角平分线解题模型
双中点模型练习题(解析版)
双中点(角平分线)模型一、模型口决：两线中点齐出现，一半一半又一半。
有线重叠大减小，无线重叠内加外。
二、模型解读：第一种情况，如图，点A 、B 、C 顺次在直线上，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点．则两中点MN 的长度就有双中点模型的特点。
两线中点齐出现，看已知标记部分，双中点模型已经出现，又因为是，有线重叠，看图AC 与BC 有部分叠合在了一起，故应该是有线重叠大减小，所以AB BC AC MN 21)(21=-=，而一半一半又一半的意思是：两中点MN 的距离=有中点线段AC 的一半减去有中点线段BC 的一半。
第二种情况，如图，点A 、B 、C 顺次在直线上，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点．则两中点MN 的长度就有双中点模型的特点。
两线中点齐出现，看已知标记部分，双中点模型已经出现，又因为是，无线重叠，看图AC 与BC 没有线段叠合在一起，故应该是无线重叠内加外，所以图2图3CD AB MN 2121+=，即为有中点两线段外端点组成线段与内端点组成线段，而又因为一半一半又一半，故每条线段都是取一半，故乘以21。
如图2就是标准情况，而当C 、D 重叠时，因为CD 没有长度，故成为图3这种情况，这种情况又可以得到AB MN 21=。
1、如图，点A 、B 、C 顺次在直线l 上，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点．若想求出MN 的长度，那么只需条件（）A ．AB=12B ．BC=4C ．AM=5D ．CN=2【考点】比较线段的长短．【分析】根据点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，可知：，继而即可得出答案．【解答】解：根据点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，可知：，∴只要已知AB 即可．故选A ．【点评】本题考查了比较线段的长短的知识，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．2、已知线段AB=10cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=4cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是（）A ．7cmB ．3cmC ．7cm 或3cmD ．5cm【考点】比较线段的长短．【分析】本题应考虑到A 、B 、C 三点之间的位置关系的多种可能，即当点C 在线段AB 上时和当点C 在线段AB 的延长线上时．【解答】解：（1）当点C 在线段AB 上时，则MN=AC+BC=AB=5；（2）当点C 在线段AB 的延长线上时，则MN=AC ﹣BC=7﹣2=5．综合上述情况，线段MN 的长度是5cm ．故选D ．【点评】首先要根据题意，考虑所有可能情况，画出正确图形．再根据中点的概念，进行线段的计算．3、A 、B 、C 三点在同一条直线上，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，且AB=60，BC=40，则MN 的长为（）A ．30B ．30或10C ．50D ．50或10【考点】比较线段的长短．【分析】此题首先要考虑A、B、C三点在直线上的不同位置：点C在线段AB上或点C在线段AB的延长线上．再根据线段中点的概念进行计算．【解答】解：如图所示，∵M，N分别为AB，BC的中点，∴BM=AB=30，BN=BC=20．在图1中，MN=BM﹣BN=10；在图2中，MN=BM+BN=50．故选D．【点评】此题的难点在正确考虑三点在直线上的不同位置，掌握线段的中点概念．4、如图，点C为线段AB的中点，点D为线段AC的中点、已知AB=8，则BD=（）A．2B．4C．6D．8【考点】比较线段的长短．【分析】根据两中点进行解答．【解答】解：∵点C为线段AB的中点，AB=8，则BC=AC=4．点D为线段AC的中点，则AD=DC=2．∴BD=CD+BC=6．故选C．【点评】利用中点性质转化线段之间的长短关系是解题的关键．5、如图所示，点P，Q，C都在直线AB上，且P是AC的中点，Q是BC的中点，若AC=m，BC=n，则线段PQ的长为（）A．B．C．D．【考点】比较线段的长短．【分析】根据题意，结合图形，可求得PC=AC、CQ=BC，故PQ=PC+CQ可求．【解答】解：∵P是AC的中点∴PC=AC∵Q是BC的中点∴CQ=BC若AC=m，BC=n则PQ=PC+CQ=AC+BC=故选C．【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．6、如果点C在线段AB上，E是AC的中点，D是BC的中点，若ED=6，则AB的长为（）A．6B．8C．12D．16【考点】比较线段的长短．【分析】因为E是AC的中点，D是BC的中点，所以AB=2ED．【解答】解：AB=2ED=2×6=12．故选C．【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．7、如图所示．B，C是线段AD上两点，M是AB的中点，N是CD的中点．若MN=a，BC=b，求AD．【考点】比较线段的长短．【分析】由已知条件可知，MN=MB+CN+BC，又因为M是AB的中点，N是CD中点，则AB+CD=2（MB+CN），故AD=AB+CD+BC可求．【解答】解：∵MN=MB+CN+BC=a，BC=b，∴MB+CN=a﹣b，∵M是AB的中点，N是CD中点∴AB+CD=2（MB+CN）=2（a﹣b），∴AD=2（a﹣b）+b=2a﹣b．8、如图，A，B，C，D是直线L上顺次四点，M，N分别是AB，CD的中点，且MN=6cm，BC=1cm，则AD的长等于（）A．10cmB．11cm C．12cmD．13cm【考点】比较线段的长短．【分析】由已知条件知MB+CN=MN﹣BC，MB+CN=（AB+CD），故AD=AB+BC+CD可求．【解答】解：∵MN=6cm∴MB+CN=6﹣1=5cm，AB+CD=10cm∴AD=11cm．故选B．【点评】本题的关键是根据图形分清线段的关系利用已知条件求出AD的长．9、如图，AB=20cm，C是AB上一点，且AC=12cm，D是AC的中点，E是BC的中点，求线段DE的长．【考点】比较线段的长短．【分析】根据题意可知DE=DC+CE，然后求出线段DC和CE的长即可．【解答】解：∵AB=20cm，AC=12cm，∴CB=AB﹣AC=20﹣12=8cm，又∵D是AC中点，E是BC中点，∴DC=AC=×12=6cm，CE=CB=×8=4cm，∴DE=DC+CE=6+4=10cm．【点评】本题考查了比较线段的长短的知识，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．。
初中数学常见模型之角平分线四大模型
角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC 。
热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
N M OAB P 2图4321A CP B D AB C图1A B DC模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。
热搜精练1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。
求线段BC 的长。
A B DCPP O N M B A 图2DP AB C D C 1图P B A ABCD2．已知，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。
三角形中的特殊模型-双角平分线模型(解析版)
三角形中的特殊模型-双角平分线模型模型1、双角平分线模型1)两内角平分线的夹角模型条件：如图1，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ，CF 交于点G ；结论：∠BGC =90°+12∠A ．图1图2图32)两外角平分线的夹角模型条件：如图2，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线；结论：∠O =90°-12∠A ．3)一个内角一个外角平分线的夹角模型条件：如图3，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点P ；结论：∠P =12∠A ．图4图5图64)凸多边形双内角平分线的夹角模型条件：如图4，BP 、CP 平分∠ABC 、∠DCB ，两条角平分线相交于点P ；结论：2∠P =∠A +∠D 5)两内角平分线的夹角模型条件：如图5，BP 、DP 平分∠BCD 、∠CDE ，两条角平分线相交于点P ；结论：2∠P =∠A +∠B +∠E -180°6)一个内角一个外角平分线的夹角模型(累计平分线)条件：如图6，∠A =α，∠ABC ,∠ACD 的平分线相交于点P 1，∠P 1BC ,∠P 1CD 的平分线相交于点P 2，∠P 2BC，∠P2CD的平分线相交于点P3⋯⋯以此类推；结论：∠P n的度数是α2n．7)旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点条件：如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD 1(2023·绵阳市八年级课时练习)如图，在ΔABC中，∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC=.【答案】115°【分析】先根据角平分线的性质求出∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形内角和定理即可求解.【详解】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=12(80°+50°)=65°，∴∠BPC=180°-65°=115°.【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.2(2023·河南周口·八年级统考期末)如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=∂，∠ABC的平分线与∠BCD 的平分线交于点P，则∠P=()A.90°+12∂ B.90°-12∂ C.12∂ D.180°-12∂【答案】C【分析】根据四边形的内角和求得∠ABC+∠BCD=360°-∂，再根据角平分线的定义求得∠PBC+∠PCB，再根据三角形内角和即可求解．【详解】解：在四边形ABCD中，∠A+∠D=∂，∴∠ABC+∠BCD=360°-∂，由题意可得：BP平分∠ABC，CP平分∠BCD，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠BCD，∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+∠BCD=180°-∂2，∴∠BPC=180°-∠PBC+∠PCB=12∂故选：C．【点睛】此题考查了多边形内角和的性质、三角形内角和的性质以及角平分线的性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解．3(2023秋·山西太原·八年级校考期末)已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC．(1)猜想：∠BPC与∠ABP、∠ACP、∠A存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若∠A=69°，PB、PC分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，直接利用(1)中结论，可得∠BPC的度数为．【答案】(1)∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP，证明见解析(2)106°【分析】(1)根据三角形内角和定理得到∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BPC+∠CBP+∠BCP=180°，再结合∠CBP=∠ABC-∠ABP，∠BCP=∠ACB-∠ACP即可得到结论；(2)先根据三角形内角和定理和角三等分线的定义得到∠ABC+∠ACB=111°，∠ABP=13∠ABC，∠ACP=13∠ACB，再代入(1)中结论求解即可．【详解】(1)解：猜想：∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP，证明：由题意得：∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BPC+∠CBP+∠BCP=180°，∵∠CBP=∠ABC-∠ABP，∠BCP=∠ACB-∠ACP，∴∠BPC+∠ABC-∠ABP+∠ACB-∠ACP=180°，∴∠BPC+∠ABC+∠ACB-∠ABP+∠ACP=180°，∴∠BPC+180°-∠A-∠ABP+∠ACP=180°，∴∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP；(2)解：∵∠A=69°，PB、PC分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=111°，∠ABP=13∠ABC，∠ACP=13∠ACB，∴∠BPC=∠A+13∠ABC+∠ACB=69°+37°=106°．故答案为：106°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角三等分线的定义，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．4(2023秋·成都市·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC=．【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-58°= 122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°-(∠BAC+∠BCA)=360°-122°=238°，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠ACF，∴∠EAC+∠ECA=12(∠DAC+∠ACF)=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．5(2023·绵阳市·八年级专题练习)如图，已知在ΔABC中，∠B、∠C的外角平分线相交于点G，若∠ABC =m°，∠ACB=n°，求∠BGC的度数.【答案】∠BGC=12m°+n°【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．【详解】解：∠B、∠C的外角平分线相交于点G，在ΔBCG中，∠BGC=180°-12∠EBC+12∠BCF=180°-12(∠EBC+∠BCF)=180°-12(180°-∠ABC+180°-∠ACB)=180°-12(180°-m°+180°-n°)；=12m°+n°【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．6(2023春·广西·七年级专题练习)如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数【答案】40°【分析】由题意：设∠ABE =∠EBC =x ，∠ACE =∠ECD =y ，利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可．【详解】由题意：设∠ABE =∠EBC =x ，∠ACE =∠ECD =y ，则有2y =2x +∠A ①y =x +∠E ②，①-2×②可得∠A =2∠E ，∴∠E =12∠A =40°．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．7(2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习)如图，在△ABC 中，∠A =α，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得A 2；⋯；∠A 2019BC 与∠A 2019CD 的平分线相交于点A 2020，得∠A 2020，则∠A 2020=．【答案】α22020【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得∠A 1=12∠A ，同理得∠A 2=12∠A 1=α22；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，∠A =α，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1∴∠A 1=180°-12∠ABC -∠ACB -12∠ACD ∵∠ACD =∠A +∠ABC ∴∠A 1=180°-∠ABC -∠ACB -12∠A∵∠A +∠ABC +∠ACB =180°∴∠A 1=12∠A 同理，得∠A 2=12∠A 1=12×12∠A =α22；∠A 3=12∠A 2=12×12×12∠A =α23；∠A 4=12∠A 3=12×12×12×12∠A =α24；⋯∠A n =12∠A n -1=α2n ∴∠A 2020=α22020故答案为：α22020．【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解．8(2023·河北·九年级专题练习)问题情境：如图1，点D 是△ABC 外的一点，点E 在BC 边的延长线上，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ．试探究∠D 与∠A 的数量关系．(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D=；如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A=100°，其余条件不变，则∠D=；这两个图中，与∠A度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在(1)中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．【答案】(1)30°；50°；1:2(2)成立，见解析【分析】(1)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用∠A和∠D表示出∠ACE，再根据角平分线的定义得到∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，然后整理即可．(2)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用∠A和∠D表示出∠ACE，再根据角平分线的定义得到∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，然后整理即可．【详解】(1)解：如图2，∵ΔABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∠ACE=120°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．∴∠DBC=30°，∠DCE=60°，∵∠DCE=∠D+∠DBC，∴∠D=30°；如图3，∵ΔABC是等腰三角形，∠A=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∠ACE=140°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．∴∠DBC=20°，∠DCE=70°，∵∠DCE=∠D+∠DBC，∴∠D=50°；故答案为30°，50°，1:2；(2)解：成立，如图1，在ΔABC中，∠ACE=∠A+∠ABC，在ΔDBC中，∠DCE=∠D+∠DBC，⋯(1)∵CD平分∠ACE，BD平分∠ABC，∴∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，又∵∠ACE=∠A+∠ABC，∴2∠DCE=∠A+2∠DBC，⋯(2)由(1)×2-(2)，∴2∠D+2∠DBC-(∠A+2∠DBC)=0，∴∠A=2∠D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、利用三角形的外角性质和角平分线的定义解答是关键．9(2023·重庆·七年级专题练习)认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，分析发现∠BOC=90°∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线+12∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=90°-12∠A∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-90°-12∠A=90°+12∠A(1)探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．(2)探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？(直接写出结论)(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？(直接写出结论)(4)运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=度．【答案】(1)∠BOC=12∠A；(2)∠BOC=90°-12∠A；(3)∠BOC=12(∠BAD+∠CDA)；(4)95【分析】(1)根据角平分线的性质及三角形外角的性质求解即可；(2)根据角平分线的性质、三角形内角和及三角形外角的性质求解即可；(3)由角平分线的性质、四边形内角和及三角形内角和定理即可求得两者的关系；(4)由角平分线的性质、五边形内角和及三角形内角和定理即可求得结果．【详解】(1)探究2结论：∠BOC=12∠A理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACD∵∠ACD是△ABC的一个外角∴∠ACD=∠A+∠ABC∴∠2=12∠ACD=12(∠A+∠ABC)=12∠A+∠1∵∠2是△BOC的一个外角∴∠BOC=∠2-∠1=12∠A+∠1-∠1=12∠A(2)探究3结论：∠BOC=90°-12∠A∵BO和CO分别是∠DBC和∠ECB的角平分线∴∠OBC=12∠DBC，∠OCB=12∠ECB∵∠DBC=2∠OBC=∠ABC+∠A，∠ECB=2∠OCB=∠ACB+∠A 两式相加得：2∠OBC+2∠OCB=∠ABC+∠ACB+2∠A即∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)+∠A∴180°-∠BOC=12(180°-∠A)+∠A整理得：∠BOC=90°-12∠A(3)拓展结论：∠BOC =12(∠A +∠D )∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠BCD 的角平分线∴∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠BCD ∴∠OBC +∠OCB =12(∠ABC +∠BCD )=12(360°-∠A -∠D )=180°-12(∠A +∠D )在△BOC 中，180°-∠BOC =∠OBC +∠OCB∴180°-∠BOC =180°-12(∠A +∠D )∴∠BOC =12(∠BAD +∠CDA )(4)运用：∵CP 和DP 分别是∠DCF 和∠GDC 的角平分线∴∠PCD =12∠DCF ，∠PDC =12∠GDC∴∠PCD =12(180°-∠DCB )，∠PDC =12(180°-∠EDC )∴∠PCD +∠PDC =12(360°-∠DCB -∠EDC )∵∠DCB +∠EDC =540°-∠A -∠B -∠E =190°∴∠PCD +∠PDC =12(360°-190°)=85°在△CPD 中，∠CPD =180°-(∠PCD +∠PDC )=180°-85°=95°故答案为：95【点睛】本题考查了角平分线的性质，多边形内角和定理与三角形外角的性质，难度不大，掌握角平分线的性质及多边形内角和定理是关键．课后专项训练1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，OG 平分∠MON ，点A ,B 是射线OM ，ON 上的点，连接AB ．