《大学物理》第15章_波动
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S
如果介质是各向同性的，随着球面波向外传播，波的能量将分布在更大 的面积上。于是波的强度将变成：
I
P S
P
4r 2
如果假设波的能量是常数，那么波的强度I与其到振源的距离r的平方成反比：
I
1 r2
如果考虑到振源距离分别是r1和r2的两个点
I1 I2
P / 4r22 P / 4r12
r12 r22
振源+弹性介质
脉冲向右传播 一个传播的波包就相当于一个扰动振源 相邻质元之间的结合力导致了波包的向前传播
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正弦/余弦波 如果振源作简谐振动，并且介质具有良好弹性，那 么波随时间和空间的演变都具有正弦/余弦的形式。 空间上：如果在某一时刻给波动拍一张照片，波 随着位置的变化将具有正弦或余弦的形式。
y
v
A
x
沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：
2
1
2
x2 x1
上页
2 x 下页 返回 退出
x、t 都变化:
实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形
y
v
o
x
x x
在t1和t1+Δt时刻，对应的质点位置用x1和x2表示，则
y(t1)
Acos
则处于负的最大位移处。
A
F
H
G
I
经过T/4，波形曲线如下图所示，它
BC GH
表明原来位于C 和I 间的波形经过 T/4 ，已经传播到A、G 之间来了。
DF
E
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纵波的特征
纵波具有波长、频率和波速的概念。 波长是两个相邻的波密（或两个相邻的波疏）之间的距离； 频率是每秒波疏/波密穿过固定点的数目 波速是每个波疏/波密向前移动的速度，大小等于波长和频
代入粒子的能量公式可以得到： E 2 2Svtf 2 A2
波的能量和振幅的平方成正比，和频率的平方成正比。
能量传播的平均能流P： P E 2 2Svf 2 A2
t
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波的强度I
定义：垂直于波的传播方向上单位面积能流的大小。
I P 2 2vf 2 A2
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§15-4 波函数(余弦表示法)
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 D）随时间的变化关系，即D(x, t) 称
为波函数.
D D(x,t)
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
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波函数：描述介质中各质点的位移随时间的变化关
中A、B、C、D、E、F、G、H、I各质点的运动方向，
并画出经过1/4周期后的波形曲线。
解: 横波传播过程中各个质点在其 平衡位置附近振动，且振动方向与 传播方向垂直。
vC 0
C
B
DE I
A
F
H
G
根据图中的波动传播方向，可知在C 以后的质点B 和A开始振动的时刻总是落后于C点，而在C 以前的
质点 D、E、F、G、H、I 开始振动的时刻却都超前
P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) =
Acos ω
t
-
x v
+
0
波 函 数
因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能 由上式给出。此即所求的沿x 轴正方向前进 的平面简谐波的波函数。
沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数什么样?
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沿x轴正方向传播
波），这个声波脉冲被周围物体反射以后，又再次被动物接收、 感知。回声定位的声波频率是100,000 Hz. （a）试估算海洋动物回声定位声波的波长； （b）如果障碍物距离海洋动物100m，试问，海洋动物发射声 波以后多久能够接收到被障碍物反射的声波？
解题思路：利用公式15-4，表12-1和表13-1，我们能够计算纵波（声波）在海水
时间上：如果观察介质中的某一质元的运动，会 发现其作某一方向的简谐振动。
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描述正弦/余弦波的物理量
波形中的最高点叫做波峰(crest)，最低点叫做波谷(Trough) 振幅是A：表示波峰的高度/波谷的深度 两个相邻波峰间的距离叫做波长，用希腊字母λ（lambda） 表示。波长等于任意两相邻等效点间的距离。 频率f：单位时间内通过某一点的波峰/完整周期的数目 周期T：两个相邻的波峰通过空间同一点所需要的时间 波速v：波峰（或者波形上任意一点）向前传播的速度。
t1
x1 v
0
y(t1
t)
A
cos
t1
t
x2 v
0
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度是多少？
解题思路：首先假设地震波是球面波，因此地震波的辐射强度随着到振源距离的平方 成反比。
解：400km是100km距离的4倍，因此其地震波的辐射强度是100km地点辐
射强度的(
1 4
)
2
1 16
(1.0 106W / m2 ) /16 6.310 4W / m2
I2 I1r12 / r22 (1.0 106W / m2 )(100 km)2 /(400 km)2 6.310 4W / m2
Acos t
2 x1
0
上式代表x1处质点在其平衡位置附近以角频率
作简谐振动。
y
A
O
t
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t 一定:令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。
