1.3 三角函数的有关计算(1)A
1.3三角函数的计算- 九年级数学下册课件(北师大版)
∴sin∠EBP＝
PE BP
＝sin
40°，sin
∠FBP＝
PF BP
＝sin
20°.
又∵sin 40°＞sin 20°，∴
PE BP
PF BP
.
∴PE＞PF.
(2)∵α，β 都是锐角，且α＞β，
∴sin α＞sin β.
又∵sin∠EBP＝ PE ＝sin α，sin∠FBP＝ PF ＝sin β，
例1 用计算器计算：(结果精确到万分位) (1)sin 26°≈ 0.4384 ； (2) sin82°48′15″≈___0_._9_9__2_1__．
导引：已知锐角求三角函数值，按照正确的按键顺序按键，将屏 幕显示的结果按要求取近似值即可．
总结
(1)依次按sin2 6＝键，得到数据再精确到万分位即可； (2)依次按sin8 2 °’ ” 48°’ ”15°’ ”＝键，得到数据再
(2)先按 SHIFT cos 0.2187＝键，显示：77.367 310 78，再
按°’”键，显示77°22′2.32″，所以∠A≈77°22′.
(3)先按 SHIFT tan 3.527＝键，显示：74.170 530 81，再
按°’”键,显示74°10′13.91″，所以∠A≈74°10′.
端离墙壁2.5 m，求梯子与地面所成锐角的度数.
解：设梯子与地面所成的锐角为∠α，
则cos α＝2.5 ＝ 5 ＝0.625. 48
∴∠α≈51°19′4″. 所以，梯子与地面所成的锐角的度数约为51°19′4″.
3 已知sin α＝ 1 ，求α，若用科学计算器计算且结果以
2 “度、分、秒”为单位，最后按键( D )
∴
PE PB
1.3三角函数的诱导公式(一)
课题：1.3 三角函数的诱导公式(一)教学目的：1．通过本节内容的教学，使学生掌握180o+ ，- ，180o- ，360o－角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；3．通过公式二、三、四、五的探求，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．教学重点：诱导公式教学难点：诱导公式的灵活应用授课类型：新授课课时安排：1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：诱导公式沟通了任意角三角函数值与锐角三角函数值以及终边有特殊位置关系的角的三角函数值之间的联系．在求任意角的三角函数值，解决有关的三角变换等方面有重要的作用．由角的终边的某种对称性，导致终边与单位圆的交点也具有相应的对称性，这样就产生了“ ”、“ 2 ”、“ ”等诱导公式，我们知道，角的终边与角的终边关于y 轴对称；角的终边与角的终边关于原点对称，，2 角的终边与角的终边关于x 轴对称，所以、、、2 各角的三角函数值与角的三角函数值的绝对值相同，符号由各角所在象限的原三角函数的符号来确定，诱导公式看起来很多，但是抓住终边的对称性及三角函数定义，明白公式的来龙去脉也就不难记忆了．诱导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，在求任意角的三角函数值时起很大作用，但是随着函数计算器的普及，诱导公式更多地运用在三角变换中，特别是诱导公式中的角可以是任意角，即R ，它在终边具有某种对称性的角的三角函数变换中，应用广泛，如后续课中，画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平移个长2度单位而得到的．在教学中，提供给学生的记忆方法一定要重在理解、重在逻辑、重在思考，以达到优化思维品质的功效．用一句话归纳概括诱导公式一、二、三、四、五并能正确理解这句话中每一词语的含义，是本节教材的难点．讲清每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并把公式与相应图形对应起来，是突破这个难点的关键．教学过程：一、复习引入：诱导公式一: sin( k 360 ) sincos( k 360 ) costan( k 360 ) tan (其中k Z )用弧度制可写成sin( 2k ) sin cos( 2k ) costan( 2k ) tan (其中 k Z ) 诱导公式(一)的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0o ― 360o 之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在 0o ― 360o 内找出与角 终边相同的角， 再把它写成诱导公式 (一) 的形式，然后得出结果这组公式可以统一概括为 f ( 2k ) f ( )(k Z ) 的形式，其特征是：等号两边是 同名函数，且符号都为正 由这组公式还可以看出，三角函数是“多对一”的单值对应关系，明确了这一点，为今 后学习函数的周期性打下基础3． 运用 公式 时，注 意“ 弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成sin(80 2k ) sin80 ，cos( k 360 ) cos 是不对的． 3二、讲解新课： 公式二 ：用弧度制可表示如下：sin(180 ) cos(180 ) tan(180 ) 它刻画了角 180o+ 与角 的关系，这个关系是：以角 的角的正弦值 (或余弦值) 是一对相反数．这是因为若设 线，即 180o+ 角的终边与单位圆的交点必为P ′(-x ，-y) 弦函数的定义，即可得 sin =y ， cos =x, sin(180 o+ )=-y, 所以 :sin(180 o+ 公式三 ： sin( ) cos( ) tan( )-sin-cos tan 与角 的正弦值 (或余弦值) 的终边与单位圆交于点sin =y ， cos(180 o+ )=-x,)=-sin ，cos(180 o+ )=-cos-sincosP( x ， y) ，则角 终边的反向延长 如图 4-5-1 )．由正弦函数、余tan 它说明角 - 与角 的正弦值互为相反数，而它们的余 弦值相等．这是因为，若没 的终边与单位圆交于点 P(x ，y) ，则角- 的终边与单位圆的交点必为 P ′(x ，-y) (如图 4-5-2 )．由正弦函数、余弦函数的定义，即可 得 sin =y ， cos =x, sin(- )=-y, cos(- )=x, 所以： sin(- )= -sin ,cos(- )= cos α 公式二、 三 的获得主要借助于单位圆及正弦函数、 余弦函数的定义． 确定点 P ′的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质．事实上，在图根据点 P 的坐标准确地1 中，点 P ′与点P 关P ′公式四 ： 用弧度制可表示如下：sin( ) -sin cos( ) -cos tan( ) tan 的正弦值(或余弦值)之间 终边的反向延长线为终边 P(x,y)P ′ (，x-y)(4-5-2)于原点对称，而在图 2中，点 P ′与点P 关于 x 轴对称．直观的对称形象为我们准确写出 的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性．sin(180 ) sin sin( ) sin cos(180 ) -cos cos( ) -cos tan(180 ) tantan( ) tan 公式五 ：sin(360 ) -sin sin(2 ) -sin cos(360 ) cos cos(2 ) cos tan( 360 ) tantan(2 ) tan这两组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出（公式四可由公式二、三推出，公式 五可由公式一、 三推出）， 体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想．公式 的推导并不难，然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的．