(完整word版)全概率公式与贝叶斯公式解题归纳.doc
2.3_1全概率公式和贝叶斯公式
P
A
|
B
P
A P B PB
|
A
=
0.999 0.05 0.0509
0.9813
由此可见该发明并不可靠！
例3 甲乙丙三人向同一架飞机射击, 他们击中的概率分 别为0.4、0.5和0.7. 若其中只有一人击中, 则飞机坠毁的 概率为0.2; 若其中有二人击中, 则飞机坠毁的概率是0.6; 若三人都击中, 则飞机必然坠毁. 求飞机坠毁的概率. 进一步问: 若已知飞机坠毁了, 则在坠毁前飞机是被命中 一弹的概率.
0.4138
贝叶斯公式
如果随机事件 A1, A2 , , An 构成样本空间的一个划分,
且都有正概率, 则对任何一个事件 B P B 0 , 有
P Aj | B
P Aj PB | Aj
n
,
P Ai P B | Ai
i 1
j 1, 2, , n.
例2 某厂生产的产品其不合格率为0.1% , 但是却没有适 当的仪器进行检验. 有人声称发明了一种仪器可以用来检 验, 误判的概率仅为5%, 即正品被误判为次品或者次品被 误判为正品的概率均为5%. 试问这个仪器是否靠谱？
0.4 0.5 0.3 0.41
P A3 0.4 0.5 0.7 0.14
再以 B 表示事件“飞机坠毁了”, 则由题意
P B | A0 0, P B | A1 0.2, P B | A2 0.6, P B | A3 1,
故由全概公式得:
3
P B P Ai P B | Ai 0.458.
解 以 A0, A1, A2, A3 分别表示事件“三人中分别有0、1、
2、3个人命中敌机”, 则由古典概率计算可得
第7节 全概率公式和贝叶斯公式
0.4825.
练习1 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别 为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0；求 他迟到的概率．
解 设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来， A4＝他乘飞机来，B＝他迟到。
易见：A1, A2, A3, A4构成一个完备事件组，由全概率公式得
1. 引例 设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红 球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求
(1)从乙盒取出2个红球的概率; (2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率。
解 (1)设A1=从甲盒取出2个红球，A2=从甲盒取出2个白球； A3＝从甲盒取出1个白球1个红球 ；B=从乙盒取出2个红球； 则A1, A2, A3 两两互斥，且A1+A2+A3=Ω, 所以
i 1
i 1
i 1
3. 全概率公式的应用
如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而成， E1有若干种可能的结果，E2在E1的基础上也有若干种 可能的结果，如果求与E2的结果有关事件的概率，可 以用全概率公式．试验E１的几种可能的结果就构成了 完备事件组．
例1 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三 等种子, 1%的四等种子, 用一等、二等、三等、四等种子长出的 穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1、0.05,求这批种子所 结的穗含有50颗以上麦粒的概率。
P(B)= P(A1)P(B|A1 )+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
C22 C52
C32 C72
C32 C52
0 C72
C31C21 C22 C52 C72
全概率公式与贝叶斯公式
, i = 1,2,, n.
例1 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元
件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据 : 元件制造厂 1 2 3 无区别的标志. (1) 在仓库中随机地取一只元件 , 求它是次品的 概率; 次品率 0.02 0.01 0.03 提供元件的份额 0.15 0.80 0.05
= P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A Bn ) P ( Bn ).
图示
B2
B1
A
B3
Bn1
化整为零 各个击破
Bn
2. 全概率公式
定理 设试验 E 的样本空间为 S , A 为 E 的事件 , B1 , B2 , , Bn为 S 的一个划分 , 且 P ( Bi ) > 0( i = 1, 2, , n ), 则
例2 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有50%的产品是第一家工厂生产的, 其他 二厂各生产25%. 又知第一、第二家工厂生产的有 2%是次品, 第三家工厂生产的有4%是次品. 现从此 箱中任取一个产品, 求拿到的是次品的概率.
