韦达定理在平面在几何中的应用
韦达定理在解析几何中的应用
韦达定理在解析几何中的应用陈历强一，求弦长在有关解析几何的高考题型中不乏弦长问题以及直线与圆锥曲线相交的问题。
求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦。
能否另擗捷径呢？能！仔细观察弦长公式：∣AB ∣=∣x 1-x 2∣21k +⋅=)1](4)[(221221k x x x x +-+或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣211k +⋅ =)11](4)[(221221ky y y y +-+ ， 立刻发现里面藏着韦达定理（其中x 1、x 2分别表示弦的两个端点的横坐标，y 1、y 2分别表示弦的两个端点的纵坐标）。
请看下面的例子：例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。
解：易知直线的方程为y=2(x-2p ). 联立方程组y 2=2px 和y=2(x-2p ) 消去x 得y 2-py-p 2=0.∵△=5p 2>0,∴直线与抛物线有两个不同的交点。
由韦达定理得y 1+y 2=p,y 1y 2=-p 2.故弦长d=25p 例2,直线y=kx-2交椭圆x 2+4y 2=80交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标为2，则∣PQ ∣等于___________.分析：联立方程组y=kx-2和x 2+4y 2=80消去y 得(4k 2+1)x 2-16kx-64=0设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 由韦达定理得x 1+x 2=14162+k k = 4得k=21.x 1x 2= -32∣PQ ∣=6 . 练习1：过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6, 那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 (文尾有提示.下同) 二，判定曲线交点的个数例3,曲线 y = ax 2(a>0)与曲线 y 2+3= x 2+4y 交点的个数应是___________个. 分析：联立方程组y=ax 2(a>0)与y 2+3=x 2+4y.消去x 得y 2-(1/a+4)y+3=0(a>0) 因为 ⎪⎩⎪⎨⎧>=>+=+>>-+=∆030/14)0(012)4/1(21212y y a y y a a 所以,方程有两个不等正实根。
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用【摘要】韦达定理是高中数学中重要的定理之一，通过证明和相关推导可以帮助学生理解其原理。
在解决高中数学题目中，韦达定理的应用不仅能够简化计算，还能够提高解题效率。
特别是在几何问题中，利用韦达定理可以更快速地找到解答。
韦达定理与其他数学定理之间也存在联系，通过举例说明可以更好地理解其实际应用。
总结来看，韦达定理在高中数学学习中扮演着重要的角色，展望未来，它仍有着广阔的应用前景，将继续为学生提供帮助和启发。
【关键词】韦达定理、高中数学、引言、正文、结论、证明、推导、应用、几何问题、联系、实际应用、作用、应用前景1. 引言1.1 介绍韦达定理的基本概念韦达定理是代数学中一个非常重要的定理，它可以用来解决关于多项式方程的根的问题。
韦达定理由法国数学家韦达于16世纪提出，至今仍然被广泛应用于数学领域。
韦达定理的核心思想是：对于一个n 次多项式方程，它的n个根之和等于多项式方程的一次项系数的相反数，而且这n个根两两之间的乘积等于多项式方程的二次项系数的相反数。
具体来说，对于一个n次多项式方程\[a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0\]其n个根分别为\(x_1, x_2, ..., x_n\)，则有\[x_1 + x_2 + ... + x_n = - \frac{a_{n-1}}{a_n}\]\[x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}\]韦达定理在高中数学学习中的应用非常广泛，可以帮助学生更好地理解多项式方程的根与系数之间的关系，从而更加深入地理解代数学的相关知识。
通过学习韦达定理，学生可以更加灵活地解决各种数学问题，为以后的学习打下坚实的基础。
1.2 韦达定理在高中数学学习中的重要性在高中教学中，韦达定理的学习不仅有助于拓展学生的数学思维，更可以培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
韦达定理适用范围
韦达定理适用范围摘要：一、韦达定理简介1.韦达定理的概念2.韦达定理的历史背景二、韦达定理的适用范围1.多项式的系数2.复数域上的韦达定理3.实数域上的韦达定理三、韦达定理在数学中的应用1.在代数中的应用2.在几何中的应用四、韦达定理的限制和扩展1.韦达定理的限制条件2.韦达定理的扩展和推广正文：韦达定理，又称Vieta定理，是由法国数学家弗朗索瓦·韦达（Franois Viète）于16世纪提出的一个数学定理。
该定理为我们解决代数问题和几何问题提供了一个强大的工具，具有重要的理论和应用价值。
韦达定理的基本内容是：对于任意一个n次多项式方程，假设其根为x1, x2, ..., xn，那么这些根的和、积以及它们的和与积的关系都可以用系数表示。
具体来说，设多项式方程为a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + ...+ a_1x + a_0 = 0，那么有：x1 + x2 + ...+ xn = -a_1/a_nx1x2 + x1x3 + ...+ x_(n-1)xn = a_2/a_nx1x2x3 + ...+ x_(n-2)x_(n-1)xn = (-1)^(n-1)a_(n-1)/a_n...x1x2...xn = (-1)^(n-1)a_(n-1)/a_n韦达定理的适用范围非常广泛，不仅适用于实数域，还适用于复数域。
在实数域上，韦达定理可以帮助我们求解多项式的根，以及根与系数之间的关系；在复数域上，韦达定理也有类似的结论。
此外，韦达定理在代数和几何中都有重要的应用。
在代数中，韦达定理可以用于解决诸如因式分解、方程根的性质等问题。
例如，我们可以利用韦达定理求解二次方程的根，从而得到其因式分解形式。
同时，韦达定理还可以帮助我们研究方程根的性质，如根与系数之间的关系、根的判别式等。
在几何中，韦达定理可以用于解决诸如圆的性质、椭圆的性质等问题。
例如，对于椭圆的性质，我们可以利用韦达定理求解其长轴和短轴的比值，从而得到椭圆的离心率。
韦达定理的应用 讲义及练习
