，故直线AB 的方程为x -y +1=0.(2)设P (x 0，y 0)，对于抛物线y =x 2，y =2x ，于是：A 点处切线方程为y -y 1=2x 1(x -x 1)，点P 在该切线上，故y 0-x 21=2x 1(x 0-x 1)，即x 21-2x 0x 1+y 0=0.同理：P 点坐标也满足x 22-2x 0x 2+y 0=0，于是：x 1，x 2是方程x 2-2x 0x +y 0=0的两根，所以x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=y 0.又由(1)可知：x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2，于是x 0=k2，y 0=k -2，消k 得y 0=2x 0-2，于是P 的轨迹方程为2x -y -2=0，点P 的轨迹是一条直线.4.已知圆C 与y 轴相切，圆心C 在直线x -2y =0上且在第一象限内，圆C在直线y =x 上截得的弦长为214.(1)求圆C 的方程；(2)已知线段MN 的端点M 的横坐标为-4，端点N 在(1)中的圆C 上运动，线段MN 与y 轴垂直，求线段MN 的中点H 的轨迹方程.【答案】(1)x -4 2+y -2 2=16;(2)4x 2+y -2 2=16【解析】(1)依题意，设所求圆C 的方程为x -a 2+y -b 2=r 2a >0 .所以圆心a ,b 到直线x -y =0d =a -b2，则有d 2+14 2=r 2，即a -b 2+28=2r 2.①由于圆C 与y 轴相切，所以r 2=a 2.②又因为圆C 的圆心在直线x -2y =0上，所以a -2b =0.③联立①②③，解得a =4,b =2,r =4，故所求圆C 的方程为x -4 2+y -2 2=16.(2)设点H 的坐标为x ,y ，点N 的坐标为x 0,y 0 ，点M 的坐标为-4,y ，因为H 是线段MN 的中点，所以x =x 0-42，y =y 0，于是有x 0=2x +4，y 0=y .①因为点N 在第(1)问中圆C 上运动，所以点N 满足x 0-4 2+y 0-2 2=16.②把①代入②，得2x +4-4 2+y -2 2=16，整理，得4x 2+y -2 2=16.此即为所求点H 的轨迹方程.5.已知圆O ：x 2+y 2=4与x 轴交于点A (-2,0)，过圆上一动点M 作x 轴的垂线，垂足为H ，N 是MH 的中点，记N 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过-65,0 作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，设直线AP ，AS 的斜率分别为k 1，k 2.证明：k 1=4k 2．【答案】(1)x 22+y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)设N (x 0，y 0)，则H (x 0，0)，∵N 是MH 的中点，∴M (x 0，2y 0)，又∵M 在圆O 上，∴ x 20+(2y 0)2=4，即x 204+y 20=1；∴曲线C 的方程为：x 24+y 2=1；(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：x =-65，若点P 在轴上方，则点Q 在x 轴下方，则P -65,45 ,Q -65,-45，直线OQ 与曲线C 的另一交点为S ，则S 与Q 关于原点对称，∴S 65,45，k 1=k AP =45-0-65+2=1,k 2=k AS =45-065+2=14,∴k 1=4k 2；若点P 在x 轴下方，则点Q 在x 轴上方，同理得：P -65,-45 ,Q -65,45 ,S 65,-45，∴k1=k AP=-45-0-65+2=-1,k2=k AS=-45-065+2=-14，∴k1=4k2；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：x=my-6 5,，由x=my-65,与x24+y2=1联立可得(m2+4)y2-12m5y-6425=0，其中Δ=144m225+4×(m2+4)×6425>0，设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则S(-x2,-y2)，则y1+y2=12m5m2+4,y1y2=-6425m2+4，∴k1=k AP=y1-0x1+2=y1x1+2,k2=k AS=-y2-0-x2+2=y2x2-2,则k1k2=y1x1+2⋅x2-2y2=y1my2-165my1+45y2=my1y2-165y1my1y2+45(y1+y2)-45y1=-6425m2+4-165y1-6425mm2+4+45⋅125mm2+4-45y1=-6425m2+4-165y1-1625m2+4-45y1=4，∴k1=4k2.6.已知点E(2,0)，F22,0，点A满足|AE|=2|AF|，点A的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l:y=kx+m与双曲线：x24-y29=1交于M，N两点，且∠MON=π2(O为坐标原点)，求点A到直线l距离的取值范围.【答案】(1)x2+y2=1；(2)655-1,655+1.【解析】(1)设A(x,y)，因为|AE|=2|AF|，所以(x-2)2+(y-0)2=2×x-2 22+(y-0)2，平方化简，得x2+y2=1；(2)直线l:y=kx+m与双曲线：x24-y29=1的方程联立，得y=kx+mx2 4-y29=1⇒(4k2-9)x2+8kmx+4m2+36=0，设M(x1,y1),N(x2,y2)，所以有4k2-9≠0(8km)2-4⋅(4k2-9)(4m2+36)>0⇒m2+9>4k2且k≠±32，所以x 1+x 2=-8km 4k 2-9，x 1x 2=4m 2+364k 2-9，因为∠MON =π2，所以OM ⊥ON⇒x 1x 2+y 1y 2=0⇒x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0，化简，得(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0，把x 1+x 2=-8km 4k 2-9，x 1x 2=4m 2+364k 2-9代入，得(k 2+1)⋅4m 2+364k 2-9+km ⋅-8km 4k 2-9 +m 2=0，化简，得m 2=36(k 2+1)5，因为m 2+9>4k 2且k ≠±32，所以有36(k 2+1)5+9>4k 2且k ≠±32，解得k ≠±32，圆x 2+y 2=1的圆心为(0,0)，半径为1，圆心(0,0)到直线l :y =kx +m 的距离为d =mk 2+1=65k 2+1k 2+1=655>1，所以点A 到直线距离的最大值为655+1，最小值为655-1，所以点A 到直线距离的取值范围为655-1,655+1 ，7.在平面直角坐标系xOy 中，点D ，E 的坐标分别为-2,0 ，2,0 ，P 是动点，且直线DP 与EP 的斜率之积等于-14.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知直线y =kx +m 与椭圆：x 24+y 2=1相交于A ，B 两点，与y 轴交于点M ，若存在m 使得OA +3OB =4OM，求m 的取值范围.【答案】(1)x 24+y 2=1x ≠±2 ;(2)-1,-12 ∪12,1 【解析】(1)设P x ,y ，则k EP ⋅k DP =y x -2⋅y x +2=-14x ≠±2 ，所以可得动点P 的轨迹C 的方程为x 24+y 2=1x ≠±2 .(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又M 0,m ，由OA +3OB =4OM得x 1+3x 2,y 1+3y 2 =0,4m ，x 1=-3x 2联立y =kx +m x 24+y 2=1可得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0∵Δ=(8km )2-4×(4k 2+1)×(4m 2-4)>0，即64k 2-16m 2+16>0∴4k 2-m 2+1>0，且x 1+x 2=-8km4k 2+1x 1x 2=4m 2-44k 2+1，又x 1=-3x 2∴x 2=4km 4k 2+1，则x 1⋅x 2=-3x 22=4km 4k 2+1 2=4m 2-44k 2+1，∴16k 2m 2-4k 2+m 2-1=0，∴k 2=m 2-14-16m 2代入4k 2-m 2+1>0得m 2-11-4m2+1-m 2>0，14<m 2<1，解得m ∈-1,-12 ∪12,1 .