高中数学暑假培训资料(必修一)

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暑假补习班资料高中数学北师大版必修1 第4章阶段复习课

第四课函数应用[核心速填]1．函数的零点(1)我们把函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)对于连续函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内至少有一个零点．反之，不一定成立．2．二分法(1)二分法的概念每次取区间的中点，将区间一分为二，再经过比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．(2)用二分法求方程近似解的步骤：给定精度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))．3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．3．解决函数应用题的步骤函数建模经历审题、建模、解模、还原四个过程．[体系构建][题型探究]函数的零点及应用(1)设函数y ＝x 2与y 12x －2的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是()【导学号：60712395】A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)(2)函数f (x )＝x 12－的零点个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3[思路探究](1)将其转化为函数的零点所在区间的判断．(2)利用零点存在性定理及函数的单调性求解．[解](1)＝x 2－2消去y 得x 2－2令f (x )＝x 2－2，则x 0是函数y ＝f (x )的零点．又f (1)＝－1<0，f (2)＝3>0，由零点存在性定理知，x 0∈(1,2)．故选B.(2)因为f (0)＝－1<0，f (1)＝12>0，所以y ＝f (x )至少有一个零点．又因为y ＝f (x )是增函数，所以，y ＝f (x )有唯一零点，故选B.[答案](1)B (2)B[规律方法]确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数定性判断.[跟踪训练]1．已知函数f (x )x ≥2，－1)3，x ＜2若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．(0,1)[在同一坐标系中作出f (x )x ≥2，－1)3，x ＜2及y ＝k 的图像(如下图)．可知，当0＜k ＜1时，y ＝k 与y ＝f (x )的图像有两个交点，即方程f (x )＝k有两个不同的实根．]二分法的应用求32的一个近似值．(精度为0.01)【导学号：60712396】[思路探究]利用转化与化归思想求解．[解]设x ＝32，∴x 3－2＝0，令f (x )＝x 3－2，则f (x )的零点即为32的近似值，下面用二分法求解．由f (1)＝－1＜0，f (2)＝6＞0，可以把初始区间定为[1,2]，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值[1,2] 1.5 1.375＞0[1,1.5] 1.25－0.0469＜0[1.25,1.5]1.3750.5996＞0[1.25,1.375] 1.31250.2610＞0[1.25,1.3125] 1.281250.1033＞0[1.25,1.28125] 1.2656250.0273＞0[1.25,1.265625] 1.2578125－0.01＜0[1.2578125,1.265625]由于1.265625－1.2578125＝0.0078125＜0.01，故区间[1.2578125,1.265625]上的任一值皆可看做函数f(x)的零点的近似值，即32的一个近似值是1.265625.[规律方法] 1.看清题目的精度，它决定着二分的次数．2．根据f(a0)·f(b0)＜0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解，再确定初始区间．3．初始区间的选定一般在两个整数间，不同初始区间结果是相同的，但二分的次数相差较大．4．取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(a n，b n)中，a n与b n按精度要求取值相等，这个相等的近似值即为所求近似解．[跟踪训练]2．用二分法求5的近似值．(精度为0.1)[解]设x＝5，则x2＝5，即x2－5＝0，令f(x)＝x2－5.因为f(2.2)＝－0.16＜0.f(2.4)＝0.76＞0，所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.29.因为f(2.2)·f(2.3)＜0，∴x0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.0625.因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)．由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以5的近似值可取为2.25.实际问题的函数建模提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)【导学号：60712397】[思路探究]理解题意―→列出函数关系式―→求出最值[解](1)由题意知：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，a＋b＝0，a＋b＝60，＝－13，＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)，0≤x<20，200－x)，20≤x≤200.(2)依题意并由(1)可得f(x)x，0≤x<20，(200－x)，20≤x≤200.当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x≤200时，f(x)＝13x(200－x)＝－13(x－100)2＋100003.所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值10000 3.又1200＜100003，所以当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．[规律方法] 1.解函数应用题可归纳为四步：(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)还原．其中“建模”是最关键的一步．建模就是将实际问题数学化，准确建模的前提是了解常见的函数模型．2．函数是重要的数学模型，对于函数模型的应用，一方面是利用已知的函数模型解决问题；另一方面是根据实际问题建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，或对发展趋势进行预测．[跟踪训练]3．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[解](1)由题设，每年能源消耗费用C(x)＝k3x＋5，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5.而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)在f (x )＝8003x ＋5＋6x 中，令3x ＋5＝t ，则3x ＝t －5，∴g (t )＝800t＋2t －10＝10，∵0≤x ≤10，∴t ∈[5,35]，由函数的单调性知，g (t )在t ∈(0,20]上是减函数，在[20,35]上是增函数，∴g (t )在t ＝20时有最小值．∴当3x ＋5＝20，即x ＝5时，f (x )min ＝70.∴当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值70万元.化归与转化思想的应用设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )的实根的个数.【导学号：60712398】[思路探究]先将对数方程转化为二次方程，再将参数a 与未知数x 分离，进一步转化为两函数图像交点的个数问题．[解]原方程可化为－1>0，－x >0，x －1)(3－x )＝a －x ，x <3，＝－x 2＋5x －3画出函数y ＝－x 2＋5x －3，(1<x <3)，的图像，如下：所以，当a <1，或a >134时，无解；当a ＝134，或1≤a <3时，一解；当3≤a <134时，两解．[规律方法]转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题.在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的.[跟踪训练]4．已知函数f (x )＝mx 2－x －1在区间(0,1)内有零点，求实数m 的取值范围．[解]令f (x )＝0，得mx 2－x －1＝0.又x ∈(0,1)，则m ＋1x，令t ＝1x ，则t ∈(1，＋∞)，∴m ＝t 2＋t －14，∴m >2.。

第05讲命题、定理、定义(原卷版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)

第05讲命题、定理、定义知识点一命题1．命题的定义：可判断真假的陈述句叫作命题．2．命题的条件和结论：数学中，许多命题可表示为“如果p ，那么q ”或“若p ，则q ”的形式，其中__p __叫作命题的条件，__q __叫作命题的结论．3．命题的分类：判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题．知识点二定理定义1．定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 2．定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．考点一：命题的概念例1 判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)π3 是有理数； (2)3x 2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)一个数的算术平方根一定是负数．【总结】判断语句是否是命题的策略(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．变式下列语句中是命题的有________；是真命题的有________(填序号).①这里真热闹啊！②求证2 是无理数；③一个数不是正数就是负数；④并非所有的人都喜欢苹果；⑤若x ＝2，则x 2－1＞0.考点二：判断命题的真假例2 判断下列命题的真假，并说明理由． (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当x ＝4时，2x ＋1＜0；(3)若x ＝3或x ＝7，则(x －3)(x －7)＝0.命题真假的判定方法(1)真命题的判定方法：要判定一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证；(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判定一个命题为假命题的常用方法．变式下列命题是真命题的是()A．若xy＝1，则x，y互为倒数B．平面内，四条边相等的四边形是正方形C．平行四边形是梯形D．若ac3＞bc3，则a＞b考点三：命题的结构形式例3 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)6是12和18的公约数；(2)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.【总结】将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则[注意]若命题不是以“若p，则q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件p和结论q，进而改写成“若p，则q”的形式．变式把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(3)两个相似三角形是全等三角形．考点四：由命题的真假求参数的范围例4 已知集合A＝[－3，6)，B＝(－∞，a)，若A∩B＝∅是假命题，则实数a的取值范围是________．【总结】由命题的真假求参数的取值范围的基本步骤第一步，明确命题的条件和结论；第二步，根据所学知识写出命题为真时参数所满足的条件；第三步，化简相应的条件，求出参数的取值范围．[注意] 若求命题为假时参数的取值范围，可求命题为真时参数取值范围对应的补集．变式若A ＝{1，2}，B ＝{x |ax －2＝0}，则B ⊆A 成立是真命题，求实数a 的值．考点五：新定义题例4 对于a ，b ∈N ，规定a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ，a 与b 的奇偶性相同，a ×b ，a 与b 的奇偶性不同，集合M ＝{(a ，b )|a *b ＝12，a ，b ∈N *}，则M 中元素的个数为( )A ．6B ．8C ．15D ．16【总结】数学中的新定义题时常会出现，它是数学理论的基础，是进行判断、推理、论证的重要依据．在解题中充分利用新定义，挖掘内涵，才能抓住问题的实质，从而找到解决问题的途径．变式若X 是一个集合，是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于，∅属于；② 中任意多个元素的并集属于；③ 中任意多个元素的交集属于，则称是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合：① ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}； ② ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}； ③ ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；④ ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}．其中是集合X 上的一个拓扑的集合的所有序号是________.1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a ＞4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．“x ＝2时，x 2－3x ＋2＝0”是真命题2．下列四个命题中，其中真命题的个数为( )①与0非常接近的全体实数能构成集合； ②{－1，(－1)2}表示一个集合； ③空集是任何一个集合的真子集； ④任何一个非空集合至少有两个子集． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3．命题p ：存在实数x ，使得x ，3，4能成为三角形的三边长．若命题p 为假命题，则x 的取值范围是________．4．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，给出以下四个命题：①[－x ]＝－[x ]；②⎣⎡⎦⎤x ＋12 ＝[x ]；③[2x ]＝2[x ]；④[x ]＋⎣⎡⎦⎤x ＋12 ＝[2x ]. 则假命题是________(填上所有假命题的序号).5．将下列命题改写为“若p ，则q ”的形式，并判断真假．(1)当a ＞b 时，有ac 2＞bc 2； (2)实数的平方是非负实数；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除．6．下列语句为真命题的是( )A ．a >bB ．四条边都相等的四边形为矩形C ．1＋2＝3D ．今天是星期天7．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )A ．这个四边形的对角线互相平分B ．这个四边形的对角线互相垂直C ．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D ．这个四边形是平行四边形8．下列命题是真命题的为( )A ．若a >b ，则1a <1bB．若b2＝ac，则b2>a或b2>cC．若|x|<y，则x2<y2D．若a＝b，则a＝b9．命题“对顶角相等”中的条件为________，结论为________．10．菱形的对角线互相垂直的真假性为________(用“真”“假”填空)．1．以下语句：①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2＞x；④{x|x2＋1＝0}，其中命题的个数是() A．0 B．1C．2 D．32．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．43．下列命题中真命题有()①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列命题为真命题的是()A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等B．方程x2－x＋2＝0有两个不相等的实数根C．面积之比为1∶4的两个相似三角形的周长之比是1∶4D．在平面内，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形5．关于区间I＝(a，＋∞)，有下列四个命题：甲：小于1的数都不在区间I内；乙：区间I内不存在两个数互为倒数；丙：区间I内存在小于1的数；丁：区间I内每个数的平方都大于它本身．如果只有一个假命题，则该命题是()A.甲B．乙C．丙D．丁6．(多选)给出命题“方程x2＋ax＋1＝0有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是() A．4 B．2C．0 D．－37．(多选)(2021·山师大附中高一月考)给定下列命题，其中真命题为()A．若xy＝0，则|x|＋|y|＝0B．若a＞b，则a＋c＞b＋cC．矩形的对角线互相垂直D．∀x∈R，不等式x2＋2x＞4x－3恒成立8．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).9．若x∈[2，5]和x∈{x|x＜1或x＞4}都是假命题，则x的取值范围是________．10．若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是________________．11．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当m ＞14时，mx 2－x ＋1＝0无实根；(2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除．12．关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0，有下列四个命题：甲：x ＝1是该方程的根；乙：x ＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁13．(多选)下列四个命题中，假命题的是( )A ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D ．从直线外一点作直线的垂线段叫做点到直线的距离14．能够说明“若a ，b ，c 是实数，a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．15．定义：若对非空数集P 中任意两个元素a ，b ，实施“加减乘除”运算(如a ＋b ，a －b ，a ×b ，a ÷b (b ≠0))，其结果仍然是P 中的元素，则称数集P 是一个“数域”．下列四个命题：①有理数集Q 是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 是数域；③数域必是无限集；④存在无穷多个数域．上述命题错误的序号是________.16．A ，B ，C ，D ，E 五名学生参加某次数学单元检测，在未公布成绩前他们对自己的数学成绩进行了猜测．A 说：“如果我得优，那么B 也得优”； B 说：“如果我得优，那么C 也得优”； C 说：“如果我得优，那么D 也得优”； D 说：“如果我得优，那么E 也得优”．成绩揭晓后，发现他们都没说错，但只有三个人得优．请问：得优的是哪三位同学？17．判断下列各命题的真假，并简要说明理由．(1)方程ax ＋1＝x ＋2有唯一的解；(2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根同号，则ca＞0；(3)如果A⊆B，那么A B或A＝B；(4)合数一定是偶数．18．已知m∈Z，关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0有整数解是真命题，x2－4mx＋4m2－4m－5＝0有整数解也是真命题，求m的值．。

(人教A版)2021年新高一数学暑假精品讲义-第一讲集合的概念(教师版)