韦达定理的应用-教师版一.综述直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解. 二.例题精讲 破解规律例 1. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点，设 ，证明：， ；分析:设直线 的方程为：，与抛物线联立得 ，利用韦达定理即可证得； 答案:见解析解析:设直线 的方程为：，联立方程化简得： ,易知 所以 ，而．点评:当直线恒过x 轴上的点时,可以考虑设直线方程为 这样联立方程消去x 比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1: 椭圆离心率为， ， 是椭圆的左、右焦点，以 为圆心， 为半径的圆和以 为圆心、 为半径的圆的交点在椭圆 上. (1)求椭圆 的方程；(2)设椭圆 的下顶点为 ，直线与椭圆 交于两个不同的点 ，是否存在实数使得以 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 解析：（1）由题知,解得，故,椭圆的方程为（2）由题意知 ，联立方程，整理得 ，（化简可得），①设，则，,设 中点为 ，>0∆(),0n由，知，所以点 的坐标为，因为 ，所以 ， 又直线 斜率均存在，所以 . 于是解得，即，将代入①，满足 ．故存在 使得以 为邻边的平行四边形可以是菱形，值为．例2. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为， 与双曲线交于两点，求的面积.分析：第二问, 将直线方程代入曲线方程,化简后写出韦达定理,利用弦长公式求出弦长,点到直线距离求出高,进而得到面积.答案:（1）（2） 解析：（1）设所求双曲线方程为,代入点得，即 所以双曲线方程为，即. （2）.直线的方程为.设 联立得 满足 由弦长公式得点到直线的距离()2222:10,0x y C a b a b -=>>22162y x -=()2,3C C 12F F 、l 2F 34πl C ,A B 1F AB ∆2213y x -=1F AB S ∆=C 2262y x λ-=()2,3223262λ-=12λ=-C 221622y x -=-2213y x -=()()1220,20F F -，，AB ()2y x =--()()1122,,,A x y B x y ()222 13y x y x =---=⎧⎪⎨⎪⎩22470x x +-=0.∆>AB =6==()120F -，:20AB x y +-=d ==所以 点评:三角形面积问题,常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2: 已知椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ，且长轴长为8． Ⅰ 求椭圆的方程；Ⅱ 直线 与椭圆相交于 ， 两点，求弦长 ．解析: Ⅰ 椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ， 且长轴长为 故要求的椭圆的方程为Ⅱ 把直线 代入椭圆的方程化简可得 ，，，弦长例3:已知双曲线的左右两个顶点是,,曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点， （1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.分析:（1）借助题设条件运用两个等式相乘建立等式；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立二次方程，运用判别式及根与系数的关系建立不等式,从而求出范围答案:（1）；（2） . 解析:（1）由已知 ，设 则直线 ，直线， 两式相乘得，化简得，即动点的轨迹的方程为；(2)过的直线若斜率不存在则或3,设直线斜率存在，111622F AB S AB d ∆=⋅=⋅⋅=22:14x C y -=1A 2A C ,P Q x 1A P 2A Q M M D ()0,2E D ,A B EA EB λ=λ2214x y +=1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()122,0,2,0A A-.,P t Q t ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭)1:2A P y x =+)2:2A Q y x =-()22144y x -=-2214xy +=M D 2214x y +=()0,2E 13λ=k ()()1122,,,A x y B x y， 则 由（2）（4）解得代入（3）式得 ， 化简得，由（1）解得代入上式右端得，,解得, 综上实数的取值范围是. 规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标比值求解,现学现用3: 已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程； （2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.解析：（1）∵，∴ （2）设点横坐标为, 点横坐标为.平行线分线段成比例定理：联立： 得： ，()222221416120440y kx k x kx x y ⎧⎨⎩=+⇒+++=+-=()()()()122122120116214123144k x x k x x k x x λ∆≥+=-+=⎧⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪⎪⎩12,x x ()2222161214141k k k λλ-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+()22314641k λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+0∆≥234k ≥()2311641λλ<≤+133λ<<1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()1,0C y x m =-+y P C ,Q R 2PQ PR=m 2,1,2,e a c b ====22:13y C x -=Q Q x P P x 2Q Px PQ PRx ==22{33y x m x y =-+-=222230x mx m +--=，则或（舍）与实际情况不符故三.课堂练习 强化技巧1.已知椭圆过，且离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点， 点坐标为，求直线的斜率之和.【答案】（1）；（2）的斜率之和为2. 解析（Ⅰ）解：由已知得解之得，a =2，b，c =1.所以椭圆方程为:（Ⅱ）设，由(1)得，设直线的方程为与椭圆联立得 消去x 得， 所以①所以 ② 将①带入②,化简得:当直线斜率不存在时，A (1, －)，B (1, )，,P Qx =2QP x x ===21,1m m ==1m =-1m =2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭12e =C F l ,A B D ()4,3,DA DB 22143x y +=,DA DB 222221911,,42c a b c a b a +===+22143x y +=()()1122,,,Ax y B x y ()1,0F l ()1y k x =-221{ 43x y y kx k+==-()222223484120k x k x k +-+-=221212228412,4343k k x x x x k k -+==++121212121233333333=2444444DA DB y y kx k kx k k k k k k x x x x x x --------+=+=+++------()()()1212121281=233=2334+1+14+6x x k k k k x x x x x x ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭2DA DB k k +=l 32322DA DB k k +=所以的斜率之和为2.2. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程。
5.解析几何中韦达定理的运用
(2)证明：将直线 l 的方程 y kx 1代入圆 C : (x 2)2 ( y 3)2 1 ，
得 (1 k 2 )x2 4(1 k)x 7 0 ，设 M (x1 , y1) 、 N (x2 , y2 ) ，则
x1
x2
4(1 k 1 k2
)
，
x1
x2
3 x1x2 2(x1 x2 ) 4
1点 2k 3睛
4k 2 12 4k2 3
3k
8k 2 4k2
3
4k 2 4k 2
12 3
2
8k 2 4k2
3
4k 4
1 k
所以 k·k 为定值 1.
