高中数学必修二《圆的标准方程》优秀教学设计

4.1.1圆的标准方程教学设计
1．内容和内容解析：
内容：圆的标准方程。

内容解析：解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想方法。

其中圆的标准方程的教学目标主要是：一是经历通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，在这个过程中进一步体会坐标法研究几何问题的思想和步骤；二是用两种方法求解圆的方程。

圆是解析几何中一类重要的曲线，在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，处于直线与方程和点，直线与圆的关系的结合点和交汇点上。

学好圆的方程可以为圆锥曲线的学习奠定基础，有利于学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数法解决几何问题的能力。

也是培养学生运用能力和运算能力的重要素材。

从知识的结构和内容上都起到相当重要的作用。

2．教学目标：
知识与技能
（1）在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；
（2）能根据圆心坐标、半径及其特殊情况熟练地写出圆的标准方程；
（3）会根据条件选择并求出圆的方程；
过程与方法
（1）通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，让学生进一步体会坐标法在研究几何问题的思想和步骤；
（2）通过类比直线方程的学习，发现并理解圆的方程与直线方程学习中相同的知识结构，进一步体会类比的思想；
（3）通过求解圆标准的方程，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想；
情感态度与价值观
通过与直线方程的对比，体会类比思想的应用，让学生学会用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互联系与转化；
3．教学重难点：
重点：（1）类比直线方程的学习，掌握圆的标准方程；
难点：（1）圆的代数方程的建立过程；
（2）圆的标准方程的灵活应用；
落实的途径：
（1）通过表格，建立直线与方程，圆与方程的结构图，在复习旧知的同时帮助学生经历坐标法建立圆的代数方程的如下过程：首先将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

发现知识之间的共同的结构特征，体会学习解析几何的方法；
（2）通过引导学生画表格整理知识的方法以及特殊研究，落实对核心知识的理解和掌握；
（3）通过变式训练的方法，提升学生掌握求解圆的方程的方法。

4．教学问题诊断分析：
上一章，学生已经学习了直线与方程。

知道在直角坐标系中，直线可以用方程来表示，通过方程，可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题，并且对直线方程的学习结构及数形结合的思想有了初步的体会。

本章将在上一章的基础上，在直角坐标系中建立圆的方程。

让学生自己去发现它们之间共同知识的结构（横向类比）是一大难点。

如何在练习中让学生体会数形结合的思想也是我们考虑的重点。

为了帮助学生克服这些学习困难，突破教学难点，教师在教学中要注意以下几点： 第一，对例题1中三个参数r b a ,,的研究（代数问题），再把这些代数特征“翻译”成几何问题（圆心在坐标轴上，与坐标轴相切问题），让学生体会运用代数方法解决几何问题的思想，渗透数形结合的思想；
第二，数形结合的思想应该贯穿在整个平面解析几何的教学过程中。

对于例题2的教学，在求出圆的方程的同时，还应该让学生画出这个三角形，并画出这个三角形的外接圆，这样做的目的是使得数形结合思想落到实处；
第三，借助表格的整理与变式的学习，让学生感受知识的联系性，体会类比的思想，去发现知识间的共同结构。

5．教学策略选择与设计：
布鲁纳指出：“教学与其说使学生掌握学科的基本事实和技巧，不如说是教授和学习结构。

”美国著名教育家、结构教学理论的代表人物杰罗姆·布鲁姆说：“获得的知识，如果没有圆满的结构把它联在一起，那是一种多半会遗忘的知识。

”由于直线的方程、圆的方程在知识的学习上具有共同的结构（几何问题代数化，寻找几何图形满足的代数关系得到方程，再把代数关系“翻译”成几何问题），存在密切的联系性。

居于以上考虑，我们采用结构教学法。

6．教学过程设计：
环节一：运用结构：一个图形（圆）的特征研究——类比直线的研究
设计意图：表格式的复习回顾，旨在让学生复习学习直线方程的一般过程，而圆的方程的学习是直线方程学习的迁移与横向的类比；
特殊方程的研究有助于帮助学生理解并掌握圆的标准方程，再把这些代数关系“翻译”成几何特征，渗透数形结合的思想。

环节二：典例剖析
特殊方程研究：
（1）0=a ，半径长等于r 的圆的方程： 图形特征： （2）0=b ，半径长等于r 的圆的方程： 图形特征： （3）0=r ，方程： 图形特征：
（4）r a =，半径长等于r 的圆的方程： 图形特征： （5）r b =，半径长等于r 的圆的方程： 图形特征： （6）r b a ==，半径长等于r 的圆的方程： 图形特征： 设计意图：特殊方程的研究有助于帮助学生理解并掌握圆的标准方程，再把这些代数关系“翻译”成几何特征，渗透数形结合的思想。

