第4章多自由度系统的振动题解

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第4章 振动系统的运动微分方程

第4章  振动系统的运动微分方程

(d)
分析杆 AB ,列写 AB 的运动微分方程,如图(c)
m2 &x&C = − X A
(e)
m2 &y&C = −YA − m2 g
(f)
1 12
m2l 2ϕ&&
=
X
A
l 2
cosϕ
+ YA
l 2
sin ϕ
(g)
运动学方程
xC
=
xA
+
l 2
sin
ϕ
,
x&C
=
x& A
+
l ϕ& cosϕ 2
yC
=

l cosϕ , 2
y& C
=
l ϕ& sinϕ 2
&x&C
=
&x&A

l ϕ& 2 2
sin ϕ
+
l ϕ&& cosϕ 2
(h)
&y&C
=
l ϕ&& sin ϕ 2
+
l ϕ& 2 2
cos ϕ
(i)
上述 9 个方程包含 &x&A ,ε , &x&C , &y&C ,ϕ&&, X A ,YA , F, N 等 9 个未知量,由上述 9 个方程消去
解:系统具有两个自由度,选图示 AB 与铅垂线的夹角ϕ 及圆轮中心 A 的位移 xA 为广
义坐标。
分析圆轮 A ,受力图如图(b)所示。列写圆轮 A 的运动微分方程:

结构动力学课后习题答案

结构动力学课后习题答案

结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。

它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。

课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。

以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案,供参考:习题1:单自由度系统自由振动分析解答:对于一个单自由度系统,其自由振动的频率可以通过以下公式计算:\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中,\( k \) 是系统的刚度,\( m \) 是系统的总质量。

系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述,其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算:\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2:单自由度系统受迫振动分析解答:当单自由度系统受到周期性外力作用时,其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算:\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中,\( F_0 \) 是外力的幅值,\( \omega \) 是外力的角频率。

习题3:多自由度系统模态分析解答:对于多自由度系统,可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。

特征值问题通常表示为:\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中,\( [K] \) 是系统的刚度矩阵,\( [M] \) 是系统的质量矩阵,\( \lambda \) 是特征值,\( {\phi} \) 是对应的特征向量,即模态形状。

习题4:结构的冲击响应分析解答:对于结构的冲击响应分析,通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。

结构的冲击响应可以通过冲击响应谱(IRF)来分析,它描述了结构在不同频率下的响应。

冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。

习题5:疲劳分析解答:结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。

《振动力学》习题集(含问题详解)

《振动力学》习题集(含问题详解)

《振动力学》习题集(含答案)1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面作微幅摆动,如图E1.1所示。

求系统的固有频率。

图E1.1解: 系统的动能为:()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量:2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有:()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为:()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得: ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动,在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧,如图E1.2所示。

求系统的固有频率。

图E1.2解:如图,令θ为柱体的转角,则系统的动能和势能分别为:22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得: ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ,2k 和3k 的轴约束,如图E1.3所示。

求系统的固有频率。

图E1.3解: 系统的动能为:221θ J T =2k 和3k 相当于串联,则有:332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得:θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为:()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得: ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中,已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=,横杆质量不计。

两个自由度体系的自由振动

两个自由度体系的自由振动

根据达朗伯原理,列平衡方程
y1 r1 0 m1 y2 r2 0 m2
(a)
r2 与结构的位移 y1 、 y2 之间 图10-30c中,结构所受的力 r1 、 满足刚度方程。
r1 k11 y1 k12 y2 r2 k 21 y1 k 22 y2
Y1 和 Y不全为零的解答,则: 2 k12 k11 2 m1 0 D 2 k22 m2 k21
(4-3a)
式(4-3a)称为频率方程或特征方程,可求频率。
将式(4-3a)展开:
Hale Waihona Puke (k11 m1 )(k22 m2 ) k12k21 0
2 2
2 2
(4-3b)
(4-2)
Y11 k12 Y21 k11 12 m1
(4-5a)
这个比值确定的振动形式:第一圆频率1相对应 的振型,称为第一振型或基本振型。 同样,由
第二振 型中质 点1的振 幅
2
得:
Y12 k12 2 Y22 k11 2 m1
第二振型中质 点2的振幅
(4-5b)
求出的两个振型分别如图10-31b、c
在一般情况下,两个自由振动体系的自由振动可 看作是两个频率及其主振型的组合振动,即,
方程(41)的全 解
y1 (t ) AY 1 11 sin(1t 1 ) A2Y 12 sin(2t 2 ) y2 (t ) AY 1 21 sin(1t 1 ) A2Y22 sin(2t 2 )

1
2
2 (11m1 22m2 ) (1122m1m2 1221m1m2 ) 0
(11m1 22 m2 ) (11m1 22 m2 ) 2 4(11 22 12 21 )m1m2 1 2 2

