高中数学暑假培训资料(必修一)

必修１ 第一章 §1-1 集合及其运算
一、知识点总结：
1．元素与集合的关系:用 或 表示； 2．集合中元素具有 、 、 3．集合的分类：
①按元素个数可分： 限集、 限集 ；②按元素特征分：数集，点集等 4．集合的表示法：
①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N={0，1，2，3，…}； ②描述法
③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*
N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、
实数集R;
5．集合与集合的关系: 6．熟记：①任何一个集合是它本身的子集；
②空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集； ③如果B A ⊆，同时A B ⊆
，那么A = B ；如果A B ⊆，B C ⊆，
A C ⊆那么 .④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个.
7．集合的运算（用数学符号表示）
交集A∩B= ; 并集A ∪B= ；
补集C U A= ，集合U 表示全集. 8.集合运算中常用结论:
;A B A B A ⊆⇔=A B A B B ⊆⇔=
二、基础练习：
1．下列关系式中正确的是（ ）
A. 0∈∅
B. 0{0}∈
C. 0{0}⊆
D. {0}⊂∅≠
2． 方程3
231x y x y +=⎧⎨-=⎩
解集为______.
3．全集{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}I =，{1,2,3}A =,{2,5,6,7}B =，则A
B ＝ ，
A B ＝ ，()
I C A B ＝
4．设{
}
2
20,M x x x x R =++=∈，a =lg(lg10)，则{a }与M 的关系是( )
A ．{a }=M
B ． M {a }
C ．{a }∉M
D ．M ⊇{a }
三、提高篇：
5．集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，求A B ，A B ，()
R C A B
6． 设{}
{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--,已知{}9A B =,求实数a 的值.
7． 已知集合M=2
{|1}y y x =+，N={|x y =
x ∈R}，求M∩N
8．集A ＝{－1，3，2m －1}，集B ＝{3，2
m }．
若B A ⊆，则实数m ＝ 四、知识整理、理解记忆要点
1. 2.
3. 4.
五、自主练习：
1．已知全集,U R =且{}|12,A x x =->{}
2
|680,B x x x =-+<则()
U C A B 等于
A ．[1,4)-
B ．(2,3)
C ．(2,3]
D ．(3,4)
2．设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}
2
|,B y y x ==-，则()R C A
B 等于（ ）
A ．(,0]-∞
B ．{}
,0x x R x ∈≠ C ．(0,)+∞ D ．∅ 3．已知全集U Z =，{1,0,1,2},A =-，2
{|}B x x x ==则U A C B 为
4．{}
2|60A x x x =+-=，{}|10B x mx =+=，且A B A =，满足条件的m 集合是
______
5．已知全集U ＝｛2，4，1－a ｝，A ＝｛2，a 2－a ＋2｝，如果{}1U
A =-，那么a 的值为____
§1-2 函数的概念及定义域
一、基础知识： 1．定义：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中的 一
个数x ，在集合B 中 确定的数f(x)和它对应，那么就称:f A B →为集合A
到集合的一个 ，记作： 2．函数的三要素 、 、
3．函数的表示法：解析法（函数的主要表示法），列表法，图象法； 4. 同一函数： 相同，值域 ，对应法则 . 5．定义域：自变量的取值范围
求法：（1）给定了函数解析式：使式子中各部分均有意义的x 的集合； (2) 活生实际中，对自变量的特殊规定. 6.常见表达式有意义的规定：
① 分式分母有意义，即分母不能为0；
② 有意义集合是{|0}x x ≥ ③ 0
0无意义
④ 指数式、对数式的底a 满足：{|0,1}a a a >≠,对数的真数N 满足：{|0}N N >
二、基础篇：
1．设)(x f 2
32x x =-+，求(1)f x +
2．已知1392)2(2
+-=-x x x f ，求)(x f .
3
．求函数1
y x =-的定义域
4．函数)13lg(13)(2++-=
x x
x x f 的定义域是（ ）
A.),3
1(+∞- B. )1,3
1(- C. )3
1,31(- D. )3
1,(--∞ 三、提高篇：
5．已知()f x 是一次函数，且满足：3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x
6． 已知()y f x =的定义域为[-1,1]，试求1(2)()2
y f x f x =-+的定义域
7．设()x x x f -+=22lg
，则⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为
A. ()()4,00,4 -
B. ()()4,11,4 --
C. ()()2,11,2 --
D. ()()4,22,4 --
8.设2
2 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
，若()3f x =，则x =
9.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ）
⑴3
)
5)(3(1+-+=
x x x y ，52-=x y ；
⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；
⑶x x f =)(，2)(x x g =；
⑷()f x ()F x =
⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。

