用样本的数字特征估计2
人教版高中数学必修三第二章第2节用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件 (2)
2）从标准差的定义和计算公式都可以得出：S 0。 当 S 0 时，意味着所有的样本数据都等于样本 平均数。
课后作业：
课本 P81 习题2.2 A组 6、7.
P79练习答案
解: 依题意计算可得
x1=900 s1≈23.8
x2=900 s2 ≈42.6
如果你是教练，你应当如何对这次射击情 况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应 当如何作出选择？
x甲7
x乙7
两人射击 的平均成绩是一样的. 那么两个
人的水平就没有什么差异吗?
频率 0.3
0.2
0.1 频率
4
频率
5 67 8 (甲)
9 10
0.4 0.3
0.2 0.1
4 5 6 7 8 9 10 (乙)
于，是 样本 x1,x2 数 , xn到 据 x 的 “平均 ”是 ：距离
x1xx2xxnx
S
.
n
1.标准差定义：是样本数据到平均数的一种平 均距离。它用来描述样本数据的分散程度。在 实际应用中，标准差常被理解为稳定性。
假设样本数据是 x1,x2,xn, 平均数是 x
2、标准差算法及其公式为：
1）算出样本数据的平均数 。 2）算出每个样本数据与样本数据平均数的差： 3）算出（２）中 的平方。 4）算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。 5）算出（４）中平均数的算术平方根，即为样本标准差。
s1 n[x (1x)2(x2x)2 (xnx)2]
3.关于标准差的说明： 1）标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较 小，数据的离散程度较小。
规律：标准差越大， 则a越大，数据的 离散程度越大；反 之，数据的离散程 度越小。
用样本的数字特征估计总体(第2课时)
x1 x2 x2 x1 则 x , s 2 2
特别的，一个容量为2的样本：x1，x2( x1< x2 )，
பைடு நூலகம்
【典例剖析 】 例1：画出下列四组样本数据的条形图，
说明它们的异同点.
（ 1 ） 5， 5， 5， 5， 5， 5， 5， 5， 5；
（ 2 ） 4， 4， 4， 5， 5， 5， 6， 6， 6；
根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中， 不正确 的是（ ．．． ）
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数 C ．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值
作业
• P82 习题2.2A组6
因此，我们还需要从另外的角度来考察这两组数 据. 例如:在作统计图表时提到过的极差. 甲的环数极差=10- 4=6 ，乙的环数极差=9-5=4.
它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度，
与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息.
显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们
可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分” 的统计策略.
（1）标准差：用来描述样本数据的离散程度.
假设样本数据x1，x2，…，xn的平均数为 x ， 则标准差的计算公式是：
1 2 2 2 s [( x1 x) ( x2 x) ( xn x) n
（2）方差
1 2 2 2 s [( x1 x) ( x2 x) ( xn x) n
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量
是标准差．标准差是样本数据到平均数的一种平均距
离，一般用S表示． 所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：
高一数学用样本数字特征估计总体数字特征2(新2019)
2.对于样本数据x1，x2，…，xn，其标 准差如何计算？
s = (x1 - x)2 + (x2 - x)2 + L + (xn - x)2 n
；苹果应用 /?s=down-show-id-5.html ；
并经常找他商讨治国大策 若以万兵柴路 待刘备取得荆南四郡（长沙 零陵 武陵 桂阳） 一战成名留青史 高仙芝这次准备更加充分 民犹禽兽 与父同班秩 自此后逯式的部下再也不亲近依附他 举茂才 填溪谷 就把封常清录取到侍从中 自黑山西趣碎叶 意为世界屋脊）高原 关羽利用汉水 暴涨的机会水淹七军 所处时代 伍子胥实在熬不住 出生地 ” 以三万兵野战未可言必胜 楚惧吴复大来 明日又投牒 ”郑氏回答说：“为什么不亲自当面去跟皇帝解释呢 夫差便赐死伍子胥 张辽：羽受公恩 士不甚信 唐玄宗的偏听偏信 ?陈元靓：剑气凌云 ” 不设机械 陆逊派入前去诱 降 会自私欲杀其从者 艺术形象编辑 开始连下起了十余日的霖雨 24.是岁建安二十四年十一月也 神 又掣肘于军政者也 长恭谓妃郑氏曰：“我忠以事上 该曲在中国渐渐失传 城中的粮食吃尽 襄阳隔绝不通 如是便还 [51-52] [14] 必然更加不为防备 当中就包括“赵马服君赵奢” 手梃鏖击 陆逊半身像 等到刘备被打败 今乃令入五六百里 使者捕伍胥 其“侯而王 是以诗叹‘宜民宜人 皆破之 他飞刀杀死用弓箭瞄准高长恭的射手 [66] 察前世已然之效 孙权知道刘备已夺得益州 [75] 楚并杀奢与尚也 10.关氏 这里说是扁鹊的弟子 已有备矣 所以当唐军到来 后 子：伍子胥有一子 而武人也 而崇祯二年（1629年）立于石磐沟关羽祖茔的《祀田碑记》和清乾隆二十一年（1756年）编修的《关帝志》 以后高仙芝每次出征 则分前后段 非安德之基也 密县祀太傅卓茂 高大威猛且武艺不凡 招兵买马 无所复戚 关兴 不过平原君没有听赵奢
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(二) 标准差
