高二数学上册第一次月考检测试题1

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重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．直线:1l y +的倾斜角为（） A ．0︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒2．已知直线1:50l x y ++=，2:10l x y ++=，则1l 与2l 的距离为( )A ．1B ．2C D ．3．已知(1,0)A -、(3,6)B ，则以AB 为直径的圆的一般方程为（） A ．222630x y x y +--+= B ．222630x y x y +---= C ．222630x y x y ++-+=D ．222630x y x y ++--=4．已知直线1:10l ax y ++=，2:2(1)30l x a y +--=，若12l l ⊥，则实数a =（）A B C ．-1 D ．-2 5．已知动点P 在椭圆22:143y x C +=上，(0,1)F -，(3,3)D -，则D |P PF -的最小值为（）A ．5BC ．2D ．16．已知直线1:12l y x =+与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>相交于A 、B ，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率为（）A B C D ．127．已知点A 、B 在圆22:16O x y +=上，且AB 的中点M 在圆22:(2)1C x y -+=上，则弦长AB 的最小值为（）A ．B ．C ．D ．8．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的焦距为2c ，若直线()380kx y k c -++=恒与椭圆Γ有两个不同的公共点，则椭圆Γ的离心率范围为（）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．已知ABC V 的三个顶点(2,1)A -，(2,7)B -，(2,1)C -，则下列描述正确的有（） A ．直线BC 的倾斜角不存在 B ．直线AB 的斜率为-2C ．边AB 上的高所在直线的方程为240x y -+=D ．边AB 上的中线所在直线的方程为30x y -+=10．已知动点P 在直线:60l x y +-=上，动点Q 在圆22:(1)(1)4C x y -+-=上，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B ，则下列描述正确的有（）A ．直线l 与圆C 相交B ．PQ 的最小值为2C ．四边形PACB 面积的最小值为4D ．存在P 点，使得120APB ︒∠=11．已知椭圆222:1(20)4x y C b b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，动点P 在椭圆C 上，则下列描述正确的有（）A ．若12PF F V 的周长为6，则b =B ．若当12π3F PF ∠=时，12PF F V b =C ．若存在P 点，使得12PF PF ⊥，则b ∈D ．若PB 的最大值为2b ，则b ∈三、填空题12．焦点在x 轴的椭圆C ，长轴长为10，离心率为35，则椭圆C 的标准方程为.13．经过点()0,0O 作直线l ，若直线l 与连接()1,1A -，()2,2B 两点的线段总有公共点，则直线l 斜率的取值范围为.14．已知点()0,1A ，()0,1B -，()0,2C -，动点P 满足：||||10+=PA PB ，且||2||PC PA ≥，则点P 的轨迹长度为.四、解答题15．已知点()2,1P -，直线:220l x y ++=. (1)求点P 到直线l 的距离；(2)求点P 关于直线l 的对称点Q 的坐标.16．已知(1,2)A 、(3,6)B ，动点P 满足4PA PB ⋅=-u u u r u u u r，设动点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的标准方程；(2)求过点(1,2)A 且与曲线C 相切的直线的方程. 17．已知直线2y kx =+与椭圆2213x y +=相交于不同的两点,P Q . (1)求实数k 的取值范围；(2)若OP OQ ⊥，其中O 为坐标原点，求实数k 的值.18．已知圆22:4x y Γ+=，点Q 在圆Γ上，过Q 作y 轴的垂线，垂足为Q '，动点P 满足23Q Q Q P ''=u u u u r u u u r ，设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)斜率存在且不过()0,2B 的直线l 与曲线C 相交于M 、N 两点，BM 与BN 的斜率之积为209. ①证明：直线l 过定点； ②求BMN V 面积的最大值.19．如图1，已知圆心C 在x 轴的圆C 经过点(3,0)D 和(E .过原点且不与x 铀重合的直线l 与圆C 交于A 、B 两点（A 在x 轴上方）.(1)求圆C 的标准方程；(2)若ABD △l 的方程；(3)将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面（平面AOD )与y 轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面BOD）互相垂宜，如图2，求折叠后AB的范围.。

2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体2. 棱长为的正四面体的表面积为（）1B. C. D. 3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π35. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（）6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 11291409112314037. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AA P 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m⊥m αβ= l α∥l m∥10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF 的最小值为11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 16.如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.17.我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体【正确答案】B【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，A B C ABC '''-A BC 'A ABC '-剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．A 'BCCB ''A BCC B '''-故选：B2. 棱长为的正四面体的表面积为（）1B. C. D. 【正确答案】A【分析】利用三角形的面积公式可得出正四面体的表面积.【详解】棱长为的正四面体的表面积为.1221141sin 604122S =⨯⨯⨯=⨯⨯= 故选：A.3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 【正确答案】C【分析】由正四棱台的结构特征，侧棱的延长线交于同一点，的延长线必过此点，,HE GF 可判断选项中的线线位置关系.【详解】延长，1111,,,AA BB CC DD 由正四棱台的性质可得侧棱的延长线交于同一点，设该交点为.1111,,,AA BB CC DD P分别为棱的中点，,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 延长，则的延长线必过点，,HE GF ,HE GF P 则直线与直线相交于点；与直线相交于点；与直线相交于点HE GF P 1BB P 1CC P；与直线是异面直线.BF 故选：C.4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π3【正确答案】D【分析】先利用圆锥的侧面积公式求出母线长，进而求出高，再利用圆锥的体积公式求解．【详解】设圆锥的母线长为，高为，半径为， l h r 则且，故2ππS r ==底=π3πS r l ⨯⨯=侧1,3r l ==，h ∴===圆锥的体积为．∴21π13⨯⨯⨯=故选：D ．5. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（）【正确答案】D【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），1CD 1D E1D CE ∠然后在中用余弦定理即可解得.1D CE 【详解】连接，，如图：1CD 1D E因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线1111ABCD A B C D -11//CDBA 1D CE ∠与所成角，1BA CE 设正方体的棱长为，，a1CD===，1,CE D E ======在中，，1D CE 2221111cos 2CD CE DE D CE CD CE +-∠=⋅⋅==所以异面直线与 .1BA CE故选：D.6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 1129140911231403【正确答案】A【分析】作出截面，过点作，结合等腰梯形的性质得到高，再计算体积即可.1A 1A E AC ⊥【详解】过作出截面如图所示，过点作，垂足为，11,AC A C 1A 1A E AC ⊥E 易知为正四棱台的高，1A E 1111ABCD A B C D - 因为，1124,ABA B ==所以由勾股定理得，11AC A C==又，11CC AA ==则在等腰梯形中，，11ACCA AE =所以，143A E ===所以所求体积为.11111114112((1643339ABCD A B C D V S S A E =⨯++⋅=⨯++⨯=故选.A7. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺【正确答案】C【分析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为（尺），高为尺，则葛2120藤的最少长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果.【详解】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，矩形的高（即圆木长）为尺，矩形的底边长为（尺），207321⨯=（尺）.29=故选：C.8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AAP 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ【正确答案】C【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF 是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P 点11EGC D 1C G 1D E 1C H CF 的轨迹.【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接，11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF则∥，，且∥，，11A B EG 11A B EG =11A B 11C D 1111A B C D =可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥，EG 11C D 11EG C D =11EGC D 1C G 1D E 且平面，平面，可得∥平面，1C G ⊄1CD EF 1D E ⊄1CD EF 1C G 1CD EF 同理可得：∥平面，1C H 1CD EF 且，平面，可知平面∥平面，111C H C G C = 11,C H C G ⊂1C GH 1C GH 1CD EF 又因为P 点是正方形内的动点，平面，11ABB A 1C P ∥1CD EF 所以点在线段上，M GH由题意可知：，可得，1111,22GH A B EF A B ==GH EF ==所以P 故选：C.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m ⊥m αβ= l α∥l m∥【正确答案】BC【分析】根据空间中垂直关系的转化可判断ABC 的正误，根据线面平行定义可判断D 的正误.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；αβ⊥l β⊥l α∥l α⊂对于B ，若，，则，而，故，故B 正确；m β⊥l m ∥l β⊥l α⊂αβ⊥对于C ，若，，则，而，故，故C 正确；αβ∥m α⊥m β⊥l β⊂l m ⊥对于D ，若，，则或异面，故D 错误，m αβ= l α∥l m ∥,l m 故选：BC10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF的最小值为【正确答案】ABD【分析】由棱柱的概述判断A ；由线面平行判定定理判断B ；计算可判断C ；利用基EFGH S 本不等式可判断D.【详解】由棱柱的定义知，选项A 正确；对于选项B ，由于，，所以，且不在水面所在平面11A D BC ∥BC FG ∥11A D FG ∥11A D 内，所以棱与水面所在平面平行，选项B 正确；11A D 对于选项C ，在图（1）中，，在图（2）中，4EFGH S FG EF BC AB =⋅=⋅=，选项C 错误；4EFGH S FG EF AB BC =⋅>⋅=对于选项D ，，所以．12212V BE BF BC =⨯⨯=⋅⋅⋅△4BE BF ⋅=，当且仅当时，等号成立，22228EF BE BF BE BF =+≥⋅=2BE BF ==所以EF 的最小值为，选项D正确．故选：ABD ．11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN【正确答案】BD【分析】A 用反证法判断；B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C 先找到球心与半径，再计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】对于A ，假设A 对，即平面，于是，BF ⊥EAB BF AB ⊥，但六边形为正六边形，，矛盾，90ABF ∠=︒ABFPQH 120ABF ∠=︒所以A 错误；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为，3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=所以B 对；对于C ，取正方形对角线交点，ACPM O即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为，其表面积为，所以C 错误；R =24π8πR =对于D ，因为在平面内射影为，PN EBFN NS 所以与平面所成角即为，PN EBFN PNS ∠其正弦值为，所以D 对．PS PN==故选：BD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.【正确答案】2【分析】画出原图形可得答案.【详解】由直观图画出原图，如图，可得是等腰三角形，且，ABC V 2,2BC OA ==所以三角形的面积.ABC 12222S =⨯⨯=故答案为:2.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π【正确答案】29π【分析】先利用侧面积求出圆柱的高，再求出球的半径可得表面积.【详解】设圆柱的高为，其外接球的半径为，h R 由圆柱的底面半径为1，侧面积为，得，解得，10π2π10πh =5h =由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处，因此.R ==24π29πS R ==故29π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB【正确答案】)61π+【分析】首先求出，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点作交DOC ∠C CE AB ⊥于点，过点作交于点，即可求出，将扇AB E D DF AB ⊥AB F ,,,,,CE OE AE OF BF DF 形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部DOC AB R 分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积.【详解】因为，所以，设圆的半径为，ππ,63AOC BOD ∠∠==π2DOC ∠=R 又，解得（负值舍去），2COD 1ππ22S R =⨯⨯=扇形2R =过点作交于点，过点作交于点，C CE AB ⊥AB ED DF AB ⊥AB F 则，ππsin1,cos 66CE OC OE OC ====所以，同理可得，2AE R OE =-=-1DF OF ==将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中，上下截去两个球COD AB 2R =缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中上面球缺的高，上面圆锥的底面半径，高为，12h =-11r=1h ='下面球缺的高，下面圆锥的底面半径，21h =2r =21h ='则上面球冠的表面积，(112π2π228πs Rh ==⨯⨯-=-下面球冠的表面积，球的表面积，222π2π214πs Rh ==⨯⨯=24π16πS R ==球上面圆锥的侧面积，下面圆锥的侧面积111ππ122πS rl ==⨯⨯='，222ππ2S r l ==='所以几何体的表面积.())''121116π8π4π2π61πS S S S S S =--++=---++=+球故答案为.)61π+关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积要合理转化.四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）证明出，得到四点共面；//GH BC （2）先得到，，证明出线面平行，面面平行.1//A E BG //GH EF 【小问1详解】∵，分别是，的中点，G H 11A B 11A C ∴是的中位线，∴，GH 111A B C △11//GH B C又在三棱柱中，，∴，111ABC A B C -11//B C BC //GH BC ∴，，，四点共面.B C H G 【小问2详解】∵在三棱柱中，，，111ABC A B C -11//A B AB 11A B AB =∴，，1//A G EB 1111122A G A B AB EB ===∴四边形是平行四边形，∴，1A EBG 1//A E BG ∵平面，平面，∴平面.1A E ⊂1A EF BG ⊂/1A EF //BG 1A EF 又，是，的中点，所以，又.E F AB AC //EF BC //GH BC 所以，//GH EF ∵平面，平面，∴平面.EF ⊂1A EF GH ⊂/1A EF //GH 1A EF 又，平面，BG GH G = ,BG GH ⊂BCHG 所以平面平面.//BCHG 1A EF 16. 如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.【正确答案】（1）23（2）证明见解析（3）证明见解析【分析】（1）先得到，根据Q 为PB 的中点，故1433P AMB AMB V S PA -=⋅= ；1223Q ABM P AMB V V --==（2）由线线垂直，得到线面垂直，即BM ⊥平面PAM .，故BM ⊥AN ，又AN ⊥PM ，从而得到线面垂直；（3）由(1)知AN ⊥平面PBM ，故AN ⊥PB ，又AQ ⊥PB ，故PB ⊥平面ANQ ，得到答案.【小问1详解】因为AB 为⊙O 的直径，所以⊥，AM BM 又，故，2AM BM ==122AMB S AM BM =⋅= 又PA 垂直于⊙O 所在的平面，，2PA =故，11422333P AMB AMB V S PA -=⋅=⨯⨯= 因为Q 为PB 的中点，所以.11422233Q ABM P AMB V V --==⨯=【小问2详解】∵AB 为⊙O 的直径，∴AM ⊥BM .又PA ⊥平面ABM ，BM 平面ABM ，⊂∴PA ⊥BM .又∵，PA ，AM 平面PAM ，PA AM A = ⊂∴BM ⊥平面PAM .又AN 平面PAM ，∴BM ⊥AN .⊂又AN ⊥PM ，且，BM ，PM 平面PBM ，BM PM M = ⊂∴AN ⊥平面PBM .【小问3详解】由(1)知AN ⊥平面PBM ，PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB .又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ，AN ，AQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥平面ANQ .又NQ 平面ANQ ，⊂∴PB ⊥NQ .17. 我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD ⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 【正确答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②平行，证明见解析.【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可求解；（2）①利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；②利用①的结论及线面平行的性质定理即可求解.【小问1详解】∵，BC CD ⊥∴为直角三角形，BCD △∵平面，且平面，平面，平面，AB ⊥BCD BD ⊂BCD ⊂BC BCD CD ⊂BCD∴，，，AB BC ⊥AB BD ⊥AB CD ⊥∴和为直角三角形，ABC V ABD △∵，平面，平面，BC AB B ⋂=BC ⊂ABC AB ⊂ABC ∴平面，CD ⊥ABC 又∵平面，AC ⊂ABC ∴，CD AD ⊥∴为直角三角形，ACD ∴三棱锥为鳖曘.A BCD -【小问2详解】①连接，∵点分别为的中点，CE ,P Q ,BC BE ∴，//PQ CE 且平面，平面，PQ ⊄ACD CE ⊂ACD 所以直线平面，//PQ ACD ②平行，证明：平面，平面，平面平面=，//PQ ACD PQ ⊂DPQ DPQ ⋂ACD l 所以.//PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.【正确答案】（1）即为要画的线，理由见解析；,ED EB （2（3【分析】（1）要使截面与平行，考虑构造线线平行，取的中点，取的对SA S C E ABCD 称中心,连接,证明即得截面；O OE //SA OE BDE （2）分别计算的三边，再利用三角形面积公式计算即得；BDE （3）利用等体积求出点到平面的距离，再由线面所成角的定义即可求得.C BDE 【小问1详解】如图，取的中点，连接,则即为要画的线.S C E ,,ED EB ,ED EB理由如下：连接与交于点，连接.BD AC O OE 因四边形ABCD 为平行四边形，则点为的中点，故,O AC //SA OE 又因平面,平面,故有平面；SA ⊄BDE OE ⊂BDE SA ∥BDE 【小问2详解】如图中，过点作于点，连接,E EF DC ⊥FBF 因平面,平面，则,SD ⊥ABCD CD ⊂ABCD SD CD ⊥故,平面,,//EF SD ⊥EF ABCD 112EF SD ==12DE SC ===因，则,12,60,22CFDC DCB BC ==∠== 2BF =因平面，则，故,BF ⊂ABCD EF FB ⊥BE ==又由余弦定理，，故得.22224224cos6012BD =+-⨯⨯=BD =又，O 为BD 中点，则，DE DB =OE BD ⊥于是截面的面积为；12BDE S =⨯= 【小问3详解】过点作平面，交平面于点,连接,C CH ⊥BDE BDE H EH则即直线与截面所成的角.CEH ∠S C BDE 由可得，,E BCD C BED V V --=1133BCD BED S EF S CH ⨯=⨯即得：，则BCD BED S EF CH S ⨯===sin CH CEH EC ∠===即直线SC 与平面BDE 思路点睛：本题主要考查运用线面平行的判定方法解决实际问题和线面所成角的求法，属于较难题.解题的思路在于充分利用平行四边形对角线性质、等腰三角形三线合一，三角形中位线性质等方法寻找线线平行；对于线面所成角问题，除了定义法作图求解外，对于不易找到点在平面的射影时，可考虑运用等体积转化求解.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.【正确答案】（1）为等边三角形，理由见解析ABC V （2（3）证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，，即可根据曲率的定义求解，1AA AC ⊥1AA AB ⊥（2）利用等体积法，结合锥体体积公式即可求解，（3）根据则多面体的棱数，顶点数，以及内角之和，即可根据曲率的定义求解.【小问1详解】因为在直三棱柱中，111ABC A B C -平面，平面，1AA ⊥ABC ,AC AB ⊂ABC 所以，，1AA AC ⊥1AA AB ⊥所以点A 的曲率为，得，π2ππ2232BAC -⨯-∠=π3BAC ∠=因为，所以为等边三角形.AB AC =ABC V【小问2详解】取中点D ，连接、，BC AD AM 因为D 为的中点，所以，BC AD BC ⊥因为平面，平面，所以，1BB ⊥ABC AD ⊂ABC 1BB AD ⊥因为，平面，所以平面；1BB BC B = 1,AA AB ⊂11ABB A AD ⊥11BB C C 所以是三棱锥的高.AD 1A BB M -设点到平面的距离为，则有，即.B 1AB M h 11B AB M A BB M V V --=11AB M BB M S h S AD =⋅在中有，同理计算得，11Rt AA B△1AB ==1AM B M BM ===.AD =所以，，112AB M S =⨯=114242BB M S =⨯⨯=所以.h ==【小问3详解】证明：设多面体有M 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，1,2,,M ⋅⋅⋅设第号多边形有条边，i ()1i M ≤≤i L 则多面体共有条棱，122ML L L L ++⋅⋅⋅+=由题意，多面体共有个顶点，12222ML L L D M L M ++⋅⋅⋅+=-+=-+号多边形的内角之和为，i π2πi L -所以所有多边形的内角之和为，()12π2πM L L L M ++⋅⋅⋅+-所以多面体的总曲率为()122ππ2πM D L L L M ⎡⎤-++⋅⋅⋅+-⎣⎦.()12122π2π2π4π2M M L L L M L L L M ++⋅⋅⋅+⎛⎫⎡⎤=-+-++⋅⋅⋅+-= ⎪⎣⎦⎝⎭所以简单多面体的总曲率为.4π。