A ．⑴、⑵
B ．⑵、⑶
C ．⑷
D ．⑶、
知识整理、理解记忆要点
1.
2.
3.
4.
四、自主练习：
1．函数42
2--=
x x y 的定义域
2．函数0
y
=定义域是__________
3．设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ）
A ．21x +
B ．21x -
C ．23x -
D ．27x + 4．已知2
2
11()11x x f x x --=
++，则()f x 的解析式为( ） A ．
21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．2
1x x
+- 5．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ）
A ．1
B ．0
C ．0或1
D ．1或2
6. 设⎩
⎨⎧<+≥-=)10()],6([)
10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
§1-3 函数的表示与值域
一、基础知识：
1．函数的表示法： ， ，
2．函数的值域：{f (x )|x ∈A}为值域。

3．求值域的常用的方法：
①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反解法；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；
⑥单调函数法.
4. 常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

① 函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R; 二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++= 当0>a 时值域是2
4[,)4ac b a
-+∞,
当0<a 时值域是(,-∞a
b a
c 442
-]；
② 反比例函数)0,0(≠≠=x k x
k y 的值域为}0|{≠y y ；
③ 指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为+R ； ④ 对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R ； ⑤ 函数sin ,cos ()y x y x x R ==∈的值域为[-1，1]；
⑥ 函数 2
k x ,tan π
π+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R ；
二、基础篇：
1．图中的图象所表示的函数的解析式为
(A)|1|2
3
-=
x y
(0≤x ≤2) (B) |1|23
23--=x y (0≤x ≤2)
(C) |1|2
3
--=x y (0≤x ≤2)
(D) |1|1--=x y
(0≤x ≤2)
2． 求函数的值域：y=-3x 2+2;
3．求函数的值域：y=1
2
++x x
三、提高篇： 4． 求函数y =4
32+x x
的最值
5．求函数y=3
425
2+-x x 的值域.
6．求函数的值域：y=5+21+x (x ≥-1).
7. 求2
23([2,3])y x x x =-++∈的值域
知识整理、理解记忆要点：
1.
2.
3.
4.
四、自主练习：
1．如图示：U 是全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是： A ．()M P S B ．()M P S C ．()
U
M
P S D ．()
U
M P S
2．求2
23y x x =++的值域
3．求2
sin 2sin 3y x x =++的值域
4．求1x
x
e y e
=+的值域
5．求函数22 (01)() 2 (12)5 (5)x x f x x x x ⎧≤≤⎪
=+<<⎨⎪≥⎩
的值域
§1-4 函数的单调性
一、知识点：
1．设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆
如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就
说)(x f y =在区间I 上是 ，I 称为)(x f y =的 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是 ，I 称为)(x f y =的 2．对函数单调性的理解
（1） 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数
的定义域； （2） 函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即12x x <；三
是同 属于一个单调区间，三者缺一不可；
（3）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明)(x f y =在某区间I 上的单调性，那么就
要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。

但是要注意，不能用区
间I 上的两个特殊值来代替。

而要证明)(x f y =在某区间I 上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间I 上两个特殊的1x ，2x ，若21x x <，有
)()(21x f x f ≥即可。

（4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数x
y 1
=
分别在)0,(-∞和),0(+∞内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即),0()0,(+∞-∞ 内是单调递减的，只能说函数x
y 1
=
的单调递减区间为)0,(-∞和),0(+∞ （5）一些单调性的判断规则：①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么
)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）。

