天津市南开中学2021届高三年级第一次月考 数学(无答案)
天津市南开区南开中学2020-2021学年高三(下)第一次月考数学试题
即：
上式恒成立，可知：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用等比数列的定义求解参数问题，关键是能够通过对应项系数相同求解出结果.
6．D
【分析】
求出抛物线焦点坐标即得椭圆焦点坐标，可得 ，由 的面积为 可得 ，联立两式求得 的值，从而可得结果.
【详解】
，
即 焦点为 ，
即 焦点为 ，
，①
又 的面积为 ，
时， , ，
，得 ，②
由①②得， ，
双曲线的方程为 ,故选D.
【点睛】
本题主要考查抛物线的方程与性质以及双曲线的方程与性质，属于中档题.求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.
7．C
【分析】
由题意首先求得 的长度，然后结合勾股定理整理计算即可求得最终结果.
A． B． C． D．
9．已知函数 在 上的最大值为 ，若函数 有4个零点，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
二、填空题
10．若 是复数， ，则 ____________．
11．二项式 的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值,则展开式中 项的系数是________
12．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为_______．
【详解】
设椭圆、双曲线的长轴长分别为 ，焦距为 ，
则： ，解得： ，
由勾股定理可得： ，
即： ，整理可得： .
故选C.
【点睛】
椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、勾股定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．
南开中学2021届高三数学月考5答案(数学).doc
南开中学2021届高三年级第五次月考数学参考答案—.选择题:CBCBA ACAB7二.填空题：(10) -3 (11) 112 (12 ) 2071(13) 一，120(14) 4右+ 7 (15)—3 33(16)解：(I )在.由毓？中，根据正弦定理，--------- = ----- ,sm C sm A于是AB = sin C-^- = 2BC = 2^5sin A(II)在AABC中，根据余弦定理，得cos A = 心+出」鬼-2ABAC于是sin A = Vl-cos2A = ,4 3从而sin 2A = 2sin A cos A = —, cos 2A = cos2 A-sin2[ 71 \ 7C 71 \l2sin 2A ---- = sin 2 A cos ------ cos 2 A sin —=—" " 4 4 10(17)解：(1)取8。
中点G,连接DG.:.BG = -BC = 12-.AD//BC, AD = 1:.AD/LBG ,□四边形ABGD为平行四边形DG//AB -.-AD±AB:.ADLDG□平面EDCF工平面ABCD四边形以为矩形EDLDC,平面EDCFC\平面ABCD = DC:.ED^平面ABC。
如图，以D为原点，D4所在直线为x轴，QG所在直线为)，轴，£>E所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(1,O,O), 3(1,2,0), E(0,0,右)，F(-1,2,右)，3E = (-1, -2, A/5),AB = (0,2,0)设平面ABE的一个法向量为〃=(尤,y,z),.—x — 2^y + y[3z = 0.. 2y = 0不妨设X = y/3 , y =。
，则Z = 1,/.n = (A0,l)又V DF=(-1,2,A/3):,DF-n = -y/3 + y/3=0:.DF _L n又vDFtt平面仙EDFH平面ABE(2)而=(-1,-2,右)，序= (-2,0,句设平面班尸的一个法向量为秫=3，了"1),-— 2,] + A/^Z]— 0-2-X] + A/5Z] = 0不妨设M=2也,则况=右，寻=4,福=(2右,右,4).设向量福与另的夹角为0,则m-n-m • ra- COS05 _5屈 而-31 则 sin a =|cos < BP, n >| = 0x20 + 0x0 + 1x42右)2 + (0)2 +42 .称)2 +°2 +F□平面ABE 与平面幽B 所成二面角的余弦值为会坦 31(3)设DP = 2DF = 2(-l,2,V3)= (-2,22,A/32),2e[0,l], 则 P (—人,2/1,,所以 BP =(一人—1,2/1 — 2, ,又平面仙E 的一个法向量为另=(右,0,1),即直线时与平面ABE ■所成角为。
函数的图象基础知识(艺考生)
函数的图象思维导图知识梳理1．利用描点法作函数的图象 其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )．④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (x ＞0)． (3)翻折变换①y ＝f (x )――→保留x 轴及上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|．②y ＝f (x )――→保留y 轴及右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(4)伸缩变换 ①y ＝f (x )a ＞1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变→y ＝f (ax )．②y ＝f (x )a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→y ＝af (x )．题型归纳题型1 作函数的图象【例1-1】（2020秋•海淀区校级期中）已知函数21,1(),1121,1x f x x x x x <-⎧⎪=-⎨⎪->⎩．（Ⅰ）画出函数()y f x =的图象； （Ⅱ）若1()4f x ，求x 的取值范围； （Ⅲ）直接写出()y f x =的值域．【跟踪训练1-1】（2020秋•石河子校级月考）已知函数22||1y x x =--． （1）作出函数的图象；（2）由图象写出函数的单调区间．【名师指导】作函数图象的两种常用方法1．直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．2．图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序． 题型2 函数图象的识辨 【例2-1】（2020•天津）函数241xy x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【例2-2】（2020春•通州区期末）已知函数()f x 的图象如图所示，那么该函数可能为( )A ．()||lnx f x x =B ．||()ln x f x x= C ．1,0()(1),0x x x x f x e x e x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩D ．22,0()(),0lnxx x f x ln x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩【例2-3】（2020•乐山模拟）已知角θ的始边与x 的非负半轴重合，与圆22:4C x y +=相交于点A ，终边与圆C 相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为点C ，ABC ∆的面积为()S θ，则函数()S θ的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【跟踪训练2-1】（2019•新课标Ⅲ）函数3222x xx y -=+在[6-，6]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【跟踪训练2-2】（2020春•湖州期末）已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是( )A ．sin()x x y e e -=+B ．sin()x x y e e -=-C ．cos()x x y e e -=-D ．cos()x x y e e -=+【跟踪训练2-3】（2020•贵港四模）如图，点P 在以2AB =为直径的半圆弧上，点P 沿着BA 运动，记BAP x ∠=．将点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【名师指导】识别函数图象的方法技巧函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象． 题型3 函数图象的应用【例3-1】（2020春•龙凤区校级期末）函数322x y x lgx -=+的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于直线y x =对称D ．关于原点对称【例3-2】（2020秋•琼海校级月考）已知定义在R 上的偶函数()y f x =部分图象如图所示，那么不等式()0xf x >的解集为 ．【例3-3】（2019•江苏模拟）已知函数[],0,()(1),0,x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=．若直线(0)y kx k k =+>与函数()f x 的图象恰好有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ．【跟踪训练3-1】（2021•嘉定区一模）已知函数()log a f x x =和()(2)g x k x =-的图象如图所示，则不等式()0()f xg x 的解集是 ．【名师指导】1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．2．利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．3．利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．配套练习1．（2021·北京101中学高一期末）如图所示的是函数sin y x =（0x π≤≤）的图像，()A x y ，是图像上任意一点，过点A 作x 轴的平行线，交图像于另一点B （A ，B 可重合）.设线段AB 的长为()f x ，则函数()f x 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·西藏高三其他模拟（文））函数2,02,0x x x y x -⎧≥=⎨<⎩的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2021·全国高一）函数22()21xf x x =-的图像的是 （ ）A ．B ．C ．D ．4．（2021·江苏无锡市·高一期末）函数2()ln f x x x =+的图像大致是（ ）A ．B ．C．D．5．（2021·天津南开区·南开中学高三月考）函数cos622x xxy-=-的图像大致为（）A．B．C．D．6．（2021·天津滨海新区·高三月考）函数ln||cos()sinx xf xx x⋅=+在[),0π]π(0,-⋃的图像大致为（）A．B．C．D．7．（2021·浙江高一期末）函数ln||()||x xf xx=的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．8．（2021·浙江高一期末）函数log (01)a y x a a =>≠且与函数2(1)21y a x x =---在同一坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2021·全国高一）向如下图所示的容器中匀速注水时，容器中水面高度h 随时间t 变化的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2021·吉林长春市·长春外国语学校高一期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．()11f x x =- B ．()11f x x =- C ．()211f x x =- D ．()211f x x =+ 11．（2021·全国高一）如图，正方形ABCD 的边长为2，动点E 从A 开始沿A →B →C 的方向以2个单位长/秒的速度运动到C 点停止，同时动点F 从点C 开始沿CD 边以1个单位长/秒的速度运动到D 点停止，则AEF 的面积y 与运动时间x （秒）之间的函数图像大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2021·江苏高一）函数2()21f x ax x =++与()a g x x =在同一坐标系中的图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．13．（2021·上海浦东新区·高一期末）定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上的图像如图所示，则不等式()0x f x ⋅的解集是____.函数的图象解析题型归纳题型1 作函数的图象【例1-1】（2020秋•海淀区校级期中）已知函数21,1(),1121,1x f x x x x x <-⎧⎪=-⎨⎪->⎩．（Ⅰ）画出函数()y f x =的图象； （Ⅱ）若1()4f x ，求x 的取值范围； （Ⅲ）直接写出()y f x =的值域．【解析】解：（Ⅰ）函数()y f x =的图象如图； （Ⅱ）当1x <-时，满足1()4f x ， 当11x -，由1()4f x 得214x ，得12x 或12x -，此时112x --或112x ， 当1x >时，1()4f x 恒成立， 综上得12x或12x -， 即x 的取值范围是得12x或12x -； （Ⅲ）由图象知()0f x ，即()y f x =的值域是[0，)+∞．【跟踪训练1-1】（2020秋•石河子校级月考）已知函数22||1y x x =--． （1）作出函数的图象；（2）由图象写出函数的单调区间．【解析】解：（1）函数22221,2||121,x x x y x x x x x ⎧--=--=⎨+-<⎩． 当0x 时，2(1)2y x =--； 当0x <时，(1)2y x =+-． 故图象如图所示；（2）函数的增区间为：(1-，0]，(1,)+∞； 减区间为：(-∞，1]-，(0，1]．【名师指导】作函数图象的两种常用方法1．直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．2．图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序． 题型2 函数图象的识辨 【例2-1】（2020•天津）函数241xy x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【解析】解：函数241xy x =+的定义域为实数集R ，关于原点对称，函数24()1x y f x x ==+，则24()()1xf x f x x -=-=-+，则函数()y f x =为奇函数，故排除C ，D ， 当0x >是，()0y f x =>，故排除B ， 故选：A ．【例2-2】（2020春•通州区期末）已知函数()f x 的图象如图所示，那么该函数可能为( )A ．()||lnx f x x =B ．||()ln x f x x= C ．1,0()(1),0x x x x f x e x e x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩D ．22,0()(),0lnxx x f x ln x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩【解析】解：由图可知，函数()f x 为奇函数，而选项A 和C 中对应的函数是非奇非偶函数，于是排除选项A 和C ；当(0,1)x ∈时，从图象可知，()0f x <，而对于选项D ，0lnx <，20x >，所以()0f x >，与图象不符，排除选项D ． 故选：B ．【例2-3】（2020•乐山模拟）已知角θ的始边与x 的非负半轴重合，与圆22:4C x y +=相交于点A ，终边与圆C 相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为点C ，ABC ∆的面积为()S θ，则函数()S θ的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：由题知，点(2,0)A ，点(2cos ,2sin )B θθ，点(2cos ,0)C θ， 则11()||||(22cos )2|sin |022S AC BC θθθ=⨯=-，故排除选项C 和D ，又因为当34πθ=时，1()(222122S θ=⨯+⨯>，排除选项B ．故选：A ．【跟踪训练2-1】（2019•新课标Ⅲ）函数3222x xx y -=+在[6-，6]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：由32()22x x x y f x -==+在[6-，6]，知332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，()f x ∴是[6-，6]上的奇函数，因此排除C又f （4）1182721=>+，因此排除A ，D ．故选：B ．【跟踪训练2-2】（2020春•湖州期末）已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是( )A ．sin()x x y e e -=+B ．sin()x x y e e -=-C ．cos()x x y e e -=-D ．cos()x x y e e -=+【解析】解：令()x x s x e e -=+，该函数的定义域为R ，且()()x x s x e e s x --=+=， ()s x ∴为R 上的偶函数；令()x x t x e e -=-，该函数的定义域为R ，且()()()x x x x t x e e e e t x ---=-=--=-， ()t x ∴为R 上的奇函数，又正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数， 且图中所给出的函数为偶函数，排除A 与C ； 又由图可知，所求函数在[0，1]上为减函数，而B 中内层函数()t x 在[0，1]上为增函数，而外层函数正弦函数在[0，]2π上为增函数，故当x 大于0且在0附近时，B 中函数为增函数，排除B ． 故选：D ．【跟踪训练2-3】（2020•贵港四模）如图，点P 在以2AB =为直径的半圆弧上，点P 沿着BA 运动，记BAP x ∠=．将点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：()2cos 2sin )4y f x PA PB x x x π==+=+=+，选项D 符合题意， 故选：D ． 【名师指导】识别函数图象的方法技巧函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象． 题型3 函数图象的应用【例3-1】（2020春•龙凤区校级期末）函数322x y x lgx -=+的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于直线y x =对称D ．关于原点对称【解析】解：202x x ->+，2x ∴>或2x <-，即函数的定义域为(-∞，2)(2-⋃，)+∞（定义域关于原点对称）， 32()2x y f x x lgx -==+，333222()()()222x x x f x x lg x lg x lg f x x x x --+-∴-=-=-==-+-+， ∴函数()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选：B ．【例3-2】（2020秋•琼海校级月考）已知定义在R 上的偶函数()y f x =部分图象如图所示，那么不等式()0xf x >的解集为 ．【解析】解：根据题意，由()f x 的图象分析可得：在(0,1)和(2,)+∞上，()0f x >，在区间(1,2)上，()0f x <， 又由()f x 为偶函数，则在(1,0)-和(,2)-∞-上，()0f x >，在区间(2,1)--上，()0f x <， 0()0()0x xf x f x >⎧>⇒⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩， 则有01x <<或2x >或21x -<<-，即不等式的解集为{|01x x <<或2x >或21}x -<<-； 故答案为：{|01x x <<或2x >或21}x -<<-．