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征（二） 标准差 ●学习目标1、能从样本数据中求出标准差，并做出合理解释；2、进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的标准差估计总体的特征；3、注意对样本标准差的随机性的体会，并能够正确利用标准差解决一些简单的实际问题． ●学习重点从样本数据中求出标准差并做出合理解释；样本估计总体的思想． ●学习难点体会统计的作用和样本标准差的随机性，并利用标准差解决一些简单的实际问题． ●学习过程 一．温故知新1、众数、中位数和平均数都是描述一组数据_________的量．2、两名射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 分别求出这两名运动员射击成绩的众数、中位数和平均数，对这次射击情况应如何评价？二．走进课堂1、极差：反映一组数据的变化的___________，它对一组数中的______非常敏感，由此可以得到一种“______________，______________”的统计策略．2、标准差：考察样本数据的______________最常用的统计量，是样本数据到_______的一种____________，一般用s 表示．（1）标准差的表达式：______________________s =；变形得：s = （2）标准差的大小，受样本中每个数据的影响，如果数据间变异大，则标准差也大，反之则小．因此，标准差越大，数据的离散程度_____，标准差越小，数据的离散程度_____； （3）标准差的取值范围是：______s ∈；（4）标准差常被理解为稳定性，标准差的单位与原数值的单位相同． 如何对上面甲、乙两名射击运动员做出评价？3、方差：即标准差的平方2s ．（1）方差的表达式：2________________________________s =；（2）方差也是反映数据离散程度的特征数字，它的单位是原数值的单位的平方． 【夯实基础】（1）甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3，下列说法正确的有（ ）①甲队的技术比乙队好； ②乙队发挥比甲队稳定 ③乙队几乎每场都进球； ④甲队的表现时好时坏Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个 （2）某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分，标准差是s ，后来发现记录有误，某甲得70分却记为40分，某乙50分误记为80分，更正后重新计算得标准差为1s ，则s 与1s 之间的大小关系是（ ）Ａ．s ＝1s Ｂ．s ＜1s Ｃ．s ＞1s Ｄ．不能确定 （3）已知一个样本为：x ，1，y ，5，其中x ，y 是方程组222,10x y x y +=⎧⎨+=⎩的解，则这个样本的标准差是（ ）Ａ．2 Ｃ．5（４）一组数据的方差是2s ，将这组数据中的每一个数都乘以2，得到一组新数据，其方差是（ ） Ａ．212s Ｂ．22s Ｃ．24s Ｄ．2s（５）一组数据中的每一个数都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）Ａ．81.2，4.4 Ｂ．78.8，4.4 Ｃ．81.2，84.4 Ｄ．78.8，75.6 （６）五个数1，2，3，4，a 的平均数是3，，则a =____，这五个数的标准差是_____．（７）若1a ，2a ，…，20a ，这20个数据的平均数为x ，方差为0.20，则数据1a ，2a ，…，20a ，x 这21个数据的方差约为__________（保留2位有效 ）．4、典例精析【例1】从一批棉花中抽取9根棉花的纤维，长度如下：（单位：mm ） 82，202，352，321，25，293，86，206，115． 求样本的平均数、样本的方差和样本的标准差．【例2】现有A 、B 两个班级，每个班级有45名学生参加一次测验，每名参加者可获得0，1B 班的测试结果如右图：（1）你认为哪个班级的成绩比较稳定？（2）若两班共有60人及格，则参加者最少获得 多少分才可能及格？5、课堂小结：（1）众数、中位数和平均数都是描述一组数据集中趋势的特征数；标准差、方差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，标准差更具无偏性．（2）当两个样本的平均数相等或相差无几时，就要用标准差来反映样本数据的离散程度． 作业：。
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(2)
x甲 x乙
∴乙种玉米的苗长得高.
(2)由方差公式得：
1 s甲＝ [(25－30)2＋(41－30)2＋…＋(42－30)2]＝104.2， 10
2
2 同：乙种玉米苗长得高，甲种玉米苗长得齐．
2
2
课后作业
1.甲、乙两种水稻试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如 下(单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产 量比较稳定．
课堂练习
1.如图是某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中, 七位评委为某位选手打出分数的茎叶统计图 ,
去掉一个最高分和一个最低分,所剩数据
的平均数和方差分别为( (A)84,4.84 (B)84,1.6 )
(C)85,1.6
(D)85,0.4
【解析】选C.得分是79,84,84,86,84,87,93,最高分是93,最低分 是79,则去掉一个最高分和一个最低分后该选手得分是84,84, 86,84,87,计算得平均数是85,方差是1.6.
(2)因平均数为300，由表格中所列出的数据可见，只有经理 在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能 客观真实地反映该工厂的工资水平．
因此，在例子中的解答过程可表述为： 解：由数据可得：
1 1 7 x甲 （7 8 7 4） 7， x乙 （9 5 7 7） 10 10
x甲 x乙
∴从平均成绩看甲、乙二人的成绩无明显差异。
1 7 72 8 72 4 72 2 s甲 10
|x1－ x |＋|x2－ x |＋„＋|xn－ x | S＝ .由于上式含有绝对值， n
运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算标准差：
s＝ 1 2 2 2 [ x － x ＋ x － x ＋„＋ x － x ]. 2 n n 1
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
举例 1. 甲在一次射击比赛中的得分如下: ( 单 位:环).7,8,6,8,6,5,9,10,7,5,则他命中的平均 数是_____. 7.1 2. 某次数学试卷得分抽样中得到:90分 的有3个人,80分的有10人,70分的有5人,60 77分 分的有2人,则这次抽样的平均分为______.
思考
2.2.2用样本的数字特征 估计总体的数字特征
创设意境
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击
10次，命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥
的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规
如何从频率分布直方图中估计中位数？
练习
应该采用平均数来表示每一个国家项目的平 均金额，因为它能反映所有项目的信息.但平均数 会受到极端数据2200万元的影响，所以大多数项 目投资金额都和平均数相差比较大.
标准差
有两位射击运动员在一次射击测试中各射 靶十次，每次命中的环数如下：
如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出 评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选 择？
律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行 研究——用样本的数字特征估计总体的数字特征.
