6无限脉冲响应数字滤波器

由通带衰减决定 • N：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数
为阻带截止频率 阻带衰减越大 所需阶数越高
3）幅度平方特性的极点分布：
N＝４时模拟切比雪夫Ｉ型极点位置图
4）滤波器的系统函数：
其中：
5）滤波器的设计步骤: • 确定技术指标：
归一化：
• 根据技术指标求出滤波器阶数N及 ： 其中：
• 求出归一化系统函数： 其中极点由下式求出：
H (e j0)
阻带内允许的最小衰减 s 20lg H (e js ) dB H(e j0) 归一化：
p 20 lg H (e jp ) dB s 20 lg H (e js ) dB
6. 数字滤波器设计方法概述
IIR滤波器设计方法：
先设计模拟滤波器得传输函数 Ha (s) ，然后转换成数字滤 波器的系统函数 H (z) 。
或者由N和 ，直接查表得 • 去归一化
小结：利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤 • 确定数字滤波器的技术指标：
通带截止频率 、通带衰减 阻带截止频率 、阻带衰减
• 将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器 的技术指标 – 冲激响应不变法
通带截止频率 阻带截止频率
– 双线性变换法
通带截止频率 阻带截止频率
•
•
3dB不变性
通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小
过渡带及阻带内快速单调减小
当
Hale Waihona Puke Baidu
（阻带截止频率）时，衰减 为阻带
最小衰减
2）幅度平方特性的极点分布： Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：
• 极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点 • 极点间的角度间隔为 • 极点不落在虚轴上 • N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点
（1）将DF的技术指标转换成AF的技术指标； （2）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的Ha (s) ； （3）将 Ha (s) 转换成 H (z) （4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通AF的技术指 标。
FIR滤波器设计方法：
窗函数法和频率采样法。
7、数字滤波器设计过程 按设计任务，确定滤波器的性能指标，制定技术指标 用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标
抽样序列： h(n) ha (nT )
其z变换： H (z) ha (nT )zn n
比较理想抽样信号的Laplace变换：
得：
Hˆ a (s) ha (nT )esnT n
当z esT时，H (z) Hˆ a (s)
当z esT时 抽样序列的z变换=理想抽样信号的Laplace变换 即：
• 按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器 – Butterworth低通滤波器 – Chebyshev低通滤波器
• 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器 – 冲激响应不变法 – 双线性变换法
4.模拟滤波器的频率变换—— 模拟高通、带通、带阻滤波器的设计
5、用模拟滤波器设计IIR数字滤波器
• 设计思想：
幅度平方函数：
，表示通带波纹大小， 越大，波纹越大 ：截止频率，不一定为3dB带宽 N：滤波器的阶数
：N阶Chebyshev多项式
N=0,1,2,3,4,5切比雪夫多项式曲线
1）幅度函数特点：
•
– N为奇数
– N为偶数 •
•
通带内：在1和
间等波纹起伏
•
通带外：迅速单调下降趋向0
2）Chebyshev滤波器的三个参量： • ：通带截止频率，给定 • ：表征通带内波纹大小
（3）、滤波器的功能与实现 滤波就是对输入序列 x(n)进行一定的运算操作。 从而得
到输出序列y(n)。
（4）、数字滤波器的分类
DF按频率特性分类：可分为低通、高通、带通、带阻和全通。
低通
2π
π
高通
H (e j )
0
π
H (e j )
2π
2π
π
带通
0
π
H (e j )
2π
2π
π
带阻
0
π
H (e j )
