控制工程基础：第二章 控制系统的动态数学模型
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《控制工程基础》课程作业习题(含解答)
第一章概论本章要求学生了解控制系统的基本概念、研究对象及任务，了解系统的信息传递、反馈和反馈控制的概念及控制系统的分类，开环控制与闭环控制的区别；闭环控制系统的基本原理和组成环节。
学会将简单系统原理图抽象成职能方块图。
例1 例图1-1a 为晶体管直流稳压电源电路图。
试画出其系统方块图。
例图1-1a 晶体管稳压电源电路图解：在抽象出闭环系统方块图时，首先要抓住比较点，搞清比较的是什么量；对于恒值系统，要明确基准是什么量；还应当清楚输入和输出量是什么。
对于本题，可画出方块图如例图1-1b。
例图1-1b 晶体管稳压电源方块图本题直流稳压电源的基准是稳压管的电压，输出电压通过R和4R分压后与稳压管的电3压U比较，如果输出电压偏高，则经3R和4R分压后电压也偏高，使与之相连的晶体管基极w电流增大，集电极电流随之增大，降在R两端的电压也相应增加，于是输出电压相应减小。
c反之，如果输出电压偏低，则通过类似的过程使输出电压增大，以达到稳压的作用。
例2 例图1-2a为一种简单液压系统工作原理图。
其中，X为输入位移，Y为输出位移，试画出该系统的职能方块图。
解：该系统是一种阀控液压油缸。
当阀向左移动时，高压油从左端进入动力油缸，推动动力活塞向右移动；当阀向右移动时，高压油则从右端进入动力油缸，推动动力活塞向左移动；当阀的位置居中时，动力活塞也就停止移动。
因此，阀的位移，即B点的位移是该系统的比较点。
当X向左时,B点亦向左，而高压油使Y向右，将B点拉回到原来的中点，堵住了高压油，Y的运动也随之停下；当X向右时,其运动完全类似，只是运动方向相反。
由此可画出如例图1-2b的职能方块图。
例图1-2a 简单液压系统例图1-2b 职能方块图1．在给出的几种答案里，选择出正确的答案。
（1）以同等精度元件组成的开环系统和闭环系统，其精度比较为_______ （A ）开环高； （B ）闭环高； （C ）相差不多； （D ）一样高。
（2）系统的输出信号对控制作用的影响 （A ）开环有； （B ）闭环有； (C ）都没有； （D ）都有。
第2章_控制系统的动态数学模型_2.4传递函数以及典型环节的传递函数
X o ( s) 1 G( s) Fi ( s ) Ms 2 Ds K
【例】R-L-C无源电路网络的传递函数
已知系统的微分方程为：
d2 d LC 2 uc (t ) RC uc (t ) uc (t ) ur (t ) dt dt
所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：
LCs 2U c (s) RCsU c (s) U c (s) U r (s)
n
m n bm K =K * (-Zi ) / ( p j ) an i 1 j 1
为传递函数的增益
b0 K a0
*
为根轨迹增益
Ti和 i 为时间常数
零、极点分布图：
G ( s) b0 (s z1 )(s z2 )(s zm ) M (s) a0 (s p1 )(s p2 )(s pn ) D(s)
r (t ) 1(t )
零状态响应分别为： c1 (t ) 1 2et 3e2t
c2 (t ) 1 0.5et 0.5e2t
各个模态在两个系统输出响应中所占的比重不同，
取决于零点相对于极点的距离。
j
z2
z1
0
（5）关于传递函数的几点说明
传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输 入量与输出量之间的关系式。传递函数的概念通常只 适用于线性定常系统。 传递函数是复数自变量s的复变函数。传递函数中 的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等， 完全取决于系统结构参数。
D(s)=0 称为系统的特征方程，其根称为系统的 特征根。特征方程决定着系统的动态特性。
D(s) 中s 的最高阶次等于系统的阶次。
将传递函数的分子和分母多项式进行因式分解可得
【例】R-L-C无源电路网络的传递函数
已知系统的微分方程为：
d2 d LC 2 uc (t ) RC uc (t ) uc (t ) ur (t ) dt dt
所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：
LCs 2U c (s) RCsU c (s) U c (s) U r (s)
n
m n bm K =K * (-Zi ) / ( p j ) an i 1 j 1
为传递函数的增益
b0 K a0
*
为根轨迹增益
Ti和 i 为时间常数
零、极点分布图：
G ( s) b0 (s z1 )(s z2 )(s zm ) M (s) a0 (s p1 )(s p2 )(s pn ) D(s)