【例3-3】（2019•江苏模拟）已知函数[],0,()(1),0,x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=．若直线(0)y kx k k =+>与函数()f x 的图象恰好有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ．【解析】解：函数[],0()(1),0x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩，∴函数的图象如下图所示：(1)y kx k k x =+=+，故函数图象一定过(1,0)-点若()f x kx k =+有三个不同的根，则y kx k =+与()y f x =的图象有三个交点 当y kx k =+过(2,1)点时，13k =，当y kx k =+过(3,1)点时，14k =，故()f x kx k =+有三个不同的根，则实数k 的取值范围是11[,)43故答案为：11[,)43．【跟踪训练3-1】（2021•嘉定区一模）已知函数()log a f x x =和()(2)g x k x =-的图象如图所示，则不等式()0()f xg x 的解集是 ．【解析】解：由图象()log a f x x =可得(0,1)x ∈时，()0f x <， (1,)x ∈+∞时，()0f x >，当1x =时()0f x =由图象()(2)g x k x =-可得(,2)x ∈-∞时，()0g x >， (2,)x ∈+∞时，()0g x <，不等式()0()f x g x ，即()0()0f x g x ⎧⎨>⎩或()0()0f x g x ⎧⎨<⎩； [1x ∴∈，2) ∴不等式()0()f xg x 的解集为[1，2) 故答案为：[1，2) 【名师指导】1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．2．利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．3．利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．配套练习1．（2021·北京101中学高一期末）如图所示的是函数sin y x =（0x π≤≤）的图像，()A x y ，是图像上任意一点，过点A 作x 轴的平行线，交图像于另一点B （A ，B 可重合）.设线段AB 的长为()f x ，则函数()f x 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】[0,]2x π∈时，B x x π+=()2,B f x AB x x x π∴==-=-[0,]2x π∈时()f x 表示递减的一次函数所以选A.2．（2021·西藏高三其他模拟（文））函数2,02,0x x x y x -⎧≥=⎨<⎩的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：根据题意，当0x ≥时，2x y =，为指数函数，单调递增，且在0x =时函数有最小值1； 当0x <时，122xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭为指数函数，单调递减，且函数值1y >. 故选：B.3．（2021·全国高一）函数22()21x f x x =-的图像的是 （ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：因为22()21x f x x =-，所以2210x -≠，解得2x ≠±，故函数的定义域为|x R x ⎧⎪∈≠⎨⎪⎪⎩⎭，故排除AC ；当0x <<时，20x <，2210x -<，所以22()021x f x x =>-，故排除D ； 故选：B4．（2021·江苏无锡市·高一期末）函数2()ln f x x x =+的图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】()2ln f x x x =+，()()22ln ln ()f x x x x f x x -=-∴=+-+=,所以()f x 为偶函数，排除D ；当0x →时，()f x →-∞ ，排除AC ；故选：B.5．（2021·天津南开区·南开中学高三月考）函数cos622x x xy -=-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解：()cos622x x xy f x -==-定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()()cos622x x xf x f x --==--即函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故A 错误；当x →+∞是，2x →+∞，20x -→，[]cos61,1x ∈-，故()0f x →，故C 错误；当0x >且，0x →时，cos60x >，220x x -->，故()0f x >，故B 错误，D 正确；故选：D6．（2021·天津滨海新区·高三月考）函数ln ||cos ()sin x xf x x x ⋅=+在[),0π]π(0,-⋃的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 因为ln ||cos()ln ||cos ()()sin()sin x x x x f x f x x x x x-⋅-⋅-==-=--+-+，[)π,00,π(]x -⋃∈， 所以()f x 为奇函数，因此函数()f x 的图像关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，π()02f ±=，π()03f >，()0f π<，故排除B ，C.故选：D 7．（2021·浙江高一期末）函数ln ||()||x x f x x =的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】 函数的定义域是{}0x x ≠，且()()f x f x -=-，所以函数是奇函数，关于原点对称，排除A,C ，当01x <<时，ln 0x <，所以()0f x <，故排除D.故选：B8．（2021·浙江高一期末）函数log (01)a y x a a =>≠且与函数2(1)21y a x x =---在同一坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当1a >时，log a y x =单调递增，()2121y a x x =---开口向上，不过原点，且对称轴101x a =>-，可排除AB 选项；当1a <时，log a y x =单调递减，()2121y a x x =---开口向下，可排除D ，故选C 9．（2021·全国高一）向如下图所示的容器中匀速注水时，容器中水面高度h 随时间t 变化的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】结合容器的形状，可知一开始注水时，水高度变化较快当水位接近中部时变慢并持续一段时间，接近上部时，水位高度变快，故选C.10．（2021·吉林长春市·长春外国语学校高一期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．()11f x x =- B ．()11f x x =- C ．()211f x x =- D ．()211f x x =+【答案】A【解析】由图知()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，排除选项B 、D ，又因为当0x =时，()01f =-，不符合图象()01f =，所以排除C ，故选：A11．（2021·全国高一）如图，正方形ABCD 的边长为2，动点E 从A 开始沿A →B →C 的方向以2个单位长/秒的速度运动到C 点停止，同时动点F 从点C 开始沿CD 边以1个单位长/秒的速度运动到D 点停止，则AEF 的面积y 与运动时间x （秒）之间的函数图像大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题得12x ≤≤时，2(1)22,42,,2BE x x CE x CF x DF x =-=-=-==-，所以AEF 的面积y 211142(22)(42)2(2)34222x x x x x x =-⋅⋅--⋅⋅--⋅⋅-=-+， 它的图象是抛物线的一部分，且含有对称轴.故选：A12．（2021·江苏高一）函数2()21f x ax x =++与()a g x x =在同一坐标系中的图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ACD【解析】当0a <时，()a g x x =为奇函数，定义域为{}|0x x ≠，且在()0,∞+上递减，而2()21f x ax x =++开口向下，对称轴为10x a =->，(0)1f =，故A 符合； 当()2a n n N+=∈时，()a g x x =为偶函数，且在()0,∞+上递增，2()21f x ax x =++开口向上，且对称轴为10x a =-<，440a ∆=-<，其图象和x 轴没有交点，故D 符合； 当()12a n N n+=∈时，函数()a g x x =的定义域为[)0,+∞，且在[)0,+∞上递增，2()21f x ax x =++开口向上，且对称轴为10x a=-<，440∆=->a ，图象和x 轴有两个交点，故C 符合． 故选：ACD ．13．（2021·上海浦东新区·高一期末）定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上的图像如图所示，则不等式()0x f x ⋅的解集是____.【答案】[]3,3-【解析】根据函数为奇函数，可作出函数的简图，如图所示：不等式()()000x x f x f x >⎧⋅⇒⎨≥⎩或()00x f x <⎧⎨≤⎩或0x =， 由图可得：03x <≤或-<3≤0x 或0x =， 综上：解集为：[]3,3-故答案为：[]3,3-.。
天津市南开中学2020-2021学年高三(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．（5分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1≤x＜1或2≤x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2≤x＜3}2．（5分）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设a＝ln3，b＝3，c＝3﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．（5分）函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）5．（5分）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD 上，若•＝，则•的值是（）A．2﹣B．1C．D．27．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log354）＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知函数f，若F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点x1，x2，x3，…，x m，则f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝（）A．4042B．4041C．4040D．40399．（5分）若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝（a＞0）存在公切线，则实数a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝．11．（5分）（x﹣）6的展开式的常数项是（应用数字作答）．12．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x﹣4）＜f（2x﹣3），则实数x的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2（2x+）+3，当x∈[﹣2，2]时，则函数f（x）的最大值与最小值之和是．14．（5分）已知函数f（x）＝的最小值为2m，则实数m的值为．15．（5分）已知m∈R，函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1，若函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（14分）已知函数f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx（ω＞0）的周期为π．（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（2）若x0∈[，]，且f（x0）＝，求sin2x0的值．17．（15分）已知函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数．（1）求a的值；（2）解不等式f（log2x）≥3；（3）若不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．18．（15分）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面MPC；（Ⅱ）求二面角Q﹣PM﹣C的正弦值；（Ⅲ）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面PMQ所成的角为，求线段QN的长．19．（15分）已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求a的值．（2）若对于任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（3）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1，其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，斜率为k的直线l与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，证明：；（3）是否存在k∈Z，使得f（x）+ax﹣2＞k（1﹣）对任意x＞l恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B的补集，再找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣2＜1，解得：1＜x＜3，即A＝（1，3），由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣2）＜0，故B的补集对应不等式为：（x+1）（x﹣2）≥0，解得：x≤﹣1 或x≥2，即∁R B＝（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），则A∩（∁R B）＝[2，3），故选：D．2．【分析】不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件．【解答】解：主要考查不等式的性质．当C＝0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选：B．3．【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a＝ln3＞lne＝1，b＝3＜＝0，c＝3﹣2＝，∴a＞c＞b．故选：C．4．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（1），f（2），f（3），f（4）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（1）＝2﹣6＜0，f（2）＝4+ln2﹣6＜0，f（3）＝6+ln3﹣6＞0，f（4）＝8+ln4﹣6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B．5．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x＝时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．6．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x＝1；∴F（1，2），；∴．故选：C．7．【分析】根据题意，由f（x+4）＝f（x）可得函数f（x）是周期为4的周期函数，由此可得f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，又由3＜log354＜4，则f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），又由f（x）为奇函数，则f（log3）＝﹣f（﹣log3）＝﹣f（log3），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log3）＝＝，则f（log354）＝﹣f（log3）＝﹣，故选：A．8．【分析】本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和．【解答】解：∵F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点，∴f（x）﹣1＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m个零点，即g（x）＝f（x）﹣1＝与h（x）＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m 个交点，∵T＝＝且h（x）关于原点对称，在区间[﹣1，1]上h（x）max＝1，h（x）min＝﹣1∵g（x）＝f（x）﹣1＝又∴在区间[﹣1，1]上g（x）max＝g（）＝，g（x）min＝g（﹣）＝﹣且g（x）关于原点对称．∵根据g（x）和h（x）函数图象特点易知在h（x）一个周期内，g（x）和h（x）图象有两个交点．∵T＝∴在（0，1]内共有1010个周期，∴g（x）和h（x）图象共有2020个交点，∵g（x）和h（x）图象都关于原点对称，∴g（x）和h（x）图象在[﹣1，0）U（0，1]共有4040个交点，再加上（0，0）这个交点．∵g（x）关于原点对称，设x1，x2为关于原点对称的两个交点横坐标，∴g（x1）+g（x2）＝0，即f（x1）﹣1+f（x2）﹣1＝0，即f（x1）+f（x2）＝2，∴f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝×2+f（0）＝4040+1＝4041．故选：B．9．【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解．再由导数即可进一步求得a的取值范围．【解答】解：y＝x2在点（m，m2）的切线斜率为2m，y＝（a＞0）在点（n，e n）的切线斜率为e n，如果两个曲线存在公共切线，那么：2m＝e n．又由斜率公式得到，2m＝，由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解，由y＝4x﹣4，y＝e x的图象有交点即可．设切点为（s，t），则e s＝4，且t＝4s﹣4＝e s，即有切点（2，4），a＝，故a的取值范围是：a≥．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z＝＝＝＝1+i，则|z|＝．故答案为：．11．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：由于（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得（x﹣）6展开式的常数项为﹣8＝﹣160，故答案为：﹣160．12．【分析】首先判定函数的单调性，然后去掉f（x﹣4）＜f（2x﹣3）中的“f”，从而可求x的范围．【解答】解：f（x）＝ln（x+1）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）≥f（0）＝0，∵f（x﹣4）＜f（2x﹣3）∴0≤x﹣4＜2x﹣3或，解得x≥4或＜x＜4；故实数x的取值范围为：（，+∞）．