第六部分：三角函数——反三角函数(教案)
三角函数的图象与性质总课时教案
三角函数的图象与性质总课时教案第一章：引言1.1 三角函数的概念引导学生回顾初中阶段学习的三角函数知识，如正弦、余弦和正切函数。
解释三角函数在数学和物理学中的重要性。
1.2 三角函数的定义介绍角度的弧度制。
讲解正弦、余弦和正切函数的定义。
1.3 三角函数的图像利用计算器或软件绘制正弦、余弦和正切函数的图像。
引导学生观察图像的周期性、对称性和奇偶性。
第二章：正弦函数的性质2.1 正弦函数的周期性讲解正弦函数的周期性及其公式。
引导学生通过图像理解周期性。
2.2 正弦函数的振幅解释振幅的概念及其对正弦函数图像的影响。
引导学生通过图像理解振幅的作用。
2.3 正弦函数的相位讲解相位的概念及其对正弦函数图像的影响。
引导学生通过图像理解相位的作用。
第三章：余弦函数的性质3.1 余弦函数的周期性讲解余弦函数的周期性及其公式。
引导学生通过图像理解周期性。
3.2 余弦函数的振幅解释振幅的概念及其对余弦函数图像的影响。
引导学生通过图像理解振幅的作用。
3.3 余弦函数的相位讲解相位的概念及其对余弦函数图像的影响。
引导学生通过图像理解相位的作用。
第四章：正切函数的性质4.1 正切函数的周期性讲解正切函数的周期性及其公式。
引导学生通过图像理解周期性。
4.2 正切函数的振幅解释振幅的概念及其对正切函数图像的影响。
引导学生通过图像理解振幅的作用。
4.3 正切函数的相位讲解相位的概念及其对正切函数图像的影响。
引导学生通过图像理解相位的作用。
第五章：三角函数的图象与性质的综合应用5.1 正弦函数的综合应用通过实际问题引导学生运用正弦函数解决实际问题。
引导学生运用正弦函数的性质解决几何问题。
5.2 余弦函数的综合应用通过实际问题引导学生运用余弦函数解决实际问题。
引导学生运用余弦函数的性质解决几何问题。
5.3 正切函数的综合应用通过实际问题引导学生运用正切函数解决实际问题。
引导学生运用正切函数的性质解决几何问题。
第六章：三角函数的性质总结6.1 三角函数的性质对比总结正弦、余弦和正切函数的周期性、振幅、相位等性质。
沪教版高中数学高一下册-6.4 反三角函数 -反正弦函数 教案
反正弦函数 教案设计教学目标：1、 知识与技能：理解反正弦函数的概念，掌握反正弦函数的图像和基本性质；2、 过程与方法：经历在正弦函数的某个单调区间上建立反正弦函数的过程，会求反正弦函数值，会用反正弦函数值的形式表示角的大小；在研究问题的过程中体会数形结合和等价转化等数学思想方法。
教学重点：反正弦函数的概念；反正弦函数的图像和性质。
教学难点：反正弦函数的概念。
教学过程：一、 探索发现（1） 已知1sin ,[0,]22x x π=∈，求x 。
（2） 已知1sin 3x =，求x 。
教师提问：一般地，已知角x 的正弦值，如何求x ？ 问题转化为：在正弦函数sin y x =中，已知函数值y ，如何求自变量x ？师生讨论正弦函数是否具有反函数。
二、 问题驱动问题1：结合正弦函数sin ,y x x R =∈的图像，考虑它是否具有反函数？复习反函数的概念。
问题2：你能否创设条件，使sin y x =能够存在反函数？即如何从R 中寻找一个区间，使x 与y 一一对应。
选取区间的三个依据：①sin y x =在此区间上存在反函数；②能够取到sin y x =在[1,1]-的一切函数值；③区间关于原点对称，应用方便。
所以选取闭区间[,]22ππ-，则sin y x =在该区间上存在反函数。
三、 概念提出1、反正弦函数的概念及表示 明确sin ,[,]22y x x ππ=∈-存在反函数后，考虑它的反函数。
回顾求反函数的步骤——反解，互换，求定义域。
反解x ，引入新的符号arcsin ，即arcsin ,[1,1]x y y =∈-，将x 与y 互换，得arcsin ,[1,1]y x x =∈-，称为反正弦函数。
定义：函数sin ,[,]22y x x ππ=∈-的反函数叫做反正弦函数，记作arcsin ,[1,1]y x x =∈-。
3.反正弦函数的图像与性质①图像与原函数关于直线y x =对称；②定义域：原函数的值域[1,1]-；值域：原函数的定义域[,]22ππ-；最值：min max 1,;1,22x y x y ππ=-=-==；③奇偶性——奇函数：arcsin()arcsin x x -=-；④单调性——在[1,1]-上单调递增；⑤性质1：sin(arcsin ),[1,1]x x x =∈-；⑥性质2：arcsin(sin ),[,]22x x x ππ=∈-。
三角函数全章教案
三角函数全章教案第一课时课题锐角三角函数（一）教学目标一.知识目标: 初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用sinA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
二.能力目标 : 逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。
三.情感目标: 提高学生对几何图形美的认识。
