第十章：粘性流体的一元流动

第十章 粘性流体的一元流动

问题：

同学们到开水房打开水，水龙头离锅炉的距离近还是短，灌满一壶水所花的时间短？ 本章内容

1．粘性流体流动的两种流动状态

2．等截面圆管内的定常层流（泊肃叶流动） 3．等截面圆管内的定常湍流 4．水头损失 5.湍流基本特征 6.管路水力计算 本章重点：

1.两种流动状态的概念及其判别准则，临界雷诺数，转捩的概念。

2.平均速度，最大速度，摩擦速度，粘性底层的概念。

3.等截面圆管内定常层流的速度分布，切应力分布规律。

4.等截面圆管内定常湍流的速度分布，切应力分布规律。

5.湍流特征，湍流切应力在近壁面处的特征。

6.湍流度，时间平均值的概念。

7.沿程阻力、局部阻力产生的原因。

8.沿程阻力系数与雷诺数和粗糙度的关系。

10.水力光滑管的概念，平方阻力、自动模拟的概念。 11.简单管路的水力计算。 本章难点： 1.湍流特征 2.湍流应力的概念

§10-1 管路计算的基本方程式

第四章中已经将伯努利方程推广到有限大流束（粘性流体的伯努利方程）：

w h g

U

a p z g U a p z +++=++222

22222111

1γγ (10--1) 推导如下： 若设流线上1～2两点之间的水头损失为hw ，

理想流体伯努利方程改写为：w h g

v

p z g v p z '+++=++

222

222211

1γγ 上式各项乘于γdQ 在整个过流断面上积分：

⎰⎰⎰

'+++=++Q Q

w

Q dQ h dQ g

v

p z dQ g v p z γγγγγ)2()2(2

222211

1 (10--2)

缓变流：过流断面上流线几乎为相互平行的直线。否则称为急变流。如下图所示，

缓变流特性：在缓变流断面上，沿流线的法线方向有（证明略）

常数=+

γ

p

z (10--3)

则积分

⎰

+

=+

Q

Q p

z dQ p

z γγ

γγ

)()( (10--4)

现令积分

⎰

=Q Q g

U a dQ g v γγ222

2 (10--5) U 为过流断面上平均流速，v 为微小流束上流速。 由连续性方程Q=AU ，及dQ=vdA ，则

⎰

⎰

⎰

==

=dA U

v A dQ U v Q Q g

U d g v a Q

Q 332

2

)(1)(

122γθγ 为简便起见令

Q h dQ h w

Q

w

γγ='⎰ (10--6)

代表过流断1～2之间单位重量流体的平均能量损失.

将式(10--4)，(10--5)，(10--6)代入式(10--2)，并通除以γQ ，则有

w h g

U

a p z g U a p z +++=++222

22222111

1γγ

若取α 1 = α 2 = 1.0，则

w h g U

p z g U p z +++=++222

222211

1γγ

(10--7)

证毕

粘性流体伯努利方程的应用条件： (1) 粘性、不可压缩粘体 (2) 定常流动 (3) 流动处于重力场中

(4) 过流断面1、2应取在缓变流断面上，断面1～2之间是否为缓变流断面不影响方程的应用。 §10--2 流体的两种流动状态，判别方法

粘性流体流动与固壁之间产生摩擦，转化为不可逆的热能，形成机械能的损失。 英国物理学家雷诺 （O ·Reynolds ）通过大量实验，发现流动分两种流动状态。 （在此处插入动画，同学们也可在校园网上精品课程《流体力学》实验录象观看） 1）层流流动：流线为平稳的直线，流体质点互不掺混地做平行分层流动。 2）湍流流动：流体质点做不规则运动，在空间存在剧烈掺混。

3）过度状态：从层流流动状态到湍流流动状态，之间存在一个发展过程，这一过程称为过渡状态。 4）临界雷诺数：当雷诺数大于某一值后，流动处于向湍流的过度状态或者到达湍流状态， 工程上将这一雷诺数称为临界雷诺数。对于圆管Re=2300

上临界速度：由层流过渡到湍流的速度的极限值，上临界雷诺数可达13800，甚至更高。 下临界速度：速度由大到小逐渐降低比上临界速度更低时。下临界雷诺数总是稳定在2300左右。 转捩：由层流向湍流的转变。

判别标准：采用临界雷诺数作为判别标准，对于圆管内的流动，Re <2300流动为层流。Re >2300流动为

湍流。

§10--３ 圆管中的层流运动

Ｒｅ≤2300为层流运动。

例如油液流动，轴承润滑油膜内的流动，低速水流；人体毛细血管中的血液流动雷诺数为0.07，大动脉血流雷诺数为200。研究层流运动具有一定实际意义。 研究内容： 管道截面上的速度分布，压力降（沿程损失）

设圆管半径为ｒ ０，圆管中心线与水平轴线相合。 现在考虑半径为ｒ，长度为ｌ的一段流体脱离体，其两端的压力分别为ｐ１和ｐ ２。根据实际流体的柏努利方程式，有

w h g

U p z g U p z +++=++222

2

22211

1γγ

水平等截面圆管，ｚ １＝ｚ ２，Ｕ １＝Ｕ ２， 因管段内没有局部阻力，有ｈ ｖ＝ｈ ｆ， 于是

f h p p =-γ

2

1 （10--13）

结论：脱离体两端面的压力水头差等于该段中间的沿程阻力水头损失。

于该脱离体的平衡方程： 02)(221=⋅⋅+⋅-l r r p p πτπ 对于层流，故根据牛顿内摩擦定律整理得：

dr

du

r l p p μ221-

=- 即 dr

du

r l p p h f γμγ221-=-= 或 rdr l

h du f

μγ2-= 积分，得半径ｒ处的速度：C r l h u f +-

=2

4μγ

Ｃ为积分常数，由边界条件：ｒ＝ｒ０，而ｕ＝０， 所以

)(42

20r r l h u f -=

μγ 抛物线分布

（１０--14） 如图１０--4所示。在整个管内的速度分布是将该抛物线绕管轴旋转而得到的旋转抛物面。

图１０--4

最大速度：圆管中心处，ｒ＝０，