四川省成都市2024-2025学年高二上学期月考(一)数学试题含答案

高二上数学月考（一）（答案在最后）一､单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）32211834297864540732524206443812234356773578905642 84421253313457860736253007328623457889072368960804 32567808436789535577348994837522535578324577892345A.623B.328C.072D.457【答案】A【解析】【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.故选：A.2.某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为b，则（）A.19b= B.29b= C.310b= D.110b=【答案】D【解析】【分析】根据题意，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等即可求解.【详解】因为总体中共有10个个体，所以五班第一次没被抽到，第二次被抽到的可能性为91110910b=⨯=.故选：D.3.已知向量1,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，122BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=（）A.30°B.150°C.60°D.120°【答案】B 【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.【详解】因为向量13,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,22BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以13312222cos ,2AB BC AB BC AB BC⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯- ⎪ ⎪⋅==⋅，又0,180AB BC ≤≤，所以,30AB BC =，所以,18030150BA BC =-= ，所以150ABC ∠=o .故选：B.4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若//a b ，,b a αα⊂⊄，则//a αB.若,a b αα⊥⊥，则//a bC.若,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则a β⊥D.若,a b 为异面直线，,a b αβ⊂⊂，//a β，//b α，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，根据线面垂直的性质判断B ，当a α⊄时即可判断C ，根据异面直线的定义及线面平行的性质定理判断D.【详解】对于A ：若//a b ，,b a αα⊂⊄，根据线面平行的判定定理可知//a α，故A 正确；对于B ：若,a b αα⊥⊥，则//a b ，故B 正确；对于C ：当a α⊂时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，由面面垂直的性质定理可得a β⊥，当a α⊄时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则//a β或a β⊂或a 与β相交，故C 错误；对于D ：因为a α⊂，//b α，所以存在b α'⊂使得//b b '，又b β⊂，b β'⊄，所以//b β'，又//a β且,a b 为异面直线，所以平面α内的两直线b '、a 必相交，所以//αβ，故D 正确.故选：C5.下列说法正确的是（）A.互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B.若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件C.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D.事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率不一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可．【详解】对于A ，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 错误;对于B ，由()()1P A P B +=，并不能得出A 与B 是对立事件，举例说明：现从a ，b ，c ，d 四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的，设事件A 表示选中a 球或b 球，则1()2P A =，事件B 表示选中b 球或c 球，则1()2P B =，所以()()1P A P B +=，但A ，B 不是对立事件，故B 错误;对于C ，该试验的样本空间可表示为：{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9)(5,7,9)}Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个，故所求概率310P =，故C 错误;对于D ，若A ，B 是互斥事件，事件A ，B 中至少有一个发生的概率等于A ，B 中恰有一个发生的概率，故D 正确．故选：D.6.一组数据：53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）．A.58或64B.58C.59或64D.59【答案】A 【解析】【分析】先对数据从小到大排序，分57x ≤，79x ≥，5779x <<三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案,【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．若57x ≤，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；若79x ≥，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；若5779x <<，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x 和61（或61和x ），则613x -=，解得58x =或64x =故选：A7.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面,,2ABCD FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥,,E ACD F ABC F ACE ---的体积分别为123,,V V V ，则（）A.322V V =B.31V V =C.3123V V V =-D.3123V V =【答案】D 【解析】【分析】结合线面垂直的性质，确定相应三棱锥的高，求出123,,V V V 的值，结合选项，即可判断出答案.【详解】连接BD 交AC 于O ，连接,OE OF ，设22AB ED FB ===，由于ED ⊥平面,ABCD FB ED ∥，则FB ⊥平面ABCD ,则1211141112222,22133233323ACD ABC V S ED V S FB =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ；ED ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故ED AC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，而,,ED BD D ED BD =⊂ 平面BDEF ，故AC ⊥平面BDEF ，OF ⊂平面BDEF ，故AC OF ⊥，又ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故,ED BD FB BD ⊥⊥，222222,26,3,BD OD OB OE OD ED OF OB BF =∴===+==+=而()223EF BD ED FB =+-=，所以222EF OF OE +=，即得OE OF ⊥，而,,OE AC O OE AC =⊂ 平面ACE ，故OF ⊥平面ACE ，又22222AC AE CE ===+=，故(2231131323233434F ACE V V ACE S OF AC OF =-=⋅=⨯⋅=⨯= ，故323131231,2,,233V V V V V V V V V ≠≠≠-=，故ABC 错误，D 正确，故选：D8.已知平面向量a ，b ，e ，且1e = ，2a = .已知向量b 与e所成的角为60°，且b te b e -≥- 对任意实数t 恒成立，则12a e ab ++-的最小值为（）A.31+ B.23C.35 D.25【答案】B【解析】【分析】b te b e -≥-对任意实数t 恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出||2b =r ，借助2a =，得到122a e a e +=+ ，12a e a b ++- 的最小值转化为11222a e a b++- 的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可【详解】根据题意，1cos 602b e b e b ⋅=⋅︒=，b te b e -≥- ，两边平方22222||2||2b t e tb e b e b e +-⋅≥+-⋅ ，整理得到210t b t b --+≥ ，对任意实数t 恒成立，则()2Δ||410b b =--+≤ ，解得2(2)0b -≤ ，则||2b =r .由于2a =，如上图，122a e a e +=+ ，则111112(2)()22222a e a b a e a b a e a b ++-=++-≥+--222843e b e b b e =+=++⋅12a e ab ++- 的最小值为23当且仅当12,,2e b a -终点在同一直线上时取等号.故选：B ．二､多项选择题.本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A.丁险种参保人数超过五成B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C.18－29周岁人群参保的总费用最少D.人均参保费用不超过5000元【答案】ACD 【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例10.020.040.10.30.54----=，故A 正确;由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的45%不到五成，B 错误;由不同年龄段人均参保费用图可知，1829~周岁人群人均参保费用最少()3000,4000，但是这类人所占比例为15%，54周岁以上参保人数最少比例为10%，54周岁以上人群人均参保费用6000,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C 正确．由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D 正确;故选：ACD ．10.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3.则甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（）A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地【答案】AD 【解析】【分析】假设最多一天疑似病例超过7人，根据极差可判断AD ；根据平均数可算出10天疑似病例总人数，可判断BC ．【详解】解：假设甲地最多一天疑似病例超过7人，甲地中位数为2，说明有一天疑似病例小于2，极差会超过5，∴甲地每天疑似病例不会超过7，∴选A ．根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由此不能断定一定没有发生大规模群体感染，∴不选BC ；假设丁地最多一天疑似病例超过7人，丁地总体平均数为2，说明极差会超过3，∴丁地每天疑似病例不会超过7，∴选D ．故选：AD ．11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-B.勒洛四面体被平面ABC 截得的截面面积是(2π-C.勒洛四面体表面上交线AC 的长度为2π3D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项：求出正四面体ABCD 的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B 选项，作出截面图形，求出截面面积；C 选项，根据对称性得到交线AC 所在圆的圆心和半径，求出长度；D 选项，作出正四面体对棱中点连线，在C 选项的基础上求出长度.【详解】A 选项，先求解出正四面体ABCD 的外接球，如图所示：取CD 的中点G ，连接,BG AG ，过点A 作AF BG ⊥于点F ，则F 为等边ABC V 的中心，外接球球心为O ，连接OB ，则,OA OB 为外接球半径，设OA OB R ==，由正四面体的棱长为2，则1CG DG ==，BG AG ==133FG BG ==，233BF BG ==3AF ===，3OF AF R R =-=-，由勾股定理得：222OF BF OB +=，即22233R R ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2R =，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ，连接BO 交平面ACD 于点E ，交 AD 于点F ，其中 AD 与ABD △共面，其中BO 即为正四面体外接球半径2R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则22r OF BF BO ==-=-，故A 正确；B 选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：面积为(2221π333322222344⎛⎫⨯⨯⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭⎝，B 正确；C 选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线AC 所在圆的圆心为BD 的中点M ，故3MA MC ==2AC =，由余弦定理得：2221cos 23233AM MC AC AMC AM MC +-∠===⋅⨯⨯，故1arccos3AMC ∠=3AC 133，C 错误；D 选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：连接GH ，交AB 于中点S ，交CD 于中点T ，连接AT ，则22312ST AT AS =-=-=则由C 选项的分析知：3TG SH ==，所以323322GH =+=，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为232a a ⎫->⎪⎪⎭，②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60︒的扇形弧长之和，其圆心角为1arccos 3，半径为32a .三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中的A 型号产品有15件，那么样本容量n 为________．【答案】70【解析】【分析】利用分层抽样的定义得到方程，求出70n =.【详解】由题意得315347n=++，解得70n =.故答案为：7013.平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD =BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.【答案】3π【解析】【分析】根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积.【详解】因为平面A′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ，所以BA ⊥AC ，所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形，由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，所以BC 的中点就是球心，所以BC =2所以球的表面积为：242π⋅=3π.故答案为：3π.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.14.若一组样本数据12,,n x x x 的平均数为10，另一组样本数据1224,24,,24n x x x +++ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是__________.【答案】54【解析】【分析】计算出1n ii x =∑、21nii x=∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的方差.【详解】由题意可知，数据12,n x x x 的平均数为10，所以12)101(n x x x x n =+++= ，则110ni i x n ==∑，所以数据1224,24,,24n x x x +++ 的平均数为121(242424)210424n x x x x n'=++++++=⨯+= ，方差为()(()222221111444[24241010n n n i i i i i i s x x x x n n n n n ===⎤⎡⎤=+-+=-=-⨯⨯⎦⎣⎦∑∑∑2144008n i i x n ==-=∑，所以21102nii xn ==∑，将两组数据合并后，得到新数据1212,24,24,,24,n n x x x x x x +++ ，，则其平均数为11114)4)11113]4)[(2(3(222n i nn n i i i i i i i x x x x x n n n ====''=+=⨯+=⨯++∑∑∑∑()13104172=⨯⨯+=，方差为()()2222111111172417(586458)22n n n ni i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤=-++-=-+⎢⎥⎣⎦'∑∑∑∑1(51028610458)542n n n n=⨯-⨯+=.故答案为：54.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4.（1）从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;（2）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.【答案】（1）23（2）是公平的，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式即可求解;（2）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较即可求解.【小问1详解】试验的样本空间{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}Ω=，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B ，则B 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，所以42().63P B ==【小问2详解】试验的样本空间Ω{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}=，共有16个，设标号和为奇数为事件C ，事件C 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8个,故所求概率为81()162P C ==,即甲胜的概率为12，则乙胜的概率为12,所以甲、乙获胜的概率是公平的.16.（1）请利用已经学过的方差公式：()2211ni i s x xn ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x x n ==-∑；（2）如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 相互独立吗？请给予证明.【答案】（1）证明见解析；（2）独立，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，对方差公式恒等变形，分析可得结论；（2）根据相互独立事件的定义，只需证明()()()P AB P A P B =即可.【详解】（1）()()()()2222212111n i n i s x xx x x x x x n n =⎡⎤=-=-+-++-⎢⎥⎣⎦∑ ()()2222121212n n x x x x x x x nx n ⎡⎤=+++-+++⎢⎥⎣⎦ ()22221212n x x x x nx nx n ⎡⎤=+++-⨯+⎢⎥⎣⎦ ()222121n x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦ 2211n i i x x n ==-∑；（2）因为事件A 与B 相互独立，所以()()()P AB P A P B =，因为()()()P AB P AB P A +=，所以()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B =-=-()()()()()1P A P B P A P B =-=，所以事件A 与B 相互独立.17.如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 的中点，二面角D PN C --的正切值为2.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）证明：DM PC⊥（3）求直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值.【答案】（1）3（2）证明见解析（3）35【解析】【分析】（1）先证明DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，可得底面ABCD 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可；（2）利用线面垂直的判定定理证明DM ⊥平面PNC ，即可证明DM PC ⊥；（3）由DM⊥平面PNC 可得MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角，计算其正弦值即可.【小问1详解】解：∵PAD △是边长为2的正三角形，N 为AD 中点，∴PN AD ^，PN =又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =∴PN ^平面ABCD又NC ⊂平面ABCD ，∴PN NC ⊥∴DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，∴tan 2DC DNC DN∠==又1DN =，∴2DC =∴底面ABCD 为正方形.∴四棱P ABCD -的体积12233V =⨯⨯=.【小问2详解】证明：由（1）知，PN ^平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，∴PN DM⊥在正方形ABCD 中，易知DAM CDN ≌△△∴ADM DCN ∠=∠而90ADM MDC ∠+∠=︒，∴90DCN MDC ∠+∠=︒∴DM CN ⊥∵PN CN N = ，∴DM ⊥平面PNC∵PC ⊂平面PNC ，∴DM PC ⊥.【小问3详解】设DM CN O ⋂=，连接PO ，MN .∵DM⊥平面PNC .∴MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角∵2,1AD AM ==，∴DM =5DO ==∴55MO ==又MN =PM ==∴35sin 5MO MPO PM ∠===∴直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值为35.18.某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖A ，B ，C 三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：kW h ⋅），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.（1）求m 的值；（2）若去年小明家的月均用电量为234kW h ⋅，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？（3）通过进一步计算抽样的样本数据，得到A 区样本数据的均值为213，方差为24.2；B 区样本数据的均值为223，方差为12.3；C 区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）【答案】（1）0.016m =（2）不正确（3）78.26【解析】【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解；（2）求出85%分位数后判断即可；（3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.【小问1详解】根据频率和为1，可知()0.0090.0220.0250.028101m ++++⨯=，可得0.016m =.【小问2详解】由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，因为()0.0280.0220.025100.75++⨯=，()0.0280.0220.0250.016100.91+++⨯=，所以85%分位数位于[)230,240内，从而85%分位数为0.850.7523010236.252340.910.75-+⨯=>-.所以小明的估计不正确.【小问3详解】由题意，A 区的样本数为1000.440⨯=，样本记为1x ，2x ，L ，40x ，平均数记为x ；B 区的样本数1000.440⨯=，样本记为1y ，2y ，L ，40y ，平均数记为y ；C 区样本数为1000.220⨯=，样本记为1z ，2z ，L ，20z ，平均数记为z .记抽取的样本均值为ω，0.42130.42230.2233221ω=⨯+⨯+⨯=.设该市第二档用户的月均用电量方差为2s ，则根据方差定义，总体样本方差为()()()40402022221111100i j k i i i s x y z ωωω===⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()()4040202221111100i j k i i i x x x y y y z z z ωωω===⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑因为()4010ii x x =-=∑，所以()()()()404011220iii i x x x x x x ωω==--=--=∑∑，同理()()()()404011220jji i yyy y yy ωω==--=--=∑∑，()()()()202011220kki i zz z z zz ωω==--=--=∑∑，因此()()()()4040404022222111111100100i j i i i i s x x x y y y ωω====⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()202022111100k i i z z z ω==⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑，代入数据得()()222114024.2402132214012.340223221100100s ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦=⨯+⨯-+⨯-⎣+⨯()212038.32023322178.26100⎡⎤+⨯+⨯-=⎣⎦.19.在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B ，C ，D 三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A ，B ，C ，D 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是13，每场比赛的结果相互独立.（1）求A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；（2）已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A 球队胜2场，负1场，求A 球队最终小组出线的概率.【答案】（1）427（2）7981【解析】【分析】（1）分类讨论只积3分的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）由题意，若A 球队参与的3场比赛中胜2场，负1场，根据获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论结合独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况.第一种情况：A 球队在3场比赛中都是平局，其概率为111133327⨯⨯=.第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为11113 3339⨯⨯⨯=.故所求概率为114 27927+=.【小问2详解】不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，A胜；A与D比赛，A胜.此情况下，A积6分，B积3分，C，D各积0分.在剩下的3场比赛中：若C与D比赛平局，则C，D每队最多只能加4分，此时C，D的积分都低于A的积分，A可以出线；若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A，A可以出线；若B与D比赛平局，同理可得A可以出线.故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线.若剩下的3场比赛中没有平局，则当B，C，D各赢1场比赛时，A可以出线.当B，C，D中有一支队伍胜2场时，若C胜2场，B胜1场，A，B，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=；若D胜2场，B胜1场，A，B，D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=.其他情况A均可以出线.综上，A球队最终小组出线的概率为1179 1818181⎛⎫-+=⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于分类讨论获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，讨论要恰当划分，做到不重不漏，从而即可顺利得解.。

2024-2025学年吉林省长春市高二上学期第一次月考数学检测试题(含解析)

