人教版数学《因式分解》精美版
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课件《因式分解》精美PPT课件_人教版2
（2）S1=S2，相同的两2个长方形拼成的两个图形的面积相等，即都等于这两个长方形面积的和.
解：原式＝（a2+1）（a+1）（a-1）.
原式＝3x（2x+1）（2x-1）.
-2x（x+1）（x-1）
（3b+2a）（3b-2a）
3（x+2）（x-2）
解：原式＝（m-2）（n+1）（n-1）．
； .
6. （例 2）分解因式：
三级检测练
一级基础巩固练
14. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）
；
（2）4b2-a2=
（2b+a）（2b-a）
；
（3）9b2-4a2=
（3b+2a）（3b-2a）
.
15. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是
（D ）
A. 2a2-b2
B. y2+9
C. -x2-y2
D. x2-1
（2）2m（2m-3）+6m-1. （2b+a）（2b-a）
原式＝y（3x+1）（3x-1）.
2y（x+2）（x-2）
解：原式＝（m-2）（n+1）（n-1）．
（2）S1=S2，相同的两个长方形拼成的两个图形的面积相等（x+1）（x-1）
解：原式＝（4x2+1）（4x2-1）
3. 平方差公式：
整式乘法：（a+b）（a-b）= a2-b2
；
分解因式：a2-b2=
（a+b）（a-b）
.
4. （例 1）分解因式：
（1）x2-4=
（x+2）（x-2）
解：原式＝（a2+1）（a+1）（a-1）.
原式＝3x（2x+1）（2x-1）.
-2x（x+1）（x-1）
（3b+2a）（3b-2a）
3（x+2）（x-2）
解：原式＝（m-2）（n+1）（n-1）．
； .
6. （例 2）分解因式：
三级检测练
一级基础巩固练
14. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）
；
（2）4b2-a2=
（2b+a）（2b-a）
；
（3）9b2-4a2=
（3b+2a）（3b-2a）
.
15. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是
（D ）
A. 2a2-b2
B. y2+9
C. -x2-y2
D. x2-1
（2）2m（2m-3）+6m-1. （2b+a）（2b-a）
原式＝y（3x+1）（3x-1）.
2y（x+2）（x-2）
解：原式＝（m-2）（n+1）（n-1）．
（2）S1=S2，相同的两个长方形拼成的两个图形的面积相等（x+1）（x-1）
解：原式＝（4x2+1）（4x2-1）
3. 平方差公式：
整式乘法：（a+b）（a-b）= a2-b2
；
分解因式：a2-b2=
（a+b）（a-b）
.
4. （例 1）分解因式：
（1）x2-4=
（x+2）（x-2）
数学人教版《因式分解》完美版
（3）9（x+1）2＝（2x-5）2 ；
分析：移项易发现符合平方差公式，考虑 用因式分解法.
1.用因式分解法解下列方程：
(1) (x－5)(x+2)=18 (2) (2a－3)2=(a－2)(3a－4)
(3) 2 y2=3y
数学人教版《因式分解》完美版1
(4) x2+7x+12=0 (5) t(t+3)=28 (6) (4x－3)2=(x+3)2
（2）1﹣x=x2．
解：∵x2﹣6x=﹣6， ∴x2﹣6x+9=﹣6+9， 即（x﹣3）2=3， 则 x-3=±
∴x1=3+ ,x2=3-
解：方程整理得：x2+x﹣1=0， 这里a=1，b=1，c=﹣1， ∵△=1+4=5，
∴ x=
∴ x1=
, x2=
二、新课引入
1、因式分解 （1）x2－5x= x(x-5) ；
第二十一章 一元二次方程
21.2.3 因式分解法
复习引入:
1、已学过的一元二次方程解法
有哪些？
直接开平方法
配方法 公式法
2、请用已学过的方法解方程 x2 =4 (任选一种)
3.分别用配方法和公式法解下列方程：
（1） x2﹣6x+6=0． （2）1﹣x=x2．
用配方法解方程
用公式法解方程
（1）x2﹣6x+6=0．
3．解方程：3（x﹣2）2=2﹣x． 解：方程整理得：3（x﹣2）2﹣2+x=0，
分解因式得：（x﹣2）（3x﹣6+1）=0， 可得x﹣2=0或3x﹣5=0，
∴x1=2 ，x2=
数学人教版《因式分解》完美版1
数学人教版《因式分解》上课课件
十字相乘法
竖分两端交叉验，交叉相乘和中间，横写因式不能乱。
2 a b 2 9 a b 9 (ab3)2ab3
ab
3 (ab3)2a2b3
2ab
3
3 a b 6 a b 9 a b
数学人教版《因式分解》上课课件1
数学人教版《因式分解》上课课件1
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4
5 x2 – 6 xy – 8 y2
x–2y
1x
–2y
5x 5x+4y
4y
4xy – 10xy = –6xy ∴5x2–6xy–8y2 =(x–
2y)(5x+4y)
简记口诀：
竖分两端交叉验， 交叉相乘和中间， 横写因式不能乱
十字相乘法②随堂练习：
1）4a2–9a+2 2）7a2–19a–6 3）2(x2+y2)+5xy
（5）6x2+7x+2
简记口诀： 竖分两端交叉验， 交叉相乘和中间， 横写因式不能乱
数学人教版《因式分解》上课课件1
数学人教版《因式分解》上课课件1
把下列各式分解因式