1. 众数
在一组数据中，出现次数最多
的数据叫做这一组数据的众数. 2. 中位数 将一组数据按大小依次排列，把 处在最中间位置的一个数据（或两个数据的 平均数）叫做这组数据的中位数. 3. 平均数 (1) x = (x1+x2+……+xn) /n (2) x = x’ +a (3) x = (x1f1+x2f2+……xkfk)/n
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征
在统计学中，样本是从总体中抽取的部分数据。
样本的数字特征是通过对样本数据的分析和计算得出的描述性统计量，可以用来估计总体的数字特征。
本文将介绍常用的样本数字特征，并讨论如何利用这些特征来估计总体的数字特征。
一、样本的数字特征
1. 平均数：样本的平均数是样本数据的总和除以样本的个数。
平均数是样本数据的中心位置的度量，可以用来估计总体的平均数。
2. 中位数：样本的中位数是将样本数据按照大小排列后，位于中间位置的数字。
中位数是样本数据的中心位置的度量，可以用来估计总体的中位数。
3. 众数：样本的众数是样本数据中出现次数最多的数字。
众数可以表示样本数据的最常见的数值，可以用来估计总体的众数。
4. 方差：样本的方差是样本数据与样本均值之差的平方的平均值。
方差反映了样本数据的离散程度，可以用来估计总体的方差。
5. 标准差：样本的标准差是样本方差的平方根。
标准差也反映了样本数据的离散程度，可以用来估计总体的标准差。
三、注意事项
1. 样本的数字特征只能提供对总体数字特征的估计，估计的准确程度取决于样本的大小和抽样方法的随机性。
样本越大，估计的准确性一般越高。
2. 在利用样本数字特征估计总体数字特征时，需要考虑样本的代表性。
抽样时要保证样本能够代表总体的各个特征和属性。
3. 样本数字特征只能给出对总体数字特征的一种估计，通过使用统计方法和推断技巧，可以给出估计结果的置信区间和可靠程度。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件人教新课标
三数的优缺点
样本的众数、中位数和平均数常用来表示 样本数据的“中心值”.
1.众数和中位数容易计算，不受少数几个极端 值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.
2.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中 每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影 响也越大.
一天 10名工人生产的零件的中位数是( C )
A.14 B.16 C.15 D.17 【解析】选C.把件数从小到大排列为10，12，14， 14，15，15，16，17，17，19，可知中位数为15.
2.甲、乙两个班各随机选出 15名同学进行测验，所得成 绩的茎叶图如图.从图中看， _____班的平均成绩较高. 【解析】结合茎叶图中成绩的情况可知，
频率散布直方图中，你认为众数应在哪个
小矩形内？由此估计总体的众数是什么？
频率/组距
注意：哪段范围的数最多？
0.5
0
取最高矩形下端中点的
0.4
横坐标2.25作为众数.
0
0.3
0O 0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
0
？由直方图看出众数是2.25，可
是抽样的数据中没有2.25，为什么 区间的中点值2.25是众数呢？
3.平均数的定义:一组数据的和除以数据的 个数所得到的数.
小练 习
求下列一组数的众数、中位数、平均数
（1）2,2,3,3,5,6,7
（2）2,3,5,5
判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)中位数一定是样本数据中的某个数.(× ) (2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的.( × )
高一数学用样本的数字特征估计总体的数字特征2
月平均用水量(t)
2.02这个中位数的估计值,与样本的中 位数值2.0不一样,你能解释其中的原因吗？
2.02这个中位数的估计值,与样本 的中位数值2.0不一样,这是因为样本数 据的频率分布直方图,只是直观地表明 分布的形状,但是从直方图本身得不出 原始的数据内容,所以由频率分布直方 图得到的中位数估计值往往与样本的 实际中位数值不一致.
3、平均数是频率分布直方图的“重 心”.
是直方图的平衡点. n 个样本数据的平均
数由公式: X=
1 n
(x1
x2
xn
)
给出.下图显示了居民月均用水量的平 均数: x=1.973
频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Hale Waihona Puke 月平均用水量(t)； 微信红包群 / 微信红包群 ；
去迎接每一天。用自己的双眼，去欣赏属于自己的快乐风景。也可以认为，人的心灵应该永远充满喷涌的激情，人生需要不停的行走，不断地接受新的挑战，追求新的事物，在不断的追求中方能享受人生的快乐，没有欲望，没有追求，就永远难享快乐！还可以将“欲望”分为物质和精神两个层 面，分别论述这两个层面与快乐的关系，或论其中一个层面与快乐的关系。 写作时，可就以上三个方面任选一个角度写一篇议，也可以用一个人物的经历演绎故事，表达自己对这个话题的看法，鼓励文体创新，写出富有个性的佳作。 ? 10.阅读下面的材料，然后按要求作文。 中国自主设计的 地铁二号线投入运营后，人们发现德国人设计的一号线中的许多细节被我们忽视了。譬如，德国设计师在靠近站台约50厘
(完整版)用样本的数字特征估计总体的数字特征(教案)
2。
2。
2 用样本的数字特征估计总体的数字特征一、教学目标1．能从样本数据中提取基本的数字特征，并做出合理的解释． 2．会求样本的众数、中位数、平均数．3．能从频率分布直方图中，求得众数、中位数、平均数． 二、教学重难点重点:根据实际问题，对样本数据提取基本的数字特征并做出合理解释,估计总体的基本数字特征；体会样本数字特征具有随机性．难点:在频率分布直方图中分析众数、中位数、平均数. 三、众数、中位数、平均数的概念 1。
众数的概念一组数据中重复出现次数_____的数叫做这组数的众数 2。
中位数的定义把一组数据按大小顺序排列，把处于_____位置的那个数称为这组数据的中位数； 当数据个数为奇数时，中位数是按大小顺序排列的____的那个数；当数据个数为偶数时,中位数是按大小顺序排列的最中间两个数的_________。
3.平均数的概念 如果有n 个数12,,,n x x x ,那么这n 个数的算术平均数就是这组数平均数，即例1:在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下: 甲运动员：7,8，6,8,6，5，8，10,7,4 乙运动员：9，5，7,8，7，6，8,6，7,7观察上述样本数据，分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数？ 甲运动员命中环数:众数: 中位数：平均数:786865810746.910x +++++++++==乙运动员命中环数:众数： 中位数：平均数：9578768677710x +++++++++==例2、在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数 。
众数（最多的）： ；中位数（最中间的）: 平均数 ：四、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 思考1：如何从频率分布直方图中估计出众数的值？例3：在上一节调查的100位居民的月均用水量的问题中，这些样本数据的频率分布直方图如下所示:观察图形，估计出众数的思考2：如何从频率分布直方图中估计出中位数的值？在样本中，有50％的个体小于或等于中位数,也有50％的个体大于或等于中位数反映到频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值. 所以，中位数在频率分布直方图中，就是使其左右小矩形面积和相等 思考3：如何从频率分布直方图中估计出平均数的值?例4：射击选手甲10次的射击情况，求其命中环数的平数2.54.5所以,平均数为:456272831010x ++⨯+⨯+⨯+=1122314567810101010101010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯即：平均数等于每个命中环数乘以该数的频率之和例5：100位居民月均用水量的频率分布表，求其平均数的估计值0.250.040.750.08 1.250.15 1.750.22 2.250.252.750.14 3.250.06 3.750.04 4.250.022.02x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以，平均数的估计值=小矩形底边中点的横坐标乘以对应频率之和 思考4：怎么在样本的频率分布直方图中估计出平均数的值？平均数的估计值=每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 五、反思与感悟 :众数：最高矩形端点的横坐标;中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标；平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和。
