2020年山东省潍坊市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)

2020年山东省潍坊市高考数学二模试卷（一）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x|-2≤x≤3}，函数f（x）=ln（1-x）的定义域为集合B，则A∩B=（）
A. [-2，1]
B. [-2，1）
C. [1，3]
D. （1，3]
2.若复数z1，z2，在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，则=（）
A. i
B. -i
C. 1
D. -1
3.已知等差数列{a n}的前5项和为15，a6=6，则a2019=（）
A. 2017
B. 2018
C. 2019
D. 2020
4.已知命题p：“∀x∈R，x2＞0”，则￢p是（）
A. ∀x∈R，x2≤0
B. ∃x∈R，x2＞0
C. ∃x∈R，x2＜0
D. ∃x∈R，x2≤0
5.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的，而这七块板可拼成许
多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以淮《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了．国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾（阴影部分）的概率为（）
A. B. C. D.
6.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为l的正方形，正视图与
侧视图都是边长为1的正三角形，则此几何体的体积是（）
A. B. C. D.
7.如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（）
A. y=2x-x2-1
B. y=2x sinx
C. D.
8.函数y=sin（2x+）的图象可由函数y=sin2x-cos2x的图象（）
A. 向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标
不变得到
B. 向右平穆个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标
不变得到
C. 向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的横坐标不变
得到
D. 向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的横坐标不变
得到
9.在边长为1的等边三角形ABC中，点P是边AB上一点，且．BP=2PA，则=
（）
A. B. C. D. 1
10.一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为
（）
A. 6π
B. 12π
C. 32π
D. 48π
11.已知P为双曲线C：（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2为双曲线C的左、右
焦点，若|PF1|=|F1F2|，且直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
12.已知函数f（x）=2x-1，g（x）=（a∈R），若对任意x1∈[1，+∞），
总存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）
A. （-∞，）
B. （，+∞）
C. （-∞，）∪[1，2]
D. （1，]∪[，2]
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.焦点在x轴上，短轴长等于16，离心率等于的椭圆的标准方程为______．
14.若x，y满足约束条件，则z=x-2y的最大值为______．
15.设数列{a n}满足a1•2a2•3a3•…•na n=2n，则a n=______．
16.如图，边长为1的正方形ABCD，其中边DA在x轴上，点D与坐标原点重合，若
正方形沿x轴正向滚动，即先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转，设顶点C（x，y）滚动时形成的曲线为y=f（x），则f（2019）=______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.如图，在平面四边形ABCD中，
．
（1）求cos∠BAC；
（2）若∠D=45o，∠BAD=90°，求CD．
18.如图，四棱锥M—ABCD中，MB⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AB＝MB，
E、F分别为MA、MC的中点．
(1)求证：平面BEF⊥平面MAD；
(2)若求三棱锥E－ABF的体积．
19.某公司甲、乙两个班组分别试生产同一种规格的产品，已知此种产品的质量指标检