（二）.教材分析：1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念2．教学难点:用含有几个字母的符号组sinA 、cosA 、tanA 表示正弦，余弦，正切（三）教学程序一．探究活动1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。
2．归纳三角函数定义。
sinA= ,cosA= ,tanA=3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC 中的sinA,cosA,tanA 的值。
二．探究活动二1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sin 30°cos45 tan60°归纳结果2. 求下列各式的值（1）sin 30°+ cos30° （2）2sin 45°—cos30°(3) +ta60°-tan30°三．拓展提高 1. P82例4.（略）2. 如图，在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB= AC=23,求 AC200cos3045sia 12A ∠的对边斜边A ∠的邻边斜边A A ∠∠的对边的邻边四．小结五．作业课本p86 2,3,6,7,8,10第二课时课题解直角三角形应用（一）一．教学目标 (一)知识目标使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．(二)能力训练点通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．(三)情感目标渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重点、难点和疑点 1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．三、教学过程 (一)知识回顾1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA ba (2)三边之间关系 a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．（二）探究活动1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)． 3．例题评析例 1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b= 2 a=6，解这个三角形．例2在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b= 20 B ∠=350，解这个三角形（精确到0.1）．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．例3在Rt △ABC 中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形． (三) 巩固练习在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6，BAC ∠的平分线AD=43，解此直角三角形。
高中数学三角函数教案
高中数学三角函数教案三角函数内容在高中数学课程中占有重要的地位，它是描述现实世界周期现象的重要模型，又是高中教材中基本初等函数的其中之一。
下面店铺为你整理了高中数学三角函数教案，希望对你有帮助。
高中数学三角函数教案：任意角的三角函数一、教学目标1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义(包括定义域、正负符号判断);了解任意角的余切、正割、余割函数的定义.2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验.3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观.4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度.二、重点、难点、关键重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、(正负)符号判断法.难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数.关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( α确定,比值也随之确定)与依赖性(比值随着α的变化而变化).三、教学理念和方法教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.四、教学过程[执教线索:回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义(锐角三角形边角关系)——问题情境:能推广到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系(为何?)