勾股定理回顾与思考
第1章 《勾股定理》回顾与思考
•③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数 学模型解决现实世界的实际问题．
★【基础必杀题】满分：75 分 一、选择题
►答案见：D2
(★)分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，
设 BD＝x，则 CD＝14－x. 由勾股定理，得 AD2＝AB2－BD2＝152－x2， AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，
：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.
∴152－x2＝132－(14－x)2. 解得 x＝9. ∴AD＝12.
BD∴＝S△AxB， C＝12则BC·ACDD＝＝ 12×1144×－12＝x8. 4. 勾股定理，得 AD2＝AB2－BD2＝152－x2，
第一章 勾股定理
《勾股定理》回顾与思考
本 章知 识 架 构
直角三角形
勾股定理
勾股定理 的逆定理
验证方法 已知两边求
第ห้องสมุดไป่ตู้边
判定直角三角形 判定勾股数 判定垂直
一 勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，
那么
a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的
平方.
勾股定理的应用条件
为( D )
A．600 m
B．800 m
C．1 000 m
D．1 300 m
(★)如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中， 点 A，B 都是格点，则 AB 的长为( A ) A．5 B．6 C．7 D．25
(★)如图，长方体的高为 9 m，底面是边长为 6 m 的正方形，
勾股定理回顾与思考
AC1 =√52+22 =√29
.
综合运用
5.一长方体水池的长、宽、高分别为50cm、40cm、 30cm，池中有一满池水．小亮把长度为70cm的金属 棒放入水中，能否被完全淹没？说说你的理由．
2.已知△ABC的三条边长分别为a、b、c，且满足关系： (a+b)2 + c2 = 3ab + c(a+b),试判断△ABC的形状，并说 明理由.
b a b
a
c
勾股定理的作用
⑴已知直角三角形的两边，求第三边； ⑵已知直角三角形的一边，求另两边的关系； ⑶用于证明平方关系的问题； ⑷利用勾股定理，作出长为 n 的线段。
勾股定理逆定理
⑴如果三角形有三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角 形是直角三角形。 ⑵直角三角形的判定 设三角形ABC的三边长为a、b、c，①首先确定最长边（如 c）；②验证c2与a2+b2是否具有相等关系。 若a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形； a2+b2≠c2，则三 角形不是直角三角形。 注：a2+b2≠c2时，有两种情况； ① a2+b2﹥c2时，三角形为锐角三角形； ② a2+b2﹤c2时，三角形为钝角三角形。 ⑶勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数。
D1 A1 D C1
1 B1 C 4 2
A
B
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路 线有三种情况(如图①②③ ),由勾 股定理可求得图1中AC1爬行的路线 最短.
D D1 C1
2
D1
C1
1
A1
B1
4
①
②
A B 2
C1
1
勾股定理课后反思
勾股定理课后反思篇一：《勾股定理》教学反思时光稍纵即逝，转眼间一个新的学期又要结束了，回顾已逝的教学时光，可谓百味俱全，其间有一节课我上得最投入、最值得回忆与反思。
记得那是期末的展示汇报课，(主任说可能会有校外的教师来听课。
)我当时很有压力,晚上也难以入睡.我选的是《勾股定理》一课。
为了上好这节课，我反复研究了去洋思学习的一些记录，努力用新理念新手段来打造我的这节课。
当我满怀信心地上完这节课时，我心情愉悦，因为我教态自然得体，与学生合作默契，基本上获得了教学的成功。