点 睛
点 睛
点 睛
点 睛
点 睛
点 睛
k2 1
3
3
点 所睛以实数
k
取值范围为
(
4
7 , 4
7)
3
3
2．涉及向量的数量积的问题
【例 2】已知：过点 A(0 , 1) 且斜率为 k 的直线与圆 C : (x 2)2 ( y 3)2 1
相交于 M , N 两点（1）求实数 k 取值范围；（2）求证： AM AN 为定值
，则
x1
x2
8m 5
线点段 睛
AB
的中点为
P(4 5
,
1) ， 5
x1
x2
8 5
，
8m 5
8 5
，即 m
1，满足（**）式
平面解析几何中韦达定理的运用
．
，
，
９
ｋ
４Ｓ ２０
＋ ＿＿ ｌ
２
５
例 １ 知 直 线ｘ ｖ ２ 抛 物 线 ｖ＝ ｘＥ于 Ａ、 两 点 ， ． 已 —＝ 与 ４ Ｓ Ｂ 试求 线 段 Ａ 的 中点 坐 标 。 Ｂ 解 ： 直 线Ｙ ｘ ２ ｔ 抛 物 线 Ｖ ４ ， 将 ＝一４入 。 ｘ 消去 ｖ 方 程 ｘ一 ｘ ４ ＝ 得 ８＋ ＝ Ｏ 。设 Ａ（ Ｙ ） Ｂ（ ， ， 南韦 达 定理 知 ｘ＋ ， ８ 从 而线 段 ＡＢ ｘ ， ， ｘ ｖ ） 则 ，ｘ＝ ， 小点 横 坐 标 为４， 代 入 商 线 ｙ ｘ ２ 纵 坐 标 为 ２ 故 线 段 Ａ 巾 再 ＝一得 ， Ｂ
２用 于 求 参 数 的 范 围 ．
说明 ： 围问题 一般 是将两 曲线联 立方 程消 去其 中的一 个变 范 量得 出关于 另一个 变量 的一 元二 次方程 ，然 后或 保证 根 的存在 ， 再结合 图形 的实 际情况 确保 有交 点 ．最后 才能运 用 韦达 定理 ， 建 立出符 合条 件的关 系式 ， 此关 系式并 检验 后得正 确结 论。 解
一
ａ 一３
当 点 Ｐ Ｑ 定 点 Ａ的 同侧 时 ， 、 点 对 应 的 参 数 ｔ ｔ 号 ， 、在 Ｐ Ｑ两 ２ ，同 因 此 有 ｉＩｈＩｈ＋ ； Ｐ Ｑ 顶 点 Ａ的 异 侧 时 ， Ｑ 应 的 参 ｔ ＋ ＝ ｔ 当 、 在 Ｉ Ｐ、 对
（ｌｔ） （】ｔ ‘４ｌ＝ ２ 所 以ＩＰ＋Ａ ＝ ｌｔ＝ ２ ｔ ２‘ ｔ ２ 一 ｔ２１ ， － ＝ ＋） ｔ １ Ａ ＩＩＱＩｈ＋２ １ 。 １ （ ） Ｑ＝ ｔ ４ ／７。 ２ Ｉ Ｉｈ一２ 、 Ｐ １ ＝
说 明 ：此 题是 利用 直 线 参 数 方 程 中 ｔ 几 何 意 义 求 解 的 ， 的
韦达定理的分类应用
韦达定理的分类应用引言韦达定理，也被称为平面解析几何的圆锥曲线定理，是数学中重要的定理之一。
它揭示了平面上一条直线与一个圆锥曲线的关系，具有广泛的应用价值。
本文将介绍韦达定理的分类应用，包括判断直线与圆锥曲线的位置关系，求解直线与圆锥曲线的交点等。
定理表述韦达定理的一般表述为：平面上一条直线与一个圆锥曲线相交点的数量等于该直线与曲线的方程的次数之和。
应用场景1. 判断直线与圆锥曲线的位置关系利用韦达定理，可以通过判断直线与圆锥曲线的交点数量来确定它们的位置关系。
如果交点数量为零，则说明直线与圆锥曲线没有交点，两者不相交；如果交点数量为一个，则说明直线与圆锥曲线相切；如果交点数量为两个，则说明直线穿过圆锥曲线。
2. 求解直线与圆锥曲线的交点除了判断位置关系，韦达定理还可以帮助求解直线与圆锥曲线的交点坐标。
首先，根据直线与曲线的方程构成一个方程组，然后通过解方程组可以求得交点的坐标。
案例分析下面通过一个简单的案例来说明韦达定理的应用。
案例：求解直线与椭圆的交点坐标。
已知椭圆的方程为：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$直线的方程为：$y = mx + c$将直线的方程代入椭圆的方程，得到：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{(mx + c)^2}{b^2} = 1$$整理后可得二次方程：$$(a^2m^2 + b^2)x^2 + 2a^2mcx + (a^2c^2 - a^2b^2) = 0$$利用韦达定理，可以求解该二次方程的解，即直线与椭圆的交点坐标。
结论韦达定理是一项重要的数学工具，可以方便地判断直线与圆锥曲线的位置关系，以及求解它们的交点坐标。
在实际问题中，对于涉及圆锥曲线的分析和计算，韦达定理具有广泛的应用价值。
韦达定理在实际问题中的应用
韦达定理在实际问题中的应用韦达定理是一个非常有用的几何定理，它被广泛应用于各种实际问题中，包括工程学、物理学和金融学等领域。
本文将讨论韦达定理的定义、证明和一些实际应用。
一、韦达定理的定义韦达定理是一个三角形内部的一个重要定理，它阐述了三角形内任意一点到三边的距离之积等于这个点到三边的三条距离之积。
图1：韦达定理示意图设三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，三角形内任意一点P到三条边的距离分别为d1、d2和d3，则根据韦达定理有：AB × PC × d1= BC × PA × d2= AC × PB × d3二、韦达定理的证明韦达定理的证明可以使用相似三角形和割线定理来完成。
首先，我们利用相似三角形证明了韦达定理在三角形底边上的一个特殊情况。
例如，在图1中，我们可以通过相似三角形证明： PB/AB = PC/AC令 d1 = h1、d2 = h2，则 h1/h2 = PB/PC因此，韦达定理的底边情况成立。
接下来，我们可以使用割线定理继续证明韦达定理。
在图1中，我们从点P引一条平行于AB的直线，它与BC和AC的交点分别为Q和R。
根据割线定理，有：PB/PC = BQ/CR又因为三角形PAB和PCQ相似，三角形PAR和PRB相似，因此有以下等式成立：PA/PC = AB/BQRA/RB = AP/PB将上述等式代入割线定理公式中得：PB/PC = AB/BQ = AP/CR = RA/RB = h3/h4因此，有以下等式成立：AB × PC × d1 = BC × PA × d2 = AC × PB × d3 = h1 × h2 × h3/h4由此可知，韦达定理成立。
三、韦达定理在许多实际问题中都有广泛的应用。
以下是一些例子。
1.测量塔的高度韦达定理可以用于测量一座塔的高度，方法是测量一个与塔底线平行的直线段和它到塔顶的距离，以及一个与塔底线垂直的直线段和它到塔顶的距离。
韦达定理在解析几何中的应用1
韦达定理在解析几何中的应用一、 基本应用 直线与圆锥曲线相交相关的弦长、弦的中点、垂直等问题 例1、椭圆122=+by ax 与直线01=-+y x 相交于A 、B ，点C 是AB 的中点，若22=AB ，OC 的斜率为22，求椭圆的方程。
（. 答案：3222=+y x ） 例2、已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率23=e ；直线l ：01=++y x 与椭圆E 交于Q P ，两点，且OQ OP ⊥，求椭圆E 的方程。
