《自动控制原理》 相平面法

(8-24) (8-25) (8-26) (8-27)
c(t) = − b c(t) = kc(t)
+a
(8-28)
其中k为等倾线的斜率。当 a2 − 4b 0时，且 b 0 时，可得满
足k＝a的两条特殊的等倾线，其斜率为: ???
k1,2 = 1,2 = s1,2 = − a
a2 2
− 4b
(2)线性二阶系统的相轨迹
c + ac + bc = 0
当b>0时，上述(运动)微分方程又可以表示为
c + 2wnc + wn2c = 0
线性二阶系统的特征根
s1,2 = − a
a2 − 4b 2
相轨迹微分方程为 (相轨迹切线斜率ZX)
dc dc
=
−
ac − c
bc
令
−
ac − bc c
=
，可得等倾线方程为：
初始条件下的运动对应多条相轨迹，形成相轨迹簇，而由一簇相轨
迹所组成的图形称为相平面图。
若已知x和 x 的时间响应曲线如图8-10(b),(c)所示，则可根据 任一时间点的x(t)和 x(t)的值，得到相轨迹上对应的点，并由此获
得一条相轨迹，如图8—10(a)所示。
相轨迹在某些特定情况下，也可以通过积分法，直接由微分方
U+jV 表示根为复数
2
2.00
2
7.46
s2 // jV -2.41 -2.00 0.00 -2.24 -7.46 -3.00 -2.00 -2.24 2.00 0.54
1)b<0。系统特征根
− a + a2 + 4b
s1 =
2
0
− a − a2 + 4b
s2 =
2
0
s1 ，s2 为两个符号相反的互异实根，
x + x = 0
将上式写为
x dx = −x dx
令 g(x) = x ，h(x)=-x，则按式(8—18)，有
x g(x)dx = x0
x xdx
x0
=
1 2
( x 2
−
x02 )
x h(x)dx =
x0
x
−
x0
xdx
=
−
1 2
(x2
−
x02
)
整理得
x2 + x2 = x02 + x02
二阶系统 参数变化 的十种情况：
s*s+a*s+b=s*s+2gw*s+w*w=0 ，a=2gw，b=w*w
Case CaseB Term1 Term2 a
b
g
w
s1 // U
1
1) b<0
2
-1
0.41
2
2) b=0 a>0
2
0
0.00
3
a<0
-2
0
2.00
4 3)<1>
0<g<1
2
4 0.5
2
x
h(x)dx
x0
x0
(8-18)
由此可得 x 和x的解析关系式，其中 x0 和 x0为初始条件。
例8-1 某弹簧-质量运动系统如图8—11所示，图中消为物体的质
量，是为弹簧的弹性系数，若初始条件为 x(0) = x0，x(0) = x0 ,试确
定系统自由运动的相轨迹。
解 描述系统自由运动的微分方程式为
8-3 相平面法
相平面法由庞加莱1885年首先提出。该方法通过图解法将一阶
和二阶系统的运动过程转化为位置和速度平面上的相轨迹，从而比
较直观、准确地反映系统的稳定性、平衡状态和稳态精度以及初始
条件及参数对系统运动的影响。相轨迹的绘制方法步骤简单、计算
量小，特别适用于分析常见非线性特性和一阶、二阶线性环节组合
过程的后期主要取决于 c10e−s1t 项。这一结果与相平面分析的结果一
致。
③ = 1 。系统特征根为两个相等的负实根。取 wn = 1 ，其相 平面图见图8—20。与 1 相比，相轨迹的渐近线即特殊等倾线蜕
化为一条，不同初始条件的相轨迹最终将沿着这条特殊的等倾线趋 于原点。
④ = 0。系统特征根为一对纯虚根 s1,2 = jwn。系统的自由运动为
=
−wn
+
wn
2 −1
(8-29)
该式表明，特殊的等倾线的斜率等于位于该等倾线上相轨迹任
一点的切线斜率，即当相轨迹运动至特殊的等倾线上时，将沿着等
倾线收敛或发散，而不可能脱离该等倾线。 理解！！
下面就线性二阶微分方程参数b<0，b＝o和b>0的七种不同情况
加以具体讨论，其相轨迹曲线采用等倾线法或解析法绘制而得。
x(t)为横坐标，x(t)为纵坐标构成的直角坐标平面称为相平面。相变
量从初始时刻 t0 对应的状态点( x0 , x0 )起，随着时间t的推移，在