1、从生活出发的教学让学生感受到学习的快乐在勾股定理这节课中，一开始引入情景：平平湖水清可鉴，荷花半尺出水面。
忽来一阵狂风急，吹倒荷花水中偃。
湖面之上不复见，入秋渔翁始发现。
花离根二尺远，试问水深尺若干。
知识回味：复习勾股定理及它的公式变形，然后是几组简单的计算。
2、走进生活：以装修房子为主线，设计木板能否通过门框，梯子底端滑出多少，求蚂蚁爬的最短距离，这些都是勾股定理应用的典型例题。
3、名题欣赏：首尾呼应，用代数方法解决几何问题。
印度数学家婆什迦罗（1141-1225年）提出的荷花问题比我国的引葭赴岸问题晚了一千多年。
引葭赴岸问题，是我国数学经典著作《九章算术》中的一道名题。
《九章算术》约成书于公元一世纪。
该书的第九章，即勾股章，详细讨论了用勾股定理解决应用问题的方法。
这一章的第6题，就是引葭赴岸问题，题目是：今有池一丈，葭生其中央，出水一尺。
引葭赴岸，适与岸齐。
问水深、葭长各几何？荷花问题的解法与引葭赴岸问题一样。
它的出现却足以证明，举世公认的古典数学名著《九章算术》传入了印度。
《九章算术》中的勾股定理应用方面的内容，涉及范围之广，解法之精巧，都是在世界上遥遥领先的,为推动世界数学的发展作出了贡献。
鼓励学生可以自己利用课余时间查阅相关资料，丰富知识。
4、在教学应用勾股定理时，老是运用公式计算，学生感觉比较厌倦，为了吸引学生注意力，活跃课堂气氛，拓宽学生思路，运用多媒体出示了一道智慧爷爷出的思考题：即折竹抵地问题。
勾股定理回顾与思考
勾股定理在物理学中也有实际应用， 特别是在解决与力和运动相关的问题 时。通过勾股定理，我们可以计算物 体运动过程中的速度、加速度和位移 等物理量。
勾股定理在电磁学中也有应用，例如 在计算电场强度和磁场强度时，可以 利用勾股定理来计算相关物理量。
05 勾股定理的思考与启示
勾股定理对数学教育的启示
培养逻辑思维
毕达哥拉斯证明法
总结词：数形结合
详细描述：毕达哥拉斯的证明方法是将勾股定理与整数、有理数和无理数等数学概念相结合，通过数形结合的方式证明了勾 股定理，体现了数学中数与形之间的紧密联系。
欧拉证明法
总结词：构造法
详细描述：欧拉在证明勾股定理时采用了构造法，他通过构造一个特殊的几何图形来证明勾股定理。 这个图形由多个三角形和矩形组成，通过巧妙地运用这些图形，欧拉证明了勾股定理的正确性。
勾股定理在复数域的应用
要点一
总结词
勾股定理在复数域的应用是指，在复数域中，勾股定理仍 然适用，可以用来解决一些复数域中的问题。
要点二
详细描述
勾股定理在复数域的应用是指，在复数域中，勾股定理仍然 适用。复数域中的勾股定理是指，对于任何复数$z$，有 $|z|^2 = x^2 + y^2$，其中$z=x+yi$，$x$和$y$分别是 复数$z$的实部和虚部。这个定理可以用来解决一些复数域 中的问题，例如求解复数方程、判断复数三角形的形状等。
勾股定理在数论中的应用
勾股定理在数论中也有重要的应用，例如在求解一些与整 数和完全平方数相关的问题时。通过勾股定理，我们可以 找到满足特定条件的整数解，进而解决一些数论问题。
勾股定理在证明一些数学定理时也有所应用，例如在证明 费马大定理和欧拉定理时，可以利用勾股定理来推导和证 明这些定理。
勾股定理回顾与思考
二、探究活动
活动一、四边形ABCD中，AD=3cm， AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm， 且∠A=90°，请你提出一个合理问题， 让同学来解决。
活动二、在方格纸上画出面积为5、13、18 的正方形（每一个小方格的面积为1个单位面积）
活动三、一个透明的圆柱形平底玻璃杯，从 内部测得其底面半径为3cm，高为8cm，现 有一支12cm长的吸管任意斜放在杯中.若不 考虑吸管粗细，则吸管露出杯口外的长度至 少有_______cm.
第3章 勾股定理
回顾与思考
一、知识点回顾：
• 【知识点1】 勾股定理内容： • 1、在Rt△ABC中， a，b，c分别是三条边， ∠C =90°，已知则 ； • 2、在Rt△ABC中， a，b，c分别是三条边， ∠B =90°，已知a=6，b=10，则c= 。
【知识点 4】 勾股定理与方程的综合运用
3、有一个长方体, 长、宽、高如图, 在长方体 的底面上一点A处有一堆蚂蚁, 它们想吃到 长方体上与A相对的B点处的食物, 则需要 爬行的最短路程是____________.