测分数不小于70时，该产品为合格品，否则为次品，现随机抽取两个班组生产的此种产品各100件进行检测，其结果如表：
质量指标检测分数[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，IOO]甲班组生产的产品件
71840296数
乙班组生产的产品件
81240328数
（1）根据表中数据，估计甲、乙两个班组生产该种产品各自的不合格率；
（2）根据以上数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该种产品的质量与生产产品的班组有关？
甲班组乙班组合计
合格品
次品
合计
（3）若按合格与不合格的比例，从甲班组生产的产品中抽取4件产品，从乙班组生产的产品中抽取5件产品，记事件A：从上面4件甲班组生产的产品中随机抽取2件，且都是合格品；事件B：从上面5件乙班组生产的产品中随机抽取2件，一件是合格品，一件是次品，试估计这两个事件哪一种情况发生的可能性大．
附：
P（K2≥k）0.0500.0100.001
k 3.841 6.63510.828
20.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线：y=kx+b（k≠0）交抛物线C于A、B两点，
|AF|+|BF|=4，M（0，3）．
（1）若AB的中点为T，直线MT的斜率为k'，证明k⋅k'为定值；
（2）求△ABM面积的最大值．
21.已知函数f（x）=xe x-a ln x（无理数e=2.718…）．
（1）若f（x）在（0，1）单调递减，求实数a的取值范围：
（2）当a=-1时，设g（x）=x（f（x）-xe x）-x3+x2-b，若函数g（x）存在零点，求实数b的最大值．
22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以
坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为，直线l的极坐标方程为．
（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；
（2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值．
23.已知函数f（x）=|ax-2|，不等式f（x）≤4的解集为{x|-2≤x≤6}．
（1）求实数a的值；
（2）设g（x）=f（x）+f（x+3），若存在x∈R，使g（x）-tx≤2成立，求实数t的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：∵B={x|x＜1}；
∴A∩B=[-2，1）．
故选：B．
可求出集合B，然后进行交集的运算即可．
考查描述法、区间的定义，函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域，交集的运算．2.答案：B
解析：【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
由已知求得z2，把z1，z2代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：∵z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，
∴z2=-1+i，
∴==．
故选：B．
3.答案：C
解析：解：等差数列{a n}的前5项和为15，即15===5a3，所以a3=3，又
因为a6=6，所以a6-a3=3d=3，所以d=1，
所以a2019=a3+（2019-3）×d=3+2016=2019．
故选：C．
由前5项和为15，可以得到a3=3，又知道a6=6，故可求a1和d，进而得到a2019．
本题考查了等差数列的前n项和公式，等差数列的通项公式，属于基础题．
4.答案：D
解析：解：命题：∀x∈R，x2＞0的否定是：
∃x∈R，x2≤0．
故选：D．
欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．
这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．
5.答案：C
解析：解：阴影部分对应的图形为6平行四边形，
设正方形的边长为4，则平行四边形的底面长为2，平行四边形的高为1，
则阴影部分的面积S=2×1=2，
则大正方形的面积S=4×4=16，
则阴影部分的概率P==，
故选：C．
根据七巧板对应图形的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．
本题主要考查几何概型的概率的计算，设出对应边长求出对应面积是解决本题的关键．6.答案：D
解析：解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是底面边长为1正方形，斜高为1四棱锥，
且四棱锥的高为=的正四棱锥．
∴它的体积为V=×12×=．
故选：D．
根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为正方形的正四棱锥，结合图中数据求出它的体积．
本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．
