知识笔记-2.1测量误差的基础知识1-基本概念
电路与电子知识_测量误差的基本知识
一. 实训目的
掌握测量误差的基本知识
二. 实训内容
1) 实验结果的误差处理 2) 实验数据处理
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2.1
测量误差的基本概念
在实际测量中，由于测量仪器、工具的不 准确，测量方法的不完善以及各种因素的影响， 实验中测得的值和它的真实值之间存在着误差。
误差公理：一切实验结果都具有误差，误差自始
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3) 大数值与小数值都要用幂的乘积的形式来表示。例如， 测得某电阻的阻值为10000Ω ，有效数字为三位时，则应记为 10.0×103Ω 或100×102Ω 。 4) 在计算中，常数(如π 、e等)以及因子的有效数字的位数没有 限制，需要几位就取几位。 5) 当有效数字位数确定以后，多余的位数应一律按四舍五入的规 则舍去，称之为有效数字的修约。 3. 有效数字的运算规则 (1)加减运算：参加运算的各数所保留的位数，一般应与各数小数点 后位数最少的相同。 (2)乘除运算：乘除运算时，各因子及计算结果所保留的位数以百 分误差最大或有效数字位数最少的项为准，不考虑小数点的位置。 (3)乘方及开方运算：运算结果比原数多保留一位有效数字。 (4)对数运算：取对数前后的有效数字位数应相等。
X = X - X0
g = X0 – X = -△X
在高准确度的仪器仪表中，常常给出校正值或校正曲线，因 此，当知道了给出值X及相应的校正值g以后，便可求出被 测量的真值，即：
X0 = X + g
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2.相对误差 绝对误差的表示方法有其不足之处，因为它不能确切地 反映出测量的准确程度，由此又引出了相对误差(又称误差率) 的概念，定义为：测量的绝对误差与被测量的真值的比值，即：
f
1 2 L0 (C S C X )
工程测量 测量误差的基本知识汇总
12
2、衡量精度的指标
衡量精度的指标——用一系列的数值来对一 组观测结果进行评价
中误差
极限误差（容许误差） 相对误差
13
(1) 中误差
中误差——在一定的观测条件下，各个
真误差平方的平均数的平方根
2 2 2 [] 1 2 n m n n
例如：
距离观测值： 3.867 3.864 距离观测值： 3.860 3.862 距离的真值= 3.866，
0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0
和
用直方图表示:
(K/n)/d△ 面积= [(K/n)/d△]* d△= K/n
概率密度函数曲线
-0.8
-0.6
-0.4
0
0.4
0.6
0.8
闭合差
所有面积之和 =k1/n+k2/n+…..=1
偶然误差的特性：
6
二、偶然误差的规律性
在相同的观测条件下，
独立的观测 358个三角形的全部内角，每个三角形 内角之和应等于180度，但由于误差的 影响往往不等于180度，计算各内角和 的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒 进行统计。
真误差 =观测值—真值
i Li 1800
7
误差分布表
误差 区间
4
3、误差的分类
•系统误差
误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观 测过程中按照一定的规律变化，或者为一常数。 •偶然误差
从单个误差看，该误差的大小和符号没有规律， 大量误差的总体服从统计规律性。 •粗差 错误
5
4、误差的消除
系统误差的解决？
测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识本章摘要：本章主要介绍测量误差的种类；偶然误差的统计特征和处理方法；精度的含义；评定测量精度的指标；不同精度指标表达的意义及其适用范围。
§5-1测量误差及分类摘要内容：学习误差理论知识的目的，使我们能了解误差产生的规律，正确地处理观测成果，即根据一组观测数据，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度；同时，根据误差理论制定精度要求，指导测量工作选用适当观测方法，以符合规定精度。
讲课重点：测量误差的概念、测量与观测值分类、测量误差及其来源、测量误差的种类、偶然误差的特性及其概率密度函数。
讲课难点：偶然误差的特性及其概率密度函数。
讲授重点内容提要：一、测量误差的概念人们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差，这种误差在对变量进行观测和量测的过程中反映出来，称为测量误差。
二、测量与观测值通过一定的仪器、工具和方法对某量进行量测，称为观测，获得的数据称为观测值。