五组诱导公式可概括为： +k ·360o （k ∈ Z ）， - ，180o ± ， 360o- 的三角函数值，等于 的同名函 数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号．这里的“同名三角函数值”是指等号两边的三角函数名称相同；“把 指 原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个⋯⋯符号”是指 名函数值未必就是最后结果，前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号， 略），而这个符号是把任意角 中每一词语的含义，特别要讲清为什么要把任意角 三、讲解范例：（2）sin4 分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题． 求解时，只须设法将所给角分解成 180o+ 或（ π + ）， 为锐角即可．3解：( 1) cos210 o=cos(180 o+30o)= － cos30o=－；2 41） sin （ － ） ；（2）cos （ －60o ） －sin （ －210o ）3分析： 本题是诱导公式二、 三的巩固性练习题． 求解时一般先用诱导公式三把负角的正 弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式二把它们化为锐角的正弦、余弦来求．43解：( 1) sin( －)= － sin( )=sin = ；3 3 3 22)原式 =cos60 o+sin(180 o+30o)=cos60 o － sin30例3．化简 sin(1440 ) cos( 1080 ) cos( 180 )sin( 180 )分析：这是诱导公式一、二、三的综合应用．适当地改变角的结构，使之符合诱导公 式中角的形式，是看成锐角”是 的同 正号可省 视为锐角情况下的原角原函数的符号．应注意讲清这句话 α看成锐角．建议通过实例分析说明．例 1． 下列三角函数值：1) cos210 o ； 2) sin 5 =sin(424)= －sin 4=－ 22例 2． 求下列各式的值：o=1－ 1=022解决问题的关键．分析：通过本题的求解，可进一步熟练诱导公式一、二、三的运用．求解时先用诱导 公式二把已知条件式化简，然后利用诱导公式一和三把 sin （2 π－ ）化成－ sin , 再用同 角三角函数的平方关系即可．1事实上，已知条件即 cos = ，于是2因此选 A四、课堂练习1．求下式的值： 2sin( －1110o) －sin960 o+ 2cos( 225 ) cos( 210 )答案： － 2提示：原式 =2sin( －30o)+sin60 o － 2 cos45 cos30 =－2选题目的：通过本题练习，使学生熟练诱导公式一、二、三的运用． 使用方法：供课堂练习用． 评估：求解本题时，在灵活地进行角的配凑，使之符合诱导公式中角的结构特点方面 有着较高的要求．若只计算一次便获得准确结果， 表明在利用诱导公式一、 二、三求解三角 函数式的值方面已达到了较熟练的程度．2．化简 sin （ －2）+cos （ －2－π） ·tan （2 － 4π ）所得的结果是（）（A ）2sin2（B ）0 （C ） －2sin2 （D ） －1答案： C 选题目的：熟练掌握诱导公式一、二、三及同角三角函数关系中商数关系的灵活运用． 使用方法：供课堂练习用．评估：本题不仅涉及了诱导公式一、二、三，而且还涉及了同角三角函数的关系，此 外还出现了如 “sin （ －2） ”这样的学生较为陌生的三角函数值， 求解时若只计算一次便获得 准确结果，表明在新知识的运用和旧知识的记忆方面都达到了较好的程度．五、小结 通过本节课的教学， 我们获得了诱导公式． 值得注意的是公式右端符号的确定． 在 运用诱导公式进行三角函数的求值或化简中， 我们又一次使用了转化的数学思想． 通过进行 角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性． 六、布置作业：1．求下列三角函数值：5 19（1） sin； （2） cos ；（3） sin （ 240 ） ； （4） cos （ 1665 ）462．化简：sin 3( ) cos(5 ) tan(2 ) cos 3( 2 )sin(3 )tan 3(4 )例4． 已知 cos( π + )= －1， 33< <2π，则2 2nqin （2 π－ ） 的值是（）（A ）3 13(B)(C) －22 2(D) ± 32sin(2 解π－ )= －sin53)324) 222．提示：原式 = sin 3( cos )tansin sin 23． 2 2 ．提示：原式 ==－sin cos cos 时，原式 =－ 2 =2 2 45cos4补充题：sin 915 cos( 225 ) sin10651．已知 sin( ) 13 ，，则 cos( 2 ) 的值是2 2cos 2 cos2 2cos 2cos3．当时， 4sin[ (2k 1) ] sin[ (2k 1) ]sin( 2k )cos( 2k ) (k z) 的值是作业的答案与提示：．化简：2sin ( ) cos( )costan(2 )cos 3( )４．设 f (θ)= 2cos 3 sin 2(2 ) 2cos( ) 1，求 f ( ) 的值．23 2 2 cos 2 (7 ) cos( ) 补充题的答案与提示： 2 提示：原式 = sin15 cos45 sin15 =－2２． sin α 提示：原式 = sin2 ( cos )3 cos ＝sin tan ( cos 3 ) ３． 2 2 1232 提示：已知条件即 sin 13，故 cos( 2 ) cos( ) cos 1 sin 222 3４． 1 提示： f ( ) 2cos 3 sin 22 2cos 1 2 2 2cos 2 cos 2cos 3(1 cos 2) 2cos 1 2cos 3 cos22cos1．( 1)－ 222)－ 32=1cos 3 sin tan 3．求值：2cos (2cos2cos 2)cos22cos cos 2七、板书设计 (略)八、课后记：。
初中数学 【学案】1.3三角函数的有关计算
三角函数的有关计算学习目标1．能够用计算器由已知锐角求三角函数值；进一步体会三角函数的意义. 2．能够用计算器进行有关三角函数值的计算.3．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题. 4．用计算器由三角函数值求相应锐角.【学前提示】提示1：仰角、俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角. 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角.提示2：根据计算器的不同，各个用法也不同，一般的用科学计算器求三角函数值,要用到三个键:已知三角函数求角度，要用到“sin ”、“cos ”、“tan ”键的第二功能 “sin -1,cos -1,tan -1”和2ndf 键. 提示3：本节内容应根据实际情况而定，有些省份在中招考试中不准带计算器进入考场，也就是说考试中不让用计算器.但我们应该学会如何用计算器来求三角函数值，或者知道了三角函数值来求角的大小.【方法点拨】点拨1：本节的重点是用计算器由已知锐角求三角函数值.；能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.点拨2：实际应用问题，确实需要知道角度，而且角度又不易测量，这时我们根据直角三角形边的关系.即可用计算器计算出角度，用以解决实际问题. 点拨3：本节内容中，很多实际问题中的数量关系都可归结为直角三角形中元素之间的关系，使实际问题都得到解决. 【实例讲解】例1：求︒16sin ，︒42cos ，︒85tan 和528372sin '''︒的按键顺序如下表所示：例2：已知sinA=，求锐角A ， 已知cosA ＝，求锐角A ；已知tanA ：，求锐角A ； 已知tanA ＝，求锐角A.分析：已知三角函数求角度，要用到“sin ”、“cos ”、“tan ”键的第二功能 “sin -1,cos -1,tan -1”和2ndf 键.