∴m 的取值范围是-1,-12 ∪12,1 8.如图，设点A ，B 的坐标分别为(-3,0)，(3,0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为-23.(1)求P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为C ，点M 、N 是轨迹为C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求△MON 的面积.【答案】(1)x 23+y 22=1x ≠±3 ;(2)62【解析】(1)由已知设点P 的坐标为x ,y ，由题意知k AP ⋅k BP =y x +3⋅y x -3=-23x ≠±3 ，化简得P 的轨迹方程为x 23+y 22=1x ≠±3(2)证明：由题意M 、N 是椭圆C 上非顶点的两点，且AP ⎳OM ,BP ⎳ON ，则直线AP ,BP 斜率必存在且不为0，又由已知k AP ⋅k BP =-23.因为AP ⎳OM ,BP ⎳ON ，所以k OM k ON =-23设直线MN 的方程为x =my +t ，代入椭圆方程x 23+y 22=1，得3+2m 2 y 2+4mty +2t 2-6=0....①，设M ,N 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-4mt 3+2m 2,y 1y 2=2t 2-63+2m 2又k OM ⋅k ON =y 1y 2x 1x 2=y 1y 2m 2y 1y 2+mt y 1+y 2 +t 2=2t 2-63t 2-6m 2，所以2t 2-63t 2-6m2=-23，得2t 2=2m 2+3又S △MON =12t y 1-y 2 =12t -24t 2+48m 2+723+2m 2，所以S △MON =26t t 24t 2=62，即△MON 的面积为定值62.9.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :x =1，点F 4,0 ，动点P 到点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 且斜率大于3的直线交C 于两点，点Q -2,0 ，连接QA 、QB 交直线l 于M 、N 两点，证明：点F 在以MN 为直径的圆上．【答案】(1)x 24-y 212=1;(2)证明见解析【解析】(1)设P x ,y ，由题意得x -4 2+y 2=2x -1 化简得x 24-y 212=1，所以曲线C 的方程为x 24-y 212=1．(2)证明：设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 、M 1,m 、N 1,n ，设直线AB 的方程为y =k x -4 且k >3，联立y =k x -4 x 24-y 212=1得3-k 2 x 2+8k 2x -16k 2-12=0，3-k 2≠0，Δ=64k 4+43-k 2 16k 2+12 =144k 2+1 >0，由韦达定理可得x 1+x 2=8k 2k 2-3，x 1x 2=16k 2+12k 2-3，因为点M 在直线QA 上，则k QM =k QA ，即m3=y 1x 1+2，可得m =3y 1x 1+2=3k x 1-4x 1+2，同理可得n =3k x 2-4 x 2+2，FM=-3,m ，FN =-3,n ，所以，FM ⋅FN =9+mn =9+9k 2x 1x 2-4x 1+x 2 +16x 1x 2+2x 1+x 2 +4=9+9k 216k 2+12-32k 2+16k 2-4816k 2+12+16k 2+4k 2-12=0，故点F 在以MN 为直径的圆上．10.已知圆C ：x 2+y 2-2x -2y +1=0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(2，3)处，求此时切线l 的方程；(2)求满足条件PM =PO 的点P 的轨迹方程.【答案】(1)x =2或3x -4y +6=0；(2)2x +2y -1=0.【解析】(1)把圆C 的方程化为标准方程为(x -1)2+(y -1)2=1，∴圆心为C (1，1)，半径r =1.当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x =2，C 到l 的距离d =1=r ，满足条件.当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y -3=k (x -2)，即kx -y +3-2k =0，则k -1+3-2k1+k 2=1，解得k =34.∴l 的方程为y -3=34(x -2)，即3x -4y +6=0.综上，满足条件的切线l 的方程为x =2或3x -4y +6=0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2=|PC |2-|MC |2=(x -1)2+(y -1)2-1，|PO |2=x 2+y 2，∵|PM |=|PO |.∴(x -1)2+(y -1)2-1=x 2+y 2，整理，得2x +2y -1=0，∴点P 的轨迹方程为2x +2y -1=0.11.已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1、l 2分别交C 于A 、B 两点，交C 的准线于P 、Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ .(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】(1)证明见解析；(2)y 2=x -1.【解析】(1)由题意可知F 12,0 ，设l 1：y =a ，l 2：y =b 且ab ≠0，A a 22,a ，B b 22,b ，P -12,a ，Q -12,b ，R -12,a +b 2 ，直线AB 方程为2x -(a +b )y +ab =0，∵点F 在线段AB 上，∴ab +1=0，记直线AR 的斜率为k 1，直线FQ 的斜率为k 2，∴k 1=a -b 1+a 2，k 2=b-12-12=-b ，又∵ab +1=0，∴k 1=a -b 1+a 2=a -b a 2-ab =1a =-aba =-b =k 2，∴AR ∥FQ ；(2)设l 1：y =a ，l 2：y =b ，A a 22,a ，B b 22,b ，设直线AB 与x 轴的交点为D x 1,0 ，∴S △ABF =12a -b FD =12a -b x 1-12，又S△PQF=a-b2，∴由题意可得S△PQF=2S△ABF，即a-b2=2×12·a-b⋅x1-12，解得x1=0(舍)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x，y)，则x=a2+b24y=a+b2，当AB与x轴不垂直时，由k AB=k DE可得a-ba22-b22=yx-1，即2a+b=yx-1(x≠1)，∴y2=x-1x≠1.当AB与x轴垂直时，E与D重合，也满足y2=x-1.∴AB中点的轨迹方程为y2=x-1.12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为4，左顶点A到上顶点B的距离为5，F为右焦点．(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M，N(不同于A，B两点)，且直线BM ⊥BN时，求F在l上的射影H的轨迹方程．【答案】(1)x24+y2=1，离心率为32;(2)x-322+y+3102=2125【解析】(1)由题意可得：2a=4，a2+b2=5，a2=b2+c2，可得a=2，c=3，b=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1，离心率为e=ca=32．(2)当直线斜率存在时，可设l:y=kx+m代入椭圆方程x24+y2=1，得：4k2+1x2+8kmx+4m2-1=0．设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-8km4k 2+1x 1x 2=4m 2-1 4k 2+1．