七年级数学竞赛 第22讲 三角形的边与角
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(北京市竞赛题)
21．给定 n (n>4)条线段，已知用其中任意的 n−1 条线段均可作成一个 n−1 边形。求证：可用其中的某三条 线段为边作成一个三角形。
(俄罗斯圣彼得堡市竞赛题)
参考答案
问题解决
例 1． 1 (c + d ) ；在△ADE 和△EPB 中有， 1 a+d= P+ 1 b，在△BCF 和△PAF 中有， 1 b+c= P+ 1 a，
(2)如图②，在凹四边形 ABDC 中，已知∠ABD 与∠ACD 的平分线交于点 E。求证：∠E= A + D 。 2
A
D B
C
图①
A
E
x x
y
Dy
B
C
图②
拓展
“规形”有四个内角，任取两个内角的平分线，有六种组合情形，于是，可提出下列问题： (1)如图③，若∠ABD，∠BAC 的平分线交于点 E，则∠C，∠D 与∠E 之间有怎样的数量关系? (2)如图④，若∠BAC，∠BDC 的平分线交于点 E，则∠B，∠C 与∠E 之间有怎样的数量关系? 解题思路：当角平分线与三角形相遇可生成内涵上有关联性、解法上有共通性的组图。引入字母，设而不求， 充分体现代数化方法在解与角平分线相关问题时的广泛应用。
(“希望杯”邀请赛试题) A'
C'
C
A
B
B'
5．三角形内角平分线的交点称为内心，如图，D 是△ABC 的内心，E 是△ABD 的内心，
A
F 是△BDE 的内心。若∠BFE 的度数为整数，则∠BFE 至少为
度。
(上海市竞赛题)
E FD
B
C
6．长为 n ，1+ n + 2 ， n + n(n + 2) 的三条线段可以构成一个三角形，则自然数 n=
)个。
(江西省南昌市竞赛题)
13．不等边△ABC 的两条高长度分别为 4 和 12，若第三条高的长也是整数，试求它的长。 (美国数学邀请赛试题)
14．有长度分别为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 (单位：cm)的细木棒各一根，利用它们(允许连接加长但不允 许折断)能够围成多少种周长不同的等边三角形?
差最大时，这个差等于
米。
A B
(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题) M
P
N
3．将长度为 25cm 的细铁丝折成边长都是质数(单位：厘米)的三角形，若这样的三角形的三边的长分别是 a，
b，c，且满足 a≤b≤c，则(a，b，c)有
组解，所构成的三角形都是
三角形。
(“希望杯”邀请赛试题)
4．如图，△ABC 中，AB>AC>BC，分别延长 CA，AB，BC 到点 A'，B'，C'，连结 A'B'， B'C'，A'C'，若∠ABC=∠A'B'C'，∠ACB=∠A'C'B'，则除这两对相等的角外，图中还有 对相等的角。
说明理由；若不变化，求出∠C 的值。
B
(四川省竞赛题) C
O
A
x
17．从 1，2，…，2004 中任选 k 个数，使所选的 k 个数中，一定可以找到能构成三角形边长的 3 个数(这里 要求三角形三边长互不相等)。试问：满足条件的 k 的最小值是多少？
(山东省竞赛题)
18．若三角形的三条边长 a，b，c 为整数，且一边上的高恰为另两条边上的高之和，则称这样的三角形为“玲 珑三角形”证明。
AI 交 DF 于 N 点，当 H 点在 BC 上运动时， DEC + DMH 的值是否发生变化?如果变化，说明理由； ANF
如果不变，试求出其值。
A
A
A
D
E
F
B
C
图①
G
D
E
F
B
C
图②
D
E
MN
F
B
HI
C
图③
20．在边长都是正整数的三角形中，周长是 2009 的三角形与周长是 2012 的三角形哪一种的个数多?说明理 由。