r (t ) 1(t )
零状态响应分别为： c1 (t ) 1 2et 3e2t
c2 (t ) 1 0.5et 0.5e2t
各个模态在两个系统输出响应中所占的比重不同，
取决于零点相对于极点的距离。
j
z2
z1
0
（5）关于传递函数的几点说明
传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输 入量与输出量之间的关系式。传递函数的概念通常只 适用于线性定常系统。 传递函数是复数自变量s的复变函数。传递函数中 的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等， 完全取决于系统结构参数。
D(s)=0 称为系统的特征方程，其根称为系统的 特征根。特征方程决定着系统的动态特性。
D(s) 中s 的最高阶次等于系统的阶次。
将传递函数的分子和分母多项式进行因式分解可得
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
控制工程基础第2章
yky1不满足齐次方程。 所表示的元件不是线性元件。 又例如：元件的数学模型为：
y(t ) y(t ) x(t ) 线性元件
元件的数学模型为：
y(t ) y(t ) x(t ) b 不是线性元件
• 2.重要特点：对线性系统可以应用迭加性和 齐次性，对研究带来了极大的方便。 迭加性的应用：欲求系统在几个输入信号和 干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几 个外作用单独求响应，加起来就是总响应。 齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时， 其响应的数值也增加若干倍。就可以采用单 位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位 斜坡等）对系统进行分析——简化了问题。
duC (t ) i (t ) C dt 由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t)
duC (t ) d uC (t ) ur (t ) RC LC uC (t ) 2 dt dt
2
整理成规范形式
(t ) RCuC (t ) uC (t ) ur (t ) 即LCuC
0
lim
0
2 2 1 1 s s s (1 e ) lim (1 1 ) 1 s 1! 2! 0 s
例2-6.求指数函数
0 at st
f (t ) e
0 ( a s ) t
at
的拉氏变换
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
st st 0 0
st 0
sF ( s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换 L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0)
控制系统的动态数学模型
)
1
其是m 中由d 2d系,yt(at统i),本bcj身d(yd的i(=tt0)结,1构,K2,y参…(t数),n;所jf 决=(t0)定,1,。2,…G,m(s))均 为YF((实ss)) 数 m，S
2
1 cS
k
不传考递虑函初数始:值零，初对始上条式件两下边，进系行统拉输氏出变与换输，入可拉得氏：变换之比.
其传(G1不(传输将)传中递(C考s(微递入a递s,函)a)虑ni,分函函数bS初jLR(rCi[Rn数性方数=c(C(始(0t((bSt只质,))ss程1:(m值]),,))s极2适：S零),，R拉…m点用系(GsK对初Rb,氏)naa于m(;0统(上nnS始jLS变s线S([=()1式)SrmS0Sn条(性换t,两1)n],定b件2便)C1边a,bpmczC…常n1m1((下进可S))1(t,1(m(系S1)s)S行S，SS)求)m统是nm拉系输得11。由.R1z氏p.统.2出传系2().变)s.....输统..)递a..换..(1(本S出SSa函，.b1.1身1.CS可与数S的1z(得1p输mbs,结n表1))：)Sa入b构0示10Ra拉参G0为(C数s氏()：s(零所s)变)点决b换0CR定R之((的(sss))比实) 数. 。
ic (t )
1
uA
(t
)
R4
ic
(t)
C
ic (t )dt
对角相乘后进行拉氏反U A变( S )换得微分方程:
Ui((TS2)S
1)U R1
o
(S)
R2K (TR15S
1)URi4(
S
)1 CS
第二章 控制系统的动态数学模型(第五讲)
第五讲
第二章 控制系统的动态数学模型
10-7-20
控制系统系统的动态数学模型
1
2.8 绘制实际物理系统的函数方块图
例2-22
k1 J1 k2 J2
D
i (t )
Ti (t )
