函数函数概念及基本性质
函数的基本概念和性质
函数的基本概念和性质
基本概念
函数是一种特殊的关系，它将一个自变量映射到一个唯一的因变量。
通常用数学式子表示为：
y = f(x)
其中，x为自变量，y为因变量，f为函数名称。
函数可以是通过公式、图表或描述定义的。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
函数的性质
函数有许多重要的性质，以下是其中几个常见的性质：
1. 一对一性：函数中的每个自变量对应唯一的因变量，即每个x值对应一个唯一的y值。
2. 单调性：函数的单调性描述了函数随自变量增大或减小时的
变化趋势。
函数可以是递增的、递减的或保持不变的。
3. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数关于坐标轴的对称性。
奇
函数满足条件 `f(x) = -f(-x)`，偶函数满足条件 `f(x) = f(-x)`。
4. 周期性：周期函数是具有周期性的函数，即函数在特定的自
变量变化范围内重复。
周期函数的周期是函数重复出现的最小单位。
函数的其他性质还有连续性、可导性、有界性等，它们在数学
和实际应用中起着重要的作用。
总结
通过本文对函数的基本概念和性质的介绍，我们对函数有了更
深入的理解。
函数是一种将自变量映射到因变量的关系，具有一对一性和单调性等基本性质。
此外，函数的奇偶性和周期性也是函数的重要特点。
理解函数的基本概念和性质对于数学学习和实际问题的解决非常重要。
希望本文能帮助读者更好地理解函数并应用于实际中。
函数的基本概念与性质知识点总结
函数的基本概念与性质知识点总结函数是数学中的一种重要概念，广泛应用于各个领域。
了解函数的基本概念和性质对于理解和应用数学具有重要意义。
本文将对函数的基本概念和性质进行总结。
一、函数的基本概念函数是一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
在函数中，称第一个集合为定义域，第二个集合为值域。
用符号表示函数为：f：X→Y，其中 f 表示函数名，X 表示定义域，Y 表示值域。
1.1 定义域和值域函数的定义域是指函数输入的变量所能取到的值的集合。
值域是函数输出的变量所能取到的值的集合。
1.2 自变量和因变量在函数中，自变量是函数的输入变量，而因变量则是函数的输出变量。
1.3 函数图像函数的图像是函数在坐标平面上的表示，自变量作为 x 轴的取值，因变量作为y 轴的取值，函数图像表示了自变量和因变量之间的关系。
二、函数的性质函数具有许多重要性质，下面将对其中几个重要的性质进行介绍。
2.1 单调性函数的单调性描述了函数的增减特性。
当自变量增大时，如果函数值也增大，则函数是递增的；当自变量增大时，函数值减小，则函数是递减的。
2.2 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点的对称性。
如果函数满足 f(-x) =f(x)，则函数是偶函数；如果函数满足 f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
2.3 周期性函数的周期性意味着函数在某个特定的区间内具有重复的模式。
如果存在正数 T，使得对于任意 x，有 f(x + T) = f(x)，则函数具有周期性。
2.4 极限函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数趋于的稳定值。
极限有左极限和右极限之分。
2.5 连续性函数的连续性描述了函数图像的连贯性。
如果函数在某个区间内的每个点都存在极限，且极限与函数值相等，则函数是连续的。
三、小结函数是数学中的重要概念，理解函数的基本概念和性质对于学习和应用数学具有重要意义。
本文对函数的基本概念和性质进行了总结，包括函数的定义域和值域、自变量和因变量、函数图像等。
函数的概念与性质
函数的概念与性质函数是数学中一种重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
本文将介绍函数的基本概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用函数。
一、函数的概念函数是一个自变量和因变量之间的对应关系。
它将一个变量的值映射到另一个变量的值，通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数可以用图像、表格或公式的形式来表示。
函数的定义域是指自变量的所有可能取值的集合，值域是指函数对应的因变量的所有可能取值的集合。
一个函数可以在定义域内对每个自变量的取值，唯一地确定一个因变量的取值。
二、函数的性质1. 单调性：函数可以具有单调递增或单调递减的性质。
当自变量增大时，如果对应的因变量也增大，则函数为单调递增；当自变量增大时，如果对应的因变量减小，则函数为单调递减。
2. 奇偶性：函数可以具有奇函数或偶函数的性质。
当自变量取负值时，如果对应的因变量取相反数，则函数为奇函数；当自变量取负值时，如果对应的因变量不变，则函数为偶函数。
3. 零点：函数的零点是指使函数等于零的自变量的值。
如果函数的零点存在，可以用解方程的方法来求解。
4. 极值：函数的极值是指函数在其定义域上取得的最大值或最小值。
可以通过求导数或使用判别式的方法来确定函数的极值。
5. 逆函数：函数的逆函数是指满足条件f(f^(-1)(x)) = x和f^(-1)(f(x)) = x的函数。
逆函数可以将原函数的自变量与因变量互相转换。
6. 复合函数：复合函数是指函数嵌套在另一个函数中的情况。
例如f(g(x))表示将g(x)的结果作为自变量代入函数f中。
7. 函数图像：函数的图像是通过绘制自变量和因变量之间的对应关系得到的。
函数图像可以反映函数的性质和变化趋势。
8. 函数关系：函数的关系可以是线性的、二次的、指数的或对数的等。
不同的函数关系对应着不同的函数图像和性质。
总结：函数是数学中的重要概念，它描述了自变量和因变量之间的对应关系。
函数的概念和性质如零点、极值、逆函数等对于解题和理解数学问题都具有重要的意义。
函数与图像的基本概念与性质
函数与图像的基本概念与性质一、函数的概念与性质1.函数的定义：函数是两个非空数集A、B之间的对应关系，记作f：A→B。
2.函数的性质：（1）一一对应：对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。
（2）自变量与因变量：在函数f中，集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。
对于定义域中的任意一个元素x，在值域中都有唯一的元素y与之对应，称为函数值。