按以下步骤作图：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，交AB 于点C ，交BN 于点D ；②分别以点C 和点D 为圆心，大于12CD 长为半径作弧，两弧相交于点E ；③作射线BE ，交OG 于点P ．若∠ABN =140°，∠MON =50°，则∠OPB 的度数为()A.35°B.45°C.55°D.65°【答案】B【分析】根据条件可知BP 平分∠ABN ，则可求出∠PBN ，根据OG 平分∠MON 求出∠BOG ，进而利用∠PBN =∠POB +∠OPB 即可求出答案．【详解】由作法得BP 平分∠ABN ，∴∠PBN =12∠ABN =12×140°=70°，∵OG 平分∠MON ，∴∠BOP =12∠NOM =12×50°=25°，∵∠PBN =∠POB +∠OPB ，∴∠OPB =∠PBN -∠POB =70°-25°=45°．故选B ．【点睛】本题主要考查角平分线的定义及作法，三角形的外角的性质，根据题目条件发现角平分线是解题的关键．2(2023·江苏·八年级月考)ΔABC中，点O是ΔABC内一点，且点O到ΔABC三边的距离相等；∠A= 40°，则∠BOC=()A.110°B.120°C.130°D.140°【解答】解：∵O到三角形三边距离相等，∴O是内心，即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，∴∠CBO=∠ABO=12∠ABC，∠BCO=∠ACO=12∠ACB，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∴∠OBC+∠OCB=70°，∴∠BOC=180°-70°=110°．故选：A．3(2023·成都·八年级月考)如图，ΔABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=()A.40°B.45°C.50°D.60°【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，∴∠CAF=100°，在RtΔPFA和RtΔPMA中，PA=PA PM=PF，∴RtΔPFA≅RtΔPMA(HL)，∴∠FAP=∠PAC=50°．故选：C．4(2023·重庆·八年级专题练习)已知，如图，△ABC中，∠ABC=48°，∠ACB=84°，点D、E分别在BA、BC延长线上，BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，连接AP，则∠PAC的度数为()A.45°B.48°C.60°D.66°【答案】D【分析】根据角平分线的性质定理证得PF=PH，PF=PG，进而得出PH=PG，从而判定AP平分∠CAD，再利用外角的性质求出∠CAD即可．【详解】解：作PF⊥BE于点F，PH⊥BD于点H，PG⊥AC于点G，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴PF=PH，PF=PG，∴PH=PG，∵PH⊥BD，PG⊥AC，∴AP平分∠CAD，∵∠ABC=48°，∠ACB=84°，∴∠CAD=∠ABC+∠ACB=48°+84°=132°，∴∠PAC=12∠CAD=66°．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质定理，解题的关键是根据已知添加适当的辅助线．5(2023秋·绵阳市·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是()A.∠BAC=70°B.∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC，即可判断A选项；根据角平分线的定义求出∠ABO，再利用三角形的内角和定理求出∠AOB，然后利用对顶角，即可判断B选项；根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理求出∠BDC，即可判断C选项；利用角平分线的性质，推出AD为△ABC的外角平分线，然后列式计算求出∠DAC，即可判断D选项．【详解】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，故A选项正确，不符合题意；∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=12×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误，符合题意；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE=12180°-∠ACB=12180°-60°=60°，在△COD中，∠BDC=180°-∠COD-∠ACD=180°-85°-60°=35°，故C选项正确，不符合题意；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴D到AB、AC、BC的距离相等，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=12180°-∠BAC=12180°-70°=55°，故D选项正确，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题关键．6(2022春·重庆黔江·七年级统考期末)如图，已知AB∥CD，点E在两平行线之间，连接BE，CE，∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，若∠BFE=50°，则∠C等于( )．A.70°B.80°C.85°D.90°【答案】B【分析】延长BE交DC的延长线于G，根据三角形内角和定理，可得∠EBF+∠BEF=130°，根据∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F可得∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，根据平行线的性质可得∠ECG=100°，进而可求解．【详解】解：延长BE交DC延长线于点G，∵∠BFE=50°，∠EBF+∠FEB+∠BFE=180°，∴∠EBF+∠BEF=180°-50°=130°，∵∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，∴∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BGC，∴∠BGC+∠BEF+∠FEC=260°，∵∠BEF+∠FEG=180°，∴∠BGC+∠CEG=80°，∴∠ECG=100°，∴∠ECD=180°-100°=80°．故选：B【点睛】本题主要考查有关角平分线的计算，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．7(2022春·北京海淀·七年级校考期中)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A 、B 两点，点C 在BA 的延长线上，AD 平分∠CAO ，BD 平分∠ABO ，则∠D 的度数是()A.30°B.45°C.55°D.60°【答案】B 【分析】由OA ⊥OB 即可得出∠OAB +∠ABO =90°、∠AOB =90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠D 的度数．【详解】解：∵OA ⊥OB ，∴∠OAB +∠ABO =90°，∠AOB =90°．∵DA 平分∠CAO ，∴∠DAO =12∠OAC =12(180°-∠OAB )．∵DB 平分∠ABO ，∴∠ABD =12∠ABO ，∴∠D =180°-∠DAO -∠OAB -∠ABD =180°-12(180°-∠OAB )-∠OAB -12∠ABO =90°-12(∠OAB +∠ABO )=45°．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D =90°-12(∠OAB +∠ABO )．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．8(2023·江苏·八年级月考)如图，ΔABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC =40°，则∠BAC 的度数是．【解答】解：在ΔABC 中，∠ACD =∠A +∠ABC ，在ΔPBC 中，∠PCD =∠P +∠PBC ，∵PB 、PC 分别是∠ABC 和∠ACD 的平分线，∴∠PCD =12∠ACD ，∠PBC =12∠ABC ，∴∠P +∠PCB =12(∠A +∠ABC )=12∠A +12∠ABC =12∠A +∠PCB ，∴∠PCD =12∠A ，∴∠BPC =40°，∴∠A =2×40°=80°，即∠BAC =80°．故答案为：80°．9(2023春·河北·七年级专题练习)如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，若∠BOC =130°，则∠D =【答案】40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ACO=12∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12(∠ACB+∠ACE)=12×180°=90°，∵∠BOC=130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．10(2022秋·浙江八年级课时练习)(2018育才单元考)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACD的角平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的角平分线交于点A2，得∠A2，⋯⋯，∠A n-1BC和∠A n-1CD的角平分线交于点A n，得∠A n(1)若∠A=80°，则∠A1=，∠A2=，∠A3=(2)若∠A=m°，则∠A2015=．【答案】40°20°10°m 22015 °【分析】(1)利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=12∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=1 2∠A1，∠A3=12∠A2，进而可求∠A2和∠A3；(2)利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=12∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=12∠A1，∠A3=12∠A2，⋯，以此类推可知∠A2015即可求得．【详解】解：(1)∵∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC∵∠ABC和∠ACD的角平分线交于点A1，∠A=80°∴∠A1CD=12∠ACD，∠A1BC=12∠ABC∴∠A1=∠A1CD-∠A1BC=12∠ACD-12∠ABC=12(∠ACD-∠ABC)=12∠A=40°同理可证：∠A2=12∠A1=20°，∠A3=12∠A2=10°故答案为：40°；20°；10°．(2)∵∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC∵∠ABC 和∠ACD 的角平分线交于点A 1，∠A =m °∴∠A 1CD =12∠ACD ，∠A 1BC =12∠ABC ∴∠A 1=∠A 1CD -∠A 1BC =12∠ACD -12∠ABC =12(∠ACD -∠ABC )=12∠A =m 2°同理可证：∠A 2=12∠A 1=m 22 °，∠A 3=12∠A 2=m 23 °∴∠A 2015=m 22015 °故答案为：m 22015°．【点睛】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A 1=12∠A ，并依此找出规律．11(2023·浙江杭州·八年级期末)如图，在四边形ABCD 中，∠A +∠D =m °，∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点P ，则∠P =．(用含字母m 的代数式表示)【答案】12m o 【分析】根据四边形的内角和是360°，求出∠ABC +∠BCD 的度数，然后根据角平分线的定义及三角形的内角和定理求出∠P 的度数即可．【详解】解：∵∠A +∠D =m °，且四边形内角和为360°，∴∠ABC +∠BCD =360°-m °，∵PB 、PC 是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，∴∠PBC =12∠ABC ，∠BCP =12∠BCD ，∴∠PBC +∠BCP =12∠ABC +12∠BCD =12∠ABC +∠BCD =12360°-m o ∴∠P =180°-(∠PBC +∠BCP )=180°-12360°-m o 故答案为：12m o ．【点睛】本题考查了四边形的内角和及三角形的内角和与角平分线相关的角度计算问题，解题的关键是表达出∠PBC +∠BCP 的度数．12(2023春·河南·七年级专题练习)如图，点M 是△ABC 两个内角平分线的交点，点N 是△ABC 两外角平分线的交点，如果∠CMB ：∠CNB =3：2，那么∠CAB =．【答案】36°【分析】由角平分线的定义得∠NCM =∠MBN =12×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB =108°，再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果．【详解】由题意得：∠NCM =∠MBN =12×180°=90°，∴∠CMB +∠CNB =180°，又∠CMB ：∠CNB =3：2，∴∠CMB =108°，∴12(∠ACB +∠ABC )=180°-∠CMB =72°，∴∠ACB+∠ABC=144°，∴∠CAB=180°-(∠ACB+∠ABC)=36°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM=∠MBN=90°是关键．13(2023·甘肃陇南·统考一模)在△ABC中，AB=AC，∠A=100°．点M在BC的延长线上，∠ABC 的平分线交AC于点D．∠MCA的平分线与射线BD交于点E．(1)依题意补全图形；用尺规作图法作∠MCA的平分线；(2)求∠BEC的度数．【答案】(1)见解析(2)50°【分析】(1)根据尺规作图法可作∠MCA的平分线；(2)根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD=20°，∠MCE=∠DCE=70°，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】(1)解：如图，CE即为所求；(2)解：∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ACB=∠ABC=40°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=20°，∵∠ACM=180°-40°=140°，CE是∠MCA的平分线，∴∠MCE=∠DCE=70°，∴∠BEC=∠MCE-∠CBD=70°-20°=50°．【点睛】本题考查尺规作图-角平分线、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握尺规作图的方法和相关知识是解题的关键．14(2023·山东八年级期中)如图，在ΔABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点O，过点B作BG⊥CF于点G，∠OBG=12∠BAC成立吗？说明理由.【答案】∠OBG=12∠BAC 成立，见解析.【分析】根据三角形内角平分线的交角的基本图形和结论和三角形外角的性质定理即可得出答案【详解】解：∠OBG=12∠BAC成立．理由如下：∵在ΔABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点O，由三角形内角平分线的交角的基本图形和结论得，∠BOC=90°+12∠BAC．由三角形的外角性质得，∠BOC=∠G+∠OBG=90°+∠OBG，∴90°+12∠BAC=90°+∠OBG，∴∠OBG=12∠BAC【点睛】本题考查三角形的内角和定理，及三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关的知识点是解题关键．15(2023·黑龙江八年级课时练习)(1)如图(1)所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．(2)如图(2)所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？【答案】(1)∠BOC=12∠A+90°；理由见解析；(2)∠BOC=12∠A；理由见解析【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，然后得出∠BOC+12∠ABC+12∠ACB=180°，最后得出结论；(2)根据外角的性质得出∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，然后根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，最后根据∠BOC=∠OCE-∠OBC得出答案．【详解】(1)∠BOC=12∠A+90°．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，又∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB．∴∠BOC+12∠ABC+12∠ACB=180°．∴∠BOC=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A．(2)∠BOC=12∠A．∵∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，∴∠A=∠ACE-∠ABC，∠BOC=∠OCE-∠OBC又∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE．∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=12∠ACE-12∠ABC=12(∠ACE-∠ABC)=12∠A．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握外角性质并能正确计算是解题关键．16(2023春·八年级单元测试)如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．(1)若∠A=70°，求∠D的度数；(2)若∠A=a，求∠E；(3)连接AD，若∠ACB=β，则∠ADB=．【答案】(1)35°；(2)90°-12α；(3)12β【分析】(1)由角平分线的定义得到∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；(2))根据角平分线的定义得到∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由(1)知∠D=12∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-12α；(3)根据角平分线的定义可得，∠ABD=12∠ABC，∠DAM=12∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．【详解】解：(1)∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∴∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∴∠D=12∠A=35°；(2)∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，∴∠DBC+∠CBE=12(∠ABC+∠CBF)=90°，∴∠DBE=90°，∵∠D=12∠A，∠A=α，∴∠D=12α，∵∠DBE=90°，∴∠E=90°-12α；(3)如图，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴AD平分∠MAC，∠ABD=12∠ABC，∴∠DAM=12∠MAC，∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，∴∠ADB=12∠ACB=12β．故答案为：12β．【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．17(2023·福建泉州·七年级阶段练习)在ΔABC 中，已知∠A =α.(1)如图1，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点D ．①当α=80°时，∠BDC 度数=度(直接写出结果)；②∠BDC 的度数为(用含α的代数式表示)；(2)如图2，若∠ABC 的平分线与∠ACE 角平分线交于点F ,求∠BFC 的度数(用含α的代数式表示)．(3)在(2)的条件下，将ΔFBC 以直线BC 为对称轴翻折得到ΔGBC ，∠GBC 的角平分线与∠GCB 的角平分线交于点M (如图3)，求∠BMC 的度数(用含α的代数式表示)．【答案】(1)①130°；②90°+12α；(2)∠BFC =12α(3)∠BMC =90°+14α【详解】：(1)①130°；②90°+12α；(2)∵BF 和CF 分别平分∠ABC 和∠ACE ∴∠FBC =12∠ABC ,∠FCE =12∠ACE ∴∠BFC =∠FCE -∠FBC =12∠ACE -∠ABC =12∠A 即∠BFC =12α(3)由轴对称性质知：∠BGC =∠BFC =12α由(1)②可得∠BMC =90°+12∠BGC ∴∠BMC =90°+14α．18(2023·江苏盐城·七年级阶段练习)如图，△ABC 的角平分线相交于P ，∠A =m °,(1)若∠A =40°,求∠BPC 的度数；(2)设△ABC 的外角∠CBD 、∠BCE 的平分线相交于Q ，且∠A =m °，求∠BQC 的度数(3)设△ABC 的外角∠CBD 、∠BCE 的n 等分线相交于R ，且∠A =m °，∠CBR =1n ∠CBD ，∠BCR =1n ∠BCE ，求∠BRC 的度数【答案】(1)110°(2)90°+12m °(3)n -1n ×180°-m n(此结果形式可以不同，只要正确皆可)【详解】试题分析：(1)根据三角形内角和定理和角平分线的性质解答即可；(2)(3)根据三角形内角和定理和三角形外角的性质解答即可．试题解析：解：(1)∵∠A =40°，∴∠ABC +∠ACB =180°-40°=140°．∵BP 、CP 是角平分线，∴∠ABC=2∠PBC ，∠ACB =2∠PCB ，∴∠PBC +∠PCB =12(∠ABC +∠ACB )==12×140°=70°，∴∠P =180°-70°=110°．(2)∵∠DBC =∠A +∠ACB ，∠BCE =∠A +∠ABC ，∴∠DBC +∠BCD =2∠A +∠ABC +∠ACB =∠A +180°=m +180°．∵BQ ，CQ 是角平分线，∴∠DBC =2∠QBC ，∠BCE =2∠BCQ ，∴∠QBC +∠BCQ =12(∠DBC +∠ECB )=12(m +180°)=90°+12m ．在△BCQ 中，∠Q =180°-(∠QBC +∠BCQ )=180°-90°+12m =90°-12m ．(3)由(2)得：∠DBC +∠BCD =m +180°，∠RBC +∠BCR =1n (∠DBC +∠ECB )=1n (m +180°)．在△BCR 中，∠R =180°-(∠RBC +∠BCR )=180°-1n (m +180°)=n -1n ×180-m n．点睛：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内角和等于180°．根据角的和差关系进行计算是解决问题的关键．19(2023·江西上饶·八年级校考阶段练习)(1)探究1:如图1,P 是△ABC 的内角∠ABC 与∠ACB 的平分线BP 和CP 的交点,若∠A =70∘，则∠BPC =度；(2)探究2:如图2，P 是△ABC 的外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BP 和CP 的交点，求∠BPC 与∠A的数量关系?并说明理由．