椭圆型方程差分法

Step1 问题转化 离散极值原理： 对于一组不全相等的实数 { yi }iN 0 ,记 l ( yi ) ( yi 1 2 yi yi 1 ) / h 2 , 若 l ( yi ) 0, 1 i N 1 y y , 则 { yi }iN 0 的最大值只能为 0 或 N ; 若 l ( yi ) 0, 1 i N 1, 则 { yi }iN 0 的最小值 只能为 y0 或 yN 。
T ( xi 1 ) 2T ( xi ) T ( xi 1 ) f i f ( xi ) 2 h 其中 1 i N 1.
6
故得离散化问题（差分方程—Difference Equation, Difference Scheme）
Ti 1 2Ti Ti 1 f i , 1 i N 1, h2 T0 TN 0.
1．物理定律数学模型 2．数学模型离散化 3．离散化上机计算 （解析化） （代数化） （算术化）
求解微分方程的另一种典型方法为有限元法，将 在后文中给出。
17
数值实验一
a.阻尼Jacobi迭代法 将A作矩阵分裂：
Ax b
(*)
AM N
其中A是非奇异矩阵。则（*）改写为：
Mx Nx b
的特征值。(i 2 cos
k 2, k 1, 2, N 1) N
返回
b. 从局部看，这种近似是否可靠 (截断误差分析)？
设 T ( x )是微分方程（1）的充分光滑解, 取 Ti T ( xi ) , 代入差分方程看效果如何.

T ( xi 1 ) 2T ( xi ) T ( xi 1 ) f ( xi ) 2 h
返回
2) 数值求解思路 （微分方程差分法） 将 [0, 1] N 等分，步长 h 1 N , 节点：
xi ih, 0 i N , x0 0, xN 1
a)选目标点： xi , 0 i N . b)在目标点上连续信息离散化:
T ( x0 ) T ( xN ) 0
1 1 huij h2 ui1, j 2uij ui1, j k2 ui, j1 2uij ui, j1 fij f (xi , yj ) uij i, j (xi , yj )
(5)
9
简记 x xi ， 由Taylor展开知
1 1 1 T ( xi 1 ) T ( x h) T ( x) T ' ( x)h T '' ( x)h2 T ''' ( x)h3 T (4) (i1 )h4 2 3! 4! 1 1 1 T ( xi 1 ) T ( x h) T ( x) T ' ( x)h T '' ( x)h2 T ''' ( x)h3 T (4) (i2 )h4 2 3! 4!
这里是阻尼参数。（*1）和（*2）都可 视为基于矩阵分裂的迭代法。应该取 M 使得它的求逆是方便的且算法收敛。
常用的方法有： 1) Jacobi迭代法： 如果取
M D diag (aii )
则(*2)即阻尼Jacobi迭代法。
19
xk1 [D1(DA) (1)I]xk D1b
max Ti ( xi ) Ti
1 2 h M 96
（14）
其中
M max T (4) ( x)
0 x 1
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e. 离散后问题的求解
用追赶法或迭代法求解。
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16
总结
A. 目标点的确定； B. 方程在目标点的离散； C. 理论的关键为极值原理。
物理模型数值解可以 归结为以下几步：（冯康）
(11)
这里 max i 。
1i N 1
设 yi Ei Ei* ，则由(9)和(10)知
l ( yi ) l ( Ei ) l ( Ei* ) 0, y0 yN 0 由离散极值原理有 yi 0 ，即
Ei Ei* , i 0,1, , N
同理可知
x
2． Poisson方程五点差分格式
u f u in
其中
(0, a ) (0, b )
建立目标点： a b y h k x 一方向步长： I 1 ； 一方向步长： J 1
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得
( xi , y j )
1 i I,1 j J
xi ih, y j jk
(4)
令
2 1 1 2 1 A 1 1 2 ( N 1)( N 1)
系数矩阵A是不可约对角占优阵 A 0
解存在唯一,或直接求A的特征值。
8
习题：计算矩阵
A=
2 1 1 2 1 1 1 2 ( N 1)( N 1)
其中 i 为舍入误差。
h T * T * 0 N 0
(8)
引入误差 Ei Ti * Ti ， 则由(8)-(7)知
Ei 1 2 Ei Ei 1 i , 1 i N 1, h2 E0 EN 0
(9)
11
Ei 的估计：
1 max i 8 1i N 1
d. 收敛性 问题： Ti 是 T(xi ) 的近似值， 究竟相差多少？

