【数学建模】9_图与网络优化_0529
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
简记为V 和 E ，图可简记为G V , E 。V 和 E 都是有限集的图称为有限图；否则称
为无限图，本章只讨论有限图的问题。 e3
e4
v3
e2
v4
e5
v2
e7
e6
e8
e1
v5
e9
v1
9-2
图的基本概念 空图与非空图 若边集是空集，即 E G ，则称该图为空图；否则称其为非空图。 端点与关联边 在定义中，e1,e2,...,eq 为联系各个顶点的边，每一条边el 对应一对顶点，即： el E, el vi ,vj ; vi ,vj V 称vi ,vj 为边 el 的端点，称边 el 为 vi 和v j 的关联边。例如选取图中的某些顶点和边可以
没有环的图称为无环图，既没有环也没有重边的图称为简单图。
图 图的的同基构 本概念
设有两个图G1 V1, E1 和G2 V2, E2 ，它们的顶点集间有一一对应的关系，且使 得边之间有如下的 关系：设 u1 u2, v1 v2; u1, v1 V1; u2, v2 V，2 若 u1, v1 E1，则 u2, v2 E2，且u1,v1 E1 的重数和u2,v2 E2 的重数相同，这种对应叫做同构。易知
• 本章首先介绍图与网络理论的有关概念和性质，然后研究路与流 的有关算法并讨论可以利用图的覆盖与控制、最短路、最大流及 最小费用流的知识来解决的实际问题。
引言
• 七桥问题
D岸
A岛
B岛
C
A
B
C岸
D
a
b
9-1
• Hamilton问题，地图染色的四色问题、电网络方程而引进了“树” 的概念
• 许多实际网络，如运输网、电话网、电力网等，可以直观的用图 加以描述和分析
入弧。
图的基本概念
e3
e4
v3
e2
v4
e5
v2
e7
e6
e8
e1
v5
e9
v1
9-5
第九章 图与网络规划
概述
• 图与网络优化理论是近数十年里是最优化学领域发展非常活跃的 分支之一，大量的最优化问题都可以抽象为网络模型来加以描述 和求解。图与网络优化理论具有适应性很强的建模能力，对实际 问题的描述直观且易于计算机实现，我们可以利用其理论将一些 复杂问题分解或者转化称为一系列能够用有效方法求解的子问题， 因而成为管理科学、计算机科学、通讯理论、自动控制、系统工 程与运筹学，以及军事科学等学科领域中的一种重要的数学方法 和工具。
同构关系是图之间的一个等价关系，故通常将同构的图看成是相同的。 顶点：v1 v1, v2 v2 , v3 v3, v4 v4 边：e1 e1, e2 e2 , e3 e3, e4 e4 , e5 e5 , e6 e6 故两图是同构的，即相同。
v2
e4
v3
v4
e3
wk.baidu.come1
e2
v1
a
v4
为有向图。对于有向图我们有如下集合定义。
称如下二元组为有向图G ：G (V , A)
V v1,v2,...,vp 称为图G 的顶点集，通常称有向图的边为弧，A a1,a2, ,aq 称为 图G 的弧集，A中的每一个元素 al ，即V 中某两个元素vi ,vj 的有序对可以记为al vi ,v j ，
图的基本概念
多重图与简单图 在图的一般定义中，并没有限定不同顶点对之间的联系必须用同一条边表示， 亦没有限定一条边必须联系不同顶点。即同一对顶点可以由不同条边相连，一条边 也可联系同一顶点。
若边的两个端点相同，则称其为环，例如图中的e3 v3,v3 即为一个环。
以相同顶点为两端的多条边，称为多重边或者平行边，在之后我们还会给出有 向图的概念，对于有向图，多重边的节点顺序也要相同。连接同一对顶点的边的条 数叫做边的重数，若图G 中存在重数大于 1 的边，则称G 为一多重图。在图中，连 接顶点v2和v5 的边有e7 和e8 两条，故该图为一多重图。
图的基本概念
•图
称如下二元组为图G ：