(3)拓展：如图3，P 是四边形ABCD 的外角∠EBC 与∠BCF 的平分线BP 和CP 的交点，设∠A +∠D =α.,直接写出∠BPC 与α的数量关系；【答案】(1)125°；(2)∠BPC =90°-12∠A ，理由见解析；(3)∠BPC =180°-12α【分析】(1)借助角平分线的性质即可得到∠PBC =12∠ABC 以及∠PCB =12∠ACB ，然后在△BPC 中进一步分析可找出∠BPC 与∠A 的关系，进而求出∠BPC 的度数；(2)根据三角形内角和定理可知∠BPC =180°-(∠PBC +∠PCB )，根据角平分线的定义可用12(∠DBC +∠ECB )表示∠PBC +∠PCB ，再利用三角形外角性质得到∠DBC +∠ECB =∠A +∠ACB +∠A +∠ABC ，即可求出∠BPC 与∠A 的关系；(3)延长BA 、CD 相交于点Q ，由(2)的分析可直接得出∠P 与∠Q 的关系，而∠BAD 与∠CDA 是△ADQ 的外角，再结合三角形外角性质即可解答.【详解】(1)解：∠BPC =180°-(∠PBC +∠PCB )=180°-12(∠ABC +∠ACB )=180°-12(180°-∠A )=90°+12∠A =90°+35°=125°故答案为125°(2)∠BPC =90°-12∠A 理由如下：∠BPC =180°-(∠PBC +∠PCB )=180°-12(∠DBC +∠ECB )=180°-12(∠A +∠ACB +∠A +∠ABC )=180°-12(∠A +180°)=90°-12∠A(3)延长BA 、CD 相交于点Q ，如图∠BPC =90°-12∠Q ∴∠Q =180°-2∠BPC ∴∠BAD +∠CDA =180°+∠Q =180°+180°-2∠BPC =360°-2∠BPC∴∠BPC =180°-12α故答案为∠BPC =180°-12α【点睛】本题考查的是三角形内角和与外角的知识，掌握三角形外角性质以及内角和定理是解题关键.20(2023·甘肃天水·七年级统考期末)已知在△ABC 中，图1，图2，图3中的△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点O ，(1)如图1，点O 是△ABC 的两个内角平分线的交点，猜想∠O 与∠A 之间的数量关系，并加以证明．(2)请直接写出结果．如图2，若∠A =60°，△ABC 的内角平分线与外角平分线交于点O ，则∠O =；如图3，若∠A =60°，△ABC 的两个外角平分线交于点O ，则∠O =．【答案】(1)∠O =90°+12∠A ，证明见解析；(2)30°；60°．【分析】(1)根据角平分线的性质可以得到∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，再根据三角形的内角和定理得到△ABC 和△OBC 的三个内角的和是180°，对角度进行等价代换即可；(2)图2中，根据角平分线的性质可以得到∠OBC =12∠ABC ，∠OCM =12∠ACM ，再根据三角形外角的性质得到∠O =∠OCM -∠OBC 和∠A =∠ACM -∠ABC ，最后对角度进行等价代换即可；图3中，根据角平分线的性质可以得到∠OBC =12∠PBC ，∠OCB =12∠QCB ，再根据三角形的内角和定理得到△ABC 和△OBC 的三个内角的和是180°，最后再结合平角的性质对角度进行等价代换即可．【详解】解：(1)∠O =90°+12∠A ．证明：∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，∴∠O =180°-(∠OBC +∠OCB )=180°-12∠ABC +12∠ACB =180°-12(∠ABC +∠ACB )=180°-12180°-∠A =90°+12∠A ．即∠O =90°+12∠A ．(2)30°；60°．如图2所示：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACM，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCM=12∠ACM，∴∠O=∠OCM-∠OBC=12∠ACM-12∠ABC=12(∠ACM-∠ABC)=12∠A．∵∠A=60°∴∠O=12∠A=12×60°=30°．即∠O=30°．如图3所示：∵BO平分∠PBC，CO平分∠QCB，∴∠OBC=12∠PBC，∠OCB=12∠QCB，∴∠O=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-12∠PBC+12∠QCB=180°-12180°-∠ABC+12180°-∠ACB=12∠ABC+12∠ACB=12∠ABC+∠ACB=1 2180°-∠A．∵∠A=60°∴∠O=12180°-∠A=12×180°-60°=60°．即∠O=60°．故答案为：30°；60°．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键，特别注意等价代换的使用．21。
角平分线的四大模型(Word版)
角平分线四大模型模型一：角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
例1：（1）如图①，在△ABC,∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到AB的距离是___cm(2)如图②，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC.练习1 如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠C=180°练习2 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）模型二：截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB，则△OPB≅△OPA.模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
例2：(1)如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．(2)如图②所示．AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC -PB与AC-AB的大小，并说明理由．练习 3 已知：△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8，求线段BC的长。
练习4 已知,如图AB=AC,∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD.练习5 如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD.求证：BC=AB+CE.模型三：角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。
盘点与角平分线有关的解题模型
盘点与角平分线有关的解题模型
1.锐角平分线解题模型：
（1）首先，设该锐角平分线的起点为A，终点为B。
（2）确定锐角平分线的方程：假设，该线的斜率为m，则方程为：y-yA=m(x-xA)。
（3）若题目中有关于这条线的具体问题，则可求出相关变量的值：例如，若要求这条锐角平分线到A点的距离，则可先将PA投影到AB上，再求PA与AB的距离AB。
2.钝角平分线解题模型：
(1)首先，设该钝角平分线的起点为A，终点为B。
（2）确定钝角平分线的方程：假设，该线的斜率为m，则方程为：y-yA=-(1/m)*(x-xA)。
（3）若题目中有关于这条线的具体问题，则可求出相关变量的值：例如，若要求这条钝角平分线到A点的距离，则可先将PA投影到AB上，再求PA与AB的距离AB。
74 角平分线模型知识精讲-【初中数学】120个题型大招!冲刺满分秘籍!
角平分线模型知识精讲1.过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题，例：已知：P是平分线上的一点，过点P于点M，过点P于点N.2.若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例：已知：AD是，过点D于点E，则.3.在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），例：已知：点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且，连接DE、DF.4.过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例：已知：点D是平分线上的一点，过点D作是等腰三角形，即.证明：是的平分线，，又，是等腰三角形.5.有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三角形，例：已知：OC平分，点D是OA上一点，过点D作交OB的反向延长线于点E，则.6.从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形，例：已知：OE平分∠AOB，点D在OA上，DE⊥OE，则可延长DE交OB于点F，则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD.7.有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角形，例：（1）已知：OC平分E、F分别在OA、OB上，过点E M，过点F N（2）已知：OC平分，点E、F在OC于点M于点N（3）已知：OC平分，点E、F在OC上，作，则8.利用“在同圆或等圆中，相等的圆周角（圆心角）所对的弦相等”可得相等线段，例：已知：∠BAC是圆O的圆周角，∠DOE是圆O的圆心角，AF平分∠BAC，OG平分∠DOE，连接BF、CF、DG、EG，则BF＝CF，DG＝EG.9.D，则.证明：平分，平分，①②，由得，即10.的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D，则证明：平分，平分，①②由得，即.11.D，则.证明：平分平分，即①，②由①＝②，得，，，即，由④可得，代入③式可得整理可得三角形几何模型-双角平分线（知识讲解）模型1：内角平分线+内角平分线模型01902BI CI ABC BIC A∠∠=+∠ 如图一、条件：、分别为ABC的内角、结论：如图一0000001902=180-+1=180-+21=180--21=902I CI ABC ACB BIC ABIC I CI ABC ACB BIC IBC ICB ABC ACB A A∠∠∠=+∠∠∠∴∠∠∠∠∠∠+∠ 已知：如图一：B 、分别为ABC的内角、的角平分线相交于点I.求证：证明：在中，B 、分别为ABC的内角、（）（）（180）模型2：内角平分线+外角平分线模型0190.2P ABC ACD A ∆∠∠∠+∠如图二、条件：为ABC的内角和外角的角平分线BP、CP相交于点，结论：P=如图二1211;,22=,,1()21212CP ABC ACD P AABC ACD P PBC ABC PCD ACD PCD P PBC ACD A ABC P PBC A ABC P PBC A PBCP A∠∠∠=∠∠∠∴∠=∠∠=∠∠∠+∠∠=∠+∠∴∠+∠=∠+∠∴∠+∠=∠+∠∴∠=∠ 已知：如图二：BP、分别为ABC的内角、外角的角平分线相交于点P.求证:证明:、平分线交于点，模型三：外角平分线+外角平分线模型0190.2CBE BCD A ∆∠∠∠-∠如图三、条件：ABC的外角和外角的角平分线相交于点，结论：P=如图三0000000190211;,22180()1180()21180()21180(2180)21902CP CBE BCD P AEBC DCB P PBC CBE PCB BCD P PBC PCB EBC DCB A ACB A ABC A A A∠∠∠=-∠∠∠∴∠=∠∠=∠∠=-∠+∠=-∠+∠=-∠+∠+∠+∠=-∠+-∠=-∠ 已知：如图三：BP、分别为ABC的外角、外角的角平分线相交于点P.求证:证明:、平分线交于点，模型四：飞镖+角平分线模型1、飞镖模型内角关系模型：=++.=+,=+,=++.C A BD BCD BED CDE ABE BCD CED D CED A B C A B D ∠∠∠∠∠∠∴∠∠∠∠∠∠∴∠∠∠∠ 如图四：如图，在四边形ABCD中，结论：证明：延长BC交AD于E，则、分别为、外角，图四2、飞镖模型“内角平分线+内角平分线”模型：图五+C=2ABC ADC P A P ∠∠∠∠∠如图五：条件：、平分线交于点，结论：++(1)++2,1-2-=-+=2C PBC PDC P P PBA PDA A PBC PBA PDC PDAC P P AA CP ∠=∠∠∠∠=∠∠∠∠=∠∠=∠∠∠∠∠∠∠∴∠ 略证：如图五：（）（）（）得1．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ．（1）若∠ABC +∠ACB ＝130°，求∠BPC 的度数．（2）当∠A 为多少度时，∠BPC ＝3∠A ？【答案】（1）115︒；（2）36A ∠=︒【分析】（1）根据角平分线的定义，求得PBC ∠，PCB ∠，再根据三角形内角和定理即可求得BPC ∠；（2）根据（1）的方法求得BPC ∠，再结合条件∠BPC ＝3∠A ，解方程即可求得∠A ．解：（1）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠， ∠ABC+∠ACB ＝130°，1()652PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒，180()18065115BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，（2）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠，1()2PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠，180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠ ，1902PBC PCB A ∴∠+∠=︒-∠，180()BPC PBC PCB Ð=°-Ð+Ð1180(90)2A =︒-︒-1902A=+∠︒ ∠BPC ＝3∠A13902A A ∴∠=︒+∠，36A ∴∠=︒．【点拨】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．类型二、内角平分线+外角平分线模型2．如图，在△ABC 中，．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2；……；∠A 2013BC 与∠A 2013CD 的平分线相交于点A 2014，得∠A 2014．如果∠A ＝n 度，则∠A 2014＝___________度．（直接用含n 的代数式表示）【答案】20142n解：由∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC可得∠A=∠ACD–∠ABC，∠A1=∠A1CD–∠A1BC；又因∠A1CD=12∠ACD，∠A1BC=12∠ABC，所以，∠A1=∠A1CD–∠A1BC=12∠ACD—12∠ABC=12（∠ACD—∠ABC），即可得到∠A1=12∠A.同理可得∠A2=12∠A1=12×12∠A……∠A n=1(2n∠A.所以∠A2014=20141(2∠A=20141(2n =20142n考点：三角形内角和定理；三角形外角的性质.类型三、外角平分线+外角平分线模型3．如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：(1)若∠A＝60°，则∠P＝°；(2)若∠A＝40°，则∠P＝°；(3)若∠A＝100°，则∠P＝°；(4)请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系．【答案】(1)65；(2)45；(3)40；(4)∠P=90°-12∠A，理由见解析.解：试题分析：（1）若∠A=50°，则有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P的度数；（2）、（3）和（1）的解题步骤类似；（4）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出∠BCP=12（∠A+∠ABC），∠CBP=12（∠A+∠ACB）；再利用三角形内角和定理即可求出∠A与∠P的关系．考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质．点评：本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角性质．关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义．类型四、飞镖内角平分线+内角平分线模型4．如图，BE 平分ABD ∠，CF 平分ACD ∠，BE 与CF 交于点G ，若140BDC ∠=︒，100BGC ∠=︒，则A ∠=（）A ．80°B ．75°C ．60°D ．45°【答案】C【分析】连接,BC 先求解,DBC DCB ∠+∠再求解,GBC GCB ∠+∠可得,GBD GCD ∠+∠再利用角平分线的定义可得：,ABD ACD ∠+∠从而可得：,ABC ACB ∠+∠再利用三角形的内角和定理可得A ∠的大小.解：连接,BC 140,BDC ∠=︒ 18014040,DBC DCB ∴∠+∠=︒-︒=︒100,BGC ∠=︒ 18010080,GBC GCB ∴∠+∠=︒-︒=︒40,GBD GCD GBC GCB DBC DCB ∴∠+∠=∠+∠-∠-∠=︒ BE 平分ABD ∠，CF 平分ACD ∠，()280,ABD ACD GBD GCD ∴∠+∠=∠+∠=︒+8040120,ABC ACB ABD ACD DBC DCB ∴∠+∠=∠∠+∠+∠=︒+︒=︒()∴∠=︒-∠+∠=︒A ABC ACB18060.故选：.C【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.角平分线模型巩固练习1．如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝8，BD＝13，BC＝12，则四边形ABCD的面积为（）A．50B．56C．60D．72【解答】A【解析】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°，∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝DC，在Rt△BCD中，由勾股定理得：∴DE＝5，在Rt△BED中，由勾股定理得：，∵AB＝8，∴AE＝BE﹣AB＝12﹣8＝4，+S△BED﹣S△AED∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＝50，故选：A．2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC边于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E．已知AD＝3，DE＝4，则下列结论正确的是（）A．AE＝BE B．DE垂直平分ACC．D．【解答】D【解析】过D点作DF⊥AB于点F，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC边于点D，∴DC＝DF，∵过点D作BC的平行线交AB于点E．∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝90°，∵AD＝3，DE＝4，∴，∴，∴DC＝DF＝≠3，故DE不能平分AC，故B说法错误；∵，∴AE≠BE，故A说法错误；∵，∴故C说法错误；∵，故D说法正确；故选：D．3．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF ⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】C【解析】（1）证明：作PH⊥AB于H，∵AP是∠CAB的平分线，∴∠PAE＝∠PAH，在△PEA和△PHA中，，∴△PEA≌△PHA（AAS），∴PE＝PH，∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，∴PF＝PH，∴PE＝PF，∴（1）正确；（2）与（1）可知：PE＝PF，又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，∴点P在∠COD的平分线上，∴（2）正确；（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，∴∠O+∠EPF＝180°，即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，由（1）知：△PEA≌△PHA，∴∠EPA＝∠HPA，同理：∠FPB＝∠HPB，∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，即∠O+2∠APB＝180°，∴∠APB＝90°﹣，∴（3）错误；故选：C．4.C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且，则AC=．【解析】过点E于G，连接CF，如图所示：分别是和的平分线，，CF是的平分线，，，由勾股定理可得.5.，的平分线相交于点E，过点E作交AC于点F，则EF的长为.【解答】【解析】延长FE交AB于点D G H，如图所示：四边形BDEG是矩形，平分CE平分，四边形BDEG，，设，则，，，解得，即，解得，.6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CE⊥BE于点E，连接AE．若AC＝BC＝4，则△ABE的面积为．【解答】4【解析】作EH⊥AB于H，EK⊥BC于K．在EB上取一点J，使得EJ＝EC，连接CJ．设EC＝EJ＝m．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AB＝，∵BE平分∠ABC，CE⊥BE于点E，∵∠ACB＝45°，BE平分∠ABC，∴∠CBE＝22.5°，∵EC＝EJ＝m，∠CEJ＝90°，∴∠EJC＝45°，∵∠EJC＝∠JCB+∠JBC，∴∠JCB＝∠JBC＝22.5°，∴JC＝JB＝m，∴EB＝m+m，∵EC2+EB2＝BC2，∴m2+（m+m）2＝42，∴m2＝8﹣4，＝•EC•EB＝•m（m+m）＝•（1+）m2＝2，∴S∵EB平分∠ABC，EH⊥AB，EK⊥BC，∴EH＝EK，∴，∴S＝2×＝4．△AEB＝4．解法二：延长CE交AB于点F，证明△ABE的面积等于△ABC的一半，可得S△AEB故答案为4．7.如图，，BE平分，CE平分，点E在AD上，求证：.【解答】见解析【解析】在直线BC上截取，连接EF，如图所示：在和中，，又.8.三条角平分线相交于点P，求点P到AB的距离.【解答】3【解析】过点P于点D E F，如图所示：，点P，又，即，点P到AB的距离为3.9.如图，在中，AB为直径，CD平分交于点D，求证：.【解答】见解析【解析】连接AD、BD，过点A过点B，垂足分别为点M、N，如图所示：是的直径，CD平分交于点D，，，的直径，，，又，.10.都是等腰直角三角形，的顶点A的斜边DE上，若，求两个三角形的重叠部分面积是多少？【解答】重叠部分面积为【解析】连接BD，AB与CD相交于点O，过点O M，ON⊥BD于点N，如图所示：又，，，在中，由勾股定理可得，在中，，解得，平分，又M于点N，，，，.11．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．【解答】见解析【解析】证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ODC+∠OCD＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠DOC＝∠BOC，又∵CO＝CO，∠DCO＝∠BCO，∴△DCO≌△BCO（ASA）∴CB＝CD，∴OB＝OD，∴CE是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，∴EC平分∠BED，∴点O到EB与ED的距离相等．12．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．【解答】（1）见解析；（2）AB+AC＝2AE．【解析】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠DFC＝90°，∴△BDE与△CDF均为直角三角形，∵∴△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，即AD平分∠BAC；（2）AB+AC＝2AE．证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵∠E＝∠AFD＝90°，∴∠ADE＝∠ADF，在△AED与△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD，∴AE＝AF，∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．。
