6无限脉冲响应数字滤波器
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6无限脉冲响应数字滤波器的设计
解：(1) 设计模拟滤波器的指标为
p=2fp=104(rad/s)， α p=2dB
s=2fs=2.4×104(rad/s)， α s=30dB
(2Nk) ss确pp 定22滤l11gll00g波g0ff00ps...101k器aa2pssspp4的k2N2=s.s11pp4阶数022l.N11g000l20fgf004ps...10212aa2.ps4422k.N114sspp40.2.220l511g2,00l40fgf002ps...取1021Naa2.ps4N422为.1145540.2.052, 42N 5
N
4.25, N 5
lg 2.4
(3) 求极点
j 3 j 3
s0 sP00e5e ,5 ,
p e s s e e , , j 12k1 20 20N
j 3j 3 55
k
sP11
j 4
s1e5e
j 45s2Ps22
eje,j
,
s1 s1
j 4j 4
e e5 5
s2
e j ,
j 6j 6
FIR滤波器设计方法 (1)采用的是窗函数设计法和频率采样法， (2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。
6.2 模拟滤波器的设计
理论和设计方法相当成熟，有若干典型的模拟滤波器可以选
择。如：巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤
波器、椭圆(Kllipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波 器都有严格的设计公式、现成的曲线Ha和H(jΩa (图)jΩ)表供设计人HH员aa (j使ΩΩ)) 用。
j 1 2 k1
p e 归一化极点 k
2 2N
p=2fp=104(rad/s)， α p=2dB
s=2fs=2.4×104(rad/s)， α s=30dB
(2Nk) ss确pp 定22滤l11gll00g波g0ff00ps...101k器aa2pssspp4的k2N2=s.s11pp4阶数022l.N11g000l20fgf004ps...10212aa2.ps4422k.N114sspp40.2.220l511g2,00l40fgf002ps...取1021Naa2.ps4N422为.1145540.2.052, 42N 5
N
4.25, N 5
lg 2.4
(3) 求极点
j 3 j 3
s0 sP00e5e ,5 ,
p e s s e e , , j 12k1 20 20N
j 3j 3 55
k
sP11
j 4
s1e5e
j 45s2Ps22
eje,j
,
s1 s1
j 4j 4
e e5 5
s2
e j ,
j 6j 6
FIR滤波器设计方法 (1)采用的是窗函数设计法和频率采样法， (2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。
6.2 模拟滤波器的设计
理论和设计方法相当成熟，有若干典型的模拟滤波器可以选
择。如：巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤
波器、椭圆(Kllipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波 器都有严格的设计公式、现成的曲线Ha和H(jΩa (图)jΩ)表供设计人HH员aa (j使ΩΩ)) 用。
j 1 2 k1
p e 归一化极点 k
2 2N
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
p 10lg s 10lg
H a ( j ) H a ( j ) H a ( j s )
2 2
H a ( j p )
2
(6.2.1)
2
(6.2.2)
18
如果Ω=0处幅度已归一化到1，即 |Ha(j0)|=1,αp和αs表示为
p 10lg H a ( j p ) s 10lg H a ( j s )
低通 0 H a (j Ω) Ω 0 H a (j Ω)
高通 Ω
带通 c Ω 0
带阻 Ω
图6.2.1
各种理想滤波器的幅频特性
17
1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标有αp, Ωp,α s 和Ω s 。其中Ω p 和Ω s 分别称为通带截止频率 和阻带截止频率，αp是通带Ω(=0~Ωp)中的最 大衰减系数，αs是阻带Ω≥Ωs的最小衰减系数， αp和αs一般用dB数表示。对于单调下降的幅 度特性，可表示成：
H
a
(s) G ( p) |
p
s c
25
表6.2.1
极点位置 阶数N 1 2 3 4 5 6 7 8 9
巴特沃斯归一化低通滤波器参数
P1, N 2
P2, N 3
P0, N 1
-1.0000 -0.7071±j0.7071 -0.5000±j0.8660 -0.3827±j0.9239 -0.3090±j0.9511 0.2588±j0.9659 -0.2225±j0.9749 0.1951±j0.9808 -0.1736±j0.9848
通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波 器的传输函数H(e jω)用下式表示：
H ( e j ) H ( e j ) e j ( )
无限脉冲响应数字滤波器的设计
上的频带，以免产生频谱混叠现象。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.3.2 脉冲响应不变法的频谱混叠现象示意图
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
脉冲响应不变法的优点：
（1）频率变换关系是线性的，即ω=ΩT，如果不存在
频谱混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地 重现原模拟滤波器的频响特性。 （2）数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器 的单位冲激响应波形，时域特性逼近好。
将s平面沿着jΩ轴分割成一条条宽为2π/T的水平带，每 条水平面都按照前面分析的映射关系对应着整个z平面。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.3.1 脉冲响应不变法s平面和z平面之间的映射关系
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
如果原ha(t)的频带不是限于±π/T之间，则会在奇数 π/T附近产生频谱混叠，对应数字频率在ω=±π附近产生 频率混叠。脉冲响应不变法的频谱混叠现象如图6.3.2 所 示。
脉冲响应不变法的缺点：