第一讲：集合的概念【学习目标】1．通过实例了解集合的含义； 2.理解集合中元素的特征；3.体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．【基础知识】一、元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)，常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．二、元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于集合A a ∈A“a 属于A ”不属于如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合Aa ∉A “a 不属于A ”三、常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N*N 或+NZQR【考点剖析】考点一：确定性如果元素的界限部明确，即不能构成集合，其中包括：著名的科学家；比较高的人；成绩比较好的学生，跑得比较快的同学，接近于1的数等例1．下列各对象可以组成集合的是（）A ．与1非常接近的全体实数B ．某校2020-2021学年度笫一学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．与无理数π相差很小的全体实数【答案】B【详解】A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.故选：B变式训练1：下列选项中元素的全体可以组成集合的是（）A．2007年所有的欧盟国家B．校园中长的高大的树木C．学校篮球水平较高的学生D．中国经济发达的城市【答案】A【详解】A：因为2007年欧盟国家是确定的，所以本选项符合题意；B：因为不确定什么样子的树木叫高大的树木，所以本选项不符合题意；C：因为不确定篮球水平较高是一种什么水平，所以本选项不符合题意；D：因为不确定经济水平什么样叫发达，所以本选项不符合题意，故选：A变式训练2：下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1.其中能构成集合的组数有（）A．2组B．3组C．4组D．5组【答案】A【详解】①“接近于0的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；③“平面上到点O的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合；④“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合；故③④正确.故选：A.变式训练3：下列各组对象能构成集合的是（） A ．新冠肺炎死亡率低的国家 B ．19世纪中国平均气温较高的年份C ．一组对边平行的四边形D ．π的近似值【答案】C 【详解】解：只要一组对边平行的四边形都在选项C 这个全体中，那么C 中所有对象能构成一个集合，而选项A ，B ，D 都没有明确的判定标准判定个体是否在全体中. 故选：C.考点二：互异性集合中的元素互相不相同例2．已知集合A 是由22,25,12a a a -+三个元素组成的，且3A -∈，求a =________.【答案】32- 【详解】解：由﹣3∈A ，可得﹣3=a ﹣2，或﹣3=2a2+5a ，由﹣3=a ﹣2，解得a=﹣1，经过验证a=﹣1不满足条件，舍去. 由﹣3=2a2+5a ，解得a=﹣1或32-，经过验证：a=﹣1不满足条件，舍去. ∴a=32-. 故答案为：﹣32. 变式训练1：已知集合A 是由21,1,3a a a +--三个元素组成，若1A ∈，则实数a 的值为__________. 【答案】0或2- 【详解】因为1A ∈，则11a +=或11a -=或231a -=，当11a +=时，0a =，{}1,1,3A =--，符合题意；当11a -=时，2a =，{}3,1,1A =，不满足集合中元素的互异性，舍去；当231a -=时，2a =-或2a =（舍）当2a =-时，{}1,3,1A =--，符合题意；综上所述：0a =或2a =-，故答案为：0或2-变式训练2：已知集合A 中的元素为22,2,a a a --，若2A ∈，则a =__________. 【答案】1或2；【详解】由{}22,2,A a a a =--，2A ∈，若22a =，1a =，20a a -=，此时{}2,2,0A =-，符合题意；若22a a -=，则2a =，1a =-，当1a =-时，22a =-，不符题意，当2a =时，{}2,4,2A =-，符合题意，综上可得：1a =或2a =. 故答案为：1或2.变式训练3：已知集合A 中的元素为21,1,3k k k +--，若1A ∈，则实数k 的值为_____________. 【答案】0或2- 【详解】依题意1A ∈，当11k +=时，0k =，{}1,1,3A =--，符合题意.当11k -=时，2k =，2131k k -=-=，不满足互异性，错误. 当231k -=，2k =（舍去）或2k =-，2k =-时，{}1,3,1A =--，符合题意.综上所述，实数k 的值为0或2-. 故答案为：0或2-考点三：元素与集合的关系元素与集合之间只能用属于（∈）和不属于（∉）.例3．下列元素与集合的关系表示正确的是（）①0N *∈； Z ； ③32Q ∈； ④Q π∈．A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【答案】B 【详解】N *为正整数集，所以0N *∉，故①不正确；Z Z ，故②正确；Q 表示有理数集，则32Q ∈，Q π∉，故③正确，④不正确；故选：B变式训练1：下列关系中，正确的个数为（）①0N ∈；②Q π∈Q ；④1Z -∈R .A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】0是自然数，故0N ∈，①正确；π是无理数，故Q π∉，②错误；Q ，③错误； 1-是整数，故1Z -∈，④正确；R ，⑤错误.故正确个数是2个.故选：B.变式训练2：给出下列关系：①12∈R ；②2∈Q ；③|3|-∈N ；④|3|-∈Z ；⑤0∉N ，其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】根据元素与集合的关系：①12∈R ，正确；②2∈Q ，正确；③|﹣3|=3∈N ，正确；④|-3|=3∈Z ，正确；⑤0∉N ，错误，故正确的个数为4．故选：D ．变式训练3：若集合A 中的元素满足1x -<x ∈R ，则下列各式正确的是（） A ．3A ∈，且3A -∉ B ．3A ∈，且3A -∈C ．3A ∉且3A -∉D ．3A ∉，且3A -∈【答案】D 【详解】因为312-=>314--=-<，所以3A ∉，3A -∈. 故选：D考点三：元素的个数例3．设集合A 中的元素均为实数，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1，且a ≠0)．求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集．证明：(1)若a ∈A ，则11－a ∈A .又因为2∈A ，所以11－2＝－1∈A .因为－1∈A ，所以11－(－1)＝12∈A .因为12∈A ，所以11－12＝2∈A .所以A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a，即a 2－a ＋1＝0，方程无实数解．所以a ≠11－a，所以集合A 不可能是单元素集．变式训练1：集合A 中的元素为1,2,3,5，当x A ∈时，若1,1x A x A -∉+∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【详解】解：对于元素1，112A +=∈，故不满足孤立元素的定义；对于元素2，213A +=∈，故不满足孤立元素的定义；对于元素3，312A -=∈，故不满足孤立元素的定义；对于元素5，514A -=∉，516A +=∉，故满足孤立元素的定义；故A 中孤立元素的个数为1个. 故选：A.变式训练2：非空集合A 具有下列性质：①若x 、y A ，则x A y∈；②若x 、yA ，则x y A +∈，下列判断一定成立的是（）（1）1A -∉；（2）20202021A ∈；（3）若x 、y A ，则xy A ∈；（4）若x 、yA ，则x y A -∉.A ．（1）（3）B ．（1）（2）C ．（1）（2）（3）D ．（1）（2）（3）（4）【答案】C 【详解】由①可知0A ∉.对于（1），若1A -∈，对任意的x A ∈，0x ≠，则1xx A -=∈-，所以，()0x x A =+-∈，这与0A ∉矛盾，（1）正确；对于（2），若0x ≠且x A ∈，则1xA x=∈，211A ∴=+∈，321A =+∈，依此类推可得知，n N *∀∈，n A ∈，2020A ∴∈，2021A ∈，20202021A ∴∈，（2）正确；对于（3），若x 、yA ，则0x ≠且0y ≠，由（2）可知，1A ∈，则1A y∈，所以，1x xy A y=∈，（3）正确；对于（4），由（2）得，1,2A ∈，取2,1x y ==，则1x y A -=∈，所以（4）错误. 故选：C.【当堂小结】1．知识清单：(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系． (2)常用数集的表示． (3)集合中元素的特性及应用． 2．方法归纳：分类讨论．3．常见误区：忽视集合中元素的互异性．【过关检测】1、能够组成集合的是（） A ．与2非常数接近的全体实数 B ．很著名的科学家的全体 C ．某教室内的全体桌子D ．与无理数π相差很小的数【答案】C 【详解】解：A.与2非常接近的数不确定，∴不能构成集合； B.“很著名”，怎么算很著名，不确定，∴不能构成集合； C.某教室内的桌子是确定的，∴可构成集合；D.“相差很小”，怎么算相差很小是不确定的，∴不能构成集合. 故选：C.2、下列各组对象不能构成集合的是（）A．上课迟到的学生B．2020年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数【答案】B【详解】上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；2020年高考数学难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合；小于π的正整数分别为1,2,3，所以能够组成集合.故选：B3、下列各组对象不能构成集合的是（）A．所有的正方形B．方程210x-=的整数解C．我国较长的河流D．出席十九届四中全会的全体中央委员【答案】C【详解】对于A选项，“所有的正方形”对象是明确的，故能构成集合；对于B选项，“方程210x-=的整数解”的对象是明确的，故能构成集合；对于C选项，“较长”不是一个确定的范围，“我国较长的河流”的对象不明确，故不能构成集合；对于D选项，“出席十九届四中全会的全体中央委员”的对象是明确的，故能构成集合.故选：C.4、下列判断正确的个数为（）（1）所有的等腰三角形构成一个集合；（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；（3）质数的全体构成一个集合；（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】在（1）中，所有的等腰三角形构成一个集合，故（1）正确；在（2）中，若1aa=，则a2＝1，∴a＝±1，构成的集合为{1，﹣1}，故（2）正确；在（3）中，质数的全体构成一个集合，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在，故（3）正确；在（4）中，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2，3，4，6}，含4个元素，故（4）错误．故选：C5、已知集合A 中的元素为22,2a a ++，若3A ∈，则实数a 的值为（）A ．1或1-B ．1C ．1-D ．1-或0【答案】C 【详解】当23a +=时，得1a =，此时223a +=，不满集合中元素的互异性，不合题意；当223a +=时，得1a =±，若1a =，则23a +=，不满集合中元素的互异性，不合题意；若1a =-，则21a +=，满足{}232,2a a ∈++.故选：C6、下列关系中，正确的个数为（）R ；②13Q ∈；③0=∅；④0N ∉；⑤Q π∈；⑥3Z -∈.A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D 【详解】R ，故①正确；在②中，13Q ∈，故②正确；在③中，0=∅，故③错误；在④中，0∈N ，故④错误；在⑤中，π∉Q ，故⑤错误；在⑥中，3-∈Z ，故⑥正确. 故选：D.7、集合A 中的元素x 满足6,3x x∈∈-N N ，则集合A 中的元素为______________．答案：0,1,2解析 ∵63－x ∈N ，∴3－x ＝1或2或3或6，即x ＝2或1或0或－3.又x ∈N ，故x ＝0或1或2.即集合A 中的元素为0,1,2.8、设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-．（1）若2A ∈，则A 中至少还有几个元素？（2）集合A 是否为双元素集合？请说明理由．（3）若A 中元素个数不超过8，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A 中的元素．【答案】（1）A 中至少还有两个元素；（2）不是双元素集合，答案见解析；（3）112,2,1,,3,223--．【详解】（1）2A ∈，1112A ∴=-∈-． 1A -∈，()11112A ∴=∈--． 12A ∈，12112A ∴=∈-． A ∴中至少还有两个元素为1-，12；（2）不是双元素集合．理由如下：x A ∈，11A x ∴∈-，11111x A x x-=∈--，由于1x ≠且0x ≠，22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，则210x x -+≠，则()11x x -≠，可得11x x ≠-，由221x x x -+≠-，即()21x x -≠-，可得111x x x -≠-，故集合A 中至少有3个元素，所以，集合A 不是双元素集合．（3）由（2）知A 中有三个元素为x 、11x -、1x x-（1x ≠且0x ≠），且1111x x x x-⋅⋅=--，设A 中有一个元素为m ，则11A m ∈-，1m A m -∈，且1111m m m m -⋅⋅=--，所以，A 中的元素为1111,,,,,11x m x m x x m m----，且集合A 中所有元素之积为1. 由于A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，设2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0x =（舍去）或2x =或12x =．此时，2A ∈，1A -∈，12A ∈，由题意得1111421213m m m m -+-+++=-，整理得3261960m m m -++=，即()()()621320m m m -+-=，解得12m =-或3或23，所以，集合A 中的元素为112,2,1,,3,223--．。

高中数学必修一集合与函数的概念复习资料

必修1 第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B I{|,x x A ∈且}x B ∈ （1）A A A =I （2）A ∅=∅I （3）A B A ⊆I A B B ⊆I BA并集A B U{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A =U （2）A A ∅=U （3）A B A ⊇U A B B ⊇U BA补集U A ð{|,}x x U x A ∈∉且（1）()U A A =∅I ð（2）()U A A U =U ð（3）()()()U U U A B A B =I U 痧? （4）()()()U U U A B A B =U I 痧?【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应关系．③只有定义域相同，且对应关系也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：（求函数的定义域之前，尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化）①()f x 是整式型或奇次方根式型函数，定义域为全体实数。

第01讲集合的概念(原卷版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)

第01讲集合的概念知识点一元素与集合的概念1．集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合，通常用大写拉丁字母来表示集合．2．元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．通常用小写拉丁字母表示．3．集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，那么称这两个集合相等．4．集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．特性含义确定性集合中的元素必须是确定的．因此，不能确定的对象不能组成集合，即给定一个集合，任何对象是不是这个集合中的元素，应该可以明确地判断出来互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．因此，集合中的任意两个元素必须都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素无序性集合中的元素可以任意排列知识点二元素与集合的关系1．属于：如果a是集合A的元素，那么就记作a A∈，读作“a属于A”．2．不属于：如果a不是集合A的元素，那么就记作a A∉，读作“a不属于A”．3．常见的数集及符号表示数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R考点一：集合的含义例1 (多选)判断下列每组对象，能组成一个集合的是( )A．某校高一年级成绩优秀的学生B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点C．不小于3的自然数D．2022年第24届冬季奥运会金牌获得者【总结】判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式 (多选)现有以下说法，其中正确的是( ) A．接近于0的数的全体构成一个集合B．正方体的全体构成一个集合C．未来世界的高科技产品构成一个集合D．不大于3的所有自然数构成一个集合考点二：元素与集合关系的判断例2 下列关系中，正确的有( )①12∈R；②5∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A.1个B．2个C.3个D．4个变式用“∈”，“∉”填空．已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A，－5________A．例3 若集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．【总结】1．判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可；(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．2．已知元素与集合的关系求参数的思路当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素．反之，当a∉A时，结论恰恰相反．利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验．变式方程ax2＋2x＋1＝0，a∈R的根组成集合A．当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素．考点三：集合中元素的特性及应用例4已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．【总结】根据集合中元素的特性求参数的3个步骤变式已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若2∈A ，则实数a 的值为________．考点四：根据集合相等求参数例5 由三个数a ，ba ，1组成的集合与由a 2，a ＋b ，0组成的集合相等，求a 2 022＋ b 2 022的值．【总结】从集合相等的定义入手，结合元素的无序性，寻找元素之间的关系．若集合中的元素不止一个，需要利用集合中元素的互异性对得到的结果进行取舍．变式集合P 中含有两个元素1和4，集合Q 中含有两个元素1和a 2，若P 与Q 相等，则a ＝________．1．下列说法正确的是( )A.某班中年龄较小的同学能够组成一个集合B.由1，2，3和 9 ，1，4 组成的集合不相等C.不超过20的非负数组成一个集合D.方程(x －1)(x ＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素2．已知集合S 中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，那么△ABC 一定不是( )A.锐角三角形 B ．直角三角形 C.钝角三角形 D ．等腰三角形3．(多选)下列说法正确的有( )A.N 与N *是同一个集合B.N 中的元素都是Z 中的元素C.Q 中的元素都是Z 中的元素D.Q 中的元素都是R 中的元素4．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________．5．集合A 中有两个元素：x ＋2，x 2.若1∈A ，则实数x 的值为________．1．下列对象能构成集合的是( )①所有很高的山峰；②方程x 2＋3x －4＝0的实数根； ③所有小于10的自然数；④cos 60°，sin 45°，cos 45°. A.①② B ．②③ C.①④ D ．③④2．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A.P 是由元素1，3 ，π组成的集合，Q 是由元素π，1，|－3 |组成的集合B.P 是由π组成的集合，Q 是由3.141 59组成的集合C.P 是由2，3组成的集合，Q 是由有序数对(2，3)组成的集合D.P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数组成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集3．下列元素与集合的关系判断正确的是( )①0∈N ；②－1∈Z ；③π∈Q ；④2 ∉R. A.①② B ．①③ C.①④ D ．②④4．由实数－a ，a ，|a |，a 2 所组成的集合最多含有的元素个数是( )A.1 B ．2 C ．3 D ．45．集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A.2∈A ，且2∈BB.(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC.2∈A ，且(3，10)∈BD.(3，10)∈A ，且2∈B6．(多选)下列关系中，正确的是( )A.14∈R B ．2 ∉QC.－3∈N D ．3 ∈Z7．(多选)下列说法正确的是( )A.N *中最小的数是1B.若－a ∉N *，则a ∈N *C.若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 的最小值是2D.x 2＋4＝4x 的实数解组成的集合中含有2个元素8．以方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－x －2＝0的根为元素的集合中共有________个元素．9．集合A 中的元素y 满足y ∈N ，且y ＝－x 2＋1.若t ∈A ，则t 的值为________．10．不等式x －a ≥0的解集为A ，若3∉A ，则实数a 的取值范围是________．11．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．12．(多选)已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x | ＋y |y | ＋z |z | ＋|xyz |xyz 的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A.0∉M B ．2∈M C.－4∈M D ．4∈M13．非空集合A 具有下列性质：(1)若x ，y ∈A ，则xy ∈A ；(2)若x ，y ∈A ，则x ＋y ∈A ，下列判断一定成立的是( )①－1∉A ；②2 0212 022∈A ；③若x ，y ∈A ，则xy ∈A ；④若x ，y ∈A ，则x －y ∉A . A.①③ B ．①② C.①②③ D ．①②③④14．若关于x 的方程mx 2－2x ＋3＝0的解集为单元素集合，则实数m ＝________．15．已知a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，则：(1)若A 中只有1个元素，则a ＝________；(2)若A 有且只有2个元素，则集合A 的个数是________．16．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1).求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集．17．定义满足“如果a ∈A ，b ∈A ，那么a ±b ∈A ，且ab ∈A ，且ab ∈A (b ≠0)”的集合A 为“闭集”．试问数集N ，Z ，Q ，R 是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．18．集合A 中共有3个元素－4，2a －1，a 2，集合B 中也共有3个元素9，a －5，1－a ，现知9∈A 且集合B 中再没有其他元素属于A ，能否根据上述条件求出实数a 的值？若能，则求出a 的值，若不能，则说明理由．。