三、观测与观测值的分类1.同精度观测和不同精度观测观测条件：构成测量工作的要素包括观测者、测量仪器和外界条件，通常将这些测量工作的要素统称为观测条件。
同精度观测：在相同的观测条件下，即用同一精度等级的仪器、设备，用相同的方法和在相同的外界条件下，由具有大致相同技术水平的人所进行的观测称为同精度观测，其观测值称为同精度观测值或等精度观测值。
反之，则称为不同精度观测，其观测值称为不同（不等）精度观测值。
2.直接观测和间接观测直接观测：为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是所求未知量本身，称为直接观测，观测值称为直接观测值。
间接观测：通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观测，观测值称为间接观测值。
（说明：例如，为确定两点间的距离，用钢尺直接丈量属于直接观测；而视距测量则属于间接观测。
）3.独立观测和非独立观测独立观测：各观测量之间无任何依存关系，是相互独立的观测，称为独立观测，观测值称为独立观测值。
第5章测量误差的基本知识
2.全微分 dD (cos)dD (Dsin) d
3.化为中误差
[(cos15 ) 0.05]2 [(50 sin15 ) 30]2
mD 0.048(m)
六、应用误差传播定律的基本步骤
1. 列出观测值函数的表达式
Z f (x1, x2 ,xn )
2.对函数Z进行全微分
f
f
f
Z ( x1 ) x1 ( x2 ) x2 ( xn ) xn
消除方法 观测值偏离真值的程度称为观测值的准确度。系
统误差对观测值的准确度影响很大，但它们的符号和 大小有一定的规律。因此，系统误差可以采用适当的 措施消除或减弱其影响。
处理原则：找出规律，加以改正。 ◆ 测定系统误差的大小，对观测值加以改正。 如： 钢尺量距中进行尺长、温度、倾斜改正等。 ◆ 校正仪器，将系统误差限制在容许范围内。 ◆ 对称观测，水准测量中，使前后视距离相等 (中间法)；角度观测时，采用盘左盘右取平均值。
n
n
为该量的最可靠的数值，称为“最或是值”。
证明：设某量的真值为X，各次观测值为l1，l2……ln，
相应的真误差为 1，2， ，n ，则 1 l1 X ...2 l2 X
n ln X
相加并除以n得 [] [l] X
nn
X [l] [] x x nn
式中： x 为算术平均值，即 x l1 l2 ln [l]
处理原则：多余观测，制定限差。 为了提高观测值的精度，通常对偶然误差采用如下 处理方法 ◆.提高仪器等级； ◆.进行多余观测； ◆.求平差值。 3.粗差(错误) 测错，记错，算错……。错误在测量成果中不允许 存在。处理原则：细心，多余观测。遵守操作规程、严 格检查制度，及时发现和纠正错误。
测量误差基本知识
◆ 测量误差的分类
（1）系统误差:在一定条件下对某量误差的符号和大小保持不 变后按照一定规律变化（累积性）
（2）偶然误差：在一定条件下进行一系列观测，误差大小和 符号都表现出随机性
n
n
n n
特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小 (d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为 “正态分布曲 线”，又称为 “高斯误差分 布曲线”。 所以偶然误差 具有正态分布 的特性。
•对于一组不同精度的观测值l i ，一
次观测的中误差为mi ，设某次观测
的中误差为m，其权为P0，选定λ= m2，则有：
P0
m2 m2
1
•数值等于1的权，称为单位权；权
等于1的中误差称为单位权中误差， 常用μ表示。对于中误差为mi的观 测值，其权为：
Pi
2
mi2
•相应中误差的另一表示方法为：
mi
(2) f1x1(2) f2x2(2) fnxn(2)
(d)
有k个式
(k) f1x1(k) f2x2(k) fnxn(k)
对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）
2
f12x12
f
2 2
x22
f
2 n
xn2
2 f1 f2x1x2
2 f1 f3x1x3 2 fi f jxix j
对(a)全微分：
dZ
F x1
测量误差的基本知识
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第一节 测量误差概述
根据以上分析，可以概括偶然误差的特征如下: (1)在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值 不会超过一定的限值 (2)绝对值较小的误差出现的频率较大，绝对值较大的误差 出现的频率较小。 (3)绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。 (4)随着观测次数无限增加时，偶然误差的平均值趋近于零。
n 1 该式就是利用观测值的改正数计算等精度观测值中误差的公 式，也称为贝塞尔公式，m代表每一次观测值的精度，故称 为观测值中误差。 m VV