（1）4x2 + 11x + 6 （2）3x2 + 10x + 8 ( 3 ) 6x2 - 7xy – 5y2
（5）2x2 + 13x + 15 （6）3x2 － 15x － 18
6 x2 + 7 x + 2
①竖分二次项与常数项
2x+1
2x
1பைடு நூலகம்
3x
2
3x+2
②交叉乘，和相加 ③检验确定，横写因式
方法规律：
竖分两端交叉验，交叉相乘和中间，横写因式不能乱。
2 a b 2 9 a b 9 (ab3)2ab3
ab
3 (ab3)2a2b3
2ab
3
3 a b 6 a b 9 a b
数学人教版《因式分解》上课课件1
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将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4
5 x2 – 6 xy – 8 y2
x–2y
1x
–2y
5x 5x+4y
4y
4xy – 10xy = –6xy ∴5x2–6xy–8y2 =(x–
2y)(5x+4y)
简记口诀：
竖分两端交叉验， 交叉相乘和中间， 横写因式不能乱
十字相乘法②随堂练习：
1）4a2–9a+2 2）7a2–19a–6 3）2(x2+y2)+5xy
（5）6x2+7x+2
简记口诀： 竖分两端交叉验， 交叉相乘和中间， 横写因式不能乱
数学人教版《因式分解》上课课件1
数学人教版《因式分解》上课课件1
把下列各式分解因式
（1）4x2 + 11x + 6 （2）3x2 + 10x + 8 ( 3 ) 6x2 - 7xy – 5y2
（5）2x2 + 13x + 15 （6）3x2 － 15x － 18
6 x2 + 7 x + 2
①竖分二次项与常数项
2x+1
2x
1பைடு நூலகம்
3x
2
3x+2
②交叉乘，和相加 ③检验确定，横写因式
方法规律：
人教版数学九年级上册《 因式分解法》课件
分析：设物体经过 x s落回地面， 这时它离地面的高度为0 m ，即
10x-4.9x2 =0 ①
配方法解方程10x-4.9x2=0. 公式法解方程10x-4.9x2=0.
解： x2 100 x 0，
49
x2 100x 502 0 49 49
解：方程可化为4.9x2-10x=0.
5 40 92，∴∵
解得x1=
1 2
，x2=3.
新知二 灵活选用方法解方程
例2 用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)；
(2) (5x + 1)2 = 1；
分析：该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快.
分析：方程一边以平方形式出现， 另一边是常数，可用直接开平方法.
解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0. 解：开平方,得
1
x7x6x ②交叉相乘，积相加
③检验确定，横写因式
解：因式分解得 (x+7)(x-1)=0. ∴x+7=0,或x-1=0. ∴x1=-7,x2=1.
简记口诀： 首尾分解， 交叉相乘， 求和凑中.
练一练 解下列方程：
(1)x2-5x+6=0； 解：分解因式， 得(x-2)(x-3)=0， 解得x1=2，x2=3.
则(x+1)(x-4)=0， ∴x+1=0，或x-4=0， ∴x1=4，x2=-1．
∴-x+2=0，或3x-8=0，
x1=2，x2=
8 3
.
拓展提升 十字相乘法
整式的乘法
两个一次二项式相乘的积
一个二次三项式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
10x-4.9x2 =0 ①
配方法解方程10x-4.9x2=0. 公式法解方程10x-4.9x2=0.
解： x2 100 x 0，
49
x2 100x 502 0 49 49
解：方程可化为4.9x2-10x=0.
5 40 92，∴∵
解得x1=
1 2
，x2=3.
新知二 灵活选用方法解方程
例2 用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)；
(2) (5x + 1)2 = 1；
分析：该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快.
分析：方程一边以平方形式出现， 另一边是常数，可用直接开平方法.
解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0. 解：开平方,得
1
x7x6x ②交叉相乘，积相加
③检验确定，横写因式
解：因式分解得 (x+7)(x-1)=0. ∴x+7=0,或x-1=0. ∴x1=-7,x2=1.
简记口诀： 首尾分解， 交叉相乘， 求和凑中.
练一练 解下列方程：
(1)x2-5x+6=0； 解：分解因式， 得(x-2)(x-3)=0， 解得x1=2，x2=3.
则(x+1)(x-4)=0， ∴x+1=0，或x-4=0， ∴x1=4，x2=-1．
∴-x+2=0，或3x-8=0，
x1=2，x2=
8 3
.
拓展提升 十字相乘法
整式的乘法
两个一次二项式相乘的积
一个二次三项式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
人教版九年级数学上册《因式分解法》课件
分析：该式左右两边含公因式，分析：方程一边以平方形
所以用因式分解法解答较快. 式出现，另一边是常数，
解：变形得 (3x - 5)(x + 5) = 0. 可用直接开平方法.