初中数学解题模型专题讲解2---角平分线的四大模型—角平分线上的点向两边作垂线
初中数专题2模型模型 1 1 ：：角平分线上的点向如图，P 是∠MON 的平分线上结论：PB=PA。
模型证明模型证明：：∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP；又 PA⊥OM ，PB⊥ON，∴∠OAP=∠OBP=90°；OP=OP；∴RT△OAP≌RT△OBP,初中数学解题模型专题讲解2 角平分线的四大模型的点向两边作垂线的点向两边作垂线分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ONON 于点 B。
∴PB=PA。
模型分析利用角平分线的性质：角平分为边相等、角相等、三角形全突破口。
模型实例模型实例（1）如图①，在△ABC 中到直线 AB 的距离是_____（2）如图②，∠1=∠2，∠求证：AP 平分∠BAC。
解析解析：（：（1）由角平分线模型知（2）如图分别做AB ∴AP 平分∠BAC角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么___；∠3=∠4。
模型知模型知，，D 到AB 的距离等于DC=2AB 、BC 、AC 三边的高三边的高，，由题意易得三边高相等由题意易得三边高相等，，模型， 到解题的 那么点 D ，模型练习1．如图，在四边形 ABCD 求证：∠BAD+∠BCD=180°证明证明：：如图延长BA ，过D 作DE 、DF ∵BD 平分∠ABC∴DE=DF,又AD=DC∴RT△DEA≌RT△DFC ∴∠DAE=∠BCD∴∠BAD+∠BCD=180°2．如图，△ABC 的外角∠P，若∠BPC=40°，则∠CAP=CD 中，BC>AB，AD=DC，BD 平分∠ABC。
°。
垂直BA 延长线延长线、、BC 于E 、F 两点两点，， DFC°∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 的平分线 BP CAP= 。
2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型 角平分线的基本模型(一)全等类(解析版)
专题07 角平分线的重要模型（一）全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段等）【模型解读与图示】已知如图1，OP为AOB∠的角平分线、PM不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB上截取ON OM=，连结PN即可.即有OMP∆≌ONP∆，利用相关结论解决问题.图1 图21．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，△ACB＝2△B，如图①，当△C＝90°，AD为△BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．（1）如图②，当△C≠90°，AD为△BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】（1）AB AC CD=+；证明见解析；（2）AB AC CD+=；证明见解析．【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE△△ADC（SAS），则可得△AED＝△C，ED＝CD，又由△AED＝△ACB，△ACB＝2△B，所以△AED＝2△B，即△B＝△BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC＋CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD△△CAD，可得ED＝CD，△AED＝△ACD，又由△ACBAB∥CD⇒AB+CD=BCFDEBAC＝2△B ，易证DE ＝EB ，则可求得AC ＋AB ＝CD ．【详解】（1）猜想：AB AC CD =+． 证明：如图②，在AB 上截取AE AC =，连结DE ，△AD 为ABC 的角平分线时，△BAD CAD ∠=∠，△AD AD =，△()SAS ADE ADC ≌△△， △AED C ∠=∠，ED CD =，△2ACB B ∠=∠，△2AED B ∠=∠．△B EDB ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE DE AC CD =+=+．（2）猜想：AB AC CD +=．证明：在BA 的延长线上截取AE AC =，连结ED ．△AD 平分FAC ∠，△EAD CAD ∠=∠．在EAD 与CAD 中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD =，△EAD CAD ≌△△． △ED CD =，AED ACD ∠=∠．△FED ACB ∠=∠．又2ACB B ∠=∠，FED B EDB ∠=∠+∠，EDB B ∠=∠．△EB ED =．△EA AB EB ED CD +===．△AC AB CD +=．【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022·山东烟台·九年级期末）已知在ABC 中，满足2ACB B ∠=∠，(1)【问题解决】如图1，当90C ∠=︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+．(2)【问题拓展】如图2，当90C ∠≠︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．(3)【猜想证明】如图3，当AD 为ABC 的外角平分线时，在BA 的延长线上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析(3)猜想AB AC CD +=，证明见解析【分析】（1）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得45B BDE ∠=∠=︒，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（2）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED C ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（3）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，从而可得FED ACB ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证．证明：△AD 为BAC ∠的角平分线，△EAD CAD ∠=∠，在AED 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS ≅，△ED CD =，AED ACD ∠=∠，又△90ACB ∠=︒，2ACB B ∠=∠，△45B ∠=︒，90AED ∠=︒，△45AED BDE B ∠=∠=∠-︒，△B BDE ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE EB AC CD =+=+．（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：△AD 为BAC ∠的角平分线时，△EAD CAD ∠=∠，在AED 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS ≅，△AED C ∠=∠，ED CD =，△2ACB B ∠=∠，△2AED B ∠=∠，又△AED B EDB ∠=∠+∠，△B EDB ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE EB AC CD =+=+．解：猜想AB AC CD+=，证明如下：△AD平分EAC∠，△EAD CAD∠=∠，在AED与ACD△中,AE ACEAD CAD AD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS≅，△ED CD=，AED ACD∠=∠，如图，△180180AED ACD︒-∠=︒-∠，即FED ACB∠=∠，△2ACB B∠=∠，△2FED B∠=∠，又△FED B EDB∠=∠+∠，△EDB B∠=∠，△EB ED=，△AB AE EB ED CD+===，△AB AC CD+=．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．3．（2022·浙江·九年级期中）（1）如图1，在△ABC中，△ACB＝2△B，△C＝90°，AD为△BAC的平分线交BC 于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）（2）如图2，当△C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图3，当△ACB≠90°，△ACB＝2△B ，AD为△ABC的外角△CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）AB＝AC＋CD；（3）AB＝CD﹣AC【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到△1=△2．推出△ACD△△AED（SAS）．根据全等三角形的性质得到△AED=△C=90，CD=ED，根据已知条件得到△B=45°．求得△EDB=△B=45°．得到DE=BE，等量代换得到CD=BE．即可得到结论；（2）在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证△ABD△△AED，所以△B=△AED，BD=DE，又因为△B=2△C，所以△AED=2△C，因为△AED是△EDC的外角，所以△EDC=△C，所以ED=EC，BD=EC，进而可证明AB+BD=AE+EC=AC；（3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE．证明△ACD△△AED，根据全等三角形的性质得到DE=BE，BE=CD，即可得出结论．【详解】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC△AD为△BAC的平分线△△BAD=△CAD．在△ACD和△AED中，AE AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ACD △△AED （SAS ）．△△AED =△C =90°，CD =ED ，又△△ACB =2△B ，△C =90°，△△B =45°． △△EDB =△B =45°．△DE =BE ， △CD =BE ．△AB =AE ＋BE ， △AB =AC ＋CD ．（2）证明：在AB 取一点E 使AC=AE ，在△ACD 和△AED 中，AC AE BAD EAD AD AD ＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩, △△ACD△△AED ，△△C=△AED ，CD=DE ，又△△C=2△B ，△△AED=2△B ，△△AED 是△EDC 的外角，△△EDB=△B ，△ED=EB ，△CD=EB ，△AB=AC+CD ；（3）猜想：AB =CD ﹣AC证明：在BA 的延长线上取一点E ，使得AE =AC ，连接DE ，在△ACD和△AED中，AC AECAD EADAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACD△△AED（SAS），△△ACD=△AED，CD=DE，△△ACB=△FED，又△△ACB=2△B△△FED=2△B，又△△FED=△B＋△EDB，△△EDB=△B，△DE=BE，△BE=CD，△AB=BE-AE△AB=CD﹣AC．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关于线段和差关系的证明，通常采用截长补短法. 4．（2022·北京九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分BAE∠，90ACE∠=︒，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分BAE∠，EC平分AED∠，若120ACE∠=︒，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋12BD，证明见解析．【分析】（1）在AE上取一点F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF＝ED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF＝CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG＝CG＝12BD，从而可证得结论．【详解】解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AF＝AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．在△ACB和△ACF中，AB AFBAC FACAC AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．∵C是BD边的中点，∴BC＝CD．∴CF＝CD．∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD．在△CEF和△CED中，CF CDECF ECDCE CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案为：AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋12BD．证明：如图（2），在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ． 在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG ∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ．∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ，∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题.图1 图2 图3邻等对补模型：已知如图2，AP 是∠CAB 的角平分线，EP =DP辅助线：过点P 作PG ⊥AC 、PF ⊥AB结论：①︒=∠+∠180EPD BAC （D P E A 、、、四点共圆）；②EG DF =；③DF AE AD 2+= 1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____． D B【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，△AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，△1DF DE ==， △1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键． 2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝2x °﹣（x °﹣40°）﹣（x °﹣40°）＝80°，∴∠CAF ＝100°，在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，{PA PAPM PF ==，∴Rt △PFA ≌Rt △PMA （HL ），∴∠FAP ＝∠PAC ＝50°．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM ＝PN ＝PF 是解题的关键．3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABCD 中，BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，交AC 于点E G 、．(1)求证：,BE DG BE DG =∥；(2)过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ．若ABCD 的周长为56，6EF =，求ABC ∆的面积． 【答案】(1)见详解(2)84【分析】（1）由平行四边形的性质证()ABE CDG ASA ∆≅∆即可求证；（2）作EQ BC ⊥，由ΔΔΔABC ABE EBC S S S =+即可求解；（1）证明：在ABCD 中，△//AB CD ，△BAE DCG ∠=∠，△BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，ABC ADC ∠=∠，△ABE CDG ∠=∠，在ABE ∆和CDG ∆中，△ABCD的周长为AB BC+=BE平分∠EQ EF=ABCS S∆∆=4．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP平分△AOB，△DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA 于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD△OA，CE△OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若△AOB=120°，△DCE=△AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF =CG ；（2）CF =CG ，见解析【分析】（1）结论CF =CG ，由角平分线性质定理即可判断．（2）结论：CF =CG ，作CM △OA 于M ，CN △OB 于N ，证明△CMF △△CNG ，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF =CG ；证明：△OP 平分△AOB ，CF △OA ，CG △OB ，△CF =CG （角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF =CG ．理由如下：如图，过点C 作CM △OA ，CN △OB ，△OP 平分△AOB ，CM △OA ，CN △OB ，△AOB =120°，△CM =CN （角平分线上的点到角两边的距离相等），△△AOC =△BOC =60°（角平分线的性质），△△DCE =△AOC ，△△AOC =△BOC =△DCE =60°，△△MCO =90°-60° =30°，△NCO =90°-60° =30°，△△MCN =30°+30°=60°，△△MCN =△DCE ，△△MCF =△MCN -△DCN ，△NCG =△DCE -△DCN ，△△MCF =△NCG ，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△MCF △△NCG （ASA ），△CF =CG （全等三角形对应边相等）．【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为AOB ∠的角平分线，PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可。
三角形中的倒角模型-双角平分线(三角形)模型(解析版)
三角形中的倒角模型-双角平分线(三角形)模型模型1、双角平分线模型图1图2图31)两内角平分线的夹角模型条件：如图1，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ，CF 交于点G ；结论：∠BGC =90°+12∠A ．2)两外角平分线的夹角模型条件：如图2，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线；结论：∠O =90°-12∠A ．3)一个内角一个外角平分线的夹角模型条件：如图3，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点P ；结论：∠P =12∠A ．图4图5图64)凸多边形双内角平分线的夹角模型条件：如图4，BP 、CP 平分∠ABC 、∠DCB ，两条角平分线相交于点P ；结论：2∠P =∠A +∠D5)两内角平分线的夹角模型条件：如图5，BP 、DP 平分∠BCD 、∠CDE ，两条角平分线相交于点P ；结论：2∠P =∠A +∠B +∠E -180°6)一个内角一个外角平分线的夹角模型(累计平分线)条件：如图6，∠A =α，∠ABC ,∠ACD 的平分线相交于点P 1，∠P 1BC ,∠P 1CD 的平分线相交于点P 2，∠P 2BC ，∠P 2CD 的平分线相交于点P 3⋯⋯以此类推；结论：∠P n 的度数是α2n．7)旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点条件：如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点D ；结论：AD 平分∠CAD 1(2022秋·安徽阜阳·八年级统考期中)如图，在△ABC 中，点P 是△ABC 内一点，且点P 到△ABC 三边的距离相等，若∠BPC =124°，则∠A =．【答案】68°【分析】由条件可知BP 、CP 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠A ．【详解】解：∵点P 到△ABC 三边的距离相等，∴BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，∴∠A =180°-(∠ABC +∠ACB )，=180°-2(∠PBC +∠PCB )=180°-2×(180°-∠BPC )=180°-2×(180°-124°)=68°故答案为：68°．【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．2(2022·湖北十堰·八年级统考期末)如图，在五边形ABCDE 中，∠A +∠B +∠E =a ，DP ，CP 分别平分∠EDC ，∠BCD ，则∠P 的度数是．【答案】12α-90°【分析】利用多边形内角和公式、三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解．【详解】解：∵五边形的内角和为5-2 ×180°=540°，∴∠EDC +∠BCD =540°-α，∵DP,CP分别为∠EDC、∠BCD的平分线，∴∠PDC=12∠EDC，∠PCD=12∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=12∠EDC+∠BCD=12540°-α，∴∠P=180°-12540°-α=12α-90°，故答案为：12α-90°．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，牢记n边形的内角和为n-2×180°是解题关键．3(2023·山东济南·校考模拟预测)如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC=90°+12∠ABC；(2)当∠ABC=90°时，且AO=3OD(如图2)，判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)43AE+CD=AC，证明见解析【分析】(1)求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；(3)在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解．【详解】(1)证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∴∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，∴∠OAC+∠OCA=12(∠BAC+∠BCA)=12(180°-∠ABC)=90°-12∠ABC，∴∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=180°-90°-12∠ABC，即∠AOC=90°+12∠ABC；(2)解：43AE+CD=AC，证明：如图2，∵∠AOC=90°+12∠ABC=135°，∴∠EOA=45°，在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，则在△AEO和△AMO中，AE=AM∠EAO=∠MAO AO=AO，∴△AEO≌△AMO，同理△DCO≌△NCO，∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，∴∠MON=∠MOA=45°，过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，∴MK=ML，S△AOM=12AO×MK，S△MON=12ON×ML，∴AOON=SΔAOMSΔMON，∵SΔAOMSΔMON=AMMN，∴AOON=AMMN，∵AO=3OD，∴AOOD =31，∴AOON=AMMN=31，∴AN=43AM=43AE，∵AN+NC=AC，∴43AE+CD=AC．