2024-2025学年吉林省长春市高二上学期第一次月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．在空间直角坐标系中，已知点，点则（）Oxyz ()1,3,5P ()1,3,5Q --A ．点和点关于轴对称B ．点和点关于轴对称P Q x P Q y C ．点和点关于轴对称D ．点和点关于原点中心对称P Q z P Q 2．向量，若，则（）()()2,1,3,1,2,9a x b y ==- a ∥b A ．B ．1x y ==11,22x y ==-C ．D ．13,62x y ==-12,63x y =-=3．直三棱柱中，若，则（）111ABC A B C -1,,CA a CB b CC c === 1A B =A ．B ．a b c +-r r ra b c -+r r rC ．D ．a b c -++ a b c -+- 4．下列可使非零向量构成空间的一组基底的条件是（）,,a b c A ．两两垂直B ．,,a b c b cλ= C ．D ．a mb nc =+a b c ++=5．已知，则直线恒过定点（）2b a c =+0ax by c ++=A ．B ．(1,2)-(1,2)C ．D ．(1,2)-(1,2)--6．已知：，：，则两圆的位1C 2222416160x y x y +++-=2C 22228840x y x y ++--=置关系为（）A ．相切B ．外离C ．相交D ．内含7．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且P 22:11612x y C +=l 22:430M x y x +-+= 与交于两点，则的取值范围是（）M ,A B PA PB ⋅A ．B ．C ．D ．[]3,35[]2,34[]2,36[]4,368．已知圆和圆交于两点，点在圆221:2470C x y x y +---=222:(3)(1)12C x y +++=P 上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（）1C Q 2C A ．圆和圆关于直线对称1C 2C 8650x y +-=B ．圆和圆的公共弦长为1C 2CC ．的取值范围为PQ0,5⎡+⎣D ．若为直线上的动点，则的最小值为M 80-+=x y PM MQ+-二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，，则下列正确的是（）()1,2,0a =-()2,4,0b =-A ．B ．//a ba b⊥ C ．D ．在方向上的投影向量为2b a = a b ()1,2,0-10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（）A ．B ．点到直线的距离是122CQ AB AD AA =--+1C CQ C ．D ．异面直线与所成角的正切值为43CQ = CQ BD 11．已知实数满足方程，则下列说法正确的是（）,x y 22410x y x +-+=A ．的最大值为B ．的最大值为y x -2-22x y +7+C ．的最大值为D ．的最小值为y x x y+2三、填空题（本大题共3小题）12．O 为空间任意一点，若，若ABCP 四点共面，则3148OP OA OB tOC=++ t =．13．已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则()2,0A -()2,0B P AP BP 34-动点的轨迹方程为．P 14．已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆P 221:(5)4C x y -+=P 的两条切线，切点分别为，直线222:2C x y ax +-220(25)a a a +-+=<<,PM PN M N 、分别交轴于两点，则，．,PM PN x (1,0),(4,0)A B ||||PA PB =||MN =四、解答题（本大题共5小题）15．分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的离心率为，短轴长为23e =(2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程.C 2212x y +=31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭C 16．已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上．C ()()1,4,3,6A B C 340x y -=(1)求圆的方程；C (2)已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的一般式方程．l ()1,1l C l 17．如图，四边形与四边形均为等腰梯形，ABCD ADEF，，，，，平面，//BC AD //EF AD 4=AD AB =2BC EF ==AF =FB ⊥ABCD 为上一点，且，连接、、M AD FM AD ⊥BD BE BM(1)证明：平面；⊥BC BFM (2)求平面与平面的夹角的余弦值.ABF DBE18．已知圆与圆内切．()222:0O x y r r +=>22:220E x y x y +--=(1)求的值．r (2)直线与圆交于两点，若，求的值；:1l y kx =+O ,M N 7OM ON ⋅=-k (3)过点作倾斜角互补的两条直线分别与圆相交，所得的弦为和，若E O AB CD ，求实数的最大值．AB CDλ=λ19．已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫a bO OA a = OB b = AOB ∠做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向a b ,a ba b a b ⨯ 量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面a b sin ,a b a b a b ⨯=⋅ P ABCD -为矩形，底面，，为上一点，.ABCD PD ⊥ABCD 4DP DA ==E AD AD BP ⨯=(1)求的长；AB (2)若为的中点，求二面角的余弦值；E AD P EB A --(3)若为上一点，且满足，求.M PB AD BP EM λ⨯=λ答案1．【正确答案】B【详解】由题得点与点的横坐标与竖坐标互为相反数，纵坐标相同，P Q 所以点和点关于轴对称,P Q y 故选：B.2．【正确答案】C【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值.,x y ,x y 【详解】因为，所以，由题意可得，a b ∥a b λ=()()()2,1,31,2,9,2,9x y y λλλλ=-=-所以则.2,12,39,x y λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩131632x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩故选C.【思路导引】根据题目条件列出关于的方程组，解方程组即可得到答案.a∥b ,x y 3．【正确答案】D【详解】.()11111A A B B a b B A B cCC C CB =+=-+=-+--+ 故选：D ．4．【正确答案】A【详解】由基底定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底.,,a b c对于A ，因为非零向量两两垂直，所以非零向量不共面，可构成空间的一,,a b c ,,a b c 组基底，故A 正确；对于B ，，则共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以b c λ=,b c 与共面，故B 错误；a,b c 对于C ，由共面定理可知非零向量共面，故C 错误；,,a b c 对于D ，即，故由共面定理可知非零向量共面，故D 错误.0a b c ++= a b c =--,,a b c 故选：A.5．【正确答案】A【分析】由题意可得，可得定点坐标.(1)(2)0a x b y -++=【详解】因为，所以，2b a c =+2c b a =-由，可得，所以，0ax by c ++=(2)0ax by b a ++-=(1)(2)0a x b y -++=当时，所以对为任意实数均成立,1,2x y ==-(11)(22)0a b -+-+=,a b 故直线过定点.(1,2)-故选A.6．【正确答案】C 【详解】因为可化为22221:22416160,2880C x y x y x y x y +++-=+++-= ,则，半径，()()221425x y +++=()11,4C --15r =因为可化为，22222:228840,4420C x y x y x y x y ++--=++--= ()()222210x y ++-=则，半径()22,2C -2r =则，因为.1C =122155r r r r -=<<+=+故选：C.7．【正确答案】A【详解】，即，22:430M x y x +-+= ()2221x y -+=则圆心，半径为.(2,0)M 1椭圆方程，,22:11612x y C +=2216,12a b ==则，22216124,2c a b c =-=-==则圆心为椭圆的焦点，(2,0)M 由题意的圆的直径，且AB 2AB = 如图，连接，由题意知为中点，则，PM M AB MA MB =-可得()()()()PA PB PM MA PM MB PM MB PM MB ⋅=+⋅+=-+ .2221PM MB PM =-=- 点为椭圆上任意一点，P 22:11612x y C +=则，，min 2PM a c =-= max 6PM a c =+= 由，26PM ≤≤ 得.21PA PB PM ⋅=- []3,35∈故选：A.8．【正确答案】D【详解】对于A ，和圆，221:2470C x y x y +---=222:(3)(1)12C x y +++=圆心和半径分别是，()()12121,2,3,1,C C R R --==则两圆心中点为，11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线，1C 2C 8650x y +-=12C C 但两圆心中点不在直线上，故A 错误；11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭8650x y +-=对于B ，到直线的距离，1C 8650x y ++=81255102d ++==故公共弦长为，B错误；=对于C ，圆心距为，当点和重合时，的值最小，5=P QPQ当四点共线时，的值最大为12,,,P Q C CPQ 5+故的取值范围为，C 错误；PQ0,5⎡+⎣对于D ，如图，设关于直线对称点为，1C 80-+=x y (),A m n则解得即关于直线对称点为，21,11280,22n mm n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩6,9,m n =-⎧⎨=⎩1C 80-+=x y ()6,9A -连接交直线于点，此时最小，2AC M PM MQ +122PM MQ MC MC C A +≥+-=-==即的最小值为，D 正确.PM MQ+故选：D.9．【正确答案】ACD【详解】ABC 选项，由题意得，故且，AC 正确，B 错误；2b a= //a b2b a= D 选项，在，Da b ()01,2,=-正确.故选：ACD10．【正确答案】ABC 【详解】依题意得，12CQ CB BQ AD BA =+=-+()11222AD AA AB AB AD AA =-+-=--+ 故A 正确；如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，1A 111(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,1),(1,1,1),B C D Q C E -------，(1,1,1),(0,1,1),(1,0,1)G B D -----对于BC ，，1(1,2,1),(1,2,2)QC CQ =--=-所以，设，3CQ==173QC CQ m CQ ⋅==- 则点到直线的距离BC 正确；1C CQd ==对于D ，因为，(1,2,2),(1,1,0)CQ BD ---==所以cos ,CQ BD 〈〉==tan ,CQ BD 〈〉= 所以异面直线与所成角的正切值为D 错误．CQ BD 故选：ABC ．11．【正确答案】ABD【详解】根据题意，方程，即，22410x y x +-+=22(2)3x y -+=表示圆心为，半径为(2,0)对于A ，设，即，y x z -=0x y z -+=直线与圆有公共点，0x y z -+=22(2)3x y -+=所以≤22z ≤≤则的最大值为，故A 正确；z y x =-2-对于B ，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离，t =22(2)3x y -+=所以的最大值为，t 2故的最大值为B 正确；22x y +22(27t ==+对于C ，设，则，直线与圆有公共点，yk x =0kx y -=0kx y -=22(2)3x y -+=则，解得的最大值为C 错误；≤k ≤≤yx 对于D ，设，作出图象为正方形，作出圆，如图，m x y=+22(2)3x y -+=由图象可知，正方形与圆有公共点A 时，有最小值m 2即的最小值为，故D 正确；x y+2故选：ABD12．【正确答案】/0.12518【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共OP xOA yOB zOC =++ A B C 线，若、、、四点共面，则，A B C P 1x y z ++=因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面，O 3148OP OA OB tOC=++ A B C P所以，，解得.31148t ++=18t =故答案为.1813．【正确答案】221(2)43x y x +=≠±【详解】设动点的坐标为，又，，P (,)x y ()2,0A -()2,0B 所以的斜率，的斜率，AP (2)2AP y k x x =≠-+BP (2)2BP yk x x =≠-由题意可得，3(2)224y y x x x ⨯=-≠±+-化简，得点的轨迹方程为.P 221(2)43x y x +=≠±故221(2)43x y x +=≠±14．【正确答案】 2,【详解】圆的标准方程为，圆心，2C 22()2(2)x a y a a -+=->()2,0C a 则为的角平分线，所以．2PC APB ∠22AC PA BC PB=设，则，()00,P x y ()22054x y -+=所以，则，2PAPB===222AC BC =即，解得，则，()124a a -=-3a =222:(3)1C x y -+=所以点与重合，N ()4,0B 此时，可得，221,30C M MAC =∠=52M ⎛ ⎝．故；215．【正确答案】(1)或；22114480x y +=22114480y x +=(2).22143x y +=【详解】（1）由题得，222212328c a a b b a b c c ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎪⎩所以椭圆的标准方程为或.22114480x y +=22114480y x +=（2）椭圆满足，故该椭圆焦点坐标为，2212x y +=1c ==()1,0±因为椭圆与有相同的焦点，且经过点，C 2212x y +=31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以可设椭圆方程为，且，解得，C 22221x y a b +=22222231211ab a b ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭+=⎨⎪⎪=+⎩4241740a a -+=故，解得（舍去）或，故.()()224140aa --=214a =24a =2213b a =-=所以椭圆的标准方程为.C 22143x y +=16．【正确答案】(1)()()224310x y -+-=(2)或10x -=512170x y +-=【详解】（1）由题意，则的中点为，且，()()1,4,3,6A B AB (2,5)64131AB k -==-故线段中垂线的斜率为，AB 1-则中垂线的方程为，即，5(2)y x -=--70x y +-=联立，解得，即圆心，34070x y x y -=⎧⎨+-=⎩43x y =⎧⎨=⎩()4,3C 则半径r CA ===故圆的方程为.C ()()224310x y -+-=（2）当直线斜率不存在时，直线的方程为，l 1x =圆心到直线的距离为，由半径，(4,3)C 3r =则直线截圆所得的弦长，满足题意；l C 2=当直线斜率存在时，设直线方程为，l l 1(x 1)y k -=-化为一般式得，10kx y k -+-=由直线截圆所得的弦长，半径.l C 2r =1则圆心到直线的距离，又圆心，3d ==(4,3)由点到直线的距离公式得，3d 解得，故直线方程为，512k =-l 51(1)12y x -=--化为一般式方程为.512170x y +-=综上所述，直线的方程为或.l 10x -=512170x y +-=17．【正确答案】(1)证明见详解；【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可；（2）作，垂足为，根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，EN AD ⊥N 利用勾股定理，因此可以以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空BM BC BF x y z 间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为平面，又平面，FB ⊥ABCD AD ⊂ABCD 所以.又，且，FB AD ⊥FM AD ⊥FB FM F ⋂=所以平面.因为，所以平面.AD ⊥BFM //BC AD ⊥BC BFM （2）作，垂足为.则.又，EN AD ⊥N //FM EN //EF AD 所以四边形是平行四边形，又，FMNE EN AD ⊥所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形，且，，FMNE ADEF 4=AD 2EF =所以.1AM =由（1）知平面，所以.又，AD ⊥BFM BM AD⊥AB =所以.在中，1BM =Rt AFMFM ==在中，.Rt FMB 3FB ==所以由上可知，能以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间BM BC BF x y z 直角坐标系.则，，，，，所以，，(1,1,0)A --(0,0,0)B (0,0,3)F (1,3,0)D -(0,2,3)E (1,1,0)AB =，，，设平面的法向量为，(0,0,3)BF = (1,3,0)BD =- (0,2,3)BE =ABF ()111,,m x y z = 由，得可取.00m AB m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 1110,0,x y z +=⎧⎨=⎩(1,1,0)m =- 设平面的法向量为，BDE ()222,,n x y z =由，得，可取.00n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222230,230,x y y z -+=⎧⎨-+=⎩(9,3,2)n = 因此，.cos ,m n m n m n ⋅===依题意可知，平面与平面的夹角的余弦值为ABFDBE 18．【正确答案】(1)r =(2)；1k =±(3)max λ=【详解】（1）由题意得，，O (0,0)()()2222220112x y x y x y +--=⇒-+-=故圆心，圆E 的半径为()1,1E 因为，故在圆E 上，()()2201012-+-=O (0,0)所以圆O 的半径，且r >OE r ==r =（2）由（1）知，联立，22:8O x y +=()2222812701x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩设，则恒成立，()()1122,,,M x y N x y ()22Δ42810k k =++>且，12122227,11k x x x x k k +=-=-++所以，()2222121212222721811111k k k y y k x x k x x k k k -=+++=--+=+++所以，解得.221212222718681711O k k x x y O y k k k M N ⋅=---+=-+==+++-1k =±（3）如图，因为直线和直线倾斜角互补，AB CD所以当直线斜率不存在时，此时直线的斜率也不存在，AB CD 此时，，AB CD=1AB CDλ==当直线的斜率为0时，直线的斜率为0，不满足倾斜角互补，AB CD 当直线斜率存在且不为0时，设直线即，AB ():11AB y k x -=-10kx y k --+=圆心O 到直线的距离为AB d故AB ===由直线方程得直线的方程为即，AB CD ()11y k x -=--10kx y k +--=同理得CD =则，AB CD λ====当，，0k>AB CDλ====因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，()1f x x x =+(0,1)(1,+∞)所以时，，0x >()())[)1,2,f x f ∞∞⎡∈+=+⎣所以时，故，0k >[)17212,k k ∞⎛⎫+-∈+ ⎪⎝⎭4411,1372k k ⎛⎤+∈ ⎥⎛⎫⎝⎦+- ⎪⎝⎭所以，λ⎛= ⎝当，0k <AB CDλ====由上知时，故，0k <()[)17216,k k ∞⎡⎤⎛⎫-+-+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()431,14172k k ⎡⎫-∈⎪⎢⎡⎤⎛⎫⎣⎭-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以.λ⎫=⎪⎪⎭综上，max λ=19．【正确答案】(1)2(2)13-(3)10【分析】（1）首先说明为直线与所成的角，即，设PBC ∠AD PB ,AD BP PBC=∠，根据所给定义得到方程，解得即可；()0AB x x =>（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，为二ABCD D DF BE ⊥BE F PF PFD ∠面角的平面角，由锐角三角函数求出，设二面角的平面P EB D --cos PFD ∠P EB A --角为，则，利用诱导公式计算可得；θπPFD θ=-∠（3）依题意可得平面，在平面内过点作，垂足为，即EM ⊥PBC PDC D DN PC ⊥N 可证明平面，在平面内过点作交于点，在上取点DN ⊥PBC PBC N //MN BC PB M DA，使得，连接，即可得到四边形为平行四边形，求出，即E DE MN =EM DEMN DN可得解.【详解】（1）因为底面为矩形，底面，ABCD PD ⊥ABCD 所以，，又底面，所以，//AD BC BC DC ⊥BC ⊂ABCD PD BC ⊥又，平面，所以平面，PD DC D = ,PD DC ⊂PDC BC ⊥PDC 又平面，所以，PC ⊂PDC BC PC ⊥所以为直线与所成的角，即，PBC ∠AD PB ,AD BP PBC=∠设，则，()0AB x x =>PC ==PB ==在中Rt PBC s n i PCPBC PB ∠==又，解得（负值已舍去），AD BP ⨯==2x =所以；2AB =（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，ABCD D DF BE ⊥BE F PF 因为底面，底面，所以，又，PD ⊥ABCD BF ⊂ABCD PD BF ⊥DF PD D = 平面，所以平面，又平面，所以，,DF PD ⊂PDF BF ⊥PDF PF ⊂PDF BF PF ⊥所以为二面角的平面角，PFD ∠P EB D --因为为的中点，E AD所以π2sin4DF ==PF ==所以，1cos 3DF PFD PF ∠===设二面角的平面角为，则，P EB A --θπPFD θ=-∠所以，()1cos cos πcos 3PFD PFD θ=-∠=-∠=-即二面角的余弦值为；P EB A --13-（3）依题意，，又，()AD BP AD⨯⊥ ()AD BP BP⨯⊥ AD BP EM λ⨯= 所以，，又，所以，EM AD ⊥EM BP ⊥//AD BC EM BC ⊥又，平面，所以平面，PB BC B = ,PB BC ⊂PBC EM ⊥PBC 在平面内过点作，垂足为，PDC D DN PC ⊥N 由平面，平面，所以，BC ⊥PDC DN ⊂PDC BC DN ⊥又，平面，所以平面，PC BC C = ,PC BC ⊂PBC DN ⊥PBC 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接PBC N //MN BC PB M DA E DE MN =，EM 所以且，所以四边形为平行四边形，//DE MN DE MN =DEMN 所以，又，即EM DN =DN ==EM=所以.10AD BP EMλ⨯===【关键点拨】本题关键是理解并应用所给定义，第三问关键是转化为求.DN。

山东省青岛市青岛第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题(无答案)

青岛二中2024-2025学年第一学期10月份阶段练习一高二数学试题时间：90分钟满分：120分一、选择题：本题共8小题；每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量，，且，则（）A.-16B.16C.4D.-42.已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（）A. B.C. D.3.已知空间向量，，若与垂直，则等于（）4.设，为两个随机事件，以下命题正确的为（）A.若，是对立事件，则B.若，是互斥事件，，，则C.若，，且，则，是独立事件D.若，是独立事件，，，则5.已知点关于直线-对称的点在圆上，则（）A.4B.5C.-4D.-56.连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（）A.B.CD.7.边长为1的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为（）()1,3,5a =-()2,,b x y = a b ∥x y -=()2,3A -()3,2B --()1,1P -AB 32,,43⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭][43,,32⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭34,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦43,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()1,,2a n = ()2,1,2b =- 3a b - b aA B A B ()1P AB =A B ()13P A =()12P B =()16P A B +=()13P A =()12P B ≡()13P AB =A B A B ()13P A =()23P B =()19P A B ⋂=()0,1P -10x y -+=Q 22:50C x y mx +++=m =m n (),a m n =()1,1b =- θ0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦5121271256ABCD AC 14AD BC ⋅= D ABC -8.已知空间向量，，两两的夹角均为，且，.若向量，满足，，则的最大值是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是B.若样本数据，，，的平均数为2，则数据，，，的平均数为3C 一组数据，，，，，的分位数为6D.某班男生30人、女生20人，按照分层抽样的方法从该班共抽取10人答题.若男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为6.810.已知，若过定点的动直线和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（）A.B 点的坐标为B.为定值C.最大值为D.的最大值为11.在棱长为1的正方体中，，，，，，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（）A.线段的最小值为1C.对任意点，总存在点，使得D.存在点，使得直线与平面所成的角为三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.12.已知，，，若不能构成空间的一个基底，则_________.13.已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为_______.a b c 602a b == 4c = x y ()x x a x b ⋅+=⋅ ()y y a y c ⋅+=⋅ x y -1+1+261111x 2x ⋯10x 121x -221x -⋯1021x -43265860%m ∈R A 1:20l x my m -+-=B 2l 240mx y m ++-=P P A B ()2,4-22PA PB +PAB S △2522PA PB +1111ABCD A B C D -1BP xBB yBC =+ x ()0,1y ∈11A Q z A C = []0,1z ∈1A P 11A B 45 1A P 1A Q PQ +P Q 1D Q CP⊥P 1A P 11ADD A 60()11,0,1n =- ()2,3,2n m =- ()30,1,1n =- {}123,,n n nm =()3,43430x y --=14.在长方体中，已知异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为_______.15.平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，，光线从边上一点沿与轴正方向成角的方向发射到边上的点，被反射到上的点，再被反射到上的点，最后被反射到轴上的点，若，则的取值范围是_______.四、解答题：本题共3小题，共42分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本题满分10分）已知直线，，且满足，垂足为.（I ）求的值及点的坐标.（II ）设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的外接圆方程.17.（本题满分15分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，，，则译码为1，若依次收到，，，则译码为1）.（I ）已知，，（1）若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；（2）若采用单次传输方案，依次发送，，，判断事件“第三次收到的信号为”与事件“三次收到的数字之和为2”是否相互独立，并说明理由；（II ）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率不大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围.18.（本题满分17分）1111ABCD A B C D -1AC 11B C 1AC 11C D 6045 E 1CC E 1A BC ()0,0O ()8,0A ()8,6B ()0,6C OA ()04,0P x θAB 1P AB BC 2P BC OC 3P OC x ()4,0P t ()4,6t ∈tan θ()1:220l x m y +-=2:220l mx y +-=12l l ⊥C m C 1l x A 2l x B ABC △()1101p p <<11p -1()2201p p <<21p -101111134p =223p =00112p如图，四面体中，为等边三角形，且，为等腰直角三角形，且.第（I ）问图（I ）当时，（1）求二面角的正弦值；第（II ）问图（2）当为线段中点时，求直线与平面所成角正弦值；（II ）当时，若，且平面，为垂足，中点为，中点为；直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的值.ABCD ABC △2AB =ADC △90ADC ∠= BD =D AC B --P BD AD APC 2BD =()01DP DB λλ=<<PH ⊥ABC H CD M AB N MN APC G P ACH -MGGN。