A (t )
T2 (t )
o (t )
图 2-32 转 动 惯 量 —弹 簧 —阻 尼 系 统
i (t ) 输入转角
A ( s)
k2 -
T2 (s)
1 J 2 s 2 Ds
o (s)
图 2-33 系 统 方 块 图
10-7-20
控制系统系统的动态数学模型
6
例2-23绘制系统方块图
R1 R2
U i ( s)
U A ( s)
I1 (s)
C1
I 2 ( s) C2 U o ( s)
图 2-36 无 源 滤 波 网 络
10-7-20
控制系统系统的动态数学模型
7
各环节方块图如2-37所示
U i ( s)
－
1 R1
I1 (s)
I1 (s)
－
1 C1s
U A ( s)
U A ( s) U A ( s)
－
(a)
1 R2
I 2 ( s)
I 2 ( s)
(b)
I 2 ( s)
1 C2 s
(d)
U o (s)
U o (s)
10-7-20
2
（2-41）
（2-42） （2-43）
T2 (s) k 2[ A (s) o (s)]
T2 (s) J 2 s o (s) Dso (s)
2
每一个方程理解为系统的一个环节，画出各环节 的方块图。
第二章 控制系统的动态数学模型
10-7-20
控制系统系统的动态数学模型
1
2.8 绘制实际物理系统的函数方块图
例2-22
k1 J1 k2 J2
D
i (t )
Ti (t )
A (t )
T2 (t )
o (t )
图 2-32 转 动 惯 量 —弹 簧 —阻 尼 系 统
i (t ) 输入转角
A ( s)
k2 -
T2 (s)
1 J 2 s 2 Ds
o (s)
图 2-33 系 统 方 块 图
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控制系统系统的动态数学模型
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例2-23绘制系统方块图
R1 R2
U i ( s)
U A ( s)
I1 (s)
C1
I 2 ( s) C2 U o ( s)
图 2-36 无 源 滤 波 网 络
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控制系统系统的动态数学模型
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各环节方块图如2-37所示
U i ( s)
－
1 R1
I1 (s)
I1 (s)
－
1 C1s
U A ( s)
U A ( s) U A ( s)
－
(a)
1 R2
I 2 ( s)
I 2 ( s)
(b)
I 2 ( s)
1 C2 s
(d)
U o (s)
U o (s)
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2
（2-41）
（2-42） （2-43）
T2 (s) k 2[ A (s) o (s)]
T2 (s) J 2 s o (s) Dso (s)
2
每一个方程理解为系统的一个环节，画出各环节 的方块图。
《控制工程基础》课件第2章
第2章 系统的数学模型
二、建立系统微分方程的一般步骤
（1） 分析系统和组成系统的各元件（环节）的性质、
第2章 系统的数学模型
（2） 从输入端开始，按照信号的传递顺序，列写系统 各组成元件（环节）的微分方程。对于复杂的系统，不能直 接写出输入量和输出量之间的关系式时，可以引入中间变量， 依据支配系统工作的基本规律，如力学中的牛顿定律、电学 中的克希荷夫定律等，逐个列写出各元件（环节）的微分方 程。另外，在列写各元件（环节）微分方程时，应注意元件
第2章 系统的数学模型
但是，由于目前非线性系统的理论和分析方法还不很成 熟，因此对于某些非本质的非线性系统，在一定条件下可进 行线性化处理，以简化分析。线性化是指将非线性微分方程 在一定条件下近似转化为线性微分方程的过程。一般的线性 化方法是在工作点附近用切线来代替，即将非线性函数在工 作点附近展开成台劳级数，并略去高于一次的项，可得近似 的线性差分方程。上述线性化是以变量偏离预定工作点很小 的假定条件为基础的，即偏差为微量，所以有时也把上述线 性化称之为小偏差线性化。小偏差线性化的几何意义是：在 预期工作点附近，用通过该点的切线近似代替原来的曲线。
J
f
(2-18)
式中，J为等效转动惯量，f为摩擦系数。将式(2-17)、(2-18)
代入式(2-16)，得
Ua
La Ki
ddt(J
f )
Ra (J
Ki
f )
Kb
即
La J La f Ra(J f ) KbKi KiUa
(2-19)
测量环节：
第2章 系统的数学模型
U f Kn
(2-20)
第2章 系统的数学模型