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．4(2023秋·成都市·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC=．【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-58°= 122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°-(∠BAC+∠BCA)=360°-122°=238°，∵AE 平分∠DAC ，CE 平分∠ACF ，∴∠EAC =12∠DAC ，∠ECA =12∠ACF ，∴∠EAC +∠ECA =12(∠DAC +∠ACF )=119°，∵∠EAC +∠ECA +∠AEC =180°，∴∠AEC =180°-(∠EAC +∠ECA )=180°-119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．5(2023·湖北·八年级专题练习)如图，已知在ΔABC 中，∠B 、∠C 的外角平分线相交于点G ，若∠ABC =m °，∠ACB =n °，求∠BGC 的度数.【答案】∠BGC =12m °+n ° 【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．【详解】解：∠B 、∠C 的外角平分线相交于点G ，在ΔBCG 中，∠BGC =180°-12∠EBC +12∠BCF=180°-12(∠EBC +∠BCF )=180°-12(180°-∠ABC +180°-∠ACB )=180°-12(180°-m °+180°-n °)；=12m °+n ° 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．6(2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期中)如图，CD 、BD 分别平分∠ACE 、∠ABC ，∠A =70°，则∠BDC =()A.35°B.25°C.70°D.60°【答案】A 【分析】根据角平分线的定义可得∠CBD =12∠ABC ，∠DCE =12∠ACE ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠DCE =∠D +∠CBD ，∠ACE =∠A +∠ABC ，然后整理求出∠D=12∠A．【详解】解：∵CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC，∴∠CBD=12∠ABC，∠DCE=12∠ACE，由三角形的外角性质得，∠DCE=∠D+∠CBD，∠ACE=∠A+∠ABC，∴∠D+∠CBD=12(∠A+∠ABC)∴∠D=12∠A，∵∠A=70°，∴∠D=12×70°=35°．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，注意整体思想的利用是解答的关键．7(2022秋·八年级课时练习)如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1 BD的平分线，CA2是∠A1CD的平分线，BA3是∠A2BD的平分线，CA3是∠A2CD的平分线，⋯⋯以此类推，若∠A=α，则∠A2020=．【答案】α22020【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解∠A1=12∠A，同理求出∠A2，∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解．【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴1 2(∠A+∠ABC)=12∠ABC+∠A1，∴∠A1=12∠A，∵∠A=α．∠A1=12∠A=12α，同理可得∠A2=12∠A1=122α，根据规律推导，∴∠A2020=α22020，故答案为α22020．【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．8(2023春·成都市七年级课时练习)如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1= 2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2，正确的是．(把所有正确的结论的序号写在横线上)【答案】①④【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1=2∠2，∠BOC=90°+12∠1，∠BOC=90°+∠2，再分析判断．【详解】∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2=∠DCE-∠DBE=12(∠ACD-∠ABC)=12∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠1)=90°+12∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12∠ACD，∴∠OCE=12(∠ACB+∠ACD)=12×180°=90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2，故④正确；故答案为：①④．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．9(2023秋·广东佛山·八年级校考期末)(1)如图1所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线将于点O，则有∠BOC=90°+12∠A，请说明理由．(2)如图2所示，在△ABC中，内角的平分线∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点O，请直接写出∠BOC与∠BAC之间的关系，不必说明理由．(3)如图3所示，AP，BP分别平分∠CAD，∠CBD，则有∠P=12(∠C+∠D)，请说明理由．(4)如图4所示，AP，BP分别平分∠CAM，∠CBD，请直接写出∠P与∠C，∠D之间的关系，不必说明理由．【答案】(1)理由见解析；(2)∠BAC=2∠BOC；(3)理由见解析；(4)∠P=12∠D+12∠C+90°【分析】(1)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，利用三角形的内角和等于180°即可得出结果；(2)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果；(3)根据AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，利用三角形的外角性质列出等式∠D +∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C，分析等式即可得出结果；(4)AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC =y，利用三角形外角性质和内角和性质即可得出结果．【详解】解：(1)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线∴∠ABO=OBC，∠ACO=∠OCB∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠OCB+∠OBC=180°-∠A÷2=90°-12∠A∴∠BOC==180°-90°-12∠A=90°+12∠A(2)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCD∵∠BAC+∠ABC=∠ACD，∠OBC+∠BOC=∠OCD∴2∠OBC+2∠BOC=2∠OCD∴∠ABC+2∠BOC=∠ACD∴∠BAC=2∠BOC(3)∵AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线∴∠DAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C∴∠D-∠P=∠P-∠C∴∠P=12(∠C+∠D)(4)∵AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线∴∠MAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y∴∠AGB=∠C+2x∴∠BEP=∠AEG=180°-(∠C+2x)-y∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y∵∠D+∠AEG=∠MAP∴∠D+180°-(∠C+2x)-y =y∴x+y=12∠D-12∠C+90°∴∠P=12∠D-12∠C+90°+∠C∴∠P=12∠D+12∠C+90°【点睛】本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键．10(2023·江苏八年级课时练习)(1)如图所示，在△ABC中，BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，证明：∠BOC=90°+12∠A．(2)如图所示，△ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，证明：∠BDC=90°-12∠A．(3)如图所示，△ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，证明：∠D=12∠A．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【详解】(1)设∠ABO=∠OBC=x,∠ACO=∠BCO=y．由△ABC的内角和为180°，得∠A+2x+2y=180°．①由△BOC的内角和为180°，得∠BOC+x+y=180°．②由②得x+y=180°-∠BOC．③把③代入①，得∠A+2180°-∠BOC=180°，即2∠BOC=180°+∠A，即∠BOC=90°+12∠A(2)∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠BCD=12∠A+∠ABC、∠DBC=12∠A+∠ACB，由三角形内角和定理得，∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC，=180°-12[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]，=180°-12(∠A+180°)，=90°-12∠A；(3)如图：∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D∴∠1=∠2，∠5=12(∠A+2∠1)，∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A①在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-12(∠A+2∠1)，即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2(∠1+∠3)-∠A②，把①代入②得∠D=12∠A．【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．课后专项训练1(2023·成都·八年级月考)如图，ΔABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP 交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=()A.40°B.45°C.50°D.60°【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，∴∠CAF=100°，在RtΔPFA和RtΔPMA中，PA=PA PM=PF，∴RtΔPFA≅RtΔPMA(HL)，∴∠FAP=∠PAC=50°．故选：C．2(2023秋·绵阳市·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是()A.∠BAC=70°B.∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC，即可判断A选项；根据角平分线的定义求出∠ABO，再利用三角形的内角和定理求出∠AOB，然后利用对顶角，即可判断B选项；根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理求出∠BDC，即可判断C选项；利用角平分线的性质，推出AD为△ABC的外角平分线，然后列式计算求出∠DAC，即可判断D选项．【详解】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，故A选项正确，不符合题意；∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=12×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误，符合题意；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE=12180°-∠ACB=12180°-60°=60°，在△COD中，∠BDC=180°-∠COD-∠ACD=180°-85°-60°=35°，故C选项正确，不符合题意；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴D到AB、AC、BC的距离相等，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=12180°-∠BAC=12180°-70°=55°，故D选项正确，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题关键．3(2022春·北京海淀·七年级校考期中)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是()A.30°B.45°C.55°D.60°【答案】B【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO=90°、∠AOB=90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠D的度数．【详解】解：∵OA⊥OB，∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AOB=90°．∵DA平分∠CAO，∴∠DAO=12∠OAC=12(180°-∠OAB)．∵DB平分∠ABO，∴∠ABD=12∠ABO，∴∠D=180°-∠DAO-∠OAB-∠ABD=180°-12(180°-∠OAB)-∠OAB-12∠ABO=90°-12(∠OAB+∠ABO)=45°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D=90°-12(∠OAB+∠ABO)．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．4(2022秋·河北张家口·八年级统考阶段练习)如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB,OC．若∠BOC=120°，则∠A的度数是()A.30°B.45°C.60°D.70°【答案】C【分析】由点O在△ABC内，且到三边的距离相等，可知O是角平分线的交点，则∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，由∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，可得∠ABC+∠ACB=120°，根据∠A+∠ABC+∠ACB=180°，计算求解即可．【详解】解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∴O是角平分线的交点，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，∴12∠ABC+12∠ACB+120°=180°，即∠ABC+∠ACB=120°，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=60°，故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．5(2022秋·四川绵阳·八年级统考期末)如图，在△ABC中，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于()A.10°B.15°C.20°D.30°【答案】B【分析】先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4 +∠A，∠1=∠3+∠D，则2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D=12∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．【详解】解答：解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∴2∠1=2∠3+∠A，∵∠1=∠3+∠D，∴∠D=12∠A=12×30°=15°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质、角平分线的性质等，根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析是解题关键．6(2023春·福建漳州·七年级统考期末)如图，在△ABC中，∠ACB<∠A,BD是角平分线，BE是边AC上的高，延长BD与外角∠ACF的平分线交于点G．以下四个结论：①∠ABD=∠CBD；②∠ABE+∠A=90°；③∠G=45°；④∠A-∠ACB=2∠EBD．其中结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明∠ABC=2∠GBC，∠ACF=2∠GCF，∠ACF=∠ABC+∠A，∠GCF=∠GBC+∠G，可判断③，由2∠BED=290°-∠ADB，∠ADB=∠DBC+∠ACB，可得2∠BED=180°-2∠DBC+2∠ACB，从而可判断④，从而可得答案．【详解】解：∵BD是△ABC角平分线，∴∠ABD=∠CBD，故①符合题意；∵BE是边AC上的高，∴∠ABE+∠A=90°，故②符合题意；∵BD是△ABC角平分线，CG平分∠ACF，∴∠ABC=2∠GBC，∠ACF=2∠GCF∠A，∵∠ACF=∠ABC+∠A，∠GCF=∠GBC+∠G，∴2∠GCF=2∠GBC+∠A，∴∠G=12∵∠A<90°，∴∠G<45°，故③不符合题意；∵2∠BED=290°-∠ADB，∠ADB=∠DBC+∠ACB，∴2∠BED=180°-2∠DBC+2∠ACB=180°-∠ABC+2∠ACB=180°-180°-∠A+∠ACB=∠A-∠ACB，故④符合题意；故选C【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键．7(2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=16°，∠ACB的平分线与外角∠ABD的平分线交于点E，连接AE，则∠AEC的度数为．【答案】37°/37度【分析】由角平分线的性质可得EF=EH=EG，进而可证明EA是∠BAC的外角平分线，再利用三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：过E点分别作EF⊥AC于F，作EG⊥AB于点G，作EH⊥CD于H，∵EC 是∠ACB 的平分线，EB 是∠ABD 的平分线，∴EF =EH ，EG =EH ，∴EF =EG ，∴EA 是∠BAC 的外角平分线，∵∠ACB =90°，∠BAC =16°，∴∠ACE =45°，∴∠EAB =∠FAB 2=180°-16°2=82°，∴∠AEC =180°-∠EAC +∠ACE =180°-82°+16°+45° =180°-143°=37°．故答案为：37°．【点睛】本题考查了三角形内角平分线和外角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．8(2023春·江苏南通·七年级统考阶段练习)如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是∠A 1BD 的平分线，CA 2是∠A 1CD 的平分线，BA 3是∠A 2BD 的平分线，CA 3是∠A 2CD 的平分线，若∠A =α，则∠A 999=．【答案】α2999【分析】根据角平分线的定义可得∠A 1BD =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，再根据三角形外角的性质可得12∠ABC +∠A =12∠ABC +∠A 1，化简可得∠A 1=12∠A ，进一步找出其中的规律，即可求出∠A 999的度数．【详解】解：∵BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，∴∠A 1BD =12∠ABC ，∠A 1CD =12∠ACD ，又∵∠ACD =∠ABC +∠A ，∠A 1CD =∠A 1BD +∠A 1，∴12∠ABC +∠A =12∠ABC +∠A 1，∴∠A 1=12∠A =12α，同理可得：∠A 2=12∠A 1=12×12α=122α，∠A 3=122∠A 1=123α，...... 则A 999=12999∠A =α2999，故答案为：α2999．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出∠A 1，∠A 2，∠A 3与∠A 的规律是解题的关键．9(2022秋·北京大兴·八年级统考期末)如图，在△ABC 中，AB <AC ，∠BAC 的平分线与外角∠BCD 的平分线相交于点M ，作AB 的延长线得到射线AE ，作射线BM ，有下面四个结论：①∠MCD >∠MAB ；②BM =CM ；③射线BM 是∠EBC 的角平分线；④∠BMC =90°-12∠BAC ．所有正确结论的序号是．【答案】①③④【分析】由角平分线的定义可知∠MAB=∠MAC．再根据三角形外角的性质得出∠MCD=∠MAC+∠AMC，即可确定∠MCD>∠MAB，故①正确；过点M作MF⊥AD于点F，MG⊥BC于点G，MH⊥AE于点H，由角平分线的性质定理可得出MF=MG=MH．即易证Rt△BMG≌Rt△BMH(HL)，得出∠MBG=∠MBH，即说明射线BM是∠EBC的角平分线，故③正确；利用反证法，假设BM=CM，易证∠CBE=∠BCD，即得出∠ABC=∠ACB．由AB<AC，可知∠ABC≠∠ACB，即说明BM= CM不成立，故②错误；由∠BMC=∠BMG+∠CMG，即得出∠BMC=(90°-∠MBG)+(90°-∠MCG)．再根据角平分线的定义即得出∠BMC=90°-12∠CBE+90°-12∠BCD，最后结合三角形内角和定理即可求出结论，可判断④正确．【详解】解：∵AM为∠BAC的平分线，∴∠MAB=∠MAC．∵∠MCD=∠MAC+∠AMC，∴∠MCD>∠MAC，∴∠MCD>∠MAB，故①正确；如图，过点M作MF⊥AD于点F，MG⊥BC于点G，MH⊥AE于点H，∵AM为∠BAC的平分线，CM为∠BCD的平分线，∴MF=MG=MH．又∵BM=BM，∴Rt△BMG≌Rt△BMH(HL)，∴∠MBG=∠MBH，即射线BM是∠EBC的角平分线，故③正确；假设BM=CM，∴∠MBC=∠MCB．∵CM为∠BCD的平分线，BM是∠EBC的角平分线，∴∠MBE=∠MBC，∠MCB=∠MCD，∴∠MBE+∠MBC=∠MCB+∠MCD，即∠CBE=∠BCD，∴180°-∠CBE=180°-∠BCD，即∠ABC=∠ACB．∵AB<AC，∴∠ABC≠∠ACB，∴假设不成立，故②错误；∵∠BMC=∠BMG+∠CMG，∴∠BMC=(90°-∠MBG)+(90°-∠MCG)．∵∠MBG=12∠CBE，∠MCG=12∠BCD，∴∠BMC=90°-12∠CBE+90°-12∠BCD，∴∠BMC=90°-12∠CBE+90°-12∠BCD=180°-12∠CBE-12∠BCD=180°-12(180°-∠ABC)-12(180°-∠ACB)=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠BAC)=90°-12∠BAC，∴④正确．