故答案为：（，+∞）．13．【分析】利用奇函数最值之和为定值0即可求解．【解答】解：令h（x）＝log2（2x+），由h（﹣x）＝log2（﹣2x+），∴h（﹣x）+h（x）＝0，h（x）是奇函数，而y＝2x+，y＝log2x在（0，+∞）递增，故h（x）在（0，+∞）递增，故h（x）在R递增，则f（x）min＝h（x）min+3，f（x）max＝h（x）max+3∴f（x）min+f（x）max＝h（x）min+3+h（x）max+3＝6，故答案为：6．14．【分析】根据函数的单调性求出函数的最小值，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：x≥0时，f（x）＝2x+1+2m在[0，+∞）递增，f（x）min＝f（0）＝2+2m＞2m，不是最小值，x＜0时，f（x）＝2x2﹣mx，对称轴x＝，m≥0时，f（x）在（﹣∞，0）递减，f（x）＜f（0）＝0，不合题意，m＜0时，f（x）在（﹣∞，）递减，在（，0）递增，故f（x）min＝f（）＝﹣＝2m，解得：m＝﹣16，故答案为：﹣16．15．【分析】由题意画出函数y＝f（x）的图象，令g（x）＝t，可知要使函数y＝f（g（x））﹣m有4个零点，则g（x）与y＝t有4个交点，则函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，再分别讨论m的正负性即可．【解答】解：函数f（x）＝的图象如图：令g（x）＝t，y＝f[g（x）]﹣m＝f（t）﹣m，因为函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，所以函数g（x）与y＝t有4个交点，因为g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1＝（x﹣1）2+2m﹣2≥2m﹣2，所以t≥2m﹣2，故函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，①当m＜0时，y＝m与函数f（t）至多一个交点，故舍去；②当m＝0时，t1＝2，t2＝﹣，满足t1＞t2＞﹣2，故成立；③当m＞0时，要使得函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，则，解得，综上m的取值范围是（）∪{0}，故答案为：（）∪{0}．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式．（2）利用角的变换的应用和和角公式的应用求出结果．【解答】解：（1）f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx＝＝．由于函数的最小正周期为π，所以ω＝2．故．令（k∈Z），解得（k∈Z），故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．（2）由于x0∈[，]，所以，由于f（x0）＝，所以，解得，所以，故．则＝＝．17．【分析】（1）由奇函数的定义知f（﹣x）＝﹣f（x），列方程求出a的值；（2）由a的值写出f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，根据图象判断函数的单调性，把不等式f（log2x）≥3化为0＞log2x≥﹣1，求出解集即可；（3）问题等价于不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立，求出g（x）＝﹣1﹣在x∈[1，2]的最小值，即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣＝﹣a+，所以2a＝+＝+2•＝＝﹣2，解得a＝﹣1；（2）a＝﹣1时，f（x）＝﹣1﹣，且2x﹣1≠0，所以x≠0；由函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+）上的奇函数，且在每个区间内单调递增，如图所示；令f（x）＝3，得﹣1﹣＝3，解得x＝﹣1；所以不等式f（log2x）≥3可化为0＞log2x≥﹣1；解得≤x＜1，所以不等式的解集为[，1）．（3）不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，化为不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立；g（x）＝﹣1﹣，x∈[1，2]；由g（x）在x∈[﹣1，2]上是单调减函数，且g（x）min＝﹣1﹣＝﹣3，所以m＜﹣3，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）．18．【分析】（Ⅰ）连接EM，证明P ABQ是平行四边形．证明EF∥MC，即可证明EF∥平面MPC．（Ⅱ）建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．求出平面PMQ的法向量，平面MPC的法向量，通过空间向量的数量积求解二面角Q﹣PM﹣C的正弦值．（Ⅲ）设，即，求出平面PMQ的法向量，利用空间向量的数量积求解λ，推出结果．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连接EM，因为AB∥CD，PQ∥CD，所以AB∥PQ，又因为AB＝PQ，所以P ABQ 为平行四边形．由点E和M分别为AP和BQ的中点，可得EM∥AB且EM＝AB，因为AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，所以CF∥AB且CF＝AB，可得EM∥CF且EM＝CF，即四边形EFCM为平行四边形，所以EF∥MC，又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，所以EF∥平面MPC．（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，可以建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．依题意可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），Q （0，1，2），M（1，1，1）.设为平面PMQ的法向量，则，即，不妨设z＝1，可为，设为平面MPC的法向量，则，即，不妨设z＝1，可得.，于是．所以，二面角Q﹣PM﹣C的正弦值为．（Ⅲ）设，即，则N（0，λ+1，2﹣2λ）．从而．由（Ⅱ）知平面PMQ的法向量为，由题意，，即，整理得3λ2﹣10λ+3＝0，解得或λ＝3因为0≤λ≤1所以．所以，．19．【分析】（1）根据题意可得直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，那么切线的斜率为2，根据导数的几何意义可得f′（1）＝2，进而解得a的值．（2）对f（x）求导数，分析单调性，得f（x）的最下值，对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，⇒f（x）最小值大于2（a﹣1）即可解得答案．（3）对g（x）求导分析单调性，若函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，则，解得b的取值范围．【解答】解：（1）直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝﹣+，所以f′（1）＝﹣+＝2，所以a＝4．（2）f′（x）＝﹣+＝，由f′（x）＞0解得x＞，由f′（x）＜0解得0＜x＜，所以f（x）在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减，所以，当x＝时，函数f（x）取得最小值，y min＝f（），因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以f（）＞2（a﹣1）即可，则+aln﹣2＞2（a﹣1），由aln＞a解得0＜a＜．所以a的取值范围是（0，）．（3）依题意得g（x）＝+lnx+x﹣2﹣b，则g′（x）＝，由g′（x）＞0，解得x＞1，由g′（x）＜0，解得0＜x＜1，所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数，又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，即，解得1＜b≤+e﹣1，所以b的取值范围是（1，+e﹣1]．20．【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；（2）把a＝1代入函数解析式，然后利用分析法把证明，转化为证＜＜．分别令，k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），再由导数证明1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1）得答案；（3）由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，求导后分k≤0和k＞0求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．【解答】（1）解：∵f′（x）＝，x＞0，∴当a＜0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，）上为增函数；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）上为减函数．综上所述，当a＜0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），f（x）的单调减区间为（，+∞）；（2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x+1，∴，∴．要证，即证＜＜，∵x2﹣x1＞0，即证＜＜．令，即证＜lnt＜t﹣1（t＞1）．令k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），由（1）知，k（t）在（1，+∞）上单调递减，∴k（t）＜k（1）＝0，即lnt﹣t+1＜0，则lnt＜t﹣1．①令h（t）＝lnt+﹣1（t＞1），则h′（t）＝，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）＝0，即lnt＞1﹣（t＞1）．②综①②得：1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1），即；（3）解：由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，则g′（x）＝lnx﹣k，当k≤0时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数，由g（1）＝﹣1﹣k+2k＝k﹣1＞0，则k＞1，矛盾．当k＞0时，由lnx﹣k＞0，解得x＞e k，由lnx﹣k＜0，解得1＜x＜e k，故g（x）在（1，e k）上是减函数，在（e k，+∞）上是增函数，∴。
2021-2022学年天津市南开中学高三(上)第一次月考数学试卷(学生版+解析版)
2021-2022学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x =，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}2．（5分）“22m n <”是“lnm lnn <” ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．（5分）下列函数中，在定义域上单调递增且为奇函数的是( ) A ．1()f x x=B ．()sin f x x =C ．()cos f x x x =D ．()sin f x x x =+4．（5分）某部门为了了解一批树苗的生长情况，在3000棵树苗中随机抽取200棵，统计这200棵树苗的高度，将所得200个高度数据分为7组：[70，80)，[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140]，并绘制了频率分布直方图（如图），那么根据该图可推测，在这3000棵树苗中高度小于100cm 的树苗棵数是( )A ．360B ．600C ．840D ．13205．（5分）函数222()cos x x f x x x --=+在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知121()3a =，121log 3b =，31log 2c =，则( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>7．（5分）设函数()1||xf x x =+，则下列结论中错误的是( ) A ．()y f x =的图象关于点(1,1)-对称 B ．()f x 在其定义域上单调递增 C ．()f x 的值域为(1,1)-D ．函数()()g x f x x =-有且只有一个零点8．（5分）以下区间为函数()||2||f x ln x =-的一个单调递增区间的是( ) A ．(3,2)--B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,)+∞9．（5分）已知函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>=⎨--+⎩，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围( ) A ．(4,2)--B ．(4,22)--C ．(3,2)--D ．(3,22)--二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．（5分）若复数z 满足(1)12(i z i i -=+虚数单位），则||z = ． 11．（5分）62)x展开式中，常数项是 ．12．（5分）若函数13(1)2,1(),1a x a x f x log x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域是R ，则实数a 的取值范围是 ．13．（5分）已知a ，b 是正数，且3ab a b =++，则ab 的最小值为 ．14．（5分）已知()x f x e =，()g x =若12()()f x g x =，21||d x x =-，则d 的最小值为 ． 15．（5分）设函数1|2|||,02()1|(2)()|,02x x x f x x x x ⎧-+-⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩，则函数1()2y f x x =-+的零点个数为 ；若1()2g x kx =-，且函数()()()F x f x g x =-有偶数个零点，则实数k 的取值范围是 ． 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（14分）求下列关于x 的不等式的解集： （Ⅰ）211xx --； （Ⅱ）2(21)20()ax a x a R +--<∈．17．（15分）设函数2(1)()(0,1)x xa t f x a a a --=>≠是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点3(1,)2．（Ⅰ）求t 和a 的值；（Ⅱ）若x R ∀∈，2()(1)0f kx x f x -+-<，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数m ，使函数22()22()x x g x mf x -=+-在区间[1，2log 3]上的最大值为1．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．18．（15分）如图，P ABCD -是一个四棱锥，已知四边形ABCD 是梯形，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AB CD ，1PD AD AB ===，2CD =，点E 是棱PC 的中点，点F 在棱PB 上，12PF FB =． （Ⅰ）证明：直线//BE 平面PAD ；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面DEF 与平面ABCD 的夹角的余弦值．19．（15分）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为F ，3，过点F 且与x 轴43． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆E 交于点C ，D 两点，且527AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值． 20．（16分）已知函数21()(1)2x f x x ax x a e -=-+-+，其中a R ∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若(0,1)a ∈，设()()(0)g x f x f =-，（ⅰ）证明：函数()g x 在区间(0,)+∞内有唯一的一个零点； （ⅱ）记（ⅰ）中的零点为0x ，证明：当0(0,)x x ∈时，11x xe a<+-．2021-2022学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x =，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}【解答】解：因为{1A =-，0，1，2}，2{|1}{|11}B x x x x ==-， 所以{1AB =-，0，1}，故选：A ．2．（5分）“22m n <”是“lnm lnn <” ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】解：lnm lnn <，则0m n <<，故22m n <， 反之，22m n <，得||||m n <，推不出lnm lnn <， 故“22m n <”是“lnm lnn <”的必要不充分条件． 故选：B ．3．（5分）下列函数中，在定义域上单调递增且为奇函数的是( ) A ．1()f x x=B ．()sin f x x =C ．()cos f x x x =D ．()sin f x x x =+【解答】解，根据题意，依次分析选项： 对于A ，1()f x x=，是反比例函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意， 对于B ，()sin f x x =，是正弦函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意， 对于C ，()cos f x x x =，有(0)()02f f π==，在其定义域上不是增函数，不符合题意，对于D ，()sin f x x x =+，其定义域为R ，有()sin ()f x x x f x -=--=-，()f x 为奇函数，且()1cos 0f x x '=+，在R 上为增函数，符合题意， 故选：D ．4．（5分）某部门为了了解一批树苗的生长情况，在3000棵树苗中随机抽取200棵，统计这200棵树苗的高度，将所得200个高度数据分为7组：[70，80)，[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140]，并绘制了频率分布直方图（如图），那么根据该图可推测，在这3000棵树苗中高度小于100cm 的树苗棵数是( )A ．360B ．600C ．840D ．1320【解答】解：由直方图可知，高度小于100cm 的树苗所占的频率为(0.0020.0060.012)100.2++⨯=所以在这3000棵树苗中高度小于100cm 的树苗棵数是30000.2600⨯=， 故选：B ．5．（5分）函数222()cos x xf x x x --=+在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：222()cos x x f x x x --=+，222()0cos f πππππ--∴=>+，222()0cos()()f πππππ---=<-+-， ∴选项B 符合，其它选项不符合．故选：B ．6．（5分）已知121()3a =，121log 3b =，31log 2c =，则( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>【解答】解：12132111(),log ,log 332a b c ===，102110()()133a ∴<=<=，112211132b log log =>=，331102c c log log ==<=， b a c ∴>>．