(1) 存在玲珑三角形； (2) 玲珑三角形中，a2+b2+c2 为完全平方数。
(北京市竞赛题)
19．如图①，点 D，点 E 分别在△ABC 边 AB，AC 上，∠CBD=∠CDB，DE∥BC，∠CDE 的平分线交 AC 于 F 点。
(1) 求证:∠DBF+∠DFB=90°； (2) 如图②，如果∠ACD 的平分线与 AB 交于 G 点，∠BGC=50°，求∠DEC 的度数 (3) 如图③，如果 H 点是 BC 边上的一个动点(不与 B，C 重合)，AH 交 DC 于 M 点，∠CAH 的平分线
但 1+1+2+…+34+55=143<150，1+1+2+…+34+55+89=232>150，
故 n 的最大值为 10，共有以下 7 种方式：(1，1，2，3，5，8，13，21，34，62)，
(1，1，2，3，5，8，13，21，35，61)，(1，1，2，3，5，8，13，21，36，60)，
A
A
E
x x
D
B
C
图③
D
C
B
E
图④
刻意练习
1．等腰三角形腰上的中线把它的周长分为 12cm 和 21cm 两部分，那么底边的长为
cm。
(湖北省荆州市竞赛题)
2．如图，加油站 A 和商店 B 在马路 MN 的同一侧，A 到 MN 的距离大于 B 到 MN 的距
离，AB=7m，一个行人 P 在马路 MN 上行走，问：当 P 到 A 的距离与 P 到 B 的距离之
。
(世界数学团体锦标赛试题)
7．如图，∠ABD 与∠ACD 的角平分线交于点 P。若∠A=50°，∠D=10°，则∠P 的 度数为( ).
A．15° B．20° C．25° D．30°
B
A
P C
D
8．已知△ABC 的三个内角∠A，∠B，∠C 满足 3∠A>5∠B，3∠C≤2∠B，则这个三角形是( ). A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 (“希望杯”邀请赛试题)
推出，当三角形内有 2008 个点时，连接可得到小三角形的个数为:3+2×(2008−1)=4017(个)。 解法 2．整体核算法。设连线后把原三角形分割成 n 个小三角形，则它们的内角和为 180°·n，又因为原三角
形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供 360°的内角，2008 个点共提供内角 2008×360°，于是 得方程 180n=360×2008+180，解得 n=4017，即这 2008 个点能将原三角形纸片分割成 4017 个小三角形。
9．如图，将纸片△ABC 沿着 DE 折叠展平，则( ).
A．∠A=∠1+∠2
B．∠A= 1 (∠1+∠2) 2
C．∠A= 1 (∠1+∠2) 3
D．∠A= 1 (∠1+∠2) 4
D
B
1
E
A
2
C
10．已知一个三角形的三条边长均为正整数，若其中仅有一条边长为 5，且它又不是最短边，则满足条件的 三角形有( )。
(天津市竞赛题) 解法 1．我们不妨先退一步，考察三角形内有一个点，两个点，三个点的简单情形，有下表所示的关系：
三角形内的点数 可连线得到小三角形的个数
1
3
2
5
3
7
4
9
……
……
不难发现，三角形内有一个点时，连线可得到 3 个小三角形，以后每增加一个点，这个点必落在已连好 的某一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以
算及简单推理题，按边或角对三角形进行分类讨论。
问题解决
例 1．如图，∠CAD 和∠CBD 的平分线相交于点 P，设∠CAD，∠CBD，∠C，∠D
的度数依次为 a，b，c，d，用仅含有 2 个字母的代数式表示∠P 的度数
.