•将
因式分解，得到各零极点
• 对比
和
，确定增益常数
• 由零极点及增益常数，得
例：
解：
极点： 的极点：
设增益常数为K0
零点：
（二阶）
零点：
2、Butterworth 低通逼近
幅度平方函数：
N为滤波器的阶数 为通带截止频率
当 称 为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽
1）幅度函数特点：
巴特沃斯滤波器幅度特性及其与Ｎ的关系
巴特沃斯滤波器 Ha (s)Ha (s) 在Ｓ平面的极点位置 （a）Ｎ＝３（三阶）（b）Ｎ＝４（四阶）
3）滤波器的系统函数：
去归一化，得
为归一化系统的系统函数
4）滤波器的设计步骤： • 确定技术指标： • 根据技术指标求出滤波器阶数N： 由
得：
同理：
令
则：
• 求出归一化系统函数： 其中极点：
或者由N，直接查表得 • 去归一化
（１）.滤波器： 指对输入信号起滤波作用的装置。
x(n)
h(n)
y(n)
对其进行傅氏变换得:
（2）、当输入、输出是离散信号，滤波器的冲激响应是单位抽 样响应 h(n)时，这样的滤波器称作数字滤波器。
数字滤波器： 输入输出均为数字信号，通过一定的运算关系改变输入信
号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件
Z平面
r=1 单位圆 r<1 单位圆内部 r>1 单位圆外部
0分别映射成r
> <1
T
S平面 Ω =0 实轴 Ω =Ω0 平行直线
Ω: /T /T Ω: 3 /T /T
/T 3 /T
s平面到z平面的 映射是多值映射。
z esT S平面与z平面
之间的映射关系
Z平面 ω=0 正实轴 ω=Ω0T 辐射线 ω:
其中技术指标 或
给出或由下式求出： 阻带指标有富裕 通带指标有富裕
例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频率低于 0.2rar的d 通带内幅度特性下降小于1dB。在频率 0.3 到 之间的阻带内，
衰减大于15dB。设计巴特沃斯模拟低通滤波器． 解：1）由数字滤波器的技术指标：
2）得模拟滤波器的技术指标：选T = 1 s
ω:
当z esT时，H (z) Hˆ a (s)
Hˆ a (
j)
1 T
Ha(
k
j
jks )
s j
Hˆ a (s)
1 T
Ha (s
k
jks )
H (z) zesT
1 T
Ha(s
k
jks
)
1 T
k
H
a
s
j 2
T
k
2、序列的z变换&理想抽样信号的Fourier 变换
H (z) zesT H (esT ) Hˆ a (s)
是复平面s平面到z平面的映射：
s平面：s j
(直角坐标）
esT e( j)T eT e jT
z平面： z re j （极坐标）
z re j
r eT T
r eT S平面
σ =0
虚轴
σ <0 左半平面
σ >0
右半平面
s 平面
z 平面
模拟系统 Ha (s) H (z) 数字系统
• H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应， 即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆
• 因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ， 即 s 平面的左半平面 Re[s] < 0
映射到 z 平面的单位圆内 |z| < 1
系数相同： Ak
稳定性不变：s 平面 Resk 0 z 平面 eskT 1
H (e j
)
1 T
Ha
j
T
当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正
令：h(n) Tha (nT )
H (z)
N TAk k1 1 eskT z 1
则：H (e
j )
k
Ha
j
2 k
T
Ha
j
T
例：设模拟滤波器的系统函数为
Ha (s)
s2
2 4s
3
s
1 1
s
1
3
试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器
解：据题意，得数字滤波器的系统函数：
设T = 1s，则
二、序列的z变换与连续时间信号的Laplace变换、 Fourier变换的关系
序列的z变换： x(n) X (z)
连续时间信号的Laplace变换： xa (t) X a (s) 连续时间信号的Fourier变换： xa (t) X a ( j)
Fourier变换是Laplace变换在虚轴上的特例。 即: s=jΩ
映射到z平面为单位圆
z e jT