按键顺序显示结果9816.0A sin = 2ndf sin 0 . 9 9816.0sin 1-= 840 398 1 6 = 8607.0A cos = 2ndf cos 0 . 8 8607.0cos 1-= 730 07 6 0 7 = 1890.0A tan = 2ndf tan0 . 1 1890.0tan 1-= 657 49 8 9 0 = 78.56A tan =2ndf tan 5 6 . 78.56tan 1-= 020 4978=上表的显示结果是以“度”为单位的.再按键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.［例3］如图，工件上有一V 形槽.测得它的上口宽加20mm ，深19.2mm.求V 形角(∠ACB)的大小.(结果精确到1°)分析：根据题意，可知AB ＝20 mm ，CD ⊥AB ，AC ＝BC ，CD=19.2 mm ，要求∠ACB ，只需求出∠ACD(或∠DCB)即可. 解：tanACD=2.1910=CD AD ≈， ∴∠ACD ＝°，∠ACB ＝2∠ACD ≈2×°＝55°.例4如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下6.3 cm 的A 处，射线从肿瘤右侧9.8cm 的B 处进入身体，求射线的入射角度，解：如图，在Rt △ABC 中，AC ＝6.3 cm ，BC=9.8 cm ，∴tanB=8.93.6=BC AC ≈ 9. ∴∠B ≈314432'''︒.因此，射线的入射角度约为314432'''︒.真题再现1．(广西)用计算器计算：sin35°＝________．(结果保留两个有效数字) 分析：本题考查的就是如何利用计算器来求三角函数值.按键顺序是sin 1 6 ＝ 答案：2．(2003年四川眉山)用计算器计算：sin52°18′＝________．(保留三个有效数字)分析：.Sin 5 2 D’M’S 1 8 ＝所以答案是：3．(福建南平)计算：tan46°＝________．(精确到分析：本题考查的就是如何利用计算器来求三角函数值tan 4 6 ＝答案：4．学校校园内有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价30元，学校建这个花园需投资________元．(精确到1元)答案：77945．(四川广元)如图，为了测量某建筑物的高AB，在距离点B25米的D处安置测倾器，测得点A的倾角α为71°6′，已知测倾器的高CD＝1.52米，求建筑物的高AB．(结果精确到0.01米，参考数据：sin71°6′＝，cos71°6′＝，tan71°7′＝分析：由题意可知，先要构造一个直角三角形，过c点做AB的垂线CF，所以可以CF=BD=25米，从而可以求出AF的长，进而求得AB的长，答案：约为74.55m．同步练习1. 如图,由D点测塔顶A点和塔基B点仰角分别为60°和30°.已知塔基高出地平面20米(即BC为20米)塔身AB的高为 [ ]如图,一敌机从一高炮正上方2000米经过,沿水平方向飞行,稍后到达B点,这时仰角为45°,1分钟后,飞机到达A点,仰角30°,则飞机从B到A的速度是[ ]米/分.(精确到1米).1462 C3. 如图所示,河对岸有水塔CD.今在A处测得塔顶C的仰角为30°,前进20米到达B处,又测得C的仰角为45°,则塔高CD(精确到0.1m)是[ ]mB.26.3C. 如图：在200米高的峭壁上,测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°,那么塔高是[ ]米5. 如图：从B处测得建筑物上旗杆EC顶点C的仰角是60°,再从B的正上方40米高层上A处,测得C的仰角是45°,那么旗杆顶点C离地CD的高度是[ ]米.6. 如图：已知在一峭壁顶点B测得地面上一点A俯角60°,竖直下降10米至D,测得A点俯角45°,那么峭壁的高是_____________米(精确到0.1米)7. 从山顶D测得同一方向的A、B两点，俯角分别为30°,60°,已知AB=140米,求山高(A、B与山底在同一水平面上).(答案可带根号)8. 从与塔底在同一水平线的测量仪上,测得塔顶的仰角为45°,向塔前进10米,(两次测量在塔的同侧)又测得塔顶的仰角为60°,测量仪高是1.5米,求塔高(精确到0.1米).9. 两山脚B、C相距1500米,在距山脚B500米处A点,测得山BD、CE的山顶D、E仰角分别为45°,30°.求两山的高(精确到1米).10. 如图：山顶上有高为h的塔BC,从塔顶B测得地面上一点A的俯角是a,从塔底C测得A的俯角为b,求山高H.11、如图，美国侦察机B飞抵我国近海搞侦察活动，我战斗机A奋起拦截，地面雷达C测得：当两机都处在雷达的正东方向，且在同一高度时，它们的仰角分别为∠DCA=16°，∠DCB＝15°，它们与雷达的距离分别为AC＝80千米，BC=81千米时，求此时两机的距离是多少千米?(精确到千米)参考答案1.分析：由BC 为20米和∠BDC=30°可以求得DC 的长然后再利用60°角的三角函数可以求得AB 的值，所以答案是： C2. D3.分析：可以设CD 的长是a ，所以BD 的长也是a ，AD 的长是20+a ，在直角三角形ADC 中，∠A=30°，所以tan30°=AD CD =20+a a 可以算出a 的值，所以答案是：C 4. 分析：本题中用到了俯角和仰角的定义，俯角当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角.本题中可以求得BD 的长，延长DC 可以得到一个直角三角形.本题答案是：B 5. C6、分析：可以设CD 为a ，则AC 也等于a ，BC=a+10，所以在直角三角形ACB 中，∠ABC 等于30度、可以利用30度角的三角函数来求得BC 的长，tan ∠ABC=BC AC =10+a a所以本题答案是：7．370米 8. 25.2米9. 分析：在Rt △ABD 中AB=BD=500米, Rt △ACE 中可以求出AC 等于1000米， ∠EAC=30° 可以求出EC=577米. 所以本题答案是500米、577米.10. 分析：本题中都是用字母代替的数，方法都一样，但是大多数学生不适应用字母代替数，只有分清题中的关系就可以了. 解：∵DA=(h+H)ctga, DA=Hctgb则Hctgb=hctga+Hctga 即H(ctgb-ctga)=hctga11、分析：当从低处观测高处的目标时.视线与水平线所成的锐角称为仰角.两机的距离即AB 的长度.根据题意，过A 、B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥、F 为垂足，所以AB ＝EF ，而求EF 需分别在Rt △AEC 和Rt △BFC 中求了CE 、CF ，则EF ＝CF-CE. 答案：作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，E 、F 为垂足，∴cos16°＝81CE，∴CE ＝80×cos16°≈80×＝(千米). ∴cos15°= 81CF，∴CF ＝81×cos15°≈81×＝(千米).依题意AB=EF=CF-CE=千米). 所以此时两机的距离为1.77千米.。
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式课件新人教A版必修4
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
cos180 cos
原式=
cos
sin
sin cos
1
练习 利用公式求下列三角函数值:
1 cos 420 cos60 cos 60 1 2
2 sin
7 6
sin
5 6
sin
6
1 2
3sin 1300
4
cos
79 6
cos
5 6
cos
6
3 2
练习
化简 1sin 180 cos sin 180
4 tan 324 32 __ta_n__3_5_2_8_;
化简11scio原ns式52=cs2ions•22sin•2sin •c•osco2s
;
= sin • sin • cos
cos
= sin2
化简
2 cos2
tan 360
sin .