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第四节 等精度独立观测量的最可靠 值与精度评定
3.算术平均值的中误差 设对某量进行了n次观测，每一次观测的中误差为m，则算术 平均值中误差M为:
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第一节 测量误差概述
二、测量误差的来源
测量误差的产生是不可避免的。测量误差主要来自以下三个 方面: (1)仪器条件。 (2)观测者的自身条件。 (3)外界条件。
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第一节 测量误差概述
三、测量误差的分类
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶 然误差。 (一)系统误差 在相同观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果误差的 大小及符号表现出一致性倾向，即按一定的规律变化或保持 为常数，这种误差称为系统误差。
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第四节 等精度独立观测量的最可靠 值与精度评定
二、精度评定
1.观测值的改正数 未知量的最或然值与观测值之差称为观测值的改正数，用V 表示。一列观测值的改正数之和为零，常以此作为计算的检 核。
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第四节 等精度独立观测量的最可靠 值与精度评定
2.观测值中误差 在实际测量工作中，观测量的真值X是不知道的。在等精度观 测中，往往只知道算术平均值x和观测值改正数V。用观测值 的改正数V代替真误差△，来推求观测值的中误差公式。
误差基本知识
对于粗差，应当分析原因，通过补测等方法加以消除。
（三） 粗差
三、偶然误差的特性
偶然误差的定义： 设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测， 得n个观测值 ，则产生了n个真误 差 ：
1
真 误 差
2
真 值
3
观 测 值
具有一定的范围。
绝对值小的误差出现概率大。
－ 2″
4
∑
620
一测回观测值中误差 ″
用最或然误差计算观测值中误差
01
在通常情况下，观测值的真值是不知道的，因此，也就无法根据真误差计算中误差。但是，我们可以根据算术平均值x与观测值l之差，即最或然误差 按下式来计算观测值的中误差，即：
m1<m2，表示第一组观测值的精度高于第二组。
例2、用J6经纬仪对三角形内角观测了5个 测回，计算一测回的观测值中误差。
测回数
观测值
△
△△
1
180°00′16″
＋16″
256
2
179°59′46″
－14″
196
3
180°00′10″
＋ 10″
100
4
179°59′52″
－ 8″
64
5
179°59′58″
1、求改正数 外业观测结果经校核符合要求后，可通过求改正数的方法以消除不符值（闭合差）。 如：多边形内角和与理论值 [（n-2）×180°]存在不符值。 其改正数为 v =﹣w/n 式中：v为改正数，n为多边形边数， w为多边形闭合差。 导线测量中因边长误差引起的坐标增量闭合差，也可通过求改正数的方法予以消除。水准测量中各测站的高差误差导致水准路线产生的高差闭合差，同样可通过求改正数的方法消除。
测量误差的基本知识
2m 3m
p
0.955
p
0.997
容 2 m
容 3 m
三、误差的传播定律
设函数
Z F ( x1 , x2 ,, xn )
xi 为独立变量
xi li i Z f (l1 1 , l2 2 ,ln n )
按泰罗级数展开：
F F F Z f (l1 , l2 ln ) ( x1 x2 xn ) x1 x2 xn
，所
四、等精度直接观测平差
当观测值的真值未知时： 设对某量观测n次,为： 则该量的算术平均值为： 则该量的改正数：
l1 , l2 , , ln
l1 l2 ln [l ] x n n
i i X
vi li x
v l nx 0
2 2 2
mz
2 2 k1 m1
2 2 k2 m2
2 2 kn mn
函数名称
函数式
中误差传播公式
mz Am mz m1 m2
2 2 2 2 2 2 2
倍数函数 Z AX 和差函数 Z X 1 X 2
Z X1 X 2 X n
mz m1 m2 mn
第五章
测量误差的基本知识
内容介绍
•
测量误差的概念 衡量精度的标准
•
•
误差传播定律及应用
一、测量误差的概念
观测误差：观测值与真值之差
i Li X
误差(error)产生的原因： 1、仪器的原因 2、观测者的原因 3、外界环境的原因
等精度观测:
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 粗差、系统误差和偶然误差。 (一)系统误差(system error) 1．定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列 观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规 律变化，这种误差称为系统误差 2．特点： 具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般 的改正或用一定的观测方法加以消除。 例如：钢尺尺长误差、 钢尺温度误差、水准仪 视准轴误差。
知识笔记-2.1测量误差的基础知识1-基本概念
第二章 误差理论§ 2.1测量误差的基础知识§ 2.1.1基本概念一、误差1、真值：指该物理量在测量进行的时间和空间条件下的真实量值。
2、实际值：在每一级比较中，都以上一级标准所体现的值当作准确无误的值，通常称为实际值，也叫做相对真值。
3、标称值：测量器具上标定的数值为标称值。
由于制造和测量精度不够以及环境等因素的影响，标称值不一定等于它的真值或实际值。
4、示值：测量器具指示的被测量的量值，包括数值和单位。
5、测量误差：测量仪表的测得值与被测量的真值之间的差异。
6、等精度测量和非等精度测量：在测量条件不发生变化的前提下对同一被测量进行多次重复测量，叫等精度测量。
二、误差的表示方法1、绝对误差（1）定义：由测量所得到的被测量值x 与其真值A 0的差。
即△x=x- A 0 A 0可用实际值A 代替：△x=x- A 绝对误差是有单位有符号的量（2）修正值（校正值）：与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值称为修正值，用C 表示。
* 测得值与被测量实际值间的偏离程度和方向通过绝对误差来体现，但仅用绝对误差，通常不能说明测量的质量。
2、相对误差（1）定义：测量的绝对误差与被测量的真值之比。
A 0可用实际值A 代替 实际相对误差：100%x A γA ∆=⨯ 示值相对误差：100%x x x γ∆=⨯ （2）满度相对误差 (引用误差)：100%m m m x x γ∆=⨯ * 我国电工仪表的准确度等级S 就是按满度误差分级的,可划分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0七级。
注意：1）在同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。
2）仪表的准确度并不是测量结果的准确度，通常测得值的准确度将低于仪表的准确度等级。
3）在进行量程选择时应尽可能使示值接近满度值，一般以示值不小于满度值的2/3为宜。
（3）分贝误差：分贝误差是用对数形式表示的一种误差，单位为分贝(dB).分贝误差广泛用于增益(衰减)量的测量中。
2-1测量误差的基本概念
第二章
测量误差与数据处理
2.1
测量误差的基本概念
索引
一、测量误差存在的必然性和普遍性 二、有关测量的几个基本概念
三、测量误差的定义
四、误差的表示方法
五、测量误差的来源
六、测量误差的类型
七、测量的准确度、精密度和精确度
一、测量误差存在的 必然性和普遍性
3．引用误差
测量装置测量范围内的最大引用误差，称 为引用误差限Rm，它等于测量装置测量范 围内最大的绝对误差δmax与量程B之比的绝 对值，即
Rm
max
B
1000 0
3．引用误差
测量装置应保证在规定的使用条件下其引 用误差限不超过某个规定值，这个规定值 称为仪表的允许误差。 允许误差能够很好地表征测量装置的测量 准确程度，它是测量装置最主要的质量指 标之一。
测量人员误差：
操作人员素质条件差异，疏忽大意等。
数据处理误差：
数据处理方法不合理，处理过程出错。
六、测量误差的类型
通常根据研究的不同目的，将测量误差按 不同的角度进行分类。 根据测量误差的性质和表现形式，可将 误差分为系统误差、随机误差和粗大误 差。 根据测量装置使用的条件，可将误差分 为基本误差和附加误差。 根据被测量随时间变化的速度，可将误 差分为静态误差和动态误差。
五、测量误差的来源
测量误差的来源，归纳起来有如下几个方 面： 测量方法误差：
依据的测量原理不严密，所采用的测量方法
不完善等。
测量装置误差：
测量装置性能指标达不到要求，安装不符合
要求，使用不当，内部噪声，元器件老化等。
五、测量误差的来源
测量误差的基本知识
第一章 测量误差的基本知识掌握测量误差的基本概念，并能够熟练对测量数据进行误差处理，是物理实验课教学的基本要求之一。
本章主要介绍测量误差的基本知识，并简要介绍了不确定度的基本知识。
1.1 测量误差与分类一、直接测量和间接测量在物理实验中，不仅要观察物理现象，而且要定量测定物理量的大小。
为此，必须规定一些标准单位，如选定质量的单位为千克，长度的单位为米等。
所谓测量，就是将待测量与被选作标准单位的同类物理量进行比较的过程，其比值就是待测物理量的测量值。
测量一般分为直接测量和间接测量两类。
1．直接测量可以用测量仪器或仪表直接读出测量值的测量叫直接测量，相应的物理量叫直接测量量。