即 3x - 5 = 0，或 x + 5 = 0. 解：开平方，得
解得
5x + 1 = ±1. 解得 x1 = 0，x2 =
(3) x2 - 12x = 4；
(4) 2x2 − 7x + 3 = 0.
2x 1
x
3
6x x 7x
解：分解因式，得
(2x − 1)(x − 3) = 0，
解得 x1 =
1 2
，x2
=
3.
二 灵活选用适当的方法解方程
例2 用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)；
(2) (5x + 1)2 = 1；
x·
×
1
x 5x 4x
解：分解因式，得 (x + 5)(x − 1) = 0， 解得 x1 = −5，x2 = 1．
(3) (x + 3)(x − 1) = 5；
解：整理得 x2 + 2x − 8 = 0，
x4
x 2
2x 4x 2x
分解因式，得 (x + 4)(x − 2) = 0， 解得 x1 = −4，x2 = 2.
(2) (y + 2)(y - 3) = 0； (2) y1 = -2，y2 = 3.
(3) (3x + 6)(2x - 4) = 0； (3) x1 = -2，x2 = 2.
(4) x2 = x.
(4) x1 = 0，x2 = 1.
人教版九年级数学上册《因式分解法》PPT
(1) x2 9 0
(2) x2 2x 1 0
1.理解用因式分解法解一元二次方 程的基本思想，会用因式分解法解 一些一元二次方程； 2.灵活运用适当的方法解一元二次 方程，提高分析问题和解决问题的 能力.
因式分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用因式分解的方法 求解.这种用因式分解解一元二次方程的方法就叫因 式分解法.
温馨提示:
1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识 ; 3.理论依据是“两个因式的积等于零，至少有一个因式等于零.”
交流讨论
x2 x
解：方程的两边同时除以x，得 x 1.
原方程的解为x 1.
这样解是否正确呢？
感悟新知
快速回答下列各方程的根分别是多少？
(1)x(x 2) 0
(2)( y 2)( y 3) 0 (3)(3x 2)(2x 1) 0
(4)x2 2x
x1 0, x2 2
y1 2, y2 3
x1
2新知尝试
用因式分解法解下列方程
1.x2 36 0 2.x2 6x 9 3.3x(2x 1) (4x 2) 0 4.(x 4)2 (2x 5)2
一次方程. （4）两个一元一次方程的解 就是原方程的解.
2.解一元二次方程的方法： 直接开平方法 配方法 因式分解法
公式法
3.x1
1,
x2
2 3
4.x1
2,
x2
4 3
这节课，你收获了什么？
这节课上，我学会了…… 这节课上，我感到最困难的是…… 这节课上，我感受最深的是……
小结
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤：
课件《因式分解》PPT_完美课件_人教版2
所学的解题过程，我们应用了如下关系：
x(a−b)3+y(b−a)3=(a−b)3(x+y)
因式分解与整式乘法是互逆过程.
（1）8a3b2+12ab3c (6) m2－4=(m+2)(m－2)
14.3.1 提公因式法因式分解
理解公因式的概念，会根据“三定法”确定公因式。
(7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r)
新的多项式中若 有小括号，要化
简
即是提公因式后剩下的另一个因式.
练一练
下面的因式分解正确吗？
➢ 3x2y−9xy2=3x(xy−3y2) 3xy (x−3y) ➢ 4x2y−6xy2+2xy=2xy(2x−3y) 2xy (2x−3y+1) ➢ x(a−b)3+y(b−a)3=(a−b)3(x+y) (a−b)3(x−y)
分解因式
例1: 找 3x 2 – 6 x3y 的公因式.
因式分解与整式乘法有何关系?
提公因式并确定另一个因式：要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的另一个因式.
所以，公因式是3x2 .
所以，公因式是3x2 . 所以，公因式是3x2 . 所以，公因式是3x2 .
第十四章 整式的乘法
(5) (a－3)(a+3)=a2－9
定系数，再确定字母，最后确定公因式字母 【名师点拨】别忘记最后核实括号内的多项式是否还有公因式。
2）(x+2)(x-2)= 这种分解因式方法叫提公因式法。
6）a2+2ab+b2= 是pa+pb+pc除以p的商
2xy (2x−3y+1)
的指数；
人教版九年级数学上册《因式分解法》PPT
解 移项、合并同类项，得 (3x -5) (x + 5) = 0.
于是得 3x -5= 0，或x + 5= 0.
x1=
5 3
， x2=-5
提示：等式左右两边可以提取 公因式，所以用因式分解法解 此方程较为简便.
例 用适当的方法解方程： (2)（3x + 1）2 = 36；
解 根据平方根的定义，得 3x + 1 = ±6
的值为( B )
A.-1 B.7 C.-1或7 D.以上均不正确
5.已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2-2m=0有一个根为0， 则m=___2____. 6.若x2-x-1=(x+1)0，则x的值为__2_____. 7.若一个三角形三边长均满足x2-6x+8=0，则此三角形的周长 为__6_或__1_2_或__1_0____.
方程有两个不等的实数根.
x b b2 4ac 2a
归纳：
配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式， 公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程 一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一 次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程， 因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便.总之，解一 元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即 降次.