有限阶的模拟滤波器不可能是理想带限的，所以，
脉冲响应不变法会产生不同程度的频率混叠失真，适用
于低通、带通滤波器的设计，不适合用于高通、带阻滤
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
5. 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器
脉冲响应不变法的主要缺点是会产生频谱混叠现象，
使数字滤波器的频响偏离模拟滤波器的频响特性。 为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法， 将整个模拟频率轴压缩到±π/T之间，再用 z=esT 转换到z平
这种频谱混叠现象会使设计出的数字滤波器在ω=±π
附近的频率响应特性程度不同地偏离模拟滤波在π/T附近 的频率特性，严重时使数字滤波器不满足给定的技术指标。 为此，希望设计的模拟滤波器是带限滤波器，如果不 是带限的，例如高通滤波器、带阻滤波器，需要在高通和
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.3.2 脉冲响应不变法的频谱混叠现象示意图
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
脉冲响应不变法的优点：
（1）频率变换关系是线性的，即ω=ΩT，如果不存在
频谱混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地 重现原模拟滤波器的频响特性。 （2）数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器 的单位冲激响应波形，时域特性逼近好。
将s平面沿着jΩ轴分割成一条条宽为2π/T的水平带，每 条水平面都按照前面分析的映射关系对应着整个z平面。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.3.1 脉冲响应不变法s平面和z平面之间的映射关系
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
如果原ha(t)的频带不是限于±π/T之间，则会在奇数 π/T附近产生频谱混叠，对应数字频率在ω=±π附近产生 频率混叠。脉冲响应不变法的频谱混叠现象如图6.3.2 所 示。
脉冲响应不变法的缺点：
有限阶的模拟滤波器不可能是理想带限的，所以，
脉冲响应不变法会产生不同程度的频率混叠失真，适用
于低通、带通滤波器的设计，不适合用于高通、带阻滤
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
5. 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器
脉冲响应不变法的主要缺点是会产生频谱混叠现象，
使数字滤波器的频响偏离模拟滤波器的频响特性。 为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法， 将整个模拟频率轴压缩到±π/T之间，再用 z=esT 转换到z平
这种频谱混叠现象会使设计出的数字滤波器在ω=±π
附近的频率响应特性程度不同地偏离模拟滤波在π/T附近 的频率特性，严重时使数字滤波器不满足给定的技术指标。 为此，希望设计的模拟滤波器是带限滤波器，如果不 是带限的，例如高通滤波器、带阻滤波器，需要在高通和
第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计
滤波技术
① 滤波器设计：根据给定滤波器的频率特性，求得满足 该特性的传输函数。 ② 滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到 对输入信号进行滤波的目的。
6.1 数字滤波器的基本概念
数字滤波器：是指输入、输出均为数字信号， 通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分 的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器 件或程序。
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
巴特沃斯逼近又称最平幅度逼近，它具有通 带内最大平坦的振幅特性,且随Ω的增大，幅频 特性随Ω单调下降。
1、原理
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：
Ha(
j) 2
1
1
c
2N
式中N为正整数，代表滤波器的阶次,
c称为3dB截止频率。
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
x(n) s(n) u(n)
加性噪声
若 x(n) 中的有用成分 s(n) 和希望去除的成分 u(n)
各自占有不同的频带, 通过一个线性系统可将 u(n)
有效去除.
分类: 低通(LP), 高通(HP),带通(BP), 带阻(BS)
一、数字滤波器的分类
现代滤波器
x(n) s(n)u(n) x(n) s(n) *u(n)
一、数字滤波器的分类
设输入为一个低频正弦波与一个高频正弦波 叠加而成。 滤波前：
滤波后：
左边为时域波形， 右边为它的频谱。
二、 数字滤波器的技术指标
数字滤波器的频率特性：
H
(e
j
)
|
H
(e
j
)
|
e幅j频(特) 性表示信号通过该滤波
器后各频率成分振幅衰减情况
① 滤波器设计：根据给定滤波器的频率特性，求得满足 该特性的传输函数。 ② 滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到 对输入信号进行滤波的目的。
6.1 数字滤波器的基本概念
数字滤波器：是指输入、输出均为数字信号， 通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分 的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器 件或程序。
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
巴特沃斯逼近又称最平幅度逼近，它具有通 带内最大平坦的振幅特性,且随Ω的增大，幅频 特性随Ω单调下降。
1、原理
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：
Ha(
j) 2
1
1
c
2N
式中N为正整数，代表滤波器的阶次,
c称为3dB截止频率。
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
x(n) s(n) u(n)
加性噪声
若 x(n) 中的有用成分 s(n) 和希望去除的成分 u(n)
各自占有不同的频带, 通过一个线性系统可将 u(n)
有效去除.