(江苏省竞赛题)
解题思路：运用对顶三角形的性质，可得到含∠P，a，b，c，d 的等式。
例 6．(1)用长度相等的 100 根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的 3 倍，求满足此 条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数。
(山西省太原市竞赛题) (2)现有长为 150cm 的铁丝，要截成 n (n>2)小段，每段的长为不小于 lcm 的整数。如果其中任意 3 小段 都不能拼成三角形，试求 n 的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的21，37，59)，(1，1，2，3，5，8，13，22，35，60)，
(1，1，2，3，5，8，13，22，36，59)，(1，1，2，3，5，8，14，22，36，58)
规形探究 例 7．(1)如图①，凹四边形 ABDC 形似圆规，这样的凹四边形称为“规形”，易证∠BDC=∠A+∠B+∠C。
(2)周长为 30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个? (海南省竞赛题)
解题思路：对于(2)，不妨设三角形三边为 a，b，c，且 a<b<c，由三角形三边关系定理及题设条件可确定 c 的取值范围，以此作为解题的突破口。
例 5．在三角形纸片内有 2008 个点，连同三角形纸片的 3 个顶点，共有 2011 个点，在这些点中，没有三点 在一条直线上，问：以这 2011 个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形?
B A
E
C
F
D
P
例 2．已知△ABC 的三个内角的比是 m : (m+1) : (m+2)，其中 m 是大于 1 的正整数，那么△ABC 是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 (“希望杯”邀请赛试题)
解题思路：设∠A=mt，则∠B=(m+1)t，∠C=(m+2)t (t>0)，比较∠A+∠B 与∠C 的大小。
例 3．若三角形一个角与 90°相差不大于 15°，称之为几乎直角三角形；若三角形两个角相差不大于 15°，称 之为几乎等腰三角形。任一锐角三角形是否要么几乎直角要么几乎等腰?
(环球城市数学竞赛试题) 解题思路：从肯定或否定切入，解题的关键是建立或导出与定义相关的不等式。
例 4．(1)已知三角形的三边 a，b，c 的长都是整数，且 a≤b<c，b=7，问：这样的三角形有多少个? (湖北省武汉市竞赛题)
x + y + 3x = 100
(1)
依题意，有
x
y 3x
x + y 3x
① ②， ③
由①，②得 100 ≤x≤20，由③得 x< 50 ，因 x 为正整数，故 x=15 或 16，
7
3
所以，满足条件的三角形有两组，需用火柴杆数目分别为 15，40，45 或 16，36，48。
(2) 这些小段的长度只可能分别是 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，
(江苏省竞赛题)
15．如图，在△ABC 中，已知三条内角平分线 AD，BE，CF 相交于 I，IH⊥BC，求证: ∠BID=∠HIC.
(湖北省武汉市竞赛题)
B
A
F
I
E
DH
C
16．如图，已知射线 Ox⊥Oy，A，B 为 Ox，Oy 上两动点，∠A 平分线与∠B 的
y
外角平分线交于 C，试问：∠C 的度数是否随 A，B 运动而发生变化?若变化，请
A．4 个 B．6 个 C．8 个 D．10 个 (天津市竞赛题)
11．7 条长度均为整数的线段 a1，a2，…，a7 满足 a1<a2<…<a7，且这 7 条线段中的任意三条线段都不能构
成三角形，若 a1=1，a7=21，则 a4=(
).