故选：C ．7．（5分）设函数()1||xf x x =+，则下列结论中错误的是( ) A ．()y f x =的图象关于点(1,1)-对称 B ．()f x 在其定义域上单调递增 C ．()f x 的值域为(1,1)-D ．函数()()g x f x x =-有且只有一个零点【解答】解：根据题意，,01()1||,01xx x xf x xx x x ⎧⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩，依次分析选项： 对于A ，()1||x f x x =+，(0)0f =，2(2)3f -=-，(0，(0))f 与(2-，(2))f -不关于(1,1)-对称，A 错误；对于B ，,01()1||,01xx x xf x xx x x⎧⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩，在R 上为增函数，B 正确； 对于C ，,01()1||,01xx x xf x xx x x ⎧⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩，当0x 时，0()1f x <，同理0x <时，有1()0f x -<<， 综合可得：1()1f x -<<，即函数的值域为(1,1)-，C 正确； 对于D ，()0f x x -=即1||xx x =+，只有一解，即0x =，即函数()()g x f x x =-有且只有一个零点，D 正确； 故选：A ．8．（5分）以下区间为函数()||2||f x ln x =-的一个单调递增区间的是( ) A ．(3,2)--B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,)+∞【解答】解：作出函数()f x 的图象，如图所示，可得函数的一个单增区间为(1,2)， 故选：B ．9．（5分）已知函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>=⎨--+⎩，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围( ) A ．(4,2)--B ．(4,22)--C ．(3,2)--D ．(3,22)--【解答】解：令()f x t =，则方程2()()20f x bf x ++=⇔方程220t bt ++=． 如图是函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>=⎨--+⎩，的图象，根据图象可得：方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根⇔方程220t bt ++=．有两个不等实数解1t ，2t且1t ，2(1,2)t ∈．可得2228011203222220122b b b b b ⎧=->⎪+⋅+>⎪⎪⇒-<<-⎨+⋅+>⎪⎪<-<⎪⎩． 故选：D ．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10．（5分）若复数z 满足(1)12(i z i i -=+虚数单位），则||z = 10． 【解答】解：由(1)12i z i -=+， 得12(12)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i +++-+===--+， 所以22(1)310||z -+== 10． 11．（5分）62()x x展开式中，常数项是 60 ．【解答】解：62()x x-展开式的通项为33621662()()(2)r r r r r rr T C x C x x --+=-=-令3302r-=得2r =故展开式的常数项为2236(2)60T C =-= 故答案为60．12．（5分）若函数13(1)2,1(),1a x a x f x log x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域是R ，则实数a 的取值范围是 [1-，1) ．【解答】解：当1x >时，13()f x log x =，此时值域为(,0)-∞，依题意，当1x 时，[0，)()f x +∞⊆，显然10a -≠，即1a ≠，①若10a ->，即1a >时，()(1)2f x a x a =--单调递增，此时值域为(-∞，1]a --，不可能满足[0，)()f x +∞⊆，舍去；②若10a -<，即1a <时，()(1)2f x a x a =--单调递减，此时值域为[1a --，)+∞，则需10a --，1a -，故此时11a -<．综上，实数a 的取值范围为[1-，1)． 故答案为：[1-，1)．13．（5分）已知a ，b 是正数，且3ab a b =++，则ab 的最小值为 9 ． 【解答】解：a ，b 是正数，且323ab a b ab =+++，31)0ab ∴--=，∴3ab ，9ab ∴，故ab 的最小值为9，故答案为：9．14．（5分）已知()x f x e =，()g x =12()()f x g x =，21||d x x =-，则d 的最小值为 122ln - ． 【解答】解：设12()()(0)f x gx t t ==>，则1,x e t t ==，∴212,4t x lnt x ==，∴2||4t d lnt =-，设2()4t ht lnt =-，则1(()22t t t h t t t +'=-=，易知函数()h t在单调递减，在)+∞单调递增，且0t →时，()h t →+∞，t →+∞时，()h t →+∞，122ln h -=， ∴12|()|2min ln h t -=，即d 的最小值为122ln -．故答案为：122ln -． 15．（5分）设函数1|2|||,02()1|(2)()|,02x x x f x x x x ⎧-+-⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩，则函数1()2y f x x =-+的零点个数为 1个 ；若1()2g x kx =-，且函数()()()F x f x g x =-有偶数个零点，则实数k 的取值范围是 ．【解答】解：函数1()2y f x x =-+的零点个数等价于1()2f x x =-的解的个数， 又方程1()2f x x =-的解的个数等价于函数()y f x =与12y x =-的交点个数， 又52,2231,22251()2,0221(2)(),02x x x f x x x x x x ⎧-⎪⎪⎪<⎪⎪=⎨-<⎪⎪⎪++⎪<⎪⎩，作出函数的图象如图所示，函数12y x =-与函数()y f x =只有一个交点， 故第一个空应填1个，函数()()()F x f x g x =-有偶数个零点，则()()f x g x =有偶数个解， 即()y f x =与()y g x =有偶数个交点，根据图象知12k <<时有2个交点， 当122x --时，设1(2)()2y x x =-++在0x x =处的切线过点1(0,)2-， 由1(2)()2y x x =-++，可得522y x '=--，所以切线斜率为005|22x x y x ='=-，所以函数在0x x =处的切线方程为000015(2)()(2)()22y x x x x x +++=--，又切线过点1(0,)2-，所以0000115(2)()(2)(0)222x x x x -+++=--，解得0x =，此时52k ，()y f x =与()y g x =有3个交点，不是偶数， ()g x 过点1(2-，0)时，512k =->，()y f x =与()y g x =有3个交点，不是偶数，()g x 过点(2,0)-时，14k =-，()y f x =与()y g x =有1个交点，不是偶数，所以函数()()()F x f x g x =-有偶数个零点时k 的取值范围为(-∞，552)(222--⋃，1)(1--⋃，1)4-．故答案为：1；(-∞，552)(222--⋃，1)(1--⋃，1)4-．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（14分）求下列关于x 的不等式的解集： （Ⅰ）211xx --； （Ⅱ）2(21)20()ax a x a R +--<∈． 【解答】解：（Ⅰ）不等式211x x --，即2301x x --，即(23)(1)0x x --，且10x -≠， 求得1x <，或32x，故不等式的解集为3(,1)[2-∞，)+∞． （Ⅱ）对于不等式2(21)20()ax a x a R +--<∈，当0a =时，不等式即20x --<， 故它的解集为(2,)-+∞．由于当0a ≠时，2(21)20ax a x +--=的根为2-和1a， 当0a >时，12a >-，求得不等式2(21)20ax a x +--<的解集为1(2,)a-， 当0a <时，若12a =-，不等式即2(2)0x +<，它的解集为∅；若102a -<<，12a <-，不等式的解集1(a ，2)-；若12a <-，12a >-，不等式的解集1(2,)a-．综上，当0a =时，它的解集为(2,)-+∞；当12a =-时，它的解集为∅；当0a >，或12a <-时，它的解集为1(2,)a -，当102a -<< 时，它的解集1(a，2)-．17．（15分）设函数2(1)()(0,1)x xa t f x a a a --=>≠是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点3(1,)2．（Ⅰ）求t 和a 的值；（Ⅱ）若x R ∀∈，2()(1)0f kx x f x -+-<，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数m ，使函数22()22()x x g x mf x -=+-在区间[1，2log 3]上的最大值为1．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）因为()f x 是定义域为R 的奇函数， 所以(0)0f =，即1(1)01t --=，解得2t =， 经检验，当2t =时符合题意， 所以()x x f x a a -=-， 又()y f x =的图象过点3(1,)2，则132a a --=，解得2a =或12a =-， 又0a >且1a ≠， 所以2a =；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，()22x x f x -=-， 因为x R ∀∈，2()(1)0f kx x f x -+-<， 即2()(1)f kx x f x -<--对x R ∀∈恒成立， 因为()f x 为奇函数，则2()(1)f kx x f x -<-对x R ∀∈恒成立， 又()22x x f x -=-为R 上的单调递增函数， 所以21kx x x -<-对x R ∀∈恒成立，即2(1)10x k x -++>对x R ∀∈恒成立， 则△2(1)40k =+-<，解得31k -<<， 所以实数k 的取值范围为(3,1)-；（Ⅲ）由题意2222()22()22(22)x x x x x x g x mf x m ---=+-=+--， 令22x x t -=-，则222(22)222x x x x ---=+-， 所以22222(22)2x x x x m t mt --+--=-+， 因为[1x ∈，2log 3]， 所以38[,]23t ∈，记函数2()2h t t mt =-+，则函数()h t 在38[,]23上有最大值1，①若对称轴25212m t =>， 则3173()()1242max h t h m ==-=，解得136m =（舍)；②当对称轴25212m t =， 则252128()()3maxm h t h ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2567324m m ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以7324m =． 综上所述，存在实数7324，使函数22()22()x x g x mf x -=+-在区间[1，2log 3]上的最大值为1． 18．（15分）如图，P ABCD -是一个四棱锥，已知四边形ABCD 是梯形，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AB CD ，1PD AD AB ===，2CD =，点E 是棱PC 的中点，点F 在棱PB 上，12PF FB =． （Ⅰ）证明：直线//BE 平面PAD ；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面DEF 与平面ABCD 的夹角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接AG ，GE ， 因为G ，E 分别为PD ，PC 的中点， 则//GE DC ，12GE DC =， 又//AB DC ，12AB DC =， 所以//GE AB 且GE AB =， 故四边形AGEB 为平行四边形， 所以//BE AG ，又BE ⊂/平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， 所以//BE 平面PAD ；（Ⅱ）解：因为PD ⊥平面ABCD ，且AD ，DC ⊂平面ABCD ， 则PD AD ⊥，PD DC ⊥，又AD CD ⊥，故以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 所以1(1,1,0),(0,1,),(0,0,0),(0,0,1)2B E D P ，则1(1,0,),(0,0,1),(1,1,0)2BE DP DB =-==，1(0,1,)2DE =，设平面PBD 的法向量为(,,)m x y z =， 则0m DP z m DB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令1x =，则1y =-， 故(1,1,0)m =-， 所以||10|cos ,|||||1101104BE m BE m BE m ⋅<>===++⨯++ 所以直线BE 与平面PBD 10； （Ⅲ）解：因为12PF FB =，则12PF FB =，所以1()2DF DP DB DF -=-，故2121112(0,0,1)(1,1,0)(,,)3333333DF DP DB =+=+=，设平面DEF 的法向量为(,,)n a b c =， 则1120333102n DF a b c n DE b c ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令2c =，则1b =-，3a =-， 故(3,1,2)n =--，又平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)s =， 所以||214|cos ,|||||7914001n s n s n s ⋅<>===++⨯++， 故平面DEF 与平面ABCD 的夹角的余弦值为147．19．（15分）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为F，3，过点F 且与x 轴43． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆E 交于点C ，D 两点，且527AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值．【解答】解：（1）设(,0)F c -，由c a =，知a =． 过点F 且与x 轴垂直的直线为x c =-，代入椭圆方程有2222()1c y a b -+=，解得y ==，解得b ，又222a c b -=，从而a =1c =，所以椭圆的方程为22132x y +=．（2）设点1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由(1,0)F -得直线CD 的方程为(1)y k x =+， 联立直线方程和椭圆方程，消去y ，整理得2222(23)636k x k x k +++-．求解可得2122623k x x k +=-+，21223623k x x k -=+．因为(A 0)，B ，0)，所以11222211(),)(),)AC DB AD CB x y x y x y x y ⋅+⋅=+⋅-+⋅- 212121212622622(1)(1)x x y y x x k x x =--=--++2222121222126(22)2()2623k k x x k x x k k +=-+-+-=++， 由已知得22212526237k k ++=+，解得2k =±． 20．（16分）已知函数21()(1)2x f x x ax x a e -=-+-+，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若(0,1)a ∈，设()()(0)g x f x f =-，（ⅰ）证明：函数()g x 在区间(0,)+∞内有唯一的一个零点； （ⅱ）记（ⅰ）中的零点为0x ，证明：当0(0,)x x ∈时，11x xe a<+-． 【解答】（Ⅰ）解：2?1()?(?1)()2x f x x ax x a e a R =++∈， 则1()??(?)(x x x x a e f x x a x a e e--'==)，若0a =，则当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '>， 所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；若0a >，则当0x <时，()0f x '>，当0x a <<时，()0f x '<，当x a >时，()0f x '>， 所以()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增；若0a <，则当x a <时，()0f x '>，当0a x <<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(,)a -∞单调递增，在(,0)a 单调递减，在(0,)+∞单调递增． 综上所述，当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增； 当0a <时，()f x 在(,)a -∞单调递增，在(,0)a 单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）()i 证明：由（1）可知，当01a <<时，()g x 在(0，}a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，所以g （a ）(0)0g <=， 又21(22)(22)?(22)(3)?(22)?(1?)31(3)?(22)3102g a a a a a c a a a a c a a +=+++++=+++++>，所以()g x 存在唯一正零点0(,22)x a a ∈+， 故()g x 有唯一正零点； （ⅱ）证明：设()??11x xh x e a=-， 则1()?1x h x e a'=-， 当0(1)x ln a <<--时，()0h x '<， 当(1)x ln a >--时，()0h x '>，所以()h x 在(0，(1))ln a --上单调递减，在((1)ln a --，)+∞上单调递增， 又因为(0)0h =，所以要证明0(0,)x x ∀∈，11x xe a<+-， 只需要证明0()0h x ， 即证_0011x x e a +-，即证0011?x x aa e+-， 因为0()(0)f x f =，即020001?1?2x x x aax a e +-+=，所以只需证02000011?2x x x x ax aax ee +-+-+，即证02x a ， 因为()f x 在(,)a +∞单调递增， 所以只需证明0()(2)f x f a ， 因为0()(0)f x f =， 所以只需证明(2)(0)f a f ，因为21(2)?(0)?(1?)a a f a f a e+=， 设r （a ）21?1(1)aa a e +=-，则r '（a ）22220(1)aa a e =>-，所以r （a ）在(0,1)上单调递增， 所以r （a ）(0)0r >=， 所以(2)(0)f a f >， 所以原不等式得证．。
天津市南开中学2021届高三(上)第一次月考数学试题(wd无答案)