高一数学暑假复习资料20讲甄选范文

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方便更改课题1函数及其表示高一数学暑假复习资料20讲（精选.）一、课时目标1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．二、主要知识点1．函数(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．(2)函数的三要素：．(3)函数的表示法：．(4)两个函数只有当都分别相同时，这两个函数才相同．2．分段函数在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．三、经典例题题型一函数与映射的概念【例1】下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？①A＝N，B＝Q，f：a→b＝1a＋1；②A＝{x|x＝n，n∈N*}，B＝{y|y＝1n，n∈N*}，f：x→y＝1a；③A＝{x|x≥0，x∈R}，B＝R，f：x→y，y2＝x；④A＝{平面M内的矩形}，B＝{平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆．【探究1】 (1)映射只要求第一个集合A 中的每个元素在第二个集合B 中有且只有一个元素与之对应；至于B 中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．(2)函数是特殊的映射：当映射f ：A →B 中的A 、B 为非空数集时，即成为函数．(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时【变式1】 (1)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x(2)设a 在映射f 下的象为2a ＋a ，则20在映射f 下的原象为________【例2】以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f 1：y ＝x x ；f 2：y ＝1.(2)f 1：y ＝|x |；f 2：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，－x ， x >0，x <0.(3)f 1：y ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧ 1， x ≤1，2， 1<x <2，3， x ≥2.f 2： xx ≤1 1<x <2 x ≥2y1 2 3(4)f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．【探究2】 (1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，是相同函数．【变式2】下列各对函数中，表示同一函数的是( )A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xB ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)C ．f (u )＝1＋u 1－u ，g (v )＝1＋v 1－vD ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2题型二函数的解析式【例3】求下列函数的解析式：(1)已知f(x)是一次函数，并且f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)；(2)已知f(2x＋1)＝4x2＋8x＋3，求f(x)；(3)已知f(x＋1x)＝x2＋1x2－3，求f(x)；(4)已知f(x)－2f(1x)＝3x＋2，求f(x)．【探究3】函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(4)方程思想：已知关于f(x)与f(1x)或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．【变式3】(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式．(2)已知f(x－2)＝2x2－9x＋13，求f(x)的解析式．(3)若函数f(x)满足f(x)＋2f(1－x)＝x，则f(x)的解析式为____．题型三分段函数与复合函数【例4】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x ∈－∞，0，x 2，x ∈[0，＋∞.g (x )＝x ＋1，求：(1)g [f (x )]； (2)f [g (x )]．探究4 分段函数、复合函数是高考热点，分段函数体现在不同定义域的子集上，对应法则不同，因此注意选择法则，而复合函数是把内层函数的函数值作为外层函数的自变量，因此要注意复合函数定义域的变化．【变式4】 (1)(2013·北京)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________． (2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4 x ≤4，－log 2x ＋1 x >4，若f (a )＝18，则f [f (a ＋6)]＝________.题型四抽象函数【例5】已知偶函数f (x )，对任意的x 1，x 2∈R 恒有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋2x 1x 2＋1，则函数f (x )的解析式为________．【探究5】抽象函数问题的处理一般有两种途径：(1)看其性质符合哪类具体函数形式，用具体函数代替抽象解决问题．(2)利用特殊值代入寻求规律和解法．【变式5】设f (x )是R 上的函数，且f (0)＝1，对任意x ，y ∈R 恒有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的表达式．四、本课总结1．映射问题允许多对一，但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟，但不允许一石三鸟！2．函数问题定义域优先！3．抽象函数不要怕，赋值方法解决它！4．分段函数分段算，然后并到一起保平安．五、课堂作业1．已知f (lgx )＝1x ，则f (1)＝________.2．电信资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3 min 收费0.2 元；超过3 min 以后，每增加1 min 收费0.1 元，不足1 min 按1 min 计费，则通话收费s (元)与通话时间t (min)的函数图像可表示为图中( )3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ，x ≤1，－x ，x >1，若f (x )＝2，则x 等于( )A ．log 32B ．－2C ．log 32或－2D ．2 4．已知集合M ＝{－1,1,2,4}，N ＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则：①y ＝x 2，②y ＝x ＋1，③y ＝2x ，④y ＝log 2|x |，其中能构成从M 到N 的函数的是________．5．已知f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (3)＝______.6．如图所示，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________.课题2函数的定义域与值域一、课时目标 1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．了解简单的分段函数，并能简单应用．二、主要知识点1．函数的定义域(1)求定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式(组)；②解不等式(组)；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)(2)基本初等函数的定义域：①整式函数的定义域为.②分式函数中分母.③偶次根式函数被开方式.④一次函数、二次函数的定义域均为.⑤函数f(x)＝x0的定义域为．⑥指数函数的定义域为.对数函数的定义域为．2．函数的值域基本初等函数的值域：(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为．(3)y＝kx(k≠0)的值域是．(4)y＝a x(a>0且a≠1)的值域是．(5)y＝xloga(a>0且a≠1)的值域是.三、经典例题题型一函数的定义域【例1】(1)函数y＝1log0.5x－1的定义域为________．(2)函数y＝1log a x－1(a>0且a≠1)的定义域为________．(3)函数f(x)＝x＋2x2lg|x|－x的定义域为________．【探究1】(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是基本代数式的意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义等．(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．【变式1】求函数y＝25－x2＋lgcosx的定义域．【例2】(1)已知y＝f(x)的定义域为[1,2]，求y＝f(3x－1)的定义域．(2)已知y＝f(log2x)的定义域为[1,2]，求y＝f(x)的定义域．【探究2】(1)若已知y＝f(x)的定义域为[a，b]，则y＝f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出．(2)若已知y＝f[g(x)]的定义域为[a，b]，则y＝f(x)的定义域即为g(x)的值域．【变式2】(1)(2013·大纲全国)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．(2)若函数f(2x)的定义域是[－1,1]，求f(log2x)的定义域．题型二函数的值域【例3】求下列函数的值域：(1)y＝1－x21＋x2；(2)y＝－2x2＋x＋3；(3)y＝x＋1x＋1；(4)y＝x－1－2x；(5)y＝x＋4－x2；(6)y＝|x＋1|＋|x－2|.【探究3】求函数值域的一般方法有：①分离常数法；②反解法；③配方法；④不等式法；⑤单调性法；⑥换元法．【变式3】(1)函数的值域为( ) A ．(－∞，12]B ．[12，1]C ．[12，1)D ．[12，＋∞)(2)函数y ＝2－sin x 2＋sin x的值域是________． (3)函数y ＝x 2＋x ＋1x ＋1的值域为________．题型三函数定义域与值域的应用【例4】已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．【探究4】已知值域求参数的值或范围是值域应用中的一类比较典型的题目．【变式4】已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6，x ∈R .(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数集，求函数f (a )＝2－a |a ＋3|的值域．四、本课总结求函数的值域与最值没有通性通法，只能根据函数解析式的结构特征来选择对应的方法求解，因此，对函数解析式结构特征的分析是十分重要的．常见函数解析式的结构模型与对应求解方法可归纳为：1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)及二次型函数y ＝a [f (x )]2＋b [f (x )]＋c (a ≠0)可用换元法．2．形如y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1a 2x 2＋b 2x ＋c 2(其中a 1，a 2不全为0且a 2x 2＋b 2x ＋c 2≠0)的函数可用判别式法．3．形如y＝ax＋b±cx＋d(a、b、c、d为常数，ac≠0)的函数，可用换元法或配方法．4．形如y＝ax＋bcx＋d(c≠0)或y＝2x－12x＋1或y＝sin x－1sin x＋2的函数，可用反函数法或分离常数法．5．形如y＝x＋kx(k>0，x>0)的函数可用图像法或均值不等式法．6．对于分段函数或含有绝对值符号的函数(如y＝|x－1|＋|x＋4|)可用分段求值域(最值)或数形结合法．7．定义在闭区间上的连续函数可用导数法求函数的最值，其解题程序为第一步求导，第二步求出极值及端点函数值，第三步求最大、最小值．五、课堂作业1．函数的定义域是()A．(－3，＋∞)B．[－2，＋∞)C．(－3，－2) D．(－∞，－2]2．(2013·山东)函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为()A．(－3,0] B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]3．对函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)作x＝h(t)的代换，则总不改变函数f(x)的值域的代换是() A．h(t)＝10t B．h(t)＝t2C．h(t)＝sint D．h(t)＝log2t4．函数y＝4x2－3x－43|x＋1|－2的定义域为________．5．函数y＝10x＋10－x10x－10－x的值域为________．课题3函数的单调性和最值一、课时目标1．理解函数的单调性及其几何意义．2．会运用函数图像理解和研究函数的性质．3．会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何意义．二、主要知识点1．单调性定义(1)单调性定义：给定区间D上的函数y＝f(x)，若对于∈D，当x1＜x2时，都有f(x1) f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数，否则为区间D上的减函数．单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间．(2)证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手．①利用定义证明单调性的一般步骤是a.∀x1，x2∈D，且，b.计算并判断符号，c.结论．②设y＝f(x)在某区间内可导，若f′(x) 0，则f(x)为增函数，若f′(x) 0，则f(x)为减函数．2．与单调性有关的结论(1)若f(x)，g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)为某区间上的函数．(2)若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为函数．(3)y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则y＝f[g(x)]是．若f(x)与g(x)的单调性相反，则y＝f[g(x)]是．(4)奇函数在对称区间上的单调性，偶函数在对称区间上的单调性．(5)若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)的最大值为，最小值为，值域为．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意x∈I，都有，②存在x0∈I，使得，那么称M是函数y＝f(x)的最大值；类比定义y＝f(x)的最小值．三、经典例题题型一单调性的判断与证明【例1】判断函数f(x)＝axx2－1(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．【探究1】(1)判断函数的单调性有三种方法：①图像法；②利用已知函数的单调性；③定义法．(2)证明函数的单调性有两种方法：①定义法；②导数法．【变式1】设函数f(x)＝2x＋a·2－x－1(a为实数)．若a<0，用函数单调性定义证明：y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．题型二求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；(2)f(x)＝log12(－x2－2x＋3)；（4）y＝3x2－6ln x.【探究2】求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间．4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：①求函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”．(6)求函数单调区间，定义域优先．【变式1】求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝13－2x－x2；(2)f(x)＝log12(－x2＋4x＋5)；(3)y＝x－ln(x－1)．题型三利用单调性求最值【例3】求函数f (x )＝x －1x 在[1,3]上的最值．【探究3】 (1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图像不易作出时，单调性几乎成为首选方法．(2)函数的最值与单调性的关系若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )；若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．【变式3】已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．题型四单调性的应用【例4】 (1)已知函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (x 2＋2x ＋3)<f (6)的x 的取值范围为________．(2)已知函数y ＝a log (2－ax )在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是________．【探究4】已知单调性求参数值或利用单调性解不等式是高考中热点，主要体现对性质的应用．【变式4】 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a x ＋1，x <1，a x ，x ≥1是R 上的增函数，那么a 的取值范围是________． (2)已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在其上为增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1，试解不等式f (x )＋f (x －2)＜3.四、本课总结1．单调区间是定义域的子区间，求单调区间、定义域优先．2．熟记各基本初等函数的单调区间，是求单调区间的前提、基础．3．对于对勾函数y＝x＋ax(a>0)，单调增区间：(－∞，－a]，[a，＋∞)；单调减区间：[－a，0)，(0，a]．4．函数的单调增、减区间要分开写；两个(或两个以上)同一类单调区间之间用“，”隔开，不能用“∪”符号连接．5．若f(x)具有对称轴x＝a，则在x＝a两侧的对称区间上f(x)具有相反的单调性；若f(x)具有对称中心(a，b)，则在x＝a两侧的对称区间上f(x)具有相同的单调性．6．函数图像的平移不影响单调性；其中左右平移能改变单调区间，上下平移不改变单调区间．自助专题求函数最值的常用方法1．配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的最值问题，可以考虑用配方法．【例1】已知函数y＝(e x－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．2.换元法【例2】(1)函数f(x)＝x＋21－x的最大值为________．(2)求函数y＝x－4－x2的值域．3.不等式法【例3】设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值为________．4.单调性法【例4】设a >1，函数f (x )＝x log a 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.5.平方法【例5】已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M 的值为( )A.14B.12C.22D.32 6.数形结合法【例7】对a ，b ∈R ，记max|a ，b |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max||x ＋1|，|x －2||(x ∈R )的最小值是________．五、课堂作业1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( )A ．