专题_物理_L25_火车弯道和拱桥问题

物理专题
火车弯道和拱桥问题
一、匀速圆周运动中常用的物理量有：线速度、角速度、周期、转速、向心加速度
等，具体关系见下表：
定义及意义
公式及单位
角速度
(1) 描述物体绕圆心转动快慢的物理 量(ω)
(1)ω＝ΔΔθt ＝2Tπ
(2)是矢量，但中学不研究其方向
(2)单位：rad/s
周期和 转速
(1)描述物体绕圆心转动快慢的物理量 (2)周期是物体沿圆周运动一周的时间
A．如右图所示，此时重力mg和支持力FN的合力提供汽车在该点的向心力． 由牛顿第二定律得F＝ mg－FN＝m ， 桥面对其支持力FN＝mg－m <mg. 由牛顿第三定律知： 汽车对桥面的压力F′N＝FN＝mg－m <mg，方向竖直向下．
B．由F′N＝mg－m 可知，汽车的行驶速率越大，汽车对桥面的压力越小； 当汽车的速率等于 时，汽车对桥面的压力为零， 这是汽车在桥顶运动的最大临界速度， 超过这个速度，汽车将飞越桥顶．
解析：
火车以某一速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，其所受的重力和支持力的合力提供 向心力
由图可以得出 F合=mgtanθ（θ为轨道平面与水平面的夹角）
合力等于向心力，故 mg tan m v2 ,解得v
R
gR tan
当速度小于 Rg tan ，重力和支持力的合力大于向心力，对内轨道有挤压．内轨道对火车有斜向上的 弹力。
N
F
θ G
例题1 铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的．己知内外轨道对水平面倾角为θ，如 图所示，弯道处的轨道圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时的速度小于 Rg tan
则（ ）
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
mg
c os
D．这时铁轨对火车的支持力大于
二、火车转弯模型
(1)火车车轮的结构特点：火车车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上运行时，有凸出轮缘的 一边在两轨道的内侧，这种结构有助于固定火车运动的轨迹．
二、火车转弯模型
(2)铁路的弯道 ①如果铁路弯道的内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对 轮缘的弹力就是火车转弯的向心力，如图甲所示．但是火车的质量很大，靠这种办法得到向 心力，轮缘与外轨间的相互作用太大，铁轨和车轮极易受损． ②如果在弯道处使外轨略高于内轨(如图乙所示)，火车转弯
（1）汽车转弯模型
受力分析如图，重力G和支持力N抵消，静摩擦力f提供向心力 f
即 f mv 2 r
G
而 最大静摩擦力fm mg
应满足 f mv 2 fm mg v gr （安全速率）
r
安全速率与m无关！
水平面内的圆周运动
（1）汽车转弯模型
受力分析如图，重力G和支持力N抵消，静摩擦力f提供向心力
本课小结
运动规律
两种模型
典型例题
下节课 再见
二、火车转弯模型
火车位于水平铁轨上，所需向心力完全由外轨产生的支持力提供，会对外轨造成较 大挤压。
当设计为外轨高，内轨低时，向心力可以恰好完全由重力G和支持力N的合力来提供，
对内外轨不产生任何挤压。
N
列公式求得 F mg tan m vm2
r
转弯临界速率为 vm gr tan
F
θ G
二、火车转弯模型
转弯临界速率为 vm gr tan
a.当v=vm 时: 合外力等于向心力，对内外轨都不产生挤压 b.若v>vm 时: 合外力小于向心力，外侧轨道受到挤压，产生指向圆心的支持力，提 供部分需要的向心力 c.若v<vm时 : 合外力大于向心力，内侧轨道受到挤压， 产生向外的支持力，抵消多余的合外力
则铁轨对火车的支持力小于 mg
故A正确，B、C、D错误 cos
本题关键抓住火车所受重力和支持力的合力恰好提供向心力的临界情况，计算出临界速度，然后根据 离心运动和向心运动的条件进行分析
①当火车转弯时速度v＝v0时，轮缘对内、外轨均无侧向压力． ②当火车转弯速度v>v0时，外轨道对轮缘有向里的侧压力． ③当火车转弯速度v<v0时，内轨道对轮缘有向外的侧压力． ④向心力是水平的．
等，具体关系见下表：
定义及意义
公式及单位
相互关系
(1)v＝rω＝2Tπr＝2πrf (2)a＝vr2＝rω2＝ωv＝4Tπ22r＝4π2f2r (3)F＝mvr2＝mrω2＝m4Tπ22r＝mωv＝4π2mf2r
注意：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的 分力提供．向心力是效果力，受力分析时，不可在物体的相互作用力以外再添加一 个向心力．
生任何挤压。
列公式求得 F
mg tan
m vm2
转弯临界速率为 vm gr tan r
当v=vm 时:合外力等于向心力，对内外轨都不产生挤压
若v>vm :合外力小于向心力，外侧轨道受到挤压，产生指向圆心的支持力，提供部分需要的向心力
若v<vm :合外力大于向心力，内侧轨道受到挤压，产生向外的支持力，抵消多余的合外力
F＝k(mg－m )
＝0.05×(4×103×10－4×103× ) N＝1 900 N.