T ( xi 1 ) 2T ( xi ) T ( xi 1 ) 1 2 (4) f h T ( i ) i 2 12 h
15
由稳定性结果知
1 i N 1
[ I D 1 A ] xk D 1b
Gauss-Seidel迭代法：
a11 a a 21 22 M L a31 a32 a33 an1 an2 an,n1 ann
20
b.对于由问题（1）离散而得的线性代数方 程组（4）用阻尼Jacobi迭代法求解。 考察取什么范围的值的时候是收敛的， 何时收敛速度最快？从理论上对所得的 数值结果进行理论分析。
2
由（6）可知微分方程之解恰精确满足差分 方程， Ei* ( xi ) xi ( xi 1) 2
14
故知
Ei

2
max x (1 x)
0 x 1

8
换言之，
1 i N 1
（13） 这说明方法是稳定的，不会出现“差之毫 厘，缪以千里”的现象。
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max Ti * Ti
• 连续情形: y '' 0 ，易知结果的直观合理性；
• 可以用反证法简单证明。
12
构造两个辅助序列
Ei*1 2 Ei* Ei*1 , h2 E * E * 0, N 0
(10)
Ei 1 2 Ei Ei 1 , h2 E E 0 N 0
从而得到迭代法：
Mxk 1 Nxk b
xk 1 M 1Nxk M 1b Sxk Tb
(*1)
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阻尼迭代法 (Damped Iterative Method)
k1 Sxk M1b x k1 (1)xk [M1N(1)I]xk M1b (*2) xk1 x
5
在
xi 点 1 i N 1
d 2T f x ( ) dx 2 0 xi
问题：如何用目标点的信息描述所有连续 量？
中心差商： T ( xi 1 ) 2T ( xi ) T ( xi 1 ) d 2T x T x ( ) ''( ) i i dx 2 h2
§2 椭圆型方程的差分方法
1. 从一个简单例子谈起 2. Poisson方程五点差分格式 3. 差分格式的性质 4.差分方程的求解 5. Poisson方程九点差分格式
1. 从一个简单的例子谈起
研究一维椭圆型方程：
d 2T 2 f ( x), dx T (0) T (1) 0
(3)
直观上，由（3）决定的 Ti 应为 T ( xi ) 的近 似值。
返回
3）可靠性，有效性分析
a.离散后问题之解是否唯一？ b.从局部看，这种近似是否可靠截断误差分析？ c.稳定性 d.收敛性 e.离散后问题的求解
返回
7
a.离散后问题之解是否唯一？
(3)为三对角方程组：
T1 f1 2 1 T f 1 2 1 2 2 1 2 h 1 1 2 ( N 1)( N 1) TN 1 f N 1
T(xi1) 2T(xi ) T(xi1) 1 1 1 T ''(xi ) h2 * {T(4) (i1) T (4) (i2 )} T '' (xi ) h2T (4) (i ) 2 12 2 12 h



'' 2 (4) 2 (4) (5) = {T (xi ) f (xi )} h T (i ) h T (i )
Ei Ei , i 0,1, , N
13
而 Ei Ei* ，故知
Ei Ei*

（12）
这个结果用物理直观来理解是自然的， 热源大(小)对应的温度场自然应大(小)。
Step 2 Ei* 的计算
( x) (0) (1) 0
( x) x( x 1)
(2)
T '(0) x ( x s) f ( s)ds
0
3
由 T (1) 0
可知
1 0
T '(0) (1 s) f ( s)ds
代入（2）得
T ( x) x(1 s) f ( s)ds ( x s) f ( s)ds
0 0
1
x
引入特征函数 1, 0 s x, [0, x ] ( s ) 0, x s 1
1 12
1 12
(6)
0 (as h 0)
相容性 截断误差
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10
c. 稳定性分析 理论结果: Ti 1 2Ti Ti 1 f , i 2
h T0 TN 0
(7)
* * 实际结果: Ti* 1 2Ti Ti 1 fi* fi i , 2
0 x 1,
(1)
1
(kT '( x)) ' f ( x), T (0) T (1) 0
0 x 1,
1. 数值计算是否必要？ 2. 数值求解思路（微分方程差分法） 3. 可靠性，有效性分析
a.离散后问题之解是否唯一？ b.从局部看，这种近似是否可靠截断误差分析？ c.稳定性 d.收敛性 e.离散后问题的求解
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2
1） 数值计算是否必要？
T '( x) T '(0) f (u )du
x 0
x
T ( x) T '(0) f ( s )ds du
0

0
u

T '(0) x
T '(0) x
x 0 x
x
x
0

u
0
f ( s)dsdu

s
f ( s )duds
1
K ( x, s ) x (1 s ) [0, x ] ( s )( x s )
则知 T ( x) K ( x, s ) f ( s )ds 0 其中
s(1 x ), 0 s x, x(1 s ), x s 1
4
• 数值计算是必要的； • 如果已知 T ( x ) ，欲求 f ( x ) ，这是一 个反问题（源问题），是一个典型的病 态问题。