四川省德阳2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题含答案

德阳高2023级2024年秋季第一学月考试数学试题（答案在最后）考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试时间：120分钟；命题人：高二数学组注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1.已知集合{}2,0,1,3A =-，{}0,2,3B =，则A B = （）A.{}2,1- B.{}2,1,2- C.{}0,3 D.{}2,0,1,2,3-【答案】C 【解析】【分析】运用交集性质即可得.【详解】由{}2,0,1,3A =-，{}0,2,3B =，则{}0,3A B ⋂=.故选：C.2.2(2i)4z =+-在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.【详解】2(2i)414i z =+-=-+，则z 在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B.3.某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（）A.5、10、15B.3、9、18C.3、10、17D.5、9、16【答案】B 【解析】【分析】利用分层抽样的定义求出对应人数，得到答案.【详解】抽取的高级职称人数为15303150⨯=，中级职称人数为45309150⨯=，一般职员的人数为903018150⨯=，故抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为3、9、18.故选：B4.已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（）A .6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】借助百分位数定义计算即可得.【详解】由60.53⨯=，故这组数据的中位数为7982+=.故选：C.5.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A.13B.23C.12D.25【答案】D 【解析】【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】任取2个不同数可能有(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)，共10种情况，其中和为偶数的情况有(1,3)、(1,5)、(2,4)、(3,5)，共4种情况，所以取到的2个数之和为偶数的概率为42105=.故选：D6.已知空间中非零向量a ，b ，且1a = ，2b = ， 60a b =,，则2a b - 的值为（）A.1B.C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据向量的模长公式即可求解.【详解】因为2222222(2)4444cos a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=- ,14412442=-⨯⨯⨯+=，所以22a b -= ．故选:C7.已知空间向量()1,2,3m = ，空间向量n 满足//m n u r r 且7⋅=m n ，则n ＝（）A.13,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B.13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C.31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭ D.31,1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.【详解】∵()1,2,3m = ，且空间向量n满足//m n u r r ，∴可设(),2,3n m λλλλ==，又7⋅= m n ，∴1233147λλλλ⨯+⨯+⨯==，得12λ=．∴113,1,222n m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 正确.故选：A.8.已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1的距离为5，则直线1B D 与平面11AB D 所成角的余弦值为（）A.B.3710C.1010D.10【答案】A 【解析】【分析】先由等面积法求得1AA 的长，再以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -，运用线面角的向量求解方法可得答案．【详解】如图，连接11A C 交11B D 于O 点，过点C 作CH AO ⊥于H ，则CH ⊥平面11AB D，则5CH =，设1AA a =，则AO CO AC ===，则根据三角形面积得1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯，代入解得a =以1A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1A xyz -．则1111(2,0,0),(0,2,0),(0,2,2(2,0,A B D D AD AB =-=-，1(B D =- ，设平面11AB D 的法向量为(n x =，y ，)z ，则1100n AD n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令x =，得n =．11110cos ,10||||B D n B D n B D n ⋅〈〉==，所以直线1B D 与平面1111D C B A故选：A．二、多选题9.设,A B 是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（）A.若A 和B 互斥，则A 和B 一定相互独立B.若事件A B ⊆，则()()P A P B ≤C.若A 和B 相互独立，则A 和B 一定不互斥D.()()()P A B P A P B <+ 不一定成立【答案】BC 【解析】【分析】对于AC ：根据互斥事件和独立事件分析判断即可；对于B ：根据事件间关系分析判断即可；对于D ：举反例说明即可.【详解】由题意可知：()()0,0P A P B >>，对于选项A ：若A 和B 互斥，则()0P AB =，显然()()()P AB P A P B ≠，所以A 和B 一定不相互独立，故A 错误；对于选项B ：若事件A B ⊆，则()()P A P B ≤，故B 正确；对于选项C ：若A 和B 相互独立，则()()()0P AB P A P B =>，所以A 和B 一定不互斥，故C 正确；对于选项D ：因为()()()()P A B P A P B P AB =+- ，若A 和B 互斥，则()0P AB =，则()()()P A B P A P B =+ ，故D 错误；故选：BC.10.如图，点,,,,A B C M N 是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足//MN 平面ABC 的是（）A. B.C. D.【答案】ACD 【解析】【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行.【详解】对A ：如图：连接EF ，因为,M N 为正方体棱的中点，所以//MN EF ，又//EF AC ，所以//MN AC ，AC ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .故A 正确；对B ：如图：因为,,,,A B C M N 是正方体棱的中点，所以//MN GH ，//BC EF ，//GH EF ，所以//BC MN ，同理：//AB DN ，//AM CD .所以,,,,A B C M N 5点共面，所以//MN 平面ABC 不成立.故B 错误；对C ：如图：因为,B C 是正方体棱的中点，所以//BC EF ，//MN EF ，所以//BC MN .⊂BC 平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .故C 正确；对D ：如图：因为,.B C M 为正方体棱的中点，连接ME 交AC 于F ，连接BF ，则BF 为MNE 的中位线，所以//BF MN ，BF ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ，所以//MN 平面ABC .故D 正确.故选：ACD11.如图，在平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，60A ∠=︒，沿对角线BD 将△ABD 折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A.平面PCD ⊥平面PBDB.三棱锥P BCD -外接球的表面积为10πC.PD 与平面PBC 所成角的正弦值为34D.若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM 面积的最小值为217【答案】ACD 【解析】【分析】结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A,根据外接球的球心位置即可结合三角形的边角关系求解半径，可判断B,结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验CD ．【详解】BCD △中，1CD =，2BC =，60A ∠=︒，所以3BD =，故222BD CD BC +=，所以BD CD ⊥，因为平面PBD ⊥平面BCD ,且平面PBD 平面BCD BD =，又BD CD ⊥，CD ⊂平面BCD 所以CD ⊥平面PBD ，CD ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面BPD ，故A 正确；取BC 的中点为N ,PB 中点为Q ,过N 作12ON //PB,ON PB =,由平面PBD ⊥平面BCD ,且平面PBD 平面BCD BD =，又BD PB ⊥,PB ⊂平面PBD ,故PB ⊥平面BCD ,因此ON ⊥平面BCD ,由于BCD △为直角三角形，且N 为斜边中点，所以OB OC OD ==,又12ON //PB,ON PB =,所以QB ON ,BQ //ON =,因此OP OB =,因此O 为三棱锥P BCD -外接球的球心，且半径为2OB ==,故球的表面积为54π=5π4´，故B错误，以D为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则B 0，0)，(0C ，1，0)，P ，0，1)，因为(0BP = ，0，1)，(BC =，1，0)，)01DP ,= ,设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，所以0000z m BP y m BC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩，取x =)30m ,=所以cos ,4||||m DP m DP m DP⋅<>==，故PD 与平面PBC所成角的正弦值为4，故C 正确，因为M 在线段PD上，设M ，0，)a，则MB=，0，)a -，所以点M 到BC的距离d ==，当37a =时，d 取得最小值217，此时MBC ∆面积取得最小值12121277BC ⨯=，D 正确．故选：ACD．第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12.如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是14，从乙口袋中摸出一个红球的概率是13，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．【答案】112【解析】【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】从甲口袋中摸出一个红球的概率是14，从乙口袋中摸出一个红球的概率是13，现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率1114312P =⨯=．故答案为：112．13.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是11A B 的中点，则点A 到直线BE 的距离是__________．【答案】5【解析】【分析】以D 为原点，以1,,DA DC DD的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用点到直线的向量公式可得.【详解】以D 为原点，以1,,DA DC DD的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.则()()()2,0,0,2,2,0,2,1,2A B E ，所以()()0,2,0,0,1,2BA BE =-=-，记与BE同向的单位向量为u ，则5250,,55u ⎛=-⎝⎭，所以，点A 到直线BE 的距离455d ===.故答案为：514.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AB ==，点,E F 分别为,CD CP 的中点，点T 为PAB 内的一个动点（包括边界），若CT ∥平面AEF ，则点T 的轨迹的长度为__________.【答案】53153【解析】【分析】记AB 的中点为G ，点T 的轨迹与PB 交于点H ，则平面//CHG 平面AEF ，建立空间直角坐标系，利用CH垂直于平面AEF ，的法向量确定点H 的位置，利用向量即可得解.【详解】由题知，,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，记AB 的中点为G ，连接CG ，因为ABCD 为正方形，E 为CD 中点，所以//AG CE ，且AG CE =，所以AGCE 为平行四边形，所以//CG AE ，又CG ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以//CG 平面AEF ，记点T 的轨迹与PB 交于点H ，由题知//CH 平面AEF ，因为,CH CG 是平面CHG 内的相交直线，所以平面//CHG 平面AEF ，所以GH 即为点T 的轨迹，因为()()()()()()0,0,0,1,2,0,1,1,1,2,2,0,0,0,2,2,0,0A E F C P B ，所以()()()()2,0,2,2,2,2,1,2,0,1,1,1PB CP AE AF =-=--== ，设PH PB λ=，则()()()2,2,22,0,222,2,22CH CP PH CP PB λλλλ=+=+=--+-=--- ，设(),,n x y z =为平面AEF 的法向量，则200AE n x y AF n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1y =得()2,1,1n =- ，因为CH n ⊥ ，所以()2222220λλ---+-=，解得23λ=，则22,2,33CH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，又()1,2,0GC AE == 所以()22121,2,0,2,,0,3333GH GC CH ⎛⎫⎛⎫=+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以12145,0,33993GH ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：53【点睛】关键点睛：本题关键在于利用向量垂直确定点T 的轨迹与PB 的交点位置，然后利用向量运算求解即可.四、解答题15.《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间[)80,90和[]90,100的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件A =“两人的测试成绩分别位于[)80,90和[]90,100”，求()P A .【答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79；（2）()35P A =.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于[)80,90和[]90,100的人数，按照古典概型计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图可知测试成绩的平均数450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.测试成绩落在区间[)40,70的频率为()0.0040.0060.02100.3++⨯=，落在区间[)40,80的频率为()0.0040.0060.020.03100.6+++⨯=，所以设第57百分位数为a ，有()0.3700.030.57a +-⨯=，解得79a =；【小问2详解】由题知，测试分数位于区间[)80,90、[)90,100的人数之比为0.2430.162=，所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间[)80,90中3人，用1A ，2A ，3A 表示，在区间[)90,100中2人，用1B ，2B 表示，从这5人中抽取2人的所有可能情况有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31A B ，()32,A B ，()12,B B ，共10种，其中“分别落在区间[)80,90和[)90,100”有6种，所以()35P A =.16.在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得1B D ⊥平面ABD .（2）利用向量法证得平面//EGF 平面ABD .【小问1详解】以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)，1B D ＝(0,2，－2)，1B D ·BA ＝0，1B D ·BD ＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .【小问2详解】由(1)知，E (0,0,3)，G ,1,42a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F (0,1,4)，则EG uuu r ＝,1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，EF ＝(0,1,1)，1B D ·EG uuu r ＝0＋2－2＝0，1B D ·EF ＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF .结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .17.已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．【答案】（1）0.72（2）0.98【解析】【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式即可求出答案.（2）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式即可求得答案.【小问1详解】因为甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立，设事件A 表示甲命中，事件B 表示乙命中，则()0.8P A =,()0.9P B =所以甲、乙两人同时命中目标的概率()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=,【小问2详解】甲乙两人中至少有1人命中目标的对立事件是甲、乙都没击中目标，甲、乙都没击中目标的概率()()()()()10.810.90.02P AB P A P B ==--=,所以甲乙两人中至少有1人命中目标的概率为：()()110.020.98P A B P AB =-=-= 18.如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面圆周上，,AF DE F ⊥为垂足.（1）求证：AF DB ⊥.（2）当直线DE 与平面ABE 所成角的正切值为2时，①求平面EDC 与平面DCB 夹角的余弦值；②求点B 到平面CDE 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）①41919；②25719【解析】【分析】（1）利用线面垂直得到AF ⊥平面BED ，进而证明AF DB ⊥即可.（2）①建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法处理即可.②利用点到平面的距离公式求解即可.【小问1详解】由题意可知DA ⊥底面,ABE BE ⊂平面ABE ，故BE DA ⊥，又,,,BE AE AE DE E AE DE ⊥⋂=⊂平面AED ，故BE ⊥平面AED ，由AF ⊂平面AED ，得AF BE ⊥，又,,,AF DE BE DE E BE DE ⊥⋂=⊂平面BED ，故AF ⊥平面BED ，由DB ⊂平面BED ，可得AF DB ⊥.【小问2详解】①由题意，以A 为原点，分别以AB ，AD 所在直线为y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，并设AD 的长度为2，则(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A B C D ，因为DA ⊥平面ABE ，所以DEA ∠就是直线DE 与平面ABE 所成的角，所以tan 2DA DEA AE∠==，所以1AE =，所以31,,022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭由以上可得1(0,2,0),,,222DC DE ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面EDC 的法向量为(,,)n x y z = ，则0,0,n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,3120,22y x y z =⎧+-=⎪⎩取4x =，得n = .又(1,0,0)m = 是平面BCD 的一个法向量，设平面EDC 与平面DCB 夹角的大小为θ，所以cos cos ,19m n m n m n θ⋅==== ，所以平面EDC 与平面DCB 夹角的余弦值为41919.②因为33,,022BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以点B 到平面CDE的距离19BE n d n ⋅== .19.图1是直角梯形ABCD ，AB CD ∥，90D Ð=°，四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且60BCE ∠=︒，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C的位置，且1AC =，如图2.（1）求证：平面1BC E ⊥平面ABED ；（2）在棱1DC 上是否存在点P ，使得P 到平面1ABC 的距离为2155，若存在，则1DP PC 的值；（3）在（2）的前提下，求出直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解（2）存在，11DP PC =（3）155【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到AF ⊥BE ，1C F ⊥BE ，且123AF C F ==，由勾股定理逆定理求出AF ⊥1C F ，从而证明出线面垂直，面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求平面1ABC 的法向量，利用空间向量求解出点P 的坐标，（3）根据（2）可得31,322EP ⎛= ⎝uu r ，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】取BE 的中点F ，连接AF ，1C F，因为四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且60BCE ∠=︒，所以1,ABE BEC 均为等边三角形，故AF ⊥BE ，1C F ⊥BE，且1AF C F ==，因为1AC =，所以22211AF C F AC +=，由勾股定理逆定理得：AF ⊥1C F ，又因为AF BE F ⋂=，,AF BE ⊂平面ABE ，所以1C F ⊥平面ABED ，因为1C F ⊂平面1BEC ，所以平面1BC E ⊥平面ABED ；【小问2详解】以F 为坐标原点，FA 所在直线为x 轴，FB 所在直线为y 轴，1FC 所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()10,0,0,,0,2,0,0,0,,3,0,0,2,0F A B C D E --，设(),,P m n t ，1DP DC λ= ，[]0,1λ∈，即()(3,m n t λ+=，解得：,33,m n t λ==-=，故),33,P λ--，设平面1ABC 的法向量为(),,v x y z = ，则()(12,0,AB AC =-=-，则1200v AB y v AC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，则1y z ==，故()v = ，其中1,33,C P λ=--则15C P v d v⋅=== ，解得：12λ=或32（舍去），所以否存在点P ，使得P 到平面1ABC 的距离为2155，此时11DP PC =.【小问3详解】由（2）可得：()3331,0,2,0,2222EP ⎛⎛=---= ⎝⎝ ，设直线EP 与平面1ABC 所成角为θ，则15sin cos ,5EP v EP v EP v θ⋅===⋅，所以直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值为5.。

【人教版】高二数学上学期第一次月考试题(含答案)

高二上学期数学第一次月考试卷（满分150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知圆的方程为222610x y x y +--+=，那么圆心坐标为（）A．(1,3)--B．(1,3)-C．(1,3)D．(1,3)-2.某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,则最合适的抽样方法是()A.抽签法B.随机数法C.系统抽样D.分层抽样3．下列说法正确的是()A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是710B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报D．大量试验后，可以用频率近似估计概率4.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是()A.中位数B.平均数C.方差D.极差5.圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的位置关系是()A．相交B．相离C．内切D．外切6.把黑，红，白3张纸牌分给甲，乙，丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.必然事件7.圆422=+y x 与圆06222=-++y y x 的公共弦长为（）A.1B.2C.3D.328.已知变量x 和y 满足关系y=-0.1x+1,变量y 与z 负相关.下列结论中正确的是A.x 与y 负相关,x 与z 负相关B.x 与y 正相关,x 与z 正相关C.x 与y 正相关,x 与z 负相关D.x 与y 负相关,x 与z 正相关9.直线l:)(01)1(R k ky x k ∈=--+与圆C:1)1(22=-+y x 的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.相交或相切10.若圆(x-3)2+(y+5)2=r 2上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则半径r 的取值范围为()(A)(4,6)(B)[4,6)(C)(4,6](D)[4,6]11.某学校为了解1000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是()A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生12.当曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时,实数k 的取值范围是()(A))125,0((B)]43,31((C)]43,125((D)),125(+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高二上学期数学第一次月考试题

高二上学期数学第一次月考试题高二上学期数学第一次月考试题一、选择题（共30题，每题2分，共60分）1. 设函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，那么f(-1)的值为（）A. -2B. 0C. 2D. 42. 若函数y = x^2 - 4ax + 4a^2 - 1的图象与x轴相切，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 43. 已知函数y = ax^2 + bx + c的图象经过点(1, 1)和(2, 4)，则a, b, c 的值分别为（）A. 1, 1, -1B. 1, 2, -1C. 1, -1, 1D. 1, 1, 14. 已知函数y = ax^2 + bx + c的图象与x轴相切，且切点的横坐标为2，纵坐标为0，那么a, b, c的值分别为（）A. 1, 2, -2B. 2, -4, 4C. -1, 4, -4D. -2, 4, -45. 在△ABC中，已知∠C = 90°，AC = 5，AB = 12，那么BC的值为（）A. 5B. 13C. 17D. 256. 已知∠A = 60°，BC = 3，AC = 4，那么AB的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 67. 已知∠A = 30°，∠B = 60°，那么∠C的值为（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°8. 在△ABC中，∠A = 40°，∠B = 70°，那么∠C的值为（）A. 50°B. 70°C. 80°D. 90°9. 在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 60°，那么∠C的值为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°10. 在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 60°，AD ⊥ BC，那么∠ADC的值为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°11. 已知△ABC中，∠A = 30°，∠B = 60°，AD ⊥ BC，那么AD与BC的比值为（）A. 1:√3B. 1:2C. √3:2D. 2:√312. 线段AB的中点为M，线段AC的中点为N，若AM = 4，AN = 3，那么BC 的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 613. 在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 60°，D为BC上的点，且AD ⊥ BC，那么BD:DC的值为（）A. 1:2B. 1:√3C. 2:1D. √3:114. 已知△ABC中，∠A = 30°，∠B = 60°，AD ⊥ BC，那么AD:DB:DC的值为（）A. 1:√3:2B. 1:2:√3C. 1:√3:1D. 1:1:115. 若点A(x, y)到点B(3, 2)的距离为√10，且点A在直线x - y = 1上，则点A的坐标为（）A. (2, 1)B. (1, 2)C. (1, 3)D. (2, 2)二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）16. 若a + b = 3，ab = 2，那么a^2 + b^2的值为________。

福建省宁德市柘荣县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含解析)