例3
例4 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射 击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击 中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机 必定被击落, 求飞机被击落的概率。
§1.6 全概率公式和贝叶斯公式
一、全概率公式 二、贝叶斯公式
三、小结
一. 全概率公式
1. 样本空间的划分
定义 设 S 为试验 E的样本空间, B1 , B2 ,, Bn 为 E 的一组事件 , 若 (i ) Bi B j = , i j , i , j = 1, 2,, n ; (ii ) B1 U B2 U U Bn = S . 则称 B1 , B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分 .
贝叶斯公式和全概率-精品文档
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
例1 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三 等种子, 1%的四等种子, 用一等、二等、三等、四等种子长出的 穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1、0.05,求这批种子所 结的穗含有50颗以上麦粒的概率。 解 设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子 的事件分别为B1,B2,B3,B4，则它们构成样本空间的一个划分， 用A表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的穗含有50 粒以上麦粒的事件，则由全概率公式
定义1 设事件Ａ1，Ａ2，…，Ａn为样 本空间的一组事件。 如果 (1) Ai Aj= （i≠j）; (2)
A1 A3
A2 …
… An
n
Ai
则称Ａ1，Ａ2，…，Ａn为样本空间的一个划分。 例如上例中的 Ａ1＝从甲盒取出２个白球， Ａ2＝从甲盒取出２个红球， Ａ3＝从甲盒取出1个白球1个红球， 就构成了一个完备事件组。
解 设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来， A4＝他乘飞机来，B＝他迟到。 易见：A1, A2, A3, A4构成一个完备事件组，由全概率公式得
P ( B ) P ( A i) P ( B |A i)
i 1
4
=0.3×0.25＋ 0.２×0.3＋ 0.１×0.1＋ 0.4×0
P(A) P(B (A| B i )P i)
i1
4
9 5 . 5 % 0 . 5 2 % 0 . 1 5 1 . 5 % 0 . 1 1 % 0 . 0 5 0 . 4 8 2 5 .
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
(完整word版)全概率公式与贝叶斯公式解题归纳.doc
全概率公式与贝叶斯公式解题归纳来源：文都教育在数学一、数学三的概率论与数理统计部分，需要用到全概率公式及其贝叶斯公式来解题. 这类题目首先要区分清楚是“由因导果” ，还是“由果索因” ，因为全概率公式是计算由若干“原因” 引起的复杂事件概率的公式，而贝叶斯公式是用来计算复杂事件已发生的条件下，某一“原因”发生的条件概率 .它们的定义如下：全概率公式：设 B1 , B2 , , B n为样本空间的一个划分，如果P( B i)0,i1,2,L , n ，则对任一事件A有nP( A)P(B i )P( A | B i ) .i 1贝叶斯公式：设 B1 ,B2 , ,B n是样本空间的一个划分，则P(B i | A) n P(B i )P( A | B i ), i 1,2, , n. P( B j ) P( A | B j )j 1例 1 从数字 1, 2, 3, 4 中任取一个数，记为X，再从 1，， X 中任取一个数，记为Y，则 P(Y 2) .解由离散型随机变量的概率分布有：P(X 1) P(X 2) P(X 3) P(X 4) 1 4.由题意，得P(Y 2X 1) 0,P(Y 2X 2) 12,P(Y 2 X 3) 1 3, P(Y 2 X 4) 1 4 ,则根据全概率公式得到P(Y 2) P( X 1)P(Y 2 X 1) P( X 2)P(Y 2 X2) P( X 3)P(Y 2 X3) P( X 4)P(Y 2 X4)1 1 1 1 134(03).2 4 48例 2 12 件产品中有 4 件次品， 在先取 1 件的情况下， 任取 2 件产品皆为正品， 求先取1 件为次品的概率 .解 令 A={先取的 1 件为次品 }，则 A, A 为完备事件组，P( A)1 ,P( A)23 , 令 B={后3取的 2 件皆为正品 }，则 P( B A)C 8228, P(B A) C 7221,C 11255C 11255由贝叶斯公式得P( AB)P( A)P(B A)1 28 23 55 .P(A B)P( A)P(B A) P(A)P(B A)1 282 21 5P(B)3 553 55若随机试验可以看成分两个阶段进行， 且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知， 那么：（ 1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式； （ 2）如果第二个阶段的某一个结果是已知的， 要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率， 一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率. 熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.。
§16全概率公式与贝叶斯公式_图文
29 P B1 P Ai P B1 Ai . 90 i 1
21
3
(2)问题归结为求 P B1 B2 . 由条件概率的 定义可得
PB B . (1.7) PB PB B PB B 下面我们先求 P B B . 由条件概率的本来
是 B 发生的所 有的不同的原 因
A1 A2
An
B
全概率公式 解决由因索 果问题
原因事件
结果事件
每个原因都可能导致B发生，故B发生的概率 是各原因引起B发生的概率的总和，“全概率公式” 之“全”取为此意.