（3）函数的单调性：若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称函数f在定义域上为增函数；若对于定义域中的任意两个元素x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称函数f在定义域上为减函数。
3.函数的分类：（1）线性函数：形如f(x)=ax+b（a、b为常数，a≠0）的函数。
（2）二次函数：形如f(x)=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。
（3）分段函数：形如f(x)={g1(x), x∈D1}{g2(x), x∈D2}的函数，其中D1、D2为定义域的子集，且D1∩D2=∅。
二、图像的概念与性质1.函数图像的定义：函数图像是指在平面直角坐标系中，根据函数的定义，将函数的定义域内的每一个点（x, f(x)）连接起来形成的图形。
2.函数图像的性质：（1）单调性：增函数的图像呈上升趋势，减函数的图像呈下降趋势。
（2）奇偶性：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f为奇函数；若函数f(-x)=f(x)，则称函数f为偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）周期性：若函数f(x+T)=f(x)，则称函数f为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的图像具有周期性。
（4）拐点：函数图像在拐点处，曲线的斜率发生改变。
三、函数与图像的关系1.函数与图像的相互转化：通过函数的解析式，可以在平面直角坐标系中绘制出函数的图像；同时，根据函数图像的形状，可以反推出函数的解析式。
函数的基本概念和性质
函数的基本概念和性质函数是数学中的一种基本概念，广泛应用于各个领域。
它可以描述两个集合之间的某种对应关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
本文将介绍函数的基本概念、性质以及一些常见的函数类型。
一、函数的基本概念函数是一种数学上的关系，其定义如下：定义1：设A、B是两个非空集合，若存在一个规则F，使得对于A中的任意元素x，都有唯一的元素y在B中与之对应，即F(x)=y，那么规则F就是从A到B的一个函数。
其中，A称为函数的定义域，B 称为函数的值域。
例如，考虑定义在实数集上的一个函数f(x)=x^2，其中定义域为实数集，值域为非负实数集。
对于定义域中的任意实数x，都有唯一的非负实数y与之对应，即对于任意的x∈R，都有f(x)=x^2≥0。
二、函数的性质函数具有一些重要的性质，如下所述：1. 定义域和值域：函数的定义域指的是该函数的自变量可取值的范围，值域则是函数的因变量的所有可能取值。
函数的定义域和值域通常由函数表达式的性质决定。
2. 单射：如果对于函数的值域中的每一个元素y，都存在唯一的定义域中的元素x与之对应，那么该函数被称为单射函数。
换句话说，如果函数的两个不同的自变量不能映射到同一个因变量，那么该函数就是单射函数。
3. 满射：如果对于函数的值域中的每一个元素y，都存在定义域中的元素x与之对应，那么该函数被称为满射函数。
换句话说，如果函数的所有因变量都能找到至少一个自变量与之对应，那么该函数就是满射函数。
4. 双射：如果一个函数既是单射又是满射，那么该函数被称为双射函数。
换句话说，对于函数的值域中的每一个元素y，都存在唯一的定义域中的元素x与之对应，并且函数的定义域和值域有相同的基数。
三、常见的函数类型函数的类型根据定义域和值域的不同可以分为多种形式，常见的函数类型包括：1. 实函数：定义域和值域都是实数集的函数称为实函数。
例如，f(x)=sin(x)就是一个实函数，其定义域和值域都是实数集。
函数的概念与基本性质
函数的概念与基本性质函数是数学中的一个重要概念，它在数学和其他领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数的概念以及其基本性质，包括定义域、值域、对应关系、单调性等。
一、函数的概念函数是两个集合之间的一种特殊关系，一般表示为 f(x)，其中 x 是自变量，f(x) 是因变量。
函数的定义域是指所有可能的自变量的集合，而值域则是函数在定义域内可以取得的所有因变量的值的集合。
函数在定义域内的每个自变量都对应一个唯一的因变量。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数的两个基本性质。
定义域决定了函数的有效输入范围，而值域则表示函数可能的输出范围。
在函数中，定义域和值域可以是有限的集合，也可以是无限的区间。
2. 对应关系：函数的一个重要性质是具有确定的对应关系。
即在定义域内的每个自变量都对应唯一的因变量。
这种一一对应的关系使得函数具有明确的输入和输出。
3. 单调性：函数的单调性描述了函数随自变量变化时的趋势。
如果函数在定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2 满足 x1 < x2，则有 f(x1) <f(x2)，则称该函数是单调递增的。
反之，如果 f(x1) > f(x2)，则称该函数是单调递减的。
4. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于原点对称的性质。
如果对于定义域内的任意自变量 x，有 f(-x) = -f(x)，则称函数是奇函数。
而如果有 f(-x) = f(x)，则称函数是偶函数。
5. 周期性：函数的周期性表示在一定范围内，函数的图像会随着自变量的周期性变化而重复出现。
如果存在一个正数 T，使得对于定义域内的任意自变量 x，有 f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期 T。
三、函数的应用函数的概念和性质在数学和其他领域中都有广泛的应用。
在数学中，函数被用于解决各种数学问题，包括方程求解、函数图像绘制和曲线分析等。
在物理、经济学和工程学等应用领域，函数被用于建立模型和描述现象，帮助我们理解和解释自然界中的规律。
高一函数概念及基本性质
∵x=2时 即
∴函数 的值域为{y|y1且y }
4．换元法
例4．求函数 的值域
解：设 则t 0x=1
代入得
∵t 0∴y 4
1.3.1函数的单调性与最大（小）值
【知识要点】
⒈增函数与减函数
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值
⑴若当 < 时，都有f( )<f( ),则说f(x)在这个区间上是增函数；
其中表示同一个函数的是____________________.