——优化认知:用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展:对任意角研究六个比值(与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数定义吗?)——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析(对应法则、定义域、值域与正负符号判定)——例题与练习——回顾小结——布置作业](一)复习引入、回想再认开门见山,面对全体学生提问:在初中我们初步学习了锐角三角函数,前几节课,我们把锐角推广到了任意角,学习了角度制和弧度制,这节课该研究什么呢?探索任意角的三角函数(板书课题),请同学们回想,再明确一下:(情景1)什么叫函数?或者说函数是怎样定义的?让学生回想后再点名回答,投影显示规范的定义,教师根据回答情况进行修正、强调:传统定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,自变量x的取值范围叫做函数的定义域.现代定义:设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称映射?:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y= f(x),x∈A ,其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域高中数学三角函数教案：三角函数的诱导公式1教学目标1.知识与技能(1)能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。
高中数学备课教案三角函数的反函数与反三角函数
高中数学备课教案三角函数的反函数与反三角函数高中数学备课教案三角函数的反函数与反三角函数一、引言三角函数的反函数与反三角函数是高中数学中非常重要的概念，它们在解决三角函数方程、研究三角函数性质以及求解实际问题等方面发挥着重要作用。
本教案旨在帮助学生全面理解三角函数的反函数与反三角函数的概念、性质以及应用。
二、教学目标1. 理解三角函数的反函数与反三角函数的概念；2. 掌握三角函数的反函数与反三角函数的性质；3. 能够应用反函数与反三角函数解决实际问题。
三、教学内容1. 三角函数的反函数（1）概念与定义在定义域上，对于任意的三角函数y=f(x)，如果存在一个单调严格增函数g(x)，使得g(f(x))=x，那么g(x)被称为函数f(x)的反函数，记作g(x)=f^(-1)(x)。
（2）性质①函数f(x)和反函数f^(-1)(x)关于y=x对称；②如果y=f(x)在[a,b]上是单调递增或单调递减的，则反函数f^(-1)(x)在[f(a),f(b)]上也是单调递增或单调递减的；③若f(x)在[a,b]上连续，则反函数f^(-1)(x)也在[f(a),f(b)]上连续。
2. 反三角函数（1）概念与定义对于三角函数y=f(x)，如果存在一个函数g(x)，使得g(f(x))=x，那么函数g(x)被称为反三角函数，记作g(x)=sin^(-1)(x)或arcsin(x)。
同样地，我们还可以定义反余弦函数arccos(x)，反正弦函数arctan(x)等。
（2）性质①反三角函数的定义域和值域；②反三角函数的图像和性质；③反三角函数的基本关系式及推导；④反三角函数与三角函数之间的互换关系。
四、教学方法1. 导入新知识：通过练习与生活实例，引导学生思考三角函数的反函数与反三角函数的实际应用；2. 理论讲解：通过板书和讲解，向学生介绍三角函数的反函数与反三角函数的定义和性质；3. 示例演练：以典型例题为例，引导学生掌握如何求解反函数与反三角函数的具体步骤；4. 练习巩固：组织学生进行相关练习，巩固所学的知识点；5. 拓展应用：设计一些生活实例或综合应用题，让学生运用所学知识解决实际问题。
高三数学教案_第六章_6-3反三角函数
反三角函数[知识点归纳]例4 求函数2()lg arccos 84x x f x ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦的定义域与值域 解：2arccos 0.84x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭21 1.84x x∴-≤+<解上述不等式，得4 2.x -<<2()lg arccos 84x x f x ⎡⎤⎛⎫∴=+⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦的定义域为(4,2).- 22211111(21)(1)8488888x x x x x +=++-=+-≥-210arccos arccos .848x x ⎛⎫⎛⎫∴<+≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数2()lg arccos 84x x f x ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦的值域为1(,lg arccos ].8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭例6 已知arcsin arcsin(1).x x >- 求x 的取值范围解：因为反正弦函数是增函数，由反三角函数的定义域可得不等式组11,111,1,x x x x -≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>-⎩解不等式组，得1 1.2x <≤例7计算：cos 3π⎛⎫⎪⎝⎭解：设α=则tan α且0.2πα<<cos sin αα∴==则25cos 22cos 1,sin 27ααα=-=-=原式＝515cos 2cos sin 2sin33727214ππαα+-=-⋅-=-12．