②复合函数的单调性规则是“异减同增” 二、基础篇：
1．设
图象如下，完成下面的填空
增区间有： 减区间有： 2．试画出函数1
y x
=的图象，并写单调区间
3． 写出函数2
(0)y ax bx c a =++≠的单调区间
三、提高篇：
4．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是
A ．)2()1()2
3
(f f f <-<- B ．)2()2
3()1(f f f <-<- C ．)23()1()2(-<-<f f f D ．)1()2
3
()2(-<-<f f f
5． 若函数2
()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是 A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(]
[),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞
6.函数x x x f -=2
)(的单调递减区间是____________________
7. 利用函数的单调性求函数x x y 21++=的值域
8. 求函数2
2log (23)y x x =--单调递增区间
知识整理、理解记忆要点
1. 2.
3. 4.
四、自主练习：
1．下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是 A ．x y = B ．x y -=3 C ．x
y 1=
D ．42
+-=x y 2．已知5)2(22
+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ）
A .2a ≤-
B .2a ≥-
C .6-≥a
D .6-≤a
3．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增
函数；(2)若函数2
()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3)
223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和y 表示相等函数。

其中正确命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．求y =
5.若1
()2
ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。

§1-5 函数的奇偶性
一、知识点：
1．函数的奇偶性的定义：
① 对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-〔或0)()(=+-x f x f 〕
，则称)(x f 为 . 奇函数的图象关于 对称。

② 对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-〔或0)()(=--x f x f 〕
，则称)(x f 为 . 偶函数的图象关于 对称。

③ 通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对
称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称） 2．.函数的奇偶性的判断：
可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式
)0)((1)
()
(0)()()()(≠±=-⇔
=±-⇔±=-x f x f x f x f x f x f x f ,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性. 注意：
①若0)(=x f ,则)(x f 既是奇函数又是偶函数,若)0()(≠=m m x f ,则)(x f 是偶函数； ②若)(x f 是奇函数且在0=x 处有定义，则0)0(=f
③若在函数)(x f 的定义域内有)()(m f m f ≠-，则可以断定)(x f 不是偶函数，同样，若在函数)(x f 的定义域内有)()(m f m f -≠-，则可以断定)(x f 不是奇函数。

3．奇偶函数图象的对称性
（1） 若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )
(x f 的图象关于直线a x =对称；
（2） 若)(x b f y +=是偶函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f
)(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；
二、基础篇：
1．下列判断正确的是（ ）
A ．函数2
2)(2--=x x
x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =-
C ．函数()f x x =+
D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2． 若函数2()1
x a
f x x bx +=
++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________
3．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ）
A ．{}|303x x x -<<>或
B ．{}|303x x x <-<<或
C ．{}|33x x x <->或
D ．{}|3003x x x -<<<<或 三、提高篇：
4．判断下列函数的奇偶性：
（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；
（2）2
|2|1)(2
-+-=x x x f ；
5．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则 则
2(6)(3)f f -+-=__________。

6. 设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且
1
()()1
f x
g x x +=
-,求()f x 和()g x 的解析式.
7. 定义在区间)1,1(-上的函数f (x )满足：对任意的)1,1(,-∈y x ，都有
)1()()(xy
y
x f y f x f ++=+. 求证f (x )为奇函数；
知识整理、理解记忆要点
1. 2.
3. 4.
四、自主练习：
1. 下列函数中是奇函数的有几个（ ）
①11x x a y a +=- ②2lg(1)
33
x y x -=+- ③x y x = ④1log 1a x y x +=-
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 2．函数lg y x = ( )
A ． 是偶函数，在区间(,0)-∞ 上单调递增
B ． 是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减
C ． 是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增
D ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减
3．函数()log 1a f x x =-在(0,1)上递减，那么()f x 在(1,)+∞上（ ） A ．递增且无最大值 B ．递减且无最小值
C ．递增且有最大值
D ．递减且有最小值
4．设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()(1f x x =+
，则当(,0)x ∈-∞时
()f x =______。