因为直线BM ，BN 垂直，斜率之积为-1，所以k BM ⋅k BN =-1，所以k BM ⋅k BN =k 2x 1x 2+k m -1 x 1+x 2 +m -1 2x 1x 2=-1．将x 1+x 2=-8km 4k 2+1x 1x 2=4m 2-1 4k 2+1代入，整理化简得：m -1 5m +3 =0，所以m =1或m =-35．由直线l :y =kx +m ，当m =1时，直线l 经过0,1 ，与B 点重合，舍去，当m =-35时，直线l 经过定点E 0,-35，当直线斜率不存在时，可设l :x =t ，则M t ,1-t 24 ，N t ,-1-t 24，因为k BM ⋅k BN =-1，所以1-t 24-1t ×-1-t 24+1t=-1，解得t =0，舍去．综上所述，直线l 经过定点E 0,-35，而F 在l 上的射影H 的轨迹为以EF 为直径的圆，其E 0,-35 ，F 3,0 ，所以圆心32,-310 ，半径r =215，所以圆的方程为x -32 2+y +310 2=2125，即为点H 的轨迹方程．13.在平面直角坐标系xOy 中，A (-3,0)，B (3,0)，C 是满足∠ACB =π3的一个动点．(1)求△ABC 垂心H 的轨迹方程；(2)记△ABC 垂心H 的轨迹为Γ，若直线l ：y =kx +m (km ≠0)与Γ交于D ，E 两点，与椭圆T ：2x 2+y 2=1交于P ，Q 两点，且|DE |=2|PQ |，求证：|k |>2．【答案】(1)x 2+(y +1)2=4(y ≠-2)；(2)证明见解析．【解析】设△ABC 的外心为O 1，半径为R ，则有R =AB 2sin ∠ACB=2，又∠OO 1B =∠OO 1C =π3，所以OO 1=R cos π3=1，即O 1(0,1)，或O 1(0,-1)，当O 1坐标为(0,1)时．设C (x ,y )，H x 0,y 0 ，有O 1C =R ，即有x 2+(y -1)2=4(y >0)，由CH ⊥AB ，则有x 0=x ，由AH ⊥BC ，则有AH ⋅BC=x 0+3 (x -3)+y 0y =0，所以有y 0=-x 0+3 (x -3)y =3-x 2y =(y -1)2-1y=y -2，y >0，则y 0=y -2>-2，则有x 20+y 0+1 2=4(y 0>-2)，所以△ABC 垂心H 的轨迹方程为x 2+(y +1)2=4(y >-2).同理当O 1坐标为(0,-1)时．H 的轨迹方程为x 2+(y -1)2=4(y <2).综上H 的轨迹方程为x 2+(y +1)2=4(y >-2)或x 2+(y -1)2=4(y <2)．(2)若取x 2+(y +1)2=4(y >-2)，记点(0,-1)到直线l 的距离为d ，则有d =|m +1|1+k 2，所以|DE |=24-d 2=24-(m +1)21+k 2，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，联立y =kx +m 2x 2+y 2=1，有2+k 2 x 2+2kmx +m 2-1=0，所以Δ=4k 2+2-2m 2 >0，|PQ |=1+k 2⋅Δ2+k 2=21+k 2 k 2+2-2m 2 2+k 2，由|DE |=2|PQ |，可得4-(m +1)21+k 2=4k 2+1 k 2+2-8m 2k 2+1 2+k 2 2≤4k 2+1 k 2+2-8m 2k 2+22，所以4k 2+2+8m 22+k 22≤(m +1)2k 2+1，即有4k 2+1 k 2+2+8k 2+1 m 22+k 22≤(m +1)2，所以2+2m 2-4k 2+1 k 2+2-8k 2+1 m 2k 2+22≥(m -1)2，即2k 2k 2+2k 2m 2k 2+2-1 =(m -1)2⇒k 2m 2k 2+2-1≥0⇒m 2≥1+2k2又Δ>0，可得m 2<1+k 22，所以1+2k2<1+k 22，解得k 2>2，故|k |>2．同理，若取x 2+(y -1)2=4(y <2)，由对称性，同理可得|k |> 2.综上，可得|k |> 2.14.在平面直角坐标系中，△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为-1,0 ，1,0 ，平面内两点G ，M 同时满足以下3个条件：①G 是△ABC 三条边中线的交点；②M 是△ABC 的外心；③GM ⎳AB ．(1)求△ABC 的顶点C 的轨迹方程；(2)若点P 2,0 与(Ⅰ)中轨迹上的点E ，F 三点共线，求PE ⋅PF 的取值范围．【答案】(1)x 2+y 23=1(y ≠0)；(2)3,92.【解析】(1)设C x ,y ，G x 0,y 0 ，M x M ,y M ，圆锥曲线的轨迹方程问题第11页因为M 是△ABC 的外心，所以MA =MB ，所以M 在线段AB 的中垂线上，所以x M =-1+12=0．因为GM ⎳AB ，所以y M =y 0．又G 是△ABC 三条边中线的交点，所以G 是△ABC 的重心，所以x 0=-1+1+x 3=x 3，y 0=0+0+y 3=y 3，所以y M =y 0=y 3．又MA =MC ，所以0+1 2+y 3-0 2=0-x 2+y 3-y 2，化简得x 2+y 23=1(y ≠0)，所以顶点C 的轨迹方程为x 2+y 23=1(y ≠0)．(2)因为P ，E ，F 三点共线，所以P ，E ，F 三点所在直线斜率存在且不为0，设所在直线的方程为y =k x -2 ，联立y =k x -2 ,x 2+y 23=1,得k 2+3 x 2-4k 2x +4k 2-3=0．由Δ=4k 2 2-4k 2+3 4k 2-3 >0，得k 2<1．设E x 1,y 1 ，F x 2,y 2 ，则x 1+x 2=4k 2k 2+3,x 1⋅x 2=4k 2-3k 2+3.所以PE ⋅PF =1+k 22-x 1 ⋅1+k 22-x 2 =1+k 2 ⋅4-2x 1+x 2 +x 1⋅x 2=1+k 2 ⋅4k 2+3 -8k 2+4k 2-3 k 2+3=91+k 2 k 2+3=9-18k 2+3．又0<k 2<1，所以3<k 2+3<4，所以3<PE ⋅PF <92．故PE ⋅PF 的取值范围为3,92 ．15.已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 是抛物线C :y 2=4x 上两个不同的点，C 的焦点为F ．(1)若直线AB 过焦点F ，且y 21+y 22=32，求AB 的值；(2)已知点P -2,2 ，记直线PA ，PB 的斜率分别为k PA ，k PB ，且k PA +k PB =-1，当直线AB 过定点，且定点在x 轴上时，点D 在直线AB 上，满足PD ⋅AB =0，求点D 的轨迹方程．【答案】(1)AB =10；(2)x 2+y -1 2=5(除掉点-2,0 ).【解析】(1)由抛物线方程知：F 1,0 ，准线方程为：x =-1．圆锥曲线的轨迹方程问题第12页∵AF =x 1+1=y 214+1，BF =x 2+1=y 224+1，∴AB =AF +BF =y 21+y 224+2=10.(2)依题意可设直线AB :x =ty +m ，由y 2=4x x =ty +m得：y 2-4ty -4m =0，则Δ=16t 2+16m >0，∴y 1+y 2=4t y 1y 2=-4m ⋯①∵k PA +k PB =y 1-2x 1+2+y 2-2x 2+2=y 1-2ty 1+m +2+y 2-2ty 2+m +2=-1，∴2ty 1y 2+m +2 y 1+y 2 -2t y 1+y 2 -4m +2 t 2y 1y 2+t m +2 y 1+y 2 +m +2 2=-1⋯②由①②化简整理可得：8t -4m +m 2-4=0，则有m +2-4t m -2 =0，解得：m =2或m =4t -2．当m =4t -2时，Δ=16t 2+64t -32=16t +2 2-96>0，解得：t >-2+6或t <-2-6，此时AB :x =ty +4t -2=t y +4 -2过定点-2,-4 ，不符合题意；当m =2时，Δ=16t 2+32>0对于∀t ∈R 恒成立，直线AB :x =ty +2过定点E 2,0 ，∴m =2.∵PD ⋅AB =0，∴PD ⊥AB ，且A ,B ,D ,E 四点共线，∴PD ⊥DE ，则点D 的轨迹是以PE 为直径的圆．设D x ,y ，PE 的中点坐标为0,1 ，PE =25，则D 点的轨迹方程为x 2+y -1 2=5．当D 的坐标为-2,0 时，AB 的方程为y =0，不符合题意，∴D 的轨迹方程为x 2+y -1 2=5(除掉点-2,0 )．圆锥曲线的轨迹方程问题第13页。

