圆锥曲线(教师版全套)

圆锥曲线与方程

考纲导读

1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．

3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．

4．了解圆锥曲线的初步应用．

高考导航

圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：

1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：

①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解．

②圆锥曲线的几何性质的应用．

2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．

3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．

4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．

第1课时椭圆

基础过关

1．椭圆的两种定义

(1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距． 注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ． ②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．

(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的 ，定直线l 是 ，常数e 是 ． 2．椭圆的标准方程

(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12

22

2=+

b

y a

x ，其中

( > >0，且=2a )

(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12

22

2=+b x a y ，其中a ，b 满

足： ．

（3）焦点在哪个轴上如何判断？ 3．椭圆的几何性质(对

12

22

2=+b y a x ,a > b >0

进行讨论)

(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．

(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ．

(4) 离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ．

(5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则

=1PF ，1

22PF a PF -== 。

4．焦点三角形应注意以下关系补充画出图形）： (1) 定义：r 1＋r 2＝2a

(2) 余弦定理：21r ＋22r －2r 1r 2cos θ＝(2c )2

(3) 面积：21F PF S ∆＝2

1r 1r 2 sin θ＝2

1·2c | y 0 |(其中P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|

＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)

变式训练

2：已知P （x 0,y 0）是椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）上的任意一点，F 1、

F 2是焦点，求证：以PF 2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切. 证明 设以PF 2为直径的圆心为A ，半径为r .

∵F 1、F 2为焦点，所以由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PF 2|=2r ∴|PF 1|+2r =2a ，即|PF 1|=2（a －r ）连结OA ，由三角形中位线定理，知 |OA |=

.)(22

1

||211r a r a PF -=-⨯= 故以PF 2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.

评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。

变式训练3：在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-1, 0)、B (1, 0), 动点C 满足条件：△ABC 的周长为2＋2 2.记动点C 的轨迹为曲线W . (1)求W 的方程； .

例4. 已知椭圆W 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为

6

3

，两条准线间的距离为6. 椭圆W 的左焦点为F ，过左准线与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆W 交于不同的两点A 、B ，点A 关于x 轴的对称点为C . （1）求椭圆W 的方程； ． 典型例题

小结归纳

1．在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a 、b 、

c 、e 关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效． 2．由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法．步骤是：定型——确定曲线形状；定位——确定焦点位置；定量——由条件求a 、b 、c ，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏． ．

4．“设而不求”，“点差法”等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会．

5．解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，应引起重视．

第2课时 双 曲 线

变式训练4：)已知中心在原点，左、右顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率为3

21的双曲线C 经过点P （6,6），动直线l 经过△A 1PA 2的重心G 与双曲线C 交于不同两点M 、N ，Q 为线段MN 的中点. （1）求双曲线C 的标准方程

5．对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断．

第3课时 抛 物 线

1．抛物线定义：平面内到 和 距离 的点的轨迹

典型例题 基础过关 基础过关