4
自身努力 A1
原
学习环境良好 A2
学生成 绩好 B
因
教师教学水平高An
P ( B ) P ( Ai ) P B Ai .
2
1 2 1 3 1 2
6 5 4 6 2 5 2 6 5 2 1 6 3 . 8 7 6 8 7 6 8 7 6 8 7 6 4
9
小结例1.22和例1.23的结果：
3 P A1 P A2 P A3 . 4 ◆从件数一定的正品和次品组成一批产品
P ( B ) P ( Ai ) P B Ai .
i 1
n
A1
A2
A3 B A4 A5
A6 Ω A7
A8
2
证
n n B B B Ai Ai B i 1 i 1
分配律 A1B, A2 B,, An B 两 两 不 相 容 ，
同理可得，
全概率公式与贝叶斯公式
例一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的５０％，另两家工厂的产品各占２５％。
已知甲、乙、丙各厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7，试求随意取出一只晶体管是合格品的概率（此货合格率）。
例连续做某项试验，每次试验只有成功和失败两种结果.已知当第k次成功时，第k+1次成功的概率为1/2 ，当第k次试验失败时，第k+1次成功的概率为3/4，如果第一次试验成功和失败的概率均为1/2，求第n次试验成功的概率.
例两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5:4。
求（１）任意地从这些零件中取出一个合格品的概率；
（２）若已知取出的一个零件为合格品，那么，它是由哪一台机床生产的可能性较大。
例（市场问题）某公司计划将一种无污染、无副作用的净化设备投放市场。
公司市场部事先估计该产品畅销的概率是0.5，一般为0.3，滞销为0.2。
为测试销路，公司决定进行试销，并设定了以下标准:若产品畅销，则在试销期内卖出7000～10000台产品的概率是0.6;若产品的销路一般，则在产品的试销期内卖出7000～10000台产品的概率是0.9;若产品滞销，则在试销期间能卖出7000～10000台产品的概率是0.2。
若在试销期满后，实际卖出的产品是9000台。
求该产品
（1）为销路一般的概率。
（2）为畅销品的概率。
（3）畅销或销路一般的概率。
全概率公式与贝叶斯公式
1
2. 全概率公式
定义 设为试验E的样本空间, A为E的事件, B1, B2 , , Bn为的一个划分,且P(Bi ) 0 (i 1, 2, , n),则
P( A) P( A | B1)P(B1) P( A | B2 )P(B2 ) P( A | Bn )P(Bn )
n
P(B)P( A | Bi ) i 1
2021/3/10
授课：XXX
15
先验概率与后验概率 上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫 做先验概率.
而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97 叫做后验概率.