原式=cos2 tan sin
1.思考
给定一个角α (1)终边与角α的终边关于原点对称的角 与α有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系?
公式二
y
P(x,y)
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα
π +α α
O
x
tan(π+α)=tanα
P(-x,-y)
(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系?
y
P(-x,y)
π-α P(x,y)
初中数学《1.3 三角函数的计算》教案
§.1 三角函数的有关计算（第1课时）教学目标1．经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程，进一步体会三角函数意义．2．能够用计算器进行有关三角函数值的计算．3．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．教学重点1．用计算器由已知锐角求三角函数值．2．能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．教学难点用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．教学方法探索——引导．教学过程一、提出问题，引入新课课本P15引例如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？怎样用科学计算器求三角函数值呢？二、讲授新课1．用科学计算器求一般锐角的三角函数值．讲解计算器的使用（参照课本）2．下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题．3．下面请同学们用计算器计算下列各式的值(多媒体演示)．（1）sin56°；（2）sin15°49′；（3）cos20°；（4）tan29°；（5）tan44°59′59″；（6）sin15°＋cos61°＋tan76°．(以小组为单位，展开竞赛，看哪一组既快又准确)4．你能用计算器计算说明下列等式成立吗？(用多媒体演示)下列等式成立吗？（1）sin15°＋sin25°＝sin40°；（2）cos20°＋cos26°＝cos46°；（3）tan25°＋tan15°＝tan40°．由此，你能得出什么结论？三、用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题．当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝42°，由此你能想到还能计算什么？四、随堂练习P17五、课时小结本节课主要内容如下：（1）运用计算器计算由已知锐角求它的三角函数值．（2）运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．六、课后作业习题1．4的第1．2题§1．3．1 三角函数的有关计算(一)1．用计算器由已知锐角求它的三角函数值熟练操作，求sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″．2．用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．。
1.3 三角函数的计算(课件)-2023-2024学年九年级数学下册(北师大版)
建一条笔直的公路．
(1)求改直后的公路AB的长；
(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?
二、自主合作，探究新知
(1)求改直后的公路AB的长；
解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝10千米，∠CAB＝25°，
根据正弦的定义，得sinβ= ，即sin
∴DE＝BDsin β°＝200sin42°(m).
42°＝ ，
E
二、自主合作，探究新知
探究二：利用计算器由三角函数值求角度
想一想：为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修
建了40m长的斜道（如图）.这条斜道的倾斜角是多少？
在Rt△ABC中，sinA=
屏幕显示结果cos 72°=0.309 016 994.
和
键.
也有的计算器是
先输入角度再按
函数名称键.
二、自主合作，探究新知
3.求 tan30°36'.
方法一： 第一步：按计算器
键，
第二步：输入角度值30，分值36 (可以使用
键)，
屏幕显示答案：0.591 398 351；
方法二： 第一步：按计算器
北师大版 数学 九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系
3
三角函数的计算
学习目标
1.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算.
(重点)
2.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.
（难点）
复习回顾
30°，45°，60°角的三角函数值：
三
角函
角α
三角函数
直角三角形的边角关系三角函数的计算讲课课件
互余两角之间的三角函数关系: sinA=cosB,tanA*tanB=1.
同角之间的三角函数关系:
sin2A+cos2A=1.
sin A tan A . cos A
特殊角300,450,600角的三角函数值.
例1 小山顶上有一电视塔，在 山脚C处测得塔顶A、塔底B的 仰角分别为45°和30°. 若塔高AB = 40m，则山高BD ≈ m（精确到1m)；
第一章 直角三角形的边角关系
1.3.1 三角函数的有关计算
回顾与思考
直角三角的边角关系
直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2. A+B=900. 直角三角形两锐角的关系:两锐角互余
a sin A cos B , c
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
b cos A sin B , c
a sin A , c b cos A , c a tan A , b
a c sin A. b c cos A.
a b tan A.
a c . sin A b c . cos A a b . tan A
A
作业布置
习题1.4 1,2题;
A
B
C 图1-13
D
1 如图,根据图中已知数据,求△ABC其余各 边的长,各角的度数和△ABC的面积.
A
4cm
450 300
B
C
2 如图,根据图中已知数据,求△ABC其余 各边的长,各角的度数和△ABC的面积.