线性系统满足叠加原理。叠加原理说明，两个不同的输 入同时作用于系统的响应，等于两个输入单独作用的响应之 和。因此，线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个 一个地处理，然后对响应结果进行叠加。也就是说，当有几 个输入量同时作用于系统时，可以逐个输入，求出对应的输 出，然后把各个输出进行叠加，即为系统的总输出。另外， 线性系统还有一个重要的性质，就是均匀性，即当输入量的 数值成比例增加时，输出量的数值也成比例增加，而且输出 量的变化规律只与系统的结构、参数及输入量的变化规律有 关，与输入量数值的大小是无关的。
控制系统的动态数学模型
控制工程基础
2.1 系统的数学模型
数学模型是描述系统输入、输出量以及 内部各变量之间关系的数学表达式，它 揭示了系统结构及其参数与其性能之间 的内在关系。
静态数学模型 : 静态条件（变量各阶导
数为零）下描述变量之间关系的代数方 程。反映系统处于稳态时，系统状态有 关属性变量之间关系的数学模型。
控制工程基础
2.2 数学模型的线性化
线性化的提出： 线性系统是有条件存在的，只在一定的范围内 具有线性特性； 非线性系统的分析和综合是非常复杂的； 对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性 化模型近似代替非线性模型进行处理，能够满 足实际。
控制工程基础
非线性系统数学模型的线性化
控制工程基础
非线性系统数学模型的线性化
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移
到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是
以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，
系统所有的初始条件均为零。 对多变量系统，如：y=f(x1,x2)，同样可采用 泰勒级数展开获得线性化的增量方程：数的拉式变换
幂函数(Power Function)：
函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变 换表直接或通过一定的转换得到。
控制工程基础
控制工程基础
拉氏变换积分下限的说明: 在某些情况下，函数 在t＝0处有一个脉冲函数。 这时必须明确拉氏变换的积分下限是0-还是0+， 并相应记为：
控制工程基础
拉普拉斯变换的定义
（1）当t<0时， ； t>0时， 区间上分段连续。 （2）存在一正实常数σ，使得： 为指数级的； 则函数 在任一有限
的拉普拉氏变换存在，并定义为： F (s) L f (t ) f (t )e st dt 0 s：拉普拉斯算子；Res> ；量纲为时间的倒数 f(t)：原函数（时间域）F(s)：象函数（复数域） L为拉氏变换的符号;
第2章_控制系统的动态数学模型_2.2数学模型的线性化
线性系统是有条件存在的，只在一定的工作范围 内具有线性特性； 非线性系统的分析和综合是非常复杂的； 对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性化 模型近似代替非线性模型进行处理，能够满足实际 需要。
非线性系统数学模型的线性化方法 泰勒级数展开法 函数 y = f ( x) 在其平衡点 ( x0，y0 ) 附近的泰勒 级数展开式为：
df ( x) y = f ( x) = f ( xo ) + ( x − x0 ) dx x = x0
df ( x) y 或： − y0 = ∆y = k ∆x，其中： k = dx x = x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。 由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此这种线性化 方法对于闭环控制系统具有实际意义。此处增量是指 偏离平衡点的量。增量方程的数学含义就是将参考坐 标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点。
df ( x) y = f ( x) = f ( xo ) + ( x − x0 ) dx x= x0 1 d f ( x) 1 d f ( x) 2 + ( x − x0 ) + ( x − x0 )3 +L 2! dx2 x=x 3! 高一次的增量 ∆x = x − x0 的项，则：
非线性系统 用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不 满足叠加原理。 实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定 的工作范围内成立。 为分析方便通常在合理的条件下，将非线性系 统简化为线性系统处理。
线性系统微分方程的一般形式