（答案：1585222=+y x ） 例3．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上。
（1）分别求A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积； （2）求证：直线AB 经过一个定点，求出该定点的坐标； （3）过定点(,0)M p 任作抛物线的一弦PQ ，求证：2211MPMQ+为定值。
[例3变式训练]求O 点在线段AB 上的射影M 的轨迹方程答案：（1）2214p y y -=； 2214p x x = ；（2）直线AB 过定点()2,0p ；（3）21p。
设直线:PQ x my p =+，由22x my py px=+⎧⎨=⎩消去x 有：22220y pmy p --=，所以1221222y y pm y y p+=⎧⎨=-⎩，MP=1y ，MQ=2y ， 2212222222222121211111(1)(1)1y y m y m y m y y MP MQ ++=+=⋅+++ 222121222222212()211(2)2(2)11()1(2)y y y y pm p m y y m p p +---=⋅=⋅=++-二、综合应用 直线与椭圆相交问题：同一条直线上的线段之比问题、三角形及四边形面积问题、三点共线、定值定直线等问题4．如图，已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，P 为平 面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅ 。
韦达定理及其应用
韦达定理及其应用
韦达定理是一种基本的数学定理，它描述了一个三角形中两条边的长度与第三边的夹
角之间的关系。
它可以用来求解一个三角形的性质，甚至解决更复杂的几何问题。
韦达定理由法国数学家查尔斯·韦达提出，于1806年于科学期刊《乌拉法叶斯特》
上发表。
它首先被用来证明三角形的直角性质，然后被扩展用来证明更多其它的相关性质。
韦达定理可以用下面的公式表示：
a^2+b^2=c^2-2*c*a*cos(B)
其中a,b,c分别表示三角形ABC的3条边的长度，B表示边AC与BC之间的夹角。
由于韦达定理可以用来求解三角形的特性，因此它可以用来解决几何问题。
例如，如
果我们有一个三角形ABC，我们想求解它的外角A、边BC的长度和边AB的长度，则可以
用韦达定理：
假设a=3,c=4,B°=30°，根据韦达定理，
即 b^2= 16-24*cos(30°)=16-24*3^(1/2)/2
所以b=√5
另外，由余弦定理可以求出A°=60°
因此，三角形ABC的三角形性质为a=3,b=√5,c=4,A=60°,B=30°。
此外，韦达定理还有许多额外的应用。
例如，它可以用来求解由全等三角形的边来确
定的三角形的外角的性质，用来解决椭圆的几何上的直角形之间的关系等等。
它的应用非常广泛，几乎每一门数学和几何课程中都会涉及到它。
韦达定理不但可以
帮助我们在解决几何问题中取得关键性的进展，而且还多次提供了无穷多有用的解法。
韦达定理的妙用
作者： 王体东
作者机构： 山东省单县湖西高中
出版物刊名： 上海中学数学
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摘要：韦达定理是中学数学的重要内容 ,它涉及面广 ,综合性强 ,既是一个活跃的知识点 ,又是数学知识链上不可缺少的一环 .原则上讲 ,凡涉及到两量之和 (差 )与积的问题都可联系韦达定理,赋两根以几何意义 ,特别是巧妙构思 ,创设一元二次方程 ,构造应用韦达定理的条件 ,使问题化难为易 . 一、在平面几何中的应用【例 1】 (蝴蝶定理 )过圆O的AB弦的中点M引任意两弦CD和EF ,连CF和ED交弦AB于P、Q ,求证 :PM =MQ .分析 :蝴蝶定理是平面几何中一个重要的定理 ,1973年美国中学教师斯特温利用正弦定理和相交弦定理给出证明 ,此处从略 .下面我们利用韦达定理使该题化难为易 ,变繁为简 ,使得解题过程显得灵活而新颖 ,简捷而巧妙 !证明 :如下图,以M为原点 ,AB为x轴建立坐标系 ,则已知条件可以坐标化 .圆的方程为 :x2 +y2 -2by+f =0 ①直线CD、EF的方程分别为 :y=k1 x ;y=k2 x ,这可合并写为 (y-k1 x) (y-k2 x) =0 ②(其中k1、k2 分别为直线CD、EF的斜率 )于是过①、②交点C、F、D、E的二次曲线系为 :x2 +yy2 -...。
初三中考数学专题4：韦达定理应用探讨
【中考攻略】专题4：韦达定理应用探讨韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。
韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。
韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212bc x +x =x x =a a-⋅，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。
其逆命题：如果12x x ，满足1212b c x +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。
韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式2=b 4ac 0∆-≥。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
锦元数学工作室将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用。
下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。
典型例题：例1：（2012湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是【 】A ．－2B ．2C ．3D ．1 【答案】C 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝3。
故选C 。
例2：（2001湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1·x 2的值是【 】A.4.B.3.C.－4.D.－3. 【答案】B 。
巧用韦达定理简化解题过程
巧用韦达定理简化解题过程
杨燕
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2012(000)007