关于t 的方程2253172(23)0848t x t x x +++++=有两个不同的实数根，求函数sin y x =的反函数。
解：225317(23)420848x x x ⎛⎫∆=+-⨯⨯++>⎪⎝⎭即，2680x x -+<，解得2 4.x <<,22x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，sin()sin .x x y π-==sin (24)y x x ∴=<<的反函数为arcsin ,(sin 4,sin 2).y x x π=-∈13．设方程240x ++=的2个实根为1x 、2x ，若1arctan x α=，2arctan x β=，求αβ+的值。
第六章--三角函数(二)反三角函数、最简三角方程
第六章 三角函数（二）反三角函数、最简三角方程主备人：陈华 审核人：【教学目标】学生通过独立复习反三角函数（反正弦函数sin y arc x =，反余弦函数cos y arc x =，反正切函数tan y arc x =），从新理解掌握反三角函数的图像及其性质。
理解掌握三种最简三角方程并掌握解的公式.【课型】高三数学复习课【课时】1课时【教具】多媒体，白板，白板笔，投影仪，学案（试卷）【教学重点】反三角函数、最简三角方程【教学难点】反三角函数的图像及其性质，三角方程的解法【教学方法】讲授法，谈论法，演示法，练习法，讨论法【教学过程】一、课前练习1、1arccos 2⎛⎫-= ⎪⎝⎭________； 2、计算：arcsin cos 6π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________； 3、函数()()sin 21f x arc x =-的定义域为_________________；4、下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是_____________（写序号）（1）()arcsin y x =-；（2）arctan y x =；（3）arccos y x =；（4）arccos 2y x π=-. 5、方程2sin 62x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭的解集为_______________________； 6、方程sin cos x x a +=在[]0,x π∈上有两解，则实数a 的取值范围为_____________；7、在下列等式中，（1）arcsin sin 33ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）44arccos cos 33ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）sin arcsin 33ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（4）11cos arccos 33⎛⎫= ⎪⎝⎭.其中正确的是_________（写序号）； 8、3sin 2arccos 5⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.二、例题选讲例1、已知函数()()2arcsin 1f x x x =++， （1）求函数()f x 的定义域；（2）求函数()f x 的值域；（3）写出函数()f x 的单调递增区间.例2、已知sin x α=，5,66ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求arccos x 的取值范围.例3、解下列方程（1）sin cos 2x x +=；（2）sin 3cos 0x x -=；（3）2sin cos sin 0x x x +=； （4）26sin sin 10x x --=例4、解下列方程.（1）[]1sin 2,,2x x ππ=∈-；（2）sin 3cos 1x x +=，[]0,x π∈； （3）22sin cos 2sin cos 1x x x x -+=，[]0,2x π∈；（4）sin 2sin 3x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[]0,2x π∈三、能力提高题例5、写出函数()()arccos cos f x x =的定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性.