即
y
A
cos
t1
2
x
0
以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，
它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移 所构成的波形曲线(波形图)。
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思考：是波将海水从远海带到了岸上吗？
波可以传播很远的距离，但是介质（水和细绳）
本身的运动范围却非常有限，介质仅仅是在平衡位置
附近做简谐振动。
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§15-1 波动的特征
随着手（振源）的上下快速抖动， 在绳子（弹性介质）上形成了一 个单独的脉冲。 机械波产生的条件：
率的乘积， v f
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横波的速度
波的速度取决于波传播过程中的介质的特性。
如：被拉伸的细绳中横波的波速，其大小依赖于细绳上的张力 FT
以及细绳单位长度的质量（ 希腊字母mu， m / l ）；
对于小振幅的波，波速： v FT
如图，一列波沿着绳子向前传播。当 一个人的手上下抖动绳子，抖动的频率是 2.0Hz；这时波以4.0m/s的速度向右传播。 如果手抖动绳子的频率由2.0Hz增加到 3.0Hz，那么此时的波速是 （a）1.0m/s（b）2.0m/s（c）4.0m/s（d）8.0m/s（e）16.0m/s
纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行。
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横波和纵波
横波：
波谷
波峰
振动方向
纵波：
传播方向
波密
波疏
注意：在固体中可以传播横波或纵波，在液体、气体 (因无剪切效应)中只能传播纵波。
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例题 设某一时刻绳上横波的波形曲线如下图所示，
水平箭头表示该波的传播方向。试分别用小箭头表明图
t
距离 速度
2(100m ) (1.4 10 3 m /
s)
0.14 s
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其他的波-地震波
当地震发生的时候，可以产生横波（S波）和纵波（P波）
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其他的波——海浪
水波是表面波的一个例子； 表面波是横波与纵波的组合波动。 波浪如何崩塌。绿色箭头表示局部水分子团的运动速度。
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球面波的特征
a) 当波传播的距离增加一倍时，波的强度将减小到
原来的四分之一
I2
/
I1
(
1 2
)
2
1 4
b) 振幅A随着r的增大而减小 A 1 r
例题15-4 地震强度 地震波穿越地壳在距离振源100km的地方被探测到的地
震波强度是 1.0106W / m2 试求：距离振源400km的地方探测到的地震波强
中的速度。波长 v / f
解： （a）纵波在海水（海水的密度比纯净水稍大）中的波速
v
B
2.0 109 N / m2 1.025103 百度文库g / m3
1.4 103 m / s
可以得到：
v f
(1.4 103 m / s) (1.0 105 Hz )
14mm
（b）声波脉冲在动物和障碍物之间来回所需要的时间是：
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纵波的波速 纵波的波速和绳子上的横波波速有相似的形式，
弹性力因子 v 惯性因子
v E
E表示材料的弹性模量
是材料的密度
v B
B表示材料的体弹性模量
是液体或气体的密度
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例题：回声定位是很多动物所使用的一种感知世界的能力，比
如蝙蝠、锯齿鲸、海豚等。这些动物发射一个声波脉冲（纵
比较常见的机械波-水波
石子落在水面产生水波
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比较常见的机械波-细绳上的波 其他形式的波-电磁波
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波与振子的运动速度 波沿着细绳传播的速度和细绳上质点运动的速度相 同吗？
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波与振子的运动速度 波沿着细绳传播的速度和细绳上质点运动的速度相 同吗？
v y
O
P
x
沿x轴负方向传播
v
y
O
P
x
P点落后o点
x v
时间
P点超前o点 x
v
时间
t = t - x v
波函数为：
y(x,t)
t = t + x
Acos[(t
x v
)
v
0
]
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利用关系式 2 2 f 和 vT ，得
T
波函数其它形式
y
A
cos
于C 点。
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在C 达到正的最大位移时，质点B 和A 都沿着正方向 运动，向着各自的正的最大位移行进,质点B 比A 更接近 于自己的目标。
质点F、E、D已经过各自的正的最大位移，而进行
向负方向的运动。
C
质点I、H 不仅已经过了自己的正的 最大位移，而且还经过了负的最大位
BDE
I
移，而进行着正方向的运动。质点G A
2
(t T
x
)
0
y Acos 2 ( ft
x
)
0
y Acos(t y Acos(t
kx 0 )
k 2 角波数
2
x
0
)