【摘要】高中的平面解析几何，是用代数方法来研究平面几何图形的问题，它所提出的问题以及问题的结论都是几何形式，而中间的论证和推导基本上是用代数方法．有许多题型中都会涉及二次函数韦达定理的综合应用．
【总页数】2页(P98-98,100)
【作者】杨燕
【作者单位】浙江省诸暨市牌头中学,311825
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.巧用判别式与韦达定理解题
2.巧用韦达定理和判别式解题
3.例谈巧用韦达定理解题
4.巧用韦达定理
5.巧用韦达定理和判别式解题
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韦达定理在《解析几何》中的应用
韦达定理在《解析几何》中的应用韦达定理在解析几何中的应用：一点P到一条线段AB上的距离，等于该点到它所在线段垂直平分线上其他各点的距离的和。
这句话告诉我们，当一个平面区域与其他曲面区域交界处，在此区域内，平行线分线段成比例。
2。
已知函数g(x) = 3(2x - 3) + 6(4x-5),其图像是单调递增的，求实数a的取值范围。
证明：因为它是递增的，所以是严格增函数。
当且仅当a=0时，在[-3,+3]上是减函数，且，有两个端点，在这两个端点的距离都相等，得出结论。
解析：设函数的定义域为C：(0， 1)(1， 4)，则在区间[0， 1]内， x属于区间[0， 1]，从而有显然，所以，所以，即所以，对任意，由分析可得证毕(1)(2)可见，上述命题是假命题。
对此，可设点P在点（ 2， -2）处，由知，而解之。
设点P在（ 2， 1）处，由，得，解得。
设点P 在（ 2， 3）处，由解得。
设点P在（ 2， -3）处，由解得。
设点P在（ 2， 1）处，由，得，解得。
由对称性得，得，设点P在（ 2，-3）处，由，得，解得。
设点P在（ 2， -3）处，由，得，解得。
设点P在（ 2， 3）处，由，得，解得。
设点P在（ 2， 1）处，由，得，解得。
设点P在（ 2， -3）处，由解得。
由对称性得，得，设点P在（ 2， -3）处，由，得，解得。
设点P在（ 2， 1）处，由，得，解得。
设点P在（ 2， -3）处，由解得。
设点P在（ 2， 3）处，由，得，解得。
设点P在（ 2， 1）处，由，得，解得。
由对称性得，得，设点P在（ 2， -3）处，由，得，解得。
设点P在（ 2，3）处，由，得，解得。
由对称性得，得，设点P在（ 2， 1）处，由，得，解得。
设点P在（ 2， 3）处，由，得，解得。
设点P在（ 2，3）处，由，得，解得。
设点P在（ 2， -3）处，由解得。
由对称性得，得，设点P在（ 2， -3）处，由，得，解得。
设点P在（ 2， 3）处，由，得，解得。
韦达定理——精选推荐
于是，c、d是⽅程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根．由韦达定理，有c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2．例2已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．分析：显然已知⼆式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该⼀元⼆次⽅程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应⽤韦达定理求解．解：由已知可构造⼀个⼀元⼆次⽅程x2＋x－1=0，其⼆根为a、b．由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．故ab＋a＋b＝－2．⼆、先恒等变形，再应⽤韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等⽅法，构造出形如a＋b、a·b形式的式⼦，则可考虑应⽤韦达定理．例3若实数x、y、z满⾜x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．证明：将已知⼆式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．由韦达定理知x、y是⽅程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．∵x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．则z2≤0，⼜∵z为实数，∴z2＝0，即△＝0．于是，⽅程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．由已知⼆式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理三、已知⼀元⼆次⽅程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑⽤韦达定理例5已知⽅程x2＋px＋q＝0的⼆根之⽐为1∶2，⽅程的判别式的值为1．求p与q之值，解此⽅程．解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有a＋2a＝－P，①a·2a＝q，②P2－4q＝1．③把①、②代⼊③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．∴⽅程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．例6设⽅程x2＋px＋q＝0的两根之差等于⽅程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．证明：设⽅程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．由题意知α－β＝α＇－β＇，故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．从⽽有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①把②代⼊①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．故p－q＝0或p＋q＋4＝0，即p＝q或p＋q＝－4．四、关于两个⼀元⼆次⽅程有公共根的题⽬，可考虑⽤韦达定理例7m为问值时，⽅程x2＋mx－3＝0与⽅程x2－4x－(m－1)＝0有⼀个公共根？并求出这个公共根．解：设公共根为α，易知，原⽅程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．由韦达定理，得α(m＋α)＝3，①α(4－α)＝－(m－1)．②由②得m＝1－4α＋α2，③把③代⼊①得α3－3α2＋α－3＝0，即(α－3)(α2＋1)＝0．∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．把α＝3代⼊③，得m＝－2．故当m＝－2时，两个已知⽅程有⼀个公共根，这个公共根为3．韦达定理的补充资料：韦达定理的发展简史法国数学家弗朗索⽡·韦达于1615年在著作《论⽅程的识别与订正》中改进了三、四次⽅程的解法，还对n=2、3的情形，建⽴了⽅程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。