10x-4.9x2 =0 x（10-4.9x）=0
使方程化为两个一次式 的乘积等于0的形式
x =0 或 10-4.9x=0
两个一次式分别等 于0，降次
x1
0,
x2
100 49
定义：这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元
一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
人教版《因式分解》PPT全文课件
人教版《因式分解》上课实用课件（P PT优秀 课件）
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知识点详解
如果 a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据. 如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么x＋1＝0或x－1＝0，即x＝1或 x＝-1。 温馨提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等 于零。”
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例题详解
(2) 5x 2
2x
1 4
x2
2x
3 4
解：4x 2 1 0
（2x 1)(2x 1) 0
2x 1 0或2x 1 0
x
1;x
2
1 2
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2 3
,x2
5 6
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练习题
3.先化简，再求值：
x x
1 2
•
x2 x2
4
2x
1
1
x2
1
其中x2-x=0.
解：∵x2－x＝0，∴x(x－1)＝0.
∴x1＝0，x2＝1. 当 x＝1 时，x2－1＝0(舍去)．
∴x＝0.
原式=
x x
1 2
(x
•
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例题详解
(1) x(x 2) x 2 0
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知识点详解
如果 a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据. 如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么x＋1＝0或x－1＝0，即x＝1或 x＝-1。 温馨提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等 于零。”
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例题详解
(2) 5x 2
2x
1 4
x2
2x
3 4
解：4x 2 1 0
（2x 1)(2x 1) 0
2x 1 0或2x 1 0
x
1;x
2
1 2
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2 3
,x2
5 6
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练习题
3.先化简，再求值：
x x
1 2
•
x2 x2
4
2x
1
1
x2
1
其中x2-x=0.
解：∵x2－x＝0，∴x(x－1)＝0.
∴x1＝0，x2＝1. 当 x＝1 时，x2－1＝0(舍去)．
∴x＝0.
原式=
x x
1 2
(x
•
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例题详解
(1) x(x 2) x 2 0
人教版《因式分解》ppt课件
因式分解的依据是什么？
因式，分解后得公因式和剩余因式相乘.
想一想：我们今天 学习了哪些知识？
25
归纳总结
1.因式分解： 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样
的式子变形叫做这个多项式的因式分解.
注：(1)因式分解本质:是将“和”转化为“积”的 变形.
(2)因式分解 互逆运算
整
式乘法
26
归纳总结
=(x-y)(3x-3y+2)
(3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式，
-15xy÷5xy=-3
-10a2÷(-2a)=5a
-15xy÷5xy=-3
二提：提出公因式，用原式除以公因式得剩余
找出下列各题中的公因式：
注意：不要丢掉+1这项！
(2)因式分解
整式乘法
(1) ma +mb；
-2a÷(-2a)=1
分析：(1)是由乘积形式转化为多项式，不属于因式 分 (解2).变形后仍为和的形式，不属于因式分解. (3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式， 属于因式分解.
5
探究新知
问题：观察多项式pa＋pb＋pc，有什么特点吗？
pa＋pb＋pc pa pb pc
我们发现： 各项都有公共的因式p，我们把因式p叫做这
是把几个整式乘积的形式化为多项式.
你能尝试分解因式pa＋pb＋pc吗？
(3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式，
-6a3÷(-2a)=3a2
(3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式，
(1)因式分解本质:是将“和”转化为“积”的 变形.
=-2a(3a2+5a+1)
=(b-3a)2+2 (b-3a)
人教版九年级数学上册《因式分解法》课件
2(x2+2x+1)
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛， 那么物体经过x秒离地面的高度（单位：米）为
10x-4.9x2
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
设物体经过x秒落回地面，这时它离地面的高度为____米，则
10x-4.9x2＝0
10x-4.9x2＝0
x(10-4.9x)=0
用因式分解法解下列方程：
（１）x(x-2)+x-2＝0 25x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
有公因式 解：
吗？
x 2x 1 0
解：整理得
把方程整理成一般形式
x 2 0 或 x 1 0
x1 2，x2 1
4x2 1 0
2x 12x 1 0
2x 1 0 或 2 x 1 0
x=0 或 x+2＝0
2、方程 x2=4x 的根是__x_1___0__, _x_2____4__
x2-4x＝0 x（x-4）＝0 x＝0 或 x-4＝0
3、解方程：
（1） 3x2-6x＝-3
解： 3x2-6x+3=0 3(x2-2x+1)=0 ∴3(x-1)2=0
x-1=0 x1 x2 1
（2）（x+3)(x-3)=1
人教版 九年级上册第二十一章《一元二次方程》
21.2.3 解一元二次方程 -----因式分解法
1、能用因式分解法解数字系数的一元二次方程；
2、通过因式分解解法对一元二次方程进行求解， 体会降次的思想；
3、体验问题解决方法的多样性，灵活选择最为简 便的解决方法。
回顾旧知
1、什么叫做因式分解？
把一个多项式写成几个因式的乘积的形式叫做因式分解。
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛， 那么物体经过x秒离地面的高度（单位：米）为
10x-4.9x2
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