y ＝1－x 2B ．y ＝x 2＋xC ．y ＝－－xD ．y ＝x x －12．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－3B ．a ≤－3C ．a >－3D ．a ≥－33．若函数f (x )是R 上的增函数，对实数a 、b ，若a ＋b >0，则有( )A ．f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b )B ．f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )C ．f (a )－f (b )>f (－a )－f (－b )D ．f (a )－f (b )<f (－a )－f (－b )4．函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( )A ．(3，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)5．给出下列命题①y ＝1x 在定义域内为减函数； ②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数；③y ＝－1x 在(－∞，0)上为增函数；④y ＝kx 不是增函数就是减函数．其中错误命题的个数有________．课题4函数的奇偶性一、课时目标 1.了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性．2. 掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题．二、主要知识点1．奇函数、偶函数、奇偶性对于函数f (x )，其定义域关于原点对称：(1)如果对于函数定义域内任意一个x ，都有，那么函数f (x )就是奇函数；(2)如果对于函数定义域内任意一个x ，都有，那么函数f (x )就是偶函数；(3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性．2．证明函数奇偶性的方法步骤(1)确定函数定义域关于对称；(2)判定f (－x )＝－f (x )(或f (－x )＝f (x ))，从而证得函数是奇(偶)函数．3．奇偶函数的性质(1)奇函数图像关于对称，偶函数图像关于对称；(2)若奇函数f (x )在x ＝0处有意义，则f (0)＝；(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性；若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性．(4)若函数f (x )为偶函数，则f (x )＝f (|x |)，反之也成立．4．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f (x )＝a x ＋a －x 为函数，函数f (x )＝a x －a －x 为函数；(2)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x －1a 2x ＋1(a >0且a ≠1)为函数； (3)函数f (x )＝a log 1－x 1＋x为函数； (4)函数f (x )＝a log (x ＋x 2＋1)为函数．5．周期函数若f (x )对于定义域中任意x 均有 (T 为不等于0的常数)，则f (x )为周期函数．6．函数的对称性若f (x )对于定义域中任意x ，均有f (x )＝f (2a －x )，或f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数f (x )关于对称．三、经典例题题型一：判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性，并证明．(1)f (x )＝x3＋x ；(2)f (x )＝x 3＋x ＋1；(3)f(x)＝x2－|x|＋1x∈[－1,4]；(4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(5)f(x)＝1－x2|x＋2|－2；(6)f(x)＝(x－1) 1＋x1－x x∈(－1,1)．【探究1】判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于±f(x)．(2)图像法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y轴)对称．(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)【变式】1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝ln 2－x 2＋x；(2)f(x)＝1a x－1＋12(a>0，且a≠1)；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x x ≥0，x 2＋2x x ＜0.题型二奇偶性的应用【例2】 (1)已知函数f (x )为奇函数且定义域为R ，x ＞0时，f (x )＝x ＋1，f (x )的解析式为__________________________．(2)f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且x ∈[0,1)时f (x )为增函数，则不等式f (x )＋f (x －12)＜0的解集为__________．(3)函数f (x ＋1)为偶函数，则函数f (x )的图像的对称轴方程为__________．【探究2】奇偶函数的性质主要体现在：(1)若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )；若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )．(2)奇偶函数的对称性．(3)奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性．【变式2】 (1)若函数f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，满足f (π)<f (a )的实数a 的取值范围是________．(2)函数y ＝f (x －2)为奇函数，则函数y ＝f (x )的图像的对称中心为__________．题型三函数的周期性【例3】设函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.(1)证明：函数f (x )为周期函数；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 005,2 005]上的根的个数，并证明你的结论．【探究3】 (1)证明函数是周期函数应紧扣周期函数的定义．(2)若函数f (x )对任意x 满足f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则f (x )为周期函数，若函数f (x )对任意x 满足f (x ＋a )＝f (b－x)，则函数图像为轴对称图形．【变式3】(1)f(x)是定义域为R的奇函数，且图像关于直线x＝1对称，试判断f(x)的周期性．(2)f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R均满足f(x)＝－1f x＋1，试判断函数f(x)的周期性．【例4】(2014·衡水中学调研卷)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图像关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)的值．【变式4】已知f(x)为偶函数，且f(－1－x)＝f(1－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋1，求x∈[5,7]时，f(x)的解析式．四、本课总结常用结论记心中，快速解题特轻松：1．(1)若f (x )定义域不对称，则f (x )不具有奇偶性．(2)若f (x )为奇函数，且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.(3)若f (x )为偶函数，则f (|x |)＝f (x )．2．(1)任意一个定义域关于零点对称的函数f (x )均可写成一个奇函数g (x )与一个偶函数h (x )和的形式，则g (x )＝f x －f －x 2，h (x )＝f x ＋f －x 2.(2)若函数y ＝f (x )的定义域关于原点对称，则f (x )＋f (－x )为偶函数，f (x )－f (－x )为奇函数，f (x )·f (－x )为偶函数．3．函数f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (2a ＋x )＝f (－x )⇔f (2a －x )＝f (x )．4．(1)若函数f (x )满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )周期T ＝2a .(2)若函数f (x )满足f (x ＋a )＝1f x ，则f (x )周期T ＝2a .5．(1)若f (x )关于x ＝a ，x ＝b 都对称，且a <b ，则f (x )是周期函数且T ＝2(b －a )．(2)若f (x )关于(a,0)，(b,0)都对称，且a <b ，则f (x )是周期函数，且T ＝2(b －a )．(3)若f (x )关于(a,0)及x ＝b 都对称，且a <b ，则f (x )是周期函数，且T ＝4(b －a )．五、课堂作业1．(2012·天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R2．若函数y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )图像上的是( )A ．(a ，－f (a ))B ．(－a ，－f (a ))C ．(－a ，－f (－a ))D ．(a ，f (－a ))3．已知f (x )为奇函数，当x >0，f (x )＝x (1＋x )，那么x <0，f (x )等于( )A ．－x (1－x )B ．x (1－x )C ．－x (1＋x )D ．x (1＋x )4．函数f (x )是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数5．(2013·重庆)已知函数f (x )＝ax 3＋bsinx ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))＝( )A ．－5B ．－1C ．3D ．46．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.课题5二次函数一、课时目标1．理解并掌握二次函数的定义、图像及性质．2．会求二次函数在闭区间上的最值．3．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题．二、主要知识点1．二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；对称轴方程是；顶点为．(2)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)；对称轴方程是；与x轴的交点为．(3)顶点式：y＝a(x－k)2＋h；对称轴方程是；顶点为．2．二次函数的单调性当a>0时，上为增函数；在上为减函数；当a<0时，与之相反．3．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系(1)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标是方程的实根．(2)若x1，x2为f(x)＝0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1－x2|＝.(3)当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.4．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况(1)若－b2a∈[m，n]，则f(x)max＝max{}f m，f n，f(x)min＝f(－b2a)．(2)若－b2a∉[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．5．二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)实根的分布(1)方程有两个均小于常数k的不等实根的充要条件是.(2)方程有两个均大于常数k的不等实根的充要条件是.(3)方程有一个小于常数k和一个大于常数k的不等实根的充要条件是.(4)方程有位于区间(k1，k2)内的两个不等实根的充要条件是.(5)方程有两个不等实根x1<x2且k1<x1<k2<x2<k3的充要条件是.(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的一个充分条件是.三、经典例题题型一二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1)＝1，求f(x)的解析式．【探究1】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式1】已知二次函数图像的顶点是(－2，32)与x轴的两个交点之间的距离为6，则这个二次函数的解析式为________．题型二二次函数的值域和最值【例2】求下列函数的值域：(1)y＝x2＋4x－2，x∈R；(2)y＝x2＋4x－2，x∈[－5,0]；(3)y＝x2＋4x－2，x∈[－6，－3]；(4)y＝x2＋4x－2，x∈[0,2]．【探究2】配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配方法．【变式2】求下列函数的值域：（1）y＝－x2＋4x－1；(2)y＝2－4x－x2(0≤x≤4)．【例3】已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．【探究3】(1)求二次函数f(x)在某区间[m，n]上的最值的关键是判断抛物线对称轴与区间[m，n]的位置关系，以便确定函数在该区间的单调性．本题中的对称轴为x＝－a2，与区间[－2,2]的位置关系不确定，是造成分类讨论的原因．(2)二次函数在区间上的最值问题，可分成三类：①对称轴固定，区间固定；②对称轴变动，区间固定；③对称轴固定，区间变动．此类问题一般利用二次函数的图像及其单调性来考虑，对于后面两类问题，通常应分对称轴在区间内、左、右三种情况讨论．【变式3】已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值．题型三一元二次根的分布情况【例4】(1)已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，求实数m的取值范围．(2)已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．(3)已知二次方程mx2＋(2m－3)x＋4＝0只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围．【探究4】一元二次方程根的分布的求法：(1)数形结合法．(2)韦达定理法．(3)求根公式法．具体问题中用哪种方法要视其过程是否复杂而定．【变式4】(1)已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．(2)关于x的方程(1－m2)x2＋2mx－1＝0有两个根，一个小于0，一个大于1，求m的范围．四、本课总结1．求二次函数的解析式常用待定系数法(如例1)．2．二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为y＝a(x＋m)2＋n的形式，得顶点(－m，n)和对称轴方程x＝－m，可分成三个类型．(1)顶点固定，区间也固定．(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外．(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数3．二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的图像的顶点处取得．4．用数形结合法求根的分布问题一般需从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴x＝－b2a与区间端点的关系．五、课堂作业1．已知某二次函数的图像与函数y＝2x2的图像的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为()A．y＝2(x－1)2＋3B．y＝2(x＋1)2＋3C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋32．(2013·浙江)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则()A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝03．二次函数y＝x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab的图像的顶点在x轴上，且a，b，c为△ABC的三边长，则△ABC为________．4．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是()5．已知二次函数f(x)图像的对称轴是x＝x0，它在区间[a，b]上的值域为[f(b)，f(a)]，则() A．x0≥b B．x0≤aC．x0∈(a，b) D．x0∉(a，b)6．对一切实数x，若不等式x4＋(a－1)x2＋1≥0恒成立，则a的取值范围是()A．a≥－1 B．a≥0C．a≤3 D．a≤1课题6指数函数一、课时目标1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．2．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像的特征，知道指数函数是一重要的函数模型．二、主要知识点1．有理数幂的运算性质(1)a s·a s＝.(2)(a s)s＝.(3)(ab)r＝(其中a>0，b>0，r、s∈Q)．2．根式的运算性质(1)当n为奇数时，有na n＝；当n为偶数时，有na n＝.(2)负数的偶次方根．(3)零的任何次方根．3．指数函数的概念、图像和性质(1)形如(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数．(2)定义域为R，值域为．(3)当0<a<1时，y＝a x在定义域内是；当a>1时，y＝a x在定义域内是(单调性)；y＝a x 的图像恒过定点．(4)当0<a<1时，若x>0，则a x∈；若x<0，则a x∈；当a>1时，若x>0，则a x∈；若x<0，则a x∈．三、经典例题题型一指数式的运算例1计算：【探究1】化简或计算指数式，要注意以下几点：(1)化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时要注意运算顺序问题．(2)计算结果的形式：若题目以根式形式给出，则结果用根式的形式表示；若题目以分数指数幂形式给出，则结果用分数指数幂的形式给出．(3)结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(4)在条件求值问题中，一般先化简变形，创造条件简化运算而后再代入求值．【变式1】题型二指数函数的图像及应用【例2】(1)已知函数y＝(13)|x＋1|.①作出图像；②由图像指出其单调区间；③由图像指出当x取什么值时有最值．、【探究2】利用指数函数的图像判断单调性、求最值、判断方程的解的个数等问题是学生应熟练掌握的基本功．【变式2】(1)(2012·四川)函数y＝a x－a(a>0，且a≠1)的图像可能是()(2)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？题型三指数函数的性质及运用【探究3】(1)研究函数的值域、单调区间应先求定义域．(2)求复合函数y＝f[g(x)]的值域应先求内层u＝g(x)的取值范围，再根据u的取值范围去求y＝f(u)的取值范围，即为所求．(3)求复合函数的单调区间应首先分清该复合函数是由哪几个基本函数复合而得．【变式3】求下列函数的定义域与值域．【例4】已知函数f(x)＝(12x－1＋12)x.(1)求函数的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)求证：f(x)>0.。

第03讲子集、全集、补集(原卷版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)