专题4：韦达定理应用探讨
【2013年中考攻略】专题4：韦达定理应用探讨锦元数学工作室 编辑韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。
韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。
韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212bc x +x =x x =a a-⋅，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。
其逆命题：如果12x x ，满足1212b cx +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。
韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式2=b 4ac 0∆-≥。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
锦元数学工作室将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用。
下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。
典型例题：例1：（2012湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是【 】A ．－2B ．2C ．3D ．1例2：（2001湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1·x 2的值是【 】A.4.B.3.C.－4.D.－3.例3：（2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】 A ．x 2+2x ﹣4=0 B ．x 2﹣4x+4=0 C ．x 2+4x+10=0 D ．x 2+4x ﹣5=0例4：（2012广西来宾3分）已知关于x 的一元二次方程x 2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【 】A ．－2B ．0C ．1D ．2练习题：1. （2007重庆市3分）已知一元二次方程22x 3x 10--=的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2= ▲ 。
浅谈韦达定理法在解析几何解题中的应用
浅谈韦达定理法在解析几何解题中的应用作者：黄织卿来源：《文理导航》2011年第22期韦达定理是中学数学的一个重要内容,其知识脉络贯穿于中学数学教学的始终。
利用一元二次方程根与系数关系的韦达定理解题的方法叫韦达定理法。
在平面解析几何中，韦达定理法是解决其习题的主要技巧之一。
在教学中通过一些典型例题的分析,可以培养学生严谨的解题习惯和提高学生解决问题的能力。
本文通过教学体会，着重探讨了如何通过韦达定法理解决解析几何习题中的有关问题。
一、利用韦达定理法解决关于弦中点的问题在处理圆锥曲线中特殊点的轨迹方程时，若能灵活利用韦达定理法来求解会带来很大的方便。
例1.过椭圆+=1内一定点（1，0）引弦，求该弦的中点的轨迹方程。
解：设过点（1，0）的弦所在的直线方程为y=k（x-1），弦的中点坐标为P（x0，y0），则得方程组：y=k（x-1）+=1消去y，并整理后得：（9k2+4）x2-18k2x+9k2-36=0。
根据韦达定理可得x1+x2=因此中点P的坐标为x0==，y0=k（x0-1）=所以=-k，由此可得k=-。
将k=-代入y0=k（x0-1）中得y0=-（x0-1），整理后得4x02+9y02-4x0=0将x0、y0分别换成x、y，故所求轨迹方程为4x2+9y2-4x=0。
二、利用韦达定理法解决关于弦长的问题弦长问题在解析几何中是一个典型常见的问题，解决此类问题时韦达定理法常常起到关键的作用。
例2.顶点在原点，焦点在轴上的抛物线，被直线y=2x+1截得弦长为，求该抛物线的方程。
解：设抛物线的方程为y2=2px，将y=2x+1代入上抛物线方程中得（2x+1）2=2px，整理后得4x2+2（2-p）x+1=0。
∵△=[2（2-p）]2-4×4×1>0∴p4。
设直线与抛物线的两交点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），根据韦达定理有x1+x2=（p-2），x1x2=∵│AB│====。
韦达定理在解析几何中的应用
解：设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 L 的方程为 y=kx-1. 联立方程组 y=kx-1 和 y=x2 2
消去 y 得
x2+2kx-2=0. 因 4k 2 8 0 ，所以直线与曲线有两不同交点 由韦达定理得 x1+x2=-2k, x1x2= -2.
y1 y2 kx1 1 kx2 1 x1 x2 2 k k 1 又x x x x2 x1 x2 1 2 1
所以： (3 2 y1 )(3 2 y2 ) y1 y2 0 ，整理得： 5 y1 y2 6( y1 y2 ) 9 0 又由 x2+y2+x-6y+m=0 与 x+2y-3=0 联立消去 x 得： 6m 2 y y 5 y 20 y 6 m 0 ，由韦达定理得： y1 y2 4 ， 1 2 5 6m 5 6 4 9 0 所以： ，解得 m 9 5
韦达定理在解析几何 中的应用
p 2
一.求弦长
2 y 例1.已知直线L的斜率为2，且过抛物线 2 px
的焦点，求直线L被抛物线截得的弦长。
p 解：易知直线 L 的方程为 y=2(x- 2 ). 联立方程组 p y2=2px 和 y=2(x- 2 ) 消去 x 得 y2-py-p2=0.∵△=5p2>0,
则直线 L 的方程为 y = x-1.
作业 3:求 m 的值，使圆 x2+y2+x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 的两个交点 A、B 满足 OA⊥OB.