综上可知所有正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质及三角形内角和的应用等知识．正确作出辅助线构造全等三角形，并利用数形结合的思想是解题关键．10(2023春·河北·七年级专题练习)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC=130°，则∠D=【答案】40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ACO=12∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12(∠ACB+∠ACE)=12×180°=90°，∵∠BOC=130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．11(2023·浙江杭州·八年级期末)如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则．(用含字母的代数式表示)【答案】【分析】根据四边形的内角和是360°，求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的定义及三角形的内角和定理求出∠P的度数即可．【详解】解：∵∠A+∠D=m°，且四边形内角和为360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-m°，∵PB、PC是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠PBC=12∠ABC，∠BCP=12∠BCD，∴∠PBC+∠BCP=12∠ABC+12∠BCD=12∠ABC+∠BCD=12360°-m°∴∠P=180°-(∠PBC+∠BCP)=180°-12360°-m°=12m°故答案为：12m°．【点睛】本题考查了四边形的内角和及三角形的内角和与角平分线相关的角度计算问题，解题的关键是表达出∠PBC+∠BCP的度数．12(2023春·河南·七年级专题练习)如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB=3：2，那么∠CAB=．【答案】36°【分析】由角平分线的定义得∠NCM=∠MBN=12×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB=108°，再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果．【详解】由题意得：∠NCM=∠MBN=12×180°=90°，∴∠CMB+∠CNB=180°，又∠CMB：∠CNB=3：2，∴∠CMB=108°，∴12(∠ACB+∠ABC)=180°-∠CMB=72°，∴∠ACB+∠ABC=144°，∴∠CAB=180°-(∠ACB+∠ABC)=36°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM=∠MBN= 90°是关键．13(2023·黑龙江八年级课时练习)(1)如图(1)所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．(2)如图(2)所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？【答案】(1)∠BOC =12∠A +90°；理由见解析；(2)∠BOC =12∠A ；理由见解析【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠A +∠ABC +∠ACB =180°，∠BOC +∠OBC +∠OCB =180°，根据角平分线的性质得出∠ABC =2∠OBC ，∠ACB =2∠OCB ，然后得出∠BOC +12∠ABC +12∠ACB =180°，最后得出结论；(2)根据外角的性质得出∠A +∠ABC =∠ACE ，∠OBC +∠BOC =∠OCE ，然后根据角平分线的性质得出∠ABC =2∠OBC ，∠ACE =2∠OCE ，最后根据∠BOC =∠OCE -∠OBC 得出答案．【详解】(1)∠BOC =12∠A +90°．在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠ACB =180°，在△BOC 中，∠BOC +∠OBC +∠OCB =180°，又∵BO ，CO 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，∴∠ABC =2∠OBC ，∠ACB =2∠OCB ．∴∠BOC +12∠ABC +12∠ACB =180°．∴∠BOC =180°-12(∠ABC +∠ACB )=180°-12(180°-∠A )=90°+12∠A ．(2)∠BOC =12∠A ．∵∠A +∠ABC =∠ACE ，∠OBC +∠BOC =∠OCE ，∴∠A =∠ACE -∠ABC ，∠BOC =∠OCE -∠OBC又∵BO ，CO 分别是∠ABC 和∠ACE 的平分线，∴∠ABC =2∠OBC ，∠ACE =2∠OCE ．∴∠BOC =∠OCE -∠OBC =12∠ACE -12∠ABC =12(∠ACE -∠ABC )=12∠A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握外角性质并能正确计算是解题关键．14(2023·北京昌平·八年级校考阶段练习)认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图l ，在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC=90°+12∠A ,理由如下：∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线∴∠1=12∠ABC , ∠2=12∠ACB∴∠l+∠2=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=90°-12∠A∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-90°-12∠A=90°+12∠A(1)探究2；如图2中，O是12∠ABC与外角12∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．(2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？(直接写出结论)(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？(直接写出结论)【答案】(1)探究2结论：∠BOC=12∠A；(2)探究3：结论∠BOC=90°-12∠A；(3)拓展：结论∠BOC=12∠A+∠D【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=12∠ACD=12(∠A+∠ABC)，∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；(2)根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答；(3)同(1)的求解思路．【详解】(1)探究2结论：∠BOC=12∠A．理由如下：如图，∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠2=12∠ACD=12(∠A+∠ABC)=12∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一个外角，∴∠BOC=∠2-∠1=12∠A+∠1-∠1=12∠A，即∠BOC=12∠A；(2)由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC=12(∠A+∠ACB)，∠OCB=12(∠A+∠ABC)，在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-12(∠A+∠ACB)-12(∠A+∠ABC)，=180°-12(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)，=180°-12(180°+∠A)，=90°-12∠A；故答案为∠BOC=90°-12∠A．(3)∠OBC+∠OCB=12(360°-∠A-∠D)，在△BOC中，∠BOC=180°-12(360°-∠A-∠B)=12(∠A+∠D)．故答案为∠BOC=12(∠A+∠D)．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．15(2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习)如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动(不与点O重合)，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．(1)若∠MON=60°，则∠ACG=°；若∠MON=90°，则∠ACG=°；(2)若∠MON=n°，请求出∠ACG的度数；(用含n的代数式表示)(3)如图2，若∠MON=n°，过C作直线与AB交于F，若CF∥OA时，求∠BGO-∠ACF的度数．(用含n的代数式表示)．【答案】(1)60°；45°；(2)90°-12n；(3)90°-12n．【分析】(1)根据三角形的内角和求出∠ABO+∠BAO的度数，再根据角平分线的定义及外角的性质即可得到∠ACG的度数；(2)根据(1)中的结论即可求出答案；(3)根据角平分线的性质，平行线的性质得到∠ACF=∠CAO=∠BAC，利用外角的性质得到∠BGO-∠ACF=∠ACG，由此得到答案.【详解】(1)∵∠MON+∠ABO+∠BAO=180°，∴∠ABO+∠BAO=180°-∠MON，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠ABC=12∠ABO，∠BAC=12∠BAO，当∠MON=60°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=12(∠ABO+∠BAO)=12(180°-∠MON)=60°，当∠MON=90°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=12(∠ABO+∠BAO)=12(180°-∠MON)=45°，故答案为：60°，45°；(2)由(1)知∠ACG=12(180°-∠MON)，∵∠MON=n°，∴∠ACG=12(180°-∠MON)=90°-12n；(3)∵AC平分∠BAO，∴∠BAC=∠CAO∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAO=∠BAC，∵∠BGO=∠ABG+∠BAO=∠ABG+2∠ACF,∴∠BGO-∠ACF=∠ABG+2∠ACF-∠ACF=∠ABG+∠ACF=∠ABG+∠BAC=∠ACG,∵∠MON=n°时∠ACG=90°-12n，∴∠BGO-∠ACF=90°-12n.【点睛】此题考查三角形的内角和定理，外角的性质定理，平行线的性质定理，解题时注意共性思想的理解和利用.16(2023·山西晋城·七年级统考期末)在△ABC中，已知∠A=α．(1)如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．①当α=70°时，∠BDC度数=度(直接写出结果)；②∠BDC的度数为(用含α的代数式表示)；(2)如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数(用含α的代数式表示)．(3)在(2)的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M(如图3)，求∠BMC的度数(用含α的代数式表示)．【答案】(1)(1)①125°；②90°+12α，(2)∠BFC=12α；(3)∠BMC=90°+14α【分析】(1)①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解；(2)由三角形外角性质得∠BFC=∠FCE-∠FBC，然后结合角平分线的定义求解；(3)由折叠的对称性得∠BGC=∠BFC，结合(1)②的结论可得答案．【详解】解：(1)①∵∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB =180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-70°)=125°②∵∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB =180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A=90°+12α．故答案分别为125°，90°+12α．(2)∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE∴∠FBC=12∠ABC，∠FCE=12∠ACE，∴∠BFC=∠FCE-∠FBC=12(∠ACE-∠ABC)=12∠A即∠BFC=12α．(3)由轴对称性质知：∠BGC=∠BFC=12α，由(1)②可得∠BMC=90°+12∠BGC，∴∠BMC=90°+14α．【点睛】本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．17(2023·江苏连云港·七年级统考期中)在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．【结论探究】(1)如图1，在△ABC中，点E是△ABC内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点，则有∠E=12∠A．请补齐下方的说理过程．理由如下：因为∠EBC+∠EBD=180°，又因为在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB=180°，所以∠EBC+∠EBD=∠EBC+∠E+∠ECB．所以∠EBD=∠E+∠．(理由是：等式性质)同理可得：∠ABD=∠A+∠．又因为BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的角平分线，所以∠EBD=12∠ABD，∠=12∠ACB．所以12∠ABD=∠E+12∠ACB．即∠E=12∠ABD-12∠ACB=12(∠ABD-∠ACB)．所以∠E=12∠A．请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：【简单应用】(2)如图2，在△ABC中，∠ABC=40°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG 的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数；【变式拓展】(3)如图3，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状．①已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E+∠F的度数；②直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系．【答案】(1)ECB，ACB，ECB；(2)70°；(3)①205°；②∠E+∠F=12(∠A+∠D)+90°【分析】(1)根据三角形外角的性质以及角平分线的定义，即可得到答案；(2)先推出∠AEC=12∠ABC=20°，再推出∠EAC+∠FAC==90°，进而即可求解；(3)①延长BA、CD交于点M，延长CE、BF交于点N，可得∠N=12∠M，进而即可求解；②根据∠N= 12∠M，结合平角的意义以及三角形内角和定理，即可得到结论．【详解】解：(1)因为∠EBC+∠EBD=180°，又因为在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB=180°，所以∠EBC+∠EBD=∠EBC+∠E+∠ECB．所以∠EBD=∠E+∠ECB．(理由是：等式性质)同理可得：∠ABD=∠A+∠_ACB_．又因为BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的角平分线，所以∠EBD=12∠ABD，∠__ECB____=12∠ACB．所以12∠ABD=∠E+12∠ACB．即∠E=12∠ABD-12∠ACB=12(∠ABD-∠ACB)．所以∠E=12∠A．故答案是：ECB，ACB，ECB；(2)∵∠ABC=40°，∴∠AEC=12∠ABC=20°，∵∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，∴∠EAC+∠FAC=12∠ABC+12∠CAG=12(∠ABC+∠CAG)=12×180°=90°，∴∠F=180°-90°-20°=70°；(3)①延长BA、CD交于点M，延长CE、BF交于点N，∵BF，CE平分∠ABG、∠DCB，∴∠N=12∠M，∵∠BAD=150°，∠ADC=80°，∴∠M=180°-(180°-150°)-(180°-80°)=50°，∴∠N=25°，∴∠AEF+∠BFE=360°-(180°-25°)=205°；②∵∠AEF+∠BFE=360°-(180°-∠N)=180°+∠N，∠BAD+∠ADC=180°+∠M，又∵∠N=12∠M，∴∠AEF+∠BFE-180°=12(∠BAD+∠ADC-180°)，即：∠E+∠F=12(∠A+∠D)+90°．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题的关键．18(2023春·江苏南京·七年级期中)(1)问题发现：如图1，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC和∠ACB的平分线交于P，则∠BPC的度数是(2)类比探究：如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的外角∠ACE的角平分线交于P，则∠BPC与∠A的关系是，并说明理由．(3)类比延伸：如图3，在△ABC中，∠ABC外角∠FBC的角平分线和∠ACB的外角∠BCE的角平分线交于P，请直接写出∠BPC与∠A的关系是．。
2024年中考数学复习 三角形中的特殊模型-平分平行(射影)构等腰、角平分线第二定理模型(原卷+答案
三角形中的特殊模型-平分平行(射影)构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
平分平行(射影)构等腰模型、角平行线第二定理模型(内角平分线定理和外角平分线定理模型)平分平行(射影)构等腰1)角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。
(简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结)。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
图1图2图3条件：如图1，OO'平分∠MON，过OO'的一点P作PQ⎳ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC。
结论：△BDE是等腰三角形。
条件：如图3，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。
2)角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB=∠CDA=90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。
1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA、OB分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD为半径画弧，两弧相交于点E，过OE上一点M作MN∥OA，与OB相交于点N，∠MOB=50°，则∠AOM=．2(2023·浙江·八年级期中)如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于．3(2023·广东·八年级期末)如图，▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF 平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为cm．4(2023.江苏八年级期中)如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的角平分线交AD与F，交AB于E，FG⎳BC交AB于G．AE=4cm，AB=12cm，则BG=，GE=．角平行线第二定理(内角平分线定理和外角平分线定理)模型1)内角平分线定理图1图2图3条件：如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线。
第9章 三角形专题训练：与三角形角平分线相关的解题模型(含答案)
专题：与三角形角平分线相关的解题模型◆类型一 同一顶点处的角平分线、高线夹角模型【方法点拨】三角形同一顶点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两角度数之差的一半．如图，AE ，AD 分别为△ABC 的角平分线和高线，则∠EAD ＝12(∠B －∠C )．1．如图①，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC 于E ，∠B ＝40°，∠C ＝70°.(1)求∠DAE 的度数；(2)如图②，若把“AE ⊥BC ”变成“点F 在DA 的延长线上，FE ⊥BC 于E ”，其他条件不变，求∠DFE 的度数．◆类型二 与三角形内外角平分线相关的夹角模型【方法点拨】①两内角平分线的夹角的度数：三角形的两个内角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于90°加上第三角的度数的一半．如图①，∠BOC ＝90°＋12∠A .②一内角平分线与一外角平分线夹角的度数：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成的夹角度数等于第三角的度数的一半．如图②，BA 1，CA 1分别为△ABC的一条内、外角平分线，BA 2，CA 2分别为△A 1BC 的一条内、外角平分线，则∠A 1＝12∠A ，∠A 2＝12∠A 1，…… ③两外角角平分线夹角的度数：三角形的两个外角平分线交于一点，所形成的夹角度数等于90°减去第三角的度数的一半．如图③，BO ，CO 分别为△ABC 的两条外角平分线，则∠O ＝90°－12∠A . 2．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究，完成所提出的问题．(1)如图①，O 是△ABC 内一点，BO ，CO 分别平分∠ABO ，∠ACO .若∠A ＝46°，则∠BOC ＝________；若∠A ＝n °，则∠BOC ＝________________；(2)如图②，O 是△ABC 外一点，BO ，CO 分别平分△ABC 的外角∠CBE ，∠BCF .若∠A ＝n °，求∠BOC 的度数；(3)如图③，O 是△ABC 外一点，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACD .若∠A ＝n °，求∠BOC 的度数．参考答案与解析1．解：(1)∵∠B ＝40°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝70°.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝35°，∴∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝75°.∵AE ⊥BC ，∴∠AEB ＝90°，∴∠DAE ＝90°－∠ADE ＝15°.(2)同(1)可得∠ADE ＝75°.∵FE ⊥BC ，∴∠FEB ＝90°，∴∠DFE ＝90°－∠ADE ＝15°.2．解：(1)113° 90°＋12n ° (2)∵∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB )，而BO ，CO 分别平分∠CBE ，∠BCF ，∴∠OBC ＝12∠CBE ，∠OCB ＝12∠BCF ，∴∠BOC ＝180°－12(∠CBE ＋∠BCF )，而∠CBE ＝180°－∠ABC ，∠BCF ＝∠180°－∠ACB ，∴∠BOC ＝180°－12(180°＋∠A )＝90°－12∠A ，∴∠BOC ＝90°－12n °. (3)∵∠BOC ＝∠OCD －∠OBD ，∠A ＝∠ACD －∠ABC ，而BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACD ，∴∠ACD ＝2∠OCD ，∠ABC ＝2∠OBD ，∴∠A ＝2∠OCD －2∠OBD ＝2∠BOC ，∴∠BOC ＝12n °.。