分类: 低通(LP), 高通(HP),带通(BP), 带阻(BS)
一、数字滤波器的分类
现代滤波器
x(n) s(n)u(n) x(n) s(n) *u(n)
一、数字滤波器的分类
设输入为一个低频正弦波与一个高频正弦波 叠加而成。 滤波前：
滤波后：
左边为时域波形， 右边为它的频谱。
二、 数字滤波器的技术指标
数字滤波器的频率特性：
H
(e
j
)
|
H
(e
j
)
|
e幅j频(特) 性表示信号通过该滤波
器后各频率成分振幅衰减情况
61-65 无限脉冲响应数字滤波器的设计
1 1 H (e j ) 1 H (e j ) 2
c ：通带截止频率 st ：阻带截止频率 1 ：通带容限 2 ：阻带容限
第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 但具体的技术指标往往由通带允许的最大衰减αp及阻带
应达到的最小衰减αs 给出. 通带及阻带的衰减分别定义为：
p
20 lg
| H (e j0 ) | | H (e jp ) |
M
H(z)
Y(z) X(z)
b i z i
i0
N
1 aizi
i1
N1
H(z) h(n)zn
n0
(6.1.1) (6.1.2)
式(6.1.1)中的H(z)称为N阶IIR滤波器函数，(6.1.2)中 的H(z)称为N-1阶FIR滤波器函数。两种滤波器的设计方 法有很大的区别。
第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 2 数字滤波器的技术要求
1 数字滤波器的分类
DF的分类有多种，但大致可以分两类：一类称为经典滤波器（一 般滤波器），特点是：输入信号中有用的频率成分和无用成分（需 滤除的成分）各占不同的频带，通过一个合适的选频滤波器达到滤 波的目的。例如，输入信号中含有干扰，如果信号和干 扰的频带互不重叠，则可滤除干扰获得纯信号。否则不能滤除干扰， 需要采用另一类所谓的现代滤波器，Wigner滤波器、Kalman 滤 波器、自适应滤波器（Adaptive Filter,ADF)等。
Ha (s)必须是稳定的 ,因此极点必须落在 s平面的左半平 面, 相应的Ha (s)的极点落在右半平面 . (为什么?)
第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
2 巴特沃斯低通滤波器的设计方法
巴特沃斯低通滤波器的 幅度平方函数 | Ha ( j) |2 为:
无限脉冲响应数字滤波器的设计
H (e j ) H ( e j ) e j ( )
如图所示。滤波器的主要性能指标（以低通滤波器为例）如下： （1）频带：包括通带、过渡带、阻带。 （2）误差：通带和阻带误差
H (e j )
1 p 1 1 p
过 渡 带 通带 阻带
p s
s
0
3. 数字滤波器设计方法概述
ze
sT
(6.3.6)
(6.3.6)式可称为标准映射关系。下面进一步分析这
种映射关系。设
s j z re j
按照(6.3.6)式，得到:
re j e T e jT
因此得到:
r e T T
(6.3.10)
我们由三方面说明这个关系
σ=0,r=1 σ<0,r<1 σ>0,r>1 另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成
H ( z)
i 1
N
Ai 1 e siT z 1(6.3.4)源自二、S平面和Z平面之间的映射
H a ( s) h(n)e snT h(n) z n
n n
^
z esT
H ( z ) z esT
上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变
换之间的映射关系可用下式表示：
6.3 用脉冲响应不变法设计IIR 数字低通滤波器
为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转 换关系提出两点要求： (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍 是因果稳定的。 (2) 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，
s 平面的虚轴映射 z 平面的单位圆，相应的频率之间成
线性关系。
（设采样周期为 ）
数字信号处理 第6章
H ( z ) h( n) z n
n 0
N 1
(6.1.2)
(6.1.1)式中的H(z)称为N阶IIR数字滤波器系统函数; (6.1.2) 式中的H(z)称为N－1阶FIR数字滤波器系统函数。这两种 数字滤波器的设计方法有很大区别，因此下面分成两章分 别进行学习。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
s 20 lg
| H (e j0 ) |
j s
dB
(6.1.4b)
p 20 lg | H (e
j p
) | dB
(6.1.5)
s 20 lg | H (e js ) | dB
(6.1.6)
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
当幅度下降到 2 / 2 时，标记ω=ωc，此时 p 3dB，称 ωc为3 dB通带截止频率。ωp、ωc和ωs统称为边界频率， 它们是滤波器设计中所涉及到的很重要的参数。对其他 类型的滤波器，(6.1.3b)式和(6.1.4b)式中的H(ej0)应改 成
拟滤波器得到系统函数Ha (s)，然后将Ha(s)按某种方法转
换成数字滤波器的系统函数H(z)。这是因为模拟滤波器的 设计方法已经很成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善
的图表和曲线供查阅； 另外，还有一些典型的优良滤波
器类型可供我们使用。直接法直接在频域或者时域中设计 数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助 设计。FIR滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗 函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.1.3所示的单调下降幅频特性，p和s别可以表
示为
p 20 lg
| H (e j0 ) | | H (e
6有限长单位脉冲响应FIR数字滤波器的设计
N 1
n0 H ( z) z ( N 1)H ( z1) n0
z ( N 1) N 1
h(Hm)(zzm)
h(mn)0z(N m1)
Hzz((Nz()1N)N1)112Hh[(H(zm()1zz))m
z ( N 1)H
( z 1 )]
1 2
N 1 n0
h
H1()Hz1H()zH(1(z)z)])
a(n) cosn
n0
幅度函数特点：
(1) 式中 cos ω n 项对ω =0, , 皆为偶对称，则幅度特性对ω =0, , 是偶对称的。 (2) 可实现所有滤波特性（低通、高通、带通、带阻）。
2、h(n)=h(N-n-1)，N=偶数
中没推有导单情独况项和，前相面等N的为项奇合数并相H成g似(N，/2) 项不Nn。同01 点h(是n)由co于s[(Nn为 偶N2数1，)H] g(ω)
22
2
0
2
( )
π
2
2
π( N - 1)
0
(N 3)
2
二、线性相位FIR滤波器幅度函数的特点
1、h(n)=h(N-n-1)，N=奇数 由前面推导的幅度函数H (ω)为：
特点：
HHg(ω())
N 1 n0
h(n) cos[(n
N 1)]
2
h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称；
N 1
N 1
N 1
N
H (z) h(Hn)(zz)n Nh1(N n H1)(zz)n h(mN)z1(N m1) z(N1)
n0
H (z)n0
h(m)z( N m1)
z( N 1)
m0
【第6章】无限脉冲响应数字滤波器的设计解读
1 2 k 1 j ( ) 2 2N
式中k=0,1,2,…,(2N-1)
贵州大学计算机科学与信息学院
《 数 字 信 号 处 理 》
2N 个极点均匀分布在半径为 Wc 的圆上，间隔是
2/2N= /N .