解析：设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 因为 OA
y y OB ,所以： x x
两点坐标的距离韦达定理
两点坐标的距离韦达定理在几何学中，计算两个点之间的距离是一个基本问题。
在二维坐标系中，我们可以使用勾股定理来计算两个点之间的直线距离。
然而，在某些情况下，我们可能希望计算两点之间的曼哈顿距离或切比雪夫距离。
这就引出了韦达定理，它是求解两点坐标距离的一种简化方法。
韦达定理的定义韦达定理是一个几何学定理，用于计算二维平面上两个点之间的距离。
它基于曼哈顿距离的概念，也称为城市街区距离，指的是从一个点到另一个点沿着坐标轴走的最短路径的长度。
韦达定理的表述如下：当平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)时，它们之间的距离D可以使用以下公式计算:D = |x2 - x1| + |y2 - y1|其中“| |”表示取绝对值。
韦达定理的应用举例韦达定理可以应用于许多几何问题中。
下面是一些使用韦达定理的示例：例1：计算两个城市之间的最短驾驶距离假设有两个城市A和B，它们的坐标分别为A(2, 3)和B(5, 7)。
我们希望计算从城市A到城市B的最短驾驶距离。
根据韦达定理，我们可以得到：D = |5 - 2| + |7 - 3| = 3 + 4 = 7所以，从城市A到城市B的最短驾驶距离为7个单位。
例2：计算机器人移动的步数假设有一个机器人，初始位置为(0, 0)。
我们想知道机器人移动到位置(3, 4)需要多少步。
根据韦达定理，我们可以得到：D = |3 - 0| + |4 - 0| = 3 + 4 = 7所以，机器人移动到位置(3, 4)需要7个步骤。
例3：制定行驶路线假设你要驾驶一辆汽车沿着一条道路行驶，道路从点A(1, 3)延伸到点B(6, 3)，然后转向点C(6, 7)。
你想计算沿着道路行驶的总距离。
根据韦达定理，我们可以进行如下计算：D = |6 - 1| + |3 - 3| + |6 - 6| + |7 - 3| = 5 + 0 + 0 + 4 = 9所以，沿着道路行驶的总距离为9个单位。
由上面的例子可以看出，韦达定理是一个简单而实用的方法，可以用于计算二维平面上任意两点之间的距离。
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韦达定理在平面在几何中的应用姓名：莫……学号：201040432018班级：10数学本科（2）班院系：兴义民族师范学院1 引言韦达(Viete，Francois，seigneurdeLa Bigot iere) 是法国十六世纪最有影响的数学家之一.韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃.人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.他最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系, 因此, 人们把这种关系称之为韦达定理(Viete’s Theorem).它的主要内容是：一元二次方程且中，设两个根为和，则：，. 一元二次方程根与系数关系的韦达定理是中学数学的重要内容之一，其知识脉络贯穿于中学数学教学的始终. 对韦达定理(Viete’s Theorem)在中学数学中的应用的研究，国内外很多教育学者和专家都有大量研究成果，范围涉及方程、代数、三角、解析几何，平面几何等多方面.摘要韦达定理揭示了一元二次方程根与系数的关系，它在中学数学中占有很重要的位置，根据这个定理欲证U+V=Q或U.V=Q，只需证U和V是方程20++=（a≠0）的两个根。
在平面几何中，常常会遇到求证两个几何量ax bx c的和或积等某值的问题，运用韦达定理可以给求解这类问题打开一条思路，解题的关键是建立所考察的两个几何量为根的一元二次方程，而建立这样的方程可借助余弦定理等工具来实现。
下面列举说明韦达定理在求解这类问题中的应用。
韦达定：韦达定理平面几何一元二次方程。
AbstractWada theorem reveals a yuan quadratic equation root and coefficient of relationship, it occupies very important position in the middle school mathematics, according to the theorem to U + V=Qor U.V = Q, just U and V is equation (indicates a 0) the two root. In plane geometry, often will encounter two geometric verification and/or the amount of product such as a value problem, using the wada theorem can open an idea for solving this kind of problem, the problem solving is the key to establish examined two geometric quantity for a yuan quadratic equation root, and such an equation can be achieved with the aid of tools such as cosine theorem to. Below list illustrates ouida theorem application in solving such problems.Keywords：wada theorem plane geometry a yuan quadratic equation1、韦达定理概述根据记载，在韦达那个年代，有一个角落们的比例是数学家提出了一个45次方程各国数学家挑战各国数学家挑战。
法国国王便将这个充满挑战的问题交给了韦达，韦达当即就得出一个正根，再由他研究了一晚上时间就得出了23个正根（另外的22个负根被他舍了），消息传开，让当时整个数学界都为之震惊。
在他阶梯式发现方程的根似乎与某些系数有关联，因此他就对此进行了一系列的研究，在不久以后发现了伟大的韦达定理。
韦达定理：在一元二次方程20ax bx c ++=，（a ≠0）当24b ac ∆≥-，则原方程的两个根满足以下规律：12b x x a +=-，12.c x x a= 韦达定理得逆定理：如果12x x ，满足12b x x a +=-，12.c x x a=，那么12x x ，是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根。