A
0 300 45 ┌ B 4cm C D
小结拓展 直角三角形中的边角关系
已知两边求角 已知一边一角 已知一边一角 及其三角函数 求另一边 求另一边 B c ┌ b C a
1.3 三角函数的计算
1.3 三角函数的计算教学目标(一)教学知识点1.经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义.2.能够利用计算器进行有关三角函数值的计算.3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.(二)能力训练要求1.借助计算器，解决含三角函数的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力.2.发现实际问题中的边角关系，提高学生有条理地思考和表达能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，体会解决问题后的快乐.2.形成实事求是的严谨的学习态度.教学重点1.用计算器由已知三角函数值求锐角.2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.教学难点用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.教具方法探究——引导——发现.教学准备计算器多媒体演示教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]随着人民生活水平的提高，农用小轿车越来越多，为了交通安全，某市政府要修建 10 m高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建 40m长的斜道.(如图所示，用多媒体演示)这条斜道的倾斜角是多少?[生]在Rt△ABC中，BC= 10 m，AC＝ 40 m，sinA＝.可是我求不出∠A.[师]我们知道，给定一个锐角的度数，这个锐角的三角函数值都唯一确定.给定一个锐角的三角函数值，这个锐角的大小也唯一确定吗?为什么?[生]我们曾学习过两个直角三角形的判定定理——HL定理.在上图中，斜边AC和直角边BC是定值，根据HL定理可知这样的直角三角形形状和大小是唯一确定的，当然∠A 的大小也是唯一确定的.[师]这位同学能将前后知识联系起来很有条理地解释此问题，很不简单.我们知道了sinA=时，锐角A是唯一确定的.现在我要告诉大家的是要解决这个问题，我们可以借助于科学计算器来完成.这节课，我们就来学习如何用科学计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小.Ⅱ.讲授新课1.用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小.[师]已知三角函数求角度，要用到、键的第二功能、、”和键.键的第二功能“sin-1,cos-1,tan -1”和键例如：已知sinA=0.9816，求锐角A，已知cosA＝0.8607，求锐角A；已知tanA：0.1890，求锐角A；已知tanA＝56.78，求锐角A.按键顺序如下表.(多媒体演示)上表的显示结果是以“度”为单位的.再按键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.(教学时，给学生以充分交流的时间和空间，教师要引导学生根据自己使用的计算器，探索具体操作步骤)[师]你能求出上图中∠A的大小吗?[生]sinA=＝0.25.按键顺序为，显示结果为14.47751219°，再按键可显示14°28′39″.所以∠A=14°28′39″.[师]很好.我们以后在用计算器求角度时如果无特别说明，结果精确到1″即可.你还能完成下列已知三角函数值求角度的题吗?1.根据下列条件求锐角θ的大小：(1)tanθ＝2.9888；(2)sinθ=0.3957；(3)cosθ＝0.7850；(4)tanθ＝0.8972；(5)sinθ＝；(6)cosθ＝；(7)tanθ=22.3；(H)tanθ=；(9)sinθ＝0.6；(10)cosθ＝0.2.2.某段公路每前进 100米，路面就升高 4米，求这段公路的坡角.(请同学们完成后，在小组内讨论、交流.教师巡视，对有困难的学生予以及时指导)[生]1.解：(1)θ＝71°30′2″；(2)θ＝23°18′35″；(3)θ＝38°16′46″；(4)θ＝41°53′54″；(5)θ＝60°；(6)θ=30°；(7)θ=87°25′56″；(8)θ＝60°；(9)θ＝36°52′12″；(10)θ＝78°27′47″.2.解：设坡角为α，根据题意，sinα＝=0.04，α＝2°17′33″.所以这段公路的坡角为2°17′33″.2.运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.[例]如图，工件上有-V形槽.测得它的上口宽加 20 mm深 19.2mm。
第1章1.3三角函数的计算(教案)2023-2024学年九年级下册数学(教案)(北师大版)
4.三角函数的值域：让学生了解正弦、余弦函数的值域，并能解决相关问题。
5.解决实际问题：运用三角函数知识解决生活中的实际问题，如测量物体的高度等。
二、核心素养目标
《第1章1.3三角函数的计算》核心素养目标如下：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过三角函数定义、性质及计算方法的推导，使学生在解决问题的过程中形成严密的逻辑思维。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三角函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对三角函数任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在这次《三角函数的计算》的教学中，我发现学生们对三角函数的概念和应用有了初步的认识，但在实际操作和深入理解上还存在一些问题。让我来谈谈我在教学过程中的体会和反思。
（3）角度制与弧度制的转换：在实际应用中，角度制与弧度制的转换是学生容易混淆的地方。
举例：在计算三角函数值时，如何将角度制转换为弧度制，以及如何将弧度制转换为角度制。
（4）三角函数的复合应用：在解决复杂问题时，学生可能难以将多个三角函数综合运用。
举例：在求解多边形内角和或复杂图形的面积时，如何运用多个三角函数知识进行求解。
（2）三角函数的计算公式：熟练掌握正弦、余弦、正切的计算公式，并能运用这些公式解决相关问题。
举例：如sin30°=1/2，cos45°=√2/2等特殊角的三角函数值，以及利用计算公式求解一般角度的三角函数值。
（3）三角函数的值域：了解正弦、余弦函数的值域，并能应用于实际问题。
举例：正弦、余弦函数的值域均为[-1,1]，解释在实际问题中，如物体运动、波形图等，这些值域的意义。
1.3 三角函数的诱导公式
)
B．－2 2 D. 3
π sin2＋θ－cosπ＋θ cosθ＋cosθ 解析： ＝ π cosθ－sinθ sin 2－θ －sinπ－θ
2 2 ＝ ＝ ＝－2.故选 B. 1－tanθ 1－2
答案：B
sinkπ－α· cos[k－1π－α] (理)化简 ＝ ______(k ∈ sin[k＋1π＋α]· coskπ＋α Z)．
2sinα 2cosα ＝ · |cosα| |sinα|
4 ＝ －4
α在第一、三象限时， α在第二、四象限时.
点评：注意变形的技巧，对于
1＋sinα .我们可以 1－sinα
分子、分母同乘以 1＋sinα，也可以分子、分母同乘以 1 －sinα，但分母变为“单项式”更方便些，故选择同乘以 1＋sinα.
2α
2 ⇒ 2 2tan α － 2tanα － 2 2 ＝ 0. 解得 tanα ＝－ 或 2
2
2. 1－ 2 π π 又 <α< ，∴tanα＝ 2.原式＝ ＝－3＋2 2.故 4 2 2＋ 1 选 C.
答案：C
一、选择题 1 ． (2010· 全国卷Ⅰ理， 2) 设 cos( － 80° ) ＝ k ，那么 tan100° ＝( 1－k2 A. k k C. 1－k2 ) 1－k2 B．－ k k D．－ 1－k2
解析：∵f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋α)＝ －asinα－bcosα＝5， ∴asinα＋bcosα＝－5.∴f(2010)＝asinα＋bcosα＝－5.