7求下列函数的定义域：
； ；
； ；
；
8.已知 求 的值.
2.2函数的表示法
【重要知识点】
函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.
⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.
2、如下图可作为函数 的图像的是( )
（A）（B）（C）（D）
3、若 ，则 ___________（）
A、2 B、4 C、 D、10
4、下列各组函数是同一函数的是（）
① 与 ；② 与 ；③ 与 ；④ 与 。
A、①②B、①③C、③④D、①④
5、设 ，若 ，则 。
6.给出下列的三组函数:
1Y= 与 ;② 与 ;③ 与 ;
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
2.函数的最大（小）值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x I，都有f( x) M（f( x) M）
（2）存在 ，使得f( )=M
那么我们称M是函数y=f(x)的最大值（最小值）
函数的基本概念和性质
函数的基本概念和性质函数在数学里是一种非常重要的数学对象，被广泛应用于各个领域。
它具有一些基本的概念和性质，下面将介绍它们。
一、函数的基本概念函数是一种对应关系，它将一个集合的每个元素都映射到另一个集合的唯一元素上。
一般来说，设A和B是两个非空集合，如果对于A中的每个元素a都有唯一确定的元素b与之对应，那么我们就说存在一个从A到B的函数。
通常用f表示这个函数，可以写作f：A→B。
其中，A称为函数的定义域，B称为函数的值域。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是定义函数的两个重要方面。
函数的定义域指的是所有输入的可能值，而值域则是所有可能的输出值。
2. 单射、满射和双射：函数的性质可以根据其映射关系来分类。
如果一个函数每个不同的输入值都有不同的输出值，那么它是一个单射函数，也被称为一一对应函数。
如果一个函数的值域与其值域相等，即每个值域中的元素都有对应的定义域元素，那么它是一个满射函数。
而如果一个函数既是单射又是满射，那么它被称为双射函数，也叫做一一映射函数。
3. 复合函数：复合函数是指由一个函数作为另一个函数的输入而得到的函数。
假设有两个函数f：A→B和g：B→C，那么它们的复合函数是指另一个函数h：A→C，其中 h(x) = g(f(x))。
4. 反函数：有些函数存在反函数，反函数是指与原函数的映射关系相反的另一个函数。
如果一个函数f：A→B存在反函数，那么它的反函数可以表示为f^(-1)：B→A。
5. 奇偶函数：如果一个函数f(-x) = f(x)对于任意x成立，那么它被称为偶函数。
如果一个函数f(-x) = -f(x)对于任意x成立，那么它被称为奇函数。
有些函数既不是奇函数也不是偶函数，这类函数被称为既非奇也非偶的函数。
6. 周期函数：如果一个函数f(x + T) = f(x)对于任意x成立，其中T是一个常数，那么函数f是一个周期函数，周期为T。
7. 上下界和最值：函数的上下界是指函数在定义域上能够取到的最大值和最小值。
函数基本概念与性质
函数基本概念与性质函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍函数的基本概念与性质，并探讨其在数学和实际问题中的应用。
一、函数的基本概念在数学中，我们把一种关系描述为函数，当且仅当每个自变量（输入值）对应唯一的因变量（输出值）。
函数可以用各种符号表示，例如"f(x)"、“y=f(x)”或者"y = f(x)"。
1. 自变量和因变量：函数的自变量表示输入值，通常用x表示；函数的因变量表示输出值，通常用y表示。
2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能输出值的集合。
3. 关系图像：函数的关系图像是将自变量和因变量用平面直角坐标系表示出来的图形。
二、函数的性质函数有一些基本的性质，包括可确定性、唯一性、单调性、有界性等。
1. 可确定性：给定自变量的值，函数能够唯一确定因变量的值。
2. 唯一性：每个自变量对应唯一的因变量，同一个因变量不会有多个自变量对应。
3. 单调性：函数在定义域上可能是递增的（函数值随自变量的增大而增大）、递减的（函数值随自变量的增大而减小）或者保持不变。
4. 有界性：函数可能在定义域上有上界或下界，也可能同时存在上界和下界，或者没有有界性。
三、函数的应用函数在数学中有着非常广泛的应用，同时也在其他学科和实际问题中起到重要的作用。
1. 函数在代数学中可以用来表示各种数学关系，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
2. 函数在微积分中用来描述变化率和导数，帮助我们求解曲线的斜率和极值等问题。
3. 函数在统计学中用来表示随机变量的分布、概率密度函数、累积分布函数等。
4. 函数在物理学中用来描述各种物理量之间的关系，如速度和时间的关系、位移和时间的关系等。
总结：函数是数学中重要的概念之一，具有可确定性、唯一性、单调性和有界性等性质。
函数在数学和实际问题中有着广泛的应用，包括代数学、微积分、统计学和物理学等领域。
函数的概念与性质
函数的概念与性质函数是数学中关键的概念之一，广泛应用于各个学科领域。
本文将就函数的基本概念、性质以及应用进行论述，重点探讨函数在数学和实际问题中的重要性。
一、函数的基本概念函数是两个数集之间的一种对应关系。
通俗地说，函数可以理解为一种规则，使得对于集合A中的任意一个元素，都有一个唯一的元素与之对应在集合B中。
如果把集合A中的元素称为自变量，集合B中的元素称为因变量，那么函数就是自变量与因变量之间的确定关系。
函数一般用f(x)或者y来表示，其中x为自变量，f(x)或y为因变量。
例如，f(x) = x^2表示一个函数，它的自变量x的平方为因变量。
二、函数的性质1. 定义域与值域：函数的定义域是指能使函数有意义的自变量的取值范围，而值域是函数对应的因变量的所有可能取值。
函数的定义域和值域是函数的重要性质，也是确定函数性质的基础。
2. 单调性：函数的单调性是指函数在定义域内的取值变化的趋势。
函数可以分为递增和递减两种单调性，当函数对于任意的x1和x2，当x1小于x2时，如果f(x1)小于f(x2)，则函数为递增函数；反之，如果f(x1)大于f(x2)，则函数为递减函数。
3. 奇偶性：奇函数是指当自变量为正负相等的两个数时，函数值互为相反数；偶函数是指当自变量为相反数时，函数值相等。
例如，奇函数f(x) = x^3满足f(-x) = -f(x)，偶函数f(x) = x^2满足f(-x) = f(x)。