例6、在ABC ∆中，cos1cos 2A B C +=-，求角C 的大小.例7、解方程sin 2sin x x =【课后作业】1、若方程cos 12x m =-无解，则实数m 的取值范围为____________；2、方程1sin23x =在[],2ππ上的解为__________； 3、方程2tan 210x -=的解集为__________________； 4、若a 、b 均为正实数，则方程22cos 2a b x ab+=在区间[]0,2π上的解集为_____________； 5、已知函数()3sin cos f x x x =+.（1）当5,36x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的反函数；（2）解方程()3f x f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【教学反思】欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
高等数学课件：三角函数反三角函数
-2
5
0
-5
-10
2
4
2
x 6
(5) 正割函数 secx
y 6
4
2
-4 -2 0
-2
x 24 68
-4
-6
(6) 余割函数 cscx
y
6
4
2
-2 0
x
2
4
6
8
-2
-4
-6
5. 反三角函数(常用的四个)
(1) 反正弦函数 Arcsin x 主值 arcsinx [ , ]
22
(2) 反余弦函数 Arccos x
一. 三角函数(常用的三角函)
(1) 正弦函数 sin x
2
-6
1
0.5
0
-4
-2
-0.5
-1
2
2
4
6
(2) 余弦函数 cos x
1
3
2
2
0.5
2
-6
-4
-2
0
2
-0.5
-1
3
2
4
6
(3) 正切函数 tan x
3
2
-4
y 6
4
2
2
2
-2 0
2
-2
-4
-6
3 2
x 4
Back
(4) 余切函数 cot x
2
( 2 ) 双曲余弦 ch x = e x ex ( 偶函数 ) 2
( 3 ) 双曲正切
th
x
=
sh ch
x x
=
ex ex
ex ex
( 奇函数 )
反三角函数教案
反三角函数教案教学目标：1.理解反三角函数的概念和定义2.掌握反正弦函数的性质和图像3.理解和应用反正弦函数在实际问题中的意义教学重点：1.反正弦函数的概念和定义2.反正弦函数的性质和图像教学难点：1.反正弦函数的概念和定义2.反正弦函数在实际问题中的应用教学准备：1.教师准备课件、教学讲义和实物示例等教学资源2.学生准备笔记本和计算器等学习工具教学过程：Step 1：导入教师通过提问和展示一个实物示例引入反三角函数的概念。
例如，教师拿一根绳子让学生按照一定的长度将其弯曲成一个三角形，然后问学生如何计算这个三角形的角度。
Step 2：引入反正弦函数教师通过上述引入，引导学生思考如何反过来计算三角形的角度，从而引入反正弦函数的概念。
教师给出反正弦函数的定义：对于任意实数y，如果y=sin(x)，则称x为y的反正弦，记为x=arcsin(y)。
Step 3：反正弦函数的定义域和值域教师介绍反正弦函数的定义域和值域。
反正弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。
Step 4：反正弦函数的性质教师讲解反正弦函数的基本性质，如奇函数、递减性、周期性等。
并通过具体的例子让学生观察和探讨这些性质。
Step 5：反正弦函数的图像教师通过计算并绘制反正弦函数的图像，让学生观察反正弦函数的图像特点。
特别注意强调反正弦函数的定义域和值域，以及函数图像在这个范围内的变化趋势。
Step 6：应用到实际问题教师通过具体的实例，如求解三角形内的一些角度，解释反正弦函数在实际问题中的应用意义。
并给出一些练习题让学生自主探究和解答。
Step 7：小结教师通过回顾和总结课堂内容，概括反正弦函数的概念、性质和应用。
并提醒学生掌握和记忆相关的公式和概念。
Step 8：作业布置作业，要求学生完成相关的练习题，巩固所学内容。
教学辅助方法：1.利用实物示例引入概念，增强学生的直观感受和理解。
2.使用图像和计算器等工具辅助讲解，提高学生的数学思维和计算能力。
人教版高中数学《三角函数》全部教案
第四章三角函数教材：角的概念的推广目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
过程：一、提出课题：“三角函数”回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。
相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。
二、角的概念的推广1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2．讲解：“旋转”形成角（P4）突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
记法：角α或α∠可以简记成α4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