2021/3/10
授课：XXX
16
例3 根据以往的临床记录,某种诊断肝癌的试
验具有如下的效果 : 若以 A 表示事件"试验反应 为阳性" , 以 C 表示事件"被诊断者患有癌症",则 有 P( A C) 0.95, P( A C) 0.90.现在对自然人群
贝叶斯公式
P ( Bi
A)
P(Bi )P( A Bi )
n
, i 1, 2,
, n.
P(Bj )P(A Bj )
j 1
2021/3/10
授课：XXX
21
2.条件概率 P(B A) 与积事件概率 P( AB) 的区别.
P(AB) 表示在样本空间 中,计算 AB发生
的概率,而 P(B A) 表示在缩小的样本空间 A 中,
P(Bn )P( A | Bn )
图示
B2
A
B1
B3
B Bn1
n
化整为零 各个击破
2021/3/10
授课：XXX
3
说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个
第4讲 全概率与贝叶斯公式
例1.4.2 假设在某时期内影响股票价格变化的因素 只有银行存折利率的变化。经分析，该时期内利率下 调的概率为60％，利率不变的概率为40％ 。根据经 验，在利率下调时某支股票上涨的概率为80％，在利 率不变时，这支股票上涨的概率为40％。求这支股票 上涨的概率。
解 设B1 , B2 分别表示“利率下调”和“利率不变”
例1.4.1
设10 件产品中有 3 件不合格品，从中 不放回地取两次，每次一件，求取出 的第二件为不合格品的概率。
解： 设 A = “第一次取得不合格品”， B = “第二次取得不合格品”. 由全概率公式得：
P( B) P( A) P( B | A) P( A) P( B | A)
= (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9) = 3/10
设试验E的样本空间为, A为E的事件， B1 , B2 , Bn 是的一个划分， 且P( A) 0, P( Bi ) 0, (i 1,2, , n), 则
P( Bi A) P( A Bi ) P( Bi )
P( A B ) P( B )
j 1 j j
n
( i 1, 2, , n )
3) Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概 公 式”; 4) 称P(Bj) 为“先验概率”.
例1.4.3 某商品由三个厂家供应，其供应量为：甲 厂家是乙厂家的2倍；乙、丙两厂相等。各厂产品 的次品率为2%, 2%, 4%. 若从市场上随机抽取一件 此种商品，发现是次品，求它是甲厂生产的概率? 解：用1、2、3分别记甲、乙、丙厂，设 Ai =“取到第i 个工厂的产品”，B=“取到次品”， 由题意得: P(A1)=0.5, P(A2)=P(A3)=0.25； P(B|A1)= P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.04. 由Bayes公式得: P( A1 | B ) 3P( A1 ) P( B | A1 ) = 0.4 P( Ai ) P( B | Ai )
全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式1. 完备事件组(或样本空间Ω的划分)n 个事件满足：12B ,B ,,B nB B ,,1,2,,i j i j n=Φ= (1) 两两互不相容.(2) 和事件为必然事件.1Bnkk ==Ω∑ΩB 2B 1B n…2. 全概率公式则对任一事件A ，有1()P(B )(/B )n k k k P A P A ==∑设为完备事件组，且12B ,B ,,B n P(B )0,1,2,,k k n>= ①取合适的完备事件组，从导致该事件发生的各种条件、原因着手;②各B k 的概率及有关条件概率易于计算.类比集合分类计数思想，可得到一种计算复杂事件概率的方法.运用公式的关键全概率公式与贝叶斯公式证明：由完备事件组的性质可知1B B ,,1,2,,Bi j nkk i j n==Φ==Ω∑ 11B B ,(B )(B )nnk k i j k k A A A A A A ===Ω===Φ∑∑11()(B )(B )nnk k k k P A P A P A ====∑∑1(B )(/B )nk k k P P A ==∑（由乘法公式）()i P B A =1()()()(),1,2,,ii nkkk P B P A B PB P A i n B ==∑3. 贝叶斯公式设为完备事件组，则12B ,B ,,B n 利用条件概率公式与全概率公式可得到贝叶斯公式.P(A)>0,P(B )0,1,2,,k k n>= 其中：全概率公式与贝叶斯公式()()i P AB P A 已知结果A ，分析导致出现此结果的第i 个原因B i 发生的概率.