4. 对称轴：对称轴是指函数图像与某条直线的位置关系。
对于奇函数来说，对称轴为原点；而对于偶函数来说，对称轴为y轴。
这种对称性质有助于简化函数的研究和图像的绘制。
三、函数的应用函数的概念和性质在数学和实际问题中都有广泛的应用。
1. 数学中的应用：函数被广泛应用于代数、解析几何、微积分等数学学科中。
在代数中，函数是多项式、指数函数、对数函数和三角函数的重要组成部分，通过函数的运算与组合，可以推导出很多重要的数学结论。
函数的概念及性质
函数的概念及性质函数是数学中的重要概念之一，它在数学领域和其他学科中都有着广泛的应用。
函数的概念是描述一个变量与另一个变量之间关系的数学工具。
本文将对函数的概念及其基本性质进行探讨，从而帮助读者更好地理解和应用函数。
一、函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
通常用f(x)来表示函数，其中x是函数的自变量，f(x)是函数的因变量。
例如，我们可以定义一个函数f(x)=2x，其中x是实数集合中的任意一个数，f(x)表示x的两倍。
这个函数可以描述一个数与它的两倍之间的关系。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，而值域是因变量可能取值的集合。
函数的定义域和值域取决于函数的性质和条件。
例如，对于函数f(x)=2x，定义域是实数集合，值域也是实数集合。
2. 单调性：函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
函数可以是递增的（单调递增）或递减的（单调递减）。
例如，函数f(x)=2x 是递增函数，而函数g(x)=2-x是递减函数。
3. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于y轴（x=0）的对称性。
如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=f(x)，则函数是偶函数；如果对于定义域内的任意x，有f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数。
例如，函数f(x)=x^2是偶函数，函数g(x)=x^3是奇函数。
4. 周期性：函数的周期性是指函数在定义域内以一定的间隔重复的特性。
如果存在一个正数T，使得对于定义域内的任意x，有f(x+T)=f(x)，则函数具有周期性。
例如，正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都是周期为2π的函数。
5. 反函数：如果存在一个函数g，使得对于定义域内的任意x，有g(f(x))=x，且f(g(x))=x，则g称为f的反函数。
反函数可以将函数的输入与输出进行互换。
例如，函数f(x)=2x的反函数为g(x)=x/2。
三、函数的应用函数在数学、物理、经济学等学科中都有着重要的应用。
函数及基本性质
一 函数及其基本性质一、函数概念设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作()y f x =，x A ∈，其中x 叫做自变量，自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域． 如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a =所有函数值构成的集合{}|(),y y f x x A =∈叫做这个函数的值域．二、函数的表示方法函数常用的方法有列表法、解析法和图象法三种． 三、函数的奇偶性设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数．设函数()yg x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()g x g x -=，则这个函数叫做偶函数．如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图像是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数． 此外，由奇函数定义可知，若奇函数()f x 在原点处有定义，则一定有(0)0f =，此时函数()f x 的图像一定通过原点．四、函数的单调性设D 是)(x f y =定义域内的一个区间，对于∀D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，则称)(x f y =在D 上是增函数，D 叫做)(x f y =的单调递增区间；对于∀D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，则称)(x f y =在D 上是减函数，D 叫做)(x f y =的单调递减区间. )(x f y =在D 上是增函数或者是减函数，则称)(x f y =在D 上具有单调性，D 称为)(x f y =的单调区间.五、函数的零点函数)(x f y =的图像与x 轴的交点的横坐标叫做函数)(x f y =的零点.六、零点定理若)(x f y =在区间],[b a 上连续，并且有0)()(<⋅b f a f ，则)(x f y =在区间),(b a 内至少有一个零点；若)(x f y =在区间),(b a 内有零点，不一定有0)()(<⋅b f a f . 典例分析例1．已知)(x f 的定义域为]3,1[，求)1(x f -的定义域．例2．判断下列函数的奇偶性．（1）1)(2-=x x f （2）x x x f -+=22)( （3）xx x f --=22)( （4）xx x f 1)(-=例3．奇函数)(x f 的定义域为R ，0x >时，2()(1)f x x =-，求)(x f 的解析式．例4．下列区间中包含函数2)21()(--=x x f x的零点的是 ．（1) )0,1(- (2) )1,1(- (3) )1,0( (4) (1,2) (5) )3,2(-例5．若⎩⎨⎧≥-<--=).0(),1(),0(,2)(2x x f x x x x f ，求函数x x f x F -=)()(的零点的个数．例6. (1)若函数()log (a f x x =是奇函数，则a =______.(2)设()f x 的图像关于原点对称，且在(0,)+∞上是增函数，(3)0f -=，则()0x f x⋅< 的解集为______例7. (1) 已知(31)41()log 1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是A ．