高考数学填空题解题技巧(20200618095011)

的过程。
例 4、 在 ABC 中 , 角 A 、 B、 C 所对的边分别为 a、b、 c, 如果 a、 b、 c 成等差数列 ,
解法一 ：取特殊值 a＝ 3, b＝4, c＝ 5 ,则 cosA ＝ 4 , cosC＝ 0, cos A cosC 4 。
解法二 ：取特殊角 A ＝ B＝ C＝600
51
3
3
33
3
的取值要用集合表示。故
2、赋值检验 。若答案是无限的、一般性结论时 , 可赋予一个或几个特殊值进行检验
例 19、 已知数列 { an } 的前 n 项和为 Sn 3n 2 2n 1 , 则通项公式 a n =
。
错解： an Sn Sn 1 3n 2 2n 1 [3 (n 1) 2 2( n 1) 1] 6n 1,
。
解 ： 由 于 f (2 t )
f (2 t) ,
故 知 f ( x) 的 对 称 轴 是 x 2 。 可 取 特 殊 函 数 f ( x) ( x 2) 2 , 即 可 求 得
f (1) 1, f (2) 0, f (4) 4 。∴ f (2) f (1) f (4) 。
例 6、 已知 SA, SB, SC 两两所成角均为 60° , 则平面 SAB 与平面 SAC 所成的二面角为
rr
几何意义即表示弦 AB 的长 , 故 |2 a － b |的最大值为 4。
2 为半径的圆上 ,
rr 从而 |2 a － b |的
例 9 、 如 果 不 等 式 4x x 2 ( a 1) x 的 解 集 为 A, 且 A { x | 0 x 2} , 那 么 实 数 a 的 取 值 范 围
是
。
解 ：根据不等式解集的几何意义 , 作函数 y 4x x2 和
余 2 堆各 1 个 , 即构造了球的“堆” ）, 然后从 4 个盒中选出 3 个盒放 3 堆球 , 依分步计算原理 , 符合条件的放法
有
C
2 4
A43
144 （种）。
例 15、椭圆
x2 y2 9 + 4 =1 的焦点
解 ： 构造圆 x2 ＋y2＝ 5, 与椭圆
F1、 F2, x2 y2 9+ 4
点 P 是椭圆上动点 , 当∠ F1PF2 为钝角时 ,
轴平分 , 则 k 的取值范围是
。
A1C1 为 A1C 在 面 B1 D1 与 A1C1 垂直 , 故 底
y kx 3 所得的弦恰好被 x
解 ：左焦点 F 为（－ 2,
0）,
左准线
l：x
＝－
3 2,
因椭圆截直线
y
kx
3 所得的弦恰好被
x 轴平分 ,
故根据椭
圆的对称性知 , 椭圆的中心即为直线
y
kx
3与ຫໍສະໝຸດ Baidux 轴的交点 (
, 要善于通过现象看本质 , 自觉地、
有意识地采取灵活、简捷的解法。
例 1、乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员 , 派 5 名参加比赛。 3 名主力队员要安排在第一、三、五位置 , 其
余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置 , 那么不同的出场安排共有 _________种（用数字作答） 。
。
错解： 设 z a
a 0, a
解得
或
3bi (a, b R) , 则 (3a
, 4 。故 z
i或 z 3
b1 检验： 若 z
b
i , 1.则原方程成立；若
4 z
故原方程有且只有一解 z=- i .
a2 b2 ) 3bi 1 3i ,
i. 3 i , 则原方程不成立。 4
根据复数相等的定义得
2
2
3a a b 1,
3 ,0) ,
由
3
k
k
2,
得0
＜
k
＜
3。 2
（二）减少填空题失分的检验方法
1、回顾检验
例 18、 满足条件 cos
1且
的角 的集合为
。
错解： cos 2
1,
2 cos
4
1,
2 或4 .
3 2 43 2
33
2
检验： 根据题意 , 答案中的
不满足条件
, 应改为
；其次 , 角
正确答案为 { 2 , 2 }.