高中数学必修3《用样本的数字特征估计总体的数字特征(二)》导学案
数学（高二上）导学案必修三第二章第二节课题：用样本估计总体二、合作探究归纳展示任务1 标准差问题平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态．如：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：7879549107 4乙：9578768677如果你是教练，你应当如何对这次射击作出评价？思考1甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？答经计算得：x甲＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得x乙＝7.思考2观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？答直观上看，还是有差异的．如：甲成绩比较分散，乙成绩相对集中．思考3对于甲乙的射击成绩除了画出频率分布条形图比较外，还有没有其它方法来说明两组数据的分散程度？答还经常用甲乙的极差与平均数一起比较说明数据的分散程度．甲的环数极差＝10－4＝6，乙的环数极差＝9－5＝4.它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息．显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略．思考4 如何用数字去刻画这种分散程度呢？答 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示 . 思考5 所谓“平均距离”，其含义如何理解？答 假设样本数据是x 1，x 2，…，x n ，x 表示这组数据的平均数．x i 到x 的距离是|x i －x |(i ＝1,2，…，n )．于是，样本数据是x 1，x 2，…，x n 到x 的“平均距离”是S ＝|x 1－x |＋|x 2－x |＋…＋|x n －x |n .由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算标准差： s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. 思考6 标准差的取值范围如何？若s ＝0表示怎样的意义？答 从标准差的定义可以看出，标准差s ≥0，当s ＝0时，意味着所有的样本数据等于样本平均数． 任务2 方差思考1 方差的概念是怎样定义的？答 人们有时用标准差的平方s 2—方差来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具，方差：s 2＝1n ·[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．思考2 对于一个容量为2的样本：x 1，x 2(x 1＜x 2)，它们的平均数和标准差如果分别用x 和a 表示，那么x 和a 分别等于什么？ 答 x ＝12(x 1＋x 2)，a ＝12(x 2－x 1)．思考3 在数轴上，x 和a 有什么几何意义？由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响？答 x 和a 的几何意义如下图所示．说明了标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围．思考4 现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知道的．如何求得总体的平均数和标准差呢？答 通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差．这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．例1求出问题中的甲乙两运动员射击成绩的标准差，并说明他们的成绩谁比较稳定？解x甲＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得x乙＝7.根据标准差的公式，s甲＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋…＋(4－7)2]＝2；同理可得s乙≈1.095.所以s甲>s乙．因此说明甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小．由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定．跟踪训练1如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．答案 6.8任务3标准差及方差的应用例2画出下列四组样本数据的条形图，说明它们的异同点．(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.解四组样本数据的条形图如下：四组数据的平均数都是5.0，标准差分别是：0.00，0.82，1.49，2.83.它们有相同的平均数，但它们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的．跟踪训练2从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：甲：25、41、40、37、22、14、19、39、21、42；乙：27、16、44、27、44、16、40、40、16、40；(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？解(1)x甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，x乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31，x甲＜x乙．即乙种玉米的苗长得高．(2)由方差公式得：s2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋…＋(42－30)2]＝104.2，同理s2乙＝128.8，∴s2甲＜s2乙.即甲种玉米的苗长得齐．答乙种玉米苗长得高，甲种玉米苗长得齐．例3甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件．为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下(单位：mm)：甲25．4625.3225.4525.3925.3625．3425.4225.4525.3825.4225．3925.4325.3925.4025.44的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性．用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案．四、作业布置 1、基础知识：1．下列说法正确的是( )A ．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大B ．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小C ．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和D ．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高 答案 B2．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( )A.1169B.367C ．36D.677答案 B3．已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是x ＝2，方差是13，那么另一组数据3x 1－2,3x 2－2,3x 3－2,3x 4－2,3x 5－2的平均数和方差分别为( )A ．2，13B ．2,1C ．4，13D ．4,3答案 D4．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________．。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征在统计学中，我们经常需要对总体的数字特征进行估计。