【知识点 8】化斜为直问题：
• 1、△ABC中， BC=3，AC=4，AB=5， 求AB边上的高CD。 • 2、△ABC中， BC=4，AC=3，AB=6， 求△ABC的面积。 • 解题反思： • 1、△ABC不是直角三角形时。需要添加辅 助线（一般为作高）制造直角三角形。 • 2、设出未知数，利用勾股定理列方程来解 决问题，是本章的一个重要的解题方法。
【知识点 7】 最近问题
• 1、如图，在棱长为20厘米的正方体 ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到 顶点C’的最短距离．
2、如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底 面半径为7cm．在圆柱的下底面点处有一 个蜘蛛，它想吃到上底面上与点相对的点 处的苍蝇，需要爬行的最短路径是_______ cm（结果用带根号和的式子表示）．
勾股定理的回顾与思考
《勾股定理的回顾与思考》教学设计教学目标：1．理解勾股定理及其逆定理的含义，能够解决一些简单的实际问题； 2．进一步掌握与勾股定理相关的技能，会运用数形结合、分类讨论等的数学思想解决实际问题，培养数学思维能力。
教学重点：勾股定理及其逆定理的简单运用难点：应用技能和数学思维的培养 教学过程： ㈠ 课前热身1．由下列条件不能判别△ABC 为直角三角形的是( ).A ．1=a ，2=b ，3=cB ．3:2:1::=∠∠∠C B A C ．c b a 222-=D ．6:4:3::=c b a 2．在Rt △ABC 中，①若∠C=90°,a =5，b =12，则c =___________； ②若∠C=90°,a =15，c =25，则b =___________； ③若∠C=90°,a b :=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________； ④若a =5，b =12，则c =___________。
㈡ 本章知识结构⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=⇔-=-=⇔-=+==+路线等勾股定理的应用：最短的多样性）角三角形的判定（方法勾股定理的逆定理：直，，，，，，，，常见的勾股数：的三种变形种基本图形”证明（等积法）：“三勾股定理.3.2171582524713125543c c bc b c b c b .1222222222222222a b a b a a a ca2x3x2xx30︒基本知识点： （1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． （2）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系：c b a 222=+，那么这个三角形是直角三角形． （3）勾股数：满足c b a 222=+的三个正整数，称为勾股数。
如常用的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41 （4）特殊直角三角形的三边关系㈢ 综合运用1．已知Rt △ABC 两直角边分别为4cm 、3cm,则斜边为____cm,斜边上的高为____cm.2．一艘帆船由于风向的原因，先向西南方向航行了7千米，然后向西北方向航行了24千米，这时帆船离出发地_____千米.3．左图由4个等腰直角三角形组成，其中第１个直角三角形腰长为1cm ，第4个直角三角形斜边长度为_______．那么，按照此种方式下去，第n 个直角三角形斜边长度为_______．34．（06佛山）如图，所有的四边形都是正方形， 所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是 ，则图中四个小正方形 的面积之和是_____．㈣ 拓展探索：1．如图，AD ⊥CD ， AB ＝13，BC ＝12，CD ＝4，AD ＝3，若∠CAB ＝55°，求∠B 的大小．2．在△ABC 中，如果AB=13, CA=15,高AD=12,求△ABC 的周长3.如图是一个长8m,宽6m,高5m 的仓库，在其内壁的A 处有一只壁虎、C ’处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少米？ABCDa4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上一点F处，且△ABF的面积是30cm2．求此时AD和EC 的长．㈤课堂小结1. 知识：勾股定理及其逆定理。
勾股定理的最后一个知识点
勾股定理是数学中的一则经典定理，它是三角学中最基本的定理之一。
通过勾股定理，我们可以计算出一个直角三角形的边长关系。
本文将重点介绍勾股定理的最后一个知识点，并通过逐步思考的方式帮助理解该知识点。
首先，我们回顾一下勾股定理的基本内容。
勾股定理指出：在一个直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边的平方和。
在代数表达中，可以表示为： a² + b² = c²这里的a、b代表直角边的长度，c代表斜边的长度。
勾股定理的应用广泛，可以用于解决各种与直角三角形相关的问题。
接下来，我们将介绍勾股定理的最后一个知识点——勾股定理的逆定理。
勾股定理的逆定理是指，如果在一个三角形中，三条边的长度满足a² + b² = c²的关系，那么该三角形一定是直角三角形。
这是勾股定理的逆向推理，即通过已知的三边长度关系来得出三角形的性质。
为了更好地理解勾股定理的逆定理，我们可以通过以下步骤进行思考：步骤一：首先，我们需要明确三角形的三条边的长度。
假设我们已知三角形的三条边分别为a、b、c。
步骤二：接下来，我们将已知的三边长度代入勾股定理的逆定理公式a² + b² = c²中。
计算出等式两边的数值。
步骤三：根据数值计算结果，如果等式两边相等，即满足a² + b² = c²，那么可以得出结论：该三角形是直角三角形。
通过以上步骤，我们可以利用勾股定理的逆定理来判断给定的三边长度是否构成直角三角形。
这一知识点在实际问题中具有重要的应用价值。
值得注意的是，勾股定理的逆定理适用于解决已知三边长度的情况。
如果我们只知道两边的长度，无法判断三角形的性质，因为可能存在多种不同形状的三角形满足这两条边长。
在数学中，逆定理是一种重要的思维方式。
通过逆向推理，我们可以根据已知的结论来推导出问题的前提条件。
逆定理的运用不仅限于勾股定理，还可以应用于其他数学问题中。
勾股定理回顾与思考教学设计
第一章勾股定理近年来，随着新思政课教学的深入普及，课程思政融入教学作为新课程改革的重要组成部分，受到越来越多的重视。
以数学为例，思政课程不仅要求学生具备基本的数学知识，更要求学生能够用科学的方法研究，并运用数学知识解决实际问题。