答案：C
(文)已知 A．2 C．0
π sin2＋θ－cosπ＋θ tanθ＝2，则 ＝( π sin2－θ－sinπ－θ
1.3 三角函数的有关计算(含答案)-
1.3 三角函数的有关计算1.用计算器求下列各式的值: (16分)(1)sin20°; (2)cos38°; (3)tan10°; (4)tan80°; (5)cos27°51′;(6)tan56°17′35″; (7)sin75°31′12″; (8)3sin29°.2.根据下列条件求出∠A的度数: (12分)(1)sinA=0.6031; (2)cosA=0.3215; (3)tanA=0.2136;(4)sinA=0.37; (5)cosA=0.63; (6)tanA=3.465.3. (10分)某校在周一举行升国旗仪式,小明同学站在离旗杆20米处(如图所示), 随着国旗响起,五星红旗冉冉升起,当小明同学目视国旗的仰角为37°( 假设该同学的眼睛距地面的高度为1.6米),求此时国旗离地面的距离.4. (10分)如图,甲、乙两船同时从港口O出发,甲船以16.1海里/时的速度向东偏西32°方向航行,乙船向西偏南58°方向航行,航行了两小时,甲船到达A处并观测到B 处的乙船恰好在其正西方向,求乙船的速度(精确到0.1海里/时).B O东北A5. (10分)苏州的虎丘塔身倾斜,却经历千年而不例,被誉为“中国第一斜塔”,如图,BC 是过塔底中心B 的铅垂线,AC 是塔顶A 偏离BC 的距离,据测量,AC 约为2.34m,塔身AB 的长为47.9m,求塔身倾斜的角度∠ABC 的度数.(精确到1′).6. (10分)河堤横断面如图所示,堤高BC=5米,迎水坡AB 的长为8米,求斜坡AB 与水平面所夹的锐角度数.CBA7. (10分)身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛,三人放出风筝线长、 线与地面夹角如下表(问:8. (10分)如图,一勘测人员从B 点出发,沿坡角为15°的坡面以5千米/时的速度行至D 处,用了12分钟,然后沿坡角为20°的坡面以3千米/时的速度到达山顶A 点处,用了10 分钟,求山高(即AC 的长度)及A,B 两点间的水平距离(即BC 的长)(精确到0.01千米).B20︒DA15︒CE9. (12分)如图,在平面镜的同侧,有相隔15cm 的A,B 两点, 它们与平面镜的距离分别为5cm 和7cm,现要使由A 点射出的光线经平面镜反射后通过点B,求光线的入射角θ的度数.θB 7515DAEF答案:1.(1)0.3420 (2)0.7880 (3)0.1763 (4)5.6713 (5)0.8842 (6)1.4990 (7)0.9682 (8)1.45442.(1)37°5′32″ (2)71°14′47″ (3)12°3′26″ (4)21°42′56″ (5)50°57′ (6)73°54′7″3.由已知得,∠ADE=37°,DE=BC=20米,CD=1.6米,BE=1.6米,在Rt△ADE中,AE=DEtan37°=20×0.7536=15.07(米)≈15.1(米).故AB=15.1+1.6=16.7(米). 即国旗离地面约16.7米.4.由已知得:∠AOB=90°,∠A=32°,OA=16.1×2=32.2(海里).∴OB=OA.tanA= 32.2×tan32°=32.2×0.6249≈20.12(海里).故乙船的速度为20.12÷2≈10.1(海里/时).5.sin∠ABC=2.3447.9ACAB=≈0.0489,得∠ABC=2°48′.即塔身倾斜的角度为2°48′.6.sinA=58BCAB==0.625,∠A≈38°40′56″.7.h甲=100sin40°≈64.3(米),hh乙=100sin45°≈70.7(米),h丙=90sin60 °≈77.9(米).故丙的风筝最高, 甲的风筝最低.8.过D作DF⊥BC于F.由已知得BD=5×1260=1(千米),AD=3×1060=0.5(千米).在Rt △BFD中,DF=BD·sin15°≈0.2588(千米),BF=BD·cos15°≈0.9659(千米),在Rt△ADE 中,DE=AD·cos20°≈0.4698(千米).AE=AD·sin20°≈0.1710(千米).故AC=AE+EC=AE+ DF=0.1710+0.2588=0.4298≈0.43(千米), BC=BF+CF=BF+DE=0.9659+0.4698=1.4357≈1.44(千米).9.过A作AG⊥BF于G,则BG=7-5=2,故=又由已知得∠EAD=∠DBF=θ,故EF= ED+DF=5tanθ+7tanθ=12tanθ,故tanθ=12,由此得θ≈51.1°.。
高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(一)知识素材 新人教版必修4
2
6
2
2、若 cosα＝m，则 cos(－α)等于( A )
A．m
B．－m
C．|m|
D．m2
3、若 sin(π＋α)＝13，则 sinα 等于( B )
1 A.3
B．－13
C．3
D．－3
6、化简：sin(1 440 ) cos( 1 080) cos(180 ) sin( 180)
1
(2)公式一～四可以概括为： a＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的 同名函数值 ，前面
加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
1.3 三角函数的诱导公式（一）
利用公式求下列三角函数值：
1 cos 420
1 2
2sin( 7 )
6
1 2
3sin 1 320 3 4 cos( 79 ) 3
一切立体图形中最美的是球形， 一切平面图形中最美的是圆形。
——— 毕达哥拉斯学派
1.三角函数诱导公式的推导过程,可以这样记忆和 理解:
“函数名不变，符号看象限”.
2.作用: 将任意角的三角函数转化为锐角三角函数解决.
2．诱导公式
公式一 sin(α＋2kπ)＝sinα cos(α＋2kπ)＝cosα tan(α＋2kπ)＝tanα
公式二 sin(π＋α)＝ －sinα cos(π＋α)＝－cosα tan(πα cos(－α)＝ cosα tan(－α)＝－tanα
公式四 sin(π－α)＝sinα
cos(π－α)＝－cosα tan(π－α)＝－tanα
说明：(1)公式一中k∈Z.
1.3 有关三角函数的计算
A D
4m 400
┌ C
BC tan 35 , AC
0
1 1 AD AC DC BC 0 0 tan35 tan40 1 1 0 BD sin 40 m. 0 0 0.61 tan35 tan40
答:楼梯多占约0.61m一段地面.
2 2 3 2
2. 当锐角A>30°时，cosA的值（
(A)小于 (C) 小于
1 2
）
(B)大于 (D)大于
3 2
1 2 3 2
☆ 应用练习
1 3. 当∠A为锐角，且cosA= 5
1. 确定角的范围
,那么（
D
）
(A)0°＜∠A≤ 30 ° (B) 30°＜∠A≤45°
(C)45°＜∠A≤ 60 ° (D) 60°＜∠A≤ 90 °
BD 解：tan56o= 20
CD=BD-BC
BC tan50o= 20
BD=20tan56o ，BC=20tan50o
=20tan560-20tan500
≈5.82m
2、如图10热气球的探测器显示，从热 气球看一栋高楼顶部的仰角为30°， 看这栋高楼底部的俯角为60°，热气 球与高楼的水平距离为120m，这栋 160 3 高楼的高为_____ 米.