dn d n −1 d an n xo (t ) + an −1 n −1 xo (t ) + L + a1 xo (t ) + a0 xo (t ) dt dt dt dm d m −1 d = bm m xi (t ) + bm −1 m −1 xi (t ) + L + b1 xi (t ) + b0 xi (t ) dt dt dt
本第二章-2控制系统的动态数学模型-精选文档
在没有外接元件的情况下，运算放大器就 是个比较器，同相端电压高的时候，会输出 近似于正电压的电平，反之也一样……只有 在外接电路的时候，构成反馈形式，才会使 运放有放大，翻转等功能……
⑩ 电枢控制式直流电动机
电动机转矩：
反电动势：
（二）建立数学模型的一般步骤 确定系统和各元件的输入、输出量； 从输入端开始，按照信号传递变换过程， 依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出 各元件、部件的动态微分方程； 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂 排列
⑥
du2 ⑤ i1R R C u u 1 2 2 2 1 dt C C R R u ( C C ) R u R C u u C C R R u ( C C ) R u R C u u u 21122 1 2 1 2 22 2 2 1 21122 1 2 1 2 22 2 2u 1
例1 两级RC滤波网络
（1）明确系统的输入和输出
u
1
u
2
输入
u
1
输出
u
2
已知：输入、系统
未知：输出
（2）列出各环节的微分方程 1 iR ( i i2)d t u 1 1 1 1 C 1
1 i2 dt u 2 C2
三个未知量
三个方程 1 1 iR id ( i i ) d t 2 2 2 t 1 2 C C 2 1
机械系统：牛顿力学定律 电学系统：基尔霍夫电压电流定律、电容、 电感电路，运算放大器原理，晶体管原理 等。 机电系统：电动机的特性方程。 （一）知识回顾： ① 牛顿第二定律：
dx d v Fm am 2 m d t d t
《控制工程基础》课件第二章数学模型
➢ 线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系 统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微 分方程进行处理。
非线性系统数学模型的线性化 ➢ 泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数 展开式为：
y
f
(x)
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
1 2!
d
2 f (x) dx2
x
x0
(x
x0
)2
1 3!
d
3 f (x) dx3
x
x0
(x
x0
)3
略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0 ) x0
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：
K
df (x) dx x x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。
y0 = f (x0)称为系统的静态方程； 由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种线
Raia t
La
dia t
dt
em t
电磁感应定律
em t
Ke
do t
dt
LaJo (t) LaD RaJ o (t) RaD KT Ke o (t) KTei (t)
为电枢控制式直流电动机的控制系统的动态数学模型。 当电枢电感较小时，通常可忽略不计，系统微分方程 可简化为
Ra Jo (t) Ra D KT K e o (t) KT ei (t)
b0
dm dt m
xi (t) b1
d m1 dt m1
非线性系统数学模型的线性化 ➢ 泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数 展开式为：
y
f
(x)
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
1 2!
d
2 f (x) dx2
x
x0
(x
x0
)2
1 3!
d
3 f (x) dx3
x
x0
(x
x0
)3
略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0 ) x0
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：
K
df (x) dx x x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。