为了形成稳定的滤波器，2N个极点中只取 s平面
左半面的N个极点构成Ha(s).
若W=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1，则
a p 10lg H a ( jW p ) ; a s 10lg H a ( jW s )
Wc称为3dB截止频率，且
2
2
2 20 lg H a ( jW c ) 3dB
低通滤波器的幅度特性
贵州大学计算机科学与信息学院
当幅度下降至 0.707 时， w=wc ，
3dB截止频率.
ap=3dB. 称 wc 为
贵州大学计算机科学与信息学院
《 数 字 信 号 处 理 》
3.数字滤波器设计方法
IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法不同.
IIR 滤波器设计方法是借助于模拟滤波器的设计
方法进行的.
IIR 滤波器的设计步骤是：首先设计模拟滤波器
《 数 字 信 号 处 理 》
第六章 IIR数字滤波器的设计
贵州大学计算机科学与信息学院
《 数 字 信 号 处 理 》
主要内容
数字滤波器的基本概念 模拟滤波器的设计 脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 数字高通、带通、带阻滤波器的设计
贵州大学计算机科学与信息学院
得到传输函数 Ha(s) ，然后将 Ha(s) 按某种方法转 换成数字滤波器的系统函数H(z).
医学课件第6无限脉冲响应滤波器的设计
M
br zr
H(z)
r0 N
1 ak zk
k 1
N 1
H (z) h(n)zn
n0
从功能上来分类： 低通滤波器 高通滤波器
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
带通滤波器 带阻滤波器
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
2 假设数字滤波器的传输函数H(ejω)用下式表示：
H (e j ) H (e j ) e j()
Ha ( p)
p5
3.2361 p4
1 5.2361 p3 5.2361 p2
3.2361 p 1
系统函数的因式分解形式
Ha
(
p)
(
p2
0.618
p
1)(
1 p2 1.618
p
1)(
p
1)
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
(3) Ha(p)去归一化。先求3dB截止频率Ωc。
如果希望阻带指标有富裕，则
H a ( j) 2 H a (s)H a (s) |s j
H
a
(
j)H
* a
(
j)
上式的关系从Ha(s)的因式相乘表达式推出。
（2）根据幅度平方函数和系统的极点应该在s的左半平面，
求出传递函数。
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
2. 巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数用下式和图表示。
p 20 lg H (e jp ) dB
(6.1.3)
H (e j0)
s 20 lg H (e js ) dB
(6.1.4)
如将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成：
数字信号处理 第六章 无限冲击响应数字滤波器设计(白底)
6.2 模拟滤波器的设计
模拟滤波器常见的几种形式
Ha ( jΩ )
低通
Ω
Ha ( jΩ )
高通
Ha ( jΩ)
带通
Ha ( jΩ )
带阻
Ω
Ω 各种理想滤波器的幅频特性
Ω
我们一般只需设计低通 其它形式可以通过变换得到。 只需设计低通， 我们一般只需设计低通，其它形式可以通过变换得到。
一、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 1. 模拟滤波器的设计指标
2
as ≥−10lg Ha ( jΩ ) s
2
2、逼近方法 、 寻找一个传输函数 标 αp和 s ，即： α
Ha (s) 使其幅度平方函数满足给定指
2
ap ≤−10lg Ha ( jΩp )
as ≥−10lg Ha ( jΩ ) s
2
根据上式求出幅度平方函数 根据上式求出幅度平方函数
Ha ( jΩ)
10
Ωp 10 −1 即 ： = as 10 10 −1 Ωs
有 N = lg ：
10
ap 10 as
10 10 −1
lg
Ωp Ωs
计算3dB截止频率 Ωc 截止频率 计算
Q 1+
( )
Ωc
Ωp 2N
=10
−1 )ap 10 Nhomakorabea1+
( )
Ωs 2N Ω c
=10
as
10
Ω =Ωp (10 c
(3)将 Ha (p) 去归一化 将
Ω =Ωp (10 c
2
由于一般滤波器的单位脉冲响应为实数， 由于一般滤波器的单位脉冲响应为实数，其传递函数是对 称的， 称的，有：
6第六章无限脉冲响应数字滤波器的设计
]
将极点pk代入即得：
H a(s)
1
N
2 N 1 ( p pi )
i 1
4) 将Ha(p)去归一化，得到实际的Ha(s)，即
H a (s) H a ( p) ps/1
第33页
例 设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率
fp=3kHz ， 通 带 最 大 衰 减 αp=0.1dB ， 阻 带 截 止 频 率 fs=12kHz，阻带最小衰减αs=60dB。
s 10logHHaa((j j0s))22 即 Ha ( j0) 1
s1l0oH ga(js)2
17.03.2021
第8页
c： 3dB截止频率
Ha(jc)
1 2
2l0oH ga(jc)3dB
滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数，希望其 幅度平方函数满足给定的指标 p 和 s ，一般滤波器的单位 冲激响应为实数，因此幅度平方函数可表示成：
第10页
将幅度平方函数写成s的函数：
Ha(s)Ha(s) 1(
1 s
)2N
此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk jc
用下式表示：
1
j(12k 1)
sk( 1)2N(j c) ce 2 2N
极点分布：
三阶巴特沃斯滤波器极点分布