【数学中考一轮复习】角平分线常考模型(含答案)
专项训练角平分线常考模型模型一角平分线＋垂直一边方法点拨:若PA⊥OM于点A，如图所示，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB＝PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线，垂线段相等”，显然这个基本图形中可以利用角平分线的性质定理，也可以得到一组全等三角形；注意:题目一般只有一条垂线，需要自行补出另一条垂线，甚至只给一条角平分线，自行添加两条垂线.1.如图所示，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（）A.3B.4C.5D.62.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD ：S△ACD为（）A.5:4B.5:3C.4:3D.3:43.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠AFD＝90°，AB＝10，DF＝2，则S△ABD＝_________.模型二角平分线＋斜线方法点拨:若点A是射线OM上任意一点，如图，可以在ON上截取OB＝OA，连接PB，构变式模型:采用截长补短法构造全等三角形如图所示，在△ABC中，BC＞BA，BO是∠ABC的平分线.（截长法）在BC上截取线段BE＝BA，连接OE，则△BEO≌△BAO；（补短法）延长BA至点D，使BD＝BC，连接OD，则△BDO≌△BCO.解题通法:遇到角平分线时，通常过角平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两端取相等的线段（截长或补短）构造全等三角形.4.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2，求证:AB＝AC＋CD.5.如图所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，∠ABD＝∠DBC.（1）点D到∠ABC的两边BA，BC的距离是否相等？（2）求∠A＋∠C的度数.模型三角平分线＋垂线方法点拨:若AP⊥OP于点P如图所示，可延长AP交ON于点B构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”，实际上这是“两线合一”的一种情形，这个图形中隐含着全等和等腰三角形.6.如图所示，在△ABC中，∠ABC＝60°、D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF＝3，则线段BE的长为（）A.3B.2C.3D.237.如图所示，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则CD的长是___________.8.如图所示，已知，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD延长线于点E.（1）若AD＝1，求DC；（2）求证:BD＝2CE.模型四角平分线＋平行线方法点拨:若过点P作PQ∥ON交OM于点Q，如图所示，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线＋平行线，等腰三角形必呈现”，这个基本图形很常见，其变式有以下四种:解题通法:遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可以得到等腰三角形.9.如图所示，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，交AB于点E，若AB＝7cm，AE＝4cm.则DE的长为_________cm.10.如图所示，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝6，DC＝8，DE＝20，则FG＝___________.11.如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.（1）△BDO是等腰三角形吗？请说明理由.（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周长.模型五角平分线＋对角互补方法点拨:若∠A＋∠C＝180°，BD是∠ABC的平分线，则AD＝CD.12.已知:如图所示，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°,∠B＜90°，求证:DB＝DC.13.感知:如图1所示，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知:DB＝DC.探究:如图2所示，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证:DB＝DC.14.如图所示，四边形ABCD中，∠ABC＋∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD.试说明:（1）△CBE≌△CDF；（2）AB＋DF＝AF.模型六 夹角模型方法点拨:BP ，CP 分别是∠ABC ，∠ACB 的角平分线，则:∠P ＝90°＋21∠A. BP ，CP 分别是∠ABC ，∠ACE 的角平分线，则:∠P ＝21∠A. BP ，CP 分别是∠CBD ，∠BCE 的角平分线，则:∠P ＝90°-21∠A.15.如图所示，点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等.若∠A ＝40°，则∠BOC 等于（ ）A.110°B.115°C.125°D.130°16.如图所示，BE ⊥AC 于点D ，且AB ＝CB ，BD ＝ED ，若∠ABC ＝54°，则∠E ＝_________.17.如图所示，点O 是△ABC 边AC 上的一个动点，过O 点作直线MN ∥BC.设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F. （1）求证:OE ＝OF ；（2）若CE ＝8，CF ＝6，求OC 的长.跟踪训练1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则＝（）S△ABDA.56B.28C.14D.122.如图所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，则AB的长为（）A.6B.2＋4C.2＋23D.2＋233.如图所示，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D.若OD＝2，则△ABC的面积是（）A.20B.12C.10D.84.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D.若BD＝5，DC＝3，则AC的长为A.6B.43C.53-2D.85.已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示.若DE＝2，则DF＝__________.6.如图所示，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB边上有一点E，CE，DE分别是∠BCD 和∠ADC的角平分线，如果△CDE的面积是12，CD＝8，那么AB的长度为__________.7.如图所示，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACF，DE过点I，且DE∥BC.BD＝8cm，CE＝5cm，则DE等于__________.8.如图所示，点E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，连接CD交OE于点F，∠AOB＝60°.（1）求证:△OCD是等边三角形；（2）若S＝83，EF＝2，求DF的长.△ODE9.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E. （1）求证:∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长.10.（1）如图①所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB，AC于点E，F，试猜想EF，BE，CF之间有怎样的关系，并说明理由；（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其他条件不变，请直接写出EF，BE，CF之间的关系____________.11.如图所示，在平行四边形ABCD中，CM平分∠BCD交AD于点M.（1）若CD＝2，求DM的长；（2）若M是AD的中点，连接BM，求证:BM平分∠ABC.参考答案1.D2.B3.104.证明：延长AC 至点E ，使AE ＝AB ，连接 DE ，∵AB ＝AE ，∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△AED （SAS ）.∴∠B ＝∠E ，∵∠ACD ＝∠E ＋∠CDE ，∠ACD ＝2∠B ，∴∠ACD ＝2∠E. ∴∠E ＝∠CDE.∴CD ＝CE.∴AB ＝AE ＝AC ＋CE ＝AC ＋CD. 5.解:（1）过D 作出DE ⊥BA 于E ，DF ⊥BC 于F.如图所示.结论:DE ＝DF.理由:∵∠ABD ＝∠DBC ，DE ⊥BA 于E ，DF ⊥BC 于F ，∴DE ＝DF.（2）在Rt △DEA 和Rt △DFC 中，⎩⎨⎧，DF ＝DE ，DC ＝AD ∴Rt △DEA ≌Rt △DFC （HL ）∴∠C ＝∠EAD.∵∠BAD ＋∠EAD ＝180°，∴∠BAD ＋∠C ＝180°. 6.C 7.228.解:（1）如图1所示，过点D 作DH ⊥BC 于H ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠BCA ＝45°.∴DH ＝CH.（2）证明：如图2所示，延长CE ，BA 相交于点F ，∵∠EBF ＋∠F ＝90°，∠ACF ＋∠＝90°，∴∠EBF ＝∠AC.在△ABD 和△ACF 中⎪⎩⎪⎨⎧，CAF ＝∠BAC ∠AC ＝AB ，ACF ＝∠EBF ∠∴ABD ≌ACF （ASA ）∴BD ＝CF.在△BCE 和△BF 中，⎪⎩⎪⎨⎧，FEB ＝∠CEB ∠，BE ＝BE ，CBF ＝∠EBF ∠∴△BCE ≌△BFE （ASA ）.∴CE ＝EF.∴BD ＝2CE.9.3 10.611.解:（1）△BDO 是等腰三角形∵BO 平分∠ABC ，∴∠DBO ＝∠CBO∵DE ∥BC ，∴∠CBO ＝∠DOB.∴∠DBO ＝∠DOB.∴BD ＝DO.∴△BDO 是等腰三角形；（2）同理△CEO 是等腰三角形，∵BD ＝OD ，CE ＝OE ，∴△ADE 的周长＝AD ＋AE ＋DE ＝AB ＋AC ＝10＋6＝16.12.证明:作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠B ＝∠FCD.在△DFC 和△DEB 中，⎪⎩⎪⎨⎧，DE ＝DF ，B ＝∠FCD ∠，DEB ＝∠F ∠∴△DFC ≌△DEB （AAS ）.∴DC ＝DB.13.证明：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠F ＝∠DEB ＝90°.∵∠EBD ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠EBD ＝∠FCD.在△DFC 和△DEB 中，⎪⎩⎪⎨⎧，DE ＝DF ，EBD ＝∠FCD ∠，DEB ＝∠F ∠∴△DFC ≌△DEB （AAS ）.∴DC ＝DB.14.解:（1）∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF.∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABC ＋∠EBC ＝180°，∴∠EBC ＝∠D.在△CBE 与△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧︒∠∠，CF ＝CE 90＝CFD ＝CEB ∠，D ＝EBC ∠，∴△CBE ≌△CDF （AAS ）；（2）在Rt △ACE 与Rt △ACF 中，⎩⎨⎧，AC ＝AC CF ＝CE ∴△CE ≌△ACF （HL ）.∴AE ＝AF.∴AB ＋DF ＝AB ＋BE ＝AE ＝AF.15.A 16.27°17.解:（1）证明:∵MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∴EO ＝CO ，FO ＝CO.∴OE ＝OF ；（2）∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°.∵CE ＝8，CF ＝6，∴EF ＝2268+＝10.∴OC ＝21EF ＝5. 跟踪训练1.B2.D3.C4.A5.46.67.3cm8.解:（1）证明:∵点E 是∠AOB 平分线上的一点， EC ⊥OB ， ED ⊥OA ，∴ED ＝CE.在Rt △ODE 与Rt △OCE 中，⎩⎨⎧，OE ＝OE ，CE ＝ED ∴Rt △ODE ≌Rt △OCE （HL ）.∴OD ＝OC. ∴∠AOB ＝60°，∴△OCD 是等边三角形；（2）∵△OCD 是等边三角形，OF 是∠COD 的平分线，∴OE ⊥DC ，∴∠AOB ＝60°，∴∠AOE ＝∠BOE ＝30°.∵∠ODF ＝60°，ED ⊥OA ，∴∠EDF ＝30°.∴DE ＝2EF ＝4.∵∠AOE ＝30°， DE ⊥AO ，∴OE ＝2DE ＝8.∵S △ODE ＝83＝21×OE ×DF ，∴DF ＝23. 9.解:（1）证明:∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠A ＝∠B ＋∠A ＝90°. ∴∠ACD ＝∠B.∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE ＝∠DCE.∴∠B ＋∴BCE ＝∠ACD ＋∠DCE.即∠AEC ＝∠ACE ；（2）∵∠AEC ＝∠B ＋∠BCE ，∠AEC ＝2∠B ，∴∠B ＝∠BCE.又∵∠ACD ＝∠B ，∠BCE ＝∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ＝∠DCE.又∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝30°，∠B ＝30°.∴Rt △ACD 中，AC ＝2AD ＝2.∴Rt △ABC 中，AB ＝2AC ＝4.∴BD ＝AB-AD ＝4-1＝3.10.解: （1）EF ＝BE ＋CF ，理由: ∵BO 平分∠ABC ， CO 平分∠ACB ，∴∠EBO ＝∠OBC ，∠FCO ＝∠OCB.∵EF//BC ，∴∠EOB ＝∠OBC ，∠FOC ＝∠OCB.∴∠EBO ＝∠EOB ，∠FOC ＝∠FCO. ∴BE ＝OE ，CF ＝OF.∴EF ＝OE ＋OF ＝BE ＋CF ；（2）EF ＝BE-CF ，理由:∵BO 平分∠ABC ， CO 平分∠ACD ，∴∠EBO ＝∠OBC ，∠FCO ＝∠OCD. ∵EF// BC ，∴∠EOB ＝∠OBC ，∠FOC ＝∠OCD.∴∠EBO ＝∠EOB ，∠FOC ＝∠FCO.∴BE ＝OE ，CF ＝OF.∴EF ＝OE-OF ＝BE-CF.故答案为:EF ＝BE-CF.11.解:（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD// BC.∴∠BCM ＝∠DMC.∵CM 平分∠BCD ，∴∠BCM ＝∠DCM.∴∠DMC ＝∠DCM.∴DM ＝DC ＝2；（2）如图，延长BA ， CM ，交于点E ，则∠AME ＝∠DMC ，∵BE// CD ，∴∠D ＝∠EAM ，∠E ＝∠DCM.∵M 是AD 的中点，∴DM ＝AM.∴△CDM ≌△EAM （ASA ）.∴E М＝CM.∵CM平分∠BCD，∴∠BCM＝∠DCM.∴∠E＝∠BCM.∴BE＝BC. ∴BM平分∠ABC.。
(完整版)角平分线的四大模型(Word版)
角平分线四大模型模型一：角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
例1：（1）如图①，在△ABC,∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到AB的距离是___cm(2)如图②，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC.练习1 如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠C=180°练习2 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）模型二：截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB，则△OPB≅△OPA.模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
例2：(1)如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．(2)如图②所示．AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC -PB与AC-AB的大小，并说明理由．练习 3 已知：△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8，求线段BC的长。
练习4 已知,如图AB=AC,∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD.练习5 如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD.求证：BC=AB+CE.模型三：角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。
2023年中考数学常见几何模型之角平分线非全等类模型
专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.双角平分线模型（导角模型） 【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。
【模型图示】条件：BD ，CD 是角平分线.结论：1902BDC A ∠=︒+∠1902BDC A ∠=︒−∠12BDC A ∠=∠1．（2022·广东·九年级专题练习）BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（ ）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】A【分析】据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．【详解】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，故选：A．【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋1∠ABC；2(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．3.（2022•蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC 与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝°．【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB（角平分线的性质），∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90°+12×64°＝122°．故答案为：122°；（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=12∠ABD．∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，∴∠BEC=12∠A=12α；（3）结论∠BQC＝90°−12∠A．∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A+∠ABC）．∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°−12（∠A+∠ACB）−12（∠A+∠ABC），＝180°−12∠A−12（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°−12∠A﹣90°＝90°−12∠A；（4）由（3）可知，∠BQC＝90°−12∠A＝90°−12×64°=58°，由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+12×58°=119°；由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°故答案为119，29．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题(1)已知在△ABC中，∠A=60°，图1-3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；(2)如图4，点O是△ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+12∠A(3)如图5，在△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．【答案】(1)120°，30°，60°(2)见解析(3)70°【分析】（1）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案；（2）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，∴∠ABC+∠ACB=3α+2β=60°+50°=110°，∴∠A=70°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键．模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线）【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。
专题06 全等模型-角平分线模型(解析版)
专题06全等模型-角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线、CA OA ⊥于点A 时，过点C 作CA OB ⊥.结论：CA CB =、OAC ∆≌OBC ∆.图1图2常见模型1（直角三角形型）条件：如图2，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 为CAB ∠的角平分线，过点D 作DE AB ⊥.结论：DC DE =、DAC ∆≌DAE ∆.（当ABC ∆是等腰直角三角形时，还有AB AC CD =+.）图3常见模型2（邻等对补型）条件：如图3，OC 是∠COB 的角平分线，AC =BC ，过点C 作CD ⊥O A 、CE ⊥OB 。