BC 10 1 在Rt△ABC中，sinA＝ AC 40 4
按键顺序为 ， 显示结果为： 键
sin-10.25=14.47751219°， 再按
可显示14°28′39″。 所以∠A=14°28′39″。 （在用计算器求角度时如果无特别说明，结果精确到1″即可。）
试一试
1、如图,根据图中已知数据,求△ABC的BC边上的高.
高中数学 1.3三角函数的诱导公式(一)课件 新人教A版必修4
【解析( jiě xī)】1.选B.sin2(π-α)-cos(π+α)cos(-α)+1
=sin2α+cos2α+1=2.
2.(1)原式
cos tan tan
tan .
sin
(2)当k为偶数时，原式 sin 2 cos 4
33
sin( ) cos( )
3
3
sin cos 3 33 4
6
6
【解析】因为(yīcons(w5èi) ) cos[ ( )] cos( ) 3 ,
所以
6
6
6
3
又因为si(ny2ī(n56wèi))
1
cos2
(
5 6
)
1
(
3)2 2. 33
所以 cos( ) cos[( )] cos( ) 3 .
6
6
6
3
sin2 (5 ) cos( )
6
6
2 3 2 3. 33 3
第二十一页，共43页。
【拓展提升】解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称 及有关(yǒuguān)运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转 化.
第二十二页，共43页。
第二十六页，共43页。
当k为奇数( jī shù)时，s原in 式2 cos( 4)
3
3
sin( )cos(2 )
3
3
sin cos 3 . 3 34
第二十七页，共43页。
【拓展提升】三角函数式化简的常用方法
(1)依据(yījù)所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化
1.3 三角函数的诱导公式
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1.如果α 、β满足α +β=π,那么下列式子中正确的个数是( B ) ①sin α =sin β ②sin α =-sin β ③cos α =cos β ④cos α =-cos β (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:α =π-β,则sin α =sin(π-β)=sin β;cos α =cos(π-β)=-cos β,①、 ④正确,故选B.
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( 2) 当 n 为偶数, 即 n=2k( k∈Z ) 时, 原式=cos( 2kπ+ +x) +cos( 2kπ- -x)
=cos( +x) +cos( - -x) =2cos( +x) .
故原式=
.
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根据 n 取值的奇偶性合理选择诱导公式, 是解决此类问题的关键. 变式训练 2 1: 若 k∈Z , 化简
当 k 为偶数时, 函数的名称不变, 这就是“奇变偶不变”的意思. 还有, 在记忆公式时要把α看成锐角( 注
意这里是为了记忆的方便 , 仅仅是看成锐角 , 而不是一定为锐角) , 然后确定 数的名称来确定符号, 这就是“符号看象限”的意思.
± α所在的象限, 并结合函
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正弦、余弦、正切都是以角为自变量, 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 统称为三角函数.
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链接二: 三角函数值在各象限的符号
1.3三角函数计算1
第一章直角三角形的边角关系 九 年 级 数 学（下） 教 学 设 计课 型 新 授 主 备：戴常兴 修改：课 题 ：1.3三角函数的有关计算（第一课时）教学目标1．经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义2．能够用计算器进行有关三角函数值的计算．3．运用计算器辅助解决含三角函数值计算的问题． 教学重点1．用计算器由已知锐角求三角函数值．2．能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题． 教学难点：用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．一、课前预习：阅读可本15--17页，（1）学会用计算器求三角函数值（2）完成引例及随堂练习。
二、课内检测1、若α为锐角，且tan α=33,则α= ，sin α= ,cos2α= . 2、在Rt △ABC 中,∠C=90°,①若∠A=60°，c=8，则a= ，b= 。
②若c=23， b=2，则tanB= ，面积S= 。
③若AC:BC=3:3,AB=6, ∠B= ,AC= ,BC= .3、在Rt △ABC 中,∠C=90°，AB=4,AC=1，则cosA= 。
4、如图:直角三角形ABC 中，边的关系有：勾股定理 : 角的关系有：两锐角互余:边角关系有：sinA= ，cosA= ，tanA=SinB= ，cosB= ，tanB=三、合作探究探究一：用科学计算器求一般锐角的三角函数值．1、学习课本16页，掌握求一般函数值的按键顺序2、求下列各式的值（1）sin56° (2)sin15°49′(3) cos20 (4)tan29°(5)tan44°59′59″注意：不同的计算器按键方式可能不同，探究二：如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B 时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝30°，那么缆车垂直上升的距离是多少？导学：根据直角三角形中的边角关系，选择与未知边BC 和已知边AB 有关的三角函数。
北师大版九年级数学下册试题1.3三角函数的有关计算
初中数学试卷1.3三角函数的有关计算一、选择题1．在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝5，c ＝17，用科学计算器求∠A 约等于 ( )A ．17.6°B ．17°6′C ．17°16′D ．17.16°2．一个直角三角形有两条边长分别为3，4，则较小的锐角约为 ( )A ．37°B ．4l °C ．37°或41°D ．以上答案均不对3．如图，在ABC ∆中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5,则tan B 的值是（ ）A ．34B ．43C ．35 D ．454．在Rt ABC ∆中，90C ∠=o ，13AC AB =， 则cos A 等于（ ） A ．223 B ．13 C ．22 D ．245．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的点D '处，那么tan BAD '∠等于（） A ．1B ．2C ．22D ．22二、填空题6．计算tan 46°≈ ．(精确到0.01)7．在ABC ∆中，90C ∠=o 若tan B =2，1a =，则b = ．8．在Rt ABC ∆中，3BC =，3AC =，90C ∠=o ，则A ∠= ．9．