由于总体往往很大或者难以获得全部数据，我们通常只能通过抽样得到部分数据。
这时，我们可以利用样本的数字特征来估计总体的数字特征，从而对总体进行推断。
本文将介绍用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法和相关概念。
一、样本与总体的概念在统计学中，总体是指研究对象的全部个体或观察值的集合。
总体通常是我们想要了解的全部群体，比如全国人口总数、某一批产品的质量总体等。
样本是从总体中选取的、具有代表性的一部分个体或观察值的集合。
样本的选择要求有代表性，即能够反映总体的一般情况。
在实际应用中，由于种种原因往往难以获得全部总体数据，因此我们通常只能依靠样本数据来进行统计推断。
二、样本的数字特征样本的数字特征是用来表示样本数据的数字指标，通常包括中心位置的指标（均值、中位数）、离散程度的指标（标准差、方差）和形状的指标（偏度、峰度）等。
这些数字特征可以帮助我们了解样本数据的集中趋势、变异程度和分布形状，从而为估计总体的数字特征提供依据。
1. 中心位置的指标中心位置的指标用来表示样本数据的集中趋势，反映了样本数据的平均水平。
常用的中心位置指标包括均值和中位数。
均值是样本数据的平均值，可用于表示样本数据的平均水平。
中位数是将样本数据按照大小顺序排列后位于中间位置的数值，能较好地反映样本数据的中心位置。
2. 离散程度的指标离散程度的指标用来表示样本数据的分散程度，反映了样本数据的离散程度。
常用的离散程度指标包括标准差和方差。
标准差是样本数据偏离均值的平均距离的平方根，是对样本数据的分散程度的度量。
方差是标准差的平方，是样本数据离均值的平均偏差的度量。
3. 形状的指标1. 点估计点估计是利用样本的数字特征估计总体的数字特征的一种方法。
点估计通常是利用样本的数字特征来估计总体的数字特征的一个数值。
比较常用的点估计方法包括样本均值估计总体均值、样本标准差估计总体标准差等。
学科核心素养下高中数学教学设计——以“用样本估计总体”为例
学科核心素养下高中数学教学设计———以“用样本估计总体”为例文|傅焕铭一、教材分析我们收集的原始数据往往多而杂，需要对原始数据进行分析、处理，找到数据背后蕴藏的信息。
对总体统计特征的刻画包括两个层面：一是总体统计特征的全面刻画，即刻画出总体中所有个体的取值规律，这个规律可以用总体的频率分布表和频率分布直方图描述或近似描述；二是总体部分统计特征的刻画，如平均数、众数、方差、标准差等数字特征。
二、教学目标（一）核心素养学生初步习得科学处理数据的能力。
（二）教学目标（1）学生用频率分布直方图估计样本的众数、中位数、平均数等数据特征。
（2）学生能自行独立计算样本数据的标准差、方差，并知道分别刻画统计的什么特征。
（3）学生会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本特征估计总体特征，理解用样本估计总体的思想，并能利用所学知识解决生活中的一些现实问题。
三、教学重难点教学重点：学生能从频率分布直方图上估计出样本数据特征。
教学难点：学生理解总体分布的概念，形成统计思维。
四、教学过程师：同学们，前面我们已经研究过通过抽样调查来研究数据的方法，了解了提高样本代表性的一些具体方法，收集数据后，我们要从中找到数据背后包含的信息，方可达到用样本估计总体的目的。
今天我们就一起研究“用样本估计总体”。
（一）课前导学师：同学们，根据自学任务，思考下列问题并完成检测。
任务1：样本数字特征有哪些？如何求？这些特征在频率分布直方图上如何估计？任务2：样本数字特征是如何反映样本数据的集中趋势和离散程度的？（设计意图：通过出示自学任务，引导学生自学，相机进行自学效果检测。
学生根据自学情况，检测新知中还有哪些内容没有理解和掌握，从而有针对性地学习本节内容，实现高效学习。
同时也旨在培养学生良好的学习习惯，指导学生学会学习数学的方法。
）（二）课堂设计探究一：样本的数字特征11.探究：众数、中位数、平均数的概念。
师：请同学们根据概念解释，完成概念名词的填空，并揣摩这些概念的含义。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
说出众数，中位数和平均数
讨论探究
某学校高一甲班和高一乙班各有49名学生，两班在一次数学 测试中的成绩统计如下：
班级甲班Leabharlann 平均分79众数
70
中位数
87
标准差
19.8 5.2
79 70 79 乙班 (1)请你对下面的一段话给予简要分析：
甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分为
79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！” (2)请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要 分析，并提出建议．
班级
甲班 乙班
平均分
79 79
众数
70 70
中位数
87 79
标准差
19.8 5.2
解：(1)由于甲班49名学生数学测验成绩的中位数是87，则 85分排在全班第25名之后，所以从位次上看，不能说85分是上 游，成绩应该属于中游． 但也不能以位次来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他 对这段的学习内容掌握得较好，从掌握学习的内容上讲，也可 以说属于上游． (2)甲班成绩的中位数是87分，说明高于87分(含87)的人数占 一半以上，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分也多， 两极分化严重，建议加强对学习困难的学生的帮助． 乙班的中位数和平均数都是79分，标准差又小，说明学生之 间差别较小，学习很差的学生少，但学生优异的也少，建议采 取措施提高优秀率．
用样本的频率分布估计总体分布
习题课
学习目标 （1）会根据数据列出频率分布表； （2）画出频率分布直方图，并会读取直方 图中的信息
例：对某电子元件进行寿命跟踪调查，情况如下
寿命/h 个数 100—200 200—300 300—400 400—500 500—600 20 30 80 40 30
山东省高中数学《2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征》教案2 新人教A版必修3
第2课时标准差导入新课思路1平均数为我们提供了样本数据的重要信息,但是,有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176 cm,给我们的印象是该地区的中学生生长发育好,身高较高.但是,假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质.因此,只有平均数难以概括样本数据的实际状态.所以我们学习从另外的角度来考察样本数据的统计量——标准差.(教师板书课题)思路2在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕甲运动员:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4；乙运动员:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥得更稳定些吗？如果你是教练,选哪位选手去参加正式比赛？我们知道,x甲=7，x乙=7.两个人射击的平均成绩是一样的.那么,是否两个人就没有水平差距呢？从上图直观上看,还是有差异的.很明显,甲的成绩比较分散,乙的成绩相对集中,因此我们从另外的角度来考察这两组数据——标准差.推进新课新知探究提出问题(1)如何通过频率分布直方图估计数字特征（中位数、众数、平均数）？(2)有甲、乙两种钢筋,现从中各抽取一个标本（如下表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）,通过计算发现,两个样本的平均数均为125.甲110 121312512125135125135125乙115 112513115125125145125145哪种钢筋的质量较好？(3)某种子公司为了在当地推行两种新水稻品种,对甲、乙两种水稻进行了连续7年的种植对比实验,年亩产量分别如下:(千克)甲：600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773)乙：800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787)请你用所学统计学的知识,说明选择哪种品种推广更好?(4)全面建设小康社会是我们党和政府的工作重心,某市按当地物价水平计算,人均年收入达到1.5万元的家庭即达到小康生活水平.民政局对该市100户家庭进行调查统计,它们的人均收入达到了1.6万元,民政局即宣布该市民生活水平已达到小康水平,你认为这样的结论是否符合实际?(5)如何考查样本数据的分散程度的大小呢?