=1 联立求得交点
x02
＝
9 5
35 x0∈（－ 5 ,
点 P 的横坐标的取值范围是 3 5）
5
6、分析法： 根据题设条件的特征进行观察、 分析 , 从
而得出正确的结论。
例 16、 如右图 , 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中, 时 , 有 A1C B1D1 （填上你认为正确的一个条件
A1 B1
, 力戒小题大
作；稳——变形要稳 , 不可操之过急；全——答案要全 , 力避残缺不齐；活——解题要活 , 不要生搬硬套；细——
审题要细 , 不能粗心大意。
（一）数学填空题的解题方法
1、直接法 ：直接从题设条件出发 , 利用定义、性质、定理、公式等 , 经过变形、推理、计算、判断得到结论
的 , 称为直接法。它是解填空题的最基本、最常用的方法。使用直接法解填空题
结果。
2
3
例 11、 不等式 x ax 的解集为 (4, b) , 则 a _______, b ________。
解 ：设
x
2 t , 则原不等式可转化为：
at 2 t
3
0, ∴ a > 0,
且 2 与 b (b
4) 是方程 at 2
t
3
0 的两
根 , 由此可得： a 1 ,b 36 。
2
2
8
例 12、 不论 k 为何实数 , 直线 y
kx
1 与圆
2
x
2
y
2ax
2
a
2a 4
0 恒有交点 , 则实数 a 的取值范围
是
。
解 ：题设条件等价于点 （ 0, 1）在圆内或圆上 , 或等价于点 （0, 1）到圆 (x a) 2 y 2 2 a 4 , ∴ 1 a 3 。
5、构造法： 根据题设条件与结论的特殊性 , 构造出一些
新的数学形式 , 并借助于它认识和解决问题的一种方法。 例 13、如图 , 点 P 在正方形 ABCD 所在的平面外 , PD⊥
( －1,0)
－2
o
a
－2
由图易知
kPA∈（
1 4,
1）．
4、等价转化法 ： 通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题
件知 , 上述方程应 f′(1)<0
∴ f ′(0)>0 , 得
f ′(2)>0 b- 2
所示 , 而
的几
a -1
P(a, b) 在 区 域 内 ,
, 从而得到正确的
x 12
x2
x2
1 2a 0 , ∴ a 。
2
2、特殊化法 ： 当填空题已知条件中含有某些不确定的量 , 但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示
答案是一个定值时 , 可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的
恰当 特殊值 （或特殊函数 , 或特殊角 , 特殊数列 ,
图形特殊位置 , 特殊点 , 特殊方程 , 特殊模型等） 进行处理 , 从而得出探求的结论 。这样可大大地简化推理、 论证
3b 3.
4、估算检验 。当解题过程是否等价变形难以把握时 , 可用估算的方法进行检验 , 以避免忽视充要条件而产生
逻辑性错误。
b
(－ 3,1)
A (1,2)
围
解 ：f′( x ) ＝ x 2＋ ax ＋ 2 b , 令 f ′( x) ＝ 0, 由条
满足： 一根在 （ 0, 1）之间 , 另一根在 （ 1, 2）之间 , a+2b+1<0
b>0
, 在 aob 坐标系中 , 作出上述区域如图
a+b+2>0 何意义是过两点 P(a, b)与 A(1, 2)的直线斜率 , 而
函数 y ( a 1) x 的图象（如图） , 从图上容易得出实数 a 的取
值范围是 a 2, 。
例 10、 设函数
f(x
)
＝
1 3
x3
＋
1 2 ax
2
＋
2
bx
＋
c
．若当
x∈（ 0,
1）
时 , f (x )取得极大值； x
∈（ 1, 是
2）时 ,
f ( x) 取得极小值 , ．
则
b- 2 a -1
的取值范
若能 根据题目条件的特点 , 作出符合题意的图形 , 做
到 数中思形 , 以形助数 , 并 通过对图形的 直观 分析、判
断 , 则往往可以简捷地得出正确的结果。
r
r
rr
例 8、 已知向量 a = (cos ,sin ) , 向量 b = ( 3, 1) , 则|2 a － b |的最大值是
rr
rr
解 ：因 | 2a | | b | 2 , 故向量 2 a 和 b 所对应的点 A 、 B 都在以原点为圆心 ,
cosA＝ cosC＝ ,
cos A1
ccoossCA cos4C。
5
2 1 cos A cosC 5
则 cos A cosC 1 cos A cosC
1