相平面上运动形成的曲线称为相轨迹。在相轨迹上用箭头符号表示
参变量时间t的增加方向。根据微分方程解的存在与惟一性定理，
对于任一给定的初始条件，相平面上有一条相轨迹与之对应。多个
趋向原点
② 。 1 系统特征根为两个互异负实
根：s1 = −wn + wn 2 −1 ，s2 = −wn − wn 2 −1 。 系统的零输入响应为非振荡衰减形式，
存在两条特殊的等倾线，其斜率分别为
k1 = s1 0 ，k2 = s2 k2 (8—32)
系统相平面图见图8—18。当初始点
落在 c(t) = s1c(t) 或c(t) = s2c(t)直线
收敛至原点。
根据时域分析结果， 1 的线性二阶系统的自由运动为
c(t)
=
c e−s1t 10
+
c e−s2t 20
(8-36)
c10,c20由初始条件决定。当取初始条件使c10 = 0 (或 c10 = 0 )，则
相轨迹为 c = s2c(或 c = s1c)；而在其它情况下，由于特征根 s2远离 虚轴，故 c20e−s2t 相对于c10e−s1t 很快衰减，系统运动过程特别是过渡
(8-20)
该系统自由运动的相轨迹为以坐标原点为圆心、 为半径的圆，
见图8—12。
2.相轨迹绘制的等倾线法
等倾线法是求取相轨迹的一种作图方法，不需求解微分方程。
对于求解困难的非线性微分方程，图解方法显得尤为实用。等倾线
法的基本思想是先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线方
向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。
c增大， 减小；在第Ⅲ象限，c减小， 增大。在第Ⅱ(或第Ⅳ)象限，
两条特殊相轨迹将该象限划分为A，B和C三个区域，如图8—19所示。
因为
a − k = −2 wn − wn2 − k
k = −(k − s1)(k − s2 )
k
对于A区内任意一条 的等倾线，
由于 0 kA s1 s2，故 A kA， 相轨迹趋近于特殊等倾线 c = s1c； 对于B区内任一条 k = kB 的等倾线，
由式(8—16)可得相轨迹微分方程!!
dx = dx
f (x, x) x
(8—21)
该方程给出了相轨迹在相平面上任一点 (x, x)处切线斜率。取
相轨迹的斜率为某一常数 ，得等倾线方程!!。
x = f (x, x)
(8-22)
由该方程可在相平面上作一条曲线，称为等倾线。当相轨迹经
过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为 。取 为若
相轨迹方程为
c=−1c T
(8-23)
设系统初始条件为
c(0)
=
c0 ，则
c(0)
=
c0
=
−
1 T
c0，相轨迹如图8-14所示。
由图8-14知，相轨迹位于过原点，斜率为 − 1 的直线上。当T>0 T
时，相轨迹沿该直线收敛于原点；当T<0时，相轨迹沿该直线发散 至无穷。
问题：（1）等倾线方程？ （2）t—x(t) ?
-1.00
5 3)<2>
g>1
8
4
2
2
-0.54
6 3)<3>
g=1
6
9
1
3
-3.00
7 3)<4> b>0 g=0
0
4
0
2
0.00
8 3)<5>
0>g>-1
-2
4 -0.5
2
1.00
9 3)<6>
g=-1
10
g<-1
-4
4
-1
-8
4
-2
2 表示可以改的数，但要符合条件(term1,Term2)
注： a/b 可以仿真使用的系数
数作泰勒级数展开，并取一次项近似，获得平衡点处的增量线性微
分方程。因此，研究线性一阶、二阶系统的相轨迹及其特点是十分
必要的。下面研究线性一阶、二阶系统自由运动的相轨迹，所得结
论可作为非线性一阶、二阶系统相平面分析的基础。
(1)线性一阶系统的相轨迹
描述线性一阶系统自由运动的微分方程为
Tc + c = 0
上时，相轨迹沿该直线趋于原点；
除此之外，相轨迹最终沿着
c(t) = s1c(t) 的方向收敛至原点。
关于相轨迹的运动形式说明如下：
由式(8—28)知，线性二阶系统的等倾线斜率
可求得
k = − wn2
+ 2wn
(8-33)