1︒角有正负之分如：α=210︒β=-150︒γ=-660︒2︒角可以任意大实例：体操动作：旋转2周（360︒×2=720︒）3周（360︒×3=1080︒）3︒还有零角一条射线，没有旋转三、关于“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30︒390︒-330︒是第Ⅰ象限角300︒-60︒是第Ⅳ象限角585︒1180︒是第Ⅲ象限角-2000︒是第Ⅱ象限角等四、关于终边相同的角1．观察：390︒，-330︒角，它们的终边都与30︒角的终边相同2．终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和 390︒=30︒+360︒ )1(=k-330︒=30︒-360︒ )1(-=k 30︒=30︒+0×360︒)0(=k1470︒=30︒+4×360︒ )4(=k-1770︒=30︒-5×360︒ )5(-=k3．所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 {}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 4．例一 （P5 略） 五、小结： 1︒ 角的概念的推广用“旋转”定义角 角的范围的扩大 2︒“象限角”与“终边相同的角” 六、作业： P7 练习1、2、3、4习题1.4 1教材：弧度制目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念。
反三角函数(教案)
第4节反三角函数（2课时） 第1课时［教材分析］:反三角函数的重点是概念，关键是反三角函数与三角函数之间的联系与区别。
内容上，自然是定义和函数性质、图象；教学方法上，着重强调类比和比较。
另外，函数与反函数之间的关系，是本节内容中的一个难点， 同时涉及上学期内容，可能是个值得复习的机会。
［课题引入］:在辅助角公式中，我们知道样表述相当烦琐，我们想是否有比较简明的方法来表示辅助角 「呢？这就是我们今天要引入的问题一一反三角函数。
［教学过程］:师：首先我们回顾一下，什么样的函数才有反函数？答：一一对应的函数具有反函数，最典型的例子就是单调函数具有反函数（但反之不真） 师：我们知道正弦函数 y^sinx 在定义域R 上是周期函数，当然不是一一对应的，因而没 有反函数。
但是，如果我们截取其中的一个单调区间，比方说我们研究函数：y =sinx,，这个函数是单调函数，因而有反函数。
师：现在我们来求这个函数的反函数，那么求反函数有哪些步骤？（反解，互换x, y ）（这里我们使用符号 arcsin 表示反解）反解得 x = arcsin y ，互换得y 二arcsin x ，其中Ll,l!y，—，这就是要求的反正弦函数。
-2 21. 反正弦函数的图象个函数图象关于直线 y 二x 对称。
2. 反正弦函数的性质（由函数图象可得） ①定义域为51,值域为二，? ②y 二arcsin x 在定义域丨-1,1】上单调递增;③ y = arcsin x 是奇函数，即对任意 x 丨-1,1】，有 arcsin - x - - arcsin x 3. 反正弦函数的恒等式①由“一一对应”的性质知：对任意值〔-1,1 1,在 ，一上都有唯一对应的角IL 2 2asinx bcosx = a 2 b 2 sin x ， 其中cos =aa 2b 2 ,si n = -------------Ja 2 + b 2反正弦函数 y= arcsin x ,xL" 1与函数厂助―-,-互为反函数，因此两(3)(3).73 sin x , x - 3解：利用恒等式2来理解题意:U3/ 、 J3 (1) sinxarcsin sinx = arcsin ，而 x ,5 5! 2 2_，故有 x = arcsin 5 sin x 二—二3arcsin sin x 二 arcsin — 3，而xTt Tt二订，故不能直接利用恒等式2,需要利用诱导公式，将角度转化到Ji "I---上，此时涉及讨论:IL 2 2arcsinx ，使得它的正弦值为 x ，即得恒等式sin arcsinx =x,x ・L 1,11；②由“一一对应”的性质知：对任意角x/ ，在L 1,11上都有唯一对应的值 sinx ,IL 2 2使得它的反正弦值为 x ，即得恒等式arcsin sin x 二x, x , 1 2,2」例题选编：[例1]:求下列反三角函数值：解：利用恒等式1来理解题意（1）:说明：对于特殊值的反正弦函数值的处理， 利用恒等式1理解是一种本人以为较为机械的方法；但不知是否适合于初学者，有待讨论。
反三角函数 教案
反三角函数教案教案标题：反三角函数教案教案目标：1. 了解反三角函数的定义、性质和应用。
2. 能够使用反三角函数解决实际问题。
3. 掌握反三角函数的图像和基本变换。
4. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
教学重点：1. 反三角函数的定义和性质。
2. 反三角函数的应用。
3. 反三角函数的图像和基本变换。
教学难点：1. 反三角函数的应用问题解决。
2. 反三角函数的图像和基本变换的理解和应用。