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波函数的意义：
x 一定：令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
思考题：假设水波相邻的两个波峰穿过码头的末端 的时间间隔是0.5s，那么（a）频率是0.5Hz；（b） 波速是0.5m/s；（c）波长是0.5m；（d）周期是0.5s
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§15-2 波的种类：横波与纵波 1. 横波
横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直。
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2.纵波
球面波：波面为球面
波线 波 面
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平面波
波 线
波 阵 面
球面波
波 线
波 阵 面
注：
1、在各向同性介质中传播时，波线和波阵面垂直。 2、在远离波源的球面波波面上的任何一个小部份， 都可视为平面波。
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§15-3 波的能量
波动可以将能量从一个地方传递到另一个地方。
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波在一个周期T的时间内，向前传播的距离是一 个波长λ
v /T ｝ v f
f 1/T
例如，波长5m，频率3Hz的波，由于每秒有三个波峰通过某一 点，而波峰与波峰之间的距离是5m，因此，第一个波峰在1s的 时间内将向前传播15m的距离，波形中的其他任意一点也是如 此。所以，波速是15m/s。
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波阵面和波射线
波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成 的面(简称波面)。 波前：在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波 面即是波前。波前只有一个。 波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线 的指向表示波的传播方向。
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平面波：波面为平面
波线 波面
系.
y
yp
v
P
O
t
x
yP(t)= y0(t)
x
t= t - x v
O点处质点的振动表达式为：
y0 (t ') Acos( t ' 0 )
P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) =
y0 (t)
=
y0 (t
-
x v
)
=
Acos ω
t
-
x v
+
0
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对于频率为f的正弦波，当波通过介质中的某个质元时，质元将做简谐振动，如果 假设粒子简谐振动的最大位移（振幅）为A,每个粒子的能量可以表示成:
E
1 2
k A2
2f k
m
k 4 2mf 2
E
1 2
k A2
2 2mf
2 A2
对于一个在弹性介质中传播的三维波，质量 m V Sl Svt
如果介质是各向同性的，随着球面波向外传播，波的能量将分布在更大 的面积上。于是波的强度将变成：
I
P S
P
4r 2
如果假设波的能量是常数，那么波的强度I与其到振源的距离r的平方成反比：
I
1 r2
如果考虑到振源距离分别是r1和r2的两个点
I1 I2
P / 4r22 P / 4r12
r12 r22
振源+弹性介质
脉冲向右传播 一个传播的波包就相当于一个扰动振源 相邻质元之间的结合力导致了波包的向前传播
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正弦/余弦波 如果振源作简谐振动，并且介质具有良好弹性，那 么波随时间和空间的演变都具有正弦/余弦的形式。 空间上：如果在某一时刻给波动拍一张照片，波 随着位置的变化将具有正弦或余弦的形式。
y
v
A
x
沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：
2
1
2
x2 x1
上页
2 x 下页 返回 退出
x、t 都变化:
实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形
y
v
o
x
x x
在t1和t1+Δt时刻，对应的质点位置用x1和x2表示，则
y(t1)
Acos
则处于负的最大位移处。
A
F
H
G
I
经过T/4，波形曲线如下图所示，它
BC GH
表明原来位于C 和I 间的波形经过 T/4 ，已经传播到A、G 之间来了。
DF
E
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纵波的特征
纵波具有波长、频率和波速的概念。 波长是两个相邻的波密（或两个相邻的波疏）之间的距离； 频率是每秒波疏/波密穿过固定点的数目 波速是每个波疏/波密向前移动的速度，大小等于波长和频
代入粒子的能量公式可以得到： E 2 2Svtf 2 A2
波的能量和振幅的平方成正比，和频率的平方成正比。
能量传播的平均能流P： P E 2 2Svf 2 A2
t
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波的强度I
定义：垂直于波的传播方向上单位面积能流的大小。
I P 2 2vf 2 A2
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§15-4 波函数(余弦表示法)
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 D）随时间的变化关系，即D(x, t) 称
为波函数.