结论：①180BOA ACB ∠+∠=︒；②AD BE =；③2OA OB AD =+.例1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴1DF DE ==，∴1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键．例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，{PA PA PM PF==，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故选C．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键．例3．（2023·山东·七年级专题练习）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA ＝28°，求∠ABE的大小．【答案】28°【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，(1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到．符号语言：∵如图1，OP 为COD ∠上的平分线，且，∴．(2)解答：已知：如图2，60AOB ∠=︒，OP 为AOB ∠的平分线，以点P 为顶点的CPD ∠与角的两边相交于点C 、D ，且120CPD ∠=︒．求证：PC PD =．(3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点P P 为AOB ∠的平分线上的点，请你用尺规作图作PE OA ⊥于E ，作PF OB ⊥于F ，90PEC PFD PEO PFO ∴∠=∠=∠=∠=︒，OP 平分AOB ∠，PE PF ∴=，在四边形EOFP 中，60AOB ∠=︒，90PEO PFO ∠=∠=︒，36060290120EPF ∴∠=︒-︒-⨯︒=︒，120CPD ∠=︒ ，CPD EPF ∴∠=∠，CPD EPD EPF EPD ∴∠-∠=∠-∠，CPE DPF ∴∠=∠，PEC PFD ∴≅ （ASA ）PC PD ∴=；（3）证明：如图2，作射线PC ，交OA 于C ，作PCN AOB ∠=∠，反向延长NP ，交OB 于D ，则PC PD =；,（4）解：如图3，当ODP ∠和OCP ∠互补时，PC PD =，理由如下：作PE OA ⊥于E ，作PF OB ⊥于F ，90PEC PFD PEO PFO ∴∠=∠=∠=∠=︒，OP 平分AOB ∠，PE PF ∴=，在四边形EOFP 中，90PEO PFO ∠=∠=︒，360290180EPF AOB ∴∠+∠=︒-⨯︒=︒，180CPD AOB ∠+∠=︒ ，CPD EPF ∴∠=∠，CPD EPD EPF EPD ∴∠-∠=∠-∠，CPE DPF ∴∠=∠，PEC PFD ∴≅ (ASA)PC PD ∴=．【点睛】本题考查全等三角形的判定，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线，AB OC ⊥，结论：△AOC ≌△BOC ，OAB ∆是等腰三角形、OC 是三线合一等。
初中数学经典几何模型04-角平分线模型在三角形中的应用(含答案)
初中数学经典几何模型专题04 角平分线模型在三角形中的应用在初中几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题。
不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。
实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。
能做到这三点，就能在解题时得心应手。
【知识总结】【模型】一、角平分线垂两边 角平分线+外垂直当已知条件中出现OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题.【模型】二、角平分线垂中间 角平分线+内垂直当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线,PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可.即有OMN ∆是等腰三角形、OP 是三线等，利用相关结论解决问题.【模型】三、角平分线构造轴对称 角平分线+截线段等当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线、PM 不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB 上截取ON OM =，连结PN 即可.即有OMP ∆≌ONP ∆，利用相关结论解决问题.【模型】四、角平分线加平行线等腰现 角平分线+平行线当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线，点P 角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点P 作PM //OB 或PM //OA 即可.即有OMP ∆是等腰三角形，利用相关结论解决问题.1、如图, ABN CBN ∠=∠, P 为BN 上的一点，并且PD BC ⊥于点D ,2AB BC BD +=,求证：180BAP BCP ∠+∠=︒.2、如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.3、已知:如图7,2,,AB AC BAD CAD DA DB =∠=∠=，求证:DC AC ⊥.4、如图,AB //CD ,AE 、DE 分别平分BAD ∠和ADC ∠.探究:在线段AD 上是否存在点M ，使得2AD EM =.【基础训练】1、如图所示，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线交AD，AC于点E、F，则BFEF的值是___________.2、如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分∠BAC，AE⊥CE于点E，且AB =10，AC =16，则DE的长度为______3、如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ =13CE时，EP+BP =________.【巩固提升】1、如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG =MN，S△PFG=S△PMN，试问点P是否在∠AOB 的平分线上？2、已知：在△ABC中，∠B的平分线和外角∠ACE的平分线相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求证：GF =BG CF.3、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC =180°，对角线AC平分∠BAD.（1）求证：BC =CD；（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度数；4、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC =a、AC =b、AB =c.（1）求线段BG的长（2）求证：DG平分∠EDF.5、如图，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠B PC=∠BP A，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x.CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.6、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OP A=90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.7、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。
中考数学必考几何模型：角平分线四大模型
角平分线四大模型模型1 角平分线的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，则PB＝PA模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型实例（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6,BD＝4,那么点D到直线AB的距离是解答：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB,∴CD＝DE.∵CB＝6,BD＝4,∴DE＝CD＝2，即点D到直线AB的距离是2.（2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC证明：如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，∵∠1＝∠2，∴PD＝PE,∵∠3＝∠4, ∴PE＝PF，∴PD＝PF又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分线的判定）练习1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC,BD平分∠ABC ，求证：∠BAD＋∠BCD＝180°证明：作DE⊥BC于E，作DF⊥BA的延长线于F，∴∠F＝∠DEC＝90°,∵BD平分∠ABC,∴DF＝DE，又∵AD＝DC，∴△DFA≌DEC,∴∠FAD＝∠C∵∠FAD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°2.如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝.解答：如图所示，作PN⊥BD于N，作PF⊥BA，交BA延长线于F，作PM⊥AC于M∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP,∠DCP＝∠ACP，PF＝PN＝PM，∵∠BAC＝∠ACD－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性质)∴∠BAC＝2∠PCD－2∠PBC＝2(∠PCD－∠PBC)＝2∠BPC＝80°∴∠CAF＝180°－∠BAC＝100°，∵PF＝PM∴AP是∠FAC的角平分线，∴∠CAP＝∠PAF＝50°模型2 截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA,连接PB，则△OPB≌△OPA模型分析利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型实例（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由解题：PB+PC＞AB+AC证明：在BA的延长线上取点E,使AE＝AB,连接PE，∵AD平分∠CAE∴∠CAD＝∠EAD，在△AEP与△ACP中，∵AE＝AB，∠CAD＝∠EAD,AP＝AP，∴△AEP≌△ACP （SAS），∴PE＝PC∵在△PBE中：PB+PE＞BE,BE＝AB+AE＝AB+AC，∴PB+PC＞AB+AC（2）如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－PB与AC－AB的大小，并说明理由解答：AC-AB>PC-PB证明:在△ABC中, 在AC上取一点E,使AE=AB ，∴AC-AE=AB-AC=BE ∵AD平分∠BAC ，∴∠EAP=∠BAP ，在△AEP和△ACP中∴△AEP≌△ABP (SAS) ，∴PE=PB ，∵在△CPE中CE>CP-PE ，∴AC-AB>PC-PB练习1.已知，在△ABC中，∠A＝2∠B,CD是∠ACB的平分线，AC＝16,AD＝8,求线段BC的长解：如图在BC边上截取CE＝AC，连结DE，在△ACD和△ECD中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CDCDECDACDECAC∴△ACD≌△ECD(SAS)∴AD＝DE ，∠A＝∠1 ，∵∠A＝2∠B，∴∠1＝2∠B，∵∠1＝∠B＋∠EDB ，∴∠B＝∠EDB，∴EBB＝ED ，∴EB＝DA＝8，BC＝EC＋BE＝AC＋DA＝16＋8＝242.在△ABC中，AB＝AC,∠A＝108°,BD平分∠ABC，求证：BC＝AB＋CD证明：在BC上截取BE＝BA，连结DE，∵BD平分∠ABC,BE＝AB,BD＝BD∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠DEB＝∠A＝108°，∴∠DEC＝180°－108°＝72°∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝12(180°－108°)＝36°，∴∠EDC＝72°，∴∠DEC＝∠EDC，∴CE＝CD ，∴BE＋CE＝AB＋CD，∴BC＝AB＋CD3.如图所示，在△ABC中，∠A＝100°,∠ABC＝40°,BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE ＝AD，求证：BC＝AB＋CE证明：在CB上取点F，使得BF＝AB,连结DF，∵BD平分∠ABC，BD＝BD∴△ABD≌△FBD，∴DF＝AD＝DE,∠ADB＝∠FDB，∴BD平分∠ABC∴∠ABD＝20°,则∠ADB＝180°－20°－100°＝60°＝∠CDE∠CDF＝180°－∠ADB－∠FDB＝60°，∴∠CDF＝∠CDE，在△CDE和△CDF中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CDCDCDECDFDFDE∴△CDE≌CDF，∴CE＝CF，∴BC＝BF＋FC＝AB＋CE模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP丄OP于P点，延长AP交ON于点.B,则△AOB是等腰三角形.模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.模型实例如图.己知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°, AB=AC, BD平分∠ABC, C£丄BD.垂足为E.求证：BD=2C£.解答：如图，延长CE、BA交于点F,∵CE丄BD于E, ∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CED.∴∠ABD=∠ACF.又∵AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°, ∴△ABD≌△ACF.∴ BD=CF.∵BD平分∠ABC, ∴∠CBE=∠FBE. 又BE=BE,∴△BCE≌△BFE.∴CE=EF. ∴BD=2CE.练习1.如图.在△ABC中.BE是角平分线.AD丄BE.垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C.证明：延长AD交BC于F,∵AD⊥BE, ∴∠ADB=∠BDF=90°, ∵∠ABD=∠FBD,∴∠2=∠BFD. ∵∠BFD=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.2.如图.在△ABC中. ∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线, BE丄AD于点E.求证:1()2BE AC AB =-.(2)证明:延长BE 交AC 于点F.∵AD 为∠BAC 的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.∵AE=AE, ∴∠BAE=∠FAE,则△AEB ≌△AEF ，∴AB=AF, BE=EF, ∠ 2=∠3.∴AC-AB=AC-AF=FC. ∵∠ABC=3∠C,∴∠2+∠1=∠3+∠1=∠1+∠C+∠1=3∠C.∴2∠1=2∠C 即∠1=∠C ∴BF=FO=2BE.∴()1122BE FC AC AB ==-模型4 角平分线+平行线模型分析有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线. 构造等腰三角形.为证明结论提供更多的条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.模型实例 解答下列问题：(1)如图①.△ABC 中，EF ∥BC,点D 在EF 上,BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACB.写出线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系？(2)如图②，BD平分∠ABC,CD平分外角∠ACG. DE//BC交AB于点E,交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由.(3)如图③，BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线，DE//BC交AB延长线于点E.交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么数关系？解答：(1) ∵EF//BC,∴∠EDB=∠DBC.∴BD平分∠EBC，∴∠EBD=∠DBC=EDB. ∴EB=ED.同理：DF=FC. ∴EF=ED+DF=BE+CF.(2)图②中有EF=BE=CF，BD平分∠BAC,∴∠ABD=∠DBC.又DE//BC、∴∠EDB=∠DBC.∴DE=EB.同理可证：CF=DF ∴EF=DE-DF=BE-CF.(3) EF=BE+CF.练习1.如图. 在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC交AB于M点. 交AC 于N点.若BM+CN=9，则线段MN的长为.解答：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,∴MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB.∵MN//BC,∴∠EBC=∠MEB, ∠NEC=∠ECB. ∴∠MBE-∠MEB, ∠NEO=∠ECN.∴BM=ME, EN=CN.∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN.∵BM+CN=9,∴MN=9.2. 如图. 在△ABC中,AD平分∠BAC.点E、F分別在BD，AD上,EF∥AB.且DE=CD,求证：EF=AC.证明：如图，过点C作CM∥AB交AD的延长线于点M,∵AB∥EF,∴CM∥EF.∴∠3=∠4.∵DE=CD, ∠5=∠6, ∴△DEF≌△DCM.∴EF=CM. ∵AB//CM,∴∠2=∠4. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠4.∴CM=AC.∴EF=AC3.如图.梯形ABCD中,AD∥BC,点E在CD上,且AE平分∠BAD.BE平分∠ABC.求证：AD=AB-BC.证明：延长AD、BE交于点F.∵AD∥BC,∴∠2=∠F. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠F.∴AB=AF.∵AE平分∠BAD∴BE=EF. ∵∠DEF=∠CEB, ∴△DEF≌△CEB.∴DF=BC.∴AD=AF-DF=AB-BC.。
初中数学常见模型之角平分线四大模型
模型实例
1.如图①，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直 线AB的距离是 .
2.如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。求证：AP平分∠BAC。
A
C
D
B
图1
A
B
2 1
C
34
P图 2
典例精选
1．如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。
A DE
B
C
典例精选
1．如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。求证：∠2=∠1+∠C
A
E 12 D
C
B
2．如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于点E
求证：BE= （AC-AB）
A
E
B
D
C
模型4：角平分线+平行线
如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。 结论：△POQ是等腰三角形
2.如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与ACAB的大小，并说明理由。
A A
P
P
B
C图 1
D
B
D
C
图2
典例精选
1．已知，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8。求线 段BC的长
A
B
D
C
2．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC。求证：BC=AB+CD
M A
P
O
BN
模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等
角平分线模型解题方法
角平分线模型解题方法
角平分线模型是数学中常见的一种模型，常用于解决与角度相关的问题。
以下为角平分线模型解题方法：
1. 确定问题中所涉及的角度和角平分线。
2. 根据角平分线的定义，可知该平分线将角分成两个相等的角度。
3. 利用所得到的相等角度，可以运用三角函数或几何关系解题。
4. 在使用三角函数时，需要注意角平分线与角度的正弦、余弦、正切关系。
5. 在使用几何关系时，需要注意题目中给出的三角形形状、角度大小关系及其它相关信息。
6. 在解题过程中，需要仔细分析问题，仔细计算，避免出现粗心错误。
7. 最后，需要检查答案是否符合题目要求及常理。
- 1 -。
三角形角平分线模型求角度
模型建构，指的是将我们平时看起来比较复杂的问题，通过模型建构，得到一些通用的结论，多进行这样的模型积累，不仅能够丰富我们的解题思路，还可以提高我们的做题准确率与速度。
解题tips ：记忆积累常见模型与对应结论今天小编就分享几个角平分线的模型，一起来看看你属于什么段位吧。
青铜------三角形角平分线模型模型一：双内角平分线模型如图，在ABC Δ中，BP 、CP 分别平分∠ABC 、∠ACB.结论：∠P=90°+A 21∠证明：不妨设∠ABP=∠CBP=α，∠ACP=∠BCP=β，则∠A+2（∠α+∠β）=180°①∠P+（∠α+∠β）=180° ②②-2⨯①得：2∠P -∠A=180°∴∠P=90°+A 21∠模型二：一内一外角平分线模型如图，在ABC Δ中，BP 、CP 分别平分∠ABC 、∠ACD结论：∠P=A 21∠证明：不妨设∠ABP=∠CBP=α，∠ACP=∠DCP=β， 则∠A+2α=2β，∠P+α=β，可得：∠A=2（β-α），∠P=β-α，∴∠P=A 21∠模型三：两外角平分线模型如图，在ABC Δ中，BP 平分外角∠CBD ，CP 平分外角∠BCE 结论：∠P=90°-A 21∠证明：不妨设∠CBP=∠DBP=α，∠BCP=∠ECP=β， 则∠ABC=180°-2α，∠ACB=180°-2β，可得：A ∠+（180°-2α）+（180°-2β）=180°① ∠P+（α+β）=180°②①+②2⨯得：2∠P+A ∠=180°∴∠P=90°-A 21∠王者------n 等分线（拓展延伸）拓展模型一：内角n 等分线如图，1BP 、2BP 是∠ABC 的两条三等分线，1CP 、2CP 是∠ACB 的两条三等分线。
结论：A 3260p 1∠+︒=∠，A 31120p 2∠+︒=∠证明方法和上面题相似，结论可有如下规律：（1）当BP 为角平分线时，∠P=90°+A 21∠，变形得：∠P=A 2118021∠+︒⨯ （2）当1BP 、2BP 是三等分线时，A 3260P 1∠+︒=∠变形得：A 3218031P 1∠+︒⨯=∠ A 31120P 2∠+︒=∠变形得：A 3118032P 2∠+︒⨯=∠ （3）推广到一般情况：当1BP 、2BP 、 1-n BP 是n 等分线时，A 11801P 1∠-+︒•=∠n n n A 21802P 2∠-+︒•=∠nn nA 11801P 1-n ∠+︒•-=∠nn n 拓展模型二：一内一外n 等分线如图，1BP 、2BP 是∠ABC 的两条三等分线，1CP 、2CP 是外角∠ACD 的两条三等分线 结论：A 32p 1∠=∠，A 31p 2∠=∠证明方法和前面类似结论推广到n 等分情况：A 1P 1∠-=∠n n A 2P 2∠-=∠n n A 1P 1-n ∠=∠n拓展模型三：两外角n 等分线如图，1BP 、2BP 是外角∠CBD 的两条三等分线，1CP 、2CP 是外角∠BCE 的两条三等分线 结论：A 31120p 1∠-︒=∠，A 3260p 2∠-︒=∠推广到一般情况：结论：A 11801P 1-n ∠--︒•=∠nn n ，如图可得显然有些情况并不符合，有可能会存在 0A 11801P 1-n <∠--︒•=∠n n n 那样就不存在了。
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典型例题——精选经典例题，匹配经典模型，利用模型进行实战应用
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第二章角平分线四大模型【模型1：角平分线上的点向两边做垂线】
【模型分析】
【典型例题】
【巩固练习1】【巩固练习2】
【模型2：截取构造对称全等】
【模型3：角平分线+垂线构造等腰三角形】【模型4：角平分线+平行线构造等腰三角形】每天积累一点，每天进步一点!
未完待续。