()0,1B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭(2) 已知()log (2)a f x ax =-在[0,1]上是减函数，求a 的取值范围____________． (3) 已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调增加，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭课下练习1．函数y 的定义域为A ．[4,1]-B ．[4,0]-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-2．函数111y x =-- A ．在()1,-+∞内单增 B ．在()1,-+∞内单减 C ．在()1,+∞内单增D ．在()1,+∞内单减3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是 A ．3,y x x =-∈RB ．sin ,y x x =∈RC ．,y x x =∈RD ．1,2xy x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭R4．函数3()sin 1f x x x =++（x ∈R ），若()2f a =，则()f a -的值为 A ．3B ．0C ．1-D ．2-5. 已知函数()f x 是定义在[6,6]-上的偶函数，且(3)(1)f f >，则下列各式中一定成立的是A.(0)(6)f f <B.(-3)(-2)f f >C.(1)(3)f f -<D.(-2)(1)f f > 6. 已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞7．根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=Ax Ac A x x c x f ,,,)(（,A C 为常数）。
函数的概念与基本性质
函数的概念与基本性质函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学及其应用领域具有广泛的应用。
本文将介绍函数的概念以及其基本性质。
一、函数的概念函数是一种数学关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合中的元素。
具体来说，设有两个集合A和B，如果对于集合A中的任意一个元素a，都存在集合B中的唯一一个元素b与之对应，那么我们就称这种关系为函数。
通常用符号f来表示函数，表示为f: A → B，其中A 称为定义域，B称为值域。
例如，设有集合A={1，2，3}和集合B={4，5，6}，我们可以定义一个函数f，将A中的元素映射到B中的元素，即f(1)=4，f(2)=5，f(3)=6。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域函数的定义域是指函数的输入值可以取的全部实数集合，也就是函数的自变量的取值范围。
而函数的值域则是函数的输出值可以取的全部实数集合，即函数的因变量的取值范围。
2. 单射、满射和双射若具有函数f: A → B，对于集合B中的任意一个元素b，存在集合A中的至多一个元素a与之对应，那么我们称函数f为单射。
若对于集合B中的任意一个元素b，都存在集合A中的至少一个元素a与之对应，那么我们称函数f为满射。
若函数f既是单射又是满射，即对于集合B中的任意一个元素b，存在且仅存在集合A中唯一一个元素a与之对应，那么我们称函数f为双射。
3. 奇偶性若函数f满足f(-x) = -f(x)对于定义域内的任意实数x成立，那么我们称函数f为奇函数。
若函数f满足f(-x) = f(x)对于定义域内的任意实数x成立，那么我们称函数f为偶函数。
4. 复合函数若有函数g: A → B和函数f: B → C，那么我们可以定义出一个新的函数h: A → C，称为复合函数。
复合函数h的定义为h(x) = f(g(x))，其中x∈A。
5. 反函数若函数f: A → B是一个双射函数，那么存在一个函数g: B → A，使得对于任意的x∈A和y∈B，有f(g(y)) = y和g(f(x)) = x成立。
函数的基本概念与性质
函数的基本概念与性质函数是数学中一个重要的概念，它在数学推理和问题解决中扮演着重要的角色。
在本文中，我们将介绍函数的基本概念和性质，并探讨它们在数学中的应用。
一、函数的基本概念在数学中，函数是用来描述两个集合之间的关系的工具。
我们可以将函数视为一个“输入-输出”的机器，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
这里的集合可以是实数集、自然数集、复数集等等。
具体来说，设有集合A和集合B，函数f是从集合A到集合B的映射，即f:A→B。
我们用f(x)表示函数f在元素x上的取值。
其中，x是A中的元素，f(x)是B中的元素。
函数的输入可以有一个或多个自变量，而输出则是函数的值。
通常，我们将自变量放在函数表达式的括号中，例如f(x)或f(x,y)。
二、函数的性质函数具有一些重要的性质，下面我们将讨论其中的几个。
1. 定义域和值域：函数的定义域是指所有可能的输入的集合，而值域是指所有可能的输出的集合。
对于函数f:A→B，A就是其定义域，B 就是其值域。
2. 单射和满射：如果一个函数的每一个自变量对应唯一的函数值，那么这个函数就是单射。
如果一个函数的值域等于其目标集合B，那么这个函数就是满射。
3. 一一对应：如果一个函数既是单射又是满射，那么它就是一一对应的，也就是说，每一个自变量都对应着唯一的函数值，而且函数值覆盖了整个目标集合B。
4. 反函数：对于一一对应的函数，我们可以定义它的反函数。
如果函数f:A→B是一一对应的，那么它的反函数f^(-1):B→A满足f^(-1)(f(x))=x和f(f^(-1)(y))=y对于所有合理的输入x和y成立。
5. 复合函数：对于两个函数f:A→B和g:B→C，我们可以定义它们的复合函数h(x)=g(f(x))，其中x是A中的元素。
复合函数将一个集合中的元素通过两个函数的映射关系转换到另一个集合中。
三、函数的应用函数在数学中有着广泛的应用，下面我们将介绍几个常见的应用领域。
函数概念及性质课件
03
函数的运算
函数的四则运算
01
02
03
04
加法运算
函数加法是指将两个函数的值 分别对应相加，得到一个新的
函数。
减法运算
函数减法是指将一个函数的值 对应相减，得到一个新的函数
。
乘法运算
函数乘法是指将两个函数的值 分别对应相乘，得到一个新的
函数。
除法运算
函数除法是指将一个函数的值 对应相除，得到一个新的函数
幂函数的定义
幂函数是指形式为$y=x^n$的函数，其中$n$为实数。