v2
r
v2
r
52
50
在水平铁路转弯处，往往使外轨略高于内轨，这是为了( ) A．减小火车轮子对外轨的挤压 B．减小火车轮子对内轨的挤压 C．使火车车身倾斜，利用重力和支持力的合力提供转弯所需的向心力 D．限制火车向外脱轨 解析：火车轨道建成外高内低，使重力与支持力不在同一直线上，火车转弯时，轨道的支持力与火车 重力两者的合力指向圆心，提供向心力，减小外轨对轮子的挤压，限制火车向外脱轨。
mg
c os
解题思路：本题关键抓住火车所受重力和支持力的合力恰好提供向心力的临界情况，
计算出临界速度，然后根据离心运动和向心运动的条件进行分析
解析：
火车以某一速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，其所受的重力和支持力的
合力提供向心力 由图可以得出F合=mgtanθ（θ为轨道平面与水平面的夹角）
ACD
知识回顾 Knowledge Review
放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向
弯道的内侧，与重力的合力指向圆心，为火车转弯提供了 一部分向心力，减小了轮缘与外轨的挤压．
二、火车转弯模型
(3)火车转弯时的规定速度如图丙所示，若火车内、外轨间的距离为L，两轨高度差为h，转 弯半径为R，火车的质量为m. 根据三角形边角关系知，sinθ＝ ， 由图丙火车的受力情况：tanθ＝ ， 当θ很小时，近似认为sinθ＝tanθ，即 ＝ ， 所以F合＝mg ，
(4)其他弯道特点：高速公路、赛车的弯道处也是外高内低，使重力和支持力的合力能提供车辆转弯 时的向心力，减少由于转弯产生的摩擦力对车轮的损坏．
汽车在桥的最高点时，车的重力和桥对车的支持力的合力是使汽车做圆周运动的向心力，方
向竖直向下，根据牛顿第二定律有mg－FN＝m
.
由题意知Fμ＝kFN
联立以上三式解得
(1)T＝2vπr＝2ωπ；
(T)
(2)n 的 单 位 r/s 或
(3)转速是物体单位时间转过的圈数(n) r/min
向心加 速度
(1) 描述线速度方向变化快慢的物理 量(a)
(1)a＝vr2＝rω2
(2)方向指向圆心
(2)单位：m/s2
一、匀速圆周运动中常用的物理量有：线速度、角速度、周期、转速、向心加速度
向竖直向下，根据牛顿第二定律有mg－FN＝m
.
由题意知Fμ＝kFN
联立以上三式解得
F＝k(mg－m )
＝0.05×(4×103×10－4×103× ) N＝1 900 N.