例如用螺旋测微计测量长度，天平测量质量，停表测量时间等。
测量量的结果由两部分组成，一部分是被测量与单位标准量的比值，另一部分是单位的名称。
2．间接测量不直接对被测物理量进行测量，而是直接测量那些与被测量有确切函数关系的物理量，然后通过函数计算而得到被测量的过程叫做间接测量，相应的物理量叫简接测量量。
例如测量某长方体的体积V，已知体积V与长方体的长a、宽b、高c的函数关系为V=a·b·c，则先直接测量a、b、c各量，这些量是直接测量量，然后通过计算得到体积V，V就是间接测量量。
由于直接测量简单、快捷，人们总是想方设法利用间接测量量与直接测量量的函数关系设计制造出可以直接测量的仪器设备，把间接测量转化为直接测量，如欧姆表、密度计、压强计等就是这类仪器。
二、测量误差1．真值与测量误差待测物理量的客观存在值，称为该物理量的真值，记为x0。
测量的目的是要得到真值。
但测量受到测量仪器精度的限制，测量方法、测量环境等因素的影响，实际测量值(记为x)与真值之间存在一定的差异，这种差异叫测量误差。
Δx表示测量误差，则测量误差＝测量值－真值即 Δx=x-x0 (1.1.1) 2．算术平均值与测量偏差（1）等精度测量与不等精度测量：为了减小测量误差，往往对同一物理量进行多次重复测量，如果每次的测量条件都相同(同一观测者、同一套仪器、同一种实验原理和方法、同样的环境等)，就没有任何根据可以判断某次测量一定比另一次测量更准确，所以，认为每次测量的精度是相同的，这种重复测量称为等精度测量，测得的一组数据称为测量列。
误差基本理论
§2.2 测量误差的分类和测量结果的表征
一、 测量误差的分类
➢ 根据测量误差的性质，测量误差可分为随机误差、系 统误差、粗大误差三类。
1.随机误差
➢ 定义: 在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、 测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测 量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对 值和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机 误差或偶然误差，简称随差。
2 p(
)d
1
2
2 exp(
2 2 2
)d
2
同样测量数据的数学期望 E(X)＝ ，方差 D(X)＝ 2
✓ 正态分布时概率密度曲线
随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏
差相同，只是横坐标相差
p( )
p(x)
0
(a)随机误差
0
x
(b) 测量数据
图3－1 随机误差和测量数据的正态分布曲线
μ E(X) xi pi
i1
X 为连续型随机变量：
E ( X ) xp( x)dx
② 方差和标准偏差
方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。 设随机变量 X 的数学期望为 E(X)，则 X 的方差定义为：
D(X)= E(X－E(X))2
标准偏差定义为： D( X )
标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，并 且与随机变量具有相同量纲。
分贝误差是用对数形式（分贝数）表示的一种相对误差， 单位为分贝（dB）。
电压增益的测得值为
Ax
误V差o 为
Vi
A Ax A
用对数表示为增益测得值的分贝值 Gx 20lg Ax (dB)
分贝误差
dB
测量误差基础知识
二、偶然误差的特性
偶然误差表面没有规律性，但对同一量多次观测，表现出 一定的统计规律性。
案例 在相同的观测条件下，观测了358个三角形的全部内角，由 于观测存在误差，每一个三角形内角之和Li 都不等于180°，其 差值为三角形内角和的真误差，即△ = Li - 180° 。 将358个三角形内角和的真误差的大小和正负按一定的区 间统计误差个数，列于下表中。
三、评定精度的标准
（二）相对误差 真误差和中误差：有符号,有与观测值相同的单位,它们被
称为“绝对误差”。 相对误差是指误差的绝对值与相应观测值之比，通常以分
子为1、分母为整数的形式K表示。
即
相对误差K越小，精度越高。
相对误差是没有单位的。相对误差随着所用绝对误差的不同 而有不同的名称 。分子、分母长度单位应统一。
解析：DJ6 数字6指野外“一测回方向中误差”≤6″，即m方=±6″，因为一个角度是 两个方向值之差，由和差函数的中误差计算公式得一测回角值的中误差m=8.5″
误差传播定的几个主要公式：
函数名称
函数式
函数的中误差
倍数函数
z kx
mz kmx
和差函数
z x1 x2 xn
mz m12 m22 mn2
线性函数 z k1x1 k2x2 knxn mz k12m12 k22m22 kn2mn2
一般函数
Z f (x1, x2,xn )