《勾股定理》复习课，从思政课融入的角度，对如何结合数学教学模式进行思政课教学融入课程进行分析。
首先，我们从《勾股定理及其证明》这一数学知识点入手，思考如何结合思政课融入教学。
勾股定理这一数学知识点，是研究数学几何的一个重要知识，可以通过判定三角形是否为直角三角形，完成计算面积，求解角平分线等等。
要将数学知识真正融入思想政治课教学，首先要求教师在讲解此知识点时，将历史、社会等内容融入课堂教学。
其次，要结合思政课教学内容，挖掘勾股定理三角形运用的可能性，体现出其实践性。
教师可以在讲解数学知识点之外，从历史背景等知识角度，介绍勾股定理的源头与发展过程，深入讲解勾股定理出现及其应用的文化史背景。
最后，要引导学生思考勾股定理的运用，以便加强理解。
教师可以利用案例分析，帮助学生理解勾股定理的应用，探讨如何利用勾股定理解决实际问题，如计算距离、求解面积等。
此外，还可以利用实验教学等方式，引导学生探究勾股定理这一数学知识点，帮助学生更好地理解其数学原理，进而加强数学知识的掌握，操作能力的培养。
以上就是我们通过课程思政融入数学教学，对勾股定理及其证明的融入的个性化分析方案。
总之，利用思政课融入数学教学，可以有效地激发学生的学习兴趣，加强学生的数学知识掌握及操作能力的培养，增强学生的实际应用能力，从而达到丰富学生的知识量，让学生们更有礼貌、更有效率，更有价值地参与社会实践。
一、学生起点分析通过前面三节的学习，学生已经基本掌握了勾股定理及逆定理的知识，并能应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力．他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会．但对于勾股定理的综合应用，还需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，可能部分同学会有一些困难．二、教学任务分析勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，理论上占有重要的地位，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用，勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值．勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，具有学科的基础性与广泛的应用．本课时教学是复习课，强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力．让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受数学的美，以提高学习兴趣．为此，本节课的教学目标是：①让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用．②在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力．③在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣．通过对勾股定理历史的再认识，培养爱国主义精神，体验科学给人来带来的力量．三、教学过程设计本节课设计了六个环节．第一环节：情境引入；第二环节：知识结构梳理；第三环节：合作探究；第四环节：拓展提升；第五环节：交流小结；第六环节：布置作业．第一环节情境引入勾股定理，我们把它称为世界第一定理．它的重要性，通过这一章的学习已深有体验，首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理得发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在《实数》一章里讲到，第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明．勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用．目的：通过对勾股定理历史及地位的解读，让学生了解知识脉络及前后联系，激发学习探究热情．效果：从历史的深度提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．第二环节：知识结构梳理本章知识要点及结构：（第1—6题由学生独立思考完成，小组代表展示）1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用,a b和=．c分别表示直角三角形的直角边和斜边，那么__________2c2．勾股定理各种表达式：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边也分别为,,a b c，则c=_________，b=_________，c=_________．3．勾股定理的逆定理：在△ABC中，若,,a b c三边满足___________，则△ABC为___________．4．勾股数：满足___________的三个___________，称为勾股数．5．几何体上的最短路程是将立体图形的________展开，转化为_________上的路程问题，再利用___________两点之间，___________解决最短线路问题．6．直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？（教师引导，小组讨论、总结）从边的关系来说，当然就是勾股定理；从角度的关系来说，由于直角三角形中有一个特殊的角即直角，所以直角三角形的两个锐角互余．直角三角形作为一个特殊的三角形．如果又有一个锐角是30︒，那么30︒的角所对的直角边时斜边的一半．7．举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形．判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断．（1）从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形．例如：①在△ABC 中，7515B C ∠=︒∠=︒，，根据三角形的内角和定理，可得90A ∠=︒，根据定义可判断△ABC 是直角三角形．②在△ABC 中，1123A B C ∠=∠=∠，由三角形的内角和定理可知，A 30∠=︒，260B A ∠=∠=︒，390C A ∠=∠=︒，△ABC 是直角三角形．（2）从边出发来判断一个三角形是直角三角形．其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件（即勾股定理的逆定理）．