例1. 由医学统计数据分析可知，人群中患由某种病菌引起的疾病占总人数的0.5%．一种血液化验以95%的概率将患有此疾病的人检查出呈阳性，但也以1% 的概率误将不患此疾病的人检验出呈阳性．现设某人检查出呈阳性反应，问他患有此疾病的概率是多少？解：A”检查结果为阳性”B1“被检查者患有此病”，B2“被检查者没患此病”显然，B1，B2为完备事件组.可知在查为阳性的情况下，确实患病的概率并不是很大！由题意知，005.0)(1=B P ，995.0)(2=B P 1()0.95P A B =，2()0.01.P A B =由贝叶斯公式可得112110.()()()(0050.95()0.323.0.0050.950.90)95.01iii P P B P A B P B A B B A P =⨯==≈⨯+⨯∑例2 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应地为0.8，0.1和0.1．一顾客欲买一箱玻璃杯，在购买时，随机地查看4只，若无残次品，则买下，否则不买．试求（1）顾客买下的概率；（2）在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率.解：A”顾客买下”, Bi”买下的这箱中有i只残次品”,i=0,1,2.显然，B0，B1，B2为完备事件组.,8.0)(0=B P ,1.0)(1=B P ;1.0)(2=B P ,1)(0=B A P ,54C C )(4204191==B A P .1912C C )(4204182==B A P 2412()0.810.10.10.94519()()i i i P P A A B P B ===⨯+⨯⨯≈∑＋（1）由全概率公式（2）由贝叶斯公式000()()()0.8()0.850.94P A B P B P P B A A =≈≈①全概率公式：从产生结果A的所有可能原因、条件出发，分析在各特定原因、条件Bk 下结果出现的可能性P(A/Bk)，并由此得到结果A发生的可能性P(A) .②贝叶斯公式：当观察到一个结果A后，去分析导致该结果的各种原因、条件Bk 的可能性P(Bk/A)．③贝叶斯方法在经济管理、投资决策、医学、人工智能等许多方面有着重要的应用价值.4. 贝叶斯方法包含的重要思想练习1) 市场上出售的灯泡来自甲乙两厂.甲乙两厂的市场份额分别为70%，30%，灯泡的合格率分别是90%，85%.求从市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率.2) 有位朋友自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的可能性分别是：0.3，0.2，0.1，0.4。
4-全概与贝叶斯公式
P ( B) P ( A | B) P ( B | A) 0.38% P ( B) P ( A | B) P ( B) P ( A | B)
作业
习题1(A) P20• 24,26,29
练习 某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机
床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分
别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在 一起，求任取一个是次品的概率。
解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品 来自乙台机床”，A3表示“产品来自丙台机床”， B表 示“取到次品”。
P B P Ai P B | Ai
i 1
n
例18 某村麦种放在甲,乙,丙三个仓库保管，保管量分
别点总量的40%,35%,25%，发芽率分别为0.95,0.92,
0.90,现将三个仓库的麦种全部混合，求其发芽率。 解：设A1={甲仓库保管的麦种}, A2 ={乙仓库保管的麦 种}, A3 ={丙仓库保管的麦种},B={发芽的麦种}， P(A1)=0.4,P(A2)=0.35,P(A3 )=0.25, P(B|A1)=0.95, P(B|A2)=0.92, P(B| A3 )=0.90, P(B)= P(A1) P(B|A1)+ P(A2) P(B|A2)+ P(A3) P(B|A3) =0.927
例21 用甲胎蛋白法普查某重病，令B={被检验者患病}，
A={甲胎蛋白检验结果为阳性}，则 B ={被检验者未患病}
A ={甲胎蛋白检验结果为阴性}，由过去的资料知 P ( A | B ) 0.95, P ( A | B ) 0.90.