例题小结：
对于汽车过桥问题的分析，关键要抓住汽车在凸形桥的最高点和凹形桥的最低点时的受力特 点，考虑到汽车的实际情况，在凸形桥的最高点汽车的速度不能超过，在凹形桥的最低点汽 车速度也不能太大，以防止支持力过大而导致爆胎．
f
即 f mv 2 r
而 最大静摩擦力 fm mg
G
应满足 f mv 2 fm mg v gr （安全速率）
r
安全速率与m无关！
（2）火车转弯模型
火车位于水平铁轨上，所需向心力完全由外轨产生的支持力提供，会对外轨造成较大挤压。
当设计为外轨高，内轨低时，向心力可以恰好完全由重力G和支持力N的合力来提供，对内外轨不产
当θ 较小时，tanθ ＝sinθ …④，
由①②③④得h＝ ＝
m＝0.14 m.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
②，
三、汽车过拱桥问题 (1)汽车在过拱形桥时，受到的支持力是变力，因此，汽车受到的合力也是变力，且大小、 方向均变化． (2)汽车在拱形桥的最高点和最低点时，支持力和重力在同一竖直线上，故合力也在此竖直 线上． ①汽车过拱形桥的最高点时，汽车对桥的压力小于其重力．
合力等于向心力，故
mg
tan
v2 m
,解得v
gR tan
R
当速度小于 Rg tan ，重力和支持力的合力大于向心力，
对内轨道有挤压．内轨道对火车有斜向上的弹力。
mg
则铁轨对火车的支持力小于 cos 故A正确，B、C、D错误
本题关键抓住火车所受重力和支持力的合力恰好提供向心力的临界情况，计算出临界速度， 然后根据离心运动和向心运动的条件进行分析
例题2 一辆质量为4 t的汽车驶过一半径为50 m的凸形桥面时，始终保持5 m/s的速率，汽 车所受的阻力为车与桥面压力的0.05倍，通过桥的最高点时汽车的牵引力是多大？ (g取10 m/s2)
解析：
对汽车在拱桥的最高点受力分析如图所示，由于车速不变，所以在运动方向上有F＝Fμ
汽车在桥的最高点时，车的重力和桥对车的支持力的合力是使汽车做圆周运动的向心力，方
例题3 如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面， 两桥面的圆弧半径均为20 m．如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N，则： (1)汽车允许的最大速度是多少？ (2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)
解析： (1)汽车在凹形桥底部时，由牛顿第二定律得 FN－mg＝m ， 代入数据解得v＝10 m/s. (2)汽车在凸形桥顶部时，由牛顿第二定律得 mg－F′N＝ .代入数据解得F′N＝105 N， 由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力等于105 N.
二、火车转弯模型
由向心力公式知F合＝m ，所以mg ＝m ，即v0＝
.
由于铁轨建成后，h、L、R各量是确定的，
故火车轨弯时的车速应是一个定值，即规定速度．
①当火车转弯时速度v＝v0时，轮缘对内、外轨均无侧向压力． ②当火车转弯速度v>v0时，外轨道对轮缘有向里的侧压力． ③当火车转弯速度v<v0时，内轨道对轮缘有向外的侧压力． ④向心力是水平的．
(4)其他弯道特点：高速公路、赛车的弯道处也是外高内低，使重力和支持力的合力能提供 车辆转弯时的向心力，减少由于转弯产生的摩擦力对车轮的损坏．
例题1 铁路转弯处的圆弧半径R＝900 m，火车质量为8×105 kg，规定火车通过这里的速 度为30 m/s，火车轨距l＝1.4 m，要使火车通过弯道时仅受重力与轨道的支持力，那么轨 道应该垫的高度h为多少？(θ较小时tanθ＝sinθ，g取10 m/s2)
解题思路： (1)火车转弯时实际是在水平面内做圆周运动，因而具有水平方向的向心力． (2)若火车在转弯处以规定速度转弯，其向心力是由重力和支持力的合力提供．
此时内、外轨道与轮缘间没有侧向压力．
解析：
受力分析如图所示，则F合＝mgtanθ …①， 此时合力提供向心力，又由向心力公式得F合＝m 由几何关系得 ＝sinθ…③，
②汽车通过凹形桥的最低点时，汽车对桥面的压力大于自身重力．
如图所示，重力mg和支持力FN的合力提供汽车在该点的向心力，
由牛顿第二定律得F＝FN－mg＝m
，
桥面对其支持力FN＝mg＋m >mg.
由牛顿第三定律知：
汽车对桥面的压力F′N＝FN＝mg＋m >mg，方向竖直向下． 可见，此位置汽车对桥面的压力大于自身重力，且汽车行驶的速率越大，汽车对桥面的压力 就越大．