例如：①△ABC 的三条边分别为72524a b c ===，，，而22222262572524a c b +=+===，根据勾股定理的逆定理可知△ABC 是直角三角形，但这里要注意的是b 所对的角90B ∠=︒．②在△ABC 三条边的比为::5:12:13a b c =，△ABC 是直角三角形．8．通过回顾与思考中的问题的交流，由同学们自己建立本章的知识结构图． （小组内展示自己总结的知识框图，相互交流完善知识框图；每个小组选取一名代表，展示本组的知识框图．）三边的关系--勾股定理→历史、应用直角三角形直角三角形的判别→应用目的：复习与直角三有形有关的知识，加强知识的前后联系，把勾股定理及判定纳入直角三角形的知识体系中，把以前的零散的知识形成知识体系．通过学生相互交流，整理知识框图复习本章知识点，自觉内化到自身的知识体系中．{效果：学生有独立思考的空间，与有合作交流的舞台，动静结合，相得益彰． 第三环节：合作探究内容：探究一：利用勾股定理求边长已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长的平方．解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长的平方为25；（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长的平方为7．注意事项：因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5．但这一理解的前提是3、4为直角边．而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边．探究二：利用勾股定理求图形面积：1．求出下列各图中阴影部分的面积．(1)(2)图（1）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：1）图（2）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：81）图（3）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：5）2． 已知Rt △ABC 中，90C ∠=︒，若1410a b cm c cm +==，，求Rt △ABC 的面积．_( 3 )2ABC 222222211S 2241()()41()41(1410)424.ab ab a b a b a b c ∆==⨯⎡⎤=+−+⎣⎦⎡⎤=+−⎣⎦=⨯−=解：探究三：利用勾股定理逆定理判定△ABC 的形状或求角度1. 在△ABC 中，A B C ∠∠∠，，的对边分别为a b c ，，，且2()()a b a b c +−=，则（ ）.（A ）A ∠为直角 （B ）C ∠为直角 （C ）B ∠为直角 （D ）不是直角三角形解：222a b c −=，∴222a b c =+．故选（A ）.注意事项：因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为C ∠，因而有同学就习惯性的认为C ∠就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转化为222a b c −=，即222a b c =+，因根据这一公式进行判断．2．已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，有下列各组条件，判定△ABC 的形状．（1）41409a b c ===，，；（2））（，，0n m m n 2c n m b n m a 2222>>=+=−=．解：（1）（2）均为直角三角形．探究四：勾股定理及逆定理的综合应用：B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60︒方向以每小时8 n mile 的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile 的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34 n mile ，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？解：甲船航行的距离为BM=8216⨯=（n mile ），乙船航行的距离为BP=15230⨯=（n mile ）．∵22216301156,341156+==，∴222BM BP MP +=，∴△MBP 为直角三角形，∴90MBP ∠=︒，∴乙船是沿着南偏东30︒方向航行的．注意事项：勾股定理的使用前提是直角三角形，而本题需对三角形做出判断，判断的依据是勾定理的逆定理，其形式为“若222a b c +=，则90C ∠=︒．学生容易不先对三角形做出判断而直接应用勾股定理进行计算．目的：通过对四大问题的探究，培养同学们归纳知识的能力，并将各种数学基本思想方法渗透其中，如对数形结合思想的渗透，鼓励学生由代数表示联想到几何图形，由几何图形联想到有关代数表示，从而认识数学的内在联系．如对分类讨论的渗透，培养学生严谨的数学态度．效果：探究四综合运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，这种贴近生活的实例，训练学生解决实际问题的能力，通过学生的解答和讨论，让学生自我解决疑难，既是对所学知识的巩固应用，又让学生体验成功的喜悦．第四环节：拓展提升内容： 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，若S 1+S 2+S 3=10，则S 2的值是 ．（答案为103）目的：学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智，在我们的数学史上，好多结论的发现都是这样一个过程，都是从几个或大量的特例中发现规律，大胆猜想出结论，然后以前面的理论作为基础，证明猜想，一个伟大的成果就诞生了，掌握这种研究数学的方法，大胆创新，刻苦钻研，说不一定你就是未来的商高，第二个赵爽．效果：运用勾股定理和方程思想解决实际问题，让学生体会生活中处处皆数学，并且使新知得到了巩固，能力得到了训练，认识得到了升华．第五环节：交流小结内容：师生相互交流总结：1.本章知识要点及在学习中用到了哪些数学思想方法？2．你在学习过程中是否积极参与？是否与同伴进行了有效的合作交流？目的：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史．效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结解决问题的思路与方法，并赞叹我国古代数学的成就．