H (z) ze jT H (e jT ) Hˆ a ( j)
Hˆ a (s) s j
抽样序列在单位圆上的z变换 =其理想抽样信号的Fourier变换
序列的Fourier变换H (e j ) 单位圆上序列的z变换
2.4 模拟低通滤波器 将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标，
设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器
模拟滤波器
巴特沃斯 Butterworth 滤波器 切比雪夫 Chebyshev 滤波器 椭圆 Ellipse 滤波器 贝塞尔 Bessel 滤波器
系统函数
差分方程
求滤波器的各系数 ak , bk
S平面逼近,模拟滤波器 Z平面逼近,数字滤波器
先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器
1、由幅度平方函数 器的系统函数
确定模拟滤波
h(t)是实函数
将左半平面的的极点归
将以虚轴为对称轴的对称 零点的任一半作为 的零点，虚轴上的零点一 半归
Ha (s) 的零极点分布
由幅度平方函数得象限对称的s平面函数
阻带最小衰减
st
1
2
2、利用性能指标求出巴特沃斯低通原形的3dB截止频率 c
滤波器的阶数N
3、查表求出N阶巴特沃欺低通原形的归一化系统函数 Han (s)
4、用
s s
c
代入 Han (s) ，求出3dB截止频率 c 的巴特
沃斯低通原形系统函数 Ha (s)
3、Chebyshev低通逼近
切比雪夫Ｉ型滤波器幅度特性 切比雪夫II型滤波器幅度特性
3）设计Butterworth模拟低通滤波器 a）确定参数
用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真
b) 求出极点（左半平面）
c) 构造系统函数 或者 b’) 由N = 6，直接查表得
c’) 去归一化
低通巴特沃斯滤波器的设计步骤：
1、确定数字低通滤波器的技术指标，即通带截止频率 p ，
阻带截止频率 ，通带的最大波动
设计方法：
- 冲激响应不变法 - 阶跃响应不变法 - 双线性变换法
一、模拟滤波器的数字化方法 Ha (s) ha (t) ha (nT ) h(n) H (z)
Ha (s)
N Ak k 1 s sk
H(z)
N
Ak
k 1 1 eskT z 1
极点：s 平面 s sk z 平面 z eskT
1、序列的z变换&理想抽样信号的Laplace变换
理想抽样信号： hˆa (t) ha (nT ) (t nT ) n
其Laplace变换：
Hˆ a (s)
hˆa
(t
)e
st
dt
ha (nT ) (t nT )estdt
n
ha
(nT
)e st
(t
nT
)dt
n
ha (nT )esnT n
第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
理解滤波器的基本概念 掌握巴特沃斯（Butterworth）、切比雪夫（Chebyshev）低通 滤波器的特点 掌握冲激响应不变法 掌握双线性不变法
了解利用模拟滤波器设计IIR滤波器的设计过程
了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法
6.1 数字滤波器DF（Digital Filter）的基本概念
H (z) Ha(s)
T—抽样周期
H (z)
z esT
Hˆ a (s)
1 T
k
H (e j ) H (z) ze j 数字域频率： T
H (e jT ) Hˆ a ( j)
1 T
Ha ( j
k
jks )
1 T
k
Ha
j
2 k
T
s
2
T
为周期
3、冲激响应不变法变换原理
数字滤波器的单位冲激响应 h(n) 模仿模拟滤波器的单位冲激响应 ha (t)
h(n) ha (t) tnT
5、数字滤波器的技术要求
H (e j ) H (e j ) e j()
p 通带截止频率
通过滤波器后各频率成分衰减情况 s 阻带截止频率
p s 过渡带
0.707
p c s
低通滤波器的技术要求
p 通带截止频率 p s 过渡带
s 阻带截止频率
H (e j0)
通带内允许的最大衰减 p 20lg H (e jp ) dB
2π
2π
π
全通
0
π
H (e j )
2π
0
理想低通、高通、带通、带阻、全通滤波器幅度特性
DF按网络结构或 单位脉冲响应分类：
无限脉冲响应滤波器（IIR） 有限脉冲响应滤波器（FIR）
系统函数
IIR
差分方程
N 1
系统函数 H (z) h(n)zn n0
FIR
N 1
差分方程 y(n) bk x(n k) k 0