第7讲 信道编码：汉明码译码电路、循环码生成多项式、生成矩阵

线性分组码的封闭性特征的证明： 线性分组码的封闭性特征的证明： 码组集合中任意两许用码组之和仍为一许用码组 证明： 为码中任意两许用码组， 证明：设A1和 A2为码中任意两许用码组，则有 A1·HT = 0 A2·HT = 0 A1·HT + A2·HT = ( A1 + A2 ) ·HT = 0 ·H 即（ A1 + A2）必是该码中一许用码组 由封闭性以及二元有限域的加法特性可知， 由封闭性以及二元有限域的加法特性可知，两个码组之间的距离 必是另一码组的重量，码的最小距离等于非零码的最小重量。 必是另一码组的重量，码的最小距离等于非零码的最小重量。此 即证明了为线性分组码的另一特征
某（7，4）码的监督矩阵以 及校正子错误图样表： 及校正子错误图样表：
查表方法如下： 查表方法如下：
S2 S1 S0
观察错误图样表发现校正子与错误图Байду номын сангаас一 一对应
S2 S1 S0 利用二元有限域的乘法规则，对于等式： 利用二元有限域的乘法规则S1 对于等式： S2 ⋅ ， ⋅ S0 = 1
S2 · S1 · S0 = 1
循环码
是线性分组码中最主要、最有用的一种码 是线性分组码中最主要、 与一般线性分组码相比，循环码具有循环特性，每个码组经任意 与一般线性分组码相比，循环码具有循环特性， 循环移位之后仍然在码组的集合中 数学定义： 为某( 线性分组码的码组集合，如果对C 数学定义：设C为某( n, k )线性分组码的码组集合，如果对C中 任意一个码组c 它的循环移位c 任意一个码组c = ( an-1 an-2 …… a1 a0 )，它的循环移位c(1) = ( an-2an也属于C 则称该( 3 … a1 a0 an-1 )也属于C，则称该( n, k )码为循环码 其中c 表示c码组循环移位i 其中c(i )表示c码组循环移位i次 例如：某( 7, 4 )循环码组集合中的一个码组为( 1000101 )，向左循 )循环码组集合中的一个码组为 循环码组集合中的一个码组为( )， 例如： 环移位一次后的码组( )仍为码组集合中第一个许用码组 环移位一次后的码组( 0001011 )仍为码组集合中第一个许用码组
a( x) ≡ r ( x) [mod p( x)]
且有 0 ≤ deg r ( x) < deg p( x) 即：除到余式的次数小于除式为止，当能整除时次 除到余式的次数小于除式为止， 数为0 数为0
定理：对于( 循环码， 对应码组c (a 定理：对于( n, k )循环码，若c(x)对应码组c = (an-1an-2 …… a1a0 )， c(1)的一次循 环移位c 对应的c码循环移位i 则有： 环移位c(1) = ( an-2an-3 …… a1a0 an-1 )及c(i )(x)对应的c码循环移位i次c(i )，则有： 证明：码组c的多项式为： 证明：码组c的多项式为：
在实际中译码： 在实际中译码： 1）一般事先确定好每种校正子S所对应的所有错误图样； 一般事先确定好每种校正子S所对应的所有错误图样； 2）选择码重最小的错误图样作为可纠正的错误图样； 选择码重最小的错误图样作为可纠正的错误图样； 3）然后将校正子与最小码重的错误图样制成表格； 然后将校正子与最小码重的错误图样制成表格； 4）译码时，利用校正子查表，然后用等式c = e + y进行纠正 译码时，利用校正子查表，然后用等式c 译码电路包括三个部分： 译码电路包括三个部分： 1）计算校正子； 计算校正子； 2）查找确定纠正图样； 查找确定纠正图样； 3）纠正接收码组中的错误
码多项式的模运算
正整数的模运算 若一正整数M除以正整数N 所得到的商为Q 余数为R 若一正整数M除以正整数N，所得到的商为Q，余数为R，可表示为
M N =Q+R N 0≤R< N
其中Q为整数，则在模N运算下，上式的结果为： 其中Q为整数，则在模N运算下，上式的结果为：