2、设对某角观测一测回的中误差为±3″，要使该角的观测精度达到±1.4″，
需观测（ ）个测回。
A、2
B、3
C、4
D、5
解析：算术平均值的中误差
M
m n
得
n
m2 M2
32 1.4
测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识测量工作中，尽管观测者按照规定的操作要求认真进行观测，但在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论值之间仍存在差异。
例如，对某一三角形的三个内角进行观测，其和不等于180°；又如所测闭合水准路线的高差闭合差不等于零等，这说明观测值中包含有观测误差。
研究测量误差的来源、性质及其产生和传播的规律，就可以采取各种措施消除或减小其误差影响，是测量工作者的一项主要任务。
将解决测量工作中遇到的实际问题而建立起来的概念和原理的体系称为测量误差理论。
第一节测量误差的来源及分类一、观测误差产生的原因主要有以下三个方面1．观测者由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、整平、读数等方面都产生误差。
同时观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的质量有直接影响。
2．测量仪器每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受到一定的限度。
同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差，如钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。
3．外界条件观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果产生一定的影响。
外界条件发生变化，观测成果将随之变化。
上述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起来称为观测条件。
观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系，观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为非等精度观测。
二、测量误差的分类观测误差按其对观测成果的影响性质，可分为系统误差和偶然误差两种。
（一）系统误差在相同的观测条件下，对某量作一系列的观测，若误差出现的大小保持为常数，符号相同，或按一定的规律变化，那么这类误差称为系统误差。
例如，用一把名义为30m长、而实际长度为30.02m的钢尺丈量距离，每量一尺段就要少量2cm，该2cm误差在数值上和符号上都是固定的，且随着尺段的倍数呈累积性。
系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累积性，应尽可能消除或限制到最小程度，其常用的处理方法有：1．检校仪器，把系统误差降低到最小程度。
第二章 测量误差的基本概念
数字修约规则：（四舍六入五凑偶） • 以所要保留数字的末位单位为单位，衡量拟舍去数字 的数值情况； • (1)拟舍去数字的数值大于0.5单位者，所要保留数字的 末位加1； • (2)拟舍去数字的数值小于0.5单位者，所要保留数字的 末位不变； • (3)拟舍去数字的数值恰好等于0.5单位者，则使所要保 留数字的末位凑成偶数(即当所要保留数字末位为偶数 时末位不变，若为奇数时则加1）。 • 测量结果被当作中间结果还要进行大量运算时舍入误 差可能迅速积累。所以，除有效数字外可向右多取1— 2位数。
max
xmax
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（4）分贝误差(相对误差的对数表示)
对于电压、电流类电量用分贝(dB)表示的相对误差为 • 对于功率等参量，用分贝(dB)表示的相对误差为
dB 20 lg(1
x ) A0
• • 分贝误差主要用于电子仪器、声学计量。当△x <<A0 时，可简化为下面的关系。 A 0.115 dB • 对于电压、电流等电量： dB 8.69 A • 对于功率等参量： dB 4.34 A
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（2）随机误差：在实际相同的测量条件下多次测量同一 被测量时，误差的绝对值与符号以不可预定方式变化 的误差。 原因：不可避免的一些互不相关的较小因素影响测量 结果产生误差。 只要仪器的分辨力足够高就可发现随机误差现象。 ★单次测量的随机误差虽然没有规律，不可预定也不 能控制，也不能从测量方法上采取措施予以消除，但 是从足够多次测量的总体上看，随机误差服从统计规 律。