天津市南开中学2021届高三（上）第一次月考数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．或C．D．(★★★) 2. 对于实数，“ ”是“ ”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★) 3. 函数的零点一定位于区间（）A．B．C．D．(★★) 4. 函数 y= sin2 x的图象可能是A．B．C．D．(★★★) 5. 如图，在矩形ABCD中，AB= ，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是（）A ．2﹣B ．1C ．D ．2(★★★) 6. 已知函数，若在区间 上有个零点，则（）A ．4042B ．4041C ．4040D ．4039二、未知(★★★) 7. 设 ，，，则（）A ．B ．C ．D ．(★★★) 8. 定义在 上的奇函数满足，当时，，则（）A ．B ．C ．D ．(★★★) 9. 若曲线 与曲线 存在公切线，则实数 的取值范围（）A ．B ．C ．D ．(★★★) 10. 已知函数 ，若，则实数 的取值范围是__． (★★★) 11. 已知函数，当， 时，则函数的最大值与最小值之和是__．(★★★) 12. 已知函数的最小值为，则实数的值为__．(★★★) 13. 已知函数的周期为．（1）求的值及函数的单调递增区间；（2）若，且，求的值．(★★★) 14. 已知函数为奇函数．（1）求的值；（2）解不等式；（3）若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围．(★★★) 15. 已知函数．（1）若曲线在点，（1）处的切线与直线垂直，求的值．（2）若对于任意都有成立，试求的取值范围；（3）记．当时，函数在区间，上有两个零点，求实数的取值范围．三、填空题(★) 16. 已知复数（为虚数单位），则__________．(★★) 17. 二项式的展开式中的常数项是__________．(用数字作答)(★★★★★) 18. 已知，函数，，若函数有4个零点，则实数的取值范围是______.四、解答题(★★★) 19. 如图，平面，，点分别为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求线段的长. (★★★★★) 20. 已知函数，其中.（1）求的单调区间；（2）当时，斜率为的直线与函数的图象交于两点，，其中，证明：；（3）是否存在，使得对任意恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.。
天津市天津一中2021届高三上学期零月月考数学文试题 Word版含解析
天津一中2022-2021学年高三数学（文科）零月考考试试题一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1.设i 为虚数单位，则51ii-+等于（）A.-2-3iB.-2+3iC.2-3i D2+3i 【学问点】复数的运算. L4【答案解析】C 解析：5(5)(1)46231(1)(1)2i i i iii i i----===-++-，故选C.【思路点拨】利用复数乘法进行分母实数化.【题文】2.设变量x,y满足约束条件：3123x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y=+的最小值为（）A.6B.7C.8D.23 【学问点】线性规划. E5【答案解析】B 解析：画出可行域，平移直线23y x=-，可得最优解为两直线x+y=3与2x-y=3的交点A(2,1),所以目标函数23z x y=+的最小值为22317⨯+⨯=，故选B.【思路点拨】画出可行域，利用平移法确定最优解，进而求得目标函数的最小值.【题文】3.函数sin22y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，x R∈是（）A.最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为2π的偶函数【学问点】函数sin()y A xωϕ=+的图像与性质. C4【答案解析】C 解析：由于sin22y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭=cos2x ，此函数是最小正周期为π的偶函数，所以选C. 【思路点拨】利用诱导公式化简已知函数，从而得结论.【题文】4.阅读右面的程序框图，则输出的S=（）A.14B.30C.20D.55【学问点】程序框图. L1【答案解析】B 解析：依据程序框图得：循环过程依次为①S=1,i=2,②S=1+4=5,i=3,③S=1+4+9=14,i=4, ④S=1+4+9+16=30,i=5,此时满足i>4了,所以输出S=30，故选B.【思路点拨】依据程序框图得每次循环的结果，从而确定输出结果.【题文】5.已知()f x是定义在(),-∞+∞上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()()0.6412log7,log3,0.2a fb fc f⎛⎫===⎪⎝⎭，则,,a b c的大小关系是（）A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<c【学问点】函数的奇偶性与单调性. B3 B4【答案解析】C 解析：由()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数得：()122log 3log 3b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，又()f x 在(],0-∞上是增函数，所以()f x 在[)0,+∞上是减函数，由于42122log 7log 7,log 3log 3,==-且0.622log 3log 710.2>>>>0，所以b<a<c ，故选C.【思路点拨】由奇偶性得()122log 3log 3b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，再由()f x 在(],0-∞上是增函数得()f x 在[)0,+∞上是减函数，由于42122log 7log 7,log 3log 3,==-且0.622log 3log 710.2>>>>0，所以b<a<c.【题文】6.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ） A.5 B.5 C.52 D. 54【学问点】双曲线的几何性质. H6【答案解析】C 解析：可设双曲线方程为()2222104x y m m m -=>，则a=2m, 2245c m m m =+=,所以5522c m e a m ==，故选C. 【思路点拨】首先设出已知焦点位置及渐近线方程的双曲线的方程，由此得双曲线中的参数a,c 的值，从而求得双曲线的离心率.【题文】7.函数()244,143,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩的图像和函数()2log g x x =的图像的交点个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 【学问点】函数及其表示. B1 【答案解析】C 解析：画出两函数图像得交点个数3，故选C.【思路点拨】在同一坐标系下画出两函数图像得交点个数.【题文】8.定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)()[)2 1.5,0,10.5,x 1,2x x x x f x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若[)4,2x ∈--时，()142t f x t ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A. [)()2,00,1- B. [)[)2,01,-+∞ C. []2,1- D. (](],20,1-∞-【学问点】函数的性质及应用. B1 B3 【答案解析】D 解析：(2)2(),f(x 4)2(2)4()f x f x f x f x +=∴+=+=∴当[4,2)x ∈--时，4[0,2)x +∈，24 1.5(4)(4),4[0,1)(4)4()(0,5),4[1,2)x x x x f x f x x +-⎧+-++∈⎪∴+==⎨-+∈⎪⎩ 即()22.51712,[4,3)4()1(0.5),[3,2)4x x x x f x x +⎧++∈--⎪⎪=⎨⎪-∈--⎪⎩，可得此时()f x 的最小值为1( 2.5)4f -=-.若[)4,2x ∈--时，()142t f x t ≥-恒成立，则min 11()( 2.5)424t f x f t -≤=-=-， 解得：t ∈(](],20,1-∞-，故选D.【思路点拨】依据条件，只要求出函数f （x ）在x ∈[-4，-2）上的最小值即可得到结论．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）【题文】9.如左下图所示，是某校高三班级文科60名同学参与谋科考试所得成果（分数均为整数）整理后得出的频率分布直方图，依据该图这次考试文科60分以上的同学的人数为 .【学问点】频率分布直方图中的数据读取. I2【答案解析】45 解析：这次考试文科60分以上的同学的人数 =（0.015+0.030+0.025+0.005106045⨯⨯=.【思路点拨】依据频率分布直方图得所求=（0.015+0.030+0.025+0.005106045⨯⨯=. 【题文】10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .【学问点】三视图的意义. G2【答案解析】108+3π 解析：该几何体的体积=2266 1.5131083ππ⨯⨯⨯+⨯⨯=+.【思路点拨】由三视图可知该几何体是由两个底面边长是6，高是1.5的正四棱柱，和一个底面半径是1，高是3的圆柱组成的几何体.【题文】11.在ABC ∆中，AB=2，AC=3，D 是边BC 的中点，则AD BC ⋅= . 【学问点】平面对量的加减运算及数量积. F1 F3【答案解析】52 解析：()1,2AD AC AB BC AC AB =+=-, ()()()221122AD BC AC AB AC AB AC AB ∴⋅=+⋅-=-()22153222=-=.【思路点拨】由向量加法、减法的三角形法则得：,AD BC 用,AC AB 表示的表达式，然后再用向量数量积公式计算.【题文】12.已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于直线y=x 对称，直线4x-3y-2=0与圆C 相交于A,B 两点，且6AB =，则圆C 的标准方程为: . 【学问点】抛物线的性质；直线与圆的有关学问. H4 H7【答案解析】()22110x y +-= 解析：由已知条件得圆心C(0，1),C 到直线4x-3y-2=0的距离d=()223243--=+-1，所以圆的半径为221310+=，所以圆C 的标准方程为:()22110x y +-=.【思路点拨】依据已知条件求得圆心坐标及半径.【题文】13.如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E. 已知圆O 的半径为3，PA=2，则CD= .【学问点】几何证明选讲. N1 【答案解析】245解析：连接OC 则90OCP ∠=,在OCP ∆中OC=3，OP=5从而PC=4由等面积法得：341255OC CP OC CP PO CE CE PO ⋅⨯⋅=⋅⇒===,所以CD=245. 【思路点拨】连接OC 则90OCP ∠=，在直角三角形OCP 中求得三边长后，再求斜边上的高即可. 【题文】14.函数()10,1x y a a a -=>≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则11m n+的最小值为 . 【学问点】指数函数；基本不等式. B10 E6【答案解析】4 解析：由已知条件得A(1,1), 代入mx+ny-1=0得：m+n=1，由于m,n>0所以()111124m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当m=n=12时等号成立. 【思路点拨】由函数()10,1x y a a a -=>≠的图像恒过定点A 得A(1,1)，代入mx+ny-1=0得：m+n=1，由于m,n>0所以()111124m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当m=n=12时等号成立. 二、解答题：（本大题共6小题，共80分。
2021届天津市南开中学高三上学期第一次月考英语试题(解析版)
A.have visitedB.visitedC.had visitedD.would visit
5. What do we learn about the woman?
A. She is upset about the bill. B. She misunderstands the waiter. C. She complains about the food.
第二节(共10小题，每小题1.5分，满分15)
【答案】D
【解析】
【详解】考查状语从句。句意：平衡地区医疗资源，以便让更多的人获得公平的、负担得起的医疗服务。A. ever since自...以后；B. as if好像；C. even though尽管，即使；D. so that以便于。分析题意，根据句意连贯看，空前说“平衡地区医疗资源”，空后“让更多的人获得公平、负担得起的医疗服务”，可知这里应用so that“以便于”引导目的状语从句。综合分析，故选D项。
天津市南开中学2021届高三年级第一次月考
英语试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题），共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至14页，第Ⅱ卷第15页至16页。考生务必将客观题答案涂写在答题卡上，将主观题答在答题纸上。在试卷上答题无效。
第Ⅰ卷(共115分)
第一部分：听力(20分)
第一节(共5小题：每小题1分，满分5分)
【答案】C
【解析】
【详解】考查时态。句意：这是他第一次来到天津这个新的沿海地区，天津的快速发展给他留下了深刻印象。分析题意，根据固定搭配It +be+the +序数词+time+that（某人第几次做某事）可知，若be动词为was时，从句的动词用过去完成时。故此处的时态为过去完成时。综合分析，故选C项。
天津市南开大学附属中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学试题
天津市南开大学附属中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设命题:p x R ∀∈，210x ，则p ⌝为（ ）A ．0x R ∃∈，2010x +≤B ．0x R ∃∈，2010x +>C ．0x R ∀∈，2010x +< D ．0x R ∀∈，2010x +≤2．已知集合{}2320A x x x =+-≤，(){}2|log 210B x x =-≤，则A B =（ ）A ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦3．“201x x -≥+”是“213x -≥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知平面向量a ，b ，满足2a =，5b =，53a b ⋅=，则a ，b 的夹角是（ ） A ．6π B ．3π C ．4π D ．23π 5．函数2()1exf x x =-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为 A ．cos 2y x =，x ∈R B ．2log y x =，x ∈R 且x≠0C ．2x xe e y --=,x ∈RD ．3+1y x =，x ∈R7．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x+'<，若1133a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()33b f =--，11lnln 33c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<8．已知函数()cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，给出下列结论①132f π⎛⎫= ⎪⎝⎭②点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是曲线()f x 的对称中心③函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增④把函数sin y x =的图像上所有点向左平移3π个单位长度，得到()f x 图像 其中正确的结论个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知函数211,[2,0]()12(2),(0,)x x f x x f x x ⎧-⎪+∈-=⎨-⎪-∈+∞⎩,若函数()()21g x f x x m =--+在区间[－2，4]内有3个零点，则实数m 的取值范围是． A ．11|22m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．1|12m m ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭C ．1|112m m m ⎧⎫-<<=⎨⎬⎩⎭或D ．11|122m m m ⎧⎫-<<=⎨⎬⎩⎭或二、双空题10．若sin 2cos 0αα+=，则tan α=________；tan2α=________.三、填空题11．若()213log 35y x ax =-+在[1,)-+∞上单调递减，则a 的取值范围是________.12．已知函数()f x =，则()f x 在2x =处的导数()2f '=________. 13．如图在直角梯形ABCD 中，//,,2,AB DC AD DC AD DC AB E ⊥==为AD 中点，若CA CE DB λμ=+，则λμ+=___________.14．已知0a >，0b >，且111223a b +=++，则2+a b 的最小值为__________． 15．已知函数()()21ln 10,310,2x x f x x x x ，，⎧-+≤⎪=⎨-++>⎪⎩且函数()()2g x f x x m =--在定义域内恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是_________.四、解答题16．已知函数2()2sin )sin ()2f x x x x x ππ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭R .（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间；（3）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.17．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin b A c B =，且3b =，1cos 4B =. （Ⅰ）求a 的长； （Ⅱ）求tan C 的值； （Ⅲ）求()tan 2B C -的值.18．设函数32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f --的切线方程为123y x =+，求a ，b 的值； （2）若()f x 在3x =处取得极值，求a 的值； （3）若()f x 在(,0)-∞上为增函数，求a 的取值范围. 19．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称.（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域；（2）若7a =且sin sin B C +=ABC ∆的面积. 20．已知函数()21xf x e ax =--，()()2ln 1g x a x =+，a R ∈．（1）若()f x 在点(0,(0))f 处的切线倾斜角为4π，求a 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）若对于任意[0,)x ∈+∞，()()f x g x x +≥恒成立，求a 的取值范围．参考答案1．A 【分析】将全称命题否定为特称命题即可 【详解】解：因为命题:p x R ∀∈，210x ，所以p ⌝为0x R ∃∈，2010x +≤.故选：A 2．D 【分析】解不等式确定集合,A B 后，再由交集定义计算． 【详解】{}22320{|1}3A x x x x x =+-≤=-≤≤，(){}21|log 210{|0211}{|1}2B x x x x x x =-≤=<-≤=<≤， ∴12{|}23A B x x =<≤． 故选：D ． 3．