7.答案：D
解析：解：根据函数定义域为R，可知C不符合，
根据函数图象可知，该函数为非奇非偶函数，故B不符合，
当x→∞时，函数值趋向于-∞，故A不符合，
对于D：y=（x2-2x）e x，当y=0时，解得x=0或x=2，当x→+∞时，y→+∞，当x→-∞时，y→0，故D符合．
故选：D．
根据函数的定义域，函数的奇偶性，函数值的变化趋势即可选择．
本题考查了函数图象的识别，属于基础题．
8.答案：D
解析：解：把函数y=sin2x-cos2x=2sin（2x-）的图象向左平移个单位，可得y=2sin （2x+）的图象；
再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变得到函数y=sin（2x+）的
图象，
故选：D．
利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查两角和差的正弦公式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
9.答案：C
解析：解：在边长为1的等边三角形ABC中，点P是边AB上一点，且BP=2PA，
可得=，
所以=（）=×1×1×cos60°=．
故选：C．
利用向量关系，求出，然后求解向量的数量积即可．
本题考查向量的数量积的应用，平面向量的基本定理以及平行四边形法则的应用，是基本知识的考查．
10.答案：B
解析：解：
如图，四面体ABCD中，
∠ABD=∠ABC=∠BCD=∠ACD=90°，
AB=BC=CD=2，
可得BD=2，
AD=2，
AD中点O即为外接球球心，
故球O半径为，
其表面积为12π，
故选：B．
作出图形，易知最大斜边即为外接球直径，容易求解．
此题考查了四面体外接球，难度不大．
11.答案：A
解析：解：设直线PF2与圆x2+y2=a2
相切于点M，
则|OM|=a，OM⊥PF2，
取PF2的中点N，连接NF2，
由于|PF1|=|F1F2|=2c，则NF1⊥PF2，
|NP|=|NF2|，
由|NF1|=2|OM|=2a，
则|NP|==2b，
即有|PF2|=4b，
由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a，
即4b-2c=2a，即2b=c+a，
4b2-4ab+a2=b2+a2，4（c-a）=c+a，即
3b=4a，
则=．
则C的渐近线方程为：．
故选：A．
设直线PF2与圆x2+y2=a2相切于点M，取PF2的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF2|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系，计算即可得到渐近线方程．
本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法．中位线定理和双曲线的定义是解题的关键．
12.答案：C
解析：解：对任意x∈[1，+∞），则f（x）=2x-1≥20=1，即函数f（x1）的值域为[1，+∞），若对任意x1∈[1，+∞），总存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），
设函数g（x）的值域为A，
则满足[1，+∞）⊆A，即可，
当x＜0时，函数g（x）=x2+2a为减函数，则
此时g（x）＞2a，
当x≥0时，g（x）=a cos x+2∈[2-|a|，2+|a|]，
①当2a＜1时，（红色曲线），即a＜时，满
足条件[1，+∞）⊆A，
②当a≥时，此时2a≥1，要使[1，+∞）⊆A成
立，
则此时当x≥0时，g（x）=a cos x+2∈[2-a，2+a]，
此时满足（蓝色曲线），即，
得1≤a≤2，
综上a＜或1≤a≤2，
故选：C．
求出两个函数的值域，结合对任意x1∈[1，+∞），总存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），等价为f（x）的值域是g（x）值域的子集，利用数形结合进行转化求解即可．
本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的值域，转化为f（x）的值域是g（x）值域的子集，利用数形结合是解决本题的关键．
13.答案：
解析：【分析】
本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，属于基础题．
利用已知条件求出a，b，然后求解椭圆方程．
【解答】
解：由题可设椭圆方程，c为椭圆的半焦距，
焦点在x轴上，短轴长等于16，离心率等于，
可得b=8，，即1-，
解得a=10，
故所求的椭圆方程为：．
故答案为．
14.答案：10
解析：解：由x，y满足约束条件，
作出可行域如图：
由可得A（2，-4）．
化目标函数z=x-2y为直线方程的斜截式y=x-．
由图可知，当直线y=x-过点A时，直线在y轴
上的截距最小，z最大，为z=2-2×（-4）=10．
故答案为：10．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程
的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15.答案：