• 2N个极点在S平面上是象限对称分布在半径为c的圆上；
• 极点间的角度间隔为/N rad ；
s2 ej
归一化传输函数为 Ha ( p) 4 1
( p pk )
k 0
上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放
在一起，形成因式分解形式。直接查表更简单，由N=5， 直 接 查 表 得 到 极 点 ： -0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;
数字信号处理--第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计
1 0 0.1a p 1 k sp 1 0 0.1as 1 0 .0 2 4 2
sp
2 2
fs fp
2.4
N lg 0.0242 4.25, N 5 lg 2.4
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(2) 按照(6.2.12)式，其极点为
j3
s0 e 5 ,
滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2(Ω)表示：
A2()Ha(j)2 12C1N 2( p)
(6.2.19)
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数字信号处理
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图6.2.5 切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性
数字信号处理
式中，ε为小于1的正数，表示通带内幅度波动的 程度，ε愈大，波动幅度也愈大。Ωp称为通带截止频率。 令λ=Ω/Ωp，称为对Ωp的归一化频率。CN(x)称为N阶切 比雪夫多项式，定义为
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数字信号处理
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数字信号处理
例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减 αp=2dB ， 阻 带 截 止 频 率 fs=12kHz ， 阻 带 最 小 衰 减 αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。
解 (1) 确定阶数N。
(6.2.3) (6.2.4)
以上技术指标用图6.2.2表示。图中Ωc称为3dB截止 频率，因 H a (j c ) 1 /2 , 2 0 lg H a (j c ) 3 d B
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图6.2.2 低通滤波器的幅度特性
数字信号处理
滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函
数字信号处理[第六章_无限脉冲响应数字滤波器的设计]
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关键是求N
28
无限脉冲响应数字滤波器的设计
关键是求N
cos( N arccos x ), x 1 CN ( x) ch( N Archx), x 1
[例]：例如，一低通DF的指标：在 0.2 的通带范围， 0.3 的阻带范围，衰 幅度特性下降小于1dB；在 减大于15dB；抽样率 f s ；试将这一指标转换成AL 10kHz F的技术指标。 [解]： H (e j 0 ) H (e j 0 ) dB 15 p 20 lg dB 1 s 20 lg j 0.3 j 0.2 H (e ) H (e ) 归一化后：
第六章 无限脉冲响应 数字滤波器的设计
无限脉冲响应数字滤波器的设计
数字滤波器的基本概念
主 要 内 容
模拟滤波器的设计
数字滤波器的间接设计方法
数字滤波器的直接设计方法
2
无限脉冲响应数字滤波器的设计 数字滤波器的基本概念 所谓数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通 过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例 或者滤除某些频率成分的器件。（Digital Filter)
s 2 N 1 ( ) 10 s /10 C
10 p 1 ( )N S 10 s /10 2
23
p
/10
无限脉冲响应数字滤波器的设计 低通巴特沃斯滤波器的设计步骤： 1.根据技术指标求出滤波器的阶数N；
p；s；c； p； s
C p (10
0.1 p
一是窗函数法和频率采样法
二是计算机辅助设计，如切比雪夫等波纹逼近法
13
无限脉冲响应数字滤波器的设计 模拟滤波器的设计 巴特沃斯滤波器 单调下降的幅频特性
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（3）、滤波器的功能与实现 滤波就是对输入序列 x(n)进行一定的运算操作。 从而得
到输出序列y(n)。
（4）、数字滤波器的分类
DF按频率特性分类：可分为低通、高通、带通、带阻和全通。
低通
2π
π
高通
H (e j )
0
π
H (e j )
2π
2π
π
带通
0
π
H (e j )
2π
2π
π
带阻
0
π
H (e j )
第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
理解滤波器的基本概念 掌握巴特沃斯（Butterworth）、切比雪夫（Chebyshev）低通 滤波器的特点 掌握冲激响应不变法 掌握双线性不变法
了解利用模拟滤波器设计IIR滤波器的设计过程
了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法
6.1 数字滤波器DF（Digital Filter）的基本概念
（１）.滤波器： 指对输入信号起滤波作用的装置。
x(n)
h(n)
y(n)
对其进行傅氏变换得:
（2）、当输入、输出是离散信号，滤波器的冲激响应是单位抽 样响应 h(n)时，这样的滤波器称作数字滤波器。