(教师用书)高中数学 2.1 圆锥曲线配套课件苏教版选修1-1

已知 F1(－4，3)，F2(2，3)为定点，动点 P 满足 PF1－PF2 ＝2a，当 a＝2 或 a＝3 时，求动点 P 的轨迹．
【解】由已知可得，F1F2＝6. 当 a＝2 时，2a＝4，即 PF1－PF2＝4＜F1F2，根据双曲线的定义知，动点 P 的轨迹是双曲线的一支(对应于焦点 F2)；当 a＝3 时，PF1－PF2＝6＝F1F2，此时动点 P 的轨迹是射线 F2P，即以 F2 为端点向 x 轴正向延伸的射线．故当 a＝2 时，动点 P 的轨迹是双曲线的一支(对应于焦点 F2)；当 a＝3 时，动点 P 的轨迹是射线 F2P.
●教学流程
演示结束
课标解读
1.了解圆锥曲线的实际背景． 2．理解椭圆、双曲线、抛物线的定义．(重点) 3．能依据圆锥曲线的定义判断所给曲线的形状．(难点)
圆锥曲线
【问题导思】 1 ．平面中，到一个定点的距离为定值的点的轨迹是什么？
【提示】圆．
2．函数 y＝x2 的图象是什么？【提示】开口向上的抛物线． 3．用刀切火腿肠时，截面会有什么形状？【提示】圆、椭圆．
图 2－1－1
【思路探究】
【自主解答】设动圆 M 的半径为 r3，则 MF1＝r1＋r3， MF2＝r2＋r3. ∴MF2－MF1＝(r2＋r3)－(r1＋r3)＝r2－r1＝1，又∵F1F2＝2＋3＝5， ∴MF2－MF1＝1＜5. 由双曲线的定义知，动圆 M 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的双曲线的一支．
【证明】连结 MC(如右图)． ∵MD 是线段 PC 的垂直平分线， ∴MC＝MP.∴MO＋MC＝MO＋MP＝PO＝r 为定值．又∵C 在圆 O 内， ∴OC<r. ∴点 M 的轨迹是以 O、C 为焦点的椭圆．

10.11湖南高考真题之圆锥曲线(教师版)

科目数学年级高三备课人高三数学组第课时10.11湖南高考真题之圆锥曲线1．（2013 湖南14）．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的离心率为___。

【答案】32．（2012 湖南5）．已知双曲线1:2222=-by a x C 的焦距为10 ，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C的方程为（）AA ．152022=-y x B ．120522=-y x C ．1208022=-y x D ．1802022=-y x 3．（2011 湖南5）.设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．1 答案：C4．（2010 湖南14）．过抛物线22(0)x py p =＞的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于,A B 两点，,A B 在x 轴上的正射影分别为,D C ．若梯形ABCD 的面积为122，则p = ．25．（2013 湖南21）．过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ，且122k k +=，1l E 与相交于点A ，B ，2l E 与相交于点C ，D 。

以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N （M ，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l 。

（I ）若120,0k k >>，证明；22FM FN P <；（II ）若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程。

【答案】（Ⅰ）见下（Ⅱ）y x 162= 【解析】 (Ⅰ) ，设),(),,(),,(),,(),,(),,().2,0(3434121244332211y x N y x M y x D y x C y x B y x A pF 02,221211=++-+=p x pk x E px k y l ：方程联立，化简整理得与抛物线方程：直线),(2,20,2211211212112221121p k p k FM p p k y p k x x x p x x p k x x -=⇒+==+=⇒=-=⋅=+⇒),(2,2,222223422134p k p k FN p p k y p k x x x -=⇒+==+=⇒同理. )1(2121222221221+=+=⋅⇒k k k k p p k k p k k FN FM222121221212121212)11(1)1(,122,,0,0p p k k k k p FN FM k k k k k k k k k k =+⋅⋅<+=⋅∴≤⇒≥+=≠>> 所以，22p FN FM <⋅成立. (证毕) （Ⅱ）,)]2(2[21)]2()2[(21,212121121p p k p p k p y p y p r r r N M +=++=+++=⇒的半径分别为、设圆,2同理,221211p p k r p p k r +=+=⇒.,21r r N M 的半径分别为、设圆则21212212)()(r y y x x N M =-+-的方程分别为、，的方程为：，直线l r y y x x 22234234)()(=-+- 0-)(2)(2222123421223421212341234=+-+-+-+-r r y y x x y y y x x x .))(-())(())(()(2)(212123412341234123412212212=++--+--+-+-⇒r r r r y y y y x x x x y k k p x k k p2))((1))(()(2)(2)(2222121222222122212212212212=++-+++-+-+-+-⇒k k k k p k k k k p k k p y k k p x k k p 0202)(1)(222212221=+⇒=+++++--+⇒y x k k p k k p p y x55758751)41()41(2|512||52|),(212112121212==+-+-⋅≥++⋅=+=p p k k p y x d l y x M 的距离到直线点y x p 1682=⇒=⇒抛物线的方程为 .(完)6．（2012 湖南21）．（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在圆222:(5)9C x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点,A B 和,C D .证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点,A B ,,C D 的纵坐标之积为定值.【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得222(5)3x x y +=-+-，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以22(5)5x y x -+=+.化简得曲线1C 的方程为220y x =.解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =.（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.于是0254 3.1k y kk ++=+整理得2200721890.k y k y ++-= ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y yk k +=-=- ②由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④同理可得0234220(4).y k y y k +⋅=⑤于是由②，④，⑤三式得010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=22001212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.7．（2011 湖南21）如图7，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，x 轴被曲线22:C y x b =- 截得的线段长等于1C 的长半轴长。

07 圆锥曲线中的二级结论及应用(教师版)

查补易混易错点07 圆锥曲线中的二级结论及应用圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速摆平一切圆锥曲线压轴小题。