A 【分析】解两个不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】 解不等式201x x -≥+可得1x <-或2x ≥， 解不等式213x -≥得213x -≤-或213x -≥，解得1x ≤-或2x ≥， 因为{1x x <-或}2x ≥ {1x x ≤-或}2x ≥， 因此，“201x x -≥+”是“213x -≥”的充分而不必要条件. 故选：A. 4．A 【分析】直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可． 【详解】解：平面向量a ，b ，满足2a =，5b =，53a b ⋅=，设a ，b 的夹角是θ，可得53cos 25a b a bθ⋅==⨯[]0,θπ∈，所以a ，b 的夹角是：6π． 故选：A ． 5．C 【分析】通过函数值的正负可判断函数的图象. 【详解】 因为2()1exf x x =-，故当1x >时，()0f x <， 而当01x <<，()0f x >，结合各选项中的图象可得C 是正确的， 故选：C. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般通过函数的奇偶性、单调性和函数值的符号等来判断，本题属于基础题. 6．B 【详解】首先判断奇偶性：A,B 为偶函数，C 为奇函数，D 既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C 、D ， 对于先减后增，排除A ，故选B.考点：函数的奇偶性、单调性. 7．B 【分析】根据式子得出F （x ）=xf （x ）为R 上的偶函数，利用f′（x ）+()f x x<0．当x ＞0时，x•f′（x ）+f （x ）＜0，当x ＜0时，x•f′（x ）+f （x ）＞0，判断单调性即可证明a ，b ，c 的大小．【详解】定义域为R 的奇函数y=f （x ）， 设F （x ）=xf （x ）， ∴F （x ）为R 上的偶函数， ∴F′（x ）=f （x ）+xf′（x ） ∵当x ≠0时，f′（x ）+()f x x<0．∴当x ＞0时，x•f′（x ）+f （x ）<0， 当x ＜0时，x•f′（x ）+f （x ）>0，即F （x ）在（0，+∞）单调递减，在（﹣∞，0）单调递增．F （13）=a =13f （13）=F （，F （﹣3）=b =﹣3f （﹣3）=F （3），F （ln 13）=c =（ln 13）f （ln 13）=F （ln3），∵ln3＜3，∴F （>F （ln3）>F （3）． 即b ＜c ＜a ， 故选B ． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()xg x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()x f x g x e=，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2xg x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e =，等便于给出导数时联想构造函数. 8．B 【分析】对于①：代入求值可判断； 对于②：代入得2()03f π=，由此可判断； 对于③：由余弦函数单调性可判断； 对于④：根据图像的平移和诱导公式可判断． 【详解】对于①：()cos cos 3366f ππππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭①不正确；对于②：22()cos cos 03362f ππππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是曲线()f x 的对称中心，故②正确；对于③：当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，,636x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，而cos y x =在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上单调递增，在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以③不正确；对于④：把函数sin y x =的图像上所有点向左平移3π个单位长度，得到的函数的解析式为sin +cos +cos cos 32366y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故④正确，综上得：正确的结论有2个， 故选：B ． 9．D 【分析】先作出函数()f x 的图像，再由函数()()21g x f x x m =--+在区间[－2，4]内有3个零点可得，函数()y f x =与y 21x m =+-在区间[－2，4]内有3个不同交点，进而可求出结果. 【详解】当[2,1x ∈--）时，()2f x x =+；当[]1,0x ∈-时，()f x x =-；又0x >时，()()22f x f x =-，所以可作出函数()f x 在[－2，4]的图像如下：又函数()()21g x f x x m =--+在区间[－2，4]内有3个零点，所以函数()y f x =与y 21x m =+-在区间[－2，4]内有3个不同交点，由图像可得121m -=-或0122m <-<,即1m =或1122m -<<. 故选D 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，将函数有零点的问题转化为两函数有交点的问题来处理，运用数形结合思想即可求解，属于常考题型. 10．2- 43【分析】利用同角三角函数的基本关系以及二倍角公式即可求解. 【详解】由sin 2cos 0αα+=，则sin 2cos αα=-， 所以sin tan 2cos ααα==-， 22tan 44tan 21tan 143ααα-===--.故答案为：2-；4311．(8,6]-- 【分析】由已知得235y x ax =-+在[1-，)+∞上单调递增，且(1)0f ->由此能求出a 的取值范围． 【详解】 解：函数213()log (35)f x x ax =-+在[1-，)+∞上单调递减，235y x ax ∴=-+在[1-，)+∞上单调递增，∴(1)35016f a a -=++>⎧⎪⎨-⎪⎩，解得86a -<-． 故答案为(]8,6-- 【点睛】本题考查复合函数的单调性，实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用． 12．2【分析】求导后代入2x =即可得到结果. 【详解】 ()21f x x ==-，()()221f x x '∴=-，()22f '∴=.故答案为：2.13．85【分析】建立直角坐标系，利用向量坐标运算性质、向量基本定理即可得出． 【详解】如图所示，建立直角坐标系，不妨设1AB =，则()()()()()0,0,2,0,0,2,1,2,0,1D C A B E ．()()()2,2,2,1,1,2CA CE DB =-=-=， ∵CA CE DB λμ=+ ， ∴()()()2,22,11,2λμ-=-+，∴ 2222λμλμ-+=-⎧⎨+=⎩， 解得62,55λμ==，所以85λμ+=．故答案为：85．【点睛】本题考查了平面向量坐标运算性质、平面向量基本定理，考查了推理能与计算能力，属于基础题．14．3+【分析】[]112(2)2(2)63(2)2(2)622a b a b a b a b ⎛⎫+=+++-=++++- ⎪++⎝⎭，展开后利用基本不等式可求． 【详解】解：∵0a >，0b >，且111223a b +=++， ∴[]112(2)2(2)63(2)2(2)622a b a b a b a b ⎛⎫+=+++-=++++- ⎪++⎝⎭6(2)3(2)9696322b a a b ++=++-≥+=+++当且仅当6(2)3(2)22b a a b ++=++且111223a b +=++，即1b =，1a =+故2+a b 的最小值为3+故答案为：3+ 15．65ln 216m <<或17116m -<<-【分析】先作出函数()f x 图象，再根据函数2y x m =-图象确定满足条件的位置，进而得参数m 的取值范围. 【详解】由231(0)2y x x x =-++>与2y x m =-相切得1716m =- 由231(0)2y x x x =-++>与2y x m =-+相切得6516m = 由()()1ln 10y x x =-+≤与2y x m =-+相切得ln2m =作出函数()f x 图象，如图，所以要使得函数有三个不同零点，需满足65ln216m <<或17116m -<<-，【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 16．（1）最小正周期为π；（2）单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（3）[0,3].【分析】（1）逆用二倍角公式化简整理可得()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用2T ωπ=即可求得()f x 的最小正周期； （2）令26z x π=-，利用函数2sin 1y z =+的图像与性质，列出不等式，即可求得()f x 的单调递减区间；（3）由20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图像与性质，即可求得()f x 的取值范围. 【详解】（1）由已知可得()1cos 2cos f x x x x =-+2cos 21x x =-+2sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）令26z x π=-，函数2sin 1y z =+的单调递减区间是32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .所以3222262k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z 得536k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z .所以()f x 的单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . （3）因为20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()[0,3]f x ∈，即()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是[0,3].【点睛】本题考查二倍角公式的逆用，辅助角公式的应用，正弦型函数的单调区间、周期和值域问题，综合性较强，考查计算化简，数形结合的能力，考查整体性的思想，属基础题.17．（Ⅰ）3a =；（Ⅱ（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）由正弦定理将解化边，结合余弦定理即可求解； （Ⅱ）根据条件求得cos C 与sin C ，即可求解tan C ；（Ⅲ）由a b =知A B =，且A B C π++=，因此22B C C π-=-，代入即可求解()tan 2B C -． 【详解】（Ⅰ）解：由正弦定理sin sin a bA B=，及sin 2sin b A c B =，可得2ab bc =，即2a c = 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，解得3a =；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知32c =，由余弦定理，可得222cos 728a b c C ab +-==，因为22sin cos 1C C +=，且()0,C π∈，所以sin C =于是，sin tan cos C C C ==（Ⅲ）解：由a b =知A B =，且A B C π++=，因此22B C C π-=-.所以()()22tan tan 2tan 2tan 21tan C B C C C C π-=-=-=-=- 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 18．（1）0a =，4b =-；（2）3a =；（3）[0,)a ∈+∞. 【分析】（1）利用导数的几何意义，可得(1)12f '-=，(1)9f -=-，计算整理，即可求得a ，b 的值； （2）令'(3)0f =，即可求得a 的值，检验可得3x =为极值点，即可得答案；（3）令'()0f x =，解得1x a =，21x =，分别求得1a <和1a ≥时，()f x 的单调区间，结合题意，分析推理，即可得答案. 【详解】（1）因为32()23(1)6f x x a x ax b =-+++， 所以2()66(1)6f x x a x a '=-++，由题设可得(1)121212f a '-=+=，(1)959f a b -=-+-=-， 解得0a =，4b =-.（2）因为()f x 在3x =取得极值， 所以(3)12360f a '=-+=，解得3a =.当3a =时，'2()624186(1)(3)f x x x x x =-+=--， 令'()0f x =，解得x=1或3，所以3x =为()f x 的极值点，故3a =满足题意. （3）令()6()(1)0f x x a x '=--=， 得1x a =，21x =.当1a <时，若(,)(1,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>， 所以()f x 在(,)a -∞和(1,)+∞上为增函数， 故当01a ≤<时，()f x 在(,0)-∞上为增函数恒成立. 当0a <时，()f x 在(,)a -∞上为增函数，不符合题意， 当1a ≥时，若(,1)(,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>， 所以()f x 在(,1)-∞和(,)a +∞上为增函数， 从而()f x 在(,0)-∞上也为增函数，满足题意.综上所述，当[0,)a ∈+∞时，()f x 在(,0)-∞上为增函数. 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间和极值点问题，考查计算求值，分类讨论的能力，属中档题.19．（1）⎛⎤ ⎥⎝⎦（2）【分析】（1）先根据诱导公式以及两角差正弦公式、配角公式化简，再根据正弦函数性质求A 以及函数值域，（2）先根据正弦定理化边，再根据余弦定理求bc ，最后根据三角形面积公式得结果. 【详解】（1）()()()2sin cos sin f x x A x B C =-++ ()2sin cos sin x A x A =-+=2sin()cos sin(())x A x x x A -+--=2sin()cos sin cos()sin()cos x A x x x A x A x -+--- =sin()cos sin cos()x A x x x A -+-()sin 2x A =- ∵函数()f x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，∴π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴π3A =∴()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵()f x 在区间5π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，且()0f =5π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴()f x 的值域为⎛⎤ ⎥ ⎝⎦（2）∵sin sin B C +=1313sin sin sin 1377B C A b c a ∴+=∴+=⨯= ∴13b c +=由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-∴40bc =∴1sinA 2ABCSbc ==【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.20．（1）0；（2）当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为R ；当0a >时，()f x 的单调递减区间是(,ln(2))a -∞，单调递增区间是(ln(2),)a +∞；（3）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）根据()f x 在点(0,(0))f 处的切线倾斜角为4π，得到()01f '=，对()f x 进行求导，再求解即可；（2）对函数进行求导，对参数进行分类讨论，即可求得函数的单调区间；（3）构造函数()()()x f x g x x ϕ=+-，将原式化为：对于任意[0,)x ∈+∞，()min 0x ϕ≥恒成立，再利用1x e x ≥+进行适度放缩，从而判断()x ϕ的单调性，找到对应的参数范围即可. 【详解】（1）由题意知： ()2xf x e a '=-，()02120f e a a '∴=-=-，又()f x 在点(0,(0))f 的切线倾斜角为4π， ()f x ∴在点(0,(0))f 的切线的斜率tan14πk ==， 即()1102f a '=-=， 解得：0a =；（2）由（1）知：()2xf x e a '=-，①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上为增函数；②当0a > 时，令()20xf x e a '=-=，解得：()ln 2x a =，∴当(,ln(2))x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(,ln(2))a -∞上为减函数，当(ln(2),)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(ln(2),)a +∞上为增函数． 综上所述，当0a ≤ 时，()f x 的单调递增区间为R ；当0a >时，()f x 的单调递减区间是(,ln(2))a -∞，单调递增区间是(ln(2),)a +∞； （3）对任意的[0,)x ∈+∞，()()f x g x x +≥恒成立， 即()()0f x g x x +-≥恒成立，将()(),f x g x 代入，并整理得：e 2[ln(1)](1)0x a x x x ++--+≥， 设()=e 2[ln(1)](1)x x a x x x ϕ++--+，则原式等价于对任意的[0,)x ∈+∞，min ()0x ϕ≥恒成立，则2()=e (21)1xax a x ϕ'+-++， 下面证明：1x e x ≥+， 令()1x g x e x =--， 则()1x g x e '=-，令()10xg x e '=-=，解得：0x =，∴当(,0),()0x g x '∈-∞<，()g x 单调递减；当(0,),()0x g x '∈+∞>，()g x 单调递增； 故()(0)0g x g ≥=， 即1x e x ≥+， 2()=e (21)1x a x a x ϕ'∴+-++21(21)1ax a x ≥++-++ 22212(21)(21)2=11x x a a a x x x ax x x +++-+-++-=++(12)=1x x a x +-+，①当12a ≤时，()0x ϕ'≥ 在[)0,+∞上恒成立，()ϕx 在[)0,+∞上单调递增， min ()(0)00x ϕϕ==≥恒成立，即()()f x g x x +≥，对[0,)x ∀∈+∞恒成立． ②当12a >时， 1x e x ≥+，1x e x -∴≥-，即 11xe x≤-，在[]0,1x ∈成立， 故当(0,1)x ∈时，2()=e (21)1x a x a x ϕ'+-++12(21)11a a x x <+-+-+22(21)(21)1a x a xx +--=-， 21(0,)(0,1)21a x a -∈⊂+时，()0x ϕ'<， 知()ϕx 在21(0,)21a a -+上为减函数，()(0)0x ϕϕ<=， 即在21(0,)21a a -+上，不存在a 使得不等式()()f x g x x +≥对任意0x ≥恒成立． 综上所述：实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对参数的分类讨论以及应用1x e x ≥+对函数进行放缩.。
天津市第一中学2021届高三上学期第一次月考数学试题
当 x→-∞时，f′（x）＞0，即在 x 轴最左侧，函数 f（x）为增函数，排除 D，
故选 B．
5．D
6．A
【解析】
【分析】
分类计数，考虑选取 1 名医生 2 名护士和选取 2 名医生 1 名护士两类情况求解.