幂函数的性质
幂函数具有指数为实数、幂次为整数、幂次为负数等性质，其性质与 指数和幂次有关。
幂函数的图象
幂函数的图象根据指数的不同而变化，当指数为正整数时，幂函数的 图象为凸函数；当指数为负整数时，幂函数的图象为凹函数。
对数函数
对数函数
利用函数的单调性
通过函数的单调性判断函 数的增减性，进而解决不 等式问题。
利用函数的奇偶性
利用函数的奇偶性判断函 数的对称性，简化函数图 像的绘制。
利用函数的周期性
利用函数的周期性，可以 快速求解一些周期性问题 。
利用函数解决物理问题
描述运动规律
利用函数描述物体的运动规律， 如匀速运动、匀加速运动等。
分析电路特性
利用函数分析电路的电压、电流 等特性，理解电路的工作原理。
解决波动问题
利用函数描述波动现象，如声波 、光波等，分析波的传播规律。
05
函数的扩展Байду номын сангаас识
分段函数
分段函数
分段函数是指函数在其定义域的不同 区间上由不同的表达式所表示的函数 。分段函数广泛应用于实际生活中， 如气温变化、人口增长等。
函数的基本概念与性质
函数的基本概念与性质函数是数学中一种重要的概念，广泛应用于不同领域的数学和科学研究中。
在本文中，我们将探讨函数的基本概念以及其相关的性质。
一、函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它建立起自变量和因变量之间的映射关系。
通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是对应的因变量。
具体而言，一个函数将每一个自变量值映射到唯一的因变量值上。
函数的定义域是所有可能的自变量值的集合，而值域是所有可能的因变量值的集合。
通过定义域和值域，我们可以确定函数的范围和可行域。
二、函数的性质1. 单调性：函数的单调性用来描述函数在定义域内的变化趋势。
如果函数随着自变量的增加而增加，则称其为递增函数；如果函数随着自变量的增加而减小，则称其为递减函数。
如果函数在定义域内递增和递减交替出现，则称其为摆动函数。
2. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数的对称性。
如果对于任意的x 值，f(-x) = -f(x)，则称函数为奇函数；如果对于任意的x值，f(-x) =f(x)，则称函数为偶函数。
奇函数通常关于原点对称，偶函数通常关于y轴对称。
3. 周期性：周期函数是指在一定范围内满足f(x + T) = f(x)，其中T为最小正周期。
常见的周期函数包括正弦函数和余弦函数，它们在数学建模和信号处理等领域有着广泛的应用。
4. 极值：函数的极值包括最大值和最小值，它们表示函数在特定区间内取得的最大和最小的因变量值。
通过导数可以求得函数的极值点，这对于优化问题的求解非常有用。
5. 零点：函数的零点是指满足f(x) = 0的自变量值。
通过求解方程f(x) = 0，可以确定函数的零点。
零点在许多应用领域中具有重要的意义，比如方程的根、函数的交点等。
三、函数的图像与应用函数的图像是函数在坐标系中的几何表示。
通过绘制函数的图像，我们可以更直观地理解函数的性质和变化规律。
函数的图像有助于我们分析函数的特征，比如在哪些区间内函数递增或递减，是否具有对称性等。
3.1-2 函数的基本概念与性质
§8.2 函数的复合与反函数
第三章
定理3 设f: A→B是双射, 则: f-1 f = IB, f f-1 = IA. 证 分析知: f-1: B→A也是双射. 且有: f-1 f: B→B, f f-1: A→A. 任取<x, y>, <x, y>f-1 f t(<x, t> f-1 ∧<t, y>f) t(<t, x>f∧<t, y>f) x=y∧x, yB (因为f是函数) <x, y> IB 任取<x, y>, <x, y>IB x=y∧x, yB t(<t, x>f∧<t, y>f) (f: A→B是双射) t(<x, t> f-1 ∧<t, y>f) <x, y> f-1 f 所以有f-1 f = IB. 同理可证: f-1 f = IA.
2. 如果 f 是单射，则对x1, x2A，x1≠x2 , 必定f (x1) ≠f (x2)
也就是说，如果f (x1) =f (x2)，则 x1=x2。
7
第三章
例 判断下列函数是否为单射、满射、双射.
(1) f : R R, f ( x) x 2 x 1.
2
(2) f : Z R, f ( x) ln x, Z 为正整数集. (3) f : R Z , f ( x) x . (4) f : R R, f ( x) 2 x 1. (5) f : R R , f ( x)
(2)A,B为两个集合，全集同为E，则
(a) A B x E ( χ A (x) χ B (x) ). (b) χ A (x) 1 - χ A (x) . (c) χ A B (x) χ A (x) χ B (x). (d) χ A B (x) χ A (x) χ B (x) - χ A (x) χ B (x).
最全函数概念及基本性质知识点总结及经典例题
函数及基本性质一、函数的概念（1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．（2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则．注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑪3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑫111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑬x x f =)(，2)(x x g =；⑭()f x =()F x =⑮21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
A ．⑪、⑫B ．⑫、⑬ C ．⑭D ．⑬、⑮ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()635-=x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ，131><x x 或 ④对数函数的真数大于零0,log )(>=x x x f a ，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。