又知某地居民此病的患病率为P(B)=0.4%，现查出一批甲 胎蛋白检验结果为阳性的人，求他们患病的概率P(B|A)。
全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式与贝叶斯公式一、全概率公式假设A是一个样本空间Ω的一个划分，即A={A1,A2,...,An}，其中Ai∩Aj=∅（i≠j），Ω=A1∪A2∪...∪An，则对于任意事件B，有：P(B)=P(B，A1)P(A1)+P(B，A2)P(A2)+...+P(B，An)P(An)公式的含义是：事件B的概率等于事件B在不同条件下发生的概率的加权平均。
其中，P(B，Ai)表示给定条件Ai下事件B发生的概率，P(Ai)表示事件Ai发生的概率。
例如，假设有一个盒子中有三个红色球和两个蓝色球。
每次从盒子中取一个球，取出后不放回。
现在定义事件A1为取出红色球，事件A2为取出蓝色球。
已知在事件A1发生的情况下，取出红色球的概率为2/3，在事件A2发生的情况下，取出红色球的概率为1/2、求取出红色球的概率。
解：根据全概率公式，有P(A1)=P(A1，A1)P(A1)+P(A1，A2)P(A2)=(2/3)(3/5)+(1/2)(2/5)=1/5+1/5=2/5因此，取出红色球的概率为2/5贝叶斯公式（Bayes' theorem）是概率论中的另一个基本公式，用于通过条件概率反推原事件的概率。
假设A和B是两个事件，且P(B)>0，则有：P(A，B)=P(B，A)P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
贝叶斯公式常用于统计推断和机器学习领域，特别是在先验概率和后验概率的计算中应用广泛。
例如，假设城市患有其中一种疾病的概率为0.001，其中一种检测方法的准确率为0.99、现在人被诊断为患有这种疾病，求这个人真正患有该疾病的概率。
解：设事件A为这个人真正患有该疾病，事件B为这个人被诊断为患有该疾病。
已知P(A)=0.001，P(B，A)=0.99，求P(A，B)。
根据贝叶斯公式，有P(A，B)=P(B，A)P(A)/P(B)=(0.99)(0.001)/[P(B，A)P(A)+P(B，A')P(A')]=(0.99)(0.001)/[(0.99)(0.001)+(0.01)(0.999)]≈0.0909因此，这个人真正患有该疾病的概率约为0.0909综上所述，全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的两个基本公式，用于计算复合事件的概率和根据条件概率反推原事件的概率。
全概率公式与贝叶斯公式
P(A|B0)1
P(A|B1)4/5 P(A|B2)12/19
得P( B0 A) 0.851
k 0
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结束
二、贝叶斯公式
定理2 设 为试验 E 的样本空间，B1 , B2 , Bn
P(Bi ) 0, i 1,2, , n ;
为 的一个划分，且
则对任意事件A （P(A)>0)，
P( Bi A)
P( Bi ) P( A Bi )
P( B ) P( A B )
i 1 i i
n
(i 1, 2,, n)
则有
P A P Bk P A Bk .
k 1
n
AB1
AB2
…...
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P( A) P( ABi ) P( Bi ) P( A ｜Bi )
i 1 i 1
n
n
注 （1)A的 “全”部概率P(A)被分解成了许多 部分概率P(ABi）（i=1,2，…，n）之和.
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[例5] 设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率 为0.95，而未患肺结核病的人通过胸透被误诊为有病 的概率为0.002，据统计吸烟者患肺结核的概率为0.01. 若从该城市烟民中随机地选出一人，通过胸透被诊断 为肺结核，求这个人确实患有肺结核的概率。
解： 设A表示“胸透诊断为肺结核” ，C表示“检查者患有肺结核” 由题意得：
概率论与数理统计 第5节 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式
例2 假设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生
的报名报,其中女生的报名表分别 是3份、7份和5份。现随机地
取出一个地区的报名表 ,并从中先后随机取出两 份, (1)求先抽
到的一份是女生表的概 率;(2)已知后抽到的一份是男 生表,求先
到的一份是女生表的概率.