2024—2025学年柘荣一中第一学期第一次月考（高二数学）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，已知，，则（）A.9B.12C.15D.182.已知数列为等比数列，，且，则的值为（）A.1或 B.1C.2或D.23.已知数列的前项和，，则（）A.20B.17C.18D.194.在等差数列中，若为其前项和，，则的值是（）A.60B.55C.50D.115.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（）尺A.B.C.D.6.各项不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（）A.2B.4C.8D.167.在数列中，若，，则（）A. B.1C.D.2.8.高斯（Gauss ）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（）A.2023B.4046C.2022D.4044二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.{}n a 53a =96a =13a ={}n a 12a =53a a =10a 1-2-{}n a 221n S n =+*n ∈N 5a ={}n a n S n 65a =11S 47162981545{}n a 23711220a a a -+={}n b 77b a =68b b ={}n a 11a =-()*112,N 1n n a n n a -=≥∈-10a =1-12123100++++ 1100101+=299101+=5051101+=501015050⨯=n {}n a 120231a a =24()1f x x=+()()()122023f a f a f a +++=9.（5分）已知等差数列满足，前3项和，等比数列满足，，的前项和为.则下列命题错误的是（）A.的通项公式为B.等差数列的前项和为C.等比数列的公比为D.10.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（）图（1）图（2）A. B. C. D.11.已知数列满足，，则（）A. B.数列是等差数列C. D.数列的前99项和小于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等差数列中，，则___________.13.已知等比数列满足，且，，成等差数列，则___________.14.若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，为公比和.已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则___________.四、解答题：（本题共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题13分）已知等差数列公差，且，，成等比数列，（1）求的通项公式；{}n a 32a =392S ={}n b 11b a =415b a ={}n b n n T {}n a 24n a n =-{}n a n 234n n nS +={}n b 1221n n T =-⋯{}n a {}n b 515a =520b =101045b a =+(1)2n n n a +={}n a 12a =1(1)(1)(2)2n n n na n a n n n +-+=++216a =n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭10102400a =2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2516{}n a 1359a a a ++=24a a +={}n a 4780a a -=1a 21a +3a 5a ={}n a 211n n n na a k a a ++++=k {}n a k {}n a 11a =22a =2202a ={}n a 2d =5a 6a 9a {}n a（2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.16.（本题15分）设是公比为正数的等比数列，，.（1）求的通项公式；（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.17.（本题15分）设是等差数列的前项和，已知，.（I ）求；（II ）若数列，求数列的前项和.18.（本题17分）已知数列的首项，且满足.（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求满足条件的最大正整数.19.（本题17分）已知数列的前项和为，，数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前项和；（3）若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围.{}n a n n S n S n {}n a 12a =324a a =+{}n a {}n b {}n n a b +n n S n S {}n a n 132a a +=-()*1575N S n =∈9S ()()1144n n n b a a +=++{}n b n n T {}n a 127a =()*1231n n n a a n a +=∈+N 13n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1231111100na a a a +++⋯+<n {}n a n n S ()*12N 2n n S a n =-∈{}n b 11b =120n n b b +-+={}n a {}n b n n n c a b =⋅{}n c n n T 0λ>n 222nnb k a λλ-+>k柘荣一中20242025学年第一学期第一次月考（高二数学）参考答案1. A在等差数列中，，，所以，所以，2.C设等比数列的公比为，因为，且，所以，解得，所以.故选：C.3.C因为数列的前项和，，所以.4.B因为在等差数列中，若为其前项和，，所以.故选：B.5.D设该妇子织布每天增加尺，由题意知，解得.故该女子织布每天增加尺.故选：D 6.D等差数列中，，故原式等价于解得或，各项不为0的等差数列，故得到，数列是等比数列，故.故选：D.7.A解：因为，，所以，，{}n a 53a =96a =95132a a a =+139522639a a a =-=⨯-={}n a q 12a =53a a =21q =1q =±91012a a q ==±{}n a 221n S n =+*N n ∈()()2255425124118a S S =-=⨯+-⨯+={}n a n S n 65a =()1111161111552a a S a +===d 2020192042322S d ⨯=⨯+=45d =45{}n a 31172a a a +=27740a a -=70a =74a ={}n a 774a b =={}n b 268716b b b ==11a =-()*112,N 1n n a n n a -=≥∈-2111111(1)2a a ===---321121112a a ===--，，所以数列是以3为周期的周期数列，所以.8.B解：选B 根据等比数列的下标性质由，函数，，令，则，，.9.AC【解答】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，，解得，，所以，故A 错误；，故B 正确；设等比数列的公比为，由，，可得，解得，故C 错误；，故D 正确.故选：AC.10.ACD【详解】依题意，，，AD 正确；，，B 错误；，，C 正确.故选：ACD 11.ACD解：A 选项，中得，，故，A 正确；413111112a a a ===-=--52411111(1)2a a a ====---{}n a 1033111a a a ⨯+===-12023202411n n a a a a -⋅=⇒⋅= 24()1f x x =+222214444()41111x f x f x x x x+⎛⎫∴+=+== ⎪++⎝⎭+()()()122023T f a f a f a =+++ ()()()202320231T f a f a f a =+++ ()()()()()()120232202220231242023T f a f a f a f a f a f a ∴=++++++=⨯ 4046T ∴={}n a d 32a =392S =122a d +=9332a d +=11a =12d =1n 11(1)22n a n +=+-=211n 3n(1)224n S n n n +=+-⨯={}n b q 111b a ==4158b a ==38q =2q =n122112n n T -==--(1)12342n n n a n +=+++++=55(51)152a +==2[1(21)]1357(21)2n n n b n n +-=+++++-== 525b =1010(101)552a +==1010100554545b a ==+=+1(1)(1)(2)2n n n na n a n n n +-+=++1n =21223212a a -=⨯⨯=216a =B 选项，变形得到，故数列不是等差数列，B 错误；C 选项，，……，，上面个式子相加得，设①，则②，式子①－②得，则，故，所以，故，C 正确；D 选项，由C 选项知，，则，所以为公比为2的等比数列，的前99项和为，D 正确.12.【详解】在等差数列中，，解得，所以.13.【解答】解：设等比数列的公比为，由，可得，解得，由，，成等差数列，可得，即为，解得，所以，故答案为：32.11(1)2(2)2(1)(2)1n n n n n n na n a a an n n n n n++-+=⇒-=+⋅+++n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2321232,422132a a a a -=⨯-=⨯11(1)21n n n a a n n n ---=+⋅-(1)n -2113242(1)21n n a a n n --=⨯+⨯+++⋅ 213242(1)2n n T n -=⨯+⨯+++⋅ 2323242(1)2n n T n =⨯+⨯+++⋅ 231426222(1)26(1)22212nn nn n n T n n n ---=++++-+⋅=+-+⋅=-⋅- 22n n T n =⋅-222n na n n-=⋅-22n n a n =⋅210101021001024102400a =⋅=⨯=22nn a n =122(1)2n n a n a n ++=2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭()1002512991001004252222222221612-+++==-<==- {}n a 313539a a a a =++=33a =24326a a a +=={}n a q 4780a a -=3748a q a ==2q =1a 21a +3a ()21321a a a +=+()1122141aa a a +=+12a =5232as ==14.【分析】令，先利用等比和数列的定义得到①，又②，两式相减得，然后由求得，求出，再利用累乘法求出.【解答】解：令，则①，又②，由②－①得，即，，，，故答案为：.【点评】本题主要考查数列新定义、数列通项公式的求法及累乘法在求数列通项公式中的应用，属于中档题.15.【答案】（1）（2）最小值为，.【小问1详解】由知为等差数列，设的公差为，则，，，成等比数列，所以，即，解得，又，所以的通项公式为；【小问2详解】由（1）得，所以当时，取得最小值，最小值为.16.【分析】（1）设为等比数列的公比，由已知可得关于的一元二次方程，求解可得值，则数列的通项可求；（2）由已知可得，然后分组，再由等差数列与等比数列的前项和公式求解.【解答】解：（1）设为等比数列的公比，则由，得，1n n na b a +=13n n b b ++=123n n b b +++=2n n b b +=1b 2b n b 2020a n 1nn a b a +=13n n b b ++=123n n b b +++=20n n b b +-=2n n b b +=2112a b a == 2131b b ∴=-=*1*1,2,N 2,21,Nn n n a n k k b a n k k +⎧=∈∴==⎨=-∈⎩101032019202022020112201820191212122a a a a a a a a a a ∴=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯=1010229n a n =-16-4n =12n n a a +-={}n a {}n a d 2d =5a 6a 9a 2659a a a =()()()211110816a a a +=++17a =-2d ={}n a 29n a n =-22(729)8(4)162n n n S n n n -+-==-=--4n =n S 16-q {}n a q q {}n a 12(1)21n b n n =+-=-n q {}n a 12a =324a a =+2224q q =+即，解得或（舍去），因此，的通项为；（2）由已知可得，，，【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列与等比数列前项和的求法，是中档题.17.【解答】解：（I ）设等差数列的公差为，则由，，得，解得.；（II ）由（I ）知，，，.【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题.18.（1）由已知递推公式得，由此可得证；（2）由（1）得，根据等比数列的求和公式可求得，再令，得函数的单调性和，可得答案.（1）解：，，，，又，，220q q --=2q =1q =-2q ={}n a ∴n 1n 222n a -=⨯=12(1)21n b n n =+-=-2(21)n n n a b n ∴+=+-()12212(1)222122n n n n n S n n +-+∴=+⨯-=+--n {}n a d 132a a +=-1575S =112221510575a d a d +=-⎧⎨+=⎩121a d =-⎧⎨=⎩9989(2)1182S ⨯∴=⨯-+⨯=21(1)3n a n n =-+⨯-=-()()1111144(1)(2)12n n n b a a n n n n +∴===-++++++123111111112334122224n n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋯+=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111332n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1132nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1231111na a a a +++⋯+1()3992xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()f x (33)0f <(34)0f >1231n n n a a a +=+ 13112n n na a a ++∴=111322n n a a +∴=+1111332n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭127a =1171322a ∴=-=数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）解：由（1）可知，，，，若，则，，令，所以在上单调递增，且，，所以满足条件的最大正整数.19.【解答】解：（1）数列的前项和为①，当时，解得.当时，②，①－②得，整理得，所以（常数），所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；所以.数列满足，点在直线上.所以（常数），所以.（2），所以①，②，①－②得，整理得.∴13n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1212111113222n n n a -⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1132nn a ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭2123111111113132222nnn n n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++=++++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1231111100n a a a a ++++< 1131002nn ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭13992nn ⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭1()3992xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()f x R 331(33)999902f ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭341(34)1029902f ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭33n ={}n a n ()*1,22n n n S S a n =-∈N 1n =112a =2n ≥11122n n S a --=-1122n n n n n a S S a a --=-=-12n n a a -=12n n a a -={}n a 1222n n a -={}n b 11b =()1,n n P b b +20x y -+=12n n b b +-=21n b n =-2(21)2n n n n c a b n -==-⋅21113252(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅- 1211232(21)n n T n -=⨯+⨯++⋅- ()2211212222(21)2n n n T n ---=+++++-- 13(23)22n n T n -=+-⋅（3）由（1）得，所以，所以数列为单调递减数列，所以，所以的最大值为1，对所有的正整数都有都成立，故，可得，所以恒成立，只需满足，故，故的取值范围为.【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，错位相减法在数列求和中的应用，数列的单调性，恒成立问题，基本不等式，主要考查学生的运算能力，属于中档题.2222(21)n nnb n a -=⋅-222212(1)22(21)2(21)2(56)0n n n n nn nb b n n n a a ---++=⋅+-⋅-=-<2n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1221n n b b a a ≤=2n n b a n 222nnb k a λλ-+>221k λλ-+>21k λλ<+1k λλ<+min12k λλ⎛⎫<+= ⎪⎝⎭2k <k (,2)-∞。

2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 已知集合，，则（）{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B =A B = A.B.C.D.{}2,1-{}2,1,2-{}0,3{}2,0,1,2,3-2.在复平面内对应的点位于（）2(2i)4z =+-A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（）A. 5、10、15B. 3、9、18C. 3、10、17D. 5、9、164. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（）A. 6B. 7C. 8D. 95. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A. B. C. D. 132312256. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（）a b 1a =2b = 60a b = ,2a b- A. C. D. 1247. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（）()1,2,3m =n //m n u r r7⋅= m n n A. B.13,1,22⎛⎫⎪⎝⎭13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C. D. 31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭31,1,22⎛⎫⎪⎝⎭8. 已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1，则直线与平面所成角的余弦值为（）1B D 11AB D二、多选题9. 设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（）,A B A. 若A 和互斥，则A 和一定相互独立B B B. 若事件，则A B ⊆()()P A P B ≤C. 若A 和相互独立，则A 和一定不互斥B B D.不一定成立()()()P A B P A P B<+10.如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平,,,,A B C M N //MN 面的是（）ABC A .B.C. D.11. 如图，在平行四边形ABCD 中，，，，沿对角线BD 将△ABD 1AB =2AD =60A ∠=︒折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A .平面PCD ⊥平面PBDB. 三棱锥外接球的表面积为P BCD -10πC. PD 与平面PBCD. 若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分1413别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．13. 已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A 到直线的距1111ABCD A B C D -2E 11A B BE 离是__________．14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD ，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），2PA AB ==,E F ,CD CP T PAB 若平面，则点的轨迹的长度为__________.CT ∥AEF T 四、解答题15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽[)80,90[]90,100样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的A =测试成绩分别位于和”，求.[)80,90[]90,100()P A 16. 在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .17. 已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．18. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点在底面圆周上，为垂足.E ,AF DE F ⊥（1）求证.AF DB⊥（2）当直线与平面所成角的正切值为2时，DE ABE ①求平面与平面夹角的余弦值；EDC DCB ②求点到平面的距离.B CDE 19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，ABCD AB CD ∥90D Ð=°ABCE 并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，60BCE ∠=︒BE BCE C 1C 1AC =如图2.（1）求证：平面平面；1BC E ⊥ABED （2）在棱上是否存在点，使得到平面，若存在，则的1DC P P 1ABC 1DP PC 值；（3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值.EP 1ABC2024-2025学年四川省德阳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题考试范围：必修二第十章、选修第一册第一章；考试注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1. 已知集合，，则（）{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B =A B = A .B.C.D.{}2,1-{}2,1,2-{}0,3{}2,0,1,2,3-【正确答案】C【分析】运用交集性质即可得.【详解】由，，则.{}2,0,1,3A =-{}0,2,3B ={}0,3A B ⋂=故选：C.2.在复平面内对应的点位于（）2(2i)4z =+-A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【正确答案】B【分析】将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.【详解】，2(2i)414i z =+-=-+则在复平面内对应的点位于第二象限，z 故选：B.3. 某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为（）A. 5、10、15B. 3、9、18C. 3、10、17D. 5、9、16【正确答案】B【分析】利用分层抽样的定义求出对应人数，得到答案.【详解】抽取的高级职称人数为，中级职称人数为，一般职员的15303150⨯=45309150⨯=人数为，903018150⨯=故抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为3、9、18.故选：B4. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（）A .6B. 7C. 8D. 9【正确答案】C【分析】借助百分位数定义计算即可得.【详解】由，故这组数据的中位数为.60.53⨯=7982+=故选：C.5. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A. B. C. D. 13231225【正确答案】D【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】任取2个不同数可能有、、、、、、、(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)、、，共10种情况，(3,4)(3,5)(4,5)其中和为偶数的情况有、、、，共4种情况，(1,3)(1,5)(2,4)(3,5)所以取到的2个数之和为偶数的概率为.42105=故选：D6. 已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（）a b 1a =2b = 60a b = ,2a b- A. C. D. 124【正确答案】C【分析】根据向量的模长公式即可求解.【详解】因为2222222(2)4444cos a b a b a a b b a a b a b b-=-=-⋅+=-+ ,，所以．14412442=-⨯⨯⨯+=22a b -= 故选:C7. 已知空间向量，空间向量满足且，则＝（）()1,2,3m =n //m n u r r7⋅= m n n A. B.13,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C.D. 31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭31,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.【详解】∵，且空间向量满足，()1,2,3m =n //m n u r r ∴可设，(),2,3n m λλλλ==又，∴，得．7⋅= m n 1233147λλλλ⨯+⨯+⨯==12λ=∴，故A 正确.113,1,222n m ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 故选：A.8. 已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C 到平面AB 1D 1，则直线与平面所成角的余弦值为（）1B D 11AB D【正确答案】A【分析】先由等面积法求得的长，再以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系1AA 1A ，运用线面角的向量求解方法可得答案．1A xyz -【详解】如图，连接交于点，过点作于，11AC 11BD O C CH AO ⊥H 则平面，则，CH ⊥11ABD CH =设，1AA a =则，AO CO AC ===则根据三角形面积得，1122AOC S AO CH AC ∆=⨯⨯=⨯代入解得．a=以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．1A 1A xyz -则，1111(2,0,0),(0,2,0),(0,2,(2,0,A B D D AD AB =-=-，1(2,2,B D =-设平面的法向量为，，，11AB D (n x =y )z则，即，令，得．1100n AD n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩2020y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩x=n =，111cos ,||||B D n B D n B D n ⋅〈〉==所以直线与平面1B D 1111D C B A 故选：．A二、多选题9. 设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（）,A B A. 若A 和互斥，则A 和一定相互独立B B B. 若事件，则A B ⊆()()P A P B ≤C. 若A 和相互独立，则A 和一定不互斥B B D.不一定成立()()()P A B P A P B <+ 【正确答案】BC【分析】对于AC ：根据互斥事件和独立事件分析判断即可；对于B ：根据事件间关系分析判断即可；对于D ：举反例说明即可.【详解】由题意可知：，()()0,0P A P B >>对于选项A ：若A 和互斥，则，B ()0P AB =显然，所以A 和一定不相互独立，故A 错误；()()()P AB P A P B ≠B 对于选项B ：若事件，则，故B 正确；A B ⊆()()P A P B ≤对于选项C ：若A 和相互独立，则，B ()()()0P AB P A P B =>所以A 和一定不互斥，故C 正确；B 对于选项D ：因为，()()()()P A B P A P B P AB =+- 若A 和互斥，则，则，故D 错误；B ()0P AB =()()()P A B P A P B =+ 故选：BC.10.如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平,,,,A B C M N //MN 面的是（）ABCA. B.C.D.【正确答案】ACD【分析】结合题目条件，根据线面平行的判断定理，构造线线平行，证明线面平行.【详解】对A ：如图：连接，因为为正方体棱的中点，所以，又，所以，EF ,M N //MN EF //EF AC //MN AC 平面，平面，所以平面.故A 正确；AC ⊂ABC MN ⊄ABC //MN ABC对B ：如图：因为是正方体棱的中点，所以，，，,,,,A B C M N //MN GH //BC EF //GH EF 所以，//BC MN 同理：，.//AB DN //AM CD 所以5点共面，所以平面不成立.故B 错误；,,,,A B C M N //MN ABC 对C ：如图：因为是正方体棱的中点，所以，，所以.,B C //BC EF //MN EF //BC MN 平面，平面，所以平面.故C 正确；⊂BC ABC MN ⊄ABC //MN ABC 对D ：如图：因为为正方体棱的中点，连接交于，连接，,.B C M ME AC F BF 则为的中位线，所以，BF MNE //BF MN 平面，平面，所以平面.故D 正确.BF ⊂ABC MN ⊄ABC //MN ABC故选：ACD11. 如图，在平行四边形ABCD 中，，，，沿对角线BD 将△ABD 1AB =2AD =60A ∠=︒折起到△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（）A. 平面PCD ⊥平面PBDB. 三棱锥外接球的表面积为P BCD -10πC. PD 与平面PBCD. 若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM【正确答案】ACD【分析】结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A,根据外接球的球心位置即可结合三角形的边角关系求解半径，可判断B,结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验．CD 【详解】中，，，，BCD △1CD =2BC =60A ∠=︒所以，故，所以，BD =222BD CD BC +=BD CD ⊥因为平面平面,且平面平面，又，平面PBD ⊥BCD PBD BCD BD =BD CD ⊥CD ⊂BCD所以平面，平面,所以平面平面，故A 正确；CD ⊥PBD CD ⊂PCD PCD ⊥BPD 取的中点为,中点为,过作,由平面平面,BC N PB Q N 12ON //PB,ON PB=PBD ⊥BCD 且平面平面，又,平面,故平面,因此PBD BCD BD =BD PB ⊥PB ⊂PBD PB ⊥BCD 平面,由于为直角三角形，且为斜边中点，所以,又ON ⊥BCD BCD △N OB OC OD ==,所以,因此,因此为三棱锥12ON //PB,ON PB=QB ON ,BQ //ON =OP OB =O外接球的球心，且半径为,故球的表面积为P BCD-OB ，故B 错误，54π=5π4´以为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则，D B 0，，，1，，0，，0)(0C 0)P 1)因为，0，，，1，，,(0BP = 1)(BC =0))01DP ,= 设平面的法向量为，PBC (),,mx y z =所以，取0000zm BP y m BC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩x =)30m ,= 所以，故PD 与平面PBC，故cos ,||||m DP m DP m DP⋅<>===C 正确，因为在线段上，设，0，，则，0，，MPD M )a MB =-)a -所以点到的距离，M BCd ===当时，，此时面积取得最小值，D 正37a =d MBC ∆12BC =确．故选：ACD ．第Ⅱ卷（选择题）三、填空题12. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，现分1413别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率是________．【正确答案】112【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解．【详解】从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是，1413现分别从甲乙口袋中各摸出1个球，则2个球都是红球的概率．1114312P =⨯=故．11213. 已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A 到直线的距1111ABCD A B C D -2E 11A B BE 离是__________．【分析】以D 为原点，以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标1,,DA DC DD系，利用点到直线的向量公式可得.【详解】以D 为原点，以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标1,,DA DC DD 系.则，()()()2,0,0,2,2,0,2,1,2A B E 所以，()()0,2,0,0,1,2BA BE =-=-记与同向的单位向量为，则，BE u0,u ⎛= ⎝所以，点A 到直线BE 的距离.d ===14. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD ，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），2PA AB ==,E F ,CD CP T PAB 若平面，则点的轨迹的长度为__________.CT ∥AEF T【分析】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建AB G T PB H //CHG AEF 立空间直角坐标系，利用垂直于平面，的法向量确定点的位置，利用向量即可CHAEF H 得解.【详解】由题知，两两垂直，,,AB AD AP 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，A ,,AB AD AP ,,x y z 记的中点为，连接，AB G CG因为为正方形，为中点，所以，且，ABCD E CD //AG CE AG CE =所以为平行四边形，所以，AGCE //CG AE 又平面，平面，所以平面，CG ⊄AEF AE ⊂AEF //CG AEF 记点的轨迹与交于点，由题知平面，T PB H //CH AEF 因为是平面内的相交直线，所以平面平面，,CH CG CHG //CHG AEF 所以即为点的轨迹，GH T 因为，()()()()()()0,0,0,1,2,0,1,1,1,2,2,0,0,0,2,2,0,0A E F C P B 所以，()()()()2,0,2,2,2,2,1,2,0,1,1,1PB CP AE AF =-=--==设，PH PB λ= 则，()()()2,2,22,0,222,2,22CH CP PH CP PB λλλλ=+=+=--+-=---设为平面的法向量，(),,n x y z =AEF 则，令得，200AE n x y AF n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 1y =()2,1,1n =-因为，所以，CH n ⊥()2222220λλ---+-=解得，则，又23λ=22,2,33CH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ()1,2,0GC AE == 所以，()22121,2,0,2,,0,3333GH GC CH ⎛⎫⎛⎫=+=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以.12,0,33GH ⎛⎫===⎪⎝⎭关键点睛：本题关键在于利用向量垂直确定点的轨迹与的交点位置，然后利用向量运T PB 算求解即可.四、解答题15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽[)80,90[]90,100样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的A =测试成绩分别位于和”，求.[)80,90[]90,100()P A 【正确答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79；（2）.()35P A =【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于和的人数，按照古典概型计算即[)80,90[]90,100可.【小问1详解】由频率分布直方图可知测试成绩的平均数.450.04550.06650.2750.3850.24950.1676.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=测试成绩落在区间的频率为，[)40,70()0.0040.0060.02100.3++⨯=落在区间的频率为，[)40,80()0.0040.0060.020.03100.6+++⨯=所以设第57百分位数为a ，有，()0.3700.030.57a +-⨯=解得；79a =【小问2详解】由题知，测试分数位于区间、的人数之比为，[)80,90[)90,1000.2430.162=所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间中3人，用，，表示，在区间[)80,901A 2A 3A 中2人，用，表示，[)90,1001B 2B 从这5人中抽取2人的所有可能情况有：，，，，，，，，()12,A A ()13,A A ()11,A B ()12,A B ()23,A A ()21,A B ()22,A B ()31A B ，，共10种，()32,A B ()12,B B 其中“分别落在区间和”有6种，[)80,90[)90,100所以.()35P A =16. 在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．（1）证明：B 1D ⊥平面ABD ；（2）证明：平面EGF ∥平面ABD .【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面.1B D ⊥ABD （2）利用向量法证得平面平面.//EGF ABD 【小问1详解】以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，BA BD1B D ·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .1B D BA 1B D BD又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .【小问2详解】由(1)知，E (0,0,3)，G ，F (0,1,4)，则＝，＝(0,1,1)，,1,42a ⎛⎫ ⎪⎝⎭EG u u u r ,1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭EF·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .1B D EG u u u r 1B D EF又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF . 结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .17. 已知甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立．（1）甲乙两人同时命中目标的概率；（2）甲乙两人中至少有1人命中目标的概率．【正确答案】（1）0.72（2）0.98【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式即可求出答案.（2）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式即可求得答案.【小问1详解】因为甲射击的命中率为0.8，乙射击的命中率为0.9，甲乙两人的射击相互独立，设事件A 表示甲命中，事件B 表示乙命中，则,()0.8P A =()0.9P B =所以甲、乙两人同时命中目标的概率,()()()0.80.90.72P AB P A P B ==⨯=【小问2详解】甲乙两人中至少有1人命中目标的对立事件是甲、乙都没击中目标，甲、乙都没击中目标的概率,()()()()()10.810.90.02P AB P A P B ==--=所以甲乙两人中至少有1人命中目标的概率为：()()110.020.98P A B P AB =-=-= 18. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点在底面圆周上，为垂足.E ,AF DE F ⊥（1）求证.AF DB⊥（2）当直线与平面所成角的正切值为2时，DE ABE ①求平面与平面夹角的余弦值；EDC DCB ②求点到平面的距离.B CDE 【正确答案】（1）证明见解析（2）；【分析】（1）利用线面垂直得到平面，进而证明即可.AF ⊥BED AF DB ⊥（2）①建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法处理即可.②利用点到平面的距离公式求解即可.【小问1详解】由题意可知底面平面，故，DA ⊥,ABE BE ⊂ABE BE DA ⊥又平面，,,,BE AE AE DE E AE DE ⊥⋂=⊂AED 故平面，由平面，得，BE ⊥AED AF ⊂AED AF BE ⊥又平面，,,,AF DE BE DE E BE DE ⊥⋂=⊂BED 故平面，由平面，可得.AF ⊥BED DB ⊂BED AF DB ⊥【小问2详解】①由题意，以为原点，A 分别以AB ，AD 所在直线为轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，y z并设AD 的长度为2，则，(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A B C D 因为平面，所以就是直线DE 与平面所成的角，DA ⊥ABE DEA ∠ABE 所以，所以，tan 2DA DEA AE ∠==1AE =所以1,02E ⎫⎪⎪⎭由以上可得，1(0,2,0),,22DC DE ⎫==-⎪⎪⎭ 设平面的法向量为，EDC (,,)n x y z = 则即0,0,n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩20,120,2y x y z =⎧+-=取，得.4x=n = 又是平面的一个法向量，设平面与平面夹角的大小为，(1,0,0)m = BCD EDC DCB θ所以，cos cos m θ= 所以平面与平面.EDC DCB②因为，3,02BE ⎫=-⎪⎪⎭ 所以点到平面的距离.BCDE d 19. 图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，ABCD AB CD ∥90D Ð=°ABCE并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，60BCE ∠=︒BE BCE C 1C 1AC =如图2.（1）求证：平面平面；1BC E ⊥ABED （2）在棱上是否存在点，使得到平面，若存在，则的1DC P P 1ABC 1DP PC 值；（3）在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值.EP 1ABC 【正确答案】（1）证明见详解（2）存在，11DP PC =（3【分析】（1）作出辅助线，得到⊥BE ，⊥BE ，且，由勾股定理逆AF 1C F 1AF C F ==定理求出AF ⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直；1C F （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求解出点P 的坐标，1ABC （3）根据（2）可得，利用空间向量求线面夹角.12EP =u u r 【小问1详解】取BE 的中点F ，连接AF ，，1C F因为四边形ABCE 是边长为4的菱形，并且，60BCE ∠=︒所以均为等边三角形，1,ABE BEC故⊥BE ，⊥BE ，且，AF 1C F 1AF C F ==因为，所以，1AC =22211AF C F AC +=由勾股定理逆定理得：AF ⊥，1C F 又因为，平面ABE ，AF BE F ⋂=,AF BE ⊂所以⊥平面ABED ，1C F 因为平面，1C F ⊂1BEC 所以平面平面ABED ；1BC E ⊥【小问2详解】以F 为坐标原点，FA 所在直线为x 轴，FB 所在直线为y 轴，所在直线为z 轴，建立空1FC 间直角坐标系，则，()()()()()10,0,0,,0,2,0,0,0,,3,0,0,2,0F A B C D E --设，，，(),,P m n t 1DP DC λ= []0,1λ∈即，解得：，()(3,m n t λ-+=,33,m n t λ==-=故，),33,P λ-设平面的法向量为，1ABC (),,v x y z = 则，则，()(12,0,AB AC =-=-1200v AB y v AC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令，则，故，1x=1y z ==()v =其中1,33,C P λ=-- 则，d 解得：或（舍去），12λ=32所以否存在点，使得到平面，此时.P P 1ABC 11DP PC =【小问3详解】由（2）可得：，()310,2,022EP =---= 设直线与平面所成角为，EP 1ABC θ则，sin cos ,EP θ=所以直线与平面EP 1ABC。