第03讲子集、全集、补集知识点一子集、真子集子集真子集概念如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A B 或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”续表子集真子集图示结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C；(3)规定∅⊆A，即空集是任何集合的子集(1)若A B且B C，则A C；(2)若A⊆B且A≠B，则AB；(3)空集是任何非空集合的真子集知识点二全集、补集1．全集(1)概念：如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集；(2)记法：通常记作U．2．补集文字语言设A⊆S，由S中不属于集合A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作∁S A(读作“A在S中的补集”)符号语言∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}图形语言3．补集的性质(1)若A⊆S，则①∁S A⊆S；②∁S(∁S A)＝A；③(∁S S)＝∅；④∁S∅＝S.(2)已知A⊆S，B⊆S，相关结论如下：①若A⊆B，则∁S A⊇∁S B；②若∁S A⊇∁S B，则A⊆B.特别地，若A＝B，则∁S A＝∁S B；反之，若∁S A＝∁S B，则A＝B.考点一：集合间关系的判断例1 指出下列各对集合之间的关系．(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}；(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}．【总结】判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系；(2)集合元素特征法：先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B 无包含关系；(3)数形结合法：利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系适合用数轴法．变式已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空．(1)A________B；(2)A________C；(3){2}________C；(4)2________C.考点二：确定有限集合的子集、真子集及其个数例2 (1)集合M＝{1，2，3}的真子集个数是()A．6 B．7C．8 D．9(2)满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个．【总结】1．求集合子集、真子集个数的3个步骤2．若集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集的个数有2n个；(2)A的非空子集的个数有2n－1个；(3)A的真子集的个数有2n－1个；(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．变式已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．考点三：由集合间的包含关系求参数值例3 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m}(m>1)，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．【总结】由集合间的包含关系求参数的方法(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论；(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．[注意](1)不能忽视集合为∅的情形；(2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论．变式（1）已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．（2）已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．（3）已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，B ＝{3，m 2}，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．考点四：全集与补集例4 (1)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，M ＝{1，2，4}，则∁U M ＝( ) A ．U B ．{1，3，5} C ．{3，5，6} D ．{2，4，6}(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－2，或x ＞2}，则∁U A ＝________．【总结】求集合补集的2种方法(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn 图求解；(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．变式设全集U ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|，2}，∁U A ＝{5}，则实数a 的值为________．1．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z}，则A 与B 之间的最适合的关系是( )A ．A ⊆B B ．A ⊇BC ．A BD ．A B2．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )A ．15B ．16C ．256D ．323．(多选)已知集合A ＝{x |x 2＋2x ＝0}，则有( )A ．∅⊆AB ．2∈AC ．{0，2}⊆AD ．A ⊆{y |y ＜3}4．设集合A ＝{1，3，a }，B ＝{1，1－2a }，且B ⊆A ，则a 的值为________．5．设全集U ＝{0，1，2，3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1，2}，则实数m ＝________．6．设集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1}，则下列关系正确的是( )A ．N ∈MB ．NMC ．N ⊇MD ．N ⊆M7．集合A ＝{x |x (x －2)＝0}，则集合A 的子集的个数为________．8．(多选题)设集合S ＝{x |x >－2}，集合A ⊆∁R S ，则集合A 中的元素可能是( )A ．－2B ．2C ．－3D ．39．已知全集S ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≠0}．用列举法表示集合∁S A ＝________．10．已知U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{2，m }，且∁U A ＝{1,3,5}，则m ＝________．1．下列选项中正确的是( )A ．1⊆{1}B ．{1}∈{1，2}C ．{1}⊆{1，2}D ．1∉{1}2．若集合A ＝{x |x ≥0}，且B ⊆A ，则集合B 可能是( )A ．{1，2}B ．{x |x ≤1}C ．{－1，0，1}D ．R3．满足{1}⊆A {1，2，3}的集合A 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．74．已知集合A ＝{x |x 2＜2，x ∈Z}，则A 的真子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．85．集合A ＝{(x ，y )|y ＝|x |}，集合B ＝{(x ，y )|y >0，x ∈R}，则下列说法正确的是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ＝BD ．集合A ，B 间没有包含关系6．(多选)设集合A ＝{－1，1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若 B ≠∅，B ⊆A ，则(a ，b )可能是( )A ．(－1，1)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(1，1)7．(多选)已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ＜2或x ＞4}，B ＝{x |x ≥a }，且∁U A ⊆B ，则实数a 的取值范围可以是( )A ．a ＜2B ．a ＞2C ．a ≤2D ．a ≥28．下图是反映的“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请在下面的空格上填入适当的内容．A 为__________；B 为__________；C 为__________；D 为__________.9．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪y x ＝1 ，则A ，B 准确的关系是________．10．已知集合A ＝{a ，a －1}，B ＝{2，y }，C ＝{x |1＜x －1＜4}．(1)若A ＝B ，则y 的值为________；(2)若A ⊆C ，则a 的取值范围为________．11．判断下列集合间的关系．(1)A ＝{－1，1}，B ＝{x |x 2＝1，x ∈N}；(2)P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z}，Q ＝{x |x ＝2(n －1)，n ∈Z}； (3)A ＝{x |x －3>2}，B ＝{x |2x －5≥0}；(4)A ＝{x |x ＝a 2＋1，a ∈R}，B ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈R}．12．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A ＝{－1，2}，B ＝{x |ax 2＝2，a ≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a 的取值集合为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，2B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2C ．{0，2}D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，213．(多选)已知集合{x |mx 2－2x ＋1＝0}＝{n }，则m ＋n 的值可能为( )A ．0B ．12C ．1D ．214．已知集合A ＝{2，3，5，6，8}，B ＝{1，3，5，7，10}，集合C 满足：(1)若将C 中的元素均减2，则新集合C 1就变成A 的一个子集；(2)若将C 中的各元素均加3，则新集合C 2就变成集合B 的一个子集；(3)C 中的元素可以是一个一元二次方程的两个不等实数根，集合C 的真子集个数为________．15．已知A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |m ≤x <1＋3m }．若B ⊆∁R A ，则实数m 的取值范围为________．16．已知a ∈R ，x ∈R ，A ＝{2，4，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a }，C ＝{x 2＋(a ＋1)x －3，1}，求：(1)当A ＝{2，3，4}时，x 的值； (2)当2∈B ，B A 时，a ，x 的值； (3)当B ＝C 时，a ，x 的值．17．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}.(1)若B A ，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围． 18．已知三个集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－bx ＋2＝0}，同时满足B A ，C ⊆A 的实数a ，b 是否存在？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，请说明理由．。

第12讲对数(解析版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)

第12讲对数知识点一对数的概念与性质1．对数的概念一般地，如果a b ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a b N =，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质(1)负数和0没有对数；(2)log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)；(3)log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)；(4)log a a N ＝N (a ＞0，a ≠1，N ＞0).4．指数式与对数式的互化(其中a ＞0，且a≠1).知识点二对数的运算性质1．若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R ，那么：(1)log a (MN )＝log log a a M N +；(2)log aMN＝log log a a M N -；(3)log a M n ＝log a n M ．2．对数运算中的常见公式及推广知识点二换底公式1．换底公式：log log log c a c NN a=（0,1,0,0,1a a N c c >≠>>≠）.2．换底公式的推论3．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？4．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论log n mN M =log N M n吗？考点一：指数式与对数式的互化例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．(1)3－2＝19；－2＝16；(3)13log 27＝－3；(4)64＝－6.【解析】(1)∵3－2＝19，∴log 319＝－2.(2)－2＝16，∴log 1416＝－2.(3)∵13log 27＝－3－3＝27.(4)∵64＝－6，∴(x )－6＝64.【总结】变式将下列指数式与对数式互化．(1)log 216＝4；(2)x ＝6；(3)43＝64；(4)3－3＝127.【解析】(1)因为log 216＝4，所以24＝16.(2)因为x ＝6，所以(3)6＝x .(3)因为43＝64，所以log 464＝3.(4)因为3－3＝127，所以log 3127＝－3.考点二：对数的计算例2求下列各式中的x 的值．(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x ；(4)－ln e 2＝x .【解析】(1)x ＝()2364-＝()2334-＝4－2＝116.(2)x 6＝8，所以x ＝()166x＝168＝()1362＝122＝2.(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－ln e 2＝x ，得－x ＝ln e 2，即e －x ＝e 2.所以x ＝－2.【总结】变式求下列各式中x 的值．(1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)x ＝log 2719.【解析】(1)由log x 27＝32，可得x 32＝27，∴x ＝2723＝(33)23＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，可得x ＝232-.∴x 23＝314＝322.(3)由x ＝log 2719，可得27x ＝19，∴33x ＝3－2，∴x ＝－23.考点三：对数的性质例3求下列各式中x 的值．(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1；(3)log 3(log 4(log 5x ))＝0.【解析】(1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000.(3)由log 3(log 4(log 5x ))＝0可得log 4(log 5x )＝1，故log 5x ＝4，∴x ＝54＝625.【总结】变式求下列各式中x 的值．(1)log 3(log 4(log 5x ))＝1【解析】由log 3(log 4(log 5x ))＝1可得，log 4(log 5x )＝3，则log 5x ＝43＝64，所以x ＝564.(2)3log 3(log 4(log 5x ))＝1【解析】由3log 3(log 4(log 5x ))＝1可得log 4(log 5x )＝1，故log 5x ＝4，所以x ＝54＝625.考点四：对数的运算性质例4求下列各式的值．(1)log 2(47×25)；(2)lg5100；(3)lg 14－2lg73＋lg 7－lg 18；(4)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.【解析】(1)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝7log 24＋5log 22＝7×2＋5×1＝19.(2)lg5100＝lg 10015＝15lg 100＝15×2＝25.(3)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.(4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.【总结】变式已知ab ＞0，有下列四个等式：①lg (ab )＝lg a ＋lg b ；②lg ＝lg a －lg b ；③12lg 2＝lg ；④lg (ab )＝1log ab 10，其中正确的是________．【答案】③【解析】①②式成立的前提条件是a ＞0，b ＞0；④式成立的前提条件是ab ≠1.只有③式成立．考点五：对数换底公式的应用例5计算：(1)log 29·log 34；(2)log 52×log 79log 513×log 734.【解析】(1)由换底公式可得，log 29·log 34＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg2lg 3＝4.(2)原式＝log 52log 513×log 79log 734＝13log 9＝lg 2lg 13×13lg 9lg 4＝12lg 2－lg 3×2lg 323lg 2＝－32.【总结】变式若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于()A ．9B ．19C ．25D ．125【答案】D【解析】log 513·log 36·log 6x ＝－log 53·log 36·log 6x ＝－log 5x ，则log 5x ＝－2，则x ＝5－2＝125.故选D.考点六：对数的综合应用例6已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)【解析】因为18b ＝5，所以b ＝log 185.所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（5×9）log 18（2×18）＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a .【总结】求解与对数有关的各种求值问题的三个注意点(1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式；(2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．变式（1）已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 1845？(用a ，b 表示)【解析】因为18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 1845＝log 189＋log 185＝a ＋b .（2）已知log 94＝a ，9b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)【解析】因为9b ＝5，所以log 95＝b .所以log 3645＝log 945log 936＝log 9（5×9）log 9（4×9）＝log 95＋log 99log 94＋log 99＝b ＋1a ＋1.考点七：利用对数运算解决实际问题例6某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e －λt ，其中μ0、λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.9μ0，则当稳定性系数降为0.5μ0时，该种汽车已使用的年数为________(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771).【答案】13【解析】由0.9μ0＝μ0e －2λ＝μ0(e －λ)2，得e －λ＝0.9，令0.5μ0＝μ0(e －λ)t ，得0.5＝(0.9)t ，两边取常用对数，得lg 0.5＝t 2lg 0.9，故t ＝2lg 0.5lg 0.9＝2lg 2－1lg 910＝－2lg 22lg 3－1＝2lg 21－2lg 3≈13.【总结】变式有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2020年为3000万吨，2021年增长率约为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从________年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771).【答案】2026【解析】第n 年(2021为第一年)包装垃圾为3000×1.5n ，令3000×1.5n ＞30000，解得n ＞log 1.510＝1lg 3－lg 2≈10.1761≈5.68.又n 为整数，所以从2026年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨．1．(多选)下列指数式与对数式互化正确的有() A．e0＝1与ln1＝0B．log39＝2与912＝3C．138 ＝12与log812＝－13D．log77＝1与71＝7【答案】ACD【解析】log39＝2化为指数式为32＝9，故B错误．A、C、D正确．2．在b＝log a－2(5－a)中，实数a的取值范围是()A．(－∞，2)∪(5，＋∞)B．(2，5)C．(2，3)∪(3，5)D．(3，4)【答案】C【解析】－a＞0，－2＞0，－2≠1，解得2<a<3或3<a<5.3．已知a23＝49(a＞0)，则log23a＝()A．2B．3C．12D．13【答案】B【解析】由a 23＝49，得a323，所以log23a＝log233＝3.4．若log5x＝2，log y8＝3，则x＋y＝________．【答案】27【解析】∵log5x＝2，∴x＝52＝25.∵log y8＝3，∴y3＝8，∴y＝2，∴x＋y＝27. 5．已知x＝log23，求23x－2－3x2x－2－x的值．【解析】（方法1）∵23x＝(2log23)3＝33＝27，2－3x＝(2x)－3＝(2log23)－3＝3－3＝127，2x＝2log23＝3，2－x＝12x＝13，∴原式＝27－1273－13＝919.（方法2）∵x ＝log 23，∴2x ＝3，∴23x －2－3x2x －2－x ＝（2x ）3－（2x ）－32x －（2x ）－1＝33－3－33－3－1＝27－1273－13＝919.6．求值：lg 4＋lg 25＝()A ．100B ．10C ．2D ．1【答案】C【解析】lg 4＋lg 25＝lg (4·25)＝lg 102＝2lg 10＝2.故选C.7．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 等于()A ．92B ．9C ．18D ．27【答案】B【解析】∵log 34·log 48·log 8m ＝lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝lg mlg 3＝2，∴lg m ＝2lg 3，∴m ＝9.8．(多选)设a ＞0且a ≠1，m ，n 是正整数，则()A ．log a (mn )＝log a m ＋log a n B ．log＝log amlog a n C ．log a n m ＝n log a m D ．log a m n ＝n log a m 【答案】AD【解析】由对数的运算性质可得log a (mn )＝log a m ＋log a n ，故A 正确；log＝log a m －log a n ，故B 错误；log a n m ＝1nlog a m ，故C 错误；log a m n ＝n log a m ，故D 正确．故选A 、D9．已知a 2＝1681(a ＞0)，则log 23a ＝________．【答案】2【解析】由a 2＝1681(a ＞0)得a ＝49，所以234log 9＝2232log 3⎛⎫⎪⎝⎭＝2.10．已知a,b 是方程log 3x 3＋log 273x ＝－43的两个根，试给出关于a,b 的一个结论________．【答案】a ＋b ＝1081(答案不唯一)【解析】根据换底公式有log 33log 33x ＋log 33x log 327＝－43，即11＋log 3x ＋1＋log 3x 3＝－43.令1＋log 3x ＝t ，则1t ＋t 3＝－43，解得t ＝－1或t ＝－3.所以1＋log 3x ＝－1或1＋log 3x ＝－3，解得x ＝19或x ＝181.故a ＋b ＝1081.1．若lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x ＝()A ．a ＋2b －3cB ．a ＋b 2－c 3C ．ab 2c 3D ．2ab 3c【答案】C【解析】∵lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ＝lg ab 2c 3，∴x ＝ab 2c 3.故选C.2．方程9x －6·3x －7＝0，则x ＝()A ．log 37B ．log 73C ．7D ．－1【答案】A【解析】设3x ＝t (t ＞0)，则原方程可化为t 2－6t －7＝0，解得t ＝7或t ＝－1(舍去)，即3x ＝7.∴x ＝log 37.3．若log x 7y ＝z ，则()A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x【答案】B【解析】由log x 7y ＝z ，得x z ＝7y ，∴(7y )7＝(x z )7，则y ＝x 7z .4．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是()A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1【答案】A【解析】∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.5．方程lg (x 2－1)＝lg (2x ＋2)的根为()A ．－3B ．3C ．－1或3D ．1或－3【答案】B【解析】由lg (x 2－1)＝lg (2x ＋2)，得x 2－1＝2x ＋2，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.经检验x ＝－1不合题意，所以原方程的根为x ＝3.6．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中某类物质的原子总数N 约为1050.则下列各数中与MN最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)()A ．1093B ．10113C ．10123D ．10133【答案】C【解析】因为M ≈3361，N ≈1050，所以lg M ≈361×lg 3，lg N ≈50，lgM N ＝lg M －lg N ≈361×0.48－50≈123，所以MN≈10123.故选C.7．(多选)下列指数式与对数式互化正确的是()A ．54＝625与log 4625＝5B ．10－2＝0.01与lg 0.01＝－2C －4＝16与log －416＝12D ．912＝3与log 93＝12【答案】BD【解析】对于A ，54＝625可化为log 5625＝4，故不正确；对于B ，10－2＝0.01可化为lg 0.01＝－2，故正确；对于C －4＝16可化为log 1216＝－4，故不正确；对于D ，912＝3可化为log 93＝12，故正确．故选B 、D.8．(多选)下列运算正确的是()A ．2log 1510＋log 150.25＝2B ．log 427·log 258·log 95＝98C ．lg 2＋lg 50＝2D ．((2log2-－(log 22)2＝－54【答案】BCD【解析】对于A ，2log 1510＋log 150.25＝log 15102＋log 150.25＝log 1525＝－2，故A 错误；对于B ，log 427·log 258·log 95＝32log 23·32log 52·12log 35＝98·lg 3lg 2·lg 2lg 5·lg 5lg 3＝98，故B 正确；对于C ，lg 2＋lg 50＝lg (2×50)＝2，故C 正确；对于D ，((2log 2－(log 22)2＝(2log 2＝－1－14＝－54，故D 正确．故选B 、C 、D.9．若a ＝lg 2，b ＝lg 3，则2100b a -的值为________．【答案】43【解析】∵a ＝lg2，∴10a ＝2.∵b ＝lg3，∴10b ＝3，∴2100ba -＝（10a ）210b＝43.10．若log m 2＝a ，log m 3＝b ，则2a b m+的值为________．【答案】18【解析】因为log m 2＝a ，log m 3＝b ，所以m a ＝2，m b ＝3，即2a bm +＝m a ×(m b )2＝2×32＝18.11．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y的值．【解析】∵log 12x ＝mm＝x ，x 22m.∵log 14y ＝m ＋2m ＋2＝y ，y2m ＋4.∴x 2ym ＋42m －（2m ＋4）－4＝16.12．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝4＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为3.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.6【答案】C【解析】因为L ＝4＋lg V ，即V ＝10L －4，所以当L ＝3.9时，V ＝10－0.1＝1100.1≈0.8.故选C.13．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为()A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A【解析】∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1，∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9.故选A.14．利用对数恒等式a log a N ＝N(a ＞0，且a ≠1，N ＞0).计算：－1＋log 0.54＝________；(2)23＋log 23＋32－log 39＝________．【答案】(1)8(2)25【解析】(1)0.51log 412-+⎛⎫⎪⎝⎭＝112-⎛⎫ ⎪⎝⎭·12log 412⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2×4＝8.(2)23log 32+＋32log 93-＝23×2log 32＋32log 933＝8×3＋99＝25.15．已知log 23＝a ，则4a ＋4－a 的值为________．【答案】829【解析】因为log 23＝a ，所以4a ＋4－a ＝2log 34＋2log 34-＝()2log 322＋()2log 322-＝()22log 32＋()log 3222-＝32＋3－2＝829.16．求x 的值．(1)()()2221log 321x x x -+-＝1；(2))1log＝x .【解析】(1)由()()2221log321xx x -+-＝1x 2＋2x －1＝2x 2－1，x 2＋2x －1＞0，x 2－1＞0且2x 2－1≠1，解得x ＝－2.(2)x ＝)1log)1log))1log1-＝1.17．设实数a ，b ，c 为正数，且满足a 2＋b 2＝c 2，log ＝1，log 8(a ＋b －c )＝23，求实数a ，b ，c 的值．【解析】由log ＝1得1＋b ＋ca＝4，即b ＋c ＝3a ，由log 8(a ＋b －c )＝23得a ＋b －c ＝823＝4，又a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝6，b ＝8，c ＝10.18．已知log a b ＝log b a (a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1)，试探究a 与b 的关系，并给出证明．【解析】a ＝b 或a ＝1b .证明如下：设log a b ＝log b a ＝k ，则b ＝a k ，a ＝b k ，所以b ＝(b k )k ＝bk 2，因为b ＞0，且b ≠1，所以k 2＝1，即k ＝±1.当k ＝－1时，a ＝1b；当k ＝1时，a ＝b .所以a ＝b 或a ＝1b.。

