2009年全国初中数学联赛

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．设1a ，则32312612a a a +--=（ ） A ．24 B ．25 C．10D．12【解析】A ．由()217a +=，有2226,62a a a a +==-． 于是32312612a a a +--()()3621262612a a a a =-+---()2261212621224a a a a =+-=+-=2．在ABC △中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7AB =，8AC =，则BC =（ ） A． B ．10 CD．【解析】C ．做A ∠的角平分线交BC 边于D ．于是7AB BD AC DC ==．不妨设7,8BD x DC x ==，由BAD BAC △∽△，有BD AB AB BC =，即77715x x =，于是x ，15BC x =3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]2230x x --=的解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】C ．原问题等价于函数23y x =-与函数[]2y x =的图像的交点个数问题．观察出交点个数为3个．方程的解分别为2,3x x =-=，另一个位于2，3之间．4．设正方形ABCD 的中点为点O ，在以五个数A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ ）A ．314B ．37C ．12D ．47【解析】B ．不妨设三角形边长为1，则三角形的面积有两种，一种是14，形如ABO △，有4个；一种是12，形如ABD △，有4个．于是对于这8个三角形，先选出任意一个，再选出其余7个三角形中面积和它相等的三角形（共3个）中的一个，概率为37．5．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，以BC 为直径在矩形内作半圆， 自点A 作半圆的切线AE ，则sin CBE ∠=（ ）A B ．23 C ．13 DECBDA【解析】 D ．取BC 中点F ，连接AF ，则CBE BAF ∠=∠，于是sin sin CBE BAF ∠=∠==6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 B ．由1909100120092009n n n -=-+--，而1002009n -可能取整数2,5,4,10,25,50,100．若10012009n --为完全平方数，则有1002,5,10,502009n=-．于是这样的n 有4个．二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1．已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则()()2211a b --的最小值是 ．【解析】3-．2,1a b ab t +==-，又由0∆≥知2t 1≤≤．于是()()()222222111a b a b a b --=+-+ 24t =-．于是当1t =时代数式有最小值3-．2．设D 是ABC △ 的边AB 上的一点，作DE BC ∥交AC 于点E ，作DF AC ∥交BC 于点F ，已知ADE △、DBF △的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为 ．【解析】 ADE BDF △∽△，相似比为ADDB．观察到DEF △的面积等于m 和n 的等比中项，所以所求答案为3．如果实数a ，b 满足条件221a b +=，221221a b a b a -+++=-，则a b += ．【解析】 1-．分情况讨论，可得221221a b a b a -+++=-或22(12)21a b a b a --+++=-．如果是第一种，则222b b a +=-，消去a 可得2230b b --=，可得1b =-或32．经检验，1,0b a =-=符合，所求结果为1-； 如果是第二种，则224a b b a -=-．因为去绝对值符号的时候有120a b -+≤，即21a b +≥，而10b +≥，则设法凑出含有1b +的形式．因为2240a a b b +--=，所以2222114()22a ab b a b +--++=，即22238(1)4a a b a +=+≤，所以8a ≥或0a ≤，因此只能有0a =，和第一种情况是同一个解．4．已知a ，b 是正整数，且满足2是整数，则这样的有序数对()a b ，共有 对． 【解析】 7．显然两个根式的值都是有理数（否则把它平方即可发现）．穷举，可能是1+1，112+， 1122+，1144+，1136+，考虑顺序，共7种．第二试（A ）一、（本题满分20分）已知二次函数()20y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ．⑴ 证明：P ⊙与y 轴的另一个交点为定点．⑵ 如果AB 恰好为P ⊙的直径且2ABC S =△，求b 和c 的值．【解析】⑴ 易求得点C 的坐标为()0c ，， 设()10A x ，，()20B x ，，则12x x b +=-，12x x c =． 设P ⊙与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA OB OC OD ⨯=⨯则121x x c OA OB OD OC c c⨯====． 因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上， 所以点D 为定点，它的坐标为()01，． ⑵ 因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为()01-，， 即1c =-．又12AB x x =-所以122ABC S AB OC =⋅△，解得b =±．二、（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是ADC △、BDC △的内心，3AC =，4BC =，求12I I ．I 2I 1CABBACE DFI 1I 2【解析】 作1I E AB ⊥于E ，2I F AB ⊥于F ．在直角三角形ABC 中，3AC =，4BC =，5AB =．又CD AB ⊥，由射影定理可得295AC AD AB ==， 故165BD AB AD =-=，125CD ．因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以()11325I E AD CD AC =+-=．连接1DI 、2DI ，则1DI 、2DI 分别是ADC ∠和BDC ∠的平分线， 所以112245I DC I DA I DC I DB ∠=∠=∠=∠=，故1290I DI ∠=，所以12I D I D ⊥，1113325sin sin 45I E DI ADI ===∠． 同量，可求得245I F =，2DI ． 所以12I I三、（本题满分25分）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++=① 14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②【解析】证法1：将①②两式相乘，得()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab +-+-+-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭， 即()()()2222228b c a c a b a b c bcca ab+-+-+-++=，即()()()222222440b c a c a b a b c bccaab+-+-+--+-+=，即()()()2222220b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=， 即()()()()0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=⎡⎤⎣⎦， 即()22220b c a ab a b c abc -+⎡⎤--+=⎣⎦， 即()()220b c a c a b abc -+⎡⎤--=⎣⎦， 即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， 所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=．证法2：结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=， 变形，得()2221102424a b c abc -++=③ 又由①式得()21024a b c ++=，即()22210242a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得()110242102424ab bc ca abc --++=⎡⎤⎣⎦，即()164096abc ab bc ca =++-．