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第10 章 微扰论
§10.1 束缚态微扰论 §10.2 散射态微扰论
§10.1 束缚态微扰论
微扰论方法的宗旨是从一般难以精确求解的Hamilton量H中， 划分出其中数值较小而又妨碍对H精确求解的部分H´,即H=H0+ H´. 划分出H´后剩下的H0应能精确求解。然后，以H0的本征态和本征值 为基础和出发点，以逐级近似的方法考虑H´的影响，给出H的本征 态和本征值的逐阶近似解。 设体系的哈密顿为H，能量本征方程为
10.1.1 非简并微扰论 若在不考虑微扰时，体系处在非简并能级，即
E ( 0 ) Ek( 0 )
(8) ( 9)
ψ ( 0 ) ψ k( 0 )
1. 一级近似 设一级微扰近似波函数为 将(8), (9), (10)代入(6b)得
ψ
(1)
a ψ
(1) n n
(0) n
(10)
(1) ( 0) ( 0) ( H 0 Ek(0) ) an n ( E (1) H ) k n
0 ( E (1) H ) ψ ( 0 ) ( E (1) H ) ψ (1) E ( 2 ) ψ ( 0 )
(6 a ) (6b) ( 6c )
( E (1) H ) ψ ( 2 ) E ( 2 ) ψ (1) E ( 3) ψ ( 0 ) (6d )
ψ (0)
H ψ Eψ
(1)
设哈密顿可分为两部分，其中H0可精确求解，H´比H0小得多
H H0 H
(2)
设H0的本征方程为
H0 ψ
(0) nν
E
(0) n
ψ
(0) nν
, ν 1,2,, f n (3)
0) (0) ψn(ν ψm μ δ mnδ μν
并假设 H0的本征值和本征函数已知，或可解出。 令H的本征值和本征函数分别为
2 (0) n
E
(16 )
将(10), (12), (13)代入(7d)得
( 3) E ( 3) Ek ψ k(1) H E (1) ψ k(1)
H nm H m k H nk H kn H kn (0) (0) H kk (0) (0) (0) (0) 2 ( E E )( E E ) ( E E n k mk nk k n k m k n )
(6b), (6c), (6d) 两边左乘
，并利用(5)得到
E (1) ( 0) H ( 0) E
( 2)
( 7a ) (7b) ( 7c )
( 0)
(1) H
ຫໍສະໝຸດ Baidu
E ( 3) ( 0 ) H ( 2 )
(6c)两边左乘
ψ (1 )
ψ (1) ( H 0 E ( 0 ) ) ψ ( 2 ) ψ (1) ( E (1) H ) ψ (1)
ψ (r1 , r2 )χ 00 ( s1z , s2 z )
能量的一级修正为
1 2 2 3 3 d r1d r2 ψ100 ( r1 ) ψ100 ( r2 ) / r12 r12
式中
ψ100 ( r )
Z 3/ 2
(2) ψ (6b)两边左乘
ψ ( 2 ) ( H 0 E ( 0 ) ) ψ (1) 0 ψ ( 2 ) H ψ ( 0 ) E ( 3)
利用H0的厄米性，上述两式的左边应相等，得
E ( 3) ψ (1) ( H E (1) ) ψ (1)
( 7d )
即可以用微扰一级近似波函数计算能量的三级近似。
( 0) (1) ( 2 )
EE
( 0)
E
(1)
E
( 2)
( 4)
约定： 波函数各级近似解与零级近似解都正交，即
ψ
(0)
ψ
(s)
0, s 1,2,3, (5)
(4)代入(1) ,并比较两边的同级项得到
( H 0 E ( 0 ) ) ψ ( 0 ) ( H 0 E ( 0 ) ) ψ (1) (0) (2) ( H E ) ψ 0 (0) ( 3) ( H E ) ψ 0
(12 )
当m≠k时，有
a
(1) m
H mk (0) , (m k ) (0) Ek Em
(13)
因此，一级近似下的能量本征值与本征函数是
(0) Ek Ek H kk
(14a)
(1) k
ψk ψ
2. 二级近似
(0) k
ψ
ψ
(0) k
H nk (0) (0) ψ n (0) n k Ek En
非简并态的微扰论逐级近似展开的收敛性要求
(17)
H nk 1, ( for all n k ) (0) (0) Ek En
例题1
氦原子及类氢离子的基态能量
解：取原子单位，则两个电子的哈密顿为
1 2 z z 1 2 H (1 2 ) H0 H 2 r1 r2 r12
两边左乘
(0) ψm
(0) (0) (1) ( Em Ek )am E(1)δ mk Hmk
(11)
式中
(0) ψm H mk H ψ k( 0 )
对式(11)， 当m=k时，有
(1) ψ k( 0 ) H ψ k( 0 ) E (1) Ek H kk
(14b)
将(9), (10), (13)代入(7b)得
E
(2)
E
( 2) k
ψ
(0) k
H ψ
(1) k
H nk (0) (0) E E nk k n
2
(15)
则准确到二级近似下的能量本征值为
(0) Ek Ek H kk nk
H nk E
(0) k
1 2 z 1 2 z 1 H0 2 1 r 2 2 r , H r 1 2 12
对于基态，两电子都处于1s轨道，波函数的空间部分可表示为
(r1 , r2 ) ψ100 (r1 )ψ100 (r2 )