第四章两自由度系统的振动介绍

第四章两自由度系统的振动介绍

第四章两自由度系统的振动介绍第四章是关于两自由度系统的振动的介绍。

在这一章中,我们将探讨两自由度系统的振动模型、动力学方程,并讨论其解析解和数值解。

此外,我们还将介绍两自由度系统的模态分析、共振现象以及一些相关的应用。

两自由度系统是一种具有两个自由度的振动系统,它由两个具有质量和弹性的物体通过柔性连接件或刚性连接件相互连接而成。

这些物体可以是质点、弹性体或刚体等,而连接件可以是弹性杆、弹簧、细梁等。

在两自由度系统中,每个物体都可以做平动或转动运动,因此系统具有两个自由度。

例如,双摆锤、双弹簧振子等都属于两自由度系统。

两自由度系统的动力学方程可以由拉格朗日方程或牛顿第二定律得到。

得到动力学方程后,我们可以通过解方程得到系统的解析解,以获得系统的振动特性。

在分析解时,通常要求系统的运动是简谐振动或近似简谐振动。

另一种求解两自由度系统的方法是数值解法。

数值解法可以通过数值积分来近似求解动力学方程,这种方法常用于求解复杂的系统,或者对系统参数进行优化等情况。

分析解和数值解法可以用来研究两自由度系统的固有振动频率、振型和动态响应等。

通过模态分析,我们可以得到系统的固有频率,并确定每个模态的振型。

对于实际工程问题,模态分析可以帮助我们了解系统的共振情况,并设计出合适的控制策略,以求减小共振现象的发生。

共振是两自由度系统中一个重要而常见的振动现象。

当外力的频率与系统的固有频率接近时,系统会发生共振现象。

共振的发生会导致系统振幅的急剧增加,并且可能对系统的稳定性产生不利影响。

因此,在设计过程中,需要避免共振现象的发生,并采取合适的措施来控制共振。

此外,两自由度系统的振动也有许多实际应用。

例如,双摆锤可以用来研究天体运动和天文学现象;双弹簧振子可以用来研究建筑物或桥梁的振动特性;双振子可以用来研究分子振动和分子动力学等。

总而言之,两自由度系统的振动是一种普遍且重要的物理现象。

通过对两自由度系统进行建模和分析,我们可以深入了解系统的振动特性,并在实际应用中进行优化和改进。

第四章多自由度系统

第四章多自由度系统

j 1
j 1
js
js
r 1, 2, , n
(4.2 15)
因而有
n (kij
j1

lr
mij
)
u jr usr

lr mis
kis
js
i 1, 2, , n; r 1, 2, , n
(4.2 16)
对于某个确定的r,方程(4.2-16)是一个以 ujr/usr(j=1,2,…,s-1,s+1,…,n)为变量的n个非 齐次方程,取其中的n-1个方程求解,就得 到ujr/usr(j=1,2,…,s-1,s+1,…,n)的值,是使第s 个比值为1得到的,这些值是确定的。从而 得到
对于线性系统,系统的动能可表示为
T

1 2
n i 1
n
mijqi q j
j 1
(4.1 6)

T 1 qT M q
2
(4.1 7)
式中mij是广义质量。质量矩阵[M]是实对 称矩阵,通常是正定矩阵,只有当系统中 存在着无惯性自由度时,才会出现半正定
的情况。q为广义速度向量。
n
- f (t) f (t)
kij u j
j1
n
mij ui
j1
i 1, 2,..., n
(4.2-4) (4.2-5)
方程表明,时间函数和空间函数是可以分离 的,方程左边与下标i无关,方程右边与时间 无关。因此,其比值一定是一个常数。
f(t)是时间的实函数,比值一定是一个实数,
把势能函数在系统平衡位置近旁展为Taylor级 数,有
n U 1 n n 2U
U

第4章-多自由度系统振动分析的数值计算方法(25页)

第4章-多自由度系统振动分析的数值计算方法(25页)

第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时,必须先求得系统的固有频率和主振型。

当振动系统的自由度数较大时,这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大,必须利用计算机来完成。

在工程中,经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型,或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解,以得到实际振动问题的近似分析结果。

本章将介绍工程上常用的几种近似解法,适当地选用、掌握这类实用方法,无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。

§4.1 瑞利能量法瑞利(Rayleigh )能量法又称瑞利法,是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。

该方法的特点是:①需要假定一个比较合理的主振型;②基频的估算结果总是大于实际值。

由于要假设主振型,因此,该方法的精度取决于所假设振型的精度。

§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统,其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。

多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭&& (4.1.1)当系统作某一阶主振动时,设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭&(4.1.2)将上式代入式(4.1.1),则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律,max max T U =,即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中,()I R A 称为第一瑞利商。