y0 = f (x0)称为系统的静态方程； 由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种线
Raia t
La
dia t
dt
em t
电磁感应定律
em t
Ke
do t
dt
LaJo (t) LaD RaJ o (t) RaD KT Ke o (t) KTei (t)
为电枢控制式直流电动机的控制系统的动态数学模型。 当电枢电感较小时，通常可忽略不计，系统微分方程 可简化为
Ra Jo (t) Ra D KT K e o (t) KT ei (t)
b0
dm dt m
xi (t) b1
d m1 dt m1
控制工程基础第2章 控制系统的动态数学模型
LCuo (t ) RCuo (t ) uo (t ) ui (t )
u1 (t ) u2 (t ) Ri
u1 (t) C u2 (t)
i (t)
i (t)
u1 (t ) u2 (t )
1 idt C
ui (t) i1 (t)
R1
u1 (t)
R2
uo (t)
X s
s p1 s p1
r1
b0 s m b1s m1 bm1s bm
rl
r2
s p1 s c1s d1 s c1s d1
2 k1 2
kg
其中，
r1 r2 rl 2k1 k2 k g n
θo(t) l
ml2 (t ) mglo (t ) Ti (t ) o
mg
Ti(t)
2.3 拉氏变换及反变换
Laplace（拉普拉斯）变换是描述、分析连续、线性、 时不变系统的重要工具！ 2.3.1 拉氏变换定义 定义
拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅氏 变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了 时域和复频域间的联系。
简写为：
xt L X s
1
在一般机电控制系统中，通常遇到如下形式的有理分式：
b0 s b1s bm1s bm X s n s a1s n 1 an 1s an
m
m 1
其中，使分母为零的s值称为极点，使分子为零的s值称为零点。 则有：
对于这类分式可通过部分分式展开法求其反变换
1. 只含不同单极点的情况
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm X s n s a1s n 1 an 1s an b0 s m b1s m 1 bm 1s bm s p1 s p2 s pn an 1 an a1 a2 s p1 s p2 s pn 1 s pn
u1 (t ) u2 (t ) Ri
u1 (t) C u2 (t)
i (t)
i (t)
u1 (t ) u2 (t )
1 idt C
ui (t) i1 (t)
R1
u1 (t)
R2
uo (t)
X s
s p1 s p1
r1
b0 s m b1s m1 bm1s bm
rl
r2
s p1 s c1s d1 s c1s d1
2 k1 2
kg
其中，
r1 r2 rl 2k1 k2 k g n
θo(t) l
ml2 (t ) mglo (t ) Ti (t ) o
mg
Ti(t)
2.3 拉氏变换及反变换
Laplace（拉普拉斯）变换是描述、分析连续、线性、 时不变系统的重要工具！ 2.3.1 拉氏变换定义 定义
拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅氏 变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了 时域和复频域间的联系。
简写为：
xt L X s
1
在一般机电控制系统中，通常遇到如下形式的有理分式：
b0 s b1s bm1s bm X s n s a1s n 1 an 1s an
m
m 1
其中，使分母为零的s值称为极点，使分子为零的s值称为零点。 则有：
对于这类分式可通过部分分式展开法求其反变换
1. 只含不同单极点的情况
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm X s n s a1s n 1 an 1s an b0 s m b1s m 1 bm 1s bm s p1 s p2 s pn an 1 an a1 a2 s p1 s p2 s pn 1 s pn
第2章_控制系统的动态数学模型_2.6系统信号流图及梅逊公式
支路
混合节点
输入节点（源点）：只有输出的节点，表示系统的 输入变量。 输出节点（阱点、汇点） :只有输入的节点，表示 系统的输出变量。 混合节点：既有输入又有输出的节点，表示系统的 中间变量。如果从混合节点引出一条具有单位增益 的支路，则可以将混合节点变为输出节点，即成为 系统的输出变量。
支路
前向通路P1的特征式的余因子为： 1 1 将上述结果代入梅逊公式，计算该系统的传递 函数，化简后为：