1设P点是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则（1）|PF1||PF2|＝2b21＋cos θ；（2）S△PF1F2＝b2tan θ2；（3）e＝sin∠F1PF2sin∠PF1F2＋sin∠PF2F1.2设P点是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则（1）|PF1||PF2|＝2b21－cos θ；（2）S△PF1F2＝b2tanθ2；（3）e＝sin ∠F1PF2|sin ∠PF1F2－sin ∠PF2F1|.3.设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P是曲线上与A，B不重合的任意一点，则k AP·k BP ＝e2－1.4.设圆锥曲线以M(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.（1）圆锥曲线为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则k AB＝－b2x0a2y0，k AB·k OM＝e2－1.（2）圆锥曲线为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则k AB＝b2x0a2y0，k AB·k OM＝e2－1.（3）圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p＞0)，则k AB＝py0.5.过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A，B两点，且|AF → |＝λ|FB → |，则椭圆的离心率等于1(1)cos λλα-+.6.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A ，B 两点，且|AF → |＝λ|FB → |，则双曲线的离心率等于|λ－1（λ＋1）cos α|.7.过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，则两焦半径长为p 1－cos θ，p 1＋cos θ，1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AB |＝2p sin 2θ，S △AOB ＝p 22sin θ.1.已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1【答案】B【解析】由题意可知k AB ＝－15－0－12－3＝1，k MO ＝－15－0－12－0＝54，由双曲线中点弦中的斜率规律得k MO ·k AB ＝b 2a 2，即54＝b 2a 2，又9＝a 2＋b 2，联立解得a 2＝4，b 2＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1.3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝32，经过右焦点且斜率为k (k ＞0)的直线交椭圆于A ，B 两点，已知AF → ＝3FB →，则k ＝( )A ．1 B.2 C.3 D ．2【答案】B【解析】∵λ＝3，由结论可得，e ＝32，由规律得32cos α＝3－13＋1，cos α＝33，k ＝tan α＝2.4.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6 C.163 D.203【答案】C 【解析】因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.6.已知双曲线C ：()22105x y k k -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且123F PF π∠=，则12F PF △的面积为（）．【答案】C【解析】由()22105x y k k -=>，b =123F PF π∠=，由结论可知122tan 2F PF b S θ==△7.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上异于A ，B 两点，若AP 与BP 的斜率之积为－12，则椭圆的离心率为（）【答案】22【解析】k AP ·k BP ＝－12，e 2－1＝－12，∴e 2＝12，e ＝22.8.在椭圆x 225＋y 29＝1上，△PF 1F 2为焦点三角形，如图所示．(1)若θ＝60°，则△PF 1F 2的面积是________；(2)若α＝45°，β＝75°，则椭圆离心率e ＝________．【答案】(1)33　(2)6－22【解析】(1)由结论得S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，即S △PF 1F 2＝33.（2）由公式e ＝sin （α＋β）sin α＋sin β＝sin 60°sin 45°＋sin 75°＝6－22.9.(2022·荆州模拟)已知P是椭圆x24＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，当∠F1PF2＝π3时，则△PF1F2的面积为________．【答案】3 3【解析】由结论可得：S＝b2tan θ2，可得S＝1·tanπ6＝33.标原点，则|AB |为【答案】12【解析】易知2p ＝3，由结论可得知|AB |＝2psin 2α，所以|AB |＝3sin 230°＝12.15.设F 为抛物线C ：y 2＝16x 的焦点，过F 且倾斜角为6π的直线交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为。

12圆锥曲线(教师版)

第十二讲：圆锥曲线1．已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.D. 2【答案】B【解析】由于焦点在x 轴，由渐近线可知，选B.2．已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点为，则实数的值为（）A. 4B.C. 8D. 【答案】D【解析】双曲线中：，即抛物线的焦点坐标为，结合抛物线的性质可得： . 本题选择D 选项.3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2(0)c c >，抛物线22y cx =的准线交双曲线左支于,A B 两点，且120AOB ∠=，其中O 为原点，则双曲线的离心率为（）A. 2B. 12+C. 13+D. 15+ 【答案】C【解析】如下图：，2cOD =, 32c c A ⎛- ⎝⎭,代入双曲线方程，可得22223144c c a b -=，解得31e =，选C. 点睛：对于求离心率的题，重要的是根据几何关系，或代数关系建立关于,a b 或,a c 的等式，再进一步求出离心率。

4．已知抛物线方程为²4y x =则焦点到准线的距离为（）A. 18B. 14C. 1D. 2【答案】D【解析】由题可知抛物线的焦点为()1,0 ，准线为1x =- ，所以焦点到准线的距离为2 ，故选D.5．已知双曲线2214x y m -=与2218x y m-=有相同的离心率，则m 等于（） A. 6 B. 2 C. 42 D. 42±【答案】C【解析】由题意可得84m m=，所以42m =。

选C. 6．已知12,F F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，若点2F 关于直线0bx ay -=的对称点恰好落在以1F 为圆心， 1OF 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为（）A. 2B. 2C. 3D. 3 【答案】B【解析】由题意可知直线0bx ay -=为12DF F 的中位线所在线，所以直线2F D 为圆的切线， 12122,F F F D c ==，所以直线0bx ay -=的倾斜角为,tan 333b a ππ==， 21132b e a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，如图：，选B.7．设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且123PF PF =，则双曲线的离心率为（）A.212B. 21C. 312D. 31【答案】D【解析】因为()220OP OF F P +⋅=， ()()220OP OF OP OF +⋅-=，所以2220OP OF -=， 21OP OF c OF ===，所以12PF PF ⊥,12Rt PF F ∆中，因为123PF PF =，所以01230PF F ∠=由双曲线的定义得122PF PF a -=，所以231PF =-，所以())212131sin30231231PF a cF F c-====⇒=- ，所以31ca=，故选D 。

圆锥曲线典型题(教师版)

椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。

解：由PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝4，得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3.所以椭圆的标准方程是y 24＋x 23＝1.2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程．解：由椭圆定义知c ＝1，∴b ＝52－1＝24.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 224＝1.二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例：1. 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+y x ；（2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+y x ；三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。

例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．解：因为c 2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9a 2＋4a 2－5＝1，所以a 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1.四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。

例：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112aa x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，4112===a x y k M M OM ，∴42=a ，∴1422=+y x 为所求．五、求椭圆的离心率问题。

2012高考圆锥曲教师版

1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于21F F ，定义中的“绝对值”与2a ＜21F F 不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥21F F ，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）（2）第二定义：平面内一动点P 到一个定点F 和一定直线l 的距离的比是正常数的点的轨迹，即点集M ={P |edPF lp =-}。

（10<<e 为椭圆；1>e 为双曲线；1=e 为抛物线）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“”，其商即是离心率e 。

圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如①已知点)0,22(Q 及抛物线42xy =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）②已知定点(2,A -，F 是椭圆2211612xy+=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使2AM M F +取得最小。

解：显然椭圆2211612xy+=的14,2,2a c e ===，记点M 到右准线的距离为M N则1,22M F e M N M F M N===，即2AM MF AM MN +=+当,,A M N 同时在垂直于右准线的一条直线上时，2AM M F +取得最小值，此时yy M A ==2211612xy+=得x M =±M 在第一象限，M ∴③椭圆13422=+yx内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+ 之值最小，则点M 的坐标为_______（答：)1,362(-）； ④已知双曲线,1169:22=-yxC 的右焦点为F ，点)2,9(A 试在双曲线上求一点M ，使MF MA 53+的值最小？2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by ax （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx ay +＝1（0a b >>），焦点跟大的（即由x 2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上）。

圆锥曲线的定值问题(教师版)

第一篇圆锥曲线专题07定值问题定值问题肯定含有参数，若要证明一个式子是定值，则意味着参数是不影响结果的，也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉，因此解决定值问题的关键是设参数：（1）在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时，注意横坐标要满足圆锥曲线方程）（2）可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式），（3）也可能是斜率（这个是最常用的，但是既然设斜率了，就要考虑斜率是否存在的情况）常用的参数就是以上三种，但是注意我们设参数时要遵循一个原则：参数越少越好。