暑假衔接班新高一数学教案必修一1.2.1函数的概念同步练习【举一反三系列】

1.2.1 函数的概念同步练习【举一反三系列】知识链接举一反三【考点1 函数的概念—图象】【练1】设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（）①②③④A．①②③④B．①②③C．②③D．②【练1.1】设集合P ＝{x |0≤x ≤2}，Q ＝{y |0≤x ≤2}，则图中能表示P 到Q 的函数的是（）（1）（2）（3）（4） A ．（1）（2）（3）（4） B ．（1）（3）（4）C ．（4）D ．（3）【练1.2】设集合M ＝{x |（x +1）（x ﹣3）≤0}，N ＝{y |y （y ﹣3）≤0}，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则函数f （x ）的图象可以是（）A ．B ．C ．D ．【练1.3】下列四个图象中，是函数图象的是( )① ② ③ ④ A ．①B ．①③④C ．①②③D ．③④【考点2 函数的概念—解析式】【练2】已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，集合N ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到N 的各对应关系f 不是函数的是（）A ．1:2f x y x →=B ．1:3f x y x →= C ．2:3f x y x →=D ．:f x y →=【练2.1】以下从M 到N 的对应关系表示函数的是( ) A ．M R =，{|0}N y y =>，:||f x y x →=B ．M ＝{x |x ≥2，x ∈N *}，N ＝{y |y ≥0，y ∈N *}，2:22f x y x x →=-+C ．{|0}M x x =>，N R =，:f x y →=D ．M R =，N R =，1:f x y x→=【练2.2】下列对应是从集合A 到B 的函数的是( ) A ．A N =，B R =，对应关系f ：“求平方根” B ．*A N =，*B N =，对应关系:|3|f x y x →=- C ．A R =，{0B =，1}，对应关系⎩⎨⎧<≥=→001:x x y x fD ．A Z =，B Q =，对应关系1:1f x y x →=- 【练2.3】下列集合A ，B 及其对应法则，不能构成函数的是( ) A ．A B R == ()||f x x = B ．A B R == 1()1f x x =+ C ．{1A =，2，3，4)，{2B =，3，4，5，6}()1f x x =+D ．{|0}A x x =>，0{1}()B f x x == 【考点3 同一函数的判断】【练3】在下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是( )A ．1,x y y x==B ．11,y x y =+=C ．,y x y =D ．2||,y x y ==【练3.1】下列四组函数，表示同一函数的是( )A ．()f x =()g x x =B ．()f x x =，2()x g x x=C ．()f x =()22g x x =+D ．()f x x =，()g x =【练3.2】下列各组函数中表示同一个函数的是( )A ．()1f x x =-，2()1x g x x=-B ．2()f x x =，4()g x =C ．2()||xf x x =，()||g x x =D ．2(2)()x x f x x -=，2()1g x x=- 【练3.3】在下列六组函数中，同组的两个函数完全相同的共多少组( )①22y x =-，y =2y =，y x =③21()y x x R +=+∈，|21|()y x x R +=+∈④3y =，y x = ⑤221y x x =--，221y t t =--⑥222(2)x x y x -=-，2xy x =- A ．2 组 B ．3 组 C ．4 组 D ．5 组【考点4 求函数解析式定义域】【练4】求下列函数的定义域．（1）()34f x x =-；（2）2()347f x x x =+-；（3）5()32xf x x =-；（4）()1f x ；（5）()f x =【练4.1】求下列函数的定义域：（1）y =（2）1|2|1y x =+-．【练4.2】求下列函数的定义域（1）0()(23)f x x =+；（2）()f x =．【练4.3】求下列函数的定义域：（1）y=（2）0=-．y x(1)【考点5 求抽象函数定义域】【练5】（1）已知()f x的定义域为[2-，1]，求函数(31)f x-的定义域；（2）已知(25)f x的定义域．f x+的定义域为[1-，4]，求函数()【练5.1】（1）已知函数()=的定义域为[1-，2]，求函数2y f xy f x=-的定义域．(1)（2）已知函数(23)=-的定义域为(2-，1]，求函数()y f x=的定义域．y f x【练5.2】若()x f x f xΦ=-+的定义域．f x的定义域为[3-，5]，求()()()【练5.3】求抽象函数的定义域（1）已知函数()f x=+(1)f x+的定义域（2）已知函数(31)f x-的定义域．f x+的定义域为(1-，6]，求(25)【考点6 求函数值域】【练6】求下列函数的值域：（1）4y =- （2）y x =+【练6.1】求下列函数的值域（Ⅰ）2()41f x x x =-+，(2x ∈-，3]；（Ⅱ）()1)f x x x =-…．【练6.2】求下列函数的值域：（1）232y x x =-+，[1x ∈，3]；（2）y x =+【练6.3】求下列函数的值域（1）y =（2）y x = （3）2223x y x -=+．【考点7 由函数的定义域与值域求参数】【练7】设函数()f x = （1）当1k =-时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的定义域为R ，求实数k 的取值范围．【练7.1】记函数()f x =A ，()1)g x a =<的定义域为B ．（1）求A ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．【练7.2】已知函数()f x =的定义域为集合A ，函数2()22g x x x =--+，[1x ∈-，1]的值域为集合B ．（1）求A ，B ；（2）设集合C ＝{x |m ≤x ≤m +2}，若C ∩（A ∪B ）＝C ，求实数m 的取值范围．【练7.3】已知函数()f x =；（1）若()f x 的定义域为(,)-∞+∞，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 的值域为[0，)+∞，求实数a 的取值范围．【参考答案与试题解析】【练1】利用函数的定义域与函数的值域判断函数的图象即可．【解答】解：①图象不满足函数的定义域，不正确；②③满足函数的定义域以及函数的值域，正确；④不满足函数的定义，故选：C．【练1.1】根据函数的定义，依据图象作出判断．【解答】解：根据函数的定义，在定义域内的任何一个x值，都唯一对应一个y值，故（1）、（4）正确；（2）中定义域内的1对应了2个函数值，（3）中定义域(1，2]内的x值，没有对应的y值，故（2）、（3）错误，故选：C．【练1.2】可用排除法根据函数定义域、值域以及函数概念进行逐一验证可得答案．【解答】解：M＝{x|（x+1）（x﹣3）≤0}＝[﹣1，3]，N＝{y|y（y﹣3）≤0}＝[0，3]A项定义域为[1 ，0]，D项值域是[0，2]，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符．故选：B．【练1.3】根据函数值的定义，在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定唯一一个值，体现在函数的图象上的特征是，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，从而对照选项即可得出答案．【解答】解：根据函数的定义知：在y 是x 的函数中，x 确定一个值，Y 就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y 轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有（2）不符合此条件．故选：B ．【练2】由函数的定义知，P 中的每一个元素在集合N 中都有唯一确定的元素与之对应．【解答】解：1:2f x y x →=，是函数， 1:3f x y x →=，是函数，2:3f x y x →=，不是函数，284433N →⨯=∉；:f x y →=故选：C ．【练2.1】根据函数的定义，逐一分析给定的四个对应关系是否满足条件，可得答案．【解答】解：A 中，M R =，{|0}N y y =>，:||f x y x →=M 中元素0，在N 中无对应的元素，不满足函数的定义，B 中，M ＝{x |x ≥2，x ∈N *}，N ＝{y |y ≥0，y ∈N *}，f ：x →y ＝x 2﹣2x +2M 中任一元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，C 中，{|0}M x x =>，N R =，:f x y →=M 中任一元素，在N 中都有两个对应的元素，不满足函数的定义，D 中，M R =，N R =，1:f x y x→=，M 中元素0，在N 中无对应的元素，不满足函数的定义，故选：B ．【练2.2】若A 中任一元素在B 中都有唯一元素对应，则该对应是函数；进而得到答案．【解答】解：A N =，B R =，对应关系f ：“求平方根”，则A 中正元素在B 中都有两个元素对应，不是函数；*A N =，*B N =，对应关系:|3|f x y x →=-，则A 中元素3在B 中没有元素对应，不是函数；A R =，{0B =，1}，对应关系⎩⎨⎧<≥=→001:x x y x f ，则A 中任一元素在B 中都有唯一元素对应，是函数；A Z =，B Q =，对应关系1:1f x y x →=-则A 中元素1在B 中没有元素对应，不是函数；故选：C ．【练2.3】由题意，根据函数的概念依次判断即可．【解答】解：选项B ，1A -∈，但在对应法则f 作用下没有元素与之对应，故不正确；故选：B ．【练3】两个函数是同一个函数，当且仅当这两个函数具有相同的定义域、对应关系．考查各个选项中的2个函数是否具有相同的定义域和对应关系，从而得出结论．【解答】解：由于函数1y =的定义域为R ，而函数xy x=的定义域为{|0}x x ≠，这2个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除A ．由于函数11y x =+的定义域为{|1}x x >，而y ={|1x x < 或1}x <-，这2个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除B ．由于函数y x =与函数y =具有相同的定义域、对应关系、值域，故是同一个函数．由于函数||y x =的定义域为R ，而函数2y = 的定义域为{x |x ≥0}，这两个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除D ．故选：C ．【练3.1】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．【解答】解：A ．()||f x x ，()g x x =，所以两个函数的对应法则不一致，所以A 不是同一函数．B ．()f x 的定义域为R ，而()g x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，所以定义域不同，所以B 不是同一函数．C ．由x 2﹣4≥0，解得x ≥2或x ≤﹣2，由⎩⎨⎧≥+≥-0202x x ，解得x ≥2，两个函数的定义域不一致，所以C 不是同一函数．D ．()f x 的定义域为R ，而()g x 的定义域为R ，且()g x x =，所以定义域和对应法则相同，所以D 是同一函数．故选：D ．【练3.2】通过求函数()f x ，()g x 的定义域可以判断选项A ，B ，C 的两函数都不是同一函数，从而只能选D ．