§1-6 指数式及运算性质
一、知识点：
1．⑴一般地，如果 ，那么x 叫做a 的n 次方根。

其中 . ⑵ 叫做根式，这里n 叫做 ，a 叫做 。

2． 当n 为奇数时，=n n a ；当n 为偶数时，=n n a . 3． 我们规定：⑴=m
n a
；其中（ ）
⑵=-n
a
；其中（ ）
⑶0的正分数指数幂 ，0的负分数指数幂 .
4． 运算性质：⑴=s
r
a a ( )；
⑵()
=s
r
a ( )；
⑶()=r
ab ( )。

二、基础篇：
1
．85
-
⎝
⎭
化成分数指数幂为 ( ) A ．12
x
- B ．415
x C ．415
x - D ．25
x
2
．计算(12
2
-
-⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
的结果是 ( )
A
B
．
D
． 3．若102,103m
n
==，则32
10
_______m n -=4．若()1
4
1x --有意义，则_________x ∈．
三、提高篇：
5．化简1
327()125-的结果是（ ）.
A. 35
B. 5
3
C. 3
D.5
6．（1）计算：
25.021
21
32
5.032
0625.0])32.0()02.0()008.0()9
4
5()833[(÷⨯÷+---
（2）化简：
5332
33
23
23323
134)2(248a
a a a a
b a
a
ab b b a a ⋅⋅⨯
-÷++--
7．已知1
12
2
3x x
-
+=，求下列各式的值。

(1)1
x x -+ (2)2
2
x x -+
(3)2
2
x x -- (4)
332
2112
2
x x x x
--
--
8．化简下列各式：
(1)()1110
22x x x x x --⎛⎫++- ⎪⎝⎭
(2)()()()()33334
411a a a a a a a a ----+-++-
知识整理、理解记忆要点
1. 2.
3. 4.
四、自主学习： 1．求下列各式的值：
⑴ ； ⑵
⑷
⑶ ；
2．化简下列各式
⑴ ； ⑵ (a>0,b>0)；
⑶ ；⑷
3．求下列各式的值 (1) 已知112
2
3x x
-+=，求
22332
2
23
x x x x
--+-+-的值。

(2)已知223a a
-+=，求88a a -+
43
29
81⨯435)12525(÷-1075325
555⋅⋅313
3
73
32
9
a a a a
--÷
42
)4(-π332b a
a b b a 63
22
)497025(b ab a +-3
69
223
b b
a b
a ⋅
§1-7 对数式及运算性质
一、知识点：
1．⇔=N a x
； 2．=N
a a
log ； 3．=1log a ，=a a log .
4．当0,0,1,0>>≠>N M a a 时：
⑴()=MN a log ； ⑵=⎪⎭
⎫
⎝⎛N M a log ； ⑶=n
a M log .
5．换底公式：=b a log . ()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a . 6．a
b b a log 1
log =
()1,0,1,0≠>≠>b b a a .
二、基础篇：
1．lg ,lg ,lg x y z 用表示下列各式：
();(1)lg xyz
2(2)lg ;xy z
3
2(4)lg
y z
2．计算（1）()
()32log 32-+＝ 。