当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时,第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值,即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==L(4.1.5)在应用上式时,我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ,只能以假设的振型{}A 代入式(4.1.4),从而求出的相应固有频率i ω的估计值。

第四章 多自由度系统

第四章 多自由度系统
频率方程为 则频率方程为:
(1)
2 为方程的解,代入( ),得 设 {q} = { A} sin(ωt + ϕ ) 为方程的解,代入(1),得([ K ] − ω [ M ]) { A} = {0}
[K ] − ω2 [M ] = 0
系统有n个大于零的正实根, 当 [ K ] > 0 时,系统有n个大于零的正实根, 对应固有频率
求系统的柔度矩阵[D]。 求系统的柔度矩阵 。
F1
F2
F3
EI
分析
m1
m2
m3
x
y
以三个集中质量m 离开其静平衡位置的垂直位移y 以三个集中质量m1、m2、m3离开其静平衡位置的垂直位移y1、y2、y3为 系统的广义坐标(见上图)。 系统的广义坐标(见上图)。
F1
EI
F2
F3
m1
m2
m3
x
y
由材料力学得知,当简支梁受力作用时, 由材料力学得知,当简支梁受力作用时,其挠度计算公式为 : Pbx 2 y= (l − x2 − b2 ) , ( 0 ≤ x ≤ a ) 6 EIl 根据柔度影响系数的定义, 根据柔度影响系数的定义,我们首先在坐 处作用一单位力,则在坐标y 标y1处作用一单位力,则在坐标y1、y2、y3处 产生的挠度即分别为d 产生的挠度即分别为d11、d21、d31。
3k 则刚度矩阵为 [ K ] = − k 0
−k 4k −3k
0 −3k 7k
线弹性系统的刚度矩阵对称
第一节 运动微分方程的建立
2.柔度影响系数和位移方程 柔度影响系数和位移方程
柔度影响系数d 单位外力所引起的系统位移, 柔度影响系数 ij——单位外力所引起的系统位移,即系统第j个坐标上

结构动力学多自由度

结构动力学多自由度

▪ 振型方程:
(K i2M)ji 0 (i 1, 2, 3, n)
▪∵
K 2i M 0
▪ ∴ 第i 个振型方程中的n 个方程中只有n-1个是独立的! ▪ ——无法得到j1i、 j2i、 … 、 jni 的确定值, ▪ 但可以确定各质点振幅之间的相对比值: ▪ —— 振型的幅值是任意的,但形状是惟一的。
一致质量矩阵:
L
pava m13v1 0 fI ( x)v( x)dx
L
0
m( x) 3( x)v3
L
1( x)v1dx
mij 0 EI ( x)i ( x) j ( x)dx
L
cij 0 c( x) i ( x) j ( x)dx
其中,c(x)表示分布的粘滞阻尼特性。
一致节点荷载
L
vˆ 表示体系的形状,不随时间变化。
v 2vˆ sin(t ) 2v 2mvˆ sin(t ) kvˆ sin(t ) 0
k 2m vˆ 0
k 2m vˆ 0
即: k 2m 0
上式的N个根,表述体系可能存在的N个振型的频率。
1
2
3
N
2)
2
)
y32
(t
)

32
s
in
(
2
t
2
)
1

2i
yi
(t
)
jˆ3i
s
in(i
t
i
)
jˆ ni
1
jˆ 21
jˆ 31
jˆ 32
1
jˆ 22
将N个振型中的每一振型形式,用F表示N个振型所组成的方阵。
11 12 13 1N

振动力学各章作业题解()

振动力学各章作业题解()

振动⼒学各章作业题解()第02章单⾃由度系统的振动2.1 ⼀根抗弯刚度72=3610Ncm EI ?的简⽀架,两⽀承间跨度l 1=2m ,⼀端伸臂l 2=1m ,略去梁的分布质量,试求悬臂端处重为Q =2548 N 的重物的⾃由振动频率。

【提⽰:22123()EJ k l l l =+,2212()3st Ql l l EI δ+=,11.77n st gk gQ ωδ=== 1/s 】 2.2 梁AB 其抗弯刚度72=910Ncm EI ?,A 端与B 端由弹簧⽀承,弹簧刚性系数均为k =52.92 kN/m ,如图所⽰。

略去梁的分布质量,试求位于B 端点左边1⽶处,重为Q =4900 N 的物块⾃由振动的周期。

【解法1:通过计算静变形求解。

A ,B 弹簧受⼒为3Q 和23Q,压缩量为3Q k 和23Q k ,则由弹簧引起的静变形为159Q k δ=;利⽤材料⼒学挠度公式求出梁变形引起的静变形222212(321)4619Q QEI EIδ??--==?。