【解答】解：A ．()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{|0}x x ≠，定义域不同，不是同一个函数；B ．()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{x |x ≥0}，定义域不同，不是同一个函数；C ．()f x 的定义域为{|0}x x ≠，()g x 的定义域为R ，定义域不同，不是同一个函数；2(2)22.()1x x x D f x x x x --===-的定义域为{|0}x x ≠，2()1g x x=-的定义域为{|0}x x ≠，定义域和解析式都相同，表示同一个函数．故选：D ．【练3.3】看每组函数的定义域和解析式是否都相同，都相同便是相同函数，否则不同．【解答】解：①22y x -的定义域为{|2}x x …，y ={x |x ≤﹣2，或x ≥2}，定义域不同，两函数不相同；②2y =的定义域为{x |x ≥0}，y x =的定义域为R ，定义域不同，两函数不相同； ③21()y x x R +=+∈，|21|21()y x x x R +=+=+∈，定义域和解析式都相同，两函数相同；④3y x ==的定义域为R ，y x =的定义域为R ，定义域和解析式都相同，两函数相同； ⑤221y x x =--与221y t t =--的解析式和定义域都相同，两函数相同；⑥222(2)2x x x y x x -==--的定义域为{|2}x x ≠，2x y x =-的定义域为{|2}x x ≠，定义域和解析式都相同，两函数相同．故选：C ．【练4】（1），（2）由一次和二次函数的定义域可得；（3）由分式的分母不为0，可得定义域；（4）由偶次根式被开方数非负，可得定义域；（5）由偶次根式被开方数非负，分式分母不为0，可得定义域．【解答】解：（1）()34f x x =-的定义域为R ；（2）2()347f x x x =+-的定义域为R ；（3）5()32x f x x =-有意义，可得320x -≠，即23x ≠，即所求定义域为2{|3x x ≠且}x R ∈；（4）()1f x =有意义，可得1﹣x ≥0且x +3≥0，即为﹣3≤x ≤1，则所求定义域为[3-，1]:（5）()f x =3x ﹣6≥0且40x ->，解得4x >．则所求定义域为{|4}x x >．【练4.1】（1）由根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解；（2）由分式的分母不为0求解绝对值的不等式得答案．【解答】解：（1）由⎩⎨⎧≥-≥+043012x x ，解得4321≤≤-x ，∴y =+的定义域为13[,]24-；（2）由|2|10x +-≠，得|2|1x +≠，1x ∴≠-或3x ≠-， ∴1|2|1y x =+-的定义域为{|1x x ≠-或3}x ≠-．【练4.2】（1）结合二次函根式的性质求出函数的定义域即可；（2）根据二次根式以及分母不为0求出函数的定义域即可．【解答】解：（1）要使函数有意义，只需⎪⎩⎪⎨⎧≠+≥-+032021x x x所以定义域为{x |﹣2≤x ＜﹣1且x ≠﹣23} （2）要使函数有意义，只需⎪⎩⎪⎨⎧≠-+≥--0210652x x x ⇔x ≤﹣1或x ≥6且x ≠﹣3，所以定义域为{x |x ≤﹣1或x ≥6且x ≠﹣3}【练4.3】（1）直接由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0，求解不等式即可得答案；（2）根据指数为0时，底数不为0和根式内部的代数式大于等于0，求解不等式即可得答案．【解答】解：（1）由⎩⎨⎧≠-≥-0504x x ，解得x ≥4且x ≠5．∴y =的定义域为：[4，5)(5⋃，)+∞；（2）由1010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得1x >-且1x ≠．∴0(1)y x =-的定义域为：(1-，1)(1⋃，)+∞．【练5】（1）根据函数定义域的求法，直接解不等式2311x --剟，即可求函数(31)y f x =-的定义域；（2）由[1x ∈-，4]，可得25[3x +∈，13]，可得答案．【解答】解：（1）函数()y f x =的定义域为[2-，1]，由11-32--≤≤x 得：1[3x ∈-，2]3，故函数(31)y f x =-的定义域为1[3-，2]3；’ （2）函数(25)f x +的定义域为[1-，4]，[1x ∴∈-，4]，25[3x ∴+∈，13]，故函数()f x 的定义域为：[3，13]．【练5.1】（1）要求函数的定义域，就是求函数式中x 的取值范围；（2）根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可．【解答】解：（1）因为函数()y f x =的定义域是[1-，2]，所以函数 f （1﹣x 2）中﹣1≤1﹣x 2≤2，∴﹣1≤x 2≤2，即[x ∈，2(1)f x ∴-的定义域为[．（2）函数(23)y f x =-的定义域为(2-，1]，∴﹣2＜x ≤1，﹣4＜2x ≤2，﹣7＜2x ﹣3≤﹣1，即函数()y f x =的定义域为(7-，1]-．【练5.2】由条件可得﹣3≤﹣x ≤5且﹣3≤x ≤5，解不等式即可得到所求函数的定义域．【解答】解：由()f x 的定义域为[3-，5]，得()x Φ的定义域需满足﹣3≤﹣x ≤5且﹣3≤x ≤5，解得﹣3≤x ≤3．所以函数()x Φ的定义域为[3-，3]．【练5.3】（1）由根式内部的代数式大于等于0，求出函数()f x 的定义域，进一步求出函数(1)f x +的定义域；（2）由已知函数定义域求出函数()f x 的定义域，进一步求出(25)f x -的定义域．【解答】解：（1）由()f x =，得⎩⎨⎧≥+≥-0301x x ，即﹣3≤x ≤1．∴函数()f x =[3-，1]，由﹣3≤x +1≤1，得﹣4≤x ≤0．即函数f （x +1）的定义域为[﹣4，0]；（2）∵函数f （3x +1）的定义域为（﹣1，6]，∴﹣1＜x ≤6，则﹣2＜3x +1≤19，即函数f （x ）的定义域为（﹣2，19]，由﹣2＜2x ﹣5≤19，得1223≤<x ． (25)f x ∴-的定义域为3(2，12]．【练6】（1）根号内用配方法可得；（2）换元法，将无理函数变成二次函数求值域．【解答】解( 1)．∵0≤﹣（x ﹣1）2+4≤4，，∴所给函数的值域为[2，4]．（2）．令)0(2-1≥=t t x ，则212t x -=，∴2211(1)122t y t t -=+=--+，当1t =时，1max y =，∴所给函数的值域为(-∞，1]．【练6.1】（Ⅰ）根据一元二次函数的性质进行求解即可．（Ⅱ）利用换元法设t =t 的一元二次函数进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的对称轴为2x =，则当2x =时，()f x 取得最小值f （2）4813=-+=-，当2x =-时，(2)48113f -=++=，即﹣3≤f （x ）＜13，即函数的值域为[3-，13)．（Ⅱ）设t =t ≥0，且21x t =+，则函数()f x 等价为2214(2)3y t t t =+-=--，∵t ≥0，∴当2t =时，函数取得最小值3y =-，则y≤-3，即函数的值域为[3-，)+∞．【练6.2】（1）利用配方法结合单调性可得值域；（2）利用换元法转化为二次函数问题即可求解值域．【解答】解：（1）（配方法）因为22123323()612y x x x =-+=-+，所以函数232y x x =-+在[1，3]上单调递增，所以当1x =时，函数取得最小值4；当3x =时，函数取得最大值26．所以函数232y x x =-+，[1x ∈，3]的值域为[4，26]．（2）（换元法）设t ＝0-1≥x ，则x ＝1﹣t 2．原函数可化为y ＝1﹣t 2+4t ＝﹣（t ﹣2）2+5（t ≥0），所以y ≤5，所以原函数的值域为(-∞，5]．【练6.3】（1）求出函数的定义域，结合二次函数的性质求出函数的值域即可；（2）求出函数的定义域，根据函数的单调性求出函数的值域即可；（3）求出二次函数的性质，求出函数的定义域即可．【解答】解：（1）由2560x x -++>，即2560x x --<，解得：16x -<<，而函数256y x x =-++的对称轴是52x =，故函数256y x x =-++在5(1,)2-递增，在5(2，6)递减，故y 在5(1,)2-递减，在5(2，6)递增，故函数的最小值是522|7x y ==，故函数的值域是2[7，)+∞；（2）函数的定义域是(-∞，1]2，而函数y x = 故121|2x y ==， x →-∞时，y →-∞，故函数的值域是(-∞，1]2；（3）2513y x =-+在(,0)-∞递减，在(0,)+∞递增，故0x =时，y 的最小值是23-，x →∞时，1y →，故函数的值域是2[3-，1)．【练7】（1）根据根式成立的条件进行求解即可．（2）根据定义域为R 转化为不等式恒成立进行求解即可．【解答】解：（1）当k ＝﹣1时，由题意得﹣x 2+6x +7≥0，即（x +1）（x ﹣7）≤0，即﹣1≤x ≤7∴定义域为[1-，7]．（2）由题意得kx 2﹣6kx +k +8≥0对一切x ∈R 都成立，（3）当0k =时，()f x =当k ≠0时，则有⎩⎨⎧≤∆>00k ，解得0＜k ≤1，综上得：实数k 的取值范围是[0，1]．【练7.1】（1）由根式内部的代数式大于等于0求解分式不等式可得A ；（2）由分母中根式内部的代数式大于0求解B ，再由集合间的包含关系列式求得实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由2﹣013≥-+x x ≥0，得11+-x x ≥0，即x ＜﹣1或x ≥1．即A ＝（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）；（2）由（x ﹣a ﹣1）（2a ﹣x ）＞0，得（x ﹣a ﹣1）（x ﹣2a ）＜0． ∵a ＜1，∴a +1＞2a ，则B ＝（2a ，a +1）．∵B ⊆A ，∴2 a ≥1或a +1≤﹣1，即a ≥21或a ≤﹣2，而a ＜1， ∴21≤a ＜1或a ≤﹣2，故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[21，1]．【练7.2】（1）求解()f x 中x 的范围可得集合A ，根据二次函数的性质求解值域可得集合B ；（2）求解A B ，根据()C A B C =，可得()C A B ⊆，即可求解m 的范围；【解答】解：（1）函数()f x =的定义域为集合A ，即2430x x +->，解得：14x -<<，∴集合(1,4)A =-；函数2()22g x x x =--+，[1x ∈-，1]的值域为集合B ．对对称轴1x =-，可知[1x ∈-，1]单调递减；当1x =-时，可得最大值为3；当1x =时，可得最小值为1-；∴集合[1B =-，3]．（2）由（1）可知(1,4)A =-；[1B =-，3]．那么[1AB B ==-，4)．根据()C A B C =，可得()C A B ⊆，∵C ＝{x |m ≤x ≤m +2}，∴⎩⎨⎧<+-≥421m m 解得：﹣1≤m ＜2故得实数m 的取值范围是[1-，2)．【练7.3】（1）利用分类讨论思想建立等量和不等量关系求出a 的范围．（2）进一步利用分类讨论思想和△≥0求出结果．【解答】（1）依题意可得：22(1)(1)10a x a x -+++…对一切x R ∈恒成立；当210a -=时，即1a =或1a =-；②20a ＝﹣1：1≥0，显然符合；当a 2﹣1≠0时，即a ≠1且a ≠﹣1；⎪⎩⎪⎨⎧≤--+=∆>-0)1(4)1(01222a a a ， ∴a ＜﹣1或35≥a ．由①②得：),35[]1,(+∞⋃--∞∈a （2）依题意可得：只要t ＝（a 2﹣1）x 2+（a +1）x +1能取到所有的正数； ①当a 2﹣1＝0即a ＝1或a ＝﹣1 10a ＝1，所以a ＝1符合a ＝﹣1不符合．②当a 2﹣1≠0时，即a ≠1且a ≠﹣1时， ⎪⎩⎪⎨⎧≥∆>-0012a ，解得351≤<a ；故由①②]35,1[∈a ．。