（2）2
(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+＝ 。

3．利用对数的换底公式化简下列各式：
()()
23454839(1)log log ;(2)log 3log 4log 5log 2;(3)log 3log 3log 2log 2a c c a ••••++
三、提高篇：
4．已知a >0,b >0,且,9b
a
a b b a ==，则a 的值为 ( )
A
B
C ．9
D ．
19
5．已知1
1
2
5
1111log log 3
3
x =
+
,则x 的值应在区间 ( )
A ．(－2,－1)
B ．(1,2) C(－3,－2) D ．(2,3) 6．已知lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1 = 0的两个根，则(lg
b
a )2
的值是( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．计算： (1)lg14－2lg
3
7
+lg7－lg18 (2) ２5log 25＋３2log 64 (3)3log 8log 4log 843⋅⋅
8．已知lgx = a,lgy = b,lgz = c,且有a ＋b ＋c =0,求x
c
b 11+·y a
c 11+·z b
a 11+的值．
知识整理、理解记忆要点
1. 2.
3. 4. 四、自主练习： 1． 11
log log a
a
b b
-之值为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2log a b D ．2log a b - 2．已知35a b m ==，且112a
b
+=，则m 之值为 ( )
A ．15 B
C ．
D ．225
3．若log 7[ log 3( log 2x)] = 0，则x
2
1-
为( )．
A ．
3
21 B ．
3
31 C ．
21
D ．
4
2 4．(21
log
322___________+=
5．设a ，b 为正数，且a 2－2ab －9b 2= 0，求lg(a 2＋ab －6b 2)－lg(a 2＋4ab ＋15b 2)的值．
§1-8 指数函数及性质与简单幂函数
一、知识点：
1．函数 叫做指数函数。

2.指数函数的图象和性质
x
a y = 0 < a < 1 a > 1
图 象
性 质 定义域
值域
定点
单调性
对称性
x y a =和x y a -=关于 对称
3．几种幂函数的图象：
二、基础篇：
1．幂函数()f x 的图象过点
427)（，则()f x 的解析式是_____________。

2．若22521,(),4,1,(1),2
x y x y y x y x y x ====+=- ,(1)x y x y a a ==>,上述函数是幂函数
的个数是( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 3． 若指数函数在上是减函数，那么（ ） A ． 01<<a B ．-<<10a C ． D ．
4．若函数(1)x
y a b =+-（0a >且1a ≠）的图象不经过第二象限，则有 （ ）
A ．1a >且1b <
B ．01a <<且1b ≤
C ．01a <<且0b >
D ．1a >且0b ≤ 三、提高篇：
5．如图，设a,b,c,d>0， 且不等于1，y=a x , y=b x , y=c x ,y=d x 在同一坐标系中的 图象如图，则
a,b,c,d 的大小顺序（ ）
A ．a<b<c<d
B ．a<b<d<c
C ．b<a<d<c
D ．b<a<c<d 6．下列各不等式中正确的是（ ）
A 、(12 )23 >(12 )13
B 、223 >232
C 、(12 )32 >223
D 、(12
)32 <223
7．求下列函数的定义域、值域： （1）1
21
8x y -= （2）11()2
x
y =-
y=d x
y=c x
y=b x y=a x
O
y x
y=d x
y=c x
y=b x y=a x
O
y x
8．求函数y=3
232x -的单调递减区间
9．已知函数 （1）求的定义域和值域；
（2）讨论的奇偶性；
（3）讨论的单调性。

知识整理、理解记忆要点
1. 2.
3. 4.
五、自主练习：
1．函数y=1
212+-x x 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
2．若指数函数x
a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于 （ ） A ．251+ B ．251+-C ．2
51±D ． 215± 3．当时，函数和的图象只可能是
（ ）
4．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围
（ ）
A ．)1,1(-
B ．),1(+∞-
C ．}20|{-<>x x x 或
D ．}11|{-<>x x x 或
5．已知函数)1(122>-+=a a a y x x 在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值.
§1-9 对数函数及性质
一、知识点：
1．一般地，函数 叫做对数函数；
二、基础篇：
1．已知f(x)=(a 2－1)x 在区间(－∞,+∞)内是减函数,则实数a 的取值范围是 （ ）
A.|a|＜1
B.|a|＞1
C.|a|＜2
D.1＜|a|＜2
2．若)
2(log ax y a -=在]1,0[上是减函数,则a 的取值范围是( )
A.)1,0(
B.)2,0(
C.)2,1(
D.),2(+∞
3.函数)813
1(log 3≤≤=x x y 的反函数的定义域为( ) A ．),0(+∞ B ．)81,31( C ．)4,1( D ．)4,1(-
4．在区间),0(+∞上不是增函数的是 （ ）
A ．2x y = B.y = C.x
y 2= D.221y x x =++ 三、提高篇：
5．函数22()log (2)
x f x x =-的定义域是 ． 6．设函数421()log 1
x x f x x x -⎧<=⎨>⎩, 求满足()f x =41的x 的值．
7．求函数)64(log 2
2+-=x x y 的定义域、值域、单调区间
8．已知函数2
2
2(3)lg 6x f x x -=-，(1)求()f x 的定义域；(2)判断()f x 的奇偶性。