如：()212()log 25f x x x =-+⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．如：2)32()(-+=x x f⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．如：)2(log 22x y --=⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．如：()[]()x f x f 28,2，的定义域是的定义域为822≤≤x⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．例：求函数()())1lg(lg x k x x f -+-=的定义域。
函数的基本概念和性质
函数的基本概念和性质函数是数学中非常重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍函数的基本概念和性质，包括函数的定义、一些常见的函数类型以及函数的性质。
一、函数的定义函数是一种数学关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
通常情况下，我们将函数表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数可以用几种方式表示。
一种常见的方式是用函数表达式表示，如f(x) = 2x + 1。
另一种方式是用图像表示，即将函数的自变量和因变量在坐标系中表示出来。
函数图像是一个曲线或者一条直线。
二、常见的函数类型在数学中，有许多常见的函数类型，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等等。
下面我们将介绍一些常见的函数类型及其特点。
1. 线性函数线性函数是最简单的一种函数，它的函数表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
线性函数的图像为一条斜率为a的直线，关于x轴对称。
2. 二次函数二次函数的函数表达式通常为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c 为常数且a不等于零。
二次函数的图像为一条开口向上或向下的抛物线。
3. 指数函数指数函数的函数表达式通常为f(x) = a^x，其中a为常数且a大于零且不等于1。
指数函数的图像为一条逐渐增长或逐渐衰减的曲线。
4. 对数函数对数函数是指数函数的反函数，函数表达式通常为f(x) = loga(x)，其中a为常数且a大于零且不等于1。
对数函数的图像为一条逐渐增长的曲线。
三、函数的性质函数具有许多重要的性质，下面我们将介绍几个常见的函数性质。
1. 定义域和值域函数的定义域是自变量可以取的值的集合，而函数的值域是因变量可以取的值的集合。
函数的定义域和值域可以是实数集、整数集、自然数集等。
2. 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于y轴对称或者关于原点对称。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，而偶函数满足f(-x) = f(x)。
3. 单调性函数的单调性描述了函数图像上是否有上升或下降的趋势。
函数的概念和性质
函数的概念和性质函数的概念和性质是数学中一个重要的概念和内容。
函数是描述两个集合之间的一种对应关系的数学工具，它在数学和科学中有着广泛的应用。
本文旨在介绍函数的概念、性质以及相关的应用示例，以帮助读者更好地理解和掌握函数的基本概念。
一、函数的概念函数是数学中的一种基本概念，它描述了一个集合中的每个元素与另一个集合中的元素之间的对应关系。
通常，我们用字母表示函数，并用两个集合来表示函数的定义域和值域。
函数的定义域是指函数的输入值所在的集合，而值域则是指函数的输出值所在的集合。
在数学上，函数可以用各种形式进行表示。
最常见的方式是用函数表达式来表示一个函数关系，例如：f(x) = 2x + 1这个函数表达式表示了一个以x为输入值，以2x+1为输出值的函数。
其中，f(x)表示函数名，2x+1表示函数关系，x表示输入值。
通过这个函数，我们可以计算出任意一个输入值x对应的输出值。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数的两个重要性质。
定义域是函数所有可能的输入值构成的集合，值域是函数所有可能的输出值构成的集合。
函数的定义域和值域可以是实数集、整数集、有理数集等，具体取决于函数本身的性质。
2. 单调性：函数的单调性描述了函数在定义域内的增减规律。
一个函数可以是递增的、递减的或者既递增又递减的。
如果函数在定义域内随着x的增大而增大，我们称该函数为递增函数；如果函数在定义域内随着x的增大而减小，我们称该函数为递减函数。
3. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数的对称性。
一个函数可以是奇函数、偶函数或者既不是奇函数也不是偶函数。
如果对于函数中的任意一个x，都有f(-x) = -f(x)，我们称该函数为奇函数；如果对于函数中的任意一个x，都有f(-x) = f(x)，我们称该函数为偶函数。
4. 极值：函数的极值描述了函数在定义域内的最大值和最小值。
函数的极值可能存在于定义域的边界处，或者函数的导数为零的点上。
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集合0集合的概念我们把所要研究的事物全体称为集合，构成集合的事物称为元素，集合一般用大写字母A、B C……表示，元素一般用小写字母a、b、c……表示。
如果元素二是集合A中的元素，记二三上，否则记厘三上。
有限集：只有有限个元素的集合。
无限集：有无穷多个元素的集合。
空集：不含有任何元素的集合叫空集，记常。
臼集合的表示方法列举法：如乂■仙上心町,召-卩2和・・」5描述法：如八㈤只* 1 = —w旳，U< ,曲旳0子集如果集合A中的元素都是B的元素，称A是B的子集（或称A包含于B）,记A u召或月二）卫如:0并集:集合A 与集合B 的元素放在一起构成的集合，称为 A 与B 的并集。
记」•_」三，即HUE = (x | re 卫或工匡5)如：一一 .......... 「一二…-丄 …一…—.NS ■叶 2C x < 4,xs K)O 交集：记集合A 与集合B 的公共元素构成的集合，称为 A 与B 的交集，记 卫门/即丿门月：｛和工乞卫且工€月｝ZnF-(J-- < x< 0,ie2?)则：2绝对值与绝对值不等式几何意义：点T 到原点的距离。
如:Y CUE 幻月珂*2—*忒刃?x> 0 x< 0几何意义：点芒到点*的距离。
