高一数学必修一知识典型习题

第一

章 集合

一、集合有关概念

1.集合的中元素的三个特性： (1)

元素的确定性.如：世界上

最高的山 (2) 元素的互异性.如：由HAPPY 的字母组成的集合{}Y P A H ,,, (3)

元素的无序性.如：{}c b a ,,和{}b c a ,,是表示同一个集合

2.常用数集的表示：

非负整数集（自然数集）：N ；正整数集 +*N N 或；整数集：Z ；有理数集：

Q 实数集：R

3.集合的分类： (1) 有限集：含有有限个元素的集合 (2) 无限集：含有无限个元素的集合

(3)

空集：不含任何元素的集合，记作：φ.例：{}5|2-=x x

二、集合间的基本关系 1.“包含”关系——子集

注意：B A ⊆有两种可能：①A 是B 的一部分；②A 与B 是同一集合.

反之: 集合A 不包含于集合B ,或集合B 不包含集合A ,记作A ⊆

/B 或B ⊇/A 2．“相等”关系：B A = (B A ⊆且A B ⊆)

实例：设{}01|2=-=x x A ，{

}1,1-=B “元素相同则两集合相等” 3.集合的性质：

① 任何一个集合是它本身的子集即A A ⊆.

②真子集:如果B A ⊆,且B A ≠那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A

B 或(B

A )

③如果B A ⊆,C B ⊆,那么C A ⊆. ④如果B A ⊆同时A B ⊆ 那么B A =. 4.子集个数问题

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集. 有n 个元素的集合，含有n 2个子集，12-n 个真子集. 三、集合的运算

运算

交 集 并 集 补 集

四、典型例题：

1.下列四组对象，能构成集合的是（ ）

A 某班所有高个子的学生

B 着名的艺术家

C 一切很大的书

D 倒数等于它自身的实数

2.集合{}c b a ,,的真子集共有 个

3.若集合{}R x x x y y M ∈+-==,12|2,{}0|≥=x x N ,则M 与N 的关系是 .

4.设集合{}21|<<=x x A ，{}a x x A <=|，若B A ⊆，则a 的取值范围是 .

5.已知集合{}082|2=-+=x x x A ,{}065|2=+-=x x x B ,{}019|22=-+-=m mx x x C ,若φ≠C B I ，φ=C A I ，求m 的值.

第二章 函数

一、函数的相关概念

1．函数的对应形式：一对一、多对一．

2．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域.

常见定义域类型：①分母0≠； ②偶次方根的被开方数0≥；对数式的真数0>N ；④指数、对数式的底10≠>a a 且；⑤00≠x x 中. 相同函数的判断方法：

①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； ②定义域一致 (两点必须同时具备) 3．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法

4. 函数图象变换规律：

①平移变换：左加右减、上加下减 ；

②翻折变换： )(x f 去左留右、右翻左 )(x f

)(x f )(x f

二、函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

I.增函数：2121,x x D x x <∈∀且，都有)()(21x f x f < 减函数：2121,x x D x x <∈∀且，都有)()(21x f x f > II.图象的特点

增函数：图象从左到右是上升的； 减函数：图象从左到右是下降的. III.函数单调区间与单调性的判定方法

A .定义法：

（证明步骤：取值、作差、变形、定号、下结论） B .图象法:从图象上看升降

C .复合函数的单调性规律：“同增异减” 2．函数的奇偶性（整体性质） I.用定义判断函数奇偶性的步骤：

○

1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○

2确定)(x f )(x f -与的关系； ○

3作出相应结论：若为奇函数，则有0)()()()(=-+-=-x f x f x f x f 或；

若为

偶函数，则有

)()()()(=--=-x f x f x f x f 或

II.函数图象的特征

奇函数：图象关于原点对称； 偶函数：图象关于y 轴对称. 3.函数解析式

主要方法有：①凑配法；②待定系数法；③换元法；④消参法. 三、典型习题：

1.已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = .

2.设函数

f x ()的定义域为[]01，，则函数

f x ()

2的定义域为_

_ ；

若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 . 3.设

()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时,

()(1f x x =,则当(,0)

x ∈-∞时()

f x

= ；

()f x 在R 上的解析式为 .

4.函数

22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩

，若()3f x =，则x = 5.求下列函数的定义域：

⑴y

⑵y =6.求下列函数的值域： （1）

223

y x x =+-

(2)

y 7.已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式. 8.求下列函数的单调区间：

⑴

y = （2）261y x x =-- 9.设函数22

11)(x

x x f -+=判断它的奇偶性并且求证：)()1(x f x

f -=．

第三章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算