控制工程基础：第二章 控制系统的动态数学模型

将（5）代入（1）
（5）
JLa
d 3m
dt 3
+(JRa +fLa )
d 2m
dt 2
+(fRa +CmKb )
dm
dt
=CmUa -RaM L
La
dM L dt
若改为输出为 时，则
JLa
d 2
dt 2
+(JRa +fLa )
d
dt
+(fR a +CmKb )=CmUa -RaM L
La
dM L dt
K为工作点处f(x)的一阶导数值，即该点的切线斜率。 忽略增量符号，可写成 y=Kx (但应明确它是
一个增量方程，y、x均为对平衡工作点的增量)。 几何意义：以工作点处的切线代替工作点邻域的曲线。
切线法（小偏差法）：将非线性特性在(平衡)工作点附 近(微小邻域)展开成泰勒级数，去掉二次以上的高阶项， 取其线性主部。
例 非线性方程 y=f(x)，工
y
作性点化(模x0型，。y0)，求其小偏差线
y0+Δy y0
f(x)
在工作点(x0，y0)处, 台劳 级数展开式为
0 x0 x0+Δx x
y
f
(x)
近似式：通常La很小，忽 略不计，对应的一阶为：
JR a
d
dt
+(fRa +CmKb )=CmUa -RaM L
如负载力矩wenku.baidu.comML=0，则
JR a
d
dt
+(fR a
+CmKb )=CmUa
化为：
JR a d += CmUa
fR a +CmKb dt
fR a +Cm Kb
令
Tm =
JR a fR a +CmKb
（1） （2） （3） （4）
K b ：反电势系数；J：电枢转动惯量；Cm：力矩系数；f：电机轴上粘性摩擦系数；
ML：负载转矩
③ 消去中间变量 Eb 、Mm、ia 。由（3）代入（4）得：
J
d 2m
dt 2
=Cmia - f
dm
dt
-M L
则
J ia = Cm
d 2m
dt 2
f +
Cm
dm
dt
+
ML Cm
（6）
Ur =R1R2C1C2
d 2Uc dt 2
+（R1C1+R1C2）ddUt c
+R2C2
dU c dt
+U c
整理得：
Ur
=R1R2C1C2
d 2Uc dt 2
+（R1C1+R1C2 +R2C2）ddUt c
+U c
R1R2C1C2
d 2Uc dt 2
+（R1C1+R1C2 +R2C2）ddUt c
，
Km =
Cm fR a +Cm Kb
Tm
d
dt
+ =KmUa
一阶常系数微分方程
Tm: 机电时间常数
Km: 放大系数
2.2、数学模型的线性化
•现实系统中的元部件几乎都具有程度不同的非线性。 •解析法求解非线性微分方程非常困难。在工程上，将非 线性系统线性化具有很大的实际意义。
1、当非线性因素对系统影响很小时，一般可以忽略。 2、系统变量只发生微小的偏移，可以用切线法对其进 行线性化。
dUc dt
1
C1
(i1 -
i2 )dt=R2C2
dU c dt
+Uc
（4）
（5）
由（5）得
i1-i2 =R2C1C2
d 2Uc dt 2
+C1
dU c dt
i1 =R2C1C2
d 2Uc dt 2
+C1
dU c dt
+i2
i1 =R2C1C2
d 2Uc dt 2
+(C1+C2 )
dU c dt
将（5）、（6）代入（1）
f
(x0 )
f
' (x0 )(x'x0 )
1 2!
f
'' (x0 )(x x0 )2
增量较小时略去其高次幂项而取一次近似式，则有
y y0 f (x) f (x0) f '(x0)(x x0)
令 y y y0 x x x0 则线性化方程为 Δy=KΔx 式中，K f '(x0)
Ua
输出 m — 输出轴转角； — 角速度。
② 列方程，根据电机中电磁变化规律和机械 -
运动规律
La Ra
ia
f
Eb
If =常数
m ML
电枢电路 反电势
Ua =La
dia dt
+Raia +Eb
Eb
=Kb
dm
dt
电磁力矩关系
Mm =Cmia
机械运动
J
d 2m
dt 2
=Mm - f
dm
dt
-M L
R2
i2 C2
uc
1、输入：Ur ，输出：Uc 2、列写微分方程组，由基尔霍夫定理可得：
(a) 电路图
1
Ur=i1R1+ C1 (i1- i2 )dt
1
1
C1
(i1- i2 )dt=i2R2 + C2
i2dt
Uc= 1 C2
i2dt
（1） （2） （3）
③消去中间变量 则：
i1、i2
，由（3）得：i2 =C2
+Uc =Ur
令 R1C1 T1 ，R2C2 T2 ，R1C2 T3
代入得：
T1T2
d 2Uc dt 2
+（T1+T2 +T3）ddUt c
+Uc =Ur
二阶常系数线性微分方程
2.1.4 电动机
例：它激直流电机如图所示
La
Ra
+
ia
f
Ua Eb
_
m
If =常数 ML
+
① 输入 Ua—电枢电压，
第二章 控制系统的动态数学模型
2.1 基本环节数学模型
2.1.1 机械系统（质量—弹簧—阻尼系统） 2.1.2 有源电路网络 2.1.3 无源电路网络 2.1.4 电动机
2.1.3 无源电路网络
例：RC网络如右图所示，试写出以Ur为输入 量，Uc为输出量的网络微分方程。
解题步骤：
R1
ur
i1 C1