矩阵与常微分方程
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一：利用分块矩阵求矩阵（三个公式） 公式1：
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡---1
1
11
1s s A A A A
公式
2：⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-----1221
11211221
111
2221
11
00A A A A A A A
A
或⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡-----1
22
1
22121111111
221211
0A A A A A A A A
2
,1=i n A i ii 阶可逆矩阵，
为
公式
3：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---00001
1
1
A
B
B
A （为可逆矩阵
B A ,）
下面给出公式2的推导过程：设⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-22211211
1
2221
11
0X X X X A A
A
由⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡E E
X X X X A A A 0
002221
1211
2221
11
得⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧=+=+==E
X
A X A X A X A X A E X A 22
2212
21212211
211211111100
解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===----122
22
1
11211
222112
1
11110
A X X A A X
X A X
^-^
习题
1：1
,11
21000
0520021-⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=A A 求 习题
2：1
,20
1200
3
1204312-⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=A A 求
答案：习题1：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-313
100323100001200251
A
习题2：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡---
-
--
=-210
0412*******
210165854121
1
A
二：利用定义求矩阵 例1：设n 阶方阵A 满足022
=--E A A ，求证A 可逆并求1
-A
证明：由022
=--E A A ，得：E E A A 2)(=-
即E
E
A A =-⋅2
，从而A 可逆且2
1
E A A
-=
-
例2：设B A ,为同阵且满足AB
B A =
+，证明E A -可逆并求其逆，
BA
AB =
证明：B
E A B AB A )(-=-=
，故
B
E A E E A )()(-=+-从而有E E B E A =--))((
即E A -可逆且E
B E A -=--1
)( 故
)
)(())((E A E B E B E A --=--即
E
B A BA E B A AB +--=+--从而
BA
AB =
例3：已知n 阶方阵A 满足3
)(2A E A A =-，求1
)(--A E
证明：由3
)(2A E A A =-，得0222
3
=+-A A A
所以E E A A A
-=-+-222
3
从而有E
E A A A E =+--))((2
即E
A A A E +-=--2
1
)
(
下面就检查下自己的学习能力^-^ 习题1：设)(0为正整数k A
k
=，证明：
1
2
-1
)
(-++++=-k A
A A E A E
习题2：设B A ,为n 阶方阵，且AB E -与BA E -均可逆，证明
A A
B E B E BA E 1
1
)
()
(---+=-
习题3：若n 阶方阵A 满足E A =2，求证E A 2-可逆
习题4：设A A =2
，试证明E A 2-为可逆阵
例题1：设)(x f 为可微函数，且满足方程
)0()()1()(0
>+=⎰⎰x dt
t tf x dt t f x x
x
求)(x f
解：方程两边对x 求导，得：
)()1()()()(0
x xf x dt t tf x xf dt t f x
x
++=+⎰⎰
化简得：⎰⎰=+x
x
dt t f x f x dt t tf 002
)()()(
两边再对)(x f 求导，化简得：0)(13)(2=-+
'x f x x f x ）（ 这是一阶线性齐次方程，分离变量得：dx x
x x f x df 2
31)
()(-=
两边积分得x x
Ce x f ln 31
--=）（
即)(13
为任意常数）（C e
Cx
x f x
-
-=
下面就检查下自己的学习能力^-^ 习题1：设连续函数
)(x f 满足方程2
0)(2)(x
dt t f x f x
=+⎰，求
)(x f
习题2：设连续函数)(x y 满足方程⎰+=x
x
e
dt t y x y 0)()(，求)(x y
答案：习题1：
x
e
x x f 22121)(-+-
=
习题2：x e x x y )1()(+=