D D(x,t)
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
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波函数：描述介质中各质点的位移随时间的变化关
中A、B、C、D、E、F、G、H、I各质点的运动方向，
并画出经过1/4周期后的波形曲线。
解: 横波传播过程中各个质点在其 平衡位置附近振动，且振动方向与 传播方向垂直。
vC 0
C
B
DE I
A
F
H
G
根据图中的波动传播方向，可知在C 以后的质点B 和A开始振动的时刻总是落后于C点，而在C 以前的
质点 D、E、F、G、H、I 开始振动的时刻却都超前
P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) =
Acos ω
t
-
x v
+
0
波 函 数
因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能 由上式给出。此即所求的沿x 轴正方向前进 的平面简谐波的波函数。
沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数什么样?
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沿x轴正方向传播
波），这个声波脉冲被周围物体反射以后，又再次被动物接收、 感知。回声定位的声波频率是100,000 Hz. （a）试估算海洋动物回声定位声波的波长； （b）如果障碍物距离海洋动物100m，试问，海洋动物发射声 波以后多久能够接收到被障碍物反射的声波？
解题思路：利用公式15-4，表12-1和表13-1，我们能够计算纵波（声波）在海水
时间上：如果观察介质中的某一质元的运动，会 发现其作某一方向的简谐振动。
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描述正弦/余弦波的物理量
波形中的最高点叫做波峰(crest)，最低点叫做波谷(Trough) 振幅是A：表示波峰的高度/波谷的深度 两个相邻波峰间的距离叫做波长，用希腊字母λ（lambda） 表示。波长等于任意两相邻等效点间的距离。 频率f：单位时间内通过某一点的波峰/完整周期的数目 周期T：两个相邻的波峰通过空间同一点所需要的时间 波速v：波峰（或者波形上任意一点）向前传播的速度。
t1
x1 v
0
y(t1
t)
A
cos
t1
t
x2 v
0
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度是多少？
解题思路：首先假设地震波是球面波，因此地震波的辐射强度随着到振源距离的平方 成反比。
解：400km是100km距离的4倍，因此其地震波的辐射强度是100km地点辐
射强度的(
1 4
)
2
1 16
(1.0 106W / m2 ) /16 6.310 4W / m2
I2 I1r12 / r22 (1.0 106W / m2 )(100 km)2 /(400 km)2 6.310 4W / m2
Acos t
2 x1
0
上式代表x1处质点在其平衡位置附近以角频率
作简谐振动。
y
A
O
t
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t 一定:令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。
即
y
A
cos
t1
2
x
0
以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，
它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移 所构成的波形曲线(波形图)。
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思考：是波将海水从远海带到了岸上吗？
波可以传播很远的距离，但是介质（水和细绳）
本身的运动范围却非常有限，介质仅仅是在平衡位置
附近做简谐振动。
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§15-1 波动的特征
随着手（振源）的上下快速抖动， 在绳子（弹性介质）上形成了一 个单独的脉冲。 机械波产生的条件：
率的乘积， v f
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横波的速度
波的速度取决于波传播过程中的介质的特性。
如：被拉伸的细绳中横波的波速，其大小依赖于细绳上的张力 FT
以及细绳单位长度的质量（ 希腊字母mu， m / l ）；
对于小振幅的波，波速： v FT
如图，一列波沿着绳子向前传播。当 一个人的手上下抖动绳子，抖动的频率是 2.0Hz；这时波以4.0m/s的速度向右传播。 如果手抖动绳子的频率由2.0Hz增加到 3.0Hz，那么此时的波速是 （a）1.0m/s（b）2.0m/s（c）4.0m/s（d）8.0m/s（e）16.0m/s
纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行。
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横波和纵波
横波：
波谷
波峰
振动方向
纵波：
传播方向
波密
波疏
注意：在固体中可以传播横波或纵波，在液体、气体 (因无剪切效应)中只能传播纵波。
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例题 设某一时刻绳上横波的波形曲线如下图所示，
水平箭头表示该波的传播方向。试分别用小箭头表明图
t
距离 速度
2(100m ) (1.4 10 3 m /
s)
0.14 s
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其他的波-地震波
当地震发生的时候，可以产生横波（S波）和纵波（P波）
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其他的波——海浪
水波是表面波的一个例子； 表面波是横波与纵波的组合波动。 波浪如何崩塌。绿色箭头表示局部水分子团的运动速度。
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球面波的特征
a) 当波传播的距离增加一倍时，波的强度将减小到
原来的四分之一
I2
/
I1
(
1 2