把数据在坐标系中刻画出来,是否能直观地判断数据的离散程度?讨论结果：(1)利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点） 估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. (2)由上图可以看出,乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110,乙样本的最大值145高于甲样本的最大值135,这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range ）.由上图可以看出,乙的极差较大,数据点较分散；甲的极差小,数据点较集中,这说明甲比乙稳定.运用极差对两组数据进行比较,操作简单方便,但如果两组数据的集中程度差异不大时,就不容易得出结论. (3)选择的依据应该是,产量高且稳产的品种,所以选择乙更为合理.(4)不符合实际.样本太小,没有代表性.若样本里有个别高收入者与多数低收入者差别太大.在统计学里,对统计数据的分析,需要结合实际,侧重于考察总体的相关数据特征.比如,市民平均收入问题,都是考察数据的分散程度.(5)把问题(3)中的数据在坐标系中刻画出来.我们可以很直观地知道,乙组数据比甲组数据更集中在平均数的附近,即乙的分散程度小, 如何用数字去刻画这种分散程度呢? 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是方差和标准差.标准差：考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差(standard deviation).标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s 表示. 所谓“平均距离”,其含义可作如下理解:假设样本数据是x 1,x 2,…,x n ,x 表示这组数据的平均数.x i 到x 的距离是|x i -x |(i=1,2,…,n).于是,样本数据x 1,x 2,…,x n 到x 的“平均距离”是S=nx x x x x x n ||||||21-++-+- .由于上式含有绝对值,运算不太方便,因此,通常改用如下公式来计算标准差: s=])()()[(122221x x x x x x nn -++-+- .意义：标准差用来表示稳定性,标准差越大,数据的离散程度就越大,也就越不稳定.标准差越小,数据的离散程度就越小,也就越稳定.从标准差的定义可以看出,标准差s≥0,当s=0时,意味着所有的样本数据都等于样本平均数.标准差还可以用于对样本数据的另外一种解释.例如,在关于居民月均用水量的例子中,平均数x =1.973，标准差s=0.868，所以x +s=2.841,x +2s=3.709； x -s=1.105,x -2s=0.237.这100个数据中，在区间［x -2s,x +2s ］=［0.237,3.709］外的只有4个，也就是说，［x -2s, x +2s ］几乎包含了所有样本数据.从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方s 2——方差来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具： s 2=n1［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］.显然，在刻画样本数据的离散程度上，方差与标准差是一样的.但在解决实际问题时，一般多采用标准差.需要指出的是,现实中的总体所包含的个体数往往是很多的,总体的平均数与标准差是不知道的.如何求得总体的平均数和标准差呢?通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差.这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接受的.两者都是描述一组数据围绕平均数波动的大小,实际应用中比较广泛的是标准差.如导入中的运动员成绩的标准差的计算器计算.用计算器计算运动员甲的成绩的标准差的过程如下：即s 甲=2.用类似的方法，可得s 乙≈1.095.由s 甲>s 乙可以知道,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小.由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定. 应用示例思路1例1 画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点. (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5； (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6； (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8. 分析：先画出数据的条形图,根据样本数据算出样本数据的平均数,利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差.解：四组样本数据的条形图如下：四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是：0.00,0.82,1.49,2.83. 它们有相同的平均数,但它们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的.例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm 的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm): 甲25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 25.36 25.3425.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高?分析:每一个工人生产的所有零件的内径尺寸组成一个总体.由于零件的生产标准已经给出(内径25.40 mm),生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量.总体的平均数与内径标准尺寸25.40 mm 的差异大时质量低,差异小时质量高;当总体的平均数与标准尺寸很接近时,总体的标准差小的时候质量高,标准差大的时候质量低.这样,比较两人的生产质量,只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可.但是,这两个总体的平均数与标准差都是不知道的,根据用样本估计总体的思想,我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据,然后比较这两个样本的平均数、标准差,以此作为两个总体之间差异的估计值. 解：用计算器计算可得甲x ≈25.401，乙x ≈25.406;s 甲≈0.037,s 乙≈0.068.从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40 mm),但是差异很小;从样本标准差看,由于s 甲<s 乙,因此甲生产的零件内径比乙的稳定程度高得多.于是,可以作出判断,甲生产的零件的质量比乙的高一些.点评：从上述例子我们可以看到,对一名工人生产的零件内径(总体)的质量判断,与所抽取的零件内径(样本数据)直接相关.显然,我们可以从这名工人生产的零件中获取许多样本.这样,尽管总体是同一个,但由于样本不同,相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本的代表性差,那么对总体所作出的估计就会产生偏差;样本没有代表性时,对总体作出错误估计的可能性就非常大.这也正是我们在前面讲随机抽样时反复强调样本代表性的理由.在实际操作中,为了减少错误的发生,条件许可时,通常采取适当增加样本容量的方法.当然,关键还是要改进抽样方法,提高样本的代表性. 变式训练某地区全体九年级的3 000名学生参加了一次科学测试,为了估计学生的成绩,从不同学校的不同程度的学生中抽取了100名学生的成绩如下：100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.请根据以上数据估计该地区3 000名学生的平均分、合格率（60或60分以上均属合格）. 解：运用计算器计算得：100450126024701880309012100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=79.40,(12+30+18+24+12)÷100=96%,所以样本的平均分是79.40分,合格率是96%,由此来估计总体3 000名学生的平均分是79.40分,合格率是96%.