2009年全国初中数学联赛

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1

．设1a ，则32312612a a a +--=（ ） A ．24 B ．25 C

．10

D

．12

【解析】

A ．由()2

17a +=，有2226,62a a a a +==-． 于是32312612a a a +--()()3621262612a a a a =-+---

()2261212621224a a a a =+-=+-=

2．在ABC △中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7AB =，8AC =，则BC =（ ） A

． B ．10 C

D

．

【解析】

C ．做A ∠的角平分线交BC 边于

D ．于是7

AB BD AC DC ==．不妨设7

,8BD x DC x ==，由BAD BAC △∽△，有BD AB AB BC =，即77715x x =，于是x ，15BC x =

3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]2

230x x --=的解的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【解析】

C ．原问题等价于函数23y x =-与函数[]2y x =的图像的交点个数问题．观察出交点个数为3个．方程的解分别为2,3x x =-=，另一个位于2，3之间．

4．设正方形ABCD 的中点为点O ，在以五个数A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ ）

A ．314

B ．37

C ．12

D ．47

【解析】

B ．不妨设三角形边长为1，则三角形的面积有两种，一种是1

4

，形如ABO △，有4个；一种是1

2

，形如ABD △，有4个．于是对于这8个三角形，先选出任意一个，再选出其余7个三角形中面积和它相等的三角形（共3个）中的一个，概率为

3

7

．

5．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，以BC 为直径在矩形内作半圆， 自点A 作半圆的切线AE ，则

sin CBE ∠=（ ）

A B ．23 C ．13 D

E

C

B

D

A

【解析】 D ．取BC 中点F ，连接AF ，则CBE BAF ∠=∠，于是

sin sin CBE BAF ∠=∠==

6．设n 是大于1909的正整数，使得

1909

2009n n

--为完全平方数的n 的个数是（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

【解析】 B ．由1909100120092009n n n -=-+--，而100

2009n -可能取整数2,5,4,10,25,50,100．

若10012009n --为完全平方数，则有1002,5,10,502009n

=-．于是这样的n 有4个．

二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1．已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则()()

22

11a b --

的最小值是 ．

【解析】

3-．2,1a b ab t +==-，又由0∆≥知2t 1≤≤．于是()()()

222222111a b a b a b --=+-+ 24t =-．于是当1t =时代数式有最小值3-．

2．设D 是ABC △ 的边AB 上的一点，作DE BC ∥交AC 于点E ，作DF AC ∥交BC 于点F ，已知

ADE △、DBF △的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为 ．

【解析】 ADE BDF △∽△，相似比为

AD

DB

．观察到DEF △的面积等于m 和n 的等比中项，所以所求答案为

3．如果实数a ，b 满足条件221a b +=，22

1221a b a b a -+++=-，则a b += ．

【解析】 1-．分情况讨论，可得221221a b a b a -+++=-或22

(12)21a b a b a --+++=-．如果是第

一种，则222b b a +=-，消去a 可得2230b b --=，可得1b =-或3

2

．经检验，1,0

b a =-=符合，所求结果为1-； 如果是第二种，则224a b b a -=-．因为去绝对值符号的时候有120a b -+≤，即21a b +≥，而10b +≥，则设法凑出含有1b +的形式．因为2240a a b b +--=，所以

222211

4()22

a a

b b a b +--++=，即22238(1)4a a b a +=+≤，所以8a ≥或0a ≤，因此只能

有0a =，和第一种情况是同一个解．

4．已知a ，b 是正整数，且满足2是整数，则这样的有序数对()a b ，共有 对． 【解析】 7．显然两个根式的值都是有理数（否则把它平方即可发现）．穷举，可能是1+1，

112+， 1122+，1144+，11

36

+，考虑顺序，共7种．

第二试（A ）

一、（本题满分20分）

已知二次函数()2

0y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C ．设ABC △的