9．已知函数2328()log 1
mx x n f x x ++=+的定义域为R ，值域为[]0,2，求,m n 的值。

知识整理、理解记忆要点
1. 2.
3. 4.
四、自主学习：
1．函数(21)
log x y -= （ ） A ．()2,11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
2．下列关系式中，成立的是 （ ）
A ．10log 514log 3103>⎪⎭⎫ ⎝⎛>
B ．4log 5110log 30
31>⎪⎭⎫ ⎝⎛> C ．03
135110log 4log ⎪⎭⎫ ⎝⎛>> D ．0
331514log 10log ⎪⎭⎫ ⎝⎛>>
3．函数212log (617)y x x =-+的值域是 （ ）
A ．R
B ．[)8,+∞
C ．(),3-∞-
D ．[)3,+∞
4．若函数log 2(kx 2+4kx +3)的定义域为R ，则k 的取值范围是 （ B ）
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛43,0
B ．⎪⎭
⎫⎢⎣⎡43,0 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,0 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-∞,43]0,(
5．求函数y =)23(log 22
1+-x x 的递增区间。

6.已知f (x )=log a 1+x 1-x
(a ＞0，且a ≠1)、 （1）求f (x )的定义域；
（2）判断f (x )的奇偶性并予以证明；
（3）求使f (x )＞0的x 的取值范围、
§1-10 函数的应用---根与零点及二分法
一、知识点：
1．方程()0=x f 有实根
⇔
⇔
2．零点定理：如果函数()x f y =在区间 上的图象是 的一条曲线，并且
有 ，那么，函数()x f y =在区间 内有零点，即存在()b a c ,∈，使得 ，这个c 也就是方程()0=x f 的根.
3．二分法求函数()x f y =零点近似值的步骤：
⑴确定区间 ，验证 ，给定 。

⑵求 ；
⑶计算 ；
①若 ，则 ；
②若 ，则令 ；
③若 ，则令 。

⑷判断
二、基础篇：
1．下列函数中有2个零点的是 ( )
A ．lg y x =
B ．2x y =
C ．2y x =
D ．1y x =-
2．若函数()f x 在区间[],a b 上为减函数，则()f x 在[],a b 上 ( )
A ．至少有一个零点
B ．只有一个零
C ．没有零点
D ．至多有一个零点
3．用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是 。

4．若()y f x =的最小值为1，则()1y f x =-的零点个数为 ( )
A ．0
B ．1
C ．0或l
D ．不确定
三、提高篇：
5．已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)
内，那么下面命题错误的（ ）
A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点
B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点
C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点
D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点
6．若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上 ( )
A ．一定没有零点
B ．至少有一个零点
C ．只有一个零点
D ．零点情况不确定
7．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）
A ．()6,2-
B ．[]6,2-
C ．{}6,2-
D ．()
(),26,-∞-+∞
8．函数()ln 2f x x x =-+的零点个数为 。

9．设()833-+=x x f x ，用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（）
A ．(1,1.25)
B ．(1.25,1.5)
C ．(1.5,2)
D ．不能确定
10．证明：函数225()1
x f x x -=
+在区间（2，3）上至少有一个零点。

知识整理、理解记忆要点
1. 2.
3. 4.
四、自主学习：
1．求132)(3
+-=x x x f 零点的个数为 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．若函数()f x 在[],a b 上连续，且同时满足()()0f a f b <，()02a b f a f +⎛⎫> ⎪⎝⎭．
则 ( ) A ． ()f x 在,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点 B ． ()f x 在,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有零点 C ． ()f x 在,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点 D ． ()f x 在,2
a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点 3．方程22lg x x -=的实数根的个数是 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．无数个。