韦达定理在平面在几何中的应用

韦达定理在平面在几何中的应用

姓名：莫……

学号：201040432018

班级：10数学本科（2）班

院系：兴义民族师范学院

1 引言

韦达(Viete，Francois，seigneurdeLa Bigot iere) 是法国十六世纪最有影响的数学家之一.韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃.人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.他最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系, 因此, 人们把这种关系称之为韦达定理(Viete’s Theorem).它的主要内容是：一元二次方程且中，设两个根为和，则：，. 一元二次方程根与系数关系的韦达定理是中学数学的重要内容之一，其知识脉络贯穿于中学数学教学的始终. 对韦达定理(Viete’s Theorem)在中学数学中的应用的研究，国内外很多教育学者和专家都有大量研究成果，范围涉及方程、代数、三角、解析几何，平面几何等多方面.

摘要

韦达定理揭示了一元二次方程根与系数的关系，它在中学数学中占有很重要的位置，根据这个定理欲证U+V=Q或U.V=Q，只需证U和V是方程20

++=（a≠0）的两个根。在平面几何中，常常会遇到求证两个几何量ax bx c

的和或积等某值的问题，运用韦达定理可以给求解这类问题打开一条思路，解题的关键是建立所考察的两个几何量为根的一元二次方程，而建立这样的方程可借助余弦定理等工具来实现。下面列举说明韦达定理在求解这类问题中的应用。韦达定：韦达定理平面几何一元二次方程。

Abstract

Wada theorem reveals a yuan quadratic equation root and coefficient of relationship, it occupies very important position in the middle school mathematics, according to the theorem to U + V=Qor U.V = Q, just U and V is equation (indicates a 0) the two root. In plane geometry, often will encounter two geometric verification and/or the amount of product such as a value problem, using the wada theorem can open an idea for solving this kind of problem, the problem solving is the key to establish examined two geometric quantity for a yuan quadratic equation root, and such an equation can be achieved with the aid of tools such as cosine theorem to. Below list illustrates ouida theorem application in solving such problems.

Keywords：wada theorem plane geometry a yuan quadratic equation

1、韦达定理概述

根据记载，在韦达那个年代，有一个角落们的比例是数学家提出了一个45次方程各国数学家挑战各国数学家挑战。法国国王便将这个充满挑战的问题交给了韦达，韦达当即就得出一个正根，再由他研究了一晚上时间就得出了23个正根（另外的22个负根被他舍了），消息传开，让当时整个数学界都为之震惊。在他阶梯式发现方程的根似乎与某些系数有关联，因此他就对此进行了一系列的研究，在不久以后发现了伟大的韦达定理。

韦达定理：在一元二次方程20ax bx c ++=，（a ≠0）当24b ac ∆≥-，则原方程的两个根满足以下规律：12b x x a +=-，12.c x x a

= 韦达定理得逆定理：如果12x x ，满足12b x x a +=-，12.c x x a

=，那么12x x ，是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根。

2、韦达定理证明

2.1.求根公式：根据将2

0ax bx c ++= （a ≠0）配方得到的21,242b b ac x a -±-= 可得2212442222b b ac b b ac b b x x a a a a

-+-----+=+==- 222212244(4)()224b b ac b b ac b b ac c x x a a a a

-+------⨯=⨯== 2.2.同解方程法：若20ax bx c ++= （a ≠0）的两个根1x ，2x ，

那么知道212()()ax bx c a x x x x ++=--

左边2212121212()ax ax x ax x ax x ax a x x x ax x =-⨯-⨯+=-++

比较系数知：12()b a x x -+= 121212b c ax x c x x x x a a

=⇒+=-⨯=， 与韦达定理有关推论；2124b ac x x a

--=

3、韦达定理在平面几何中的应用

3.1.例1，设P 是正三角形ABC 外接圆的BC 上的任一点，求证；(1) PB+PC=PA

(2) PB.PC=22PA PB -

证明；△ABC 是正三角形

故知AB=AC

∠APB=∠ACB=∠APC=060

在ABP ∆中，由余弦定理可有 22202

c o s 60A B P A P B P A P B =+-⋅ 即222()0PB PA PB PA AB -⋅+-= (1)

同理，注意AC=AB ，则由APC ∆可有；……（2） 图1

由（1）和（2）得PB,PC 的方程

222(P A A B )0

x P A x -+-= 的两个根，于是 由韦达定理就有,PB+PC=PA 22PB PC PA AB ⋅=-

3.2.例2，设P 为定角∠xAy 的平分线上的一个定点，过A,P 两点任作一圆∠xAy

的两边于B,C 两点，连接BC 交AP 于Q ，求证；

（1）

AB+AC=定值 （2）

AB .PC=AP .AQ

证明；连接PB,PC,因A,P 是定点，故AP 为定长，又

BAC ∠为定角(记作2θ)AP 为其平分线，故知

0BAP PAC ∠=∠=为定角，且易知PB=PC 图2

在△BAP 中，由余弦定理可得；