在ABC ∆中，90C ∠=o ，tan 2A =，则sin cos A A += ．10．在Rt ABC ∆中，90C ∠=o ，4sin 5A =，20BC =，则ABC ∆的面积为 ． 三、解答题11．在等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=o ，10AC =，D 是AC 上一点，若1tan 5DBC ∠=，求AD 的长．（9分）12．如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成的角为45o ，如果梯子的底端O 固定不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60o ，求此保管室的宽度AB 的长．（10分）13．如图l —48所示，一测量员站在岸边的A 处，刚好正对河岸另一边B 处的一棵大树，这位测量员沿河岸向右走了50 m到达C处，在C处测得∠ACB＝38°，求河的宽度．(精确到0.01 m，tan 38°≈0.7813)14．如图1—49所示，两建筑物的水平距离为24 m，从A点测得D点的俯角为60°，测得C点的仰角为40°，求这两座建筑物的高．(3≈1.732，tan 40°≈0.8391，精确到0.01 m)15．如图1—50所示，一个能张开54°的圆规，若两脚长均为15 cm，则该圆规所画的圆中最大的直径是多少?(sin 27°≈0.4540，精确到0.01 cm)16．如图l—51所示的是一辆自行车的侧面示意图．已知车轮直径为65 cm，车架中AC 的长为42 cm，座杆AE的长为18 cm，点E，A，C在同一条直线上，后轴轴心B与中轴轴心C所在直线BC与地面平行，∠C＝73°，求车座E到地面的距离EF．(结果精确到l cm，参考数据：sin 73°≈0.96，cos 73°≈0.29，tan 73°≈3.27)参考答案1.A2.B3.B 4．B5．C[提示：设较小的锐角为a，若3，4为两条直角边，则tan a=34.]＝0.75．若斜边为4，先求另一直角边为7，则tan a=736．1.04[提示：用科学计算器求．]7.28.60°9.3根号5/3 10.11.AD=812.由于两边的墙都和地面垂直，所以构成了两个直角三角形．∵cos45°==，∴；而cos60°==，∴BO=．∴AB=AO+BO==．13．解：河的宽度AB＝ACtan C＝50×tan 38°≈50×0.7813≈39.07(m)．，∴14．解：作AE⊥CD于E，则AE=BD＝24m，在Rt△AED中，tan∠DAE＝DEAE DE=AEtan 60°≈24×1.732≈41.57(m)，∴AB＝DE≈41.57 m．在Rt△AEC中，tan∠CAECE∴CE＝AEtan 40°≈24×0.8391≈20.14(m)，∴CD＝CE＋DE≈20.14＋41.57＝AE61.71(m)，∴甲建筑物的高AB约为41.57 m，乙建筑物的高CD约为61.7l m．15．解：作AD⊥BC于D，则∠BAD＝27°，∴BD＝ABsin 27°＝15×sin 27°≈15×0.4540＝6.81(cm)，∴BC＝2BD≈2×6.81=13.62(cm)，∴直径＝2BC≈2×13.62＝27.24(cm)．即该圆规所画的圆中最大的直径约是27.24 cm．，∴DE＝16．解：在Rt△EDC中，CE＝AE＋AC＝18＋42＝60(cm)．∵sin C＝DECECEsin C＝60×sin73°≈60×0.96=57.6(cm)．又∵DF＝1×65＝32.5(cm)，∴EF＝DE＋DF2≈57.6＋32.5≈90(cm)．即车座E到地面的距离EF约为90 cm．。
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tan
sin
.
8
.
5
. .
=
8
0.743 144 825 11.430 052 3 =
0.954 450 312
7 2
2
DMS
DMS 3 . . 5 DMS
讨论、更正、点拨1（2分钟）
2. 用计算器求三角函数值时,结果一般有 10个数位.本书约定,如无特别声明,计算 结果一般精确到万分位. 3.对于本节一开始提出的问题,利用科 学计算器可以求得: BC=ABsin160 ≈200×0.2756≈55.12.
（2）-0.2432
3、 大厦高约为105.2 m. 4、 4 2cm 2( 2 6 )cm
4(1 3)cm2
5、 2(1 3)cm
(5)1.0000
(6)4.7544
讨论、更正、点拨（共8分钟，本页3分钟）
1.用科学计算器求锐角的三角 函数值,要用到三个键:
按键的顺序 Sin160 Cos420 tan850 sin720 38′25″ sin cos 1 4 6 2 = =
sin
cos
tan
显示结果 0.275 637 355
2.求图中避雷针CD 的长度(结果精确 到0.01m).
自学检测答案
1.上高约242.8m 2.CD约等于5.82m
讨论、更正、点拨3（2分钟）
1、直角三角形中的三大关系
三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2. 两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+∠B=900. A 边与角之间的关系:锐角三角函数
§1. 3 三角函数的有关计算
（第1课时）
学习目标（1分钟）
1.会用计算器由角度求三角函数值。
2.会利用三角函数解决一些实际应用题。
学习指导1
:（1分）
自学课本P15----16， 回答下列问题:
用计算器求三角函数值的按键顺序是怎 样的？
（学生自学，教师巡视，8分钟）
自学检测1: （本页4分钟）
当堂训练（本页7分钟，共18分钟）
4. 如图,根据图中已知数据,求 （1)△ABC的AC边和BC边的的长，(2)△ABC的面积.
A
4cm
5.如图,根据图中已知数 据,求AD长.
B
450
300
A
C
450 ┌ 300 B 4cm C D
参考答案
1、（1）0.6249 （3) 0.8844 2、（1） 1.5087 （2） 0.9097 (4) 0.8291
a sin A cos B , c b cos A sin B , c
B c b ┌ C a
a tan A , b
2、树立建模思想：构造直角三角形
当堂训练（本页5分钟，共18分钟）
1.用计算器求下列各式的值： (1)tan320; (2)sin24.530; (3)sin62011′;(4)tan39039′39″.
学习指导2
:（1分钟）
自学课本P16的想一想， 回答下列问题:
在本节一开始的问题中，当缆车继续由点B到达点D 时，它又走了200m，缆车由点B到点D的行驶线路 与水平面的夹角为∠β=420 ，由此你还能计算什 么？
（学生自学，教师巡视8分钟）
自学检测2： （本页6分钟）
1.一个人由山底爬到山顶,需先爬 400的山坡300m,再爬300 的山坡100m, 求山高(结果精确到0.1m).
当堂训练（本页5分钟，共18分钟）
3.如图,物华大厦离小伟家60m,小伟从 自家的窗中眺望大厦,并测得大厦顶部 仰角是450,而大厦底部的俯角是370, 求该大厦的的高度 (结果精确到0.1m).
大厦高约为105.2 m
老师提示:当从低处观察高处的目标时.视线与水 平线所成的锐角称为仰角.当从高处观察低处的目 标时.视线与水平线所成的锐角称为俯角.
1、 用计算器求下列各式的值: (1)sin560, (2)sin15049′, (3)cos200, (4)tan290, 0 (5)tan44 59′59″, (6)sin150+cos610+tan760.
自学检测答案
1.(1) 0.8290 (2)0.2726 (3)0.9397 (4)0.5543