1 1 P Pk k P 1 k k 1 = R1 R2C2C2 s 2 ( R1C 1 R2C2 R1C 2 ) s 1
【例3】用梅逊公式求系统传递函数 （说明：与教材P.45例2-21比较，去掉了G8、G9和-H3 等三个环节。）
信号流图 的特征式 系统的闭环传递 函数（也称为系 统总增益）
信号流图的特征式Δ的计算公式： 1 La Lb Lc Ld Le L f L 其中： a b ,c d ,e , f
a a
L 为所有不同回路的传递函数（增益）之和。
b c
L L 为每两个互不接触回路的传递函数（增益）
信号流图起源于梅逊（S. J. Mason）利用图 示法来描述一个或一组线性代数方程式，是由节点 和支路组成的一种信号传递网络。 节点：表示信号或变量，其值等于所有进入该节点 的信号之和。节点用小圆圈“ο”表示。 支路：连接两个节点的定向线段，用支路增益（即 传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。支 路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。
【例2】基于系统的信号流图，采用梅逊公式计算上例 系统的传递函数。
系统输入信号Ui(s)与输出信号Uo(s)之间只有一条 前向通路P1，即k=1，而且其传递函数（增益）为：
混合节点
输入节点（源点）：只有输出的节点，表示系统的 输入变量。 输出节点（阱点、汇点） :只有输入的节点，表示 系统的输出变量。 混合节点：既有输入又有输出的节点，表示系统的 中间变量。如果从混合节点引出一条具有单位增益 的支路，则可以将混合节点变为输出节点，即成为 系统的输出变量。
支路
前向通路P1的特征式的余因子为： 1 1 将上述结果代入梅逊公式，计算该系统的传递 函数，化简后为：
1 1 P Pk k P 1 k k 1 = R1 R2C2C2 s 2 ( R1C 1 R2C2 R1C 2 ) s 1
【例3】用梅逊公式求系统传递函数 （说明：与教材P.45例2-21比较，去掉了G8、G9和-H3 等三个环节。）
信号流图 的特征式 系统的闭环传递 函数（也称为系 统总增益）
信号流图的特征式Δ的计算公式： 1 La Lb Lc Ld Le L f L 其中： a b ,c d ,e , f
a a
L 为所有不同回路的传递函数（增益）之和。
b c
L L 为每两个互不接触回路的传递函数（增益）
信号流图起源于梅逊（S. J. Mason）利用图 示法来描述一个或一组线性代数方程式，是由节点 和支路组成的一种信号传递网络。 节点：表示信号或变量，其值等于所有进入该节点 的信号之和。节点用小圆圈“ο”表示。 支路：连接两个节点的定向线段，用支路增益（即 传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。支 路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。
【例2】基于系统的信号流图，采用梅逊公式计算上例 系统的传递函数。
系统输入信号Ui(s)与输出信号Uo(s)之间只有一条 前向通路P1，即k=1，而且其传递函数（增益）为：
控制工程基础-控制系统的数学模型(2)(控制工程基础)
L
f (t)dt
f (t)dt estdt
f (t)dt 1 dest
0
0
s
f (t)dt • est s
|0
est 0 s
f (t)dt
f 1(0) F (s)
s
s
2020/2/10
第三讲 控制系统的数学模型（2）
单位斜坡函数：
0, t 0 f (t) t, t 0
f(t) 1
单位斜坡函数的拉氏变换：
0
1
t
F(s) L
f (t)
test dt
0
t dest test
0 s
s
|0
1 s
0
est dt
1 s2
斜率为A的斜坡函数的拉氏变换为：
3
拉普拉斯变换
工程技术上常用傅立叶方法分析线性系 统，因为任何周期函数都可展开为含有 许多正弦分量的傅氏级数，而任何非周 期函数可表示为傅氏积分，从而可将一 个时间域的函数变换为频率域的函数－ 傅立叶变换。
工程实践中，常用的一些函数，如阶跃 函数，它们往往不能满足傅氏变换的条 件，如果对这种函数稍加处理，一般都 能进行傅氏变换，因而也就引入了拉普 拉斯变换。
控制工程基础
第三讲 控制系统的数学模型（2）
2020/2/10
清华大学机械工程系 朱志明 教授
第三讲 控制系统的数学模型（2）
1
控制系统的数学模型－内容
物理系统的动态描述－数学模型 建立系统数学模型的一般步骤 非线性数学模型的线性化 拉普拉斯变换 控制系统的传递函数 系统方块图及其变换 系统信号流图
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+Uc =Ur
令 R1C1 T1 ，R2C2 T2 ，R1C2 T3
代入得：
T1T2