2、韦达定理证明2.1.求根公式：根据将20ax bx c ++= （a ≠0）配方得到的21,242b b ac x a -±-= 可得2212442222b b ac b b ac b b x x a a a a-+-----+=+==- 222212244(4)()224b b ac b b ac b b ac c x x a a a a-+------⨯=⨯== 2.2.同解方程法：若20ax bx c ++= （a ≠0）的两个根1x ，2x ，那么知道212()()ax bx c a x x x x ++=--左边2212121212()ax ax x ax x ax x ax a x x x ax x =-⨯-⨯+=-++比较系数知：12()b a x x -+= 121212b c ax x c x x x x a a=⇒+=-⨯=， 与韦达定理有关推论；2124b ac x x a--=3、韦达定理在平面几何中的应用3.1.例1，设P 是正三角形ABC 外接圆的BC 上的任一点，求证；(1) PB+PC=PA(2) PB.PC=22PA PB -证明；△ABC 是正三角形故知AB=AC∠APB=∠ACB=∠APC=060在ABP ∆中，由余弦定理可有 22202c o s 60A B P A P B P A P B =+-⋅ 即222()0PB PA PB PA AB -⋅+-= (1)同理，注意AC=AB ，则由APC ∆可有；……（2） 图1由（1）和（2）得PB,PC 的方程222(P A A B )0x P A x -+-= 的两个根，于是 由韦达定理就有,PB+PC=PA 22PB PC PA AB ⋅=-3.2.例2，设P 为定角∠xAy 的平分线上的一个定点，过A,P 两点任作一圆∠xAy的两边于B,C 两点，连接BC 交AP 于Q ，求证；（1）AB+AC=定值 （2）AB .PC=AP .AQ证明；连接PB,PC,因A,P 是定点，故AP 为定长，又BAC ∠为定角(记作2θ)AP 为其平分线，故知0BAP PAC ∠=∠=为定角，且易知PB=PC 图2在△BAP 中，由余弦定理可得；2222cos PB AP AB AB AP θ=+-⋅即；222(2APcos )AB (AP PB )0AB θ-+-=……(1) 图2同理，注意PC=PB ，则由△APC 可得；222(2APcos )AC (AP PB )0AC θ-+-= (2)由(1)(2)可知，AB,AC 是方程；222(2cos )(AP PB )0x AP x θ-+-= 的两个根于是，由韦达定理得;2cos AB AC AP θ+=为值,22AB AC AP PB =- (3)又在△QPB 和△APB 中∠BAP=∠PAC=∠PBC=∠PCB △APB ∽△BPQ∠APB 为公共角从而，AP:PB=PB:QP 2PB =AP .QP∴222Q (AP QP)AP AQ AP PB AP AP P AP -=-⋅=-=⋅ (4)由（3）和（4）就得AB .AC=AP .AQ3.3.例3，已知四边形ABCD 内接半径为R 的圆，且AB=AD ，求证（1）22AB BC DC AB =⋅+（2）22222(BC DC)AC (4R AB )R +=-证明；设∠ACB=θ，仿照前例证法，由△ ABC 和△ACD 容易知BC ，DC 是方程222(2cos )(AC AB )0x AC x θ-+-=的两个根，于是由韦达定理就得：22BC DC AC AB ⋅=- 即22AC BC DC AB =⋅+ 图33.4.例4．设在△ABC 中，∠BAC 的平分线交于BC 于D 求证2AD AB AC DB DC =⋅-⋅.证明；设∠BAD=∠DAC=θ ∠ADB=∂ ADC=β则，0+=180αβ，sin =sin θβ在△ABD 中，由正弦定理和余弦定理可得；s i n s i nD B A B θθ= ………… （1） 2222cos DB AB AD AB AD θ=+-⋅ 图4 那么，2222(ADcos )AB (AD DB )0AB θ-+-=22(2ADcos )AB (AD DB DC DB BC)0AB θ-++⋅-⋅= (2)把（1）代入（2）式最末一项，经整理得；22sin (2ADcos )AB (AD DB DC)0sin BC AB θθα-+++⋅= ……（3） 同理，注意sin =sin βα，则由△APC 可得；2s i n (2A D c o s )A C ()0s i n BC AC AD DB DC θθα-+++⋅= (4)由（3）（4）可知，AB ，AC 是方程；22sin (2cos )()0sin BC x AD x AD DB DC θθα-+++⋅=的两个根， 于是，由韦达定理就得；2AB AC AD DB DC ⋅=+⋅由此可得；2AD AB AC DB DC =⋅-⋅这里我们还可以顺便得到；s i n 2c o s s i n BD AB AC AD θθα+=+3.5.例5．设P 是正三角形ABC 的外接圆的BC 上的任意一点，AP 交BC 于M ， 求证；111PB PC PM+=证明；设∠BMP=α ∠CMP=β则，0+=180αβ s i n =s i nαβ 对∠APB=∠APC=060在△BMP 中，由正弦定理和余弦定理得；0sin 603sin 2sin MB PB αθ== …………（1） 图5 22202cos60MB PM PB PM PB =+-⋅ 即；223()(1)04sin PM PM PC PB α-+-= …………（2） 同理；注意sin sin βα=则△PMC 可得；223()(1)04sin PM PM PC PC β-+-= …………（3） 则由（2）（3）可知，,PM PM PB PC 是方程223104sin x x α-+-= 的两个根，由韦达定理得；1111PM PM PB PC PB PC PM+=⇒+= 顺便可知；22331(1)4sin 4sin PM PM PM PB PC PB PC αα⋅=-⇒=-⋅3.6.例6.（1978年高考题）在梯形ABCD 中，已知AB//CD ，∠ABC=090， 以A 为直径作圆交BC 于E ，F ，设∠EAB=α ∠EAD= β 求 ；(1)tan tan BC ABαβ+=(2)tan tan CD AD αβ⋅= 证明；欲证明此命题成立，只需要证tan ,tan αβ 是方程；20BC CD x x AB AB-+=（1）的两个根 图6连接DE ，易知△ABE ，△AED 都是Rt △ ∠DEC=∠EAB=α Rt △A ∽Rt △ECD 从而tan 0BE CD AB CD BE EC AB ECα==⇒⋅-⋅= tan ED EC AE ABβ== 令tan BE x ABα==代入方程（1）左边得； 2222(BC BE)()0BE BC BE CD AB CD BE AB CD BE EC AB AB AB AB AB ⋅⋅--⋅-⋅-+=== 故知tan α识方程（1）的根 同理，令tan EC x ABβ==代入方程（1）左边 可知tan β是方程（1）的根，于是由韦达定理得；tan tan BC ABαβ+= tan tan CD ADαβ⋅=4、韦达定理的推广高次方程中的韦达定理： 一元三次方程中的韦达定理，像上文中的同解方程法一样设320ax bx cx d +++=（a ≠0）的三根为123x x x ，，易知32123()()()ax bx cx d a x x x x x x +++=---左右分别展开得:3232123122331123()()ax bx cx d ax a x x x x a x x x x x x x ax x x +++=-+++++- 比较系数得:123121231123b c d x x x x x x x x x x x x a a a++=-++==- 依此类推也可知在高次方程中一般情况下，如果一元n 次方程1212100n n n n n n a x a x a x a a ----+++++= （a ≠0）的根为123n x x x x ，，，那么再由同解方程法并展开比较系数后有如下结论1123n n na x x x x a -++++=- 212231n n n na x x x x x x a --+++= 312323434521n n n n a x x x x x x x x x x x x a --++++=-012321(1)nn n n n a x x x x x x a --=- 这就是高次方程中的韦达定理得形式。