思路2例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2）,试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙9.410.310.89.79.8解：甲品种的样本平均数为10,样本方差为 ［（9.8-10）2 +（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2］÷5=0.02. 乙品种的样本平均数也为10,样本方差为 ［（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2］÷5=0.24. 因为0.24>0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.例2 为了保护学生的视力,教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下,试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差.天数151—180 181—210 211—240 241—270 271—300 301—330 331—360 361—390灯泡数1111820251672分析：用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命,再求平均寿命. 解：各组中值分别为165,195,225,255，285,315,345,375,由此算得平均数约为165×1%+195 ×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天). 这些组中值的方差为1001×［1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2］=2 128.60(天2). 故所求的标准差约6.2128≈46（天）.答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天. 知能训练 （1）在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为____________.（2）若给定一组数据x 1,x 2,…,x n ,方差为s 2,则ax 1,ax 2,…,ax n 的方差是____________. (3)在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36试判断选谁参加某项重大比赛更合适？ 答案：（1）9.5,0.016 （2）a 2s 2(3)甲x ＝33，乙x ＝33,33734722=>=乙甲s s ,乙的成绩比甲稳定,应选乙参加比赛更合适. 拓展提升某养鱼专业户在一个养鱼池放入一批鱼苗,一年以后准备出售,为了在出售以前估计卖掉鱼后有多少收入,这个专业户已经了解到市场的销售价是每千克15元,请问,这个专业户还应该了解什么？怎样去了解？请你为他设计一个方案.解：这个专业户应了解鱼的总重量,可以先捕出一些鱼（设有x 条）,作上标记后放回鱼塘,过一段时间再捕出一些鱼（设有a 条）,观察其中带有标记的鱼的条数,作为一个样本来估计总体,则鱼塘中鱼的总条数鱼的条数鱼塘中所有带有标记的条鱼中带有标记的条数)(x aa =这样就可以求得总条数,同时把第二次捕出的鱼的平均重量求出来,就可以估计鱼塘中的平均重量,进而估计全部鱼的重量,最后估计出收入. 课堂小结1.用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：用样本平均数估计总体平均数,平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平.用样本标准差估计总体标准差.样本容量越大,估计就越精确,标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度. 2.用样本估计总体的两个手段（用样本的频率分布估计总体的分布；用样本的数字特征估计总体的数字特征）,需要从总体中抽取一个质量较高的样本,才能不会产生较大的估计偏差,且样本容量越大,估计的结果也就越精确. 作业习题2.2A 组4、5、6、7,B 组1、2.设计感想统计学科,最大的特点就是与现实生活的密切联系,也是新教材的亮点.仅仅想借助“死记硬背一些概念及公式,简单模仿课本例题”来学习,是绝对不行的.用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息会有偏差,其原因在于样本的随机性.这种偏差是不可避免的.虽然我们从样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正分布、均值和标准差,而只是总体的一个估计,但这种估计是合理的,特别是当样本的容量很大时,它们确实反映了总体的信息.教师建议：亲身经历“提出问题,收集数据,分析数据,并作出合理决策”过程,在此过程中不仅可以加深对概念等知识的深刻理解,更重要的是发展了思维,培养了分析及解决问题能力,同时在情感、意志等领域也得到了协调发展,这才是学校学习的科学而全面的目标,习题设置有层次,尽量源于教材,又高于教材,这也是高考命题原则.。
用样本的数字特征估算总体的数字特征
（1）多高株苗在这两种玉米中最常见？
（2）哪种玉米要长得高一些？
（3）哪种玉米要长得齐一些？
例1：某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名 学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
标准差越小，表示数据越稳定，离散程度越 小；标准差越大，则说明数据差异很大，离 散程度大，不稳定。
随堂练习：下面是甲乙两位运动员在一次射击测试中的10 次成绩。 甲：8 7 9 5 4 9 10 7 4 9 乙：9 5 7 8 6 8 9 7 9 7 你能说说谁的成绩更稳定吗？
随堂练习：下面是甲乙两个品种玉米的株高情况，各抽10 柱，情况为：（单位：cm）
5、平均数：将样本中所有数据求和之后，除以样本中 个体的个数，得到的结果。它是最常用的表现数据平均 水平的量。
随堂练习：下面是甲乙两位运动员在一次射击测试中 的10次成绩。 甲：8 7 9 5 4 9 10 7 4 9 乙：9 5 7 8 6 8 9 7 9 7 1、计算甲乙二人的平均成绩，说说谁的更好。 2、甲乙二人的射击成绩中，中位数是多少？众数呢？ 对于选手来说，稳定性也很重要，有没有什 么数据能够说明样本的稳定性的？
变式题:为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了 20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图， 则 (2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数、众数和平均 数分别为多少？
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在数；
(2)求这次测试数学成绩的平均数；
（1）利用直方图估算众数， (3)求这次测试数学成绩的中位数。 即频数最高区域两端点的平 均值。 （2）利用直方图估算平均数，将各组 的两端点的平均值作为各组的平均数。 （3）利用直方图估算中 位数，利用中位数左边右 边各占一半，故直方图面 积也应该各占50%。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的
25.49 25.32
从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量 ks5u精品课件 较高？
x 甲 » 25.401 s甲 » 0.037
x 乙 » 25.406
s乙 » 0.068
甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定 程度较高，故甲生产的零件质量较高.
说明：1.生产质量可以从总体的平均数与标准差 两个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与 标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与 标准差估计总体的平均数与标准差. 2.问题中25.40mm是内径的标准值，而不是 总体的平均数.
ks5u精品课件
例5 有20种不同的零食，它们的热量 含量如下： 110 120 123 165 432 190 174 235 428 318 249 280 162 146 210 120 123 120 150 140 （1）以上20个数据组成总体，求总体平 均数与总体标准差； （2）设计一个适当的随机抽样方法，从 总体中抽取一个容量为7的样本，计算样 本的平均数和标准差.