数字滤波器： 输入输出均为数字信号，通过一定的运算关系改变输入信
号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件
由通带衰减决定 • N：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数
为阻带截止频率 阻带衰减越大 所需阶数越高
3）幅度平方特性的极点分布：
N＝４时模拟切比雪夫Ｉ型极点位置图
4）滤波器的系统函数：
其中：
5）滤波器的设计步骤: • 确定技术指标：
归一化：
• 根据技术指标求出滤波器阶数N及 ： 其中：
• 求出归一化系统函数： 其中极点由下式求出：
H (e j ) H (z) ze j 数字域频率： T
H (e jT ) Hˆ a ( j)
1 T
Ha ( j
k
jks )
1 T
k
Ha
j
2 k
T
s
2
T
为周期
3、冲激响应不变法变换原理
数字滤波器的单位冲激响应 h(n) 模仿模拟滤波器的单位冲激响应 ha (t)
h(n) ha (t) tnT
• 按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器 – Butterworth低通滤波器 – Chebyshev低通滤波器
• 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器 – 冲激响应不变法 – 双线性变换法
4.模拟滤波器的频率变换—— 模拟高通、带通、带阻滤波器的设计
5、用模拟滤波器设计IIR数字滤波器
• 设计思想：
（1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标； （2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的Ha (s) ； （3）将 Ha (s) 转换成 H (z) （4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通AF的技术指 标。
FIR滤波器设计方法：
窗函数法和频率采样法。
7、数字滤波器设计过程 按设计任务，确定滤波器的性能指标，制定技术指标 用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标
巴特沃斯滤波器 Ha (s)Ha (s) 在Ｓ平面的极点位置 （a）Ｎ＝３（三阶）（b）Ｎ＝４（四阶）
3）滤波器的系统函数：
去归一化，得
为归一化系统的系统函数
4）滤波器的设计步骤： • 确定技术指标： • 根据技术指标求出滤波器阶数N： 由
得：
同理：
令
则：
• 求出归一化系统函数： 其中极点：
或者由N，直接查表得 • 去归一化
j
T
例：设模拟滤波器的系统函数为
Ha (s)
s2
2 4s
3
s
1 1
s
1
3
试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器
解：据题意，得数字滤波器的系统函数：
设T = 1s，则
二、序列的z变换与连续时间信号的Laplace变换、 Fourier变换的关系
序列的z变换： x(n) X (z)
连续时间信号的Laplace变换： xa (t) X a (s) 连续时间信号的Fourier变换： xa (t) X a ( j)
H (z) Ha(s)
T—抽样周期
H (z)
z esT
Hˆ a (s)
1 T
k
2π
2π
π
全通
0
π
H (e j )
2π
0
理想低通、高通、带通、带阻、全通滤波器幅度特性
DF按网络结构或 单位脉冲响应分类：
无限脉冲响应滤波器（IIR） 有限脉冲响应滤波器（FIR）
系统函数
IIR
差分方程
N 1
系统函数 H (z) h(n)zn n0
FIR
N 1
差分方程 y(n) bk x(n k) k 0
s 平面
z 平面
模拟系统 Ha (s) H (z) 数字系统
• H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应， 即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆
• 因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ， 即 s 平面的左半平面 Re[s] < 0
映射到 z 平面的单位圆内 |z| < 1
或者由N和 ，直接查表得 • 去归一化
小结：利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤 • 确定数字滤波器的技术指标：
通带截止频率 、通带衰减 阻带截止频率 、阻带衰减
• 将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器 的技术指标 – 冲激响应不变法
通带截止频率 阻带截止频率
– 双线性变换法
通带截止频率 阻带截止频率
5、数字滤波器的技术要求
H (e j ) H (e j ) e j()
p 通带截止频率
通过滤波器后各频率成分衰减情况 s 阻带截止频率
p s 过渡带
0.707
p c s
低通滤波器的技术要求
p 通带截止频率 p s 过渡带
s 阻带截止频率
H (e j0)
通带内允许的最大衰减 p 20lg H (e jp ) dB
抽样序列： h(n) ha (nT )
其z变换： H (z) ha (nT )zn n
比较理想抽样信号的Laplace变换：
得：
Hˆ a (s) ha (nT )esnT n
当z esT时，H (z) Hˆ a (s)
当z esT时 抽样序列的z变换=理想抽样信号的Laplace变换 即：
S平面逼近,模拟滤波器 Z平面逼近,数字滤波器
先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器
1、由幅度平方函数 器的系统函数
确定模拟滤波
h(t)是实函数
将左半平面的的极点归
将以虚轴为对称轴的对称 零点的任一半作为 的零点，虚轴上的零点一 半归
Ha (s) 的零极点分布
由幅度平方函数得象限对称的s平面函数
Z平面
r=1 单位圆 r<1 单位圆内部 r>1 单位圆外部
0分别映射成r
> <1
T
S平面 Ω =0 实轴 Ω =Ω0 平行直线
Ω: /T /T Ω: 3 /T /T
/T 3 /T