M ≡ R (模N， 记为mod N )
S ⋅S ⋅S =1
S 2 ⋅ S代入到7 3）当三位校正子确定后，1 ⋅ S0 = 1 个乘 当三位校正子确定后，代入到7 式中计算，那个乘式为1，⋅ S1 ⋅ S0 = 1 式中计算，那个乘式为1S 2 就表明是哪一个 图样
7个逻辑与门所进行的运算分别为： 个逻辑与门所进行的运算分别为：
S 2 ⋅ S1 ⋅ S0 = 1, S 2 ⋅ S1 ⋅ S0 = 1, S 2 ⋅ S1 ⋅ S0 = 1 S 2 ⋅ S1 ⋅ S0 = 1, S 2 ⋅ S1 ⋅ S0 = 1, S 2 ⋅ S1 ⋅ S0 = 1 S 2 ⋅ S1 ⋅ S0 = 1
1 10 0
相加： u(x) + g(x) = ( u2 + 0 ) x2 + ( u1 + g1 ) x g(x)0 = = 10xx3+ gg xx2 + g x + u + g0 2 + 0 相加： 然后将上式的系数作为矩阵的第一行 相乘： u(x) · g(x) = u2 g1x3 + ( u2g0+ 相乘：
2 1 当且仅当S 当且仅当S2、S1、S0全为1时成立，因此： 全为1时成立0 因此： ，
S ⋅S ⋅S =1
1）对每一校正子设计一个这样的乘式， 对每一校正子设计一个这样的乘式， S 2 ⋅ S1 ⋅ S0 = 1 保证其乘积为1 保证其乘积为1；
2 1 2）对于右表共设计7个乘式，0 对于右表共设计7个乘式，对应于7种 对应于7 可能出现的错误图样； 可能出现的错误图样； S 2 ⋅ S1 ⋅ S0 = 1
c( x) = ( an −1 x
n -1
+ an − 2 x
+L +
相当于将多项式 a1 x +(a)循环移位一次 ) c x0
= an-1 ( x + 1) + c ( x)
[ xc( x)]mod( xn +1) = [an −1 ( x n + 1) + c (1) ( x)]mod( xn +1) = c (1) ( x)
信道编码
译码纠、检过程 译码纠、
错误矩阵/错误图样E 设发送码组为c 接收码组为y 错误矩阵/错误图样E：设发送码组为c，接收码组为y，则
e = c − y = [ en −1 en − 2 L e0 ] = c + y 则可用下式进行纠错： 则可用下式进行纠错：
ˆ c = e+ y
错误图样的计算： 错误图样的计算：
多项式的模运算与正整数的模运算相同，一般利用长除法计算商式和余式 多项式的模运算与正整数的模运算相同， 有两个多项式a 有两个多项式a(x)和p(x)，一定存在有唯一的多项式Q(x)和r(x)，使得： 一定存在有唯一的多项式Q 使得：
a ( x) = Q( x) p( x) + r ( x)
称Q(x)是a(x)除以p(x)的商式，r(x)是a(x)除以p(x)的余式，在模p(x)运算下 除以p 的商式， 除以p 的余式，在模p
1 0 u1g1 ) x2 + ( u= 0 + 3u0g1x2x +gu0g+ g0 1g0 x + 0 ) + 1 x 0 然后将上式的系数作为矩阵的第二行
若使用g 的系数组成矩阵： u( 若使用g(x)的系数组成矩阵： gx) · g (x)所得多项式的 所得到的矩阵的各项恰好与u 所得到的矩阵的各项恰好与 1 g0 然后将上式的系数作为矩阵的第二行 0 0 系数相等， 系数相等，因此可用这种矩阵相乘代替两个多项式 g = 0 g1 g 0 0 0 0 g g 相乘，这一特性可用于构造循环码的生成矩阵 相乘， 1 0 同时u 的系数组成矩阵: 同时u(x)的系数组成矩阵: u = ( u2 u1 u0 )
码多项式
