七升八暑假讲义第14讲 两个重要的定理 教案

精锐教育学科教师辅导教案

建议5min

已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正△APC和正△BPD，AD 和BC交于点M．

（1）当AP等于BP时，求∠AMC的度数；

（2）将点P在线段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α，当α＜60°时，旋转过程中，∠AMC的度数是否发生变化？证明你的结论．

（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°＜α＜120°，∠AMC的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC的度数．

教法指导：此题较难，根据实际情况选择是否跟学生讲

（2）首先证得△APD≌△CPB，然后根据三角形的外角的性质即可求解；

（3）旋转的过程中，（2）中得两个三角形的全等关系不变，因而角度不会变化

参考答案：

（1）当AP=BP时，

AM=AC且AM平分∠CAB，

此时∠MAB=∠MBA=30°，

∠AMC=2∠MAB=2×30°=60

（2）不变化．

证明：如图，点E在AP的延长线上，

∠BPE=α＜60°．（只要画出了符合题意的图形即可得分）

∵∠BPC =∠CPD +60°， ∠DPA =∠CPD +60°， ∴∠BPC =∠DPA ． 在△BPC 和△DPA 中， 又∵BP =DP ，PC =PA ，

∴△BPC ≌△DPA ．…（4分） ∴∠BCP =∠DAP ． ∴∠AMC =180°-∠MCP -∠PCA -∠MAC =120°-∠BCP -∠MAC =120°-（∠DAP +∠MAC ）-∠PCA =120°-∠PAC =60°，且与α的大小无关．…（6分）

（3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°． 理由：∵△APC 是等边三角形， ∴PA =PC ，∠APC =60°， ∵△BDP 是等边三角形， ∴PB =PD ，∠BPD =60°， ∴∠APC =∠BPD ， ∴∠APD =∠CPB ， ∴△APD ≌△CPB ， ∴∠PAD =∠PCB ，

∵∠QAP +∠QAC +∠ACP =120°， ∴∠QCP +∠QAC +∠ACP =120°， ∴∠AQC =180°-120°=60°

建议10min

（1）请用尺规作图，分别作出如下图形中的线段垂直平分线和角平分线。

（2）请用全等的知识说明如上作图就是垂直平分线和角平分线。

教法说明：引导学生用圆规画出线段的中垂线及角的平分线，总结画图的每一步的操作及理论依据，结合七年级下册全等三角形的判定，证明垂直平分和角平分线。 案例1：线段的垂直平分线

A B

O

B

A

建议70min

知识点一（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上） 【知识梳理】 【例题精讲】

例1.已知：如图，在△ABC 中，OM 、ON 分别是AB 、AC 的垂直平分线，OM 与ON 相交与点O ．

求证：点O 在BC 的垂直平分线上．

分析：要引导学生想到本例的关键在于分别联结OB 、OA 、OC ． 证明：（略）

【巩固练习】

1.如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =2AC ，AD 平分∠BAC ，求证：点D 在AB 的垂直平分线上．

证明：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ， ∵∠C =90°，AD 平分∠BAC ， ∴CD =DE （角平分线的性质）， 在△ADC 和△ADE 中， △ADC ≌△ADE （HL ），

∴AE =AC （全等三角形对应边相等），

O

B

C

A

M

N

O

B

C

A

M

N

【巩固练习】

1.如图所示，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，且BD CD =．

求证：BE CF =．

证明：∵AD 平分∠BAC （已知） 即∠CAD =∠EAD （角平分线的性质） ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC

∴∠AED =∠AFD =90°（直角的性质） ∵AD =AD (公共边) ∴△AFD ≌△AED (AAS ) ∴FD =DE ,AF =AE ∵BD =CD ,DF =DE ∴RT △CDF ≌RT △EDB (HL ) ∴BE =CF

2.如图，OC 平∠AOB 分，P 是OC 上一点，D 是OA 上一点，E 是OB 上一点，且PD =PE ，

求证：∠PDO +∠PEO =180°。

提示：由于OC 是角平分线，故可过P 点作两边的垂线，构造出两个直角三角形，再证明这两个三角形全等即可。

B

A

C

O

P

D E

Ｄ

Ｅ Ｂ Ａ

Ｆ Ｃ

建议15min

1.课堂错题收集

1.学霸笔记本：教师引导学生借助知识脑图总结重难点

建议15min

建议5min

课后巩固

预习思考

1、等边三角形ABC和等边三角形DEF，D在AC边上。延长BD交CE延长线于N，延长AE交BC延长线于M。求证：CM CN

2、想一想，有哪些证明线段相等的方法？

A

B C

E

M

N

D