【详解】
平均每月进行训练的天数
x
x5
5 x 20
x 20
人数
10
60
30
（1）以这 100 人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的 人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽 取 4 个人，求恰好有 2 个人是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的概率；
16．在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ．已知 a cos C ( 2b c) cos A ．
（1）求 A ；
3
（2）若 a 2 5,b 2 2 ， （ⅰ）求边c 的值 ；
（ⅱ）求 ABC 的面积．
17．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为 此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运 动的人中随机抽取 100 人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计 表；
xa lnx
，求证：当
1
a
0
时，
g x 在 1, 上存在极小值.
4
20．已知函数 f (x) xex1 a(x ln x) ， a R .
（1）当 a=1时，求函数 f x 的单减区间；
（2）若 f (x) 存在极小值，求实数 a 的取值范围；
（3）设 x0 是 f (x) 的极小值点，且 f (x0 ) 0 ，证明： f x0 2 x02 x03 .
2021届天津一中高三一月考试卷及解析
列出临界条件满足的关系式求解即可. 【详解】
解：
函数
f
x
2
k
17 4
x
2
,
x
0
,且 k＞0,
x
2
,
x
0
画出 f x 的图象如下：
试卷第 6 页，总 15 页
因为
g
x
k
x
4 3
,且存在唯一的整数
x,
使得
f
x
g
x
,
故 g x 与 f x 在 x 0 时无交点,
k k 17 ,得 k 17 ；
中随机抽取 3 个， Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的人数，
求 Y 的分布列及数学期望 E Y
【答案】（1） 27 ；（2）分布列详见解析，数学期望 E Y 3 ．
128
4
【解析】
【分析】
（1）由题意可得 P x 20 25 ，由二项分布的概率公式即可得解；
100
加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去 A 地区，共有2A22 4 种，即一共 36 4 144种方案；
当选取的是 2 名医生 1 名护士，共有C62C41 60 种选法，分配到 A，B，C 三个地区参
加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去 A 地区，共有 A22 2 种，即一共
试卷第 5 页，总 15 页
a0
{
4a2
12a
0
，解得
a
0
或
a
3
.
考点：1、命题；2、一元二次不等式.
【方法点晴】全称命题“ x M ， p x ”的否定为“ x M ，p x ”，当全称命题为
天津市南开中学2024-2025学年高三上学期10月月考语文试题(含答案)
天津市南开中学2024-2025学年高三上学期10月月考语文试题2024年10月本试卷分第Ⅰ卷.(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150 分，时长150分钟。
第Ⅰ卷 (共33分)一、(33分)阅读下面一段文字，完成1-3小题8名“共和国勋章”建议人选和28名“国家荣誉称号”建议人选，( )，生命里盛装着对人民的无限忠诚。
从“两弹一星”核潜艇等国之重器，到杂交水稻，青蒿素等重大突破，造福世人；从防沙治沙，脱贫攻坚，到巡边护边、为国戍海，正因为他们的无私付出，竭诚报国，我们的国防才更加稳固有力，生活更加安定有序，经济社会发展更加。
他们为党，国家和人民的事业做出了的贡献。
一个人爱国，不仅在精神层面形成高尚与卑劣，伟大与渺小的分界，也往往在意义层面引致人生价值，社会贡献的分野。
历史告诉我们，无论是赤胆忠心献身国防事业，还是全心全意为民生福祉打拼，或是鞠躬尽瘁致力于重大科技创新，在国家大事，民族大义、时代需要面前，爱国情感总能出强烈的责任感、旺盛的战斗力、执着的事业心，指引一个人建树卓著功勋。
1.依次在文中横线处填上词语，全都恰当的一项是 ( )A. 横空出世方兴未艾不可磨灭焕发B. 一鸣惊人方兴未艾不可企及生发C. 一鸣惊人欣欣向荣不可企及焕发D. 横空出世欣欣向荣不可磨灭生发2.文中画横线的句子有语病，下列修改最恰当的一项是 ( )A.一个人爱国，不仅在精神层面形成高尚与卑劣，伟大与渺小的分界，而且往往在意义层面引起人生价值，社会贡献的分野。
B.一个人爱国与否，不仅在精神层面形成高尚与卑劣，伟大与渺小的分界，而且往往在意义层面引起人生价值，社会贡献的分野。
C.一个人爱国与否，不仅在意义层面引起人生价值，社会贡献产生分野，而且往往在精神层面形成高尚与卑劣，伟大与渺小的分界。
D.一个人爱国与否，不仅在精神层面形成高尚与卑劣，伟大与渺小的分界，而且在意义层面往往引起人生价值，社会贡献的分野。
3.下列填入文中括号内的语句，衔接最恰当的一项是 ( )A. 心中洋溢着对祖国的深沉大爱，是他们的一个共同特征B. 都有一个共同特征，就是他们把深沉大爱献给祖国C. 都有一个共同特征，就在于他们心中洋溢着对祖国的深沉大爱D. 祖国在他们心中具有无可比拟的地位阅读下面的文字，完成4-6题。
24届天津南开中学高三第一次月考数学科参考答案
x
π 2
,t
=
2x
−
π 3
π 6
,
2π 3
当t
=
π 6
即
x
=
π 4
时， (sin t )min
=
sin
π 6
=
1 2
，此时
ymin
=1
当t
=
π 2
即
x
=
5π 12
时， (sin t )max
=
sin
π 2
= 1此时
ymax
=
2．
17. 解：（1）方法一：由 b − ccosA = 2acosBcosC 根据正弦定理边化角得：
（Ⅲ）若 F ( x) 有两个不同的零点 x1, x2 ，不妨设 x1 x2 ，
则
x1 ,
x2 为
f
(x)
=
ln
x
−
a( x −1)
x +1
的两个零点，且
x1
1，
x2
1，
由（Ⅱ）知此时 a 2 ，并且 f ( x) 在 (0,t1 ) ， (t2 , +) 为单调递增函数，
在 (t1,t2 ) 上为单调递减函数，且 f (1) = 0 ，所以 f (t1 ) 0 ， f (t2 ) 0 ，
h( x)
=
1 x
−
x
+1) − 2( x ( x + 1)2
− 1)
=
( x + 1)2 − 4x x ( x + 1)2
=
( x −1)2 x ( x + 1)2
，
当 x 1时， h( x) 0 ，
天津市南开中学2021届高三(上)第一次月考数学试题
所以在 上， 共有 个不等实根，
又 ，所以 在 上共有4041个不等实根即 ，
所以
.
故选：B.
【点睛】
本题考查了函数周期性和奇偶性的应用及函数零点相关问题的解决，考查了转化化归思想和数形结合思想，属于中档题.
9．D
【分析】
分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到 ，则 有解．再利用导数进一步求得 的取值范围．
12．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是__．
13．已知函数 ，当 时，则函数 的最大值与最小值之和是__．
14．已知函数 的最小值为 ，则实数 的值为__．
15．已知 ，函数 ， ，若函数 有4个零点，则实数 的取值范围是______.
三、解答题
16．已知函数 的周期为 ．
（1）求 的值及函数 的单调递增区间；
天津市南开中学2021届高三（上）第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． 或
C． D．
2．对于实数 ，“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若 在区间 上有 个零点 ，则 （）
A．4042B．4041C．4040D．4039
9．若曲线 与曲线 存在公切线，则实数 的取值范围（）
A． B． C． D．
二、填空题
10．已知复数 （ 为虚数单位），则 __________．
11．二项式 的展开式中的常数项是__________．(用数字作答)
天津市天津一中2021届高三上学期零月月考数学理试题 Word版含解析
天津一中2022---2021高三班级月考数学试卷（理科）一、选择题：【题文】（1）i 是虚数单位，211i i -⎛⎫⎪+⎝⎭的值是 （ ）A.-1B.1C.-iD.i【学问点】复数的概念.L4【答案解析】A 解析：解：由题意可知()22111i i i -⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭，所以正确选项为A. 【思路点拨】依据复数的化简可分母实数化，然后依据虚数的概念直接求解. 【题文】(2)在()61x x +的开放式中，含3x 项的系数是 （ ）A.30 B,20 C.15 D.10【学问点】二项式定理.J3【答案解析】C 解析：解：由题意可知()61x x +的开放式中，含3x 项的系数，即为()61x +的开放式中的2x项的系数，()61x +的开放式中的2x 项为44261C x ，所以它的系数为446115C =.【思路点拨】依据二项式开放式，可以求出与所求项有关的特定项的系数. 【题文】(3)如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 A.16 B.2524 C.34 D.1112【学问点】程序框图；算法.L1【答案解析】解析：解：解：当n=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后12S =,n=4； 当n=4时，满足进行循环的条件，执行完循环体后34S =,n=6； 当n=6时，满足进行循环的条件，执行完循环体后1112S =,n=8；当n=8时，不满足进行循环的条件， 故输出结果为：1112故选：D 【思路点拨】依据程序框图可以知道题意所蕴含的意义，依据算法可求出结果. 【题文】(4)若曲线()(),a f x x g x x ==，在点()1,1P 处的切线分别为12,l l ，且12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A.-2 B.2 C.12 D.12- 【学问点】导数的几何意义.B11【答案解析】A 解析：解：依据题意可知()f x 在()1,1P 处的导数为()()1211122f x x f -''=∴=，()g x 在()1,1P 处的导数为()()11a g x ax g a -''=∴=，121122l l a a ⊥∴⨯=-∴=-，所以正确选项为A.【思路点拨】依据函数的导数可以求出切线的斜率，再依据函数的几何关系可求出字母的值. 【题文】(5)数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是数列{}n a 为递增数列的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【学问点】充分必要条件.A2【答案解析】解析：解:若a 1＜0，q ＞1时，{a n }递减，∴数列{a n }单调递增不成立． 若数列{a n }单调递增，当a 1＜0，0＜q ＜1时，满足{a n }递增，但q ＞1不成立． ∴“公比q ＞1”是“数列{a n }单调递增”的既不充分也不必要条件． 故选：D【思路点拨】依据命题的关系可知结果. 【题文】（6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ） A.12 B,23 C. 34 D.35【学问点】概率,K1【答案解析】解析：解：解：甲要获得冠军共分为两个状况 一是第一场就取胜，这种状况的概率为12一是第一场失败，其次场取胜，这种状况的概率为111224⨯=则甲获得冠军的概率为113244+= 故答案为：34【思路点拨】甲队获冠军分为两种状况，概率是每种概率的和.【题文】(7)设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，若cosC ccosB asinA b +=，则ABC 的外形为（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定 【学问点】正弦定理；两角和与差的公式.C5,C8 【答案解析】A 解析：解：由正弦定理可知22sin ,2sin ,2sin sin sin sin a b cR a R A b R B c R C A B C===∴===，cos cos sin sin cos sinCcosB sinAsinAb Cc B a A B C ∴+=∴+=()22sin sin sin sin sin 190B C A A A A A ∴+=⇒=∴=∴∠=︒所以三角形为直角三角形，A 正确.【思路点拨】依据正弦定理把边转化成角，然后依据两角和的开放式进行化简.【题文】（8）函数()f x 的定义域是R ，()02f =，对任意()(),1x R f x f x '∈+>，则不等式()1x x e f x e ⋅>+的解集为（ ）A.{}|0x x >B.{}|0x x <C.{}|101x x x <-<<或D.{}|11x x x ><-或【学问点】导数，导数与函数的单调性.B11,B12【答案解析】解析：解：设h （x ）=e x f （x ）-e x-1，则不等式e x f （x ）＞e x+1的解集就是 h （x ）＞0 的解集． h （0）=1×2-1-1=0，h′（x ）=e x [f （x ）+f′（x ）]-e x， ∵[f （x ）+f′（x ）]＞1， ∴对于任意 x ∈R ， e x [f （x ）+f′（x ）]＞e x，∴h'（x ）=e x [f （x ）+f'（x ）]-e x＞0 即h （x ）在实数域内单调递增． ∵h （0）=0，∴当 x ＜0 时，f （x ）＜0；当 x ＞0 时，f （x ）＞0．∴不等式e x •f（x ）＞e x+1的解集为：{x|x ＞0}． 故答案为：{x|x ＞0}．【思路点拨】构造函数，利用导数争辩分析函数的单调性.二、填空题： 【题文】（9）以Rt ABC 的直角边AB 为径作圆O,圆O 与斜边AC 交于D ，过D 作圆O 的切线与BC 交于E ，若BC=3，AB=4，则OE=【学问点】直线与圆的关系；全等三角形的判定.H4【答案解析】解析：解：由题意，连接OD ，BD ，则OD ⊥ED ，BD ⊥AD∵OB=OD ，OE=OE ∴Rt △EBO ≌Rt △EDO ∴EB=ED ，∴∠EBD=∠EDB 又∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠EDC=90°∴∠C=∠EDC ，∴ED=EC∴EB=EC ∵O 是AB 的中点，∴12OE AC =∵直角边BC=3，AB=4，∴AC=5,52OE =故答案为：52【思路点拨】依据已知条件可求出O 点为AB 的中点，然后依据中位线的条件求出OE 的长.【题文】(10)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【学问点】三视图；柱体体积公式.G2【答案解析】解析：解：由题意可知几何体为底面为等腰梯形的四棱柱，依据体积公式可知它的体积为()1284105002V Sh ==+⨯⨯= 【思路点拨】依据三视图得到几何体的图形，再利用体积公式可求出体积.【题文】（11）在直角坐标系xoy 中，已知曲线11:()12x t C t y t =+⎧⎨=-⎩为参数与曲线2sin :()3cos x a C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数,a>0有一个公式点在x 轴上，则a=【学问点】椭圆的参数方程；直线的参数方程.N3【答案解析】32a =解析：解：曲线11:()12x t C t y t =+⎧⎨=-⎩为参数化为一般方程为：230x y +-=令30,2y x ==，曲线2sin :()3cos x a C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数,a>0化为一般方程为：22219x y a +=∵两曲线有一个公共点在x 轴上293412a a =∴= 【思路点拨】化参数方程为一般方程，利用两曲线有一个公共点在x 轴上，可得方程，即可求得结论.