)
2
1 4
b) 振幅A随着r的增大而减小 A 1 r
例题15-4 地震强度 地震波穿越地壳在距离振源100km的地方被探测到的地
震波强度是 1.0106W / m2 试求：距离振源400km的地方探测到的地震波强
中的速度。波长 v / f
解： （a）纵波在海水（海水的密度比纯净水稍大）中的波速
v
B
2.0 109 N / m2 1.025103 百度文库g / m3
1.4 103 m / s
可以得到：
v f
(1.4 103 m / s) (1.0 105 Hz )
14mm
（b）声波脉冲在动物和障碍物之间来回所需要的时间是：
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纵波的波速 纵波的波速和绳子上的横波波速有相似的形式，
弹性力因子 v 惯性因子
v E
E表示材料的弹性模量
是材料的密度
v B
B表示材料的体弹性模量
是液体或气体的密度
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例题：回声定位是很多动物所使用的一种感知世界的能力，比
如蝙蝠、锯齿鲸、海豚等。这些动物发射一个声波脉冲（纵
比较常见的机械波-水波
石子落在水面产生水波
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比较常见的机械波-细绳上的波 其他形式的波-电磁波
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波与振子的运动速度 波沿着细绳传播的速度和细绳上质点运动的速度相 同吗？
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波与振子的运动速度 波沿着细绳传播的速度和细绳上质点运动的速度相 同吗？
v y
O
P
x
沿x轴负方向传播
v
y
O
P
x
P点落后o点
x v
时间
P点超前o点 x
v
时间
t = t - x v
波函数为：
y(x,t)
t = t + x
Acos[(t
x v
)
v
0
]
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利用关系式 2 2 f 和 vT ，得
T
波函数其它形式
y
A
cos
于C 点。
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在C 达到正的最大位移时，质点B 和A 都沿着正方向 运动，向着各自的正的最大位移行进,质点B 比A 更接近 于自己的目标。
质点F、E、D已经过各自的正的最大位移，而进行
向负方向的运动。
C
质点I、H 不仅已经过了自己的正的 最大位移，而且还经过了负的最大位
BDE
I
移，而进行着正方向的运动。质点G A
2
(t T
x
)
0
y Acos 2 ( ft
x
)
0
y Acos(t y Acos(t
kx 0 )
k 2 角波数
2
x
0
)
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波函数的意义：
x 一定：令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
思考题：假设水波相邻的两个波峰穿过码头的末端 的时间间隔是0.5s，那么（a）频率是0.5Hz；（b） 波速是0.5m/s；（c）波长是0.5m；（d）周期是0.5s
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§15-2 波的种类：横波与纵波 1. 横波
横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直。
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2.纵波
球面波：波面为球面
波线 波 面
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平面波
波 线
波 阵 面
球面波
波 线
波 阵 面
注：
1、在各向同性介质中传播时，波线和波阵面垂直。 2、在远离波源的球面波波面上的任何一个小部份， 都可视为平面波。
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§15-3 波的能量
波动可以将能量从一个地方传递到另一个地方。
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波在一个周期T的时间内，向前传播的距离是一 个波长λ
v /T ｝ v f
f 1/T
例如，波长5m，频率3Hz的波，由于每秒有三个波峰通过某一 点，而波峰与波峰之间的距离是5m，因此，第一个波峰在1s的 时间内将向前传播15m的距离，波形中的其他任意一点也是如 此。所以，波速是15m/s。
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波阵面和波射线
波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成 的面(简称波面)。 波前：在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波 面即是波前。波前只有一个。 波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线 的指向表示波的传播方向。
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平面波：波面为平面
波线 波面
系.
y
yp
v
P
O
t
x
yP(t)= y0(t)
x
t= t - x v
O点处质点的振动表达式为：
y0 (t ') Acos( t ' 0 )
P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) =
y0 (t)
=
y0 (t
-
x v
)
=
Acos ω
t
-
x v
+
0
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对于频率为f的正弦波，当波通过介质中的某个质元时，质元将做简谐振动，如果 假设粒子简谐振动的最大位移（振幅）为A,每个粒子的能量可以表示成:
E
1 2
k A2
2f k
m
k 4 2mf 2
E
1 2
k A2
2 2mf
2 A2
对于一个在弹性介质中传播的三维波，质量 m V Sl Svt