设物体经过x秒落回地面，这时它离地面的高度为____米，则
10x-4.9x2＝0
10x-4.9x2＝0
x(10-4.9x)=0
用因式分解法解下列方程：
（１）x(x-2)+x-2＝0 25x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
有公因式 解：
吗？
x 2x 1 0
解：整理得
把方程整理成一般形式
x 2 0 或 x 1 0
x1 2，x2 1
4x2 1 0
2x 12x 1 0
2x 1 0 或 2 x 1 0
x=0 或 x+2＝0
2、方程 x2=4x 的根是__x_1___0__, _x_2____4__
x2-4x＝0 x（x-4）＝0 x＝0 或 x-4＝0
3、解方程：
（1） 3x2-6x＝-3
解： 3x2-6x+3=0 3(x2-2x+1)=0 ∴3(x-1)2=0
x-1=0 x1 x2 1
（2）（x+3)(x-3)=1
人教版 九年级上册第二十一章《一元二次方程》
21.2.3 解一元二次方程 -----因式分解法
1、能用因式分解法解数字系数的一元二次方程；
2、通过因式分解解法对一元二次方程进行求解， 体会降次的思想；
3、体验问题解决方法的多样性，灵活选择最为简 便的解决方法。
回顾旧知
1、什么叫做因式分解？
把一个多项式写成几个因式的乘积的形式叫做因式分解。
初中数学经典课件：因式分解(人教版)
全平方公式吗？
a b2 a2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2
a b2 a2 2ab b2
计 算
x 44 x _x_2__8_x__1_6__
： 7 b2 _b_2__1_4b___49__
m 99 m __m_2__1_8_m__8_1_
这两个数的积的两倍，等于这两个 数的和（或差）的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解)： ① a2+6a+9 = _______(a_+__3_)2______ ② n2–10n+25 = _____(n__–_5_)2______ ③ 4t2–8t+4 = _______4_(_t–_1_)_2_____ ④ 4x2–12xy+9y2 = ___(2_x_–_3_y_)_2____
② – 4x2 + y2 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x) = – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
③ x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x22+–11))(x–1)
因式分解一定要分解彻底 !
④ x2 – x6
④ x2 – x6
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两 个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两 个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分 解就成功了。
6 x2 + 7 x + 2
2
1
3
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
a b2 a2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2
a b2 a2 2ab b2
计 算
x 44 x _x_2__8_x__1_6__
： 7 b2 _b_2__1_4b___49__
m 99 m __m_2__1_8_m__8_1_
这两个数的积的两倍，等于这两个 数的和（或差）的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解)： ① a2+6a+9 = _______(a_+__3_)2______ ② n2–10n+25 = _____(n__–_5_)2______ ③ 4t2–8t+4 = _______4_(_t–_1_)_2_____ ④ 4x2–12xy+9y2 = ___(2_x_–_3_y_)_2____
② – 4x2 + y2 = y2 – 4x2 = (y+2x)(y–2x) = – ( 4x2 – y2 ) = – (2x+y)(2x–y)
③ x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2+1) (x22+–11))(x–1)
因式分解一定要分解彻底 !
④ x2 – x6
④ x2 – x6
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两 个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两 个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分 解就成功了。
6 x2 + 7 x + 2
2
1
3
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
课件《因式分解》精品PPT课件_人教版2
十字相乘法②随堂练习： 1）4a2–9a+2 a 24a 1
2）7a2–19a–6 7a 2a 3 3）2(x2+y2)+5xy 2x y x 2y
例 .将 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5 分解因式 解：2(6x2 ＋x)2－11(6x2 ＋x) ＋5 = [(6x2 ＋x) －5][2(6x2 ＋x)－1] = (6x2 ＋x－5) (12x2 ＋2x－1 ) = (6x －5)(x ＋1) (12x2 ＋2x－1 )
x2 13x 42 x 6 x 7
对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解， 应重点掌握以下问题：
1.适用范围：只有当q=ab，且p=a+b时 才能用十字相乘法进
我
行分解。
2.掌握方法：拆分常数项，验证一次项.
3.符号规律：
当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
3.(x-2)(x+1)= x2-x-2
4.(x-2)(x-1)= x2-3x+2 5.(x+2)(x+3)= x2+5x+6 6.(x+2)(x-3)= x2-x-6 7.(x-2)(x+3)= x2+x-6 8.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab
2
-1
例1:2x2－7x+3
解：原式=(2x-1)(x-3) 1
-3
总结:
2 × (-3)+(－1) × 1=-7
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(1)a2－3ab－4b2＝
(a－4b)(a＋b)
(2)2x2＋x－6＝
(2x－3)(x＋2)
(3)a2b＋ab2＋a＋b＝(ab＋1)(a＋b)
； ；
．
6．将下列各式因式分解： (1)x2＋3x＋2； 解：原式＝(x＋1)(x＋2)． (2)x2－x－6； 解：原式＝(x－3)(x＋2)．
(3)2x2＋5x－3； 解：原式＝(x＋3)(2x－1)． (4)x2－5xy＋6y2；
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(3)a2＋b2－9＋2ab. 解：原式＝a2＋2ab＋b2－9 ＝(a＋b)2－32 ＝(a＋b＋3)(a＋b－3).