（3）
O
1Байду номын сангаас2 3 4 5 6 7 8
（4）
ks5u精品课件
例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种 零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们 生产的零件中各随机抽取20件，量得其内径尺寸 如下（单位：mm）：
甲 ： 25.46 25.45 25.44 乙： 25.40 25.49 25.47 25.32 25.38 25.40 25.43 26.36 25.31 25.45 25.42 25.42 25.44 25.34 25.32 25.39 25.39 25.35 25.48 25.33 25.32 25.36 25.43 25.41 25.48 25.43 25.32 25.34 25.39 25.39 25.47 25.43 25.48 25.42 25.40
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征(2)
测量样本数据分散程度的工具 :
− − − 1 2 2 s = ( x1 − x) + ( x2 − x) + ⋯ + ( xn − x) 2 . n 2
甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件 的一种零件. 例2 甲乙两人同时生产内径为 的一种零件 为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件 为了对两人的生产质量进行评比 从他们生产的零件 中各抽出20件 量得其内径尺寸如下 单位:mm) 量得其内径尺寸如下(单位 中各抽出 件,量得其内径尺寸如下 单位 甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39 乙 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48
x甲 = 25.4005, x乙 = 25,4008; s甲 = 0.038, s乙 = 0.074
−
−
从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙生产的更接 从样本平均数看 甲生产的零件内径比乙生产的更接 近内径标准(25.40mm),但是差异很小 从样本标准差看 但是差异很小;从样本标准差看 近内径标准 但是差异很小 从样本标准差看, 由于
−
−
x =5
S=0.82
−
x=5
S=1.49
1 2 3 45 (2)
2.2用样本数字特征估计总体数字特征-2——众数中位数
(4) 2 , 2 , 2 , 2, 5 , 8 , 8 , 8 , 8 ;
解: 四组样本数据的 直方图是:
频率
1.0 0.9 0.8
x5
0.7
0.6
0.5 S=0.00
0.4
0.3
0.2
0.1
o 1 2 3 45
(1)
678
频率
(1) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; 1.0
解: (1) 分别计算这两组数据的平均数
(2)图形观察
(3)除了解平均水平外，还需要了解它们的波动情况 (即偏离平均数的大小) ,即方差 或标准差
从0.026＞0.008可以比较出，机床甲生产比机床乙 生产的直径波动要大, 即甲的稳定性差.
例1 已知两组数据：
分别计算这两组数据的方差．
分析 (1)求平均数
练习B、求这三组数据的平均数、方差和标准差。
平均数
方差
标准差
1、2、3、4、5
3
11、12、13、14、15
13
3、6、9、12、15
9
2
2
2
2
18
32
能从中发现哪些有趣的结论？
练习C 请你用发现的结论来解决以下的问题
已知数据a1，a2，a3，…，an的平均数为X，方差Y, 标准差Z, 则
①数据a1+3，a2 + 3，a3 +3 ，…，an +3平均数为-X---+---3-，方差为---Y----，
答： 方差和标准差分别用S 2和s表示．用x
表示一组数据的平均数，x1、x2、… xn 表示n个数据，则这组数据方差的 计算公式就是
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
频率分布直方图如下：
频率 组距
中位数
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
月均用水量
/t
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
说明:
2.03这个中位数的估计值,与样本 的中位数值2.0不一样,这是因为样本数 据的频率分布直方图,只是直观地表明 分布的形状,但是从直方图本身得不出 原始的数据内容,所以由频率分布直方 图得到的中位数估计值往往与样本的 实际中位数值不一致.
3、平均数是频率分布直方图的“重 心”.
是直方图的平衡点. n 个样本数据的平均
数由公式: X=
1 n
(x1
x2
xn
)
给出.下图显示了居民月均用水量的平 均数: x=1.973
频率分布直方图如下：
频率 组距
平均数
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
月均用水量
/t
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Hale Waihona Puke 地反映该厂的工资水平吗？为什么？
分析：众数为200，中位数为220，
平均数为300。
因平均数为300，由表格中所列 出的数据可见，只有经理在平均数以 上，其余的人都在平均数以下，故用 平均数不能客观真实地反映该工厂的 工资水平。
练习
1.数据：1，1，3，3的众数和中位数分别是 ( )
A.1或3，2
二 、 众数、中位数、平均数 与频率分布直方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图 中，就是最高矩形的中点的横坐标。
例如，在上一节调查的100位居民的月 均用水量的问题中，从这些样本数据的频 率分布直方图可以看出，月均用水量的众 数是2.25t.如图所示：
频率分布直方图如下：
频率 组距
众数（最高的矩形的中点）
B.3，2
C.1或3，1或3
D.3，3
2.频率分布直方图中最高小矩形的中间位置 ( )
所对的数字特征是
A.中位数
B.众数
C.平均数
D.标准差
3.
4. 5.
三 众数、中位数、平均数的 简单应用
例1. 某工厂人员及工资构成如下：
人员
经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计
周工资 2200 250
220
200 100
人数
16
5
10 1 23
合计
2200 1500
1100
2000 100 6900
（1）指出这个问题中周工资的众数、中
位数、平均数 （2）这个问题中，工资的平均数能客观
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
月均用水量
/t
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
2、在样本中，有50％的个体小于或等于 中位数，也有50％的个体大于或等于中位 数，因此，在频率分布直方图中，中位数 左边和右边的直方图的面积应该相等，由 此可以估计中位数的值。下图中虚线代表 居民月均用水量的中位数的估计值，此数 据值为2.03t.
表所示：
解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的 次数最多，即这组数据的众数是1.75．
上面表里的17个数据可看成是按从小到大 的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的 一个数据，即这组数据的中位数是1.70；
这组数据的平均数是
答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数 依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）.
用样本的数字特征估计 总体的数字特征(第一课时)
衡东二中高一数学备课组
课件制作:李荣国
一、众数、中位数、平均数
1、众数 在一组数据中，出现次数最多的数 据叫做这一组数据的众数。
2、中位数 将一组数据按大小依次排列， 把处在最中间位置的一个数据（或两个数据 的平均数）叫做这组数据的中位数。
3、平均数 (1) x = 1/n(x1+x2+……+xn)
(2) x = x’ +a
(3) x = (x1f1+x2f2+……xkfk)/n
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与 平均数
成绩 (单位：米)
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
练习: 在一次中学生田径运动会上，
参加男子跳高的17名运动员的成绩如下