【题文】(12)某学校高一、高二、高三班级的同学人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个班级的同学中抽取容量为50的样本，则应从高二班级抽取 名同学. 【学问点】抽样方法；分层抽样的概念.I1∵用分层抽样的方法从该校高中三个班级的同学中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取501510⨯= 故答案为：15【思路点拨】依据分层抽样的概念，满足按比例安排的关系，可按比例求解.【题文】(13)若点O 、F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP PF ⋅的最大值为【学问点】向量的数量积；二次函数求最值问题.F3 【答案解析】解析：解：解：设则(,OP FP x y ⋅=又点P 在椭圆上，所以所以当x=2时，4OP OF ⋅的最大值为【思路点拨】设在椭圆上可把OP OF⋅ 表示为数性质可求其最大值【题文】(14)设函数()f x m=，若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是 .【学问点】函数的最大最小值.B3【答案解析】解析：解：由题意可得()00021,22x k f x k k z m mπππ+==+∈=且，即x ，再由()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦可得当m 2最小时，|x 0|最小，而|x 0|最小为222113,4,24mm m m ∴>+∴>求得m>2或m<-2【思路点拨】依据导数与函数的关系，找到函数的最值，再由题意可求解. 三、解答题：【题文】（15）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c,且222tan A b c a=+-（I ）求角A 的大小：（II ）求cos cos B C +的取值范围.【学问点】余弦定理；两角和与差的开放式.C5,C8 【答案解析】解析：解：(1)tan tan sin3A A A A π====(2)21cos cos cos cos cos cos 32B B BB B B B π⎛⎫⎛⎫+=+-=+-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos sin 26362B B B BC B ππππ⎛⎫==++=∴<< ⎪⎝⎭2,sin cos cos 633622B B B C ππππ⎤⎤⎡⎤⎛⎫∴+∈∴+∈∴+∈⎥⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦【思路点拨】依据余弦定理，找出角之间的关系，再利用两角和与差的公式确定三角函数值的范围.【题文】(16)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同 (I)从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率:(II)从盒中一次随机抽出4个球，其中红球，黄球，绿球的个数分别记为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 中的最大数，求X 的概率分布列和数学期望()E X .【学问点】概率；离散型随机变量的分布列与数学期望.K1,K8【答案解析】解析：解：224329163153618C C P C ++++=== (2)X 的可能取值为2，3，4()()31314536449911134,312663C C C C P x P x C C +======()113991112663126P x ==--=()198********1261269E x ++===【思路点拨】由题意找出所求大事的概率，依据变量的取值求出分布列与数学期望.【题文】(17)如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD PA ⊥底面.BC 2,4,3CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F为PC 的中点，AF PB ⊥.(I)求PA 的长：（II ）求二面角B AF D --的正弦值.【学问点】空间坐标系；空间向量；空间距离公式；法向量.F3,G9【答案解析】解析：解：2,3BC BD ACB ACD CA BD π==∠=∠=∴⊥∴如图建立空间坐标系()())()()0,0,0,0,1,0,3,0,0,3,0,0,3,0O C BD A ∴-()0,3,,0,1,2z P z F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭)2,00,2,3,3,060322z z AF PB AF PB z z ⎛⎫⊥∴⋅=∴⋅-=∴-=∴= ⎪⎝⎭(0,3,23P -()22323PA ∴==（2）设面AFD 的法向量()()0,,3,3,20n AD n x y z n n AF ⎧⋅==∴∴=-⎨⋅=⎩，设面ABF 的法向量()()0137,,3,3,2cos sin 80m AB m x y z m m AF θθ⎧⋅==∴∴=-∴=∴=⎨⋅=⎩【思路点拨】由题意可建立空间坐标系，再依据坐标求出距离；设定法向量，利用法向量的关系求出夹角的正弦值.【题文】(18)数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意的*n N ∈，总有2,S ,n n n a a 成等差数列(I)求数列{}n a 的通项公式：(II)设数列{}n b 前n 项和为n T ，且2ln n nxb a =，求证对任意的实数(1,]x e ∈和任意的正整数n ，总有2n T < 【学问点】数列的通项公式；特殊数列求和.D2,D3, D4 【答案解析】解析：解：(1)2,s ,n n n a a 成等差数列()222*11111112,12,122n n n n n n a a S n a a a a a S n n N ---∴+==+=∴=∴+=≥∈当时，a 且22221111121n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ------+-=∴-=+∴-={}n a ∴是等差数列11,d 1a n a n ==∴=（2）[]()222ln ln 11,1,0ln 121n n n x x b x e x n a n n n n ==∈∴<≤∴≥≤<-当时，b 11111111112212231n T n n n n n=-∴≤+-+-+-=-<-- 【思路点拨】(1)依据已知条件求出数列的通项公式；(2)依据通项之间的关系列出不等关系式，再利用裂项求和的方法求解.【题文】(19)已知椭圆()22221,0x y a b a b+=>>的离心率为22，且过点()2,2（I ）求椭圆的标准方程：（II ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若22AC BDb k k a⋅=-(i) 求OA OB ⋅的最值：(ii)求证：四边形ABCD 的面积为定值.【学问点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系.H5,H8【答案解析】解析：解：22222222222842(1)11844c aa x y ab b a bc ⎧=⎪⎪⎧=⎪+=∴∴+=⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎪⎩(2)设()()()22112222:,,,2828AB y kx m l y kx m A x y B x y x kx m x y =+⎧=+∴++=⎨+=⎩()2222121222428124280,1212km m k x kmx m x x x x k k --+++-=∴+==++()()2222212122222848121212m km m k y y kx m kx m k km m k k k ---⎛⎫=++=++= ⎪+++⎝⎭22222212222121812842212212OA OBy y b m k m k k m b a x x k k--⋅=-∴⋅=-∴=-⋅∴=+++ 222212122222288424212121212m m k k OA OB x x y y k k k k ---⋅=+=+==-++++，22OA OB=-2k AB x OA OB ∴-≤⋅<⋅⊥，当k=0时，当不存在即轴()22max 121221OA OB =2,S 41421ABCD AOBAOBm SSk x x x x k ⋅==⋅++-+222442282ABCD k m S =-+==【思路点拨】依据已知条件可直接求出椭圆的标准方程，由直线与椭圆的位置关系进行运算，找出所求项与已知条件联系.【题文】(20)设函数()()2ln 1f x x a x =++(I)若函数()y f x =在区间[1,)+∞上是单调递增函数，求实数a 的取值范围： (II)若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：()2110ln 22f x x <<-+ 【学问点】导数；利用导数证明不等式.B12【答案解析】解析：解：（1）()()2222,011a x x af x x f x x x ++''=+=≥++在[1,)+∞上恒成立2222212,4a x x a a ≥--∴≥-⋅-≥-（2）()()()22220221,1x x af xg x x x a x ++'==∴=++-+∞+令在上有解()480910102a a ⎧⎪∆=->⎪∴->⎨⎪⎪<<⎩2211121222220,1,220x x a x x x x x x a ∴++=<+=-++=且1221121121022222a a x x x --=--=-+<<()()()()()()2222222221222ln 122ln 11,0112x x x x x x x x f x x x x x x -++-++⎛⎫∴==∈- ⎪----⎝⎭令k ()()()()()222326212ln 1,4211x x x k x x k x k x x ++⎛⎫'''''=++=∴-=- ⎪⎝⎭++()()0102,002k x k x ⎛⎫''''=∴∈-= ⎪⎝⎭存在使()()1100,12ln 20-022k k k x ⎛⎫⎛⎫''=-=-<∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在，上递减()()()211100ln 222f x k k x k x ⎛⎫<<-∴<<-+ ⎪⎝⎭【思路点拨】依据条件求出函数的导数，再确定参数的取值范围；利用导数分析函数的单调性，结合条件证明不等式成立.。
天津市天津一中2021届高三数学5月月考试题 文(1)
天津市天津一中2021届高三数学5月月考 文1．复数1234ii+-的值是（ ） （A ）1255i + （B ）1255i - （C ）1255i -+ （D ）1255i--2．已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是（ ） A 、,sin 1x R x ∃∈≥ B 、,sin 1x R x ∀∈≥ C 、,sin 1x R x ∃∈>D 、,sin 1x R x ∀∈>3．在下面的程序框图中，输出的数s =（ ） （A ）25 （B ）30 （C ）55 （D ）914．函数()26ln f x x x =-+A. (1,2)B.(2,3)C.()3,4D. (5．已知双曲线22291(0)y m x m -=>） A ．1 B ．2 C ．36．已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭()0>ωA ．关于⎪⎭⎫⎝⎛0,4π对称 B ．关于8π=x 对称C ．关于⎪⎭⎫⎝⎛0,8π对称 D ．关于4π=x 对称7．设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 那么不等式2)(>x f 的解集为 （ ） A ．（1，2）⋃（3，+∞） B ．（10，+∞） C ．（1，2）⋃ （10 ，+∞）D ．（1，2）19题图158．已知函数221()(,0)af x x ax b x R x x x=++++∈≠且，假设实数a b 、使得()0f x =有实根，那么22a b +的最小值为 （ ）(A)45 （B ）34（C ） 1 （D ）2 二、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分，将答案填在题中横线上）9．设集合{}2433|<=xx A ,{}2430B x x x =-+≥,那么集合{|P x x A x =∈且∉A }B ⋂= .10．一个几何体的三视图如下图，那么那个几何体的体积是 .11．假设直线0128)0,(0122=++++>=++y x y x b a by ax 过圆的圆心，那么ba 41+的最小值是________________12．在平行四边形ABCD 中，已知|AB |=2，|AD |=1，∠BAD=60°，点E 是BC 的中点，AE 与BD 相交于点P ，那么=AD AP ·________________ 13．如图，圆 O 的割线 PBA 过圆心 O ，弦 CD 交 PA 于点F ，且△COF ∽△PDF ，PB = OA = 2，则PF = _________ 14．设)(x f 是概念在R 上的奇函数，且当2)(,0x x f x =≥时，假设对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，那么实数t 的取值范围是 .三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤） 15．（本小题总分值13分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全数介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组[)14,13；第二组[)15,14……第五组[]18,17．以下图是按上述分组方式取得的频率散布直方图.AC OF BD P（I ）假设成绩大于或等于14秒且小于16秒 以为良好，求该班在这次百米测试中 成绩良好的人数；（II ）设m 、n 表示该班某两位同窗的百米 测试成绩，且已知[][18,17)14,13,⋃∈n m . 求事件“1>-n m ”的概率.16．（本小题总分值13分） 已知函数()()2ππ()sin cos sin sin 44f x x x x x x x =+++-∈R ，． （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）假设0x x =()0π02x ≤≤为()f x 的一个零点，求0sin 2x 的值．17．（本小题总分值13分）如图，已知⊥PA ⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，2=AB ，C 是⊙O 上一点，且BC AC =，PC 与⊙O 所在的平面成︒45角， E 是PC 中点． (Ⅰ) 求证：PB AE ⊥；(Ⅱ) 求PB 与面PAC 所成角的正切值； （Ⅲ）求异面直线PB 与AC 所成角的余弦值.18．（本小题总分值13分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图像上，且过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ．（1）求数列}{n a 的通项公式． （2）假设n k na b n 2=，求数列}{n b 的前n 项和n T ．（3） 设},2{},,{**∈==∈==N n a x x R N n k x x Q n n ，等差数列}{n c 的任一项R Q c n ⋂∈，其中1c 是R Q ⋂中的最小数，11511010<<c ，求}{n c 的通项公式.19．（本小题总分值14分）已知核心为()11,0F -，2(1,0)F 的椭圆通过点(1,2，直线l 过点2F 与椭圆交于A 、B 两点，其中O 为坐标原点。