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知识点 2 十字相乘法 【例 2】 阅读理解：由多项式乘法：(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq， 将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式： x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)，示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2 ＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
数学
第十四章 整式的乘法与因式分解 第16课时 运用特殊方法因式分解
01 课前预习
1.把多项式分成几组来分解因式的方法叫 分组分解法
．
2.十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的
方法叫做十字相乘法.
02 课堂精讲精练
知识点 1 分组分解法 【例 1】 【阅读材料】 分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx)＋ (my＋ny)＝x(m＋n)＋y(m＋n)＝(m＋n)(x＋y)．以上分解因式的方法称 为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例)”， 也可以是“三、一(或一、三)分组”．
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2a
2. 什么叫因式分解?
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式 分解，也叫把这个多项式分解因式.
导入新知
3. 分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法:
am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法: a²-b²=(a+b)(a-b), a²±2ab+b²=(a±b) ².
（3）十字相乘法: 【思考】下面的方程如何使解答简单呢？
(2)移项，得 x2－6x＝19.
配方，得 x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28.
∴x－3＝±2 7.∴x1＝3＋2 7，x2＝3－2 7.
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探究新知
(3)3x2＝4x＋1;
(4)y2－15＝2y；
(3)移项，得 3x2－4x－1＝0.
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探究新知
素养考点 2 灵活选择方法解一元二次方程
例2 用适当方法解下列方程：
思路点拨：四种方法的选
(2)x2－6x－19＝0； (3)3x2＝4x＋1; (4)y2－15＝2y；
择顺序是：直接开平方法 →因式分解法→公式法→ 配方法．
∴3x＋2＝0 或 12x＋10＝0. ∴x1＝－23，x2＝－56.
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巩固练习
连接中考
连接中考
1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2） x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ﹣3 ．
2. 什么叫因式分解?
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式 分解，也叫把这个多项式分解因式.
导入新知
3. 分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法:
am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法: a²-b²=(a+b)(a-b), a²±2ab+b²=(a±b) ².
（3）十字相乘法: 【思考】下面的方程如何使解答简单呢？
(2)移项，得 x2－6x＝19.
配方，得 x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28.
∴x－3＝±2 7.∴x1＝3＋2 7，x2＝3－2 7.
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探究新知
(3)3x2＝4x＋1;
(4)y2－15＝2y；
(3)移项，得 3x2－4x－1＝0.
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探究新知
素养考点 2 灵活选择方法解一元二次方程
例2 用适当方法解下列方程：
思路点拨：四种方法的选
(2)x2－6x－19＝0； (3)3x2＝4x＋1; (4)y2－15＝2y；
择顺序是：直接开平方法 →因式分解法→公式法→ 配方法．
∴3x＋2＝0 或 12x＋10＝0. ∴x1＝－23，x2＝－56.
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巩固练习
连接中考
连接中考
1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2） x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ﹣3 ．
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2.先分解因式，再求值
4a2(x 7) 3(x 7)， 其中a 5, x 3.
2021-1-1
x
12
思考 15.4.2 公式法(1)
你能将多项式x2－16 与多项式m 2－4n2分解 因式吗?这两个多项式有什么共同的特点吗?
(a+b)(a－b) = a2－b2
a2－b2 =(a+b)(a－b)
（5）(a b)2 12(a b) 36 .
归纳：
（1） 先提公因式（有的话）； （2） 利用公式（可以的话）； （3） 2021-1-1 分解因式时要x 分解到不能分解为止23.
2.证明：连续两个奇数的平方差可 以被8整除.
2021-1-1
x
24
今天你有什么收获? 你还有什么疑问吗?
作业：习题15.4，2、3、5.
2021-1-1 =3a(x+y)2 .
x =(a+b－6)2.
21
练习
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1) a2－4a+4;
(2)1+4a2;
(3) 4b2+4b－1 ; 2.分解因式：
(4)a2+ab+b2.
(1) x2+12x+36;
(2) －2xy－x2－y2;
(3) a2+2a+1;
x
10
因式分解：
(1)24x3y－18x2y ；
(2)7ma+14ma2 ；
(3)－16x4+32x3－56x2 ； (4)－ 7ab－14abx+49aby ； (5)2a(y－z)－3b(y－z) ； (6)p(a2+b2)－q(a2+b2).
4a2(x 7) 3(x 7)， 其中a 5, x 3.
2021-1-1
x
12
思考 15.4.2 公式法(1)
你能将多项式x2－16 与多项式m 2－4n2分解 因式吗?这两个多项式有什么共同的特点吗?
(a+b)(a－b) = a2－b2
a2－b2 =(a+b)(a－b)
（5）(a b)2 12(a b) 36 .
归纳：
（1） 先提公因式（有的话）； （2） 利用公式（可以的话）； （3） 2021-1-1 分解因式时要x 分解到不能分解为止23.
2.证明：连续两个奇数的平方差可 以被8整除.
2021-1-1
x
24
今天你有什么收获? 你还有什么疑问吗?
作业：习题15.4，2、3、5.
2021-1-1 =3a(x+y)2 .
x =(a+b－6)2.
21
练习
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1) a2－4a+4;
(2)1+4a2;
(3) 4b2+4b－1 ; 2.分解因式：
(4)a2+ab+b2.