解析：解：∵a1•2a2•3a3•…•na n=2n，①，
∴n≥2时，a1•2a2•3a3•…•（n-1）a n-1=2n-1②
∴①÷②可得na n=2，∴a n=（n≥2）
又a1=1也满足上式，∴数列{a n}的通项为a n=；
故答案为：．
根据题意，可得a1•2a2•3a3•…•（n-1）a n-1=2n-1，两者相除，可得数列{a n}的通项公式．本题考查数列递推式，求解数列的通项公式，是基本知识的考查．
16.答案：0
解析：解：∵正方形的边长为1，∴正方形的对角线
AC=，
则由正方形的滚动轨迹得到x=0时，C位于（0，1）
点，即f（0）=1，
当x=1时，C位于（1，）点，即f（1）=，
当x=2时，C位于（2，1）点，即f（2）=1，
当x=3时，C位于（3，0）点，即f（3）=0，
当x=4时，C位于（4，1）点，即f（4）=1，
则f（x+4）=f（x），即f（x）具备周期性，周期为4，
则f（2019）=f（504×4+3）=f（3）=0，
故答案为：0
根据正方形的运动关系，分布求出当x=0，1，2，3，4时对应的函数值f（x），得到f （x）具备周期性，周期为4，利用周期性进行求解即可．
本题主要考查函数值的计算，结合正方形的运动轨迹，计算出对应函数值，得到周期性是解决本题的关键．
17.答案：（本题满分为12分）
解：（1）在△ABC中，由余弦定理可得：cos∠BAC===…5分
（2）因为∠DAC=90°-∠BAC，
所以sin∠DAC=cos∠BAC=，…7分
所以在△ACD中，由正弦定理可得：，…9分
可得：，解得：CD=5…12分
解析：（1）在△ABC中，由余弦定理即可计算得解cos∠BAC的值．
（2）由已知可求sin∠DAC=cos∠BAC=，在△ACD中，由正弦定理即可解得CD的值．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18.答案：（1）证明：∵MB⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
∴MB⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，
又AB⊂平面MAB，MB⊂平面MAB，AB∩MB=B，
∴AD⊥平面MAB，又BE⊂平面MAB，
∴AD⊥BE．
∵AB=MB，E是MA的中点，
∴BE⊥MA，
又AD⊂平面MAD，MA⊂平面MAD，AD∩MA=A，
∴BE⊥平面MAD，又BE⊂平面BEF，
∴平面BEF⊥平面MAD．
（2）由（1）知AD⊥平面MAB，又AD∥BC，
∴BC⊥平面MAB，
∵F是MC的中点，∴F到平面MAB的距离d=BC=，
∵E是MA的中点，∴S△ABE===，
∴V E-ABF=V F-ABE===．
解析：（1）证明AD⊥平面MAB得出AD⊥BE，由AB=BM得出BE⊥MA，故BE⊥平面MAD，于是平面BEF⊥平面MAD；
（2）根据V E-ABF=V F-ABE计算棱锥的体积．
本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
19.答案：解：（1）根据表中数据，计算甲班组生产该产品的不合格率为=25%，乙班组生产该种产品的不合格率为=20%；
（2）根据题意填写2×2列联表如下，
甲班组乙班组合计
合格品7580155
次品252045
合计100100200
计算K2=≈0.717＜3.841，
所以没有95%的把握认为该种产品的质量与生产产品的班组有关；
（3）若按合格与不合格的比例，从甲班组生产的产品中抽取4件产品，从乙班组生产的产品中抽取5件产品，
其中甲、乙班组抽取的产品中均含有1件次品，设甲的这4件产品分别为a、b、c、D，其中a、b、c为合格品，D为次品，从中任取2件，则所有可能的情况为ab、ac、aD、bc、bD、cd共6种，
事件A包含3种，所以P（A）==；
设5件乙班组产品分别为e、f、g、h、M，其中e、f、g、h为合格品，M为次品，
从中随机抽取2件，基本事件为ef、eg、eh、eM、fg、fh、fM、gh、gM、hM共10种不同取法，
事件B包含4种，所以P（B）==．
由P（A）＞P（B）知，事件A发生的可能性大些．
解析：（1）根据表中数据，分别计算甲、乙班组生产该种产品的不合格率；
（2）根据题意填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（3）根据分层抽样原理，利用列举法分别求出事件A、事件B的概率，比较即可．
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了利用列举法求古典概型的概率应用问题，是中档题．
20.答案：（1）证明：由抛物线C：x2=4y与直线：y=kx+b的方程组成方程组，
消去y得，x2-4kx-4b=0，
则△=16k2+16b＞0，即k2+b＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由根与系数的关系知，x1+x2=4k，x1x2=-4b，
由|AF|+|BF|=4，根据抛物线的定义知，（y1+1）+（y2+1）=4，
即y1+y2=2，
所以AB的中点坐标为T（2k，1），
又M（0，3），
所以直线MT的斜率为k'==-，