周期为:1222 1.08nT gδδππω+===s 。

解法2:通过弹簧刚度的串并联计算总等效刚度求解。

A ,B 弹簧相对Q 处的等效刚度为(产⽣单位变形需要的⼒,利⽤解法1中计算的静变形结果)195k k =;利⽤材料⼒学挠度公式求出梁相对Q 处的等效刚度294EI k =;总等效刚度为:12111eq k k k =+。

周期为22 1.08neqQT gk ππω===s 。

】 2.4 ⼀均质刚杆重为P ,长度为L 。

A 处为光滑铰接,在C 处由刚性系数为k 的弹簧使杆在⽔平位置时平衡。

弹簧质量不计,求杆在竖直⾯内旋转振动时的周期。

【解:利⽤定轴转动微分⽅程:21()32st P l l P k a a g ??δ=-- ,2st lk a P δ=,得:22103P l k a g+= , 222/3223n Pl g l PT ka a gkπππω===】题 2-1 图BAQl 1 l 2题 2-2 图2m1mQkkAB 题 2-4 图lakA CB2.8 ⼀个重为98 N 的物体,由刚性系数为k =9.8 kN/m 的弹簧⽀承着(简化为标准m-k-c 振动系统),在速度为1 cm/s 时其阻⼒为0.98 N 。

多自由度系统的振动、响应和求解

多自由度系统的振动、响应和求解
E
D k vD
B Q2
A Q1
k vA
位移图
受力图
图(b) v21, v1v30时板的位移和受力图
(2)求刚度矩阵第二列 参见图 b,可得板的力平衡方程:
Q3 kvA kvD 0 Q1L (kvA kvD) L 0 Q1 Q2 kvE 0
;其中
k
12EI L3
解得 Q 1 2 k , Q 2 3 k , Q 3 0
微振动时, i ,
&
i
为小量,将以上能量保留到二阶小量,得
(注意:为了得到线性振动方程,能量表达式必须保留 到二阶微量)
T 12ml2[3&12 2&22 &32 4&1&2 2&2&3 2&3&1]
3
12ml2{&1,&2,&3}2
1
2 2 1
11&&12 1&3
V
1 2
mgl
(312
222
简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为
P
f Pb(xl2x2b2), 0xa 6EIl
x
a
b
l
f Pb[l(xa)3(l2b2)xx3], axl
6EIlb
例4.1 写出图示梁的柔度矩阵,梁的抗弯刚度为EI。如果 将梁的质量按分段区间均分到区间的两个端点,写出梁的质
量矩阵,设梁单位长度的质量为 l。
;其中
k
12EI L3
Q1 Q2
2 2
(kvA
kvD
)
0
解得 Q 1 4 k , Q 2 2 k , Q 3 0
因此,刚度矩阵第一列为

多自由度振动系统的特征值问题与模态分析

多自由度振动系统的特征值问题与模态分析

多自由度振动系统的特征值问题与模态分析自由度是描述物体运动状态的重要概念,而多自由度振动系统则是指由多个物体组成的振动系统。

在工程领域中,多自由度振动系统的特征值问题与模态分析是非常重要的研究内容。

特征值问题是指在多自由度振动系统中,寻找系统的固有振动频率和振动模态的问题。

对于一个n自由度振动系统,其特征值问题可以表示为:[K] {x} + [M] {x} = \lambda [M] {x}其中[K]是系统的刚度矩阵,[M]是系统的质量矩阵,{x}是系统的振动位移向量,\lambda是特征值。