(1) x2+12x+36;
(2) －2xy－x2－y2;
(3) a2+2a+1;
x
10
因式分解：
(1)24x3y－18x2y ；
(2)7ma+14ma2 ；
(3)－16x4+32x3－56x2 ； (4)－ 7ab－14abx+49aby ； (5)2a(y－z)－3b(y－z) ； (6)p(a2+b2)－q(a2+b2).
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x2-2x+1+2x-3=0 x2-2=0
x2 2 x1 2, x2 2
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直接开平方法适用于哪种形式的方程？ x2=p 配方法适用于哪种形式的方程？ (mx+n)2=p 公式法适用于哪种形式的方程？ ax2+bx+c=0(a≠0) 因式分解法适用于哪种形式的方程？x2-(m+n)x+mn=0
x1 2 2
2
2
x1 1 2 , x2 1 2
(x-2)(x-4)=0 x1=2，x2=4
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x2+2x-35=0； 解：分解因式，得
(x-5)(x+7)=0 x1=5, x2=-7
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(x-1)2+2x-3=0； 解：化简，得
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知识点2 一元二次方程解法的选用
选择适当的方法解下列方程：
2x2-4x+1=0；
解：x2 2 x 1 0
2 x2 2x 1 1 1
22 2 ( x 1)2 1
2
(2x-1)2=x(3x+2)-7； 解：化简，得
4x2-4x+1=3x2+2x-7 x2-6x+8=0
x2+2x+1=5
分解因式，得
(x+1)2=5
(x-1)(x+4)=0
x1 5
x1=1, x2=-4
x1 1 5, x2 1 5
人教版数学《因式分解》精美版1
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6. 若一个三角形的三边长均满足方程x2-7x+12=0，
求此三角形的周长. 解：x2-7x+12=0，则(x-3)(x-4)=0. ∴x1=3，x2=4. ∵三角形三边长均为方程的根. ①三角形三边长为4、3、3，周长为10； ②三角形三边长为4、4、3，周长为11； ③三角形三边长为4、4、4，周长为12； ④三角形三边长为3、3、3，周长为9.
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随堂演练
1.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为（D ）
A.3，-5 B.-3，-5 C.-3，5 D.3，5
2.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是（D ）
A.-1
B.2
C.1和2 D.-1和2
3.方程x2-3x+2=0的根是 x1=1, x2=2 .
21.2.3 因式分解法
新课导入
根据物理学规律，如果把一个物体 从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经 过x s后物体离地面的高度（单位：m） 为：10x-4.9x2.
问题：设物体经过x s落回地面，请 说说你列出的方程. 10x-4.9x2=0
(1)会用因式分解法解一元二次方程. (2)能选用合适的方法解一元二次方程.
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7. 用公式法和因式分解法解方程x(5x+4)-(4+5x)=0.
解：公式法：原方程化为一般形式，得 5x2-x-4=0. ∵a=5，b=-1，c=-4， b2-4ac=(-1)2-4×5×(-4)=81>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
如果ab=0，则a=0或b=0.
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解下列方程： (x-2)·(x-3)=0；
4x2－11x=0.
解： 由题可得
解： 分解因式，得
x-2=0或x-3=0 x1=2, x2=3
4
x
x
11 4
0
故x=0或 x 11 0
4
x1=0,x2
11 4
4. 方程 x2 4 3x 12＝0 的根是x1 x2 2 3
.
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5. 用适当方法解下列方程：
（1）(2x+3)2-25=0; 解：化简，得
（2）x2+5x+7=3x+11； 解：化简，得
4x2+12x+9-25=0
x2+2x=4
x2+3x-4=0
完全平方公式 平方差公式
人教版数学《因式分解》精美版1
∴x= b
b2 4ac 1
81 ,
2a
25
∴x1=
4 5
,
x2=1
因式分解法：方程左边提公因式，得
(5x+4)(x-1)=0
，则x1=
4 5，x2=1.源自人教版数学《因式分解》精美版1
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课堂小结
因式分解法
通过因式分解 实现降次来解 一元二次方程
提公因式法 公式法
十字相乘法
人教版数学《因式分解》精美版
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你能归纳出用因式分解法解方一元二次程的一般步骤吗？ 第一步，把方程变形为x2+px+q=0的形式； 第二步，把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式； 第三步，把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式； 第四步，解两个一次方程，求出方程的根.
5x2－2x－1 x2 2x 3
4
4
解： 移项、合并同类项得
4x2-1=0
(2x-1)(2x+1)=0
即2x-1 =0或2x+1 =0,
x1= 1 , x2= 1
2
2
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思考：将一个多项式进行因式分解，通常有哪几 种方法？
提公因式法，公式法，十字相乘法 用因式分解法解一元二次方程的依据是：
推进新课
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
你能用配方法或公式法解方程10x-4.9x2=0吗？ 是否还有更简单的方法呢？
分解因式：左边提公因式，得x(10-4.9x)=0， 降次：把方程化为两个一次方程，得x=0或10-4.9x=0， 求解：解这两个一次方程，得x1=0, x2=14090 .