d 2Uc dt 2
+（T1+T2 +T3）ddUt c
+Uc =Ur
二阶常系数线性微分方程
2.1.4 电动机
例：它激直流电机如图所示
La
Ra
+
ia
f
Ua Eb
_
m
If =常数 ML
+
① 输入 Ua—电枢电压，
Ua
输出 m — 输出轴转角； — 角速度。
② 列方程，根据电机中电磁变化规律和机械 -
运动规律
La Ra
ia
f
Eb
If =常数
m ML
电枢电路 反电势
Ua =La
dia dt
+Raia +Eb
Eb
=Kb
dm
dt
电磁力矩关系
Mm =Cmia
机械运动
J
d 2m
dt 2
=Mm - f
dm
dt
-M L
，
Km =
Cm fR a +Cm Kb
Tm
d
dt
+ =KmUa
一阶常系数微分方程
Tm: 机电时间常数
Km: 放大系数
2.2、数学模型的线性化
•现实系统中的元部件几乎都具有程度不同的非线性。 •解析法求解非线性微分方程非常困难。在工程上，将非 线性系统线性化具有很大的实际意义。
1、当非线性因素对系统影响很小时，一般可以忽略。 2、系统变量只发生微小的偏移，可以用切线法对其进 行线性化。
切线法（小偏差法）：将非线性特性在(平衡)工作点附 近(微小邻域)展开成泰勒级数，去掉二次以上的高阶项， 取其线性主部。
例 非线性方程 y=f(x)，工
y
作性点化(模x0型，。y0)，求其小偏差线
y0+Δy y0
f(x)
在工作点(x0，y0)处, 台劳 级数展开式为
0 x0 x0+Δx x
y
f
(x)
（1） （2） （3） （4）
K b ：反电势系数；J：电枢转动惯量；Cm：力矩系数；f：电机轴上粘性摩擦系数；
ML：负载转矩
③ 消去中间变量 Eb 、Mm、ia 。由（3）代入（4）得：
J
d 2m
dt 2
=Cmia - f
dm
dt
-M L
则
J ia = Cm
d 2m
dt 2
f +
Cm
dm
dt
+
ML Cm
将（5）代入（1）
（5）
JLa
d 3m
dt 3
+(JRa +fLa )
d 2m
dt 2
+(fRa +CmKb )
dm
dt
=CmUa -RaM L
La
dM L dt
若改为输出为 时，则
JLa
d 2
dt 2
+(JRa +fLa )
d
dt
+(fR a +CmKb )=CmUa -RaM L
La
dM L dt
近似式：通常La很小，忽 略不计，对应的一阶为：
JR a
d
dt
+(fRa +CmKb )=CmUa -RaM L
如负载力矩 ML=0，则
JR a
d
dt
+(fR a
+CmKb )=CmUa
化为：
JR a d += CmUa
fR a +CmKb dt
fR a +Cm Kb
令
Tm =
JR a fR a +CmKb
第二章 控制系统的动态数学模型
2.1 基本环节数学模型
2.1.1 机械系统（质量—弹簧—阻尼系统） 2.1.2 有源电路网络 2.1.3 无源电路网络 2.1.4 电动机
2.1.3 无源电路网络
例：RC网络如右图所示，试写出以Ur为输入 量，Uc为输出量的网络微分方程。
解题步骤：
R1
ur
i1 C1
K为工作点处f(x)的一阶导数值，即该点的切线斜率。 忽略增量符号，可写成 y=Kx (但应明确它是
一个增量方程，y、x均为对平衡工作点的增量)。 几何意义：以工作点处的切线代替工作点邻域的曲线。
（6）
Ur =R1R2C1C2
d 2Uc dt 2
+（R1C1+R1C2）ddUt c
+R2C2
dU c dt
+U c
整理得：
Ur
=R1R2C1C2
d 2Uc dt 2
+（R1C1+R1C2 +R2C2）ddUt c
+U c
R1R2C1C2
d 2Uc dt 2
+（R1C1+R1C2 +R2C2）ddUt c
f
(x0 )
f
' (x0 )(x'x0 )
1 2!
f
'' (x0 )(x x0 )2
增量较小时略去其高次幂项而取一次近似式，则有
y y0 f (x) f (x0) f '(x0)(x x0)
令 y y y0 x x x0 则线性化方程为 Δy=KΔx 式中，K f '(x0)
dUc dt
1
C1
(i1 -
i2 )dt=R2C2
dU c dt
+Uc
（4）
（5）
由（5）得
i1-i2 =R2C1C2
d 2Uc dt 2
+C1
dU c dt
i1 =R2C1C2
d 2Uc dt 2
+C1
dU c dt
+i2
i1 =R2C1C2
d 2Uc dt 2
+(C1+C2 )
dU c dt
将（5）、（6）代入（1）
R2
i2 C2
uc
1、输入：Ur ，输出：Uc 2、列写微分方程组，由基尔霍夫定理可得：
(a) 电路图
1
Ur=i1R1+ C1 (i1- i2 )dt
1
1
C1
(i1- i2 )dt=i2R2 + C2
i2dt
Uc= 1 C2
i2dt
（1） （2） （3）
③消去中间变量 则：
i1、i2
，由（3）得：i2 =C2