解特征值问题可以得到系统的特征值和特征向量,从而确定系统的固有振动频率和振动模态。

在解特征值问题时,常常采用模态分析的方法。

模态分析是一种将多自由度振动系统的特征值问题转化为一组独立振动模态的方法。

通过模态分析,可以得到系统的振动模态和相应的特征值。

振动模态是指系统在不同频率下的振动形态,而特征值则代表了系统的固有振动频率。

在进行模态分析时,通常需要进行模态求解和模态分解两个步骤。

模态求解是指求解特征值问题,得到系统的特征值和特征向量。

而模态分解则是将系统的振动模态表示为一组独立的振动模态,通常采用线性组合的形式表示。

在实际工程中,多自由度振动系统的特征值问题和模态分析具有广泛的应用。

例如,在建筑结构设计中,通过模态分析可以确定结构的固有振动频率,从而避免共振现象的发生。

在机械系统中,通过模态分析可以评估系统的动态性能和稳定性。

在航天器设计中,模态分析可以帮助设计师优化结构,提高航天器的抗振能力。

总之,多自由度振动系统的特征值问题与模态分析是工程领域中重要的研究内容。

通过解特征值问题和进行模态分析,可以得到系统的固有振动频率和振动模态,从而对系统的振动特性进行分析和优化。

在实际应用中,特征值问题和模态分析对于工程设计和结构分析具有重要的意义。

机械振动4两自由度系统的动力学方程

机械振动4两自由度系统的动力学方程

实际振动为:
x(t ) x ( 2) (t ) x ( 2) (t )
1 1 C1 sin(1t 1 ) C2 sin(2t 2 ) (4.1 17) r1 r2
其中C1、C2和1、2由初始条件确定。
《振动力学》 12
例4.1-1: m1 m, m2 2m,
2 2 k11k22 (k1 k2 )(k2 k3 ) k2 k12
i2 0 (i 1,2) i (i 1,2)为正实根,即两个固有 频率。 每个i 代入方程 (4.1 10),得到: 2 k u k12 2 11 i m1 2 (k11 i m1 )u1 k12u2 0 u1 k12 k22 i2 m2
(4.1 15a) (4.1 15b)
u(1)、u( 2)称 为 振 型 向 量 或 模 态 向
量 , 分 别 对 应 于 1、2。
x1(i ) Ci u1(i ) sin( i t i ), 对每个 i: (i ) (i 1,2) (i ) x2 Ci u2 sin( i t i ),
以O点为参考点,O点与质心C的距离为a,距离A、B点分 别为l1、l2,相对静平衡位置O0的位移为x,刚性杆相对平 衡位置的偏角为θ 。 试建立系统的动力学方程。
《振动力学》 19
解:以x、θ 为广义坐标
xc x a sin
θ 为小量
θ
xc x a
k1
x O0
k2
系统的动能:
T 1 2 1 2 C I c C mx 2 2 1 ) 2 1 J 2 a m( x 2 2
m人
k1 c1
m车

振动力学(两自由度系统和多自由度系统)

振动力学(两自由度系统和多自由度系统)
68振动理论及应用多自由度系统的振动和单自由度的概念类似可以绘出频率比与振幅之间随阻尼比的变化曲线幅频响应曲线频率响应曲线共振现象69振动理论及应用多自由度系统的振动例38在两自由度标准mk系统中设mk在第一个质量上作用有干扰力f70振动理论及应用71振动理论及应用多自由度系统的振动39图示系统xsint当为基频的0707倍时车体w72振动理论及应用多自由度系统的振动代入数据求得固有频率为28297机车振动频率为0707070718041276利用前面的方法求得振幅为73振动理论及应用多自由度系统的振动当机器转速在共振区域附近时会引起剧烈的振动由单自由度系统振动理论知道可以通过调整质量或弹簧刚度或增加阻尼来使振动情况得到缓解
0
0
m2
则方程为
x1 x2
l3 48EI
2 5
5 m1
16
0
0 m2
x1 x2
0 0
15
振动理论及应用
若写为力方程形式
[K]
[R]1
48EI 7l 3
16 5
5
2
则方程为
第3章 多自由度系统的振动
m1
0
0 m2
x1 x2
48EI 7l 3
16 5
5
2
具体求解时,只假设j坐标处的位移为1,其它各坐标的位 移均为0。
7
振动理论及应用
5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵
第3章 多自由度系统的振动
质量矩阵[M]中的元素称为惯性(质量)影响系数,其 mij的力学意义是:仅在j坐标处产生单位广义加速度,需在i坐 标处施加的广义力。
具体求解时,只假设j坐标处的加速度为1,其它各坐标的 加速度均为0。
[R]-1{x} {F} [M ]{x} [C]{x}

结构动力学之多自由度体系的振动问题ppt课件

结构动力学之多自由度体系的振动问题ppt课件
1 536EI
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型,可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求 出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] - λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性 密切相关;另外,当用振型叠加法计算任意干扰力 作用下结构的动力响应时,往往要用到自由振动的 频率(frequency)和振型(mode)。
为此,要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率,或称
基本频率。 通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动,对应于每一个主振动的形状称为主振 型。
1)如果各质体的初速度为零,而初位移和某 一振型成比例,然后任其自然,则系统就按 这个振型作简谐自由振动,此解答就相应于 该振动的一组特解;