性质：1) •、 ■A |20?3)十 UI4)设a>0 , 环|3}・{兀卜说""}区间与邻域*+y|“|+恫6)- _ 「7)例1 :解下列不等式x -4| < 40 <〔―分 < 4^r-j|2 H~ H2… -,3)匕十4| > 15)解.1)- -上.、.--二 _ 4 =〕_ ?.■ _LE2) •.：:-；；3) 卞一一"-或 F _ 丄：_ [ — - - _ 二或二 一二4)(^ - 2| < 2fCl < x < 4 "2=(工产25)G >0< 0J A <0或1■'......... 称为以-<■、/为端点的开区间，1■■ 称为以空、勺为端点的闭区间，(>團1-1（迟切二<耐也劝氷仍?以上为有限区间(a,+«) ■ ｛彳齐> a) [说严8)- ｛处 > a)?以上为无穷区间I'd（咼-戈心+ §）・｛咔-心|< 5占■> 6 x0上砧占加7 %斗_ .、称为0点的°邻域，0为对称中心，为半径。
（心Y冷血询■｛朮5-讣羽》Q）称为抵点的去心占邻域。
函数的定义设有两个变量 T 与》，当变量在实数某范围任取一值时，变量 》按确定的规则有 确定的值与之对应， 那么称°是工的函数，记-叫自变量，丁叫因变量，卞的 取值范围称为函数的 定义域，记'■'。
对'1 "■ ' - '称为函数-'：=：在点"的函数值，所有函数值的集合称为 值域。
记’「。
说明：（1） 定义中的记号 「I 表示自变量与因变量的对应法则。
（2） 函数的两要素：定义域与对应法则。
厂"与表示同一函数；»引讨与表示同一函数；八1y -- -------兀十1与» 7 1表示不同的函数；冷‘与—表示不同函数（3）单值函数与多值函数对于函数」」 '，如果对自变量 芒的一个取值，函数；'只有一个数值与 之对应，则称函数"―•是单值函数；如果对自变量"的一个取值，函数“7 Mb開1-3(2) 有两个或更多个数值与之对应，则称函数"-厂匸）是多值函数；如：I -、 是单值函数J ■' 1是多值函数。
（4）定义域实际问题中建立的函数关系，其定义域要根据实际问题来确定，而用数学式 表达的函数，当不表示任何实际意义时，其定义域由 函数表达式来确定。
定义域求法（i ） 分母不能为零；（ii ） 偶次根号内部分不能小于零； （iii ）对数函数中，真数部分要大于零；（iv ）反三角函数■ ■■ "-中要"：。
例2求下列函数的定义域解：（ 1）疋义域为：[T 厂DuLlRuClf®)定义域为：（2，3]y = ---- y 十点十云1） -'2)y = arc sin】十以工-2）3)4）lnO + 23-X(3)定义域为：1' ■■p-? >0 L + 2 >0 => J A>-2(4)〔所以定义域为：'■''■-例3已知■■■ ■■ 的定义域为•’，，求’r亠L 的定义域解-:工巴「［二J - 丁-■'j」的定义域为(0, 1)例4设齐，求，⑴，心)J0)1 丁1例5设满足-，求■ 1 -解设据討陶厂，则y ■ x, =才，即/M = 2'例6已知丨回I求畑解令工•: + -,贝「［- - ■,f(u) = (u _1尸+3(w-l) + 5 = 3 +3 ../(X)" n函数的表示方法公式法，表格法，图示法。
分段函数：在不同区间上用不同的解析式表示的函数如:/«-r< 0^2 0—1, 恳<0符号函数：1-firi—X2A + 1,Q < 忑冬 1x a - 6 盂，1 < r 4(2 J™—;(3)0 V 加< 1 时，/(Ax)-/(0)解（i ）定义域为：1 一-(3) -"".■ -12 -^-2,M2x 〉2/(0) = 丁讨* =°畑■〔宀6胡口 ■今?例8将函数-：''：l ： I写成分段函数的形式。
A >0...v i：则/[g(l)] l tA >1 时，/[g(r)] 的表达式为匚-■!. ’：。
函数的简单性质O.单调性设丿、「在忆；内有定义,如果对于且有■ -11■ ■---,则称-■ ■在「内单调增加；如果有「r -1 -■，则称-’」在•…―内单调减少。
单调增加、单调减少统称单调。
如果■-■■在整个定义域内单调，称为单调函数。
如：」’在‘单调减，在-丄■•单调增，所以不是单调函数。
都是单调函数。
图1-Ho.有界性设丿在区间 ''有定义，如果存在数厂一，使对于一切 1 - -L'，有成立，则称=在区间.亠二有上界，二-是J -J'-在区间-I 的一个上界。
如果存在数r;，使对于一切丄二-二，有■-二，则称在区间i:—■ 有下界，’〜是「；二在区间. '的一个下界。
设-■'■ -' ■'在区间 ''有定义，如果存在正数Ef，使对于一切n小，有伍訓'"成立，则称了E在区间3）有界，否则称在Q）为无界。
如果在它的整个定义域内有界，称-为有界函数。
如：厂—誥在区间［1 , 2］有界，在（0, 1）无界，它不是有界函数。
是有界函数，因为对一切2有竝1 ■+壬是有界函数。
显然，函数-V,在区间有界的充分必要条件是：它在区间既有上界又有下界。
Q.奇偶性设」-■1的定义域关于原点对称，如果对定义域中任何x，有-/W1称-'为偶函数，如果有-■1--，称为奇函数。
偶函数的图形关于T轴对称，奇函数的图形关于原点对称胃1-12例 10 判断下列函数的奇偶性(3) P = k 十1| (旳丿・欣“ J1心)(5) -'所以是奇函数;'J f （亠盂）=|_A CO£ 是偶函数； '（3）是非奇非偶函数;厝劝也十E ）二In （一沪E 严+时）（工 + Jl +:+■-/(町所以是奇函数；（5 ）是偶函数奇函数X 奇函数为 偶函数，奇函数X 偶函数为 奇函数，偶函数X 偶函数为 偶函数。
例 11 设」在・ ..................... 内有定义,F （希（-机G （力■_/（＞） 4/（_町，则F0）为奇函数，。
⑶为偶函数,(1)y = Ncos —(2)■—。
O.周期性对函数；-;■,如果存在正数 -，使对于定义域中的-有J - - -■1■ ■', 称-为周期函数，使此式成立的最小正数T，称为最小正周期。
女口：」亠…"---- 是周期为二丁的周期函数，厂姑厂阪讨是周期为盼勺周期函数。
如果■- ：1是以T为最小正周期的函数，则'；的最小正周期为如：」I. ) -II 的最小正周期是-。
O 、反函数给定函数」，如果变量 L 在值域内每取定一值时， V 在定义域内有一值与 之对应，则得到一个定义域为 -的值域，•丁为自变量，-为因变量的函数’'■ -1：， 称其为」決的反函数，记：习惯上用二作自变量，匸作因变量，所以「 v 的反函数记作y = /-1W=V (x) 图形特点： 」-’「的图形与其反函数 • 1 '■■■的图形关于直线J •'对称。
圈 1-15 例12 求下列函数的反函数(1) >-3^ + 2（ 2）厂诃#2=2耳(3)宀(4)；，= '-(5)"Z,所以反函数为（i）（2）'二」:,所以反函数为■'(3)（4）力七厂，，尹7（1■刃，才‘总，"1爲总所以反函数为兀J5）（5）/（祷士矶QT-蛊，所以反函数为 1 ■人。