码多项式是描述循环码的主要方法 对于任一长为n 对于任一长为n的码组 c = ( an-1 an-2 …… a1 a0 ) 可用一多项式来表示： 可用一多项式来表示： c(x) = ( an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + …… + a1 x1 + a0 ) 此多项式称码多项式，式中每项的各分量a 此多项式称码多项式，式中每项的各分量an-1 , an-2 , …… , a1 , a0是多项式的系数 系数不为零的x的最高次数为多项式c 的次数，或称多项式的阶数， 系数不为零的x的最高次数为多项式c(x)的次数，或称多项式的阶数，deg c(x) 例如：某码组( 1100101 )对应的码多项式可表示为 )对应的码多项式可表示为 例如：某码组( c7(x) = 1· x6+1 · x5+ 0 · x4 + 0 · x3 + 1 · x2 + 0 · x +1 = x6 + x5 + x2 +1 码多项式与码组的关系：本质上是一回事，仅是表示方法的不同而已 码多项式与码组的关系：本质上是一回事，
S S = yH T = [ e + c ] H T = eH T + cH T = eH T 即： = eH T 这个线性方程组一共有2 个解， 这个线性方程组一共有2k个解，即2k个错误图样
最佳译码应选择那些离y 最佳译码应选择那些离y最近的 c ，再由上式可知： ˆ 再由上式可知： 1）所有错误图样中选择码重最小图样； 所有错误图样中选择码重最小图样； 2）该图样所对应的 c 作为纠正后的码组 ˆ
进行纠错，即实现等式： 进行纠错，即实现等式： 由其监督矩阵可知，其监督位与信息位之间的偶监督关系： 由其监督矩阵可知，其监督位与信息位之间的偶监督关系：
ˆ c = e+ y
u6 ⊕ u5 ⊕ u3 ⊕ c2 = S 2 ⇒ u6 ⊕ u5 ⊕ u4 ⊕ c1 = S1 u ⊕ u ⊕ u ⊕ c = S 4 3 0 0 5
u 2 g0 x + u g x 2 ( + u 将矩阵u 将矩阵u和g相乘： u ⋅ g =(g12 g1g 0xu2 g 0 ) 01 1 u1 g 0 x) 0 g1 u0 g 0 ) 相乘： ( g u ⋅ g = ( u2g = 0 u0 )g1 xg (0x) 0 2 x gxg) x)u1 xg ( x) + u0 g ( x) u1 = u= 2 ( x ( + 0 0 g ( x) g g ( x) g1 0 = (u2 x 2 + u1 x + u0 ) g ( x) = u ( x) g ( x)
相当于将g 乘以x 相当于将g(x)乘以x2 ，使得g(x)的次数 使得g 相当于将g 乘以x，使得g( u 的次数 相当于将g(x)g(x)的最高次与x)(x)·g(x) 变为3 即使g 的最高次与u )·g 变为3，即使 乘以x 使得g 码多项式的加法与乘法 变为2 变为2： 一样： 一样： 有两个码多项式u ) =(g) x g 有两个码多项式u(x) = u2 x2 + u1 x + u0； (x) 不变1 x2+ (gx2= g x3 + g x2 g g(x不变： g x0) + g x xg x ： xg( =
c (1) ( x) = [ xc( x)]mod( xn +1) ,
c (i ) ( x) = [ xi c( x)]mod( xn +1)
n -2
此定理说明若c 循环码中的一个码组， 此定理说明若c(x)是(n, k)循环码中的一个码组， 则有： xc ( x) = an -1 x n + an -2 x n -1 + L + a1 x 2 则 a0 x1 则有： + ic(x)均为该循环码的码组，且这些 它的循环移位x 均为该循环码的码组， 它的循环移位x 2 1 最高此为n 最高此为 an 1 + 小于( = xn+1的一个余式 n -1 xn + an -1 能被xn +1 整除，n -2 x +1整除 a 整除， 能被xan+1的一个余式 + L + a1 x + a0 x +n –-1 ，小于( xn +1 ) 码多项式都是模x 码多项式都是模 -1 的幂次，所以余数为c 的幂次，所以余数为c(1) (x) 所以余数为0 所以余数为0 (1) n