第四章结构动力学多自由度体系详解

第四章结构动力学多自由度体系详解

此时惯性力
设解为 y1(t) Y1 sin(t )
y2
(t)
Y2
s
in(t
)
幅值
m1y1(t) m1 2Y1 sin(t )
m2
y2
(t
)
m2
2Y2
s
in(t
)
2m1Y1 2m2Y2
Y1 ( 2m1Y1)11 ( 2m2Y2 )12
Y2 ( 2m1Y1) 21 ( 2m2Y2 ) 22
振但动其过比程值中始,终结保构持位不移变形。状保持不变的振动形式,称为主振型。
(k11 2m1
k21Y1 (k22
)Y1 k12Y2
2m2 )Y2
0 0
当然 Y1=Y2=0 为其解,为了求得不全为零的解,令
D (k11 2m1)
k12
0
k21
(k22 2m2 )
特征方程 频率方程
第1振型
第2振型
(2)求频率(k1 k2 2m1)(k2 2m2 ) k22 0
若有 m1 nm2 [(n 1)k2 2nm2 ](k2 2m2 ) k22 0
k1 n k2 (3)求主振型
12
2
1 2
(2
1) n
4 n
1 n2
k2 m2
1 :
Y21 Y11
k22
二、 柔度法
m2 y2 m2
m1y1 m1
在自由振动过程中任意时刻t,质量m1、
y2(t) m2的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时 惯性力作用下的静力位移。
y1(t)
y1(t) m1y1(t)11 m2 y2(t)12
y2 (t) m1y1(t) 21 m2 y2 (t) 22

振动理论习题答案汇总

振动理论习题答案汇总

《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示,重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置,另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。

试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。

解:222221v gW h W =,gh v 22=动量守恒:122122v gW W v g W +=,gh W W W v 221212+=平衡位置:11kx W =,kW x 11=1221kx W W =+,kW W x 2112+=故:kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故:tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆,长为l ,重量为w ,用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置,如图2-2所示。

试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程,并求出振动固有周期。

解:给杆一个微转角θ2aθ=h α2F =mg由动量矩定理:ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒,平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动,如图2-3所示。

试求其摆动的固有频率。

图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示,一质量m连接在一刚性杆上,杆的质量忽略不计,试求下列情况系统作垂直振动的固有频率:(1)振动过程中杆被约束保持水平位置;(2)杆可以在铅垂平面内微幅转动;(3)比较上述两种情况中哪种的固有频率较高,并说明理由。

图T 2-9 答案图T 2-9解:(1)保持水平位置:m kk n 21+=ω(2)微幅转动:mglllF2112+=mgl1l2xx2xx'mglll2121+=k2k1ml1l2()()()()()()()()()mgk k l l k l k l mgk k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mgk l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2122122212121221221121212221212211211121212122211211121221112111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=+-+='+=故:()22212121221k l k l k k l l k e++=mk en =ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。

第4章 多自由度系统的振动题解

第4章 多自由度系统的振动题解

62 / 2962习 题4-1 在题3-10中,设m 1=m 2=m ,l 1=l 2=l ,k 1=k 2=0,求系统的固有频率和主振型。

解:由题3-10的结果22121111)(l g m l g m m k k +++=,2221l gm k -=,2212l g m k -=,22222l gm k k += 代入m m m ==21,021==k k ,l l l ==21可求出刚度矩阵K 和质量矩阵M⎥⎦⎤⎢⎣⎡=m m M 00;⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=l mg lmg l mg l mg K 3 由频率方程02=-M p K ,得0322=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=mp l mg l mg lmgmp l mg B 0242222242=+-∴l g m p l g m p ml g p )22(1-=∴ ,lgp )22(2+= 为求系统主振型,先求出adjB 的第一列⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=l mg mp lmg adjB 2分别将频率值21p p 和代入,得系统的主振型矩阵为题4-1图63 / 2963⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=112)1(A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=112)2(A4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m 1,求系统的频率方程。

解:设杆的转角θ和物块位移x 为广义坐标。

利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。

设0,1==x θ,画出受力图,并施加物体力偶与力2111,k k ,由平衡条件得到,222111a k b k k +=, a k k 221-=设1,0==x θ,画出受力图,并施加物体力偶与力2212,k k ,由平衡条件得到,12k a k 2-=, a k k 222=得作用力方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡0000312222221221x a k a k a k a k b k x m a m θθ由频率方程02=-M K p ,得031222222212221=----+p m a k ak a k p a m a k b k4-3 题4-3图所示的系统中,两根长度题4-3图题4-2图64 / 2964为l 的均匀刚性杆的质量为m 1及m 2,求系统的刚度矩阵和柔度矩阵,并求出当m 1=m 2=m 和k 1=k 2=k 时系统的固有频率。