G V G, EG 式中V G v1,v2,...,vp 称为顶点集，V 中元素的个数称为图G 的顶点数；图G 的 顶点个数又被称为图的阶，只有一个顶点的图称为平凡图；E G e1,e2,...,eq 称为
边集， E 中元素的个数称做图G 的边数。在不致混淆的情况，可以将顶点集和边集
表示为：e1 v1,v2 v2,v1 ; e2 v2,v3 v3,v2
若V 中某顶点和 E 中的任何边均不关联，则称该顶点为孤立点。若V 重某顶点仅 与 E 中的一条边相关联，则称该点为悬挂点。
相邻点和相邻边 同一条边el 的两个端点vi 和v j 称为相邻点，简称邻点；有公共端点的两条边称为 相邻边，简称邻边。
被称为该图的一条从vi 到v j 的弧。对于al A，存在如下关系：
al vi ,vj 且al vj ,vi
对于有向图G V , A，存在着顺序映射关系：
:V V
边 vi ,vj 的两节点vi 和v j 可以表示为vi v j ，称v j 是vi 的直接后继，而 vi 是v j 的直 接先导。当弧 al vi ,v j 时，称vi 为 al 的尾，v j 为al 的头，并称弧al 为vi 的出弧，为v j 的
图（偶图）。二部图也可以记为G V1,V2, E 。 例如下图即为二部图，由V 分为的两个非空子集为：V1 v1,v2, V2 v3,v4
v1
v4
v2
v3
9-4
图的基本概念
有向图与无向图
如果对 于 vi ,vj V ，均有 vi ,vj vj ,vi ，称该图 为无 向图； 否则 对于该 图有 vi ,vj vj ,vi ，即说明也就是说图中的边具有方向性， vi ,vj 是一个有序对，称该图
e4 e5
e5
e6
v1
e3 e2
e1
v2
e4
v3
b
9-3
图的基本概念 完全图
每一对不同的顶点之间均有一条边相连的简单图称为完全图。对于完全图有如下
结论： n 阶完全图共有Cn2 nn 1 / 2条边。
二部图
图G V , E 的顶点集V 可以分为两个非空子集V1,V2 满足：
V1 V2 V , V1 V2 并且使得每条边的两个端点必有一个端点属于V1，另一个端点属于V2 ，则称G 为二部
为无限图，本章只讨论有限图的问题。 e3
e4
v3
e2
v4
e5
v2
e7
e6
e8
e1
v5
e9
v1
9-2
图的基本概念 空图与非空图 若边集是空集，即 E G ，则称该图为空图；否则称其为非空图。 端点与关联边 在定义中，e1,e2,...,eq 为联系各个顶点的边，每一条边el 对应一对顶点，即： el E, el vi ,vj ; vi ,vj V 称vi ,vj 为边 el 的端点，称边 el 为 vi 和v j 的关联边。例如选取图中的某些顶点和边可以
没有环的图称为无环图，既没有环也没有重边的图称为简单图。
图 图的的同基构 本概念
设有两个图G1 V1, E1 和G2 V2, E2 ，它们的顶点集间有一一对应的关系，且使 得边之间有如下的 关系：设 u1 u2, v1 v2; u1, v1 V1; u2, v2 V，2 若 u1, v1 E1，则 u2, v2 E2，且u1,v1 E1 的重数和u2,v2 E2 的重数相同，这种对应叫做同构。易知
• 本章首先介绍图与网络理论的有关概念和性质，然后研究路与流 的有关算法并讨论可以利用图的覆盖与控制、最短路、最大流及 最小费用流的知识来解决的实际问题。
引言
• 七桥问题
D岸
A岛
B岛
C
A
B
C岸
D
a
b
9-1
• Hamilton问题，地图染色的四色问题、电网络方程而引进了“树” 的概念
• 许多实际网络，如运输网、电话网、电力网等，可以直观的用图 加以描述和分析
入弧。
图的基本概念
e3
e4
v3
e2
v4
e5
v2
e7
e6
e8
e1
v5
e9
v1
9-5
第九章 图与网络规划
概述