因此定值问题的解题思路是：（1）设参数；（2）用参数来表示要求定值的式子；（3）消参数。

一个常用的结论：椭圆和双曲线中斜率乘积为定值，即：过原点的直线交椭圆或双曲线于两点,A B ，则在椭圆或双曲线上任取一点P （异于,A B ）则直线,PA PB 的斜率乘积为定值。

22221x y a b +=22221x y a b -=22PA PBb k k a ⋅=-22PA PB b k k a⋅=解决定值问题的方法：方法一：把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，然后再证明结论与特定状态无关（其实就是找特殊量，常用在小题里面）。

例1：过点(,0)M p 任作直线交抛物线22(0)y px p =>于,P Q 两点，则2211||||MP MQ +的值为_____________.【解析】题目过(,0)M p 的直线不固定，不妨令这条直线与x 轴垂直，此时PM MQ ==222111||||MP MQ p +=例2：在椭圆22221x y a b +=上两点,A B 与中心O 的连线互相垂直，则2211||||OA OB +的值为__________.方法二：把相关几何量用圆锥曲线中的参变量表示出来，再证明结论与参数无关。

（常用在大题证明里面，其实就是设参数，常见的参数在一开始就提到），依据所设参数的不同，题型又分为以下几类：题型1：和线段的长度有关，例如线段的加减乘除。

圆锥曲线图表(教师版)

基本专题：（1）求曲线的标准方程方法一：待定系数法方法二．求c b a ,,（2）判断曲线的类型 122=+By A x 类型 022=++C By Ax 类型（3）定义的应用判断所求轨迹的点的性质（4）求曲线的离心率要求曲线离心率，找出关系消去b ，化简之后变成e ，注意范围取正值（5）中点弦问题点差法（设而不求）（6）焦点三角形（正弦定理．余弦定理的应用）（7）弦长公式 ||1||11||1||2122122m k y y kx x k AB ∆+=-+=-+=（8）最值问题注意几何意义（9）圆锥曲线应用题读题--->反复读题--->建立模型--->求解结果--->写出结论（10）直线与圆锥曲线的位置关系（点在曲线外/内/上）（直线：联立，化简，判断△）圆锥曲线的其他有用结论总结一、椭圆中结论：1、点00(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内部的条件：____________________点00(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外部的条件：____________________2、过椭圆22221x y a b +=上一点00(,)P x y 与椭圆相切的直线方程：____________________过椭圆22221x y a b +=外一点00(,)P x y 与椭圆相切得切点弦的方程：____________________过椭圆22221x y a b+=内一点00(,)P x y 的弦与椭圆交点的切线交点轨迹：____________________3、椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点，12F PF θ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为____________________12||||PF PF =__________________ 4、AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则AB K =______________，即OM AB k k ⋅=______________。

(教师用书)高中数学 2.1 圆锥曲线同步教学课件苏教版选修2-1

●教学流程
演示结束
1.掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形．(重点、难点) 课标 2．了解双曲线的定义和几何图解读形．(重点) 3．双曲线
【问题导思】 1．平面中，到一个定点的距离为定值的点的轨迹是什么？【提示】圆．
2．函数 y＝x2 的图象是什么？【提示】开口向上的抛物线． 3．用刀切火腿肠时，截面会有什么形状？【提示】圆、椭圆．
1．用平面截圆锥面能得到的曲线图形是两条相交直线、
圆、椭圆、双曲线、抛物线．
2．设 P 为相应曲线上任意一点，常数为 2a.
定义(自然语言)
数学语言
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 PF1＋PF2 ＝椭于常数(大于 F1F2 )的点的轨迹叫做椭圆圆．两个定点F1，F2 叫做椭圆的焦点， 2a ＞ F1F2 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
若一个动点 P 到两个定点 F1(－1,0)、F2(1,0)的距离之差的绝对值为定值 a(a≥0)，试讨论点 P 的轨迹．
【解】 ∵F1F2＝2，故有
(1)当 a＝2 时，P 点轨迹是两条射线 y＝0(x≥1)或 y＝0(x≤－1)； (2)当 a＝0 时，轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线，即 y 轴； (3)当 0＜a＜2 时，轨迹是以 F1、F2 为焦点的双曲线； (4)当 a＞2 时，轨迹不存在．
抛物线的定义及应用
若动点 M 到点 F(3,0)的距离等于它到直线 x＝－ 3 的距离，那么点 M 的轨迹是什么图形？
●教学建议本节课作为圆锥曲线的起始课程，安排本章的开篇，本节课教材利用平面对圆锥面的不同截法，产生三种不同的圆锥曲线，得出椭圆、双曲线和抛物线的概念．这样既使学生经历概念的形成过程，更有利于从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系．根据问题的难易度及学生的认知水平，要求学生掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求了解其定义，这是建立在学生的最近发展区上的形式化的过程，有利于培养学生的数学化能力，提高数学素养．

(完整版)圆锥曲线经典结论总结(教师版)

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+.13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c -,2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

解圆锥曲线知识点+习题---教师版

（2）（点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例 2、F 是椭圆
x2 y2 1 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P 为椭圆上一动点。 4 3
y A F 0 ′ F P H x
（1） PA PF 的最小值为（2） PA 2 PF 的最小值为分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径 PF 或准线作出来考虑问题。解：（1）4- 5 设另一焦点为 F ，则 F (-1,0)连 A F ,P F
x2 y2 1 的斜率为 1 的弦，求 a 的取值范围. 16 9
例 3：直线 l：ax+y+2=0 平分双曲线
分析：由题意，直线 l 恒过定点 P(0,-2)，平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹，再求轨迹上的点 M 与点 P 的连线的斜率即-a 的范围。解：设 A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线上的点，且 AB 的斜率为 1，AB 的中点为 M(x0,y0)则：
H P F A Q B
y
1 4 2 0 （注：另一交点为( , 2 )，它为直线 AF 与抛物线 ( x 1) 即 y=2 2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 2 )， 2 3 1
的另一交点，舍去）
1 ,1 ）过 Q 作 QR⊥l 交于 R，当 B、Q、R 三点共线时， BQ QF BQ QR 最小，此时 Q 点的纵坐标 4 1 1 为 1，代入 y2=4x 得 x= ，∴Q( ,1 ) 4 4
2
法二：如图， 2 MM 2 AA2 BB2 AF BF AB 3
y M A A1 A2 0 M1 M2
B
∴ MM 2
3 1 3 ，即 MM 1 ， 2 4 2

第12讲解析几何之圆锥曲线的方程(教师版)