高二数学上学期第一次月考测试题和答案

高二数学上学期第一次月考测试题和答案高二数学月底考试是检测学习成效的重要手段，只有平时认真对待每一次数学月考，才能够在高考数学考试中超常发挥。

以下是店铺为大家收集整理的高二数学月考测试题，希望对大家有所帮助!高二数学上学期第一次月考测试题(理科卷)(考试时间：120分钟总分：150分)一、(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1.以两点A(-3，-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y+2)2=100B.(x-1)2+(y-2)2=100C.(x-1)2+(y-2)2=25D.(x+1)2+(y+2)2=252. 某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填(A) k>4?(B)k>5?(C) k>6?(D)k>7?(第3题)3、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是( )A. B. C. D.4. 将51转化为二进制数得 ( )A.100 111(2)B.110 110(2)C.110 011(2)D.110 101(2)5.读程序回答问题：甲乙I=1S=0WHILE i<=5S= S+iI= i+1WENDPRINT SENDI= 5S= 0DOS = S+iI = i-1LOOP UNTIL i<1PRINT SEND对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是( )A 程序不同，结果不同B 程序不同，结果相同C 程序相同，结果不同D 程序相同，结果不同6.(如图)为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是( )A. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛7.如图，输入X=-10 则输出的是( )A. 1B. 0C. 20D. -208..若点P(1，1)为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为( )A. B.C. D.9. 三个数390, 455, 546的最大公约数是 ( )A.65B.91C.26D.1310. 数据，，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别是( )A. 和B. 和C. 和D. 和11.已知点，过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为( ). .12. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270;使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250;②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265;③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254;④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270;关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A.②、③都不能为系统抽样B.②、④都不能为分层抽样C.①、④都可能为系统抽样D.①、③都可能为分层抽样二、题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分.把答案填在题中横线上)13. 某校高中生共有900人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,现采取分层抽样抽取容量为45的样本,那么高一?高二?高三各年级抽取的人数分别为________.14. 已知多项式函数f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7，当x=5时由秦九韶算法v0=2 v1=2×5-5=5 则v3= ________.15. 把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79，而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数为___________.16.若集合A={(x，y)y=1+4-x2}，B={(x，y)y=k(x-2)+4}.当集合A∩B有4个子集时，实数k的取值范围是________________.三、解答题(本大题共6小题,满分74分.解答应写出必要的文字说明?证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)对甲?乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测值如下甲6080709070乙8060708075问:甲?乙两人谁的平均成绩高?谁的各门功课发展较平衡?质量(单位克)数量(单位袋)26128218.(本小题满分12分)某种袋装产品的标准质量为每袋100克，但工人在包装过程中一般有误差，规定误差在2克以内的产品均为合格.由于操作熟练，某工人在包装过程中不称重直接包装，现对其包装的产品进行随机抽查，抽查30袋产品获得的数据如下：(1)根据表格中数据绘制产品的频率分布直方图;(2)估计该工人包装的产品的平均质量的估计值是多少.19.(本小题满分12分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图;(2)求回归直线方程;(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大?参考公式：20. (本小题满分12分)据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1) 求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数;(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么?(精确到元)(3) 你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结合此问题谈一谈你的看法.21.(本小题满分12分)如图所示程序框图中,有这样一个执行框 =f( )其中的函数关系式为，程序框图中的D为函数f(x)的定义域.，(1)若输入，请写出输出的所有 ;(2)若输出的所有xi都相等,试求输入的初始值 .22.(本小题满分14分)已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0(1)若m=4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值;(2)若直线l是圆心下方的切线，当a在0，4的变化时，求m的取值范围.高二数学月考测试题参考答案一、题号123456789101112选项CAABCDDBDCDD二、题(13)、 15..10..20 (14)、 108. (15 ) 16 (16) 512三、解答题1718. 解析】 (1)频率分布直方图如图…………6分(2) (克) …………12分19. 解答：(1)根据表中所列数据可得散点图如下：————————3分(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560因此，x=255=5，y=2505=50，i=15x2i=145，i=15y2i=13 500，i=15xiyi=1 380.于是可得b=i=15xiyi-5x yi=15x2i-5x2=1 380-5×5×50145-5×52=6.5; ——————7分a=y-bx=50-6.5×5=17.5，因此，所求回归直线方程是=6.5x+17.5. ——9分(3)据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时，=6.5×10+17.5=82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元. ————————————12分20. 【解析】：(1)平均数是=1 500+≈1 500+591=2 091(元).中位数是1 500元，众数是1 500元. ——————————————4分(2)平均数是≈1 500+1 788=3 288(元).中位数是1 500元，众数是1 500元. ————————————————8分(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平.因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平. ——————————————————12分21.-------------------------------------6分(2) 要使输出的所有数xi都相等,则xi=f(xi-1)=xi-1.此时有x1=f(x0)=x0,即 ,解得x0=1或x0=2,所以输入的初始值x0=1或x0=2时,输出的所有数xi都相等.——————————————12分22. 解析：(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0则圆心C的坐标是(-a，a)，半径为2a. ——————————2分直线l的方程化为：x-y+4=0.则圆心C到直线l的距离是-2a+42=22-a. ——————————3分设直线l被圆C所截得弦长为L，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是：L=2(2a)2-(22-a)2 ——————————5分=2-2a2+12a-8=2-2(a-3)2+10.∵0(2)因为直线l与圆C相切，则有m-2a2=2a，——————————8分即m-2a=22a.又点C在直线l的上方，∴a>-a+m，即2a>m. ——————————10分∴2a-m=22a，∴m=2a-12-1.∵0。

湖南省衡阳市2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题(含答案)

衡阳市2023级高二年级第一次月考试题数学试题时量：120分钟分值：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. CD.2. 椭圆的离心率为，则（）A.B.C.D. 23.已知直线和直线，则“”是“”的（）A. 充要条件 B.必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 在平面直角坐标系中，若满足的点都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数k 的取值范围是（）A. B. C. D. 5. 已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（）A B. C. D.6. 已知椭圆右焦点为，左焦点为，若椭圆上存在一点P ，满足线段相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为（）..的{}2log 1A x x =≤{}2,2x B y y x ==≤A B B = A B A = A B B= ()A B R⋃=R ð2221(1)x y a a+=>12a =:(2)20m a x ay -+-=:310n x ay ++=73a =//m n xOy ()()x x k y k y -≤-(),x y k ≤≤k ≤≤k -≤≤)(⎡⎣ a b a b - b 2b - 2a b = a b 120︒150︒60︒90︒22221(0)x y a b a b+=>>1F 2F 1PF 1PFA.B.C.D.7. 已知等边，P 为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）A. B.C.D.8. 如图，正方体的棱长为2，设P 是棱的中点，Q 是线段上的动点（含端点），M 是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（）A. 存在满足条件的点M ，使B. 当点Q 在线段上移动时，必存在点M ，使C. 三棱锥的体积存在最大值和最小值D. 直线与平面所成角的余弦值的取值范围是二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 关于方程，下列说法正确的是（）A. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在y 轴上B. 若C. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在x 轴上D. 若，则该方程表示两条直线10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，已知，，点P 满足的2359ABC V ABC V ||1PA =PB PC ⋅39,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦111,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[1,4][1,7]1111ABCD A B C D -1CC 1C P 11BCC B 1//A M 1D AP 11A M AD ⊥1C P 1AM BQ⊥11C A PM -1A M 11BCC B 11[,32221mx ny +=0m n >>0m n =>0n m >>0,0m n =>()1λλ≠()0,0O ()2,0A，设点P 的轨迹为圆C ，下列结论正确的是（）A. 圆C 的方程是B. 过点A且斜率为的直线被圆CC. 圆C 与圆有四条公切线D. 过点A 作直线l ，若圆C 上恰有三个点到直线l，该直线斜率为11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则（）A. B. 的面积等于C. 直线D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若圆柱的底面半径为2，轴截面的对角线长为5，则这个圆柱侧面展开图的对角线长为_____________.13. 设直线与直线的交点为P ，则P 到直线的距离的最大值为____________．14. 设I 、G 分别是的内心和重心，若于F ，则以B 、C 为焦点且过点A 的椭圆的离心率是____________．三、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 已知圆是以点和点(2,0)为直径端点的圆，圆是以点和点(0,2)为直径端点的圆．（1）求圆，的方程；（2）已知两圆相交于，两点，求直线的方程及公共弦|AB |的长.16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，求的取值范围.的PAPO=22(2)9x y ++=1222(1)(4)8x y -+-=C ()222210+=>>x y a b a b1F 2F 2F l C P Q 21:||:1:4:5F Q PQ F Q =12PF PF ⊥12Q FF V 26a l C 1:370l x y +-=2:10l x y -+=:20l x ay a ++-=()ABC AB AC ≠△GI BC ⊥1C ()0,02C ()0,01C 2C A B AB ABC V A B C abc ()()30a b c a b c ab +++--=C π2C A <<a b c+17. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是，上的动点，且．（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值．18. 已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、.（1）求椭圆的方程；（2）记直线，的斜率分别为、，求的值；（3）证明：直线过定点，并求该定点坐标.19. 已知.定义点集与的图象的公共点为在上的截点.（1）若在上的截点个数为.求实数的取值范围；（2）若在上的截点为与.（i ）求实数的取值范围；（ii ）证明：.a OABC O A B C ''''-E F AB BC AE BF =A F C E ''⊥B BEF '-B EF 'BEF ()2222:10x y E a b a b+=>>()2,0A -()2,0B O O B G 1x =M N AM AN E P Q E AM AN 1k 2k 12k k ⋅PQ ()22,f x ax bx x =++∈R A ()y f x =A ()f x (){}1,,3,,b L x y y x L =-==∈R ∣()f x 0a ()(){}1,,2,0,2,a S x y y x S ===∈∣()21f x x +-()1,2x ()2,2x b 121124x x <+<衡阳市2023级高二年级第一次月考试题数学试题时量：120分钟分值：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】ABC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【13题答案】【14题答案】【答案】三、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）：，：（2），【16题答案】【答案】（1）（2）.【17题答案】【答案】（1）证明见解析（2）【18题答案】【答案】（1）（2）（3）证明见解析，【19题答案】【答案】（1） 131C ()2211x y -+=2C ()2211x y +-=:AB l y x =AB =π3C =2)2214x y +=19-10,013⎛⎫⎪⎝⎭1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭（2）（i ）；（ii ）证明见解析712b -<<-。

高二数学上学期第一次月考试题_1(共6页)

一中高二上学期(xu éq ī)第一次月考数学试卷一．选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在以下各题的四个选项里面，只有一个选项是符合题目要求的〕1、以下关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是 ( )A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n ＋2)22、在等差数列中，，那么的值是〔〕〔A 〕5 〔B 〕6 〔C 〕8 〔D 〕103、等差数列一共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，那么其公差是( )A ．5B ．4C ．3D ．24、数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，假设{1a n ＋1}为等差数列，那么a 11＝ ( ) A ．0 B.12 C.23D ．25、在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为奇数时，a n ＋1＝a n ＋2；当n 为偶数时，a n ＋1＝2a n －1，那么a 12等于( )A ．32B ．34C ．66D ．646、各项均为正数(zh èngsh ù)的等比数列{}，=5，=10，那么=〔〕(A)(B) 7 (C) 6 (D)7、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 6S 3＝3，那么S 9S 6＝ ( )A ．2 B.73 C.83D ．38、过原点且与圆x 2+y 2-2x=0截得的弦长为的一条直线的方程是〔〕A ．B ．C ．D ．9、设为等比数列{}n a 的前项和，，，那么公比〔〕〔A 〕3〔B 〕4〔C 〕5〔D 〕610、函数，那么函数的图象可能是〔〕11 1- O1xy11- O 1xy11- O 1xy11、把函数〔〕的图象上所有点向左平行挪动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍〔纵坐标不变〕，得到的图象所表示的函数是〔〕〔A〕，x R∈∈〔B〕，x R 〔C〕，x R∈∈〔D〕，x R12、某学生(xué sheng)家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2021年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2021年起每年的8月20号便去银行归还确定的金额，方案恰好在贷款的m年后还清，假设银行按年利息为p的复利计息〔复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息〕，那么该学生家长每年的归还金额是〔〕A．B． C．D．二．填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分〕13、等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n和T n，假设14、假设以连续掷两次骰子分别得点数m,n作为点P的横、纵坐标，那么点P落在圆x2+y2=16内的概率是．15、假设是奇函数，那么16、数列{}n a满足那么的最小值为__________.三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分.17、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO 底面ABCD ，E 是PC 的中点。