所以k⋅k'=-1为定值；
（2）解：由（1）知=-4x1x2=16（k2+b），
|AB|=|x1-x2|=4，设点M到直线l的距离为d，则d=，
由（1）知y1+y2=kx1+b+kx2+b=k（x1+x2）+2b=4k2+2b=2，
即2k2+b=1，即b=1-2k2，
由△=16k2+16b＞0，得0＜k2＜1；
所以S△ABM=×|AB|×d=×4×=4，
令t=k2，0＜t＜1，
f（t）=（1+t）2（1-t）=1+t-t2-t3，0＜t＜1，
f′（t）=1-2t-3t2=（t+1）（-3t+1），
0＜t＜时，f′（t）＞0，f（t）为增函数；
＜t＜1时，f′（t）＜0，f（t）为减函数；
所以当t=时，f（t）取得最大值为f（x）max=f（）=，
所以△ABM面积的最大值为4=．
解析：（1）由抛物线与直线方程组成方程组，消去y得关于x的方程，利用根与系数的关系和抛物线的定义，
求出AB的中点坐标T以及直线MT的斜率，计算k⋅k'的值；
（2）利用弦长公式计算|AB|的值，求出点M到直线l的距离d，计算△ABM的面积，求出最大值即可．
本题考查了直线与抛物线方程的综合应用问题，也考查了弦长公式与三角形面积的计算问题，是难题．
21.答案：解：（1）f′（x）=（x+1）e x-=．由题意可得：f′（x）≤0，x∈（0，
1）恒成立．
即（x2+x）e x-a≤0，也就是a≥（x2+x）e x在x∈（0，1）恒成立．设h（x）=（x2+x）e x，则h′（x）=（x2+3x+1）e x．
当x∈（0，1）时，x2+3x+1＞0．h′（x）＞0在x∈（0，1）单调递增．
∴h（x）＜h（1）=2e．故a≥2e．
（2）当a=-1时，f（x）=xe x+ln x．g（x）=x lnx-x3+x2-b，由题意：问题等价于方程b=x lnx-x3+x2，在（0，+∞）上有解．
先证明：ln x≤x-1，设u（x）=ln x-x+1，x∈（0，+∞）．
u′（x）=-1=．
可得x=1时，函数u（x）取得极大值，∴u（x）≤u（1）=0．
因此ln x≤x-1，
∴b=x lnx-x3+x2≤x（x-1）-x3+x2=-x（x2-2x+1）≤0．
当x=1时取等号．
∴实数b的最大值为0．
解析：（1）f′（x）=．由题意可得：f′（x）≤0，x∈（0，1）恒成立．即（x2+x）
e x-a≤0，也就是a≥（x2+x）e x在x∈（0，1）恒成立．设h（x）=（x2+x）e x，利用倒导数研究其单调性即可得出．
（2）当a=-1时，f（x）=xe x+ln x．g（x）=x lnx-x3+x2-b，由题意：问题等价于方程b=x lnx-x3+x2，在（0，+∞）上有解．先证明：ln x≤x-1，设u（x）=ln x-x+1，x∈（0，+∞）．利用研究其单调性即可证明结论．可得b=x lnx-x3+x2≤x（x-1）-x3+x2=-x（x2-2x+1）≤0．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、放缩法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22.答案：解：（1）∵直线l的极坐标方程为，即ρsinθ-ρcosθ+4=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直线l的直角坐标方程为x-y-4=0．
将曲线C的参数方程为（α为参数）消去参数α，
得曲线C的普通方程为；
（2）设N（，sinα），α∈[0，2π），
点M的极坐标（，）化为直角坐标（-2，2），
则P（，），
∴点P到直线l的距离d==．
∴当时，点M到直线l的距离的最大值为．
解析：
（1）由直线l的极坐标方程为，得ρsinθ-ρcosθ+4=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直线l的直角坐标方程．直接将曲线C的参数方程消去参数α，可得曲线C的普通方程；
（2）设N（，sinα），α∈[0，2π），化点M的极坐标（，）化为直角坐标（-2，2），利用中点坐标公式求得P（，），再由点到直线的距离公式求解．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查点到直线距离公式的应用，训练了利用三角函数求最值，是中档题．
23.答案：解：（1）由|ax-2|≤4得-4≤ax-2≤4，即-2≤ax≤6，
当a＞0时，-≤x≤，所以，解得a=1；
当a＜0时，≤x≤-，所以，无解，
所以实数a的值为1
（2）由已知g（x）=f（x）+f（x+3）=|x+1|+|x-2|=，
不等式g（x）-tx≤2，即g（x）≤tx+2，
由题意知y=g（x）的图象有一部分在直线y=tx+2的下方，作出对应图象：
由图可知，当t＜0时，t≤k EM；当t＞0时，t≥k FM，
又因为k EM=-1，k FM=，
所以t≤-1，或t，
即t∈（-∞，-1]∪[，+∞）．
解析：（1）解f（x）≤4得解集与已知解集相等可列方程解得；
（2）问题转化为y=g（x）的图象有一部分在直线y=tx+2的下方，作出图象，根据斜率可得．
本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。