第12讲解析几何之圆锥曲线的方程一．基础知识回顾（一）椭圆与椭圆的方程：1．椭圆的概念：在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若________，则集合P为椭圆；(2)若________，则集合P为线段；(3)若________，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质线方程：1．双曲线的概念：平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；(1)当________时，P点的轨迹是________；(2)当________时，P点的轨迹是________；(3)当________时，________．三．抛物线与抛物线的方程1．抛物线的概念：平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的__________，直线l 叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方二．典例精析探究点一：圆锥曲线的定义及应用例1：（1）一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．（2）已知定点A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．（3）已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．解（1）如图所示，设动圆的圆心为C ，半径为r.则由圆相切的性质知，|CO 1|＝1＋r ，|CO 2|＝9－r ，∴|CO 1|＋|CO 2|＝10，而|O 1O 2|＝6，∴点C 的轨迹是以O 1、O 2为焦点的椭圆，其中2a ＝10,2c ＝6，b ＝4.∴动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. （2）设F (x ，y )为轨迹上的任意一点，因为A ，B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上，所以|F A |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴)．所以|F A |＋|CA |＝|FB |＋|CB |.所以|F A |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋52＝2.所以|F A |－|FB |＝2.由双曲线的定义知，F 点在以A ，B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1 (y ≤－1)．（3）将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6>2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知 |P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 坐标为(2,2)．变式迁移1：（1）求过点A (2,0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．（2）已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．（3）已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫14，－1B.⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2) 解：（1）将圆的方程化为标准形式为：(x ＋2)2＋y 2＝62，圆心B(－2,0)，r＝6.设动圆圆心M 的坐标为(x ，y)，动圆与已知圆的切点为C.则|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6.又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6>|AB|＝4.∴点M 的轨迹是以点B(－2,0)、A(2,0)为焦点、线段AB 中点(0,0)为中心的椭圆．a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.∴所求轨迹方程为x 29＋y 25＝1. （2）设动圆M 的半径为r ，则由已知得，|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，∴|MC 1|－|MC 2|＝22，又C 1(－4,0)，C 2(4,0)，∴|C 1C 2|＝8.∴22<|C 1C 2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支．∵a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14.∴点M 的轨迹方程是x 22－y 214＝1 (x ≥2)．（3）A [点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图，|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，－1.]探究点二：求圆锥曲线的标准方程例2求满足下列各条件的圆锥曲线标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)的椭圆方程 (2)经过两点A (0,2)和B ⎝⎛⎭⎫12，3.的椭圆方程（3）已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且过点P (4,3)的双曲线方程．(4) 与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)的双曲线方程 (5)抛物线的焦点F 是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点的抛物线方程 (6)过点P (2，－4)的抛物线方程解：(1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴9a 2＝1，∴a ＝3，又2a ＝3·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴9b 2＝1，∴b ＝3，又2a ＝3·2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.综上可知椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设经过两点A(0,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，3的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2＝1将A ，B 坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝114m ＋3n ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝14∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1. （3）∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，当x ＝4时，y ＝2<y p ＝3， ∴双曲线的焦点在y 轴上．从而有a b ＝12，∴b ＝2a .设双曲线方程为y 2a 2－x 24a 2＝1，由于点P (4,3)在此双曲线上，∴9a 2－164a 2＝1，解得a 2＝5.∴双曲线方程为y 25－x 220＝1. （4）设所求双曲线方程x 29－y 216＝λ (λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为x 29－y 216＝14，即49x 2－y 24＝1. (5)双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px(p >0)且－p 2＝－3，∴p ＝6.∴方程为y 2＝－12x .(6)由于P (2，－4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y 2＝mx (m >0)或x 2＝ny (n <0)，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .变式迁移2：(1)已知椭圆过(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，求椭圆的标准方程．（3）已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，求双曲线的方程(4)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)，求双曲线的方程 (5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．解 (1)当椭圆的焦点在x 轴上时，∵a ＝3，c a ＝63，∴c ＝6，从而b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时，∵b ＝3，c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 227＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m>0，n>0且m ≠n)．∵椭圆经过P 1、P 2点，∴P 1、P 2点坐标适合椭圆方程，则⎩⎪⎨⎪⎧ 6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ②①②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1. （3）由于在椭圆x 29＋y 225＝1中，a 2＝25，b 2＝9，所以c 2＝16，c ＝4，又椭圆的焦点在y 轴上，所以其焦点坐标为(0，±4)，离心率e ＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y 轴上，坐标为(0，±4)，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，且c ＝4，所以a ＝12c ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，于是双曲线的方程为y 24－x 212＝1. (4)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由题意c ＝2 5.又双曲线过点(32，2)，∴(32)2a 2－4b 2＝1.又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1. （5）设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2，准线方程为y ＝p 2.∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2.探究点三：圆锥曲线的几何性质例3：（一）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．（二）已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．（三）过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线和抛物线相交于A ，B 两点，如图所示．(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2；(2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．解：(一)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n.在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°.∵m ＋n ＝2a ，∴m 2＋n 2＝(m ＋n)2－2mn ＝4a 2－2mn.∴4c 2＝4a 2－3mn ，即3mn＝4a 2－4c 2.又mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，∴4a 2－4c 2≤3a 2.∴c 2a 2≥14，即e ≥12.∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.(2)证明由(1)知mn ＝43b 2，∴S △PF1F2＝12mn sin 60°＝33b 2，即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关．（二）(1)由16x 2－9y 2＝144，得x 29－y 216＝1，∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)||PF 1|－|PF 2||＝6，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0，∴∠F 1PF 2＝90°. （三）由抛物线方程可得焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p 2，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋p 2，y 2＝2px ，消去x ，可得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫ky ＋p 2，整理，得y 2－2pky －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2.(2)直线AC 的方程为y ＝y 1x 1x ，∴点C 坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，－py 12x 1，y C ＝－py 12x 1＝－p 2y 12px 1.∵点A (x 1，y 1)在抛物线上，∴y 21＝2px 1.又由(1)知，y 1y 2＝－p 2，∴y C ＝y 1y 2·y 1y 21＝y 2，∴BC ∥x 轴．变式迁移3：（一）已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M (在x 轴上方)向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．（二）已知双曲线C ：x 22－y 2＝1.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)已知M 点坐标为(0,1)，设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记λ＝MP →·MQ →，求λ的取值范围．（三）已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值．解（一）(1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2a ，∴k OM ＝－b 2ac .∵k AB ＝－b a，OM ∥AB ，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c ，故e ＝c a ＝22.(2)设|F 1Q|＝r 1，|F 2Q|＝r 2，∠F 1QF 2＝θ，∴r 1＋r 2＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2(r 1＋r 22)2－1＝0，当且仅当r 1＝r 2时，cos θ＝0，∴θ∈[0，π2]．（二）(1)因为a ＝2，b ＝1，且焦点在x 轴上，所以渐近线方程为y －22x ＝0，y ＋22x ＝0.(2)设P 点坐标为(x 0，y 0)，则Q 的坐标为(－x 0，－y 0)，λ＝MP →·MQ →＝(x 0，y 0－1)·(－x 0，－y 0－1)＝－x 20－y 20＋1＝－32x 20＋2.∵|x 0|≥2，∴λ的取值范围是(－∞，－1]．（三）证明 (1)∵y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2y 2＝2px，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0.∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝p 24，当k 不存在时，直线方程为x ＝p 2，这时x 1x 2＝p 24.因此，x 1x 2＝p 24恒成立．(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.又∵x 1x 2＝p 24，代入上式得1|AF |＋1|BF |＝2p ＝常数，所以1|AF |＋1|BF |为定值．1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( C )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．122．“m >n >0”是方程“mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( D )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( A )A. ⎝⎛⎭⎫π2，πB.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C. ⎝⎛⎭⎫3π4，πD.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 4．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( A )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍5．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 等于( B )A ．－1B ．1 C. 5 D ．－ 5 6．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1 (b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→等于( B )A ．－12B ． 0C ．－2D ．47．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( D ) A. 2 B. 3 C ．2 D ． 3 8．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( B ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．49．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( C )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|10．已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线AB 交抛物线于A 、B 两点，过点A 、点B 分别作AM 、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M 、N 两点，那么∠MFN 必是( A )A ．直角B ．锐角C ．钝角D ．以上皆有可能11．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝16. 12．设圆过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为163． 13．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为62． 14．已知A 、B 是抛物线x 2＝4y 上的两点，线段AB 的中点为M (2,2)，则|AB |＝4 2.15．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为324． 16．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程．(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解:(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎨⎧ y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．17．已知定点A (－1,0)，F (2,0)，定直线l ：x ＝12，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N .(1)求E 的方程；(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由．解:(1)设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝2⎪⎪⎪⎪x －12，化简得x 2－y 23＝1(y ≠0)．(2)①当直线BC 与x 轴不垂直时，设BC 的方程为y ＝k (x －2) (k ≠0)，与双曲线方程x 2－y 23＝1联立消去y ，得(3－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋3)＝0.由题意知，3－k 2≠0且Δ＞0.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，y 1y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[]x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋3k 2－3－8k 2k 2－3＋4＝－9k 2k 2－3.因为x 1，x 2≠－1，所以直线AB 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)．因此M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，3y 12(x 1＋1)，FM →＝⎝⎛⎭⎫－32，3y 12(x 1＋1).同理可得FN →＝⎝⎛⎭⎫－32，3y 22(x 2＋1).因此FM →·FN →＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32＋9y 1y 24(x 1＋1)(x 2＋1)＝94＋－81k 2k 2－34⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋3k 2－3＋4k 2k 2－3＋1＝0.②当直线BC 与x 轴垂直时，其方程为x ＝2，则B (2,3)，C (2，－3)．AB 的方程为y ＝x ＋1，因此M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32，FM →＝⎝⎛⎭⎫－32，32.同理可得FN →＝⎝⎛⎭⎫－32，－32.因此FM →·FN →＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32＋32×⎝⎛⎭⎫－32＝0.综上，FM →·FN →＝0，故FM ⊥FN .故以线段MN 为直径的圆过点F .18．已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹C 于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，所以点C 的轨迹是以F为焦点，l 1为准线的抛物线，∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意直线l 2的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.因为直线PQ 的斜率k ≠0，易得点R 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2k ，－1.RP →·RQ →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ，y 2＋1＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝⎛⎭⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4＝4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋8，∵k 2＋1k2≥2，当且仅当k 2＝1时取到等号．RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.。