()()()()()331616161625616409625632160a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-=-+⨯-=， 所以16a =或16b =或16c =．结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=．第二试（B ）一、（本题满分20分）已知二次函数()20y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ．⑴ 证明：P ⊙与y 轴的另一个交点为定点．⑵ 如果AB 恰好为P ⊙的直径且2ABC S =△，求b 和c 的值．【解析】⑴ 易求得点C 的坐标为()0c ，， 设()10A x ，，()20B x ，，则12x x b +=-，12x x c =． 设P ⊙与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA OB OC OD ⨯=⨯则121x x c OA OB OD OC c c⨯====． 因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上， 所以点D 为定点，它的坐标为()01，． ⑵ 因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为()01-，， 即1c =-．又12AB x x =-所以122ABC S AB OC =⋅△，解得b =±．二、（本题满分25分）已知ABC △中，90ACB ∠=，AB 边上的高线CH 与ABC △的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：DE AB ∥．ACBHNMF P EQQEP F MNHBC A【解析】 因为BN 是ABC ∠的平分线，所以ABN CBN ∠=∠．又因为CH AB ⊥，所以9090CQN BQH ABN CBN CNB ∠=∠=-∠=-∠=∠， 因此CQ NC =．又F 是QN 的中点，所以CF QN ⊥，所以90CFB CHB ∠==∠， 因此C 、F 、H 、B 四点共圆．又FBH FBC ∠=∠，所以FC FH =，故点F 在CH 的中垂线上．、 同理可证，点E 在CH 的中垂线上．因此EF CH ⊥，又AB CH ⊥，所以EF AB ∥．三、（本题满分25分）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++=① 14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②【解析】证法1：将①②两式相乘，得()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab +-+-+-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭， 即()()()2222228b c a c a b a b c bcca ab+-+-+-++=，即()()()222222440b c a c a b a b c bccaab +-+-+--+-+=，即()()()2222220b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=， 即()()()()0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=⎡⎤⎣⎦， 即()22220b c a ab a b c abc -+⎡⎤--+=⎣⎦， 即()()220b c a c a b abc -+⎡⎤--=⎣⎦， 即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， 所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=．证法2：结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=， 变形，得()2221102424a b c abc -++=③ 又由①式得()21024a b c ++=，即()22210242a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得()110242102424ab bc ca abc --++=⎡⎤⎣⎦，即()164096abc ab bc ca =++-．()()()()()331616161625616409625632160a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-=-+⨯-=， 所以16a =或16b =或16c =．结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=．第二试（C ）一、（本题满分20分）已知二次函数()20y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ．⑴ 证明：P ⊙与y 轴的另一个交点为定点．⑵ 如果AB 恰好为P ⊙的直径且2ABC S =△，求b 和c 的值．【解析】⑴ 易求得点C 的坐标为()0c ，， 设()10A x ，，()20B x ，，则12x x b +=-，12x x c =． 设P ⊙与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA OB OC OD ⨯=⨯则121x x c OA OB OD OC c c⨯====． 因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上， 所以点D 为定点，它的坐标为()01，． ⑵ 因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为()01-，， 即1c =-．又12AB x x =-所以122ABC S AB OC =⋅△，解得b =±．二、（本题满分25分）已知ABC △中，90ACB ∠=，AB 边上的高线CH 与ABC △的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：DE AB ∥．ACBHNMF P EQQEP F MNHBC A【解析】 因为BN 是ABC ∠的平分线，所以ABN CBN ∠=∠．又因为CH AB ⊥，所以9090CQN BQH ABN CBN CNB ∠=∠=-∠=-∠=∠， 因此CQ NC =．又F 是QN 的中点，所以CF QN ⊥，所以90CFB CHB ∠==∠， 因此C 、F 、H 、B 四点共圆．又FBH FBC ∠=∠，所以FC FH =，故点F 在CH 的中垂线上．、 同理可证，点E 在CH 的中垂线上．因此EF CH ⊥，又AB CH ⊥，所以EF AB ∥．三、（本题满分25分）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++=① 14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②【解析】解法1：将①②两式相乘，得()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab +-+-+-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭， 即()()()2222228b c a c a b a b c bcca ab+-+-+-++=，即()()()222222440b c a c a b a b c bccaab +-+-+--+-+=，即()()()2222220b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=， 即()()()()0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=⎡⎤⎣⎦， 即()22220b c a ab a b c abc -+⎡⎤--+=⎣⎦， 即()()220b c a c a b abc -+⎡⎤--=⎣⎦， 即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， 所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=．90．解法2：结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=， 变形，得()2221102424a b c abc -++=③ 又由①式得()21024a b c ++=，即()22210242a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得()110242102424ab bc ca abc --++=⎡⎤⎣⎦，即()164096abc ab bc ca =++-．()()()()()331616161625616409625632160a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-=-+⨯-=， 所以16a =或16b =或16c =．结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=．90．。