s平面到z平面的 映射是多值映射。
z esT S平面与z平面
之间的映射关系
Z平面 ω=0 正实轴 ω=Ω0T 辐射线 ω:
Fourier变换是Laplace变换在虚轴上的特例。 即: s=jΩ
映射到z平面为单位圆
z e jT
H (z) ze jT H (e jT ) Hˆ a ( j)
Hˆ a (s) s j
抽样序列在单位圆上的z变换 =其理想抽样信号的Fourier变换
序列的Fourier变换H (e j ) 单位圆上序列的z变换
•将
因式分解，得到各零极点
• 对比
和
，确定增益常数
• 由零极点及增益常数，得
例：
解：
极点： 的极点：
设增益常数为K0
零点：
（二阶）
零点：
2、Butterworth 低通逼近
幅度平方函数：
N为滤波器的阶数 为通带截止频率
当 称 为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽
1）幅度函数特点：
巴特沃斯滤波器幅度特性及其与Ｎ的关系
其中技术指标 或
给出或由下式求出： 阻带指标有富裕 通带指标有富裕
例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频率低于 0.2rar的d 通带内幅度特性下降小于1dB。在频率 0.3 到 之间的阻带内，
衰减大于15dB。设计巴特沃斯模拟低通滤波器． 解：1）由数字滤波器的技术指标：
2）得模拟滤波器的技术指标：选T = 1 s
阻带最小衰减
st
1
2
2、利用性能指标求出巴特沃斯低通原形的3dB截止频率 c
滤波器的阶数N
3、查表求出N阶巴特沃欺低通原形的归一化系统函数 Han (s)
4、用
s s
c
代入 Han (s) ，求出3dB截止频率 c 的巴特
沃斯低通原形系统函数 Ha (s)
3、Chebyshev低通逼近
切比雪夫Ｉ型滤波器幅度特性 切比雪夫II型滤波器幅度特性
•
•
3dB不变性
通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小
过渡带及阻带内快速单调减小
当
（阻带截止频率）时，衰减 为阻带
最小衰减
2）幅度平方特性的极点分布： Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：
• 极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点 • 极点间的角度间隔为 • 极点不落在虚轴上 • N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点
到输出序列y(n)。
（4）、数字滤波器的分类
DF按频率特性分类：可分为低通、高通、带通、带阻和全通。
低通
2π
π
高通
H (e j )
0
π
H (e j )
2π
2π
π
带通
0
π
H (e j )
2π
2π
π
带阻
0
π
H (e j )
第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
理解滤波器的基本概念 掌握巴特沃斯（Butterworth）、切比雪夫（Chebyshev）低通 滤波器的特点 掌握冲激响应不变法 掌握双线性不变法
了解利用模拟滤波器设计IIR滤波器的设计过程
了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法
6.1 数字滤波器DF（Digital Filter）的基本概念
（１）.滤波器： 指对输入信号起滤波作用的装置。
x(n)
h(n)
y(n)
对其进行傅氏变换得:
（2）、当输入、输出是离散信号，滤波器的冲激响应是单位抽 样响应 h(n)时，这样的滤波器称作数字滤波器。
数字滤波器： 输入输出均为数字信号，通过一定的运算关系改变输入信
号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件
由通带衰减决定 • N：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数
为阻带截止频率 阻带衰减越大 所需阶数越高
3）幅度平方特性的极点分布：
N＝４时模拟切比雪夫Ｉ型极点位置图
4）滤波器的系统函数：
其中：
5）滤波器的设计步骤: • 确定技术指标：
归一化：
• 根据技术指标求出滤波器阶数N及 ： 其中：
• 求出归一化系统函数： 其中极点由下式求出：
H (e j ) H (z) ze j 数字域频率： T
H (e jT ) Hˆ a ( j)
1 T
Ha ( j
k
jks )
1 T
k
Ha
j
2 k
T
s
2
T
为周期
3、冲激响应不变法变换原理
数字滤波器的单位冲激响应 h(n) 模仿模拟滤波器的单位冲激响应 ha (t)
h(n) ha (t) tnT
• 按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器 – Butterworth低通滤波器 – Chebyshev低通滤波器
• 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器 – 冲激响应不变法 – 双线性变换法
4.模拟滤波器的频率变换—— 模拟高通、带通、带阻滤波器的设计
5、用模拟滤波器设计IIR数字滤波器
• 设计思想：
（1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标； （2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的Ha (s) ； （3）将 Ha (s) 转换成 H (z) （4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通AF的技术指 标。
FIR滤波器设计方法：
窗函数法和频率采样法。
7、数字滤波器设计过程 按设计任务，确定滤波器的性能指标，制定技术指标 用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标
巴特沃斯滤波器 Ha (s)Ha (s) 在Ｓ平面的极点位置 （a）Ｎ＝３（三阶）（b）Ｎ＝４（四阶）
3）滤波器的系统函数：
去归一化，得
为归一化系统的系统函数
4）滤波器的设计步骤： • 确定技术指标： • 根据技术指标求出滤波器阶数N： 由