教学准备：1. 教材：包含反三角函数的相关知识点和例题的教材。
2. 教具：黑板、白板、多媒体设备。
3. 学具：直尺、三角板、计算器。
教学过程：Step 1：导入（5分钟）引导学生回顾正弦、余弦和正切函数的定义和性质，以及它们在三角函数中的应用。
激发学生对反三角函数的学习兴趣。
Step 2：引入反正弦函数（10分钟）介绍反正弦函数的定义和性质，包括定义域、值域、奇偶性等。
通过简单的例题，让学生理解反正弦函数的概念和求解方法。
Step 3：引入反余弦函数（10分钟）介绍反余弦函数的定义和性质，包括定义域、值域、奇偶性等。
通过例题，让学生掌握反余弦函数的概念和求解方法。
Step 4：引入反正切函数（10分钟）介绍反正切函数的定义和性质，包括定义域、值域、奇偶性等。
通过例题，让学生掌握反正切函数的概念和求解方法。
Step 5：应用实例（15分钟）结合实际问题，引导学生运用反三角函数解决实际问题，如三角形的边长和角度的求解、航空导航中的角度计算等。
Step 6：反三角函数的图像和基本变换（15分钟）通过图像展示和讲解，介绍反三角函数的图像和基本变换，如平移、伸缩和翻转等。
引导学生观察和分析图像，理解基本变换的规律。
Step 7：练习与巩固（15分钟）提供一些练习题，让学生巩固所学的知识和技能。
鼓励学生积极参与，解答问题并互相交流讨论。
Step 8：拓展与应用（10分钟）提供一些拓展题目，让学生进行思考和探究，拓宽对反三角函数的理解和应用。
反三角函数图像与性质教案
反三角函数图像与性质教案一、引言。
反三角函数是三角函数的逆运算，包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
在学习反三角函数时，学生需要掌握反三角函数的图像和性质，这对于理解和运用反三角函数至关重要。
本教案将重点介绍反三角函数的图像和性质，并提供一些相关的练习题，帮助学生更好地掌握这一知识点。
二、反正弦函数的图像和性质。
1. 反正弦函数的图像，反正弦函数的图像是一条关于y轴对称的曲线，其定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。
当x=0时，y=0；当x=1时，y=π/2；当x=-1时，y=-π/2。
反正弦函数的图像在定义域内是单调递增的。
2. 反正弦函数的性质，反正弦函数的导数为1/√(1-x^2)，在定义域内是连续且可导的。
反正弦函数的周期为2π，且在每个周期内是相似的。
三、反余弦函数的图像和性质。
1. 反余弦函数的图像，反余弦函数的图像也是关于y轴对称的曲线，其定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]。
当x=1时，y=0；当x=-1时，y=π。
反余弦函数的图像在定义域内是单调递减的。
2. 反余弦函数的性质，反余弦函数的导数为-1/√(1-x^2)，在定义域内是连续且可导的。
反余弦函数的周期也为2π，且在每个周期内是相似的。
四、反正切函数的图像和性质。
1. 反正切函数的图像，反正切函数的图像是一条关于原点对称的曲线，其定义域为实数集，值域为(-π/2, π/2)。
当x=0时，y=0。
反正切函数的图像在定义域内是单调递增的。
2. 反正切函数的性质，反正切函数的导数为1/(1+x^2)，在定义域内是连续且可导的。
反正切函数的周期为π，且在每个周期内是相似的。
五、练习题。
1. 求解反正弦函数sin^(-1)(1/2)的值。
2. 求解反余弦函数cos^(-1)(-1/2)的值。
3. 求解反正切函数tan^(-1)(1)的值。
4. 求解反正弦函数sin^(-1)(-√3/2)的值。
5. 求解反余弦函数cos^(-1)(0)的值。
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故选（B）。
3、
【解析】
图像显然为A
4、
【解析】
5、
【解析】该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求x的取值范围，故需把x从反三角函数式中分离出来，为此只需对arcsinx，arccosx同时取某一三角函数即可，不妨选用正弦函数。
6、
【解析】这是三角函数的反三角运算，其方法是把角化到相应的反三角函数的值域内。
图像如下图所示：
例9关于 的方程 有两个不同的实数根，求函数 的反函数。
【解析】 即， ，解得
，
的反函数为
例10设方程 的2个实根为 、 ，若 ， ，求 的值。
【解析】由 ，知 所以
因此
例11画出函数 的图像。
【解析】
例12已知 、 是 的2条直角边， 为斜边，且 求证：
【解析】解：由已知得
， ，即
是 得两条边， 为斜边
，因此 ，
例13求证：当 时，
【解析】解：由 ，
得
例14求函数 的定义域，其中
【解析】解：由题意 应满足 ，且 ，即
（ ）
当 时，不等式组的解集为 ，所以此时函数的定义域为
当 时，不等式组的解集为 ，所以此时函数的定义域为
当 时，不等式组的解集为 ，所以此时函数的定义域为
例15函数 在定义域内是否能为常数？并说明理由。
7、求值：
分析：
问题的关键是能认清三角式的含义及运算次序，利用换元思想转化为三角求值。
【解析】
8、
【解析】
例10.