第六环节：布置作业1．课本《复习题》．2．思考题：一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH 的边长为2 m，坡角A30B90BC6，，m．当正方形DEFH运动到什么∠=︒∠=︒=位置，即当AE＝ m时，有222=+．DC AE BC（答案为：314．） 四、教学设计反思本节课是复习课，利用勾股定理和勾股逆定理来解决实际问题．勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，而勾股定理逆用的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形．针对我班学生的知识结构和心理特征，本节课的设计思路是引导学生“‘做’数学”，先由浅入深，在学生的自主探究与合作交流中解决问题，这样既遵循了学生的认知规律，又充分体现了“学生是数学学习的主人、教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”的教学理念.本节课围绕激趣引入，归纳知识--综合练习，应用知识—课堂小结三部分，发展学生应用数学的意识与能力，增强了学生学好数学的愿望和信心．让学生自己绘制知识网络图，进一步体会本章所学知识之间的前后联系，并培养了学生这方面的能力．设计的题目既考察了对基本知识的掌握情况，又注重了综合课的特点，注重对所学知识的综合利用．设计的问题尽量与实际问题有联系，体现了数学来源于实际，又应用于生活实际，这一点符合新课标的要求．附：板书设计回顾与思考一 情境引入二 本章知识结构三边的关系--勾股定理→历史、应用直角三角形直角三角形的判别→应用。
《勾股定理》教学案例及反思
《勾股定理》教学案例及反思《《勾股定理》教学案例及反思》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！【教学目标】一、知识目标1.了解勾股定理的历史背景,体会勾股定理的探索过程.2.掌握直角三角形中的三边关系和三角之间的关系。
二、数学思考在勾股定理的探索过程中,发现合理推理能力.体会数形结合的思想.三、解决问题1.通过探究勾股定理(正方形方格中)的过程，体验数学思维的严谨性。
2.在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果。
四、情感态度目标1.学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。
2.在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探究精神。
【重点难点】重点：探索和证明勾股定理。
难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。
疑点：灵活运用勾股定理。
【设计思路】本课时教学强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力。
让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受到“无出不在的数学”与数学的美，以提高学习兴趣，进一步体会数学的地位与作用。
【教学流程安排】活动一：了解历史，探索勾股定理活动二：拼图验证并证明勾股定理活动三：例题讲解，：巩固练习，活动四：反思小结，布置作业活动内容及目的：通过多勾股定理的发现，(国外、国内)了解历史，激发学生对勾股定理的探索兴趣。
观察、分析方格图，得到指教三角形的性质——勾股定理，发展学生分析问题的能力。
通过拼图验证勾股定理，体会数学的严谨性，培养学生的数形结合思想，激发探究精神，回顾、反思、交流。
布置作业，巩固、发展提高。
【教学过程设计】【活动一】(一)问题与情景1、你听说过“勾股定理”吗?(1)勾股定理古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，西方国家称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理(2)我国著名的《算经十书》最早的一部《周髀算经》。
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理回顾与思考教学设计
-教学策略：采用小组合作、讨论交流的方式，引导学生主动发现勾股定理的规律。
2.突破难点，通过多种证明方法，帮助学生全面理解勾股定理。
-教学策略：呈现多种证明方法，如几何拼贴法、代数法、平面几何法等，让学生从不同角度理解定理的本质。
5.结合课堂所学，探讨勾股定理在以下特殊直角三角形中的应用：
-等腰直角三角形
- 30°-60°-90°直角三角形
- 45°-45°-90°直角三角形
作业要求：
1.请同学们认真完成作业，确保解答过程清晰、逻辑严密。
2.作业完成后，进行自我检查，确保答案正确无误。
3.互相交流、讨论作业中的问题，共同提高。
4.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生团队协作能力和表达能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对勾股定理的兴趣，激发学生学习数学的热情。
2.让学生感受数学的简洁美和逻辑美，增强对数学的热爱。
3.通过勾股定理的探究，培养学生勇于质疑、追求真理的精神。
4.培养学生面对困难时，保持积极向上的态度，勇于克服困难，解决问题。
1.充分利用学生已掌握的直角三角形知识，引导他们自主探究勾股定理的内涵和证明方法。
2.针对学生空间想象能力的差异，采用直观教具和多媒体辅助教学，帮助学生建立清晰的几何图形。
3.注重培养学生的逻辑思维能力，通过问题驱动、范例引导等方式，激发学生主动思考、分析问题的兴趣。
4.关注学生个体差异，创设分层教学情境，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
4.培养学生运用勾股定理进行数学推理，提高逻辑思维能力。
（二）过程与方法
1.通过引导学生回顾勾股定理的发现过程，培养学生主动探究、发现问题的能力。
勾股定理回顾与思考课件
物理学中的应用
勾股定理在力学中的应用
在物理学中，勾股定理可以用于确定力的分解和合成，特别是确 定直角力系中的力的大小和方向。
勾股定理在电磁学中的应用
在电磁学中，勾股定理可以用于确定电场和磁场的方向，特别是在 直角坐标系中的应用。
勾股定理在光学中的应用
在光学中，勾股定理可以用于确定光的反射和折射的角度，特别是 在确定光线的入射角和折射角之间的关系时。
其他三角形的面积。
立体几何中的应用
1 2
勾股定理在三维空间中的应用
在三维空间中，勾股定理可以用于确定空间直角 三角形的边长关系，以及判断是否为直角三角形 。