例 5、 如果函数 f ( x) x2 bx c 对任意实数 t 都有 f (2 t ) f (2 t ) , 那么 f (1), f (2), f (4) 的大小关系是
；⑤若 m, n 为异面直线 , n
, n∥ , m
, m ∥ , 则 ∥ 。则其中正确的命题是
。（把你认为正确的命题序号都填上）
解： 依题意可取特殊模型正方体 AC 1（如图） , 在
正方体 AC 1 中逐一判断各命题 , 易得正确的命题是② ⑤。
3、数形结合法 ：对于一些含有几何背景的填空题 ,
, 如：给定二次曲线的准线
方程、焦点坐标、离心率等等。近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题。
在解答填空题时 , 由于不反映过程 , 只要求结果 , 所以对正确性的要求比解答题更高、更严格 , 《考试说明》
中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”。为此在解填空题时要做到：快——运算要快
。
解： 取 SA=SB=SC, 则在正四面体 S－ ABC 中 , 易得平面 SAB 与平面 SAC 所成的二面角为 arccos1 。
3
例 7、已知 m, n 是直线 , , , 是平面 , 给出下列命题： ①若
,
, 则 ∥ ；②若 n , n
,则
∥ ；③若 内不共线的三点到 的距离都相等 , 则 ∥ ；④若 n , m , 且 n ∥ , m ∥ , 则 ∥
D1
当底面四边形满 足条件
即可 , 不必考虑所有可能性的情形） 。
C1
A
解 ： 因 四棱柱 ABCD A1B1C1D1 为直四棱柱 , 故
B
D
A1B1C1D1 上 的 射 影 , 从而 要 使 A1C B1 D1 , 只 要
C
面四边形 A1 B1C1 D1 只要满足条件 B1D1 A1C1 即可。 例 17、以双曲线 x 2 y2 1 的左焦点 F, 左准线 l 为相应的焦点和准线的椭圆截直线 3
C1100 210)( x2 1)
得展开式中 x10 的系数为
0
2
C10 4C10 =179。
例 3、 已知函数 f ( x)
ax 1 在区间 ( 2,
) 上为增函数 , 则实数 a 的取值范围是
。
解： f (x)
ax 1
x 1 22a
a
,
由复合函数的增减性可知
1 2a
, g(x)
在 ( 2, ) 上为增函数 , ∴
解 ： 三名主力队员的排法有
32
A3 A7 =252 种。
3
A3 种 , 其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置上有
2
A7 种排法 , 故共有排法数
例 2、 ( x 2) 10( x2 1) 的展开式中 x10 的系数为
。
解 ： (x 2)10 (x 2 1) (C100 x10 2C110 x 9 4C120 x8
ABCD, PD=AD, 则 PA 与 BD 所成角的度数为
。
解 ：根据题意可将此图补形成一正方体 , 在正方体中易求
得 PA 与 BD 所成角为 60°。 例 14、4 个不同的小球放入编号为
1, 2, 3, 4
的 4 个盒中 , 则只有 1 个空盒的放法共有
种（用
数字作答）。 解 ：符合条件的放法是： 有一个盒中放 2 个球 , 有 2 个盒中各放 1 个球。 因此可先将球分成 3 堆（一堆 2 个 , 其
, 以避免知识性错误。
an 6n 1.
检验： 取 n=1 时 , 由条件得 a1 S1 6 , 但由结论得 a1=5。 6(n 1),
故正确答案为 an 6n 1( n 2). 3、逆代检验 。若答案是有限的、具体的数据时 , 可逐一代入进行检验 , 以避免因扩大自变量的允许值范围而
产生增解致错。
例 20、 方程 3z | z | 1 3i 的解是
一是定量型 , 要求考生填写数值、数集或数量关系 , 如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大
值或最小值、线段长度、角度大小等等。由于填空题和选择题相比
, 缺少选择支的信息 , 所以高考题中多数是以定
量型问题出现。
二是定性型 , 要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质
高考数学填空题解题技巧
数学填空题在新课标高考数学试卷中总计
4 题 , 20 分 , 占总分的 14%。它和选择题同属客观性试题 , 它们有许
多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中
, 形式灵活 , 答案简短、明确、具体 , 评分客
观、公正、准确等。
根据填空时所填写的内容形式 , 可以将填空题分成两种类型：