按照费米子波函数的要求，自旋波函数应为反对称，则电子的 总波函数为
§10.1 束缚态微扰论 §10.2 散射态微扰论
§10.1 束缚态微扰论
微扰论方法的宗旨是从一般难以精确求解的Hamilton量H中， 划分出其中数值较小而又妨碍对H精确求解的部分H´,即H=H0+ H´. 划分出H´后剩下的H0应能精确求解。然后，以H0的本征态和本征值 为基础和出发点，以逐级近似的方法考虑H´的影响，给出H的本征 态和本征值的逐阶近似解。 设体系的哈密顿为H，能量本征方程为
10.1.1 非简并微扰论 若在不考虑微扰时，体系处在非简并能级，即
E ( 0 ) Ek( 0 )
(8) ( 9)
ψ ( 0 ) ψ k( 0 )
1. 一级近似 设一级微扰近似波函数为 将(8), (9), (10)代入(6b)得
ψ
(1)
a ψ
(1) n n
(0) n
(10)
(1) ( 0) ( 0) ( H 0 Ek(0) ) an n ( E (1) H ) k n
0 ( E (1) H ) ψ ( 0 ) ( E (1) H ) ψ (1) E ( 2 ) ψ ( 0 )
(6 a ) (6b) ( 6c )
( E (1) H ) ψ ( 2 ) E ( 2 ) ψ (1) E ( 3) ψ ( 0 ) (6d )
ψ (0)
H ψ Eψ
(1)
设哈密顿可分为两部分，其中H0可精确求解，H´比H0小得多
H H0 H
(2)
设H0的本征方程为
H0 ψ
(0) nν
E
(0) n
ψ
(0) nν
, ν 1,2,, f n (3)
0) (0) ψn(ν ψm μ δ mnδ μν
并假设 H0的本征值和本征函数已知，或可解出。 令H的本征值和本征函数分别为
2 (0) n
E
(16 )
将(10), (12), (13)代入(7d)得
( 3) E ( 3) Ek ψ k(1) H E (1) ψ k(1)
H nm H m k H nk H kn H kn (0) (0) H kk (0) (0) (0) (0) 2 ( E E )( E E ) ( E E n k mk nk k n k m k n )
(6b), (6c), (6d) 两边左乘
，并利用(5)得到
E (1) ( 0) H ( 0) E
( 2)
( 7a ) (7b) ( 7c )
( 0)
(1) H
ຫໍສະໝຸດ Baidu
E ( 3) ( 0 ) H ( 2 )
(6c)两边左乘
ψ (1 )
ψ (1) ( H 0 E ( 0 ) ) ψ ( 2 ) ψ (1) ( E (1) H ) ψ (1)
ψ (r1 , r2 )χ 00 ( s1z , s2 z )
能量的一级修正为
1 2 2 3 3 d r1d r2 ψ100 ( r1 ) ψ100 ( r2 ) / r12 r12
式中
ψ100 ( r )
Z 3/ 2
(2) ψ (6b)两边左乘
ψ ( 2 ) ( H 0 E ( 0 ) ) ψ (1) 0 ψ ( 2 ) H ψ ( 0 ) E ( 3)
利用H0的厄米性，上述两式的左边应相等，得
E ( 3) ψ (1) ( H E (1) ) ψ (1)
( 7d )
即可以用微扰一级近似波函数计算能量的三级近似。
( 0) (1) ( 2 )
EE
( 0)
E
(1)
E
( 2)
( 4)
约定： 波函数各级近似解与零级近似解都正交，即
ψ
(0)
ψ
(s)
0, s 1,2,3, (5)
(4)代入(1) ,并比较两边的同级项得到
( H 0 E ( 0 ) ) ψ ( 0 ) ( H 0 E ( 0 ) ) ψ (1) (0) (2) ( H E ) ψ 0 (0) ( 3) ( H E ) ψ 0
(12 )
当m≠k时，有
a
(1) m
H mk (0) , (m k ) (0) Ek Em
(13)
因此，一级近似下的能量本征值与本征函数是
(0) Ek Ek H kk
(14a)
(1) k
ψk ψ
2. 二级近似
(0) k
ψ
ψ
(0) k
H nk (0) (0) ψ n (0) n k Ek En
非简并态的微扰论逐级近似展开的收敛性要求
(17)
H nk 1, ( for all n k ) (0) (0) Ek En
例题1
氦原子及类氢离子的基态能量
解：取原子单位，则两个电子的哈密顿为
1 2 z z 1 2 H (1 2 ) H0 H 2 r1 r2 r12
两边左乘
(0) ψm
(0) (0) (1) ( Em Ek )am E(1)δ mk Hmk
(11)
式中
(0) ψm H mk H ψ k( 0 )
对式(11)， 当m=k时，有
(1) ψ k( 0 ) H ψ k( 0 ) E (1) Ek H kk
(14b)
将(9), (10), (13)代入(7b)得
E
(2)
E
( 2) k
ψ
(0) k
H ψ
(1) k
H nk (0) (0) E E nk k n
2
(15)
则准确到二级近似下的能量本征值为
(0) Ek Ek H kk nk
H nk E
(0) k
1 2 z 1 2 z 1 H0 2 1 r 2 2 r , H r 1 2 12
对于基态，两电子都处于1s轨道，波函数的空间部分可表示为
(r1 , r2 ) ψ100 (r1 )ψ100 (r2 )
按照费米子波函数的要求，自旋波函数应为反对称，则电子的 总波函数为