勾股定理在球体中的应用
球体的表面积和体积可以通过勾股定理进行计算 ，特别是球体的半径和直径之间的关系。
3
勾股定理在四面体中的应用
四面体的边长和角度关系可以通过勾股定理进行 确定，特别是判断是否为直角四面体。
勾股定理在复数域的推广
勾股定理在复数域的推广
勾股定理可以在复数域上得到推广，涉及到复数的模和共轭等概念。
证明方法
利用复数的性质和代数方法，通过严格的数学证明。
05
对勾股定理的思考和启示
数学的美与和谐
勾股定理是数学中一个简单而美丽的定理，它揭示了直角三 角形三边的关系，即直角边的平方和等于斜边的平方。这种 关系体现了数学中的和谐与平衡，使得勾股定理成为数学美 的重要代表之一。
勾股定理回顾与思考ppt课件
目录
• 勾股定理的起源和历史 • 勾股定理的证明方法 • 勾股定理的应用 • 勾股定理的推广和变种 • 对勾股定理的思考和启示
01
勾股定理的起源和历史
古代文明中的勾股定理
01
02
(难)勾股定理
勾股定理一、知识要点回顾：1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的；如果直角三角形两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么。
思考：（1）a 2,b 2,c 2分别代表什么？ （2）a 2与a 的单位的关系。
（3）变式：由a 2+b 2=c 2得a=或b=,或c=（4）运用勾股定理的前提是：必须知道有一个直角）2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 满足，那么这个三角形是___________.3、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个a,b,c,成为勾股数；写出常用的几组勾股数， ，4．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系：；⑵若D 为斜边中点，则斜边中线；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边：；⑷三边之间的关系：。
二、勾股定理有关题型：题型一：找最短路径例题1：如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A 点，沿圆柱表面爬到与A 相对的上底面B 点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______.(π取3)变形1：(1) 如图，有一木质圆柱形笔筒的高为9cm ，底面周长是12cm,现要围绕笔筒的表面南A 至B(A ，B 在圆柱的同一轴截面上)镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的长度是 ．(2) 若用丝线从该圆柱的底部A 缠绕4圈直到顶部B 处，则至少需要多少丝线？变形2：圆柱形容器高18cm ，底面周长为24cm,在杯内壁离杯底4cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的A 处，则蚂蚁从外壁A 处到达内A B壁B处的最短距离为_________cm.练习：1. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值．题型二：求方格中的线段长例2：如图所示，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对练习：如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．90° B．60° C．45° D．30°题型三：利用勾股定理解决实际问题：例3:如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60千米的地方有一城市A．（1）问：A市是否会受到此台风的影响，为什么？（2）在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．练习：1. 如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为米。
北师大版八年级上册第一章勾股定理回顾与思考(教案)
一、教学内容
本节课我们将回顾北师大版八年级上册数学第一章“勾股定理”的内容。具体包括：
1.勾股定理的概念理解：通过复习勾股定理，使学生掌握直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方这一性质。
2.勾股定理的证明：回顾教材中给出的勾股定理证明方法，包括几何拼贴法和代数推导法。
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天这节课中，我们一同探讨了勾股定理的奥秘。回顾整个教学过程，我发现有几个地方值得深思和改进。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用尺子和绳子实际测量并计算某个直角三角形的边长。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
-掌握勾股定理的证明：强调几何拼贴法和代数推导法的证明过程，确保学生能够理解并复述证明步骤。
-应用勾股定理解决问题：培养学生能够将勾股定理应用于解决实际问题，如计算边长、验证直角三角形等。
-记忆特殊直角三角形的性质：学生需要熟练记忆30°-60°-90°和45°-45°-90°直角三角形的比例关系。
-实际问题的转化：将现实问题转化为数学模型，特别是涉及到勾股定理的应用时，学生可能会难以理解如何将问题转化为直角三角形的问题。
-特殊直角三角形的记忆与运用：学生需要通过记忆和练习来熟练掌握特殊直角三角形的性质，这对于一些学生来说可能是一个挑战。
1.4勾股定理回顾与思考(教案)
2.加强对学生语言表达和逻辑思维能力的培养，提高他们的成果展示能力。
3.采用更多互动性强的教学方法，激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度。
二、核心素养目标
《1.4勾股定理回顾与思考》核心素养目标：
1.培养学生几何直观与空间想象能力，通过勾股定理的理解与应用，提高学生对直角三角形结构的认识；
2.增强学生的数学推理与论证能力，通过勾股定理的证明过程，锻炼学生逻辑思维与推理能力；
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，结合勾股定理在现实生活中的应用，提升学生的数学应用意识；