例1：写出圆心为A （2，– 3），半径长等于5的圆的方程，并判断
点
12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

问题：点00(,)M x y 在圆2
2
2
()()x a y b r -+-=内的条件是什么？在圆外呢？
设计意图：在根据曲线与方程的意义可知，坐标满足方程的点在曲线上，坐标不满足方程的点不在曲线上，教科书配置了例题1的教学，这样加深对圆的标准方程的理解。

例2：△ABC 的三个顶点的坐标是A （5，1），B （7，– 3），C （2，– 8）求它的外接圆的方程，并画出图形。

师生共同分析：从圆的标准方程2
2
2
()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）
设计意图：例2强调了待定系数法与几何性质法在求圆的方程中的应用，画出图形，把数形结合的思想落到实处。

环节三：知识梳理
1．学生尝试整理知识点，教师与学生一起讨论形成如上的表格（由教师提供，把框架展示给学生）：
设计意图：1.学生对知识的复习与整理的全程参与的过程有利于学生形成综合性的学习能力，这个过程非但不能由教师来替代，必须由学生自己，而且也只能由学生自己来完成。

2．小组讨论
在学生独立整理的基础上，可以让学生在小组中交流，交流的形式可采取或者一个学生做主发言，其他学生补充和提问；或者每个学生各介绍一个知识点，小组中交流时最后要有记录。

教师巡视各小组交流的情况，捕捉交流过程中的信息与问题。

3．全班交流
将小组交流的情况汇总到全班，同样以其中一个小组为主做主发言，其他小组补充质疑。

在这里，教师同样需要和学生互动，关键处的回应反馈相当重要，如怎样寻找知识之间的差异与联系，特点的表述是否确切，以及必要的点评与提炼等。

小组交流与全班讨论是非常重要的两个环节，可以集集体的智慧完成有一定难度的归纳整理，可以充分调动学生学习的积极性与主动性，学生在参与的过程中体会到学习的快乐，更可以培养学生的合作探究的能力。

变式：已知圆心为C 的圆经过点A （1，1）和B （2，– 2），且圆心在直线:10l x y -+=上，求圆心为C 的圆的方程。

师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，
因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。

（教师板书解题过程。

）
设计意图：变式的教学旨在让学生体会用几何性质法求圆的方程，与例题2的待定系数法进行对比，体会几何性质在求解圆的方程中的应用。

环节四：课堂小结与作业 课堂小结：
请同学们讲一下这节课的收获：
1．梳理知识结构图的方法及感悟----特别注意归纳与类比； 2．典型例题的解决与学习——感受到的解题直观经验与方法； 布置作业： 1导学案；（必做）
2 课本P123页习题第3题。

（选做）
3 思考题： 通过今天的学习，你能自己能总结出求圆的方程有哪些方法的吗？这些方法有什么共同的步骤吗？
设计意图：针对学生素质的差异进行分层进行训练，能使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的。

有利于使学生把握本节所学的重要内容，让学生总结，可以检查学生的收获情况；还可以更进一步培养学生的归纳总结能力。

6．板书设计
标准方程 方程 圆心 半径
优点
圆的方程
课件
7.教学流程图
8.教学设计说明
（1）学生在《直线的方程》一章中已经经历了研究解析几何问题的基本套路，此处是运用结构阶段，主要重心在于引导学生类比直线的研究，得出圆的相关性质，关键是让学生明确研究的基本套路，并可拓展到圆锥曲线的研究中。

（2）在根据曲线与方程的意义可知，坐标满足方程的点在曲线上，坐标不满足方程的点不在曲线上，教科书配置了例题1的教学，这样加深对圆的标准方程的理解；
有关“点与圆的位置关系”的应用，本节课不宜展开（此处仅作为知识的拓展而罗列出来），理由为：其一，若于该课时展开，则显然时间是不够的，本节课的重点是圆的方程（尤其是求圆的方程，即例2），而不是点与圆的位置关系；其二，点与圆位置关系的应用中有些知识涉及直线与圆的位置关系及应用，因此该内容于圆与圆的位置关系中加以研究会更加适合。

（3）例2的研讨是本节的重点，应留有足够的时间来讲授，更应留足时间让学生独立探索，通过表格比较两种解法，更应引导学生观察它们的联系。

变式作为例2的延伸，可以作为练习让学生来完成，重要的是要指导学生模仿例2的过程，若能应用表格解决效果会更好（此得也是运用结构的典型例子）。

9.教学效果追忆。