A．18 B．13 C．8 D．5
(浙江省竞赛题)
12．边长为整数，周长为 20 的三角形共有( A．4 B．6 C．8 D．12
(江苏省竞赛题) 分析与解：对于(1)，设三角形各边需用火柴杆数目分别为 x，y，3x，综合运用题设条件及三角形三边的关 系等知识建立含等式、不等式的混合组，这是解本例的突破口；
对于(2)，因 n 段之和为定值 150cm，故欲 n 尽可大，必须每段的长度尽可能的小，这样依题意可构造 一个数列。x+y+3x=100，①
2
2
2
2
2
两式相加，得 c+d=2 P， P= 1 (a+b)。 2
第 22 讲 三角形的边与角
知能概述 三角形是最简单、最基本的几何图形，是研究其他复杂图形的基础。 边与角是三角形的基本元素，与边与角相关的知识有：三角形三边关系定理、三角形内角和定理及推
论，它们在相关计算、图形计数等方面有广泛的应用。 解与三角形的边与角有关的问题时，常常用到数形结合及分类讨论法，即用方程、不等式解边与角的计
21．给定 n (n>4)条线段，已知用其中任意的 n−1 条线段均可作成一个 n−1 边形。求证：可用其中的某三条 线段为边作成一个三角形。
(俄罗斯圣彼得堡市竞赛题)
参考答案
问题解决
例 1． 1 (c + d ) ；在△ADE 和△EPB 中有， 1 a+d= P+ 1 b，在△BCF 和△PAF 中有， 1 b+c= P+ 1 a，
(2)如图②，在凹四边形 ABDC 中，已知∠ABD 与∠ACD 的平分线交于点 E。求证：∠E= A + D 。 2
A
D B
C
图①
A
E
x x
y
Dy
B
C
图②
拓展
“规形”有四个内角，任取两个内角的平分线，有六种组合情形，于是，可提出下列问题： (1)如图③，若∠ABD，∠BAC 的平分线交于点 E，则∠C，∠D 与∠E 之间有怎样的数量关系? (2)如图④，若∠BAC，∠BDC 的平分线交于点 E，则∠B，∠C 与∠E 之间有怎样的数量关系? 解题思路：当角平分线与三角形相遇可生成内涵上有关联性、解法上有共通性的组图。引入字母，设而不求， 充分体现代数化方法在解与角平分线相关问题时的广泛应用。
(“希望杯”邀请赛试题) A'
C'
C
A
B
B'
5．三角形内角平分线的交点称为内心，如图，D 是△ABC 的内心，E 是△ABD 的内心，
A
F 是△BDE 的内心。若∠BFE 的度数为整数，则∠BFE 至少为
度。
(上海市竞赛题)
E FD
B
C
6．长为 n ，1+ n + 2 ， n + n(n + 2) 的三条线段可以构成一个三角形，则自然数 n=
)个。
(江西省南昌市竞赛题)
13．不等边△ABC 的两条高长度分别为 4 和 12，若第三条高的长也是整数，试求它的长。 (美国数学邀请赛试题)
14．有长度分别为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 (单位：cm)的细木棒各一根，利用它们(允许连接加长但不允 许折断)能够围成多少种周长不同的等边三角形?
差最大时，这个差等于
米。
A B
(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题) M
P
N
3．将长度为 25cm 的细铁丝折成边长都是质数(单位：厘米)的三角形，若这样的三角形的三边的长分别是 a，
b，c，且满足 a≤b≤c，则(a，b，c)有
组解，所构成的三角形都是
三角形。
(“希望杯”邀请赛试题)
4．如图，△ABC 中，AB>AC>BC，分别延长 CA，AB，BC 到点 A'，B'，C'，连结 A'B'， B'C'，A'C'，若∠ABC=∠A'B'C'，∠ACB=∠A'C'B'，则除这两对相等的角外，图中还有 对相等的角。
说明理由；若不变化，求出∠C 的值。
B
(四川省竞赛题) C
O
A
x
17．从 1，2，…，2004 中任选 k 个数，使所选的 k 个数中，一定可以找到能构成三角形边长的 3 个数(这里 要求三角形三边长互不相等)。试问：满足条件的 k 的最小值是多少？
(山东省竞赛题)
18．若三角形的三条边长 a，b，c 为整数，且一边上的高恰为另两条边上的高之和，则称这样的三角形为“玲 珑三角形”证明。
