单叶双曲面

18
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x z 2 1 2 a c b y y1
2 2
z
x
y
y12 2
z
0
(实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴）
x
y
19
7. 双叶双曲面
z
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 平面 y y1 上的截痕为 双曲线
z 曲面S上每一点都满足方程；
M (x,y,z)
母线
S
0
y
F( x,y )=0
z=0
x
准线
N (x, y, 0)
点N满足方程，故点M满足方程
曲面S外的每一点都不满足方程
5
一般柱面
F(y, z)=0
(不含x)
z
准线
F( y, z )=0
x=0
母线 0
y
x
F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面
6
3. 锥面 设 L 为一条已知平面曲线，B 为 L 所在平面外的一个固定点， 过点 B 引直线 b 与 L 相交， 直 线 b 绕点 B 沿 L 移动所构成的 曲面叫做锥面，点 b 称作顶点， 动直线叫做锥面的母线，L叫做 准线. 右图为顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半 顶角为 的圆锥面方程.
.
f (y1, z1)=0
z1 z
| y1 | MP
x y
2 2
S
z
z1
C
o
y1
y
.
x
11
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
o x
y
f ( y, x z ) 0
2 2
12
例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
表示抛物柱面,
z
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
o x
z
C
x y 2 2 1表示母线平行于 a b
x y 0 表示母线平行于 z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
2
2
y
z
z 轴的椭圆柱面.
o
y
o x
y
4
x
一来自百度文库柱面
F(x,y)=0
(不含z)
F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
第四节 二次曲面
§6.4.1 常见的二次曲面 §6.4.2 坐标轴的变换
1
§6.4.1 常见的二次曲面
1.球面 空间中与一个定点有等距离的点的集合叫做球面， 定点叫做球心，定距离叫做半径. 半径为 若球心为 为球面上任意一点
由于
即
( x a ) ( y b) ( z c ) R
(3) 截痕: 与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆：
2
2
2
x
a c2
2
2 2
(c z1 )
2

y
b c2
2
2 2
z
(c z1 )
2
1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及 也为椭圆. (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
17
的截痕
z
6. 单叶双曲面
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 平面 z z1 上的截痕为 椭圆.
平面 y y1上的截痕情况:
x
y
1) y1 b 时, 截痕为双曲线:
x z 2 1 2 a c b y y1
2 2 2 y1 2
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
2 2 2
z
故球面方程为
( x a) ( y b) ( z c) R
2 2 2
2
M0
o
特别,当Q在原点时,球面方程为
M
y
2
x y z R
2
2
2
2
x
一般地, 三元二次方程 x2y2z22Ax2By2CzD0 的图形就是一个球面. 配方得
( x A)2 ( y B)2 ( z C )2 D ( A2 B2 C 2 ) 0.
y2 z2 1 , b2 c2 x0 x2 z 2 1 a 2 c 2 y0
16
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y2 1, 2 2 a b z0
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
f ( y, z ) 0 x 0
绕 z轴
z
C o
y
9
曲线 C
f ( y, z ) 0 x 0
绕 z轴
z
.
C o
y
x
10
曲线 C
f ( y, z ) 0 x 0
绕 z轴
P M
z
旋转一周得旋转曲面 S
M(x,y,z) S
N (0, y1 , z1 )
z
L

y
M (0, y, z)
两边平方
x
z 2 a2 ( x2 y2 )
13
例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
分别绕 x
x2 y2 z 2 1 2 2 a c
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x y z 2 1 2 a c 这两种曲面都叫做旋转双曲面.
z
y
z a (x y )
7
2
2
2
2
x
4. 旋转曲面 以一已知平面曲线 l 绕平面上一定直线旋转所成 的曲面叫做旋转曲面，定直线叫做旋转曲面的轴 ，曲 线 l的每一位置叫做这张旋转曲面的一条母线.
例如 :
8
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z ) 0 曲线 C
2
2
2
x
y
z
14
5. 椭球面
x y z 2 2 1 2 a b c
2 2 2
z
截痕法
用z = h截曲面
用y = m截曲面 用x = n截曲面
a
x
c
o
b
y
15
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c (1)范围：
x a,
y b,
z c
当 ( A2 B2 C 2 ) D 0时,表球面. 当 ( A2 B2 C 2 ) D 0时,表一点. 当 ( A2 B2 C 2 ) D 0 时,没有曲面.
3
2. 柱面 设空间中有任意一条曲线 L,过 L 上的一点引一
条直线 b，直线 b 沿 L 作平行移动所构成的 曲面叫做柱面. L 叫做准线, b 叫做母线.