的情况。我们不去计算基于知道发生机制的事件
的概率，而是基于观察到的现象，想得到和了解
不知道发生机制的事件的发生的可能性。
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• 我们需要了解在一些情况下基于观测现象背后的关 联性。比如医学（如果检测为阳性，患病的可能有 多大？）、比如社会科学（基于历史数据，最好的 解释通货膨胀与失业率之间关系的模型是什么？） 、比如日常生活（如果女孩同意和我去另外一家酒 吧，他对我有意思的可能性有多大？）。 贝叶斯定理提供了一个形式化的工具，让我们 能回答这些问题。当一种事情已经发生的条件下， 定理让我们能计算这样的概率，当特定事件发生时 ，鉴于观测结果，基于我们把观测结果纳入特定事 件看是否发生，这样能同时得到先前事件在特定事 件下发生的可能性。 贝叶斯定理是一个分析信息缘由的强大工具， 它还是整个统计学思想的底层框架。
到的一份是女生表的概 率;(2)已知后抽到的一份是男 生表,求先 到的一份是女生表的概率.
解 (1)由全概率公式有 :
P( A1) P(B1) P(A1 B1) P(B2) P(A1 B2) P(B3) P(A1 B3)
1 3 1 7 11 3 10 3 15 3 5
二、贝叶斯公式
例3 一工厂有甲乙丙三车间 生产同一种产品 , 每个车间的产量分别为 25%,35%,40 %, 而产品的次品率分别 为5%,4%,2%. 现将这些产品混在一起 ,并随机抽取一个 ,若抽 到的一件是次品 ,问这件次品是甲乙丙车 间的概率各是多少 ?
全概率公式和贝叶斯公式
显然A0，AP1，( AA0 )2是 0完.8备, P事( A件1 ) 组 0．.1, P( A2 ) 0.1
P由(题B A意0 )知
C240 C240
1,
P
(
B
A1
)
C149 C240
4 5
,
P(
B
A2
)
C148 C240
12 19
由 全P概(B率) 公式得
P( A0)P(B A0 ) P( A1)P(B A1) P( A2)P(B A2) 0.94
C132
220
P(B1)
C91C
2
3
C132
27 220
[从9新3旧中取3旧] [从9新3旧中取1新2旧]
P(B2 )
C92C
1
3
C132
108 220
[从9新3旧中取2新1旧]
P(B3)
C93 C132
84 220
[从9新3旧中取3新]
注意：第二次取球时12只球的新旧组成是随第一
次取出的3球组成的变化而变化,易得:
A2
A1
A3
An1 An
证明 B B B ( A1 A2 An )
BA1 BA2 BAn.
由 Ai Aj (BAi )( BAj )
P(B) P(BA1) P(BA2 ) P(BAn ) P(B) P(A1)P(B | A1) P(A2 )P(B | A2 )
1.5.2 贝叶斯公式
定理1.3 设试验E的样本空间为 ，B为E的事件，
A1，A2，…，An为完备事件组，且P(B) > 0， P(Ai) > 0，i = 1，2，…，n，则
PP(( AAii BB))
第4节 全概率公式与贝叶斯公式
18
贝叶斯公式在商业决策及其他企业管理学科中也 有重要应用.有人依据贝叶斯公式的思想发展了一整 套统计推断方法,叫作“贝叶斯统计”. 可见贝叶斯 公式的影响.