4.培养学生的数据分析与整合能力，通过分析勾股数的特点，学会从数据中提炼规律，形成严谨的数学素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的理解及其在直角三角形中的应用。
-重点讲解勾股定理的表述，即直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
-强调勾股定理的应用范围，即只适用于直角三角形。
在学生小组讨论环节，学生们围绕勾股定理在实际生活中的应用展开了热烈的讨论。他们提出了许多有创意的想法，让人眼前一亮。但同时，我也注意到部分学生在讨论中较为被动，参与度不高。为了提高这部分学生的积极性，我将在下一次教学中尝试采用更多互动性强的教学方法，激发他们的学习兴趣。
总体来说，今天的课堂教学取得了一定的效果，但也暴露出一些问题。在今后的教学中，我需要从以下几个方面进行改进：
1.4勾股定理回顾与思考（教案）
一、教学内容
《1.4勾股定理回顾与思考》：本节课我们将回顾勾股定理的基本概念，探讨其在直角三角形中的应用，并思考如何运用勾股定理解决实际问题。具体内容包括：
1.勾股定理的表述与证明；
勾股定理小结与复习一
勾股定理小结与复习一、教学目标：1、知识技能会使用勾股定理解决简单问题；2、会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3、会使用勾股定理及逆定理解决综合问题及实际问题重点：1、回顾并思考勾股定理及其逆定理；2、总结直角三角形边、角之间分别存有的关系．3、体会勾股定理及其逆定理在生活中的广泛应用．难点：勾股定理及其逆定理的应用二、回顾与思考：1、直角三角形的性质已知如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．问题1：直角三角形的周长问题2：直角三角形的面积问题3：直角三角形的角的关系问题4：直角三角形的边与角的关系问题5：直角三角形的边的关系2、直角三角形的判定已知如图，在△ABC中， a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．问题1：从角来判断：问题2：从边去判断：1、利用勾股定理已知两边求第三边(1)在△ABC中，∠C=90°若，c=4，则b= ；(2)在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
(3) 在Rt△ABC，∠C=90°，c=25，a：b=3：4，则a= ，b= 。
(4) 在△ABC中，若∠A=30°，BC=2，则AB= ，AC= 。
（5）直角三角形直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________2、利用勾股逆定理判断一个三角形是否为直角三角形（1）以下各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是( ) A．1.5，2，3 B. 8，15，17 C．6，8，10 D. 3，4，（2）.若△ABC的三边满足则以下结论准确的是( )A.△ABC是直角三角形,且∠C为直角B. △ABC是直角三角形,且∠A为直角C. △ABC是直角三角形,且∠B为直角D. △ABC不是直角三角形.（3）如图，AD⊥BC，垂足为D，假如CD=1，AD=2，BD=4，试判断ΔABC的形状，并说明理由。
北师版数学八年级上册第一章《勾股定理》回顾与思考教案
学法指
导
二次备课【知识回顾】
1、探索勾股定理：分割法
2、勾股定理的内容：直角三角形等于。
3、直角三角形的判别条件：如果一个三角形的三边长a，b，c满足：
那么这个三角形是直角三角形。
4、应用：在直角三角形中已知两边长求第三边长；求几何体表面上两点间的最短
距离
【例题精讲】
一、勾股定理及验证
1、如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了多少米？
2、据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理，你能说说其中的道理吗？。
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复习检测：
1．勾股定理：如果直角三角形两直角 边分别为a，b，斜边为c，那么 __a_2+_b_2_=_c_2 __ . 2．勾股定理各种表达式： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B， ∠C的对边分别为a，b，c，则 c2=__a_2_+b_2____，b2=_c_2_-a_2_____， a2 (2)
合作探究
探究三：利用勾股定理逆定理判定△ABC的形状
或求角度
已知△ABC的三边为a，b，c，由下列条件不能
判定它是直角三角形的是（）
A.a:b:c=8:16:17
B. a2-b2=c2
C.a2=(b+c)(b-c) D.∠ A:∠B:∠C=1:2:3
合作探究：
探究四：利用勾股定理解决最短路程问题
3．勾股定理的逆定理： 在△ABC中，若a、b、c三边满足 __a_2+_b_2_=_c_2___，则△ABC为_直__角_三__角__形___. 4．勾股数： 满足_a_2+_b_2_=_c_2_的三个正__整__数____，称为勾股数 5．几何体上的最短路程是将立体图形的 __侧__面____展开，转化为__平__面_____上的路程 问题，再利用__平__面__内_____两点之间， __线__段_最__短____,解决最短线路问题.
第一章 勾股定理
回顾与思考
八年级 数学组
复习目标：
1、识记勾股定理及勾股定理的逆定 理。
2、借助勾股定理及直角三角形的判 别条件熟练解决实际问题。
复习指导：
1、通过阅读课本，利用4分钟时间画 出本章的知识结构图。
2、1分钟小组交流自己的知识结构图 ，相互补充和完善，有疑问的小组内 提出质疑，然后小组间互相展示。
如图：有一个圆柱，它的高为12厘米，底面 半径为3厘米，在圆柱下底面的A点有一只 蚂蚁，它想吃到上底面相对的B点处的食物， 沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（∏ 的取值为3）
B
A
交流小结
课堂检测：
如图所示，AD⊥CD,AB=13，BC=12，
CD=4，AD=3，若∠CAB=55°，求∠B
的大小。
合作探究
探究一：利用勾股定理求边长
已知直角三角形的两边长分别为3、4， 求第三边长的平方．
解：当两直角边为3和4时，第三边长的平 方为25；
当斜边为4，一直角边为3时，第三边长 的平方为7．
合作探究
探究二：利用勾股定理求图形面积 1．求出下列各图中阴影部分的面积．
0.36 0.64 (1)
225
C
D
B
A
课后作业：
课本《复习题》11、12