得：
同理：
令
则：
• 求出归一化系统函数： 其中极点：
或者由N，直接查表得 • 去归一化
j
T
例：设模拟滤波器的系统函数为
Ha (s)
s2
2 4s
3
s
1 1
s
1
3
试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器
解：据题意，得数字滤波器的系统函数：
设T = 1s，则
二、序列的z变换与连续时间信号的Laplace变换、 Fourier变换的关系
序列的z变换： x(n) X (z)
连续时间信号的Laplace变换： xa (t) X a (s) 连续时间信号的Fourier变换： xa (t) X a ( j)
H (z) Ha(s)
T—抽样周期
H (z)
z esT
Hˆ a (s)
1 T
k
2π
2π
π
全通
0
π
H (e j )
2π
0
理想低通、高通、带通、带阻、全通滤波器幅度特性
DF按网络结构或 单位脉冲响应分类：
无限脉冲响应滤波器（IIR） 有限脉冲响应滤波器（FIR）
系统函数
IIR
差分方程
N 1
系统函数 H (z) h(n)zn n0
FIR
N 1
差分方程 y(n) bk x(n k) k 0
s 平面
z 平面
模拟系统 Ha (s) H (z) 数字系统
• H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应， 即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆
• 因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ， 即 s 平面的左半平面 Re[s] < 0
映射到 z 平面的单位圆内 |z| < 1
或者由N和 ，直接查表得 • 去归一化
小结：利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤 • 确定数字滤波器的技术指标：
通带截止频率 、通带衰减 阻带截止频率 、阻带衰减
• 将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器 的技术指标 – 冲激响应不变法
通带截止频率 阻带截止频率
– 双线性变换法
通带截止频率 阻带截止频率
5、数字滤波器的技术要求
H (e j ) H (e j ) e j()
p 通带截止频率
通过滤波器后各频率成分衰减情况 s 阻带截止频率
p s 过渡带
0.707
p c s
低通滤波器的技术要求
p 通带截止频率 p s 过渡带
s 阻带截止频率
H (e j0)
通带内允许的最大衰减 p 20lg H (e jp ) dB
抽样序列： h(n) ha (nT )
其z变换： H (z) ha (nT )zn n
比较理想抽样信号的Laplace变换：
得：
Hˆ a (s) ha (nT )esnT n
当z esT时，H (z) Hˆ a (s)
当z esT时 抽样序列的z变换=理想抽样信号的Laplace变换 即：
S平面逼近,模拟滤波器 Z平面逼近,数字滤波器
先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器
1、由幅度平方函数 器的系统函数
确定模拟滤波
h(t)是实函数
将左半平面的的极点归
将以虚轴为对称轴的对称 零点的任一半作为 的零点，虚轴上的零点一 半归
Ha (s) 的零极点分布
由幅度平方函数得象限对称的s平面函数
Z平面
r=1 单位圆 r<1 单位圆内部 r>1 单位圆外部
0分别映射成r
> <1
T
S平面 Ω =0 实轴 Ω =Ω0 平行直线
Ω: /T /T Ω: 3 /T /T
/T 3 /T
s平面到z平面的 映射是多值映射。
z esT S平面与z平面
之间的映射关系
Z平面 ω=0 正实轴 ω=Ω0T 辐射线 ω:
Fourier变换是Laplace变换在虚轴上的特例。 即: s=jΩ
映射到z平面为单位圆
z e jT
H (z) ze jT H (e jT ) Hˆ a ( j)
Hˆ a (s) s j
抽样序列在单位圆上的z变换 =其理想抽样信号的Fourier变换
序列的Fourier变换H (e j ) 单位圆上序列的z变换
•将
因式分解，得到各零极点
• 对比
和
，确定增益常数
• 由零极点及增益常数，得
例：
解：
极点： 的极点：
设增益常数为K0
零点：
（二阶）
零点：
2、Butterworth 低通逼近
幅度平方函数：
N为滤波器的阶数 为通带截止频率
当 称 为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽
1）幅度函数特点：
巴特沃斯滤波器幅度特性及其与Ｎ的关系
其中技术指标 或
给出或由下式求出： 阻带指标有富裕 通带指标有富裕
例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频率低于 0.2rar的d 通带内幅度特性下降小于1dB。在频率 0.3 到 之间的阻带内，
衰减大于15dB。设计巴特沃斯模拟低通滤波器． 解：1）由数字滤波器的技术指标：
2）得模拟滤波器的技术指标：选T = 1 s
阻带最小衰减
st
1
2
2、利用性能指标求出巴特沃斯低通原形的3dB截止频率 c
滤波器的阶数N
3、查表求出N阶巴特沃欺低通原形的归一化系统函数 Han (s)
4、用
s s
c
代入 Han (s) ，求出3dB截止频率 c 的巴特
沃斯低通原形系统函数 Ha (s)
3、Chebyshev低通逼近
切比雪夫Ｉ型滤波器幅度特性 切比雪夫II型滤波器幅度特性
•
•
3dB不变性
通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小
过渡带及阻带内快速单调减小
当
（阻带截止频率）时，衰减 为阻带
最小衰减
2）幅度平方特性的极点分布： Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：
• 极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点 • 极点间的角度间隔为 • 极点不落在虚轴上 • N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点