建筑结构抗震总复习第四章-多自由度体系结构的地震反应

建筑结构抗震总复习第四章-多自由度体系结构的地震反应

[M
]
m1
0
0
m2
[K
]
k1 k2
-k2
-k2
k2
I=11
x(t
)
x1 x2
t t
x(t
)
x1 x2
t t
则两自由度体系的运动方程可写成
M xtKxt=-M Ixg t
多自由度体系的运动方程也可以按上式表示
(4.3)
5
运动方程的建立
矩阵[M]称为体系的质量矩阵;矩阵[K]称为体系的刚度
两个自由度的层间剪切模型计算简图
3
运动方程的建立
根据达朗贝尔原理上述两力构成平衡力系(暂不考虑 阻尼影响)
质点1 fI1 fS1=-m1x1 t m1xg t -k1x1 t k2x2 t k2x1 t =0
即 质点2

m1x1 t k1 k2 x1 t k2x2 t =-m1xg t fI 2 fS2=-m2x2 t -m2xg t -k2 x2 t x1 t =0
矩阵;而 xt 和 xt 称为体系的加速度矢量和位
移矢量。如考虑阻尼影响,则体系的运动方程为
M xtCx t K x t =-M Ixg t (4.4)
矩阵[C]称为体系的阻尼矩阵,如采用瑞利阻尼假定,则阻 尼矩阵为
C=0 M 1 K 其中,0, 1为与体系有关的常数
6
多自由度体系的自振频率及振型
不一定也达到最大。从而结构地震作用的最大值并不等于各
振型地震作用最大值之和,根据随机振动理论,近似地取
“平方和开方”。
20
底部剪力法(寻求更为简便的适合设计的方法) 适用条件: • 结构的质量和刚度沿高度分布比较均匀; • 房屋的总高度不超过40m; • 建筑结构在地震作用下的变形以剪切变形 为主; • 建筑结构在地震作用时的扭转效应可忽略 不计。 结构在地震作用下的反应一第一振型为主, 图 3-18 底部剪力法地震作用分布 且近似为直线。
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习 题4-1 在题3-10中,设m 1=m 2=m ,l 1=l 2=l ,k 1=k 2=0,求系统的固有频率和主振型。

解:由题3-10的结果22121111)(l g m l g m m k k +++=,2221l gm k -=,2212l g m k -=,22222l gm k k += 代入m m m ==21,021==k k ,l l l ==21 可求出刚度矩阵K 和质量矩阵M⎥⎦⎤⎢⎣⎡=m m M 00;⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=l mg lmg l mg l mg K 3 由频率方程02=-M p K ,得0322=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=mp l mgl mg lmgmp lmg B 0242222242=+-∴l g m p l g m p m l g p )22(1-=∴ ,lgp )22(2+= 为求系统主振型,先求出adjB 的第一列⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=l mg mp lmg adjB 2分别将频率值21p p 和代入,得系统的主振型矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=112)1(A⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=112)2(A题4-1图4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m 1,求系统的频率方程。

解:设杆的转角θ和物块位移x 为广义坐标。

利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。

设0,1==x θ,画出受力图,并施加物体力偶与力2111,k k ,由平衡条件得到,222111a k b k k +=, a k k 221-=设1,0==x θ,画出受力图,并施加物体力偶与力2212,k k ,由平衡条件得到, 12k a k 2-=, a k k 222= 得作用力方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡0000312222221221x a k a k a k a k b k x m a m θθ由频率方程02=-M K p ,得031222222212221=----+p m a k ak a k p a m a k b k4-3 题4-3图所示的系统中,两根长度为l 的均匀刚性杆的质量为m 1及m 2,求系统的刚度矩阵和柔度矩阵,并求出当m 1=m 2=m 和k 1=k 2=k 时系统的固有频率。

解:如图取21,θθ为广义坐标,分别画受力图。

由动量矩定理得到,l l k l l k I 43434343211111θθθ+-= 224343434322211122l l k l l k l l k I θθθθ--= 题4-3图 题4-2图整理得到,016916922112111=-+θθθl k l k I 0)4169(1692222112122=++-θθθl k l k l k I则刚度矩阵和柔度矩阵分别得,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=221212121241169169169169k l k l k l k l k l K ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+===-2222222122144491641l k l k l k l k l k adj K K K ∆ 系统的质量矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222121487003100l m l m I IM 由频率方程02=-M K p ,并代入已知条件得,048716131691693116922222222=----p ml kl kl kl p ml k l 整理得到03248131122224=+-mk m k p p ,求得m k p 6505.01=,m k p 6145.22=。

用刚度影响系数法求解刚度矩阵。

令0,121==θθ,分别由两杆的受力图,列平衡方程为21211116943l k l k k =⎪⎭⎫⎝⎛=;2121169l k k -=同理,令0,121==θθ得到212221222216941692l k l k l k l k k +=+⎪⎭⎫⎝⎛=212112169l k k k -==∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=222121212141169169169169l k l k l k l k l k k4-4 题4-4图所示,滑轮半径为R ,绕中心的转动惯量为2mR 2,不计轴承处摩擦,并忽略绕滑轮的绳子的弹性及质量,求系统的固有频率及相应的主振型。