AI 交 DF 于 N 点，当 H 点在 BC 上运动时， DEC + DMH 的值是否发生变化?如果变化，说明理由； ANF
如果不变，试求出其值。
A
A
A
D
E
F
B
C
图①
G
D
E
F
B
C
图②
D
E
MN
F
B
HI
C
图③
20．在边长都是正整数的三角形中，周长是 2009 的三角形与周长是 2012 的三角形哪一种的个数多?说明理 由。
(1) 存在玲珑三角形； (2) 玲珑三角形中，a2+b2+c2 为完全平方数。
(北京市竞赛题)
19．如图①，点 D，点 E 分别在△ABC 边 AB，AC 上，∠CBD=∠CDB，DE∥BC，∠CDE 的平分线交 AC 于 F 点。
(1) 求证:∠DBF+∠DFB=90°； (2) 如图②，如果∠ACD 的平分线与 AB 交于 G 点，∠BGC=50°，求∠DEC 的度数 (3) 如图③，如果 H 点是 BC 边上的一个动点(不与 B，C 重合)，AH 交 DC 于 M 点，∠CAH 的平分线
但 1+1+2+…+34+55=143<150，1+1+2+…+34+55+89=232>150，
故 n 的最大值为 10，共有以下 7 种方式：(1，1，2，3，5，8，13，21，34，62)，
(1，1，2，3，5，8，13，21，35，61)，(1，1，2，3，5，8，13，21，36，60)，
A
A
E
x x
D
B
C
图③
D
C
B
E
图④
刻意练习
1．等腰三角形腰上的中线把它的周长分为 12cm 和 21cm 两部分，那么底边的长为
cm。
(湖北省荆州市竞赛题)
2．如图，加油站 A 和商店 B 在马路 MN 的同一侧，A 到 MN 的距离大于 B 到 MN 的距
离，AB=7m，一个行人 P 在马路 MN 上行走，问：当 P 到 A 的距离与 P 到 B 的距离之
。
(世界数学团体锦标赛试题)
7．如图，∠ABD 与∠ACD 的角平分线交于点 P。若∠A=50°，∠D=10°，则∠P 的 度数为( ).
A．15° B．20° C．25° D．30°
B
A
P C
D
8．已知△ABC 的三个内角∠A，∠B，∠C 满足 3∠A>5∠B，3∠C≤2∠B，则这个三角形是( ). A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 (“希望杯”邀请赛试题)
推出，当三角形内有 2008 个点时，连接可得到小三角形的个数为:3+2×(2008−1)=4017(个)。 解法 2．整体核算法。设连线后把原三角形分割成 n 个小三角形，则它们的内角和为 180°·n，又因为原三角
形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供 360°的内角，2008 个点共提供内角 2008×360°，于是 得方程 180n=360×2008+180，解得 n=4017，即这 2008 个点能将原三角形纸片分割成 4017 个小三角形。
9．如图，将纸片△ABC 沿着 DE 折叠展平，则( ).
A．∠A=∠1+∠2
B．∠A= 1 (∠1+∠2) 2
C．∠A= 1 (∠1+∠2) 3
D．∠A= 1 (∠1+∠2) 4
D
B
1
E
A
2
C
10．已知一个三角形的三条边长均为正整数，若其中仅有一条边长为 5，且它又不是最短边，则满足条件的 三角形有( )。
(天津市竞赛题) 解法 1．我们不妨先退一步，考察三角形内有一个点，两个点，三个点的简单情形，有下表所示的关系：
三角形内的点数 可连线得到小三角形的个数
1
3
2
5
3
7
4
9
……
……
不难发现，三角形内有一个点时，连线可得到 3 个小三角形，以后每增加一个点，这个点必落在已连好 的某一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以
算及简单推理题，按边或角对三角形进行分类讨论。
问题解决
例 1．如图，∠CAD 和∠CBD 的平分线相交于点 P，设∠CAD，∠CBD，∠C，∠D
的度数依次为 a，b，c，d，用仅含有 2 个字母的代数式表示∠P 的度数
.