思考：解方程10x-4.9x2=0时，二次方程是如何降 为一次的？
解方程10x-4.9x2=0时，不是用开平方降次，而 是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现 降次。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
解下列方程： x(x-2)+x-2=0； 解： 分解因式，得 (x-2)(x+1)=0 即 x-2 =0或x+1 =0, x1=2，x2=-1
x2 2 x1 2, x2 2
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直接开平方法适用于哪种形式的方程？ x2=p 配方法适用于哪种形式的方程？ (mx+n)2=p 公式法适用于哪种形式的方程？ ax2+bx+c=0(a≠0) 因式分解法适用于哪种形式的方程？x2-(m+n)x+mn=0
x1 2 2
2
2
x1 1 2 , x2 1 2
(x-2)(x-4)=0 x1=2，x2=4
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x2+2x-35=0； 解：分解因式，得
(x-5)(x+7)=0 x1=5, x2=-7
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(x-1)2+2x-3=0； 解：化简，得
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知识点2 一元二次方程解法的选用
选择适当的方法解下列方程：
2x2-4x+1=0；
解：x2 2 x 1 0
2 x2 2x 1 1 1
22 2 ( x 1)2 1
2
(2x-1)2=x(3x+2)-7； 解：化简，得
4x2-4x+1=3x2+2x-7 x2-6x+8=0
x2+2x+1=5
分解因式，得
(x+1)2=5
(x-1)(x+4)=0
x1 5
x1=1, x2=-4
x1 1 5, x2 1 5
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6. 若一个三角形的三边长均满足方程x2-7x+12=0，
求此三角形的周长. 解：x2-7x+12=0，则(x-3)(x-4)=0. ∴x1=3，x2=4. ∵三角形三边长均为方程的根. ①三角形三边长为4、3、3，周长为10； ②三角形三边长为4、4、3，周长为11； ③三角形三边长为4、4、4，周长为12； ④三角形三边长为3、3、3，周长为9.
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随堂演练
1.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为（D ）
A.3，-5 B.-3，-5 C.-3，5 D.3，5
2.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是（D ）
A.-1
B.2
C.1和2 D.-1和2
3.方程x2-3x+2=0的根是 x1=1, x2=2 .
21.2.3 因式分解法
新课导入
根据物理学规律，如果把一个物体 从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经 过x s后物体离地面的高度（单位：m） 为：10x-4.9x2.
问题：设物体经过x s落回地面，请 说说你列出的方程. 10x-4.9x2=0
(1)会用因式分解法解一元二次方程. (2)能选用合适的方法解一元二次方程.
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7. 用公式法和因式分解法解方程x(5x+4)-(4+5x)=0.
解：公式法：原方程化为一般形式，得 5x2-x-4=0. ∵a=5，b=-1，c=-4， b2-4ac=(-1)2-4×5×(-4)=81>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
如果ab=0，则a=0或b=0.
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解下列方程： (x-2)·(x-3)=0；
4x2－11x=0.
解： 由题可得
解： 分解因式，得
x-2=0或x-3=0 x1=2, x2=3
4
x
x
11 4
0
故x=0或 x 11 0
4
x1=0,x2
11 4
4. 方程 x2 4 3x 12＝0 的根是x1 x2 2 3
.
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5. 用适当方法解下列方程：
（1）(2x+3)2-25=0; 解：化简，得
（2）x2+5x+7=3x+11； 解：化简，得
4x2+12x+9-25=0
x2+2x=4
x2+3x-4=0
完全平方公式 平方差公式
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∴x= b
b2 4ac 1
81 ,
2a
25
∴x1=
4 5
,
x2=1
因式分解法：方程左边提公因式，得
(5x+4)(x-1)=0
，则x1=
4 5，x2=1.源自人教版数学《因式分解》精美版1
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课堂小结
因式分解法
通过因式分解 实现降次来解 一元二次方程
提公因式法 公式法
十字相乘法
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你能归纳出用因式分解法解方一元二次程的一般步骤吗？ 第一步，把方程变形为x2+px+q=0的形式； 第二步，把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式； 第三步，把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式； 第四步，解两个一次方程，求出方程的根.
5x2－2x－1 x2 2x 3
4
4
解： 移项、合并同类项得
4x2-1=0
(2x-1)(2x+1)=0
即2x-1 =0或2x+1 =0,
x1= 1 , x2= 1
2
2
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思考：将一个多项式进行因式分解，通常有哪几 种方法？
提公因式法，公式法，十字相乘法 用因式分解法解一元二次方程的依据是：
推进新课
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
你能用配方法或公式法解方程10x-4.9x2=0吗？ 是否还有更简单的方法呢？
分解因式：左边提公因式，得x(10-4.9x)=0， 降次：把方程化为两个一次方程，得x=0或10-4.9x=0， 求解：解这两个一次方程，得x1=0, x2=14090 .
思考：解方程10x-4.9x2=0时，二次方程是如何降 为一次的？
解方程10x-4.9x2=0时，不是用开平方降次，而 是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现 降次。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
解下列方程： x(x-2)+x-2=0； 解： 分解因式，得 (x-2)(x+1)=0 即 x-2 =0或x+1 =0, x1=2，x2=-1