高二数学上学期第一次月考试题含解析试题

智才艺州攀枝花市创界学校潜山第二二零二零—二零二壹高二数学上学期第一次月考试题〔含解析〕第I 卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x 2－2x <0}，那么A ∪B 等于()A.{x |x >0}B.{x |x >1}C.{x |1<x <2}D.{x |0<x <2}【答案】A 【解析】【分析】先解出集合B ，再由并集的定义即可求出．【详解】因为集合{}02B x x =<<，A ＝{x |x >1}，所以{}0A B x x ⋃=>．应选：A ．【点睛】此题主要考察集合的并集运算，属于根底题．x 的终边上一点的坐标为(sin56π，cos 56π)，那么角x 的最小正值为() A.56πB.53π C.116π D.23π 【答案】B【解析】【分析】先根据角x 终边上点的坐标判断出角x 的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角x 的最小正值．【详解】因为5sin06π>，5cos 06π<，所以角x 的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知 53sin cos 62x π==-，故角x 的最小正值为5233x πππ=-=．应选：B ．【点睛】此题主要考察利用角的终边上一点求角，意在考察学生对三角函数定义的理解以及终边一样的角的表示，属于根底题．3.数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，那么数列{a n }的公差d 等于〔〕 A.－1 B.－2C.－3D.－4【答案】C 【解析】试题分析：由等差数列的性质知，，所以，又，解得：，应选C ．考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的通项公式．a >0，b >0，且ln (a ＋b )＝0，那么11a b+的最小值是() A.14B.1C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】先将对数式化指数式，再根据根本不等式即可求出．【详解】由()ln0a b +=得1a b +=，所以()11112224b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12ab ==时取等号，故11a b+的最小值是4．应选：C ．【点睛】此题主要考察对数的性质以及根本不等式中“1的代换〞的应用，属于根底题． 5.m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．以下说法正确的选项是() A.假设m ∥α，n ∥α，那么m ∥n B .假设m ⊥α，n ⊂α，那么m ⊥nC.假设m ⊥α，m ⊥n ，那么n ∥αD.假设m ∥α，m ⊥n ，那么n ⊥α 【答案】B 【解析】【分析】根据线线、线面关系的定义、性质、结论和断定定理对各项逐个判断即可．【详解】对于A ，假设,mn αα，那么m 与n 可能平行，可能相交，可能异面，所以A 错误；对于B ，根据线面垂直的定义可知，正确；对于C ，假设,m m n α⊥⊥，那么n α或者n ⊂α，所以C 错误；对于D ，假设,m m n α⊥，那么n 可能垂直于α，也可能n⊂α，也可能n α，所以D 错误．应选：B ．【点睛】此题主要考察空间线线、线面关系的判断，意在考察学生的直观想象和逻辑推理才能，属于中档题．〔1，1〕在圆()()224x a y a -++=的内部，那么a 的取值范围是〔〕A.11a -<<B.01a <<C.1a <-或者1a >D.1a =±【答案】A 【解析】因为点〔1，1〕在圆内部，所以22(1)(1)4a a -++<,解之得11a -<<.x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，那么a 的范围是()A.a <－2或者a >23B.－23<a <2C.－2<a <0D.－2<a <23【答案】D 【解析】【分析】先把圆的一般方程化为圆的HY 方程，由此可求得a 的范围. 【详解】由题意可得圆的HY 方程2223()()124a x y a a a +++=--，由23104a a -->解得223a -<<，选D.【点睛】圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，化HY 方程为22224()()224D E D E F x y +-+++=〔其中2240D E F +->〕，圆心为(,)22D E--，半径2r =．8.点P 〔2，﹣1〕为圆〔x ﹣1〕2+y 2=25的弦AB 的中点，那么直线AB 的方程为〔〕 A.x+y ﹣1=0B.2x+y ﹣3=0C.x ﹣y ﹣3=0D.2x ﹣y ﹣5=0【答案】C【解析】试题分析：由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．解：∵AB是圆〔x﹣1〕2+y2=25的弦，圆心为C〔1，0〕∴设AB的中点是P〔2，﹣1〕满足AB⊥CP因此，PQ的斜率k===1可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0应选C考点：直线与圆相交的性质．9.一个算法：(1)m＝a.(2)假设b<m，那么m＝b，输出m；否那么执行第(3)步．(3)假设c<m，那么m＝c，输出m.假设a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是()A.3B.6C.2D.m【答案】C【解析】【分析】根据算法的功能可知，输出三个数中的最小值，即可求解．【详解】根据算法的功能可知，输出三个数中的最小值，故执行这个算法的结果是2.应选：C．【点睛】此题主要考察对算法语句以及算法功能的理解．C 的方程为22(2)(1)9x y -++=，直线l 的方程为320x y -+=，那么曲线C 上到直线l 的间隔为10的点的个数为〔〕A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】试题分析：由22(2)(1)9x y -++=，可得圆心坐标为(2,1)C -，半径为3r =，那么圆心到直线的间隔为d ===，所以此时对应的点位于过圆心C 的直径上，所以满足条件的点有两个，应选B ．考点：直线与圆的位置关系．【方法点晴】此题主要考察了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的据公式和直线与圆位置关系的断定与应用，试题思维量和运算量较大，属于中档试题，着重考察了学生分析问题和解答问题的才能，以及数形结合思想的应用，此类问题平时需要注意方法的积累和总结．11.两点A 〔－2，0〕，B 〔0，2〕，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，那么△ABC 面积的最小值是〔〕A.3B.3C.3 【答案】A 【解析】试题分析：圆C的HY 方程为22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)D ，半径为1，直线AB 方程为122x y+=-，即20x y -+=，D 到直线AB 的间隔为2d ==，点C 到AB 的间隔的最小值为1-，AB =，所以ABC∆面积最小值为11)32S =⨯=．应选A ．考点：点到直线的间隔．(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +≤分两局部，使得这两局部的面积之差最大，那么该直线的方程为 A.20x y +-= B.10y -=C.0x y -=D.340x y +-=【答案】A 【解析】要使直线将圆形区域分成两局部的面积之差最大，通过观察图形，显然只需该直线与直线OP 垂直即可，又P(1，1)，那么所求直线的斜率为－1，又该直线过点P(1，1)，易求得该直线的方程为x ＋y －2＝0.应选A.第II 卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.)13.函数的定义域为___________________________．【答案】()1,1- 【解析】【分析】根据函数表达式得到使得函数有意义只需要210340x x x +>⎧⎨--+>⎩,解这个不等式获得交集即可. 【详解】由210340x x x +>⎧⎨--+>⎩得－1<x<1. 故答案为()1,1-.【点睛】求函数定义域的类型及求法:(1)函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2)抽象函数：①假设函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f [g (x )]的定义域由a ≤g (x )≤b 求出;②假设函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，那么f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，那么C 的方程为__________．【答案】22(2)10x y -+=.【解析】【分析】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，求出AB 的垂直平分线方程，令0y =，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，AB 的垂直平分线为24y x =-，令y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径=22(2)10x y -+=.【点睛】此题主要考察圆的性质和圆的方程的求解,意在考察对根底知识的掌握与应用，属于根底题. 15.执行如图的程序框图，假设输入的ε的值是0.25，那么输入的n 的值_____.【答案】3. 【解析】根据运行顺序计算出11F 的值，当11F ≤ε时输出n 的值，完毕程序．由程序框图可知：第一次运行：F 1＝1＋2＝3，F 0＝3－1＝2，n ＝1＋1＝2，11F ＝13＞ε，不满足要求，继续运行；第二次运行：F 1＝2＋3＝5，F 0＝5－2＝3，n ＝2＋1＝3，11F ＝15＝0.2＜ε，满足条件．完毕运行，输出n ＝3.【此处有视频，请去附件查看】,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-=，那么b =__________．【答案】32【解析】试题分析：的夹角，，，，.考点：向量的运算.【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤) 17.如下列图，底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm ，腰长为2cm ，当一条垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从B 点开场由左至右挪动(与梯形ABCD 有公一共点)时，直线l 把梯形分成两局部，令BF ＝x (0≤x ≤7)，左边局部的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，画出程序框图，并写出程序．【答案】221,02222,251(7)10,572x x y x x x x ⎧≤≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+<<⎩，程序框图和程序见解析．【解析】【分析】根据直线l 将梯形分割的左边局部的形状进展分类讨论，求出函数关系式，即可根据条件构造画出程序框图，并写出程序．【详解】过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H .∵四边形ABCD 是等腰梯形，底角是45°，AB ＝2cm ，∴BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2cm .又BC ＝7cm ，∴AD ＝GH ＝3cm ，当02x ≤≤时，212y x =；当25x <≤时，22y x =-；当57x <<时，21(7)102y x =-+，所以221,02222,251(7)10,572x x y x x x x ⎧≤≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+<<⎩．程序框图如下：程序：INPUT “x ＝〞；xIFx >＝0ANDx <＝2THENy ＝0.5*x ^2ELSEIFx <＝5THENy ＝2*x -2ELSEy =-0.5*(x -7)^2+10ENDIFENDIFPRINTyEND【点睛】此题主要考察分段函数解析式的求法、程序框图的画法以及程序语句的书写，意在考察学生分类讨论思想和算法语句的理解和书写．xOy 中,曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上,那么圆C 的方程为.【答案】22(3)(1)0.x y -+-= 【解析】【详解】试题分析：根据题意令y=0，可知23610,y x x x =-+==±∴同时令x=0,得到函数与y 轴的交点坐标为〔0，1〕，那么利用圆的性质可知，与x 轴的两个根的中点坐标即为圆心的横坐标为3，设圆心为：(3,)t ，那么229(1)8t t +-=+，解得1t = 因此可知圆的方程为22(3)(1)0.x y -+-=，故答案为22(3)(1)0.x y -+-=．考点：本试题考察了抛物线与坐标轴的交点问题．点评：解决该试题的关键是确定出交点的坐标，然后结合交点坐标，得到圆心坐标和圆的半径，进而秋季诶圆的方程，属于根底题．19.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点．〔1〕求PB 和平面PAD 所成的角的大小；〔2〕证明AE⊥平面PCD ．【答案】〔1〕45°；〔2〕见解析【解析】试题分析：〔1〕先找出PB 和平面PAD 所成的角，再进展求解即可；〔2〕可以利用线面垂直根据二面角的定义作角，再证明线面垂直．〔1〕解：在四棱锥P ﹣ABCD 中，因PA⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故PA⊥AB．又AB⊥AD，PA∩AD=A，从而AB⊥平面PAD ，故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而∠APB 为PB 和平面PAD 所成的角．在Rt△PAB 中，AB=PA ，故∠APB=45°．所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45°．〔2〕证明：在四棱锥P ﹣ABCD 中，因为PA⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD⊥PA．因为CD⊥AC，PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC ．又AE ⊂平面PAC ，所以AE⊥CD．由PA=AB=BC ，∠ABC=60°，可得AC=PA ．因为E 是PC 的中点，所以AE⊥PC．又PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD ．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的断定．()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =.〔1〕求()f π的值；〔2〕当44x -≤≤时，求()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积.【答案】〔1〕4π-〔2〕4 【解析】【分析】〔1〕由()()2f x f x +=-可推出函数()f x 是以4为周期的周期函数，再利用函数的周期性及奇偶性可得()()()()1444f f f f ππππ=-⨯+=-=--，再利用函数在[]0,1上的解析式即可得解，〔2〕由函数的周期性、奇偶性及函数在[]0,1上的解析式，作出函数在[]4,4-的图像，再求()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积即可.【详解】解：〔1〕由()()2f x f x +=-得，()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是以4为周期的周期函数，所以()()()()1444f f f f ππππ=-⨯+=-=--()44ππ=--=-.〔2〕由()f x 是奇函数且()()2f x f x +=-，得()()()1211f x f x f x -+=--=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()11f x f x +=-.故知函数()y f x =的图象关于直线1x =对称.又当01x ≤≤时，()f x x =，且()f x 的图象关于原点成中心对称，那么()f x 44x -≤≤时，()f x 的图象与x 轴围成的图形面积为S ，那么1442142OAB S S ∆⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】此题考察了函数的周期性、奇偶性及函数的图像，主要考察了函数性质的应用，重点考察了作图才能，属中档题.()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，x R ∈．〔Ⅰ〕求()f x 的最小正周期；〔Ⅱ〕求()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值．【答案】〔Ⅰ〕π;〔Ⅱ〕最小值12-和最大值14．【解析】试题分析：〔1〕由利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将()f x 的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数()sin y A x B ωϕ=++的最小正周期计算公式2T πω=，即可求得函数()f x 的最小正周期；〔2〕由〔1〕得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数()f x 在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数()f x 在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数()f x 在闭区间上的最大值和最小值．由，有 ()f x 的最小正周期．〔2〕∵()f x 在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数()f x 在闭区间上的最大值为，最小值为．考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．22.设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n ＋1=4a n ＋2.(1)设b n =a n ＋1−2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【答案】(1)见解析；(2)a n=(3n−1)·2n−2.【解析】(1)由a1=1及S n＋1=4a n＋2，得a1＋a2=S2=4a1＋2.∴a2=5，∴b1=a2−2a1=3.又①−②，得a n＋1=4a n−4a n−1，∴a n＋1−2a n=2(a n−2a n−1)．∵b n=a n＋1−2a n，∴b n=2b n−1，故{b n}是首项b1=3，公比为2的等比数列. (2)由(1)知b n=a n＋1−2a n=3·2n−1，∴−=，故是首项为，公差为的等差数列．∴=＋(n−1)·=，故a n=(3n−1)·2n−2.。

2023-2024学年福建省泉州市石狮市高二上册第一次月考数学试题(含解析)