• 图与网络优化理论是近数十年里是最优化学领域发展非常活跃的 分支之一，大量的最优化问题都可以抽象为网络模型来加以描述 和求解。图与网络优化理论具有适应性很强的建模能力，对实际 问题的描述直观且易于计算机实现，我们可以利用其理论将一些 复杂问题分解或者转化称为一系列能够用有效方法求解的子问题， 因而成为管理科学、计算机科学、通讯理论、自动控制、系统工 程与运筹学，以及军事科学等学科领域中的一种重要的数学方法 和工具。
同构关系是图之间的一个等价关系，故通常将同构的图看成是相同的。 顶点：v1 v1, v2 v2 , v3 v3, v4 v4 边：e1 e1, e2 e2 , e3 e3, e4 e4 , e5 e5 , e6 e6 故两图是同构的，即相同。
v2
e4
v3
v4
e3
wk.baidu.come1
e2
v1
a
v4
为有向图。对于有向图我们有如下集合定义。
称如下二元组为有向图G ：G (V , A)
V v1,v2,...,vp 称为图G 的顶点集，通常称有向图的边为弧，A a1,a2, ,aq 称为 图G 的弧集，A中的每一个元素 al ，即V 中某两个元素vi ,vj 的有序对可以记为al vi ,v j ，
图的基本概念
多重图与简单图 在图的一般定义中，并没有限定不同顶点对之间的联系必须用同一条边表示， 亦没有限定一条边必须联系不同顶点。即同一对顶点可以由不同条边相连，一条边 也可联系同一顶点。
若边的两个端点相同，则称其为环，例如图中的e3 v3,v3 即为一个环。
以相同顶点为两端的多条边，称为多重边或者平行边，在之后我们还会给出有 向图的概念，对于有向图，多重边的节点顺序也要相同。连接同一对顶点的边的条 数叫做边的重数，若图G 中存在重数大于 1 的边，则称G 为一多重图。在图中，连 接顶点v2和v5 的边有e7 和e8 两条，故该图为一多重图。
图的基本概念
•图
称如下二元组为图G ：
G V G, EG 式中V G v1,v2,...,vp 称为顶点集，V 中元素的个数称为图G 的顶点数；图G 的 顶点个数又被称为图的阶，只有一个顶点的图称为平凡图；E G e1,e2,...,eq 称为
边集， E 中元素的个数称做图G 的边数。在不致混淆的情况，可以将顶点集和边集
表示为：e1 v1,v2 v2,v1 ; e2 v2,v3 v3,v2
若V 中某顶点和 E 中的任何边均不关联，则称该顶点为孤立点。若V 重某顶点仅 与 E 中的一条边相关联，则称该点为悬挂点。
相邻点和相邻边 同一条边el 的两个端点vi 和v j 称为相邻点，简称邻点；有公共端点的两条边称为 相邻边，简称邻边。
被称为该图的一条从vi 到v j 的弧。对于al A，存在如下关系：
al vi ,vj 且al vj ,vi
对于有向图G V , A，存在着顺序映射关系：
:V V
边 vi ,vj 的两节点vi 和v j 可以表示为vi v j ，称v j 是vi 的直接后继，而 vi 是v j 的直 接先导。当弧 al vi ,v j 时，称vi 为 al 的尾，v j 为al 的头，并称弧al 为vi 的出弧，为v j 的
图（偶图）。二部图也可以记为G V1,V2, E 。 例如下图即为二部图，由V 分为的两个非空子集为：V1 v1,v2, V2 v3,v4
v1
v4
v2
v3
9-4
图的基本概念
有向图与无向图
如果对 于 vi ,vj V ，均有 vi ,vj vj ,vi ，称该图 为无 向图； 否则 对于该 图有 vi ,vj vj ,vi ，即说明也就是说图中的边具有方向性， vi ,vj 是一个有序对，称该图
e4 e5
e5
e6
v1
e3 e2
e1
v2
e4
v3
b
9-3
图的基本概念 完全图
每一对不同的顶点之间均有一条边相连的简单图称为完全图。对于完全图有如下
结论： n 阶完全图共有Cn2 nn 1 / 2条边。
二部图
图G V , E 的顶点集V 可以分为两个非空子集V1,V2 满足：
V1 V2 V , V1 V2 并且使得每条边的两个端点必有一个端点属于V1，另一个端点属于V2 ，则称G 为二部