最简单的三角方程
方 程
方程的解集
首先我们回顾一下，什么样的函数才有反函数？我们学习过反正弦函数，知道，对于函数y=sinx，x∈R，不存在反函数；但在[ ]存在反函数.
对于特殊值的反正弦函数值的处理，
利用恒等式理解是一种本人以为较为机械的方
法；但不知是否适合于初学者，有待讨论。可能直接让他们感受概会来得更简单些吧
本课
小结
课后作业
课后
反思
附表一：反三角函数的图象与性质 简单的三角方程
反三角函数图像与性质
定义域
[-1,1]
[-1,1]
R
值 域
[0，π]
单调性
在 上单调递增
在 上单调递减
在R上单调递增
奇偶性
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
图象
公式1
公式2
公式3
公式4
【解析】解：由函数得表示式可知 ，所以 的定义域为
设 ， ，则有 ，
于是有 ①
（ⅰ）当 时，
则有 ，根据 ① 得
（ⅱ）当 时，
则有 ，根据 ① 得
（ⅲ）当 时，
则有 ，根据 ① 得
综合可知， 在定义域内不是常数，而是定义域内的分段函数，即
【课后练习】
1、
【解析】
2、若一个直角三角形的三内角的正弦值成等比数列，则其最小内角为（）
（1） （2） （3）
【解析】解：（1） （2） （3）
例2 用反三角函数表示下列各式中得
（1） （2）
（3） （4）
（5）
【解析】解：（1） （2）
（3） （4）
（5）
例3 化简下列各式
（1） （2）
【解析】解：（1） ，且有
（2） ，且有
例4 求函数 的定义域与值域
【解析】解： 解上述不等式，得
的定义域为
所以函数 的值域为
例5 判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
（3）
【解析】解：（1）
所以 是奇函数。
（2）
所以 是奇函数。
（3）
所以 是偶函数。
例6 已知 求 的取值范围
【解析】解：因为反正弦函数是增函数，由反三角函数的定义域可得不等式组
解不等式组，得
例7 计算：
【解析】设 则 且
则
原式＝
例8 作出函数 图像
学情分析
同学们在学习完三角函数的图像及性质后，会有一些固有思想。很难一下接受反三角函数的局部性。这样就必须复习一下反函数的意义及图像。
考点分析
1、用反三角表示角度；2、反三角函数图像及性质的直接应用
教学设计
教学内容
设计意图
可能出现的问题与对策
教
学
过
程
【知识回顾】
见后附表一
【典型例题】
例1 求下列反三角函数的值
3、学生可以提升类比的数学思想，培养学生思维的严谨性，通过层层设问的方式激发学生的学习兴趣。
A(保底)
B（标准）
C(培优)
掌握反三角函数图像，及性质
掌握反三角函数恒等式
解决相应反三角函数综合问题
教材分析
教学重点
反三角函数与三角函数之间的联系与区别
教学难点
反三角函数的性质及恒等式
教材分析
反三角函数的重点是概念，关键是反三角函数与三角函数之间的联系与区别。内容上，自然是定义和函数性质、图象；教学方法上，着重强调类比和比较。另外，函数与反函数之间的关系，是本节内容中的一个难点，同时涉及三角函数的内容，是高中学习不可或缺的部分。
课题
反三角函数简单三角方程
课型
复习课
课时
3
教学目标
1、同学们可以利用已有的三角函数和反函数知识理解反正弦函数；从函数的角度去理解反正弦函数的定义域、值域，利用反函数的性质得到反正弦函数的图像从而进一步研究反正弦函数的性质；理解符号arcsin的含义，并能正确地表示角；
2、通过提出问题、分析问题、解决问题、深化问题学生可以培养观察、归纳、深化的能力；