19
例6 10个乒乓球有7个新球3个旧球.第一次比赛时随 机取出2个，用过后放回. 现在第二次比赛 又取出 2 个，问第二次取到几个新球的概率最大？
由全概率公式, P(B) P( A)P(B | A) P( A)P(B | A)
a a1 b a a . ab ab1 ab ab1 ab
可以想见，第三次、第四次…摸出白球的概率仍为
a ，这体现了抽签好坏与先后次序无关的公平性. ab
7
例3 袋中有a个白球b个黑球，分别以A,B记第一次、 第二次摸得白球，(1)采用有放回摸球；(2)采用无 放回摸球，试分别判断A,B的独立性.
学家，1702年出生于伦敦，做过
神甫. 1742年成为英国皇家学会
会员. 1763年4月7日逝世. 贝叶斯
在数学方面主要研究概率论. 他
对统计推理的主要贡献是使用了
“逆概率”这个概念, 在1763年 提出了著名的贝叶斯公式.
12
例4 已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、 50％, 次品率分别为3％、3％、1％.如果买了一件商 品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分 别为多少?
解 设A1、A2 、A3分别表示买到一件甲、乙、丙的产品； B表示买到一件次品， 显然A1、A2 、A3 构成一个完备 事件组， 由题意有
P( A1 ) 0.3 , P( A2 ) 0.2 , P( A3 ) 0.5 ,
P(B | A1 ) 0.03 , P(B | A2 ) 0.03 , P(B | A3 ) 0.01 ,
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全概率公式与贝叶斯公式解题归纳
来源：文都教育
在数学一、数学三的概率论与数理统计部分，需要用到全概率公式及其贝叶斯公式来解
题. 这类题目首先要区分清楚是“由因导果” ，还是“由果索因” ，因为全概率公式是计算由若
干“原因” 引起的复杂事件概率的公式，而贝叶斯公式是用来计算复杂事件已发生的条件下，某
一“原因”发生的条件概率 .
它们的定义如下：
全概率公式：设 B1 , B2 , , B n为样本空间的一个划分，如果P( B i)0,
i1,2,L , n ，则对任一事件A有
n
P( A)P(B i )P( A | B i ) .
i 1
贝叶斯公式：设 B1 ,B2 , ,B n是样本空间的一个划分，则
P(B i | A) n P(B i )P( A | B i )
, i 1,2, , n. P( B j ) P( A | B j )
j 1
例 1 从数字 1, 2, 3, 4 中任取一个数，记为X，再从 1，， X 中任取一个数，记为Y，则 P(Y 2) .
解由离散型随机变量的概率分布有：
P(X 1) P(X 2) P(X 3) P(X 4) 1 4.
由题意，得
P(Y 2X 1) 0,P(Y 2X 2) 12,
P(Y 2 X 3) 1 3, P(Y 2 X 4) 1 4 ,则根据全概率公式得到
P(Y 2) P( X 1)P(Y 2 X 1) P( X 2)P(Y 2 X
2) P( X 3)P(Y 2 X
3) P( X 4)P(Y 2 X
4)
1 1 1 1 13
4
(0
3
)
.
2 4 48
例 2 12 件产品中有 4 件次品， 在先取 1 件的情况下， 任取 2 件产品皆为正品， 求先取
1 件为次品的概率 .
解 令 A={先取的 1 件为次品 }，则 A, A 为完备事件组，
P( A)
1 ,P( A)
2
3 , 令 B={后
3
取的 2 件皆为正品 }，则 P( B A)
C 8
2
28
, P(B A) C 72
21,
C 112
55
C 112
55
由贝叶斯公式得
P( AB)
P( A)P(B A)
1 28 2
3 55 .
P(A B)
P( A)P(B A) P(A)P(B A)
1 28
2 21 5
P(B)
3 55
3 55
若随机试验可以看成分两个阶段进行， 且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知， 那
么：（ 1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式； （ 2）如果第二个
阶段的某一个结果是已知的， 要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率， 一般用
贝叶斯公式，类似于求条件概率
. 熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方
法进行计算，保证解题的正确高效.。