数学分析2综述

数学分析综述

第六章微分中值定理及其应用

6.1 微分中值定理

一、罗尔定理

若函数f满足如下条件：1、f在闭区间[a,b]上连续；2、f在开区间（a,b）内可导；

3、f(a)=f(b);则在（a,b）内至少存在一点，使得f()=0.

二、拉格朗日中值定理

若函数f满足如下条件：1、f在闭区间[a,b]上连续；2、f在开区间（a,b）内可导；

则在（a,b）内至少存在一点，使得f()=.

三、柯西中值定理

若函数f和g都满足如下条件：1、f在闭区间[a,b]上都连续；2、f在开区间（a,b）内都可导；3、f’(x)和g’(x)不同时为零；4、g(a)= g(b);

则在（a,b）内存在一点，使得

6.2 单调性及其判定

定理设f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上递增（减）的充要条件是：f’(x)≥0(≤0).

推论设函数在区间I上可微，若f’(x)>0(f’(x)<0),则f 在I上严格递增（严格递减）。

6.3 洛必达法则

定理（0/0型不定式极限）若函数f和g满足：

1、==0;

2、在点的某空心邻域内两者都可导，且g’(x)≠0;

3、 (A可为实数，也可为∞或±∞)。

（∞/∞型不定式极限）若函数f和g满足：

1、==∞;

2、在点的某空心邻域内两者都可导，且g’(x)≠0;

3、 (A可为实数，也可为∞或±∞)。

其余的不定式极限经过简单变换，它们一般均可转化为0/0型或∞/∞型不定式极限.

注：（1）不定式极限经常要用到等价无穷小。

（2）对数因子不下放，反三角函数不下放。

（3）对于数列的不定式极限，可利用函数极限的归结原则，通过先求相应形式的函数极限而得到结果。

6.4 泰勒公式

一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式

若函数f在点存在直至n阶导数，则有

f(x)=f()+ f’()()++

二、带有拉格朗日余项的泰勒公式

（泰勒定理）若函数f在[a,b]上存在直至n阶的连续导函数，在（a,b）内存在（n+1）阶导函数，则对任意给定的x,∈[a,b],至少存在一点，使得

f(x)=f()+ f’()()++.

6.5 函数的极值与最大（小）值

一、极值的第一充分条件

设f在点连续，在某邻域

1、若当x∈(，f’(x)≤，则f在点；

2、若当x∈(，，则f在点；

二、极值的第二充分条件

设f在某邻域U()内一阶可导，在x=处二阶可导，且f’()=0， ()≠0.

1、若 ()＜0，则f在点；

1、若 ()>0，则f在点.

三、极值的第三充分条件

设f在的某邻域内存在直到n-1阶导函数，在n阶可导，且=0(k=1,2,……，n-1),

⑴当n为偶数时，f在取得极值，且当时取得极大值，时取极小值.

⑵当n为奇数时，f在处不取极值。

四、最大值与最小值

若函数f的最大（小）值点区间（a,b）内，则必定是f的极大（小）值点。又若f在可导，则还是一个稳定点。所以我们只要比较f在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数，就能从中找到f 在[a,b]上的最大值与最小值。

6.6 函数的凸性与拐点

一、定义

设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点,和任意实数∈（0,1）总有

f(1-))f(1-))则称f为I上的凸函数。反之，如果总有

f(1-))f(1-))则称f为I上的凹函数。

二、等价条件

1、f为I上的凸函数；

2、f’为I上的增函数；

3、对I上的任意两点,，有)f(+f’(().

三、充要条件

设f为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为凸（凹）函数的充要条件是

(x)≥0( (x)≤0),x∈I.

四、詹森不等式

若f为[a,b]上的凸函数，则对任意∈[a,b],>0(i=1,2,…，n),有

f(≤.

五、关于拐点的定义和定理

1、定义：设曲线y=f(x)在点（f(处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这是称点（f(为曲线y=f(x)的拐点。

2、定理：若f在二阶可导，则（f(为曲线y=f(x) 的拐点的必要条件是

()=0。

设f在可导，在某邻域（内二阶可导。若在上 ()的符号相反，则（f(为曲线y=f(x) 的拐点。

注：若（f(是曲线y=f(x) 的一个拐点，y=f(x) 的导数不一定存在。

6.7 函数图像的讨论

作函数图像的一般程序：1、求函数的定义域；2、考虑函数的奇偶性、周期性；3、求函数的某些特殊点，如与两个坐标的交点，不连续点，不可导点等；4、确定函数的单调区间，极值点，凸性区间以及拐点；5、考察渐近线；6、综合以上讨论结果画出

第七章实数的完备性

7.1 区间套定理

1、定义：设闭区间列{[]}具有如下性质：(ⅰ)[] []，n=1,2,…

(ⅱ）=0，则称{[]}为闭区间套，或简称区间套。

2、区间套定理：若{[]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得∈[]，n=1,2,…即，

n=1,2,…

推论：若∈[]（n=1,2,…）是区间套{[]}所确定的点，则对任给的>0,存在N>0,使得当n>N时有[]U(;).

注：区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立。

7.2 聚点定理

定义：设S为数轴上的点集，为定点（它可以属于S，也可以不属于S）。若的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点。

聚点定理：实轴上任一有界无限点集S至少有一个聚点。

7.3 有限覆盖定理

定义：设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H得每个元素都是形如（）的开区间）。若S 中的任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖或称H覆盖S。若H中开区间的个数是无限（有限）的，则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）。

有限覆盖定理：设H为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b].

第八章不定积分

8.1 不定积分的概念

定义1 设函数f与F在区间I上都有定义。若F’(x)=f(x),x∈I,则称F为f在区间I上的一个原函数。

定理8.1 若函数f在区间I上连续，则f在I上存在原函数F，即F’(x)=f(x),x∈I。

定理8.2 设F是f在区间I上的一个原函数，则

(ⅰ)F+C也是f在I上的原函数，其中C为任意常量函数；

(ⅱ)f在I上的任意两个原函数之间只可能相差一个常数。

定义2 函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，记作,其中∫称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x为积分变量。

8.2 换元积分法

设g(u)在]上有定义，u=(x)在[a,b]上可导，且，x∈[a,b],并记