解:如图选x 1,x 2,x 3为广义坐标。

利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。

设0,1321===x x x ,画出受力图,并施加物体312111,,k k k ,由平衡条件得到,k k =11, 021=k ,kR k -=31设0,1312===x x x ,画出受力图,并施加物体322212,,k k k ,由平衡条件得到,12k = 0, k k =22,kR k =32设0,1213===x x x ,画出受力图,并施加物体332313,,k k k ,由平衡条件得到,kR k -=13,kR k =23,2332kR k =则刚度矩阵和质量矩阵分别得,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2200kR kR kR kR k kR k K ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22000000mR m m M 由频率方程02=-M K p ,得0220022222=-----p mR kR kRkRkR mp k kR mp k展开为0)2()(22222=--R k mp p mp k m ,解出频率为01=p ,mkp =2,mk p 23= 由特征矩阵M K B 2p -=的伴随矩阵的第一列,题4-4图⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=)()22)(()22)((2222222222222)1(mp k kR p mR kR mp k R k R k p mR kR mp k adj B 并分别代入频率值,得系统的主振型矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=R R 101111111A4-5 三个单摆用两个弹簧联结,如题4-5图所示。

令m 1=m 2=m 3=m 及k 1=k 2=k 。

试用微小的角1θ、2θ和3θ为坐标,以作用力方程方法求系统的固有频率及主振型。

解:如图选321,,θθθ为广义坐标。

利用刚度影响系数法求刚度矩阵K 。

设0,1321===θθθ,画出受力图,并施加物体于312111,,k k k ,由平衡条件得到,mgl kh k +=211, 221kh k -=,031=k设0,1312===θθθ,画出受力图,并施加物体322212,,k k k ,由平衡条件得到,212kh k -=, mgl kh k +=2222,232kh k -=题4-5图设0,1213===θθθ,画出受力图,并施加物体332313,,k k k ,由平衡条件得到,013=k ,223kh k -=,mgl kh k +=233则刚度矩阵和质量矩阵分别得,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--+=mgl kh kh kh mgl kh kh kh mgl kh 2222222020K ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=222000000ml ml ml M 特征矩阵:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+---+=2222222222222 0 2 0l mp mgl kh kh kh l mp mgl kh kh kh l mp mgl kh B由频率方程02=-M K p ,得=B 0,00202222222222222=-+---+---+p ml mgl kh kh kh p ml mgl kh kh kh p ml mgl kh展开为,()()()()[]()()()()()()[]()()()03 2 222222222222222222222222222222222222=-+--+=--+-+-+=-+-----+-+-+l mp mgl kh l mp mgl l mp mgl kh kh l mp mgl kh l mp mgl kh l mp mgl kh l mp mgl kh kh kh l mp mgl kh l mp mgl kh l mp mgl kh 0]4)(4))[((4222222222=+-+--h k p ml mgl kh p ml mgl p ml mgl解出频率为lgp =1,222ml kh l g p +=,2233ml kh l g p +=。

由特征矩阵M K B 2p -=的伴随矩阵的第一列,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-+=42222242222222)1()())(2(h k p ml mgl kh kh h k p ml mgl kh p ml mgl kh adj B并分别代入频率值,得系统的主振型矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111201111A4-6 题4-6图所示的简支梁的抗弯刚度为EJ ,本身质量不计,以微小的平动x 1、x 2和x 3为坐标,用位移方程方法求出系统的固有频率及主振型。

假设m 1=m 2=m 3=m 。

解:如图取广义坐标,用柔度影响系数法求柔度矩阵。

首先,仅在质量1m 处施加竖直单位力F=1,其余各质量块处不受力,则1m 产生的静挠度是11δ;2m 处产生的静挠度是21δ;3m 处产生的静挠度是31δ。

则由材料力学知识,得到EJ l 7689311=δ,EJ l 76811321=δ,EJl 7687331=δ同理可得到其它柔度矩阵的各列,最后得到柔度矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=911711161171197683EJ l ∆ 得到系统的位移方程为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧321332100000091171116117119768x x x m m mEJ l x x x 题4-6图由系统的特征矩阵I M L 21p -=∆,得频率方程0=L ,即 091171116117119=---λααααλααααλα其中231,768pEJ ml ==λα,展开频率方程为0)1432)(2(22=+--ααλλαλ解出αλαλαλ444.0,2,556.31321===。

由特征矩阵的伴随矩阵的第一列⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=)16(7121)9(1177121)9)(16(222λαααλααααλαλαL adj ,分别代入特征值,得到主振型为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000.1000.1000.1414.1000.0414.1000.1000.1000.1A 。

4-7 如题4-7图所示,用三个弹簧连接的四个质量块可以沿水平方向平动,假设m 1=m 2=m 3=m 4=m 和k 1=k 2=k 3=k ,试用作用力方程计算系统的固有频率及主振型。

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