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随机误差的特性： • (1)有界性。在多次测量中，随机误差的绝对值实际上 不会超过—定的界限。 • (2)对称性。绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 • (3)抵偿性。在相同测量条件下对同一被测量进行多次 测量，随机误差的算术平均值随着测量次数的无限增 加而趋于零，即随机误差在多次测量中有互相抵消的 特性。 • 抵偿性是随机误差最本质的统计特性，可通过多次测 量取平均值的办法来削弱随机误差对测量结果的影响。 • 此外，很多测量数据的随机误差具有单峰性，即绝对 值小的随机误差比绝对值大的随机误差出现概率大。
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第二章 误差理论
§ 2.1测量误差的基础知识
§ 2.1.1基本概念
一、误差
1、真值：指该物理量在测量进行的时间和空间条件下的真实量值。
2、实际值：在每一级比较中，都以上一级标准所体现的值当作准确无误的值，通常称为实际值，也叫做相对真值。
3、标称值：测量器具上标定的数值为标称值。
由于制造和测量精度不够以及环境等因素的影响，标称值不一定等于它的真值或实际值。
4、示值：测量器具指示的被测量的量值，包括数值和单位。
5、测量误差：测量仪表的测得值与被测量的真值之间的差异。
6、等精度测量和非等精度测量：在测量条件不发生变化的前提下对同一被测量进行多次重复测量，叫等精度测量。
二、误差的表示方法
1、绝对误差
（1）定义：由测量所得到的被测量值x 与其真值A 0的差。
即△x=x- A 0 A 0可用实际值A 代替：△x=x- A 绝对误差是有单位有符号的量
（2）修正值（校正值）：与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值称为修正值，用C 表示。
* 测得值与被测量实际值间的偏离程度和方向通过绝对误差来体现，但仅用绝对误差，通常不能说明测量的质量。
2、相对误差
（1）定义：测量的绝对误差与被测量的真值之比。
A 0可用实际值A 代替 实际相对误差：100%x A γA ∆=⨯ 示值相对误差：100%x x x γ∆=⨯ （2）满度相对误差 (引用误差)：100%m m m x x γ∆=⨯ * 我国电工仪表的准确度等级S 就是按满度误差分级的,可划分为0.1、0.2、0.5、1.0、
1.5、
2.5、5.0七级。
注意：1）在同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。
2）仪表的准确度并不是测量结果的准确度，通常测得值的准确度将低于仪表的准确度等级。
3）在进行量程选择时应尽可能使示值接近满度值，一般以示值不小于满度值的2/3为宜。
（3）分贝误差：分贝误差是用对数形式表示的一种误差，单位为分贝(dB).分贝误差广泛用于增益(衰减)量的测量中。
电压增益等参数用dB 表示的相对误差为
案例
【案例2.1.1】 一个被测电压，其真值U 0为100V ，用一只电压表测量，其指示值U 为101V ，则绝对误差是多少？
解： △U=U-U 0=101-100=1V
【案例2.1.2】 一台晶体管毫伏表的10mV 挡，当用其进行测量时，示值为8mV ，在检定时8mV 刻度处的修正值是-0.03mV ，则被测电压的实际值为多少？
解：实际值为：U=8+(-0.03)=7.97(mV)
【案例2.1.3】 测量两个电压，其实际值为U 1=100V, U 2=5V ，而测得值分别为101V 和6V 。
则绝对误差和相对误差分别为多少？
解：绝对误差为 △U 1=101-100=1V △U 2=6-5=1V
相对误差为：γ1=△U 1/U 1=1% γ2=△U 2/U 2=20%
【案例2.1.4】某电压表S=1.5，试计算出它在0V~100V 量程中的最大绝对值误差。
解：则因∆=⨯=±⨯=±==±γγx S m m m 100 1.5%100 1.5V 1.5
1.5%
【案例2.1.5】 某1.0 级电流表,满度值Xm=100μA ,求测量值分别为X1=100μA ，X2=80μA ， X3=20μA 时的绝对误差和示值相对误差。
解：绝对误差相等：∆=±⨯=±μx 1.0%1001A
=20lg(1+)γΔdB A A U )dB γ=20lg(1+A 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
相对误差：1231A 100%1%100A 1A 100% 1.25%80A 1A 100%5%20A
x
x
x μγμμγμμγμ±=⨯=±±=⨯=±±=⨯=± 【案例2.1.6】要测量100℃的温度，现有0.5 级，测量范围为0~300 ℃；1.0 级测量范围为0~100 ℃的两种温度计，试分析各自产生的示值误差。
解：0.5级的表：
0.5%300 1.5C
=100% 1.5%100m x x γ∆=±⨯=±︒∆⨯=±
1.0级的表：
1.0%1001C
=100% 1.0%100m x x γ∆=±⨯=±︒∆⨯=±。