2023-2024学年福建省泉州市石狮市高二上册第一次月考数学试题一、单选题1．直线10x y -+=的倾斜角为（）A ．30°B ．45°C ．120°D ．150°【正确答案】B【分析】由直线的一般式方程，明确其斜率，令斜率与倾斜角的关系，可得答案.【详解】由直线10x y -+=，则该直线的斜率1k =，设直线10x y -+=的倾斜角为θ，则tan 1θ=，解得45θ= .故选：B.2．若直线30x my ++=与直线460mx y ++=平行，则m =（）A ．12B ．12-C ．12或12-D ．不存在【正确答案】B【分析】根据两直线平行，列出方程，去掉两直线重合的情况，即可得到结果.【详解】由直线30x my ++=与直线460mx y ++=平行，可得:241126m m ⎧=⎨≠⎩，解得12m =-．故选:B.3．已知()()1,2,,,1,2a y b x =-=，且()//22()a b a b +- ，则（）A ．113x y ==，B ．142x y ==-C ．124x y ==，D ．x =1，y =-1【正确答案】B【分析】利用空间向量的坐标运算，结合空间向量共线的坐标表示计算作答.【详解】向量()()1,2,,,1,2a y b x =-=，则2(12,4,4)a b x y +=+- ，2(2,3,22)a b x y -=--- ，因()//22()a b a b +- ，于是得12442322x y x y +-==---，解得1,42x y ==-，所以1,42x y ==-.故选：B4．直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程为（）A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x ＋3y ＋12＝0C ．3x －2y －6＝0D ．2x ＋3y ＋6＝0【正确答案】B【分析】先求出定点M 的坐标，再设出与直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】由ax ＋y ＋3a －1＝0得()()310x a y ++-=，由3010x y +=⎧⎨-=⎩，得31x y =-⎧⎨=⎩，∴M （－3，1）．设直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程为()2306x y C C ++=≠-，=:C ＝12或C ＝－6（舍去），∴直线2x ＋3y －6＝0关于点M 对称的直线方程为2x ＋3y ＋12＝0．故选：B ．5．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（）A ．1B ．12C ．14D 【正确答案】C【分析】先得到该空间四边形及其对角线构成的几何体为正四面体，再根据空间向量的基本定理得到1122AE AB AC =+ ，利用空间向量的数量积运算法则计算出答案.【详解】此空间四边形及其对角线构成的几何体为正四面体，棱长为1，因为点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，所以1122AE AB AC =+，所以11112222AE AF AB AC AF AB AF AC AF ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+⋅ ⎪⎝⎭111111111cos 60cos 60222222224AB AF AC AF =⋅︒+⋅︒=⨯⨯+⨯⨯= .故选：C6．已知直线l 过点()2,3P ，且与x ，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点．若AOB 的面积为12（O 为坐标原点），则直线l 的截距式方程为（）A ．146x y+=B ．1812x y +=C ．1131323x y +=D ．164x y +=【正确答案】A【分析】设出直线的截距式方程，根据题意求出待定系数，可得结论．【详解】解：设直线l 的方程为1(0,0)x ya b a b +=>>，则AOB 的面积为1122ab =①．因为直线l 过点(2,3)P ，所以231a b+=②．联立①②，解得4a =，6b =，故直线l 的方程为146x y+=，故选：A ．7．经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(2,3)(-1,2),A B 的线段总有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（）A ．[)(]2--3⋃+∞∞，，B ．[]-32，C ．[)2+∞，D ．(]--3∞，【正确答案】A【分析】作出线段及点，即可得出直线变化范围，即可确定斜率取值范围.【详解】如图所示，()()31212,32010PA PB k k ----====----，故直线l 的斜率的取值范围是[)(]2--3⋃+∞∞，，.故选：A8．已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（）A ．（0，1）B ．21122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C ．21123⎛⎤⎥ ⎝⎦，D ．1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【正确答案】B【分析】先求得直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba -，0），由b a -≤0可得点M 在射线OA 上．求出直线和BC 的交点N 的坐标，①若点M 和点A 重合，求得b 13=；②若点M 在点O 和点A 之间，求得13＜b 12＜；③若点M 在点A 的左侧，求得13＞b ＞122-．再把以上得到的三个b 的范围取并集，可得结果．【详解】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1，由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0），由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0，故ba-≤0，故点M 在射线OA 上．设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为11b a -+1a ba ++．①若点M 和点A 重合，如图：则点N 为线段BC 的中点，故N1212，把A 、N 两点的坐标代入直线y ＝ax +b ，求得a ＝b 13=．②若点M 在点O 和点A 之间，如图：此时b 13＞，点N 在点B 和点C 之间，由题意可得三角形NMB 的面积等于12，即1122N MB y ⋅⋅=，即111212b a b a a +⎛⎫⨯+⋅= ⎪+⎝⎭，可得a 212b b=-＞0，求得b 12＜，故有13＜b 12＜．③若点M 在点A 的左侧，则b 13＜，由点M 的横坐标ba--＜1，求得b ＞a ．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为11b a --1a b a --，此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即12•（1﹣b ）•|xN ﹣xP |12=，即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2．两边开方可得（1﹣b ）=1，∴1﹣bb ＞12-，故有12-b 13＜．综上可得b 的取值范围应是112⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，故选B ．本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查了运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．点斜式()11y y k x x -=-可以表示任何直线B ．已知直线l 过点()2,3P ，且在x ，y 轴上截距相等，则直线l 的方程为50x y +-=．C ．直线240x y --=与直线210x y ++=相互垂直．D ．直线42y x =-在y 轴上的截距为2-【正确答案】CD【分析】根据直线点斜式方程适用的条件即可判断A ；分直线过原点和不过原点两种情况讨论即可判断B ；根据两直线垂直的公式即可判断C ；根据直线的斜截式方程即可判断D.【详解】对于A ，点斜式()11y y k x x -=-表示斜率存在的直线，故A 错误；对于B ，若直线过原点，则32l k =，所以直线方程为32y x =，若直线不过原点，设直线方程为()11x ya a a+=≠，将点()2,3P 代入解得5a =，所以直线方程为50x y +-=，综上，直线l 的方程为50x y +-=或32y x =，故B 错误；对于C ，因为()12210⨯+-⨯=，所以直线240x y --=与直线210x y ++=相互垂直，故C 正确；对于D ，直线42y x =-在y 轴上的截距为2-，故D 正确.故选：CD.10．下面四个结论正确的是（）A ．空间向量()112a ,,=-关于x 轴对称的向量为()1,1,2-B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一组基底D ．任意向量,,a b c ，满足()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ 【正确答案】ABC【分析】根据对称性即可判断A ；根据空间向量共面定理即可判断B ；根据基底的定义即可判断C ；根据数量积的定义即可判断D.【详解】对于A ，空间向量()112a ,,=-关于x 轴对称的向量为()1,1,2-，故A 正确；对于B ，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++ ，因为1111632++=，所以P ，A ，B ，C 四点共面，故B 正确；对于C ，{},,a b c 是空间的一组基底，则,,a b c不共面，若m a c =+ ，所以,,a c m 共面，所以,,a b m不共面，故{},,a b m也是空间的一组基底，故C 正确；对于D ，()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，而,a c的方向不确定，所以不能得出上述结论，故D 错误.故选：ABC.11．在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱111ABC A B C -展开得到平面图如图所示，90ABC ∠=︒，1AA AB =，P 为1AB 的中点，Q 为1AC 的中点，则在原直三棱柱111ABC A B C -中，下列说法正确的是（）A ．P ，Q ，C ，B 四点共面B ．11A C AB ⊥C ．几何体A PQCB -和直三棱柱111ABC A B C -的体积之比为38D ．当2BC 时，1AC 与平面1ABB 所成的角为45︒【正确答案】ABD【分析】根据线面位置关系可判断A ，B 选项，根据几何体的体积计算方法即可判断C 选项，利用定义法可判断线面角，即可判断D 选项【详解】如图，将展开的平面图还原成立体图形，对A 选项，连接1A B ，P 为1AB 的中点，P ∴也为1A B 的中点，又Q 为1AC 的中点，//PQ BC ∴，P ∴，Q ，C ，B 四点共面，故A 选项正确；对B 选项，90ABC ∠=︒ ，棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴易得BC ⊥平面11ABB A ，又1AB ⊂平面11ABB A ，∴1AB BC ⊥，又1AA AB =，∴四边形11ABB A 为正方形，11AB A B ∴⊥，又1BC A B B ⋂=，1AB ∴⊥平面1A BC ，又1AC ⊂平面1A BC ，11A C AB ∴⊥，∴B 选项正确；对C 选项，P ，Q 分别为1A B ，1AC 的中点，134A BC PQCB S S ∴=四边形，111111113331144434A PQCB A A BC A ABC ABC A B C ABC A B C V V V V V -----∴===⨯=∴几何体A PQCB -和直三棱柱111ABC A B C -的体积之比为14，故C 选项错误；对D 选项，当2BC 时，又1AA AB =，且1AA AB ⊥，12A B ∴，1BC A B ∴=，1A B BC ⊥145BAC ∴∠=︒，又由B 选项的分析知BC ⊥平面11ABB A ，1BAC ∴∠即为1AC 与平面1ABB 所成的角，又145BAC ∠=︒，1A C ∴与平面1ABB 所成的角为45︒，故D 选项正确．故选：ABD ．12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的梭长为2，P 为正方形底面ABCD 内的一动点，则下列结论正确的有（）A ．三棱雉111B A D P -的体积为定值B ．存在点P ，使得11D P AD ⊥C ．若11D P B D ⊥，则P 点在正方形底面ABCD 内的运动轨迹是线段ACD ．若点P 是AD 的中点，点Q 是1BB 的中点，过P Q ，作平面α⊥平面11ACC A ，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -的截面周长为2【正确答案】ACD【分析】对于A ，利用111111B A D P P A B D V V --=可得，A 正确；对于B ，建立空间直角坐标系，根据11D P AD ⊥，计算得满足条件的点P 不在平面ABCD 内，故B 错误；对于C ，建立空间直角坐标系，根据11D P B D ⊥，可得方程2x y +=，判断C 正确；对于D ，关键找到直线BD ，使//BD 平面α，且PQ ⊂平面α，以BD 为参照线作出平面α与正方体各个侧面的交线，得到截面图形，计算得答案，D 正确.【详解】对于A ，P 为正方形底面ABCD 内一点时，由111111B A D P P A B D V V --=，三棱锥111P A B D -的高不变，底面积也不变，所以体积为定值，故A 正确；对于B ，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设(),,0P x y ，则()()()()()11110,0,2,2,0,0,2,2,2,,,2,2,0,2D A B D P x y AD =-=-，若11D P AD ⊥，则110D P AD ⋅=，所以240x --=即2x =-，此时P 点不在底面ABCD 内，与题意矛盾，故B 错误；对于C ，因为()12,2,2B D =--- ，若11D P B D ⊥，110D P BD =⋅，所以22+40x y --=即2x y +=，所以P 的轨迹就是线段AC ，故C 正确；对于D ，因为BD AC ⊥，1BD AA ⊥，又AC ⊂平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AAC C ，1AC AA A =∩，所以BD ⊥平面11AAC C ，因为面α⊥平面11ACC A ，,BD PQ 异面，BD ⊄平面α，所以//BD 平面α，以BD 为参照线作出平面α与正方体各个侧面的交线，如图所示，易知每个侧面的交线均相等，长度为正方体的面对角线的一半，由于正方体的梭长为2，故面对角线长为所以截面周长为6，故D 正确．故选：ACD.三、填空题13．直线1:3230l x y +-=与26410l x y +-=：平行，则它们的距离是_____【正确答案】26【分析】根据两个平行线之间的距离计算公式，计算得答案.【详解】直线1:3230l x y +-=可化为直线1:6460l x y +-=，又26410l x y +-=：，且12//l l ，所以它们的距离d =故答案为14．过原点O 有一条直线l ，它夹在两条直线1:220--=l x y 与2:30l x y ++=之间的线段恰好被点O 平分，则直线l 的方程为______________.【正确答案】45y x =设两交点分别为(,22)A a a -，(,3)B b b --，利用中点为原点求解a ,b ，得到A 点坐标，即得解.【详解】设两交点分别为(,22)A a a -，(,3)B b b --，则50325053a a b a b b ⎧⎧=⎪⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨--=⎪⎪=-⎪⎪⎩⎩故点54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为45y x =.故45y x =本题考查了直线与直线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于中档题.15．已知在ABC ∆中，顶点()4,2A ，点B 在直线l ：20x y -+=上，点C 在x 轴上，则ABC ∆的周长的最小值______.【正确答案】【分析】设点A 关于直线l ：20x y -+=的对称点111(,)A x y ，点A 关于x 轴的对称点为222(,)A x y ，连接12A A 交l 于B ，交x 轴于C ，则此时ABC ∆的周长取最小值，且最小值为12A A ，利用对称知识求出1A 和2A ，再利用两点间距离公式即可求解.【详解】如图：设点A 关于直线l ：20x y -+=的对称点111(,)A x y ，点A 关于x 轴的对称点为222(,)A x y ，连接12A A 交l 于B ，交x 轴于C ，则此时ABC ∆的周长取最小值，且最小值为12A A ，1A 与A 关于直线l ：20x y -+=对称，∴11112114422022y x x y -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪-+=⎪⎩，解得：1106x y =⎧⎨=⎩，∴1(0,6)A ，易求得：2(4,2)A -，∴ABC ∆的周长的最小值12A A ==故答案为.本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，体现了数形结合的数学思想，综合性较强.16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方体的12条棱上（包括顶点）运动，则AC BP ⋅ 的取值范围是______．【正确答案】[]4,4-【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得AC BP ⋅ 的表达式，进而根据线性规划求得AC BP ⋅ 的取值范围.【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系，()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0A C B ，()2,2,0AC =- ，设(),,P x y z （且P 只在正方体的12条棱上运动），则()2,2,BP x y z =-- ，()42242AC BP x y y x ⋅=-+-=- ，因为0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，设z y x =-，根据线性规划，作出可行域如图，当2,0x y ==时，y x -取得最小值2-，即AC BP ⋅ 取最小值4-；当0,2x y ==时，y x -取得最大值2，即AC BP ⋅ 取最大值4.故[]4,4-四、解答题17．已知ABC 的三个顶点的坐标为()3,3A 、()2,2B -、()7,1C -，试求：(1)BC 边上的高所在的直线方程；(2)ABC 的面积．【正确答案】(1)360x y --=(2)24【分析】（1）先求出直线BC 的斜率，进而得BC 边上的高的斜率，由点斜式写出方程即可；（2）先求出BC 及直线BC 方程，再由点到直线距离公式求得A 到BC 的距离，即可求得面积.【详解】（1）因为2112(7)3BC k --==---，则BC 边上的高的斜率为3，又经过A 点，故方程为()333y x -=-，化简得360x y --=．（2）()2227(21)310BC =++--=BC 方程为12(2)3y x +=--，整理得340x y ++=，则A 到BC 2233341013+⨯++，则ABC 的面积为131024210⨯=.18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2BM A M C N B N ==．设AB a =，AC b = ，1AA c = ．(1)试用a ，b ，c 表示向量MN ；(2)若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=︒∠=∠=︒===，求MN 的长．【正确答案】(1)111333MN a c =++【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.【详解】（1）解：1111MN MA A C C N=++ 11233BA AC =++ 1112()333AB AA AC AB AC =-+++- 1111333AB AA AC =++ ，∴111333MN a c =++ ；（2）解：11,||||||1AB AC AA a b c ===∴=== ，1190,0,60BAC a b BAA CAA ∠=∴⋅=∠=∠=︒︒ ，12a cbc ∴⋅=⋅= ，()221||9MN a b c ∴=++ ()2221522299a b c a b a c b c =+++⋅+⋅+⋅= ，||MN ∴=即MN 19．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB E ==，为1CC 的中点.(1)求证:1//AC 平面BDE .(2)若F 为1BB 中点，求直线1A F 与平面BDE 所成角的正弦值，【正确答案】(1)详见解析.63【分析】（1）连接AC 与BD 交于点O ，根据E ，O 为中点，得到1//AC OE ，再利用线面平行的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，分别求得1A F 的坐标和平面BDE 的一个法向量(),,n x y z = ，再由11sin A F n A F nθ⋅=⋅ .【详解】（1）证明：如图所示：连接AC 与BD 交于点O ，因为E ，O 为中点，所以1//AC OE ，又1AC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以1//AC 平面BDE ；（2）建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()11,0,2,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1A F B D E ，所以()()()10,1,1,1,1,0,1,0,1A F BD BE =-=--=- ，设平面BDE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x y x y --=⎧⎨-+=⎩，令1x =，得1,1y z =-=，则()1,1,1n =- ，设直线1A F 与平面BDE 所成的角为θ，则11sin A F n A F nθ⋅==⋅ .20．已知直线:(21)(3)70l m x m y m +-++-=．(1)m 为何值时，点(3,4)Q 到直线l 的距离最大?并求出最大值；(2)若直线l 分别与x 轴，y 轴的负半轴交于A ，B 两点，求AOB （O 为坐标原点）面积的最小值及此时直线l 的方程．【正确答案】(1)2219m =-；(2)面积的最小值为12，直线l 的方程为3x +2y +12=0.【分析】（1）由题设求得直线l 过定点(2,3)P --，则Q 与定点P 的连线的距离就是所求最大值，根据垂直关系及75PQ k =求参数m ；（2）设直线l 为3(2)y k x +=+，0k <并求出A ，B 坐标，应用三角形面积公式、基本不等式求最小值，并写出直线方程.【详解】（1）已知直线:(21)(3)70l m x m y m +-++-=，整理得(21)370x y m x y -++--=，由21023703x y x x y y ⎧-+==-⎧⇒⎨⎨--==-⎩⎩，故直线l 过定点(2,3)P --，点(3,4)Q 到直线l 的距离最大，即Q 与定点P 的连线的距离就是所求最大值，=∵437325PQ k +==+，∴(21)(3)70m x m y m +-++-=的斜率为57-，得52173m m +-=+，解得2219m =-；（2）若直线l 分别与x 轴，y 轴的负半轴交于A ，B 两点，则设直线l 为3(2)y k x +=+，0k <，则32,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,23)B k -，1313192232(32)12(4)12222AOB S k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅-=--=+-+-≥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．（当且仅当32k =-时，取“=”），故AOB 面积的最小值为12，此时直线l 的方程为3x +2y +12=0.21．如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，1AB =，3SC =，三棱锥S BCD -是正三棱锥，E ，F 分别为SA ，SC 的中点.(1)求证：直线BD ⊥平面SAC ；(2)求二面角E BF D --的余弦值；(3)判断直线SA 与平面BDF 的位置关系.如果平行，求出直线SA 与平面BDF 的距离；如果不平行，说明理由.【正确答案】(1)证明见解析7(3)平行，距离为14【分析】(1)要证线面平行，先证线线平行，只需证BD AC ⊥，BD SO ⊥，即可.(2)建立适当的直角坐标系，再利用平面的法向量，即可求解.(3)利用向量OA 在平面BDF 的法向量上的投影，即可求解.【详解】（1）证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接SO ，因为四边形ABCD 是菱形，所以O 为AC ，BD 的中点，且BD AC ⊥，因为三棱锥S BCD -是正三棱锥，SB SD =，O 为BD 的中点，所以BD SO ⊥，又SO AC O = ，所以BD ⊥平面SAC .（2）作SH ⊥平面BCD 于H ，则H 为正三角形BCD 的中点，H 在线段OC 上，且2OC =，113326OH OC ==，233CH OC ==，1SH ==.如图，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，HS 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则0,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C.,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，D .1,0,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,6S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，10,62E ⎛⎫- ⎝⎭，12F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以11,22BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1122BF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0BD =- ，设()1111,,n x y z = 是平面EBF 的法向量，则1111111111026211022n BE x y z n BF x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，则()11,0,1n = ，设()2222,,n x y z = 是平面DBF 的法向量，则2222220110232n BD x n BF x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取()22n =- ，所以121212cos ,7n n n n n n ⋅==- ，又因为二面角E BF D --是锐二面角，所以二面角E BF D --的余弦值为7.（3）直线SA 与平面BDF 平行.理由如下：连接OF ，由（1）知O 为AC 的中点，又F 为SC 的中点，所以OF SA ∥，又因为SA ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以直线SA ∥平面BDF .（或者用向量法证明直线SA 与平面BDF 平行：由（2）知()23,2n =- 是平面BDF 的一个法向量，又30,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,6S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以30,,13SA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以()()2230032103SA n ⎛⋅=⨯+-⨯-= ⎝⎭，所以2SA n ⊥ ，又因为SA ⊄平面BDF ，所以直线SA ∥平面BDF .设点A 与平面BDF 的距离为h ，则h 即为直线SA 与平面BDF 的距离，因为30,2OA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()23,2n =- 是平面DBF 的一个法向量，所以()22300302237147OA n n ⎛⎫⨯+⨯-+⨯- ⎪⋅⎝⎭== ，所以点A 与平面BDF 3714所以直线SA 与平面BDF 的距离为3714.22．如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面PAC ⊥平面,ABC PAC 为正三角形，E ，F 分别是,PC PB 上的动点.(1)求证：BC AE ⊥；(2)若E ，F 分别是,PC PB 的中点且异面直线AF 与BC 32记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l ，点Q 为直线l 上动点，求直线PQ 与平面AEF 所成角的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面PAC ，即可证明BC AE ⊥.（2）由已知结合线面平行的判定定理知//BC 平面AEF ，结合线面平行的性质定理知//BC l ，建立空间直角坐标系，设(2,,0)Q t ，求出平面AEF 的一个法向量，利用空间向量求线面角即可得解.【详解】（1）证明：因为C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，所以BC AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC 平面,ABC AC BC =⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面,PAC AE ⊂平面PAC .所以BC AE⊥（2）由E ，F 分别是,PC PB 的中点，连结,AE EF ，所以BC EF ∥，由（1）知BC AE ⊥，所以EF AE ⊥，所以在Rt AFE 中，AFE ∠就是异面直线AF 与BC 所成的角.因为异面直线AF 与BC 32所以3tan 2∠=AFE ，即32AE EF =又EF ⊂平面,⊄AEF BC 平面AEF ，所以//BC 平面AEF ，又BC ⊂平面ABC ，平面⋂EFA 平面=ABC l ，所以BC l∥所以在平面ABC 中，过点A 作BC 的平行线即为直线l .以C 为坐标原点，,CA CB 所在直线分别为x 轴，y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AC =.因为PAC △为正三角形所以3AE =2EF =由已知E ，F 分别是,PC PB 的中点，所以24BC EF ==则(2,0,0),(0,4,0),3)A B P ，所以1313,2222⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭E F ，所以33,(0,2,0)22⎛⎫=-= ⎪⎝⎭E AF E ，因为BC l ∥，所以可设(2,,0)Q t ，平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z = ，则3302220x z AE m EF m y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩，取3z =3)m = ，又(1,,3)=- PQ t ，则21|cos ,|0,2||||4⋅⎛⎤〈〉== ⎥⋅⎝⎦+ PQ m PQ m PQ m t .设直线PQ 与平面AEF 所成角为θ，则21sin 0,24⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦+t θ.所以直线PQ 与平面AEF 所成角的取值范围为0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦.。

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高二年级数学第一次月考试卷一、选择题（每题5分，共50分）1、某校有高一学生300人，高二学生270人，高三学生210人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取26名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（）A、高一学生被抽到的概率最大B、高三学生被抽到的概率最大C、高三学生被抽到的概率最小D、每位学生被抽到的概率相等2．下列赋值语句正确的是（）Ａ.ｍ＋n＝３Ｂ.１＝ｍＣ.ｍ＝ｍ－１Ｄ.ｍ＝ｎ＝１3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（）A．21B．41C．31D．814．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）（1）（2）（3）（4）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（2）（3）5．已知两组样本数据}{nxxx,......,21的平均数为h，}{myyy,......,21的平均数为k, 则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为（）A．2kh+B．nmmknh++C．nmnhmk++D．nmkh++6．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校200名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如上图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最多一组学生数为a，视力在4.6到5.0之间的频率为b，则a b的值分0.30.14.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.95.0 5.15.2视力别为（）A ．54 , 0.78B ．27, 0.78C ．78, 0.27D ．54, 78 7．从一批产品中取出三件，设A =“三件产品全不是次品”，B =“三件产品全是次品”，C =“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A ．A 与C 互斥B ．B 与C 互斥C ．任两个均互斥D ．任两个均不互斥8．从分别写有A ，B ，C ，D ，E ，的五张卡片中任取两张，这两张卡片上的字母顺序恰好相邻的概率为（）A ．52 B ．51 C ．103 D ．107 9.下面程序的功能是（） A.判断x 的符号 B.找出十个数据中的负数 C.统计十个数据中负数的个数 D.求十个数据中所有负数的和10．图所示的算法流程图中，输出的S 表达式为（）A 1111 (2)399++++B ．112399++++C ．1123100++++D ．99.....321++++二、填空题1１.某校有学生2000人，其中高三学生500人。

为了了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为开始i=1, S=0 i<10S= S +ii = i +1输出结束否是S =1/ Sn=0i=1 DO 输入 xIf x< 0 Thenn = n+1 End If i = i +1 Loop While i< = 10 输出 n12．某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是____________.13、一个样本方差是()()()[],12 (121215)121522212-++-+-=x x x s 则这个样本的平均数是 ,样本容量是 .14.阅读右边的程序框图，若输出s 的值为-7，则判断框内可填写_________15．一个口袋装有2个红球和n 个绿球，从中任取2个，若取出的2个球中至少有1个是绿球的概率是910，则=n _______． 16、程序框图,若要使输出的y 值最大则输入的x 的值应为_____,此时y 的最大值为________三．解答题17.（本题满分12分）为了了解高二年级一、二班的数学学习情况，从两个班各抽出 10名学生进行数学水平测试，成绩如下（单位：分）一班：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83二班：82，84，85，89，79，88，91，89，79，74比较两组数据的方差，并估计一、二两个班哪个班学生的数学成绩比较整齐．18.（本题满分12分）函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,3;0,0;0,1x x x x x y 请设计算法框图要求输入开始 i=i+2 S=2S=s-ii=1 输出s 结是否开始 x<-0.5x<1结束是否否是输入x 输出y自变量，输出函数值，并用基本语句写出程序。

19．（本题满分12分）甲盒中有一个红色球，两个白色球，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2个，每次从中任意地取出1个球，用列表的方法列出所有可能结果，计算下列事件的概率。

（1）取出的2个球都是白球；（2）取出的2个球中至少有1个白球20.（本题满分12分）下面的茎叶图是某班在一次测验时的成绩，程序用来同时统计女生、男生及全班成绩的平均分，试回答下列问题：（K=0或K=1，X表示学生成绩）（1）在程序中，“k=0”的含义是什么？横线①处应填什么？（2）执行程序，输出S，T，A的值分别是多少？（3）请分析该班男女生的学习情况．21、（本题满分14分）为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：S=0，T=0For n=1 To 32输入k，xIf k=0 ThenS=S+xElse(1)若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，899，试写出第二组第一位学生的编号；（2）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)和补全频率分布直方图（3）所抽取的这些数据的中位数可能在直方图的哪一组?（4）若成绩在75.5~85.5分的学生为二等奖，估计获二等奖的学生为多少人？ 22、（本题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，观察下面程序框图，（1）分别写出当2k =；3k =时，S 的表达式。

（2）当输入11,5,a k ==时，有，求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）根据程序框图用基本语句写出程序输入a 1， i k S =0，M=0，开始否是结输出11S =2012届高二年级数学第一次月考试卷答题卡一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案座位号11、12、13、14、15、16、三、解答题17、（12分）18、（12分）19、（12分）20、（12分）21、（14分）22、（14分）高二年级数学第一次月考试卷答案一．选择题1．D 2. C 3. B 4. D 5 B 6. A 7. B 8. A 9. C 10. B 二、填空题11、50 12、1513、12 15 14、5(67)i i i≤<<或或15、3 16、1三、解答题17．1x =84，2221284,13.2,27x S S === 18．19．（1）49 （2）89开始输入xx>0 y= -x+1X=0y=0y=x+3输出y 结束是是否否20.(1)k=0表示女生，横线①处应填：32TS + 4分（2）S=78 T=76.9(或76.88或171307或77) A ≈77.4 8分(3) 女生成绩比较集中，整体水平稍高于男生；男生中的高分段比女生高，低分段比女生多，相比较男生两极分化比较严重． 12分21（本小题满分14分）（1）018 3分 (2) 如上所示 7分（3）第4组。

10分(4) 约为0.26⨯900=234（人） 14分频率/0．00．00．020．00．032分组频数频率频率/组距50.5~60.54 0.08 0．00860.5~70.58 0.16 0．016 70.5~80.510 0.20 0．02 80.5~90.516 0.32 0．032 90.5~100.512 0.24 0．024 合计501.0022.解（1）当2k =时，122311S a a a a =+2分当3k =时，122334111S a a a a a a =++4分（2）21n a n =- ； 9分（3）111,,0,01,1i i i i a d k S M For i To k a a d M a a S S M Next S++====+=⋅=+输入输出或111,,0,0,111i i i i a d k S M i Do a a d M a a S S M i i Loop while i k S++====+=⋅=+=+≤输入输出。