(教师用书)高中数学 2.5 圆锥曲线的共同性质配套课件苏教版选修1-1

【提示】
x2 y2 由求轨迹方程方法可得曲线方程为＋＝ 16 12
1.这是椭圆的标准方程，因此椭圆上的点到定点的距离与到定直线的距离之比也是常数．
3．已知曲线上的点 M(x，y)到定点 F(5，0)的距离和它到 16 16 定直线 l：x＝的距离的比是常数，求曲线方程，并说明 5 5 轨迹形状． x2 y 2 【提示】由求轨迹方程方法可得曲线方程为－＝ 16 9 1.这是双曲线的标准方程．因此双曲线上的点到定点的距离与到定直线的距离之比是常数．
(5)将方程化为标准方程 x2＝－4y，它表示开口向下、顶 p 点在原点、对称轴为 y 轴的抛物线，且 2p＝4，＝1，故焦点 2 坐标为(0，－1)，准线方程为 y＝1.
1．已知圆锥曲线方程求焦点坐标、准线方程的一般思路是：首先确定圆锥曲线的类型，其次确定其标准方程的形式，然后确定相关的参数值 a，b，c 或 p，最后根据方程的特征写出相应的焦点坐标、准线方程． 2．注意，椭圆、双曲线有两条准线，而抛物线只有一条准线，应区别对待．
●重点难点重点：圆锥曲线的共同性质及其应用．难点：圆锥曲线的共同性质及其应用． 1 ．如何自然地引出教材思考中提出的等式？采用由 “同”找“同”，类比找“同”的方法，让学生感觉自然、贴切、合理． 2．根据类比抛物线定义要让学生提出例题，那是相当困难的，主要是因为定点坐标与定直线方程是如何给出的，可以借助比值式挖掘几何意义，对比抛物线定义并借助图形直观性提出猜想．
(4)y2＝－2x； (5)x2＋4y＝0.
【思路探究】化方程为标准形式，依此求出 a，b，c， p，再由公式求焦点坐标和准线方程．
【自主解答】 (1)由方程知椭圆焦点在 x 轴上，且 a2＝4， b2＝3，则 c＝ a2－b2＝ 4－3＝1， a2 4 故焦点坐标为(－1，0)，(1，0)，准线方程为 x＝± ＝± c 1 ＝± 4. (2)由方程知双曲线焦点在 x 轴上，且 a2＝122，b2＝52，则 c＝ a2＋b2＝ 122＋52＝13，故焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， a2 122 144 准线方程为 x＝± ＝± ＝± . c 13 13

(教师用书)高中数学 2.5 圆锥曲线的统一定义同步教学课件苏教版选修2-1

2a2 1 ．本例中，两准线间的距离是一个定值，不论双曲 c 线位置如何，均可使用． 2．已知准线方程(或准线间距离)求圆锥曲线方程，该条件使用方法有两个，(1)利用统一定义，(2)直接列出基本量 a， b，c，e 的关系式．
(2013· 成都高二检测)点 M(x， y)与定点(3,0)的距离和它到 25 3 定直线 l：x＝的距离的比是常数，求点 M 的轨迹方程． 3 5
已知准线求圆锥曲线的方程
双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为 4，且经过 A(2 6，3)，求双曲线的方程．
【思路探究】
【自主解答】 (1)若焦点在 x 轴上，则双曲线的方程设 24 9 2 － 2＝1， 2 2 a b x y 为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，由已知得 2 a b 2a ＝4. c ∴a2＝2c，b2＝c2－a2＝c2－2c， 24 9 代入 2 － 2＝1，整理得 c2－14c＋33＝0， a b ∴c＝3 或 c＝11.∴a2＝6，b2＝3 或 a2＝22，b2＝99. x2 y2 x2 y2 ∴双曲线的方程为 6 － 3 ＝1 或22－99＝1.
取过焦点 F，且与准线 l 垂直的直线为 x 轴，F(O)为坐标原点，建立直角坐标系．设点 M 的坐标为(x，y)，则 |OM |＝ x2＋y2. 设直线 l 的方程为 x＝－p，则 |MH|＝ |x＋p |. 把①、②代入 |OM |＝e|MH|，得 x2＋y2＝e|x＋p |. 两边平方，化简得 (1－e2)x2＋y2－2pe2x－p2e2＝0. 这就是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)在直角坐标系中的统义知，M 点的轨迹 25 是椭圆，且右焦点 F(3,0)，相应的右准线 l：x＝， 3 a2 25 16 c 3 ∴ －c＝－3＝且＝ . 3 3 a 5 c

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