(江苏省竞赛题)
解题思路：运用对顶三角形的性质，可得到含∠P，a，b，c，d 的等式。
例 6．(1)用长度相等的 100 根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的 3 倍，求满足此 条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数。
(山西省太原市竞赛题) (2)现有长为 150cm 的铁丝，要截成 n (n>2)小段，每段的长为不小于 lcm 的整数。如果其中任意 3 小段 都不能拼成三角形，试求 n 的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的21，37，59)，(1，1，2，3，5，8，13，22，35，60)，
(1，1，2，3，5，8，13，22，36，59)，(1，1，2，3，5，8，14，22，36，58)
规形探究 例 7．(1)如图①，凹四边形 ABDC 形似圆规，这样的凹四边形称为“规形”，易证∠BDC=∠A+∠B+∠C。
(2)周长为 30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个? (海南省竞赛题)
解题思路：对于(2)，不妨设三角形三边为 a，b，c，且 a<b<c，由三角形三边关系定理及题设条件可确定 c 的取值范围，以此作为解题的突破口。
例 5．在三角形纸片内有 2008 个点，连同三角形纸片的 3 个顶点，共有 2011 个点，在这些点中，没有三点 在一条直线上，问：以这 2011 个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形?
B A
E
C
F
D
P
例 2．已知△ABC 的三个内角的比是 m : (m+1) : (m+2)，其中 m 是大于 1 的正整数，那么△ABC 是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 (“希望杯”邀请赛试题)
解题思路：设∠A=mt，则∠B=(m+1)t，∠C=(m+2)t (t>0)，比较∠A+∠B 与∠C 的大小。
例 3．若三角形一个角与 90°相差不大于 15°，称之为几乎直角三角形；若三角形两个角相差不大于 15°，称 之为几乎等腰三角形。任一锐角三角形是否要么几乎直角要么几乎等腰?
(环球城市数学竞赛试题) 解题思路：从肯定或否定切入，解题的关键是建立或导出与定义相关的不等式。
例 4．(1)已知三角形的三边 a，b，c 的长都是整数，且 a≤b<c，b=7，问：这样的三角形有多少个? (湖北省武汉市竞赛题)
x + y + 3x = 100
(1)
依题意，有
x
y 3x
x + y 3x
① ②， ③
由①，②得 100 ≤x≤20，由③得 x< 50 ，因 x 为正整数，故 x=15 或 16，
7
3
所以，满足条件的三角形有两组，需用火柴杆数目分别为 15，40，45 或 16，36，48。
(2) 这些小段的长度只可能分别是 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，
(江苏省竞赛题)
15．如图，在△ABC 中，已知三条内角平分线 AD，BE，CF 相交于 I，IH⊥BC，求证: ∠BID=∠HIC.
(湖北省武汉市竞赛题)
B
A
F
I
E
DH
C
16．如图，已知射线 Ox⊥Oy，A，B 为 Ox，Oy 上两动点，∠A 平分线与∠B 的
y
外角平分线交于 C，试问：∠C 的度数是否随 A，B 运动而发生变化?若变化，请
A．4 个 B．6 个 C．8 个 D．10 个 (天津市竞赛题)
11．7 条长度均为整数的线段 a1，a2，…，a7 满足 a1<a2<…<a7，且这 7 条线段中的任意三条线段都不能构
成三角形，若 a1=1，a7=21，则 a4=(
).
A．18 B．13 C．8 D．5
(浙江省竞赛题)
12．边长为整数，周长为 20 的三角形共有( A．4 B．6 C．8 D．12
(江苏省竞赛题) 分析与解：对于(1)，设三角形各边需用火柴杆数目分别为 x，y，3x，综合运用题设条件及三角形三边的关 系等知识建立含等式、不等式的混合组，这是解本例的突破口；
对于(2)，因 n 段之和为定值 150cm，故欲 n 尽可大，必须每段的长度尽可能的小，这样依题意可构造 一个数列。x+y+3x=100，①
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2
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两式相加，得 c+d=2 P， P= 1 (a+b)。 2
第 22 讲 三角形的边与角
知能概述 三角形是最简单、最基本的几何图形，是研究其他复杂图形的基础。 边与角是三角形的基本元素，与边与角相关的知识有：三角形三边关系定理、三角形内角和定理及推
论，它们在相关计算、图形计数等方面有广泛的应用。 解与三角形的边与角有关的问题时，常常用到数形结合及分类讨论法，即用方程、不等式解边与角的计