暑期新高一数学预科讲义

考点1：集合的概念1．⑴ 集合的含义：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．如：现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素． ⑵ 一般情况下，集合用英文大写字母,,,A B C 表示．元素用英文小写字母,,,a b c 表示； ⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．2．元素与集合的关系：如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉．3．某些常见的数集（数集即元素是数的集合）的写法：自然数集正整数集整数集有理数集实数集N *N 或N + Z Q R练习1：用∈，∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ；⑤5___Q ；⑥22-___R ；⑦π___R ；4．元素的性质①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可．②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个． ③无序性：集合中的元素是无次序关系的．1.1 集合的概念与表示第1讲集合【例1】 ⑴ 若221x x +，，是一个集合中的三个元素，实数x 应满足什么条件？⑵设R x ∈，将对象x ，x -，2x ，33x -，44x -，24x 组成集合M ，则集合M 中元素最多时有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 ⑶下列叙述中正确的个数是（）①若a -∈Z ，则a ∈Z ；②若a -∉N ，则a ∈N ；③a ∈Z ，若a -∉N ，则a ∈N ；④a ∈Z ，若a ∈N ，则a -∉N ． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个考点2：集合的表示法——列举法与描述法5．集合的表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．例如：{12345}，，，，，{12345}，，，，，．【注意】列举法既可以表示有限集（集合中元素个数是有限多个的），也可以表示元素呈现一定规律的无限集，如不大于100的自然数，可以表示为{0123100}，，，，，，自然数集可以表示成{0123}，，，，．有了列举法，我们就很容易将一些语言翻译成集合语言，如方程260x x +-=的解集可以写成{23}-，；直线2y x =与直线2y x =的交点集合可以写成{(00)(24)}，，，．⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{|()}x A p x ∈，()p x 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围，有时也写为{|()}x p x x A ∈，．例如：大于3的所有整数用描述法表示为{|3}x x ∈>Z ．方程260x x +-=的实根用描述法表示为2{|60}x x x ∈+-=R ．【注意】①描述法给出了一个客观的标准，用{|}表示，竖线前面表示集合描述的是谁，竖线后面表示集合中描述的元素具有什么特点．如：{3000}x x 是山峰｜的高度在米以上；{|}x x 是人物角色是《红楼梦》中出现的人； {|}x x 是人是《西游记》中出现的人，老师讲到此处时，可以调节一下课堂气氛，问一下学生：孙悟空在这个集合中吗？不在，他不是人；猪八戒在吗？不在，他也不是人．李世民在吗？在；天篷元帅在吗？……{|3}x x ∈R ≥，说明集合描述的是实数x ，这个实数具有大于等于3的特点．若元素范围为R ，在不致发生误解时，x ∈R 也可以省略，直接写成{|3}x x ≥．但对于集合{|3}x x ∈Z ≥，则x ∈Z 一定不能省略．②除了数集外，还有一类集合是点集，集合中的元素是点，竖线前面的代表元素为()x y ，．如：2{()|}x y y x x =∈R ，，，说明集合是点集，点()x y ，满足2y x =，故集合中的点在抛物线2y x =上，即此集合表示抛物线2y x =上所有的点．③描述法需要注意集合描述与字母选取无关，即{|2}x x >与{|2}y y >表示的是同一个集合．字母只是一个代号，是浮云，后面学到函数我们还会强调这一点．就相当于不管你怎么改名字，你还是你．练习2：将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来：①2{|10}A x x =∈-=R ；②2{|10}B x x =∈-=Z ；③2{|10}C x x =∈-=N ；④22{()|0}D x y x y =+=，；⑤{()|1E x y y x ==-，，且2}y x =．练习3：用通俗的语言（即自然语言）描述下面集合表示的含义：①{|21}x x k k ∈=-∈R Z ，；②{|2}x x k k ∈=∈R Z ，；③21()|y x x y y x ⎧⎫=+⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭，．【例2】请指出以下几个集合间的区别，有等价集合的写出其等价集合（即给出集合的另一种写法）．2{|1}A x y x =∈=+R ，2{|1}B y y x =∈=+R ，2{()|1}C x y y x ==+，．【例3】 ⑴已知集合{1234}A =，，，，集合{()|}M a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，用列举法表示集合M =_________________．⑵已知集合2010|5M a a a *⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N N ，，集合20102010|55N a a a *⎧⎫=∈∈⎨⎬--⎩⎭N N ，，则用列举法表示集合M =________，集合N =_______________．⑶集合{}|2A x x k k ==∈Z ，，{}|21B x x k k ==+∈Z ，，{}|41C x x k k ==+∈Z ，，又a A ∈，b B ∈，则有（）A ．a b A +∈B ．a b B +∈C ．a b C +∈D ．a b +不属于A ，B ，C 中任意1个【备选】集合{}222(,,)432,,,A x y z x y z xy y z x y z =+++=++∈R 中有（）个元素．A ．0B ．1C ．2D ．无数列举法与描述法是我们最常用，也是最普遍的两种集合的表示方法．前者简单直观，一个对象是否在其中一目了然，但只能表示一些比较简单的集合．后者具有普遍的意义，有时解读起来并不容易，高考压轴题有些具有集合背景，首先就需要对一个由描述法给出的集合进行解读，我们会在秋季时再看．除了这两种表示方法之后，还有两种集合的特殊的表示方法，一种是在后面讲的集合的相互关系中常常遇到，称为图示法，也叫维恩图．还有一种方法—区间表示法可以表示一类特殊的连续数集．考点3：集合的表示法——图示法与区间表示法⑶ 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩（Venn ）图．图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．见板块1.2与板块1.3．⑷ 区间表示法：设a b ∈R ，，且a b <，定义名称符号数轴表示{|}x a x b ≤≤ 闭区间 []a b ， x ba{|}x a x b << 开区间 ()a b ， a b x {|}x a x b <≤ 左闭右开区间 [)a b ， a b x {|}x a x b <≤ 左开右闭区间(]a b ， a b x {|}x x a ≥ 一类特殊的区间[)a +∞， ax{|}x x a ≤(]a -∞，ax{|}x x a > ()a +∞， ax{|}x x a <()a -∞，ax实数a 与b 都叫做相应区间的端点；“+∞”读作“正无穷大”， “-∞”读作“负无穷大”．实数集R 也可以用()-∞+∞，表示．练习4：将下面的集合表示成区间：⑴{|12}x x -<≤；⑵{|240}x x ->；⑵{|420}x x -≥．【例4】把下列集合表示成区间⑴{|1}x x ≤；⑵2{|2}y y x x =-+；⑶2{|22111}y y x x x =++-<<，．**************************************************************************************** 这里补充一个初高衔接的内容：配方法（学生版不出现，课件出现，以后同）配方法是针对二次函数或者换元后是二次函数的函数求取值范围或最大最小值常用的一种方法，是高中需要熟练掌握的一种方法．【例题】求出下列函数的最大值、最小值和对应的x 值．⑴2241y x x =+-；⑵2261y x x =-++；⑶2241y x x =+-，22x -≤≤；⑷2261y x x =-++，12x -≤≤．【练习】求下列函数的最值：⑴221y x x =++，11x -≤≤；⑵227y x x =---，2x -≤≤1．****************************************************************************************考点4：子集、真子集与集合相等1．子集：对于两个集合A B ，，如果集合A中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “A 包含于B ”（或“B 包含A ”）．规定：∅是任意集合的子集．如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素，那么集合A 不包含于B ，记作A B 或B A ．2．真子集：如果集合A B ⊆，且存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ），读作A 真包含于B （B 真包含A ）．规定：∅是任意非空集合的真子集．练习5：下列四个命题中正确的有_______．①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③空集的元素个数为零； ④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．3．集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ．【例5】 ⑴ 下面关系式中，正确的是_______．①0{}∈∅；②{}∅∅；③{0}∅；④{}a a ⊆；⑤{}{}a a ；⑥{}a ∅∈．⑵用=≠，，，填空：①{1}______2{|320}x x x -+=；②{12}，______2{|320}x x x -+= ③∅______2{|20}x x ∈+=R ；④{|32}x x +>______{|10}y y ->；1.2集合的关系⑤2{()|1}x y y x =+，_____2{|1}y y x =+；⑥2{|1}x y x =+_____2{|1}y y x =+； ⑦{(2,3)}______{(3,2)}；⑧{23}，______{(23)}，．考点5：交集、并集与补集交集的引入直观上，现在你有两个集合，这两个集合的公共部分就是一个新的集合，这就是交运算．例：{我们班所有男生}和{我们班所有戴眼镜的同学}，它们的公共部分就是{我们班所有戴眼镜的男生}，这是一个新的集合，这个过程就是交的运算过程．而{我们班所有的男生}和{我们班所有的女生}，它们的公共部分没有任何元素，就是空集．A 与B 的交集用A B 表示．给一些数学上的例子：例：⑴{123}{234}A B ==，，，，，，则{23}A B =，；⑵A B ==Z N ，，则A B =N ； ⑶{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|21}B x x k k ==+∈Z ，，则A B =∅；交集的严格数学定义即：{}|A B x x A x B =∈∈且．我们可以注意到AA A A =∅=∅，，若AB ⊆，则A B A =．1．交集：对于两个给定的集合A 、B ，属于A 又属于B 的所有元素构成的集合叫做A 、B 的交集，记作“A B ”．集合A B 用符号语言表示为：{}|A B x x A x B =∈∈且，用维恩（Venn ）图表示为：A B =∅ A B B = AB 为其公共部分并集的引入直观上，现在你有两个集合，你把两个集合中的元素放到一块，就得到一个新的集合．例：{我们班所有男生}和{我们班所有女生}两个集合放一块，就是{我们班所有同学}，这个过程就叫做并的运算过程．A 与B 的并集用A B 表示．可以给一些数学上的小例子：例：⑴{123}{456}A B ==，，，，，，则{123456}A B =，，，，，；⑵{|2}A x x k k ==∈Z ，表示所有偶数，{|21}B x x k k ==+∈Z ，表示所有奇数，则A B =Z 为所有整数； ⑶{|41}A x x k k ==+∈Z ，，{|43}B x x k k ==+∈Z ，，则A B ={|21}x x k k =+∈Z ，．在并的运算过程中，注意元素相同的只需要考虑一个就行，不能重复出现，这是由集合中元素的1.3集合的运算BA互异性决定的．例{123}{234}A B ==，，，，，时，{1234}A B =，，，；A B ==Z N ，，则A B =Z ；我们可以注意到A A A A A =∅=，，若A B ⊆，则A B B =．有了并的运算后，很多写法就非常简单了，如2320x x -+>的解集可以写成{|1x x <或2}x >，可以用区间与并集符号写成(1)(2)-∞+∞，，．2．并集：对于两个给定的集合A 、B ，由两个集合所有元素构成的集合叫做A 与B 的并集，记作“A B ”．集合A B 用符号语言表示为{}|A B x x A x B =∈∈或;用维恩（Venn ）图表示如下：或或补集的引入一般情况下，把我们所描述对象的所有全体当作一个对象，这个对象就是全集．把在全集U 中不属于A 的那些元素构成的集合，叫到A 在U 中的补集，直观上，就是从U 中把A 挖掉剩下的部分．如：U ={我们班同学}，A ={我们班男生}，A 的补集就是{我们班女生}；U ={我们班人}，A ={我们班同学}，A 的补集就是{老师}．A 在U 中的补集记为U A ．例：{12345}U =，，，，，{123}A =，，，则{45}UA =，；ZN 就是所有的负整数；R Q 就是所有的无理数；{|21}A x x k k ==+∈Z ，，则{|2}A x x k k ==∈ZZ ，；[55]A =-，，[01]B =，，[50)(15]A B =-，，．3．补集： ①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U 表示． ②补集：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作“U A ”．读作“A 在U 中的补集”．A 在U 中的补集的数学表达式是{}|UA x x U x A =∈∉，且．用维恩（Venn ）图表示：【例题】用集合的运算表示下面阴影部分的集合．⑴UBA ⑵A BU⑶A BU【例6】 ⑴已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合UAB 等于（）A ．}{|24x x -≤≤B ．{}|34x x x 或≤≥C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤⑵设集合{}21|2|12A x x B x x ⎧⎫=-<<=⎨⎬⎩⎭，≤，则A B =（）A ．{}|12x x -<≤B ．1|12x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭≤C ．{}|2x x <D ．{}|12x x <≤⑶集合{}{}2|03|9P x x M x x =∈<,=∈Z R ≤≤，则PM =（）A ．{}12,B ．{}012,,C ．{}|03x x <≤D ．{}|03x x ≤≤ ⑷已知集合{}2|1P x x =≤，{}M a =，若P M P =，则a 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．[)1+∞，C ．[]11-，D ．(][)11-∞-+∞，，【例7】 ⑴集合222{|320}{|2(1)(5)0}A x x x B x x a x a =-+==+++-=，，若{2}A B =，求实数 a 的值； ⑵集合2{|10}{|320}A x ax B x x x =-==-+=，，且A B B =，求实数a 的值．【备选】（复旦大学2006年自主招生考试）若非空集合{|135}X x a x a =+-≤≤，{|116}Y x x =≤≤，则使得X X Y ⊆成立的所有a 的集合是（）A ．{|07}a a ≤≤B ．{|37}a a ≤≤C ．{|7}a a ≤D ．空集****************************************************************************************【演练1】用最恰当的符号（∈∉=≠，，，，，）填空 ⑴___{0}∅； ⑵2___{(1,2)}； ⑶0___2{|250}x x x -+= ⑷{35}，____2{|8150}x x x -+=； ⑸{35}，___N ；⑹{|2}x x k k =∈N ，______{|6}x x ττ=∈N ， ⑺{|41}x x k k =+∈Z ，____{|43}x x k k =-∈Z ，．【演练2】已知集合{123}A =，，，用列举法表示下面集合⑴{()|}M a b a A b A =∈∈，，；⑵{()|}N a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．【演练3】已知{}2|1M y y x x ==-∈R ，，{}|1P x x a a ==-∈R ，，则集合M 与P 的关系是（） A ．M P = B ．P M ∈ C ．MP D ．M P【演练4】⑴ 已知2{|43}A y y x x x ==-+∈R ，，2{()|22}B x y y x x x ==--+∈R ，，，则A B等于（）A ．∅B ．{(1,3)}-C ．RD ．[13]-，⑵ 已知2{|43,}A y y x x x ==-+∈R ，2{|22,}B y y x x x ==--+∈R ，则A B 等于（）A ．∅B ．{1,3}-C ．RD ．[13]-， ⑶已知(){}2|43,A x y y xx x ==-+∈R ，，(){}2|22,B x y y x x x ==--+∈R ，，则AB 等于（）A ．∅B ．{(1,3)}-C ．RD ．[13]-，实战演练【演练5】设集合{|(3)()0,}=--=，求A B A B，．B x x x=--=∈R，{|(4)(1)0}A x x x a a概念要点回顾1．集合中的元素具有______性、______性、______性；2．常用数集的符号：自然数集____；正整数集____；整数集____；有理数集____；实数集_____．3．集合的表示法：把集合中的元素一一列举出来的方法叫做______；把集合中的元素用一个代表元素表示，并注明满足的条件的方法叫做______；通常用来表示集合与集合之间的关系的方法叫做_______．用来表示连续数集的方法叫做______．4．用来表示元素与集合的关系的符号有_______，用来表示集合与集合的关系的符号有_____________．5．空集是______的子集、空集是___________的真子集．6．两个集合的运算有______、______与______，用这些运算的符号表示下列集合:∈，且}x A∉=______．∈=___B,{|x x Ux B A∈，且}x B A∈=___B；{|x x A∈，或}{|x x A考点2：函数的概念函数的概念：设集合A 是非空的数集，对于A 中的任意实数x ，按照确定的对应法则f ，都有唯一确定的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()y f x x A =∈，．其中，x 叫做自变量，自变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}y f x x A =∈叫做函数的值域．函数()y f x =也常写作函数f 或函数()f x ．练习2：已知函数2()f x x x=+．⑴(1)f =_______，(4)f =_______；⑵当0a >时，()f a =_____________，(1)f a +=______________．【例8】已知函数221()1222x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，≤，，≥，⑴求(π)f ； ⑵若()3f a =，求a ．【例9】求下列函数的定义域．①32y x x =+-；②1x y x =-；③21x y x -=-；④()1231f x x x =-⋅-；⑤01()(3)2f x x x =+--；⑥2()2f x x x =+-．2.2函数的概念与三要素知识点睛经典精讲第2讲函数及其表示****************************************************************************************初高衔接——解一元二次不等式求定义域问题中会遇到很多解一元二次不等式的问题，这部分内容初中有所提及，但有些同学掌握的还不太好，可以在这里再复习巩固一下．高中解一元二次不等式多借助一元二次函数的图象，知识点如下：解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有），再结合一元二次函数的图象写出不等式的解集：大于0时两根之外，小于0时两根之间．一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）：【例题】解下列一元二次不等式⑴ 2420x x -->；⑵ 2613280x x --<；⑶2(11)3(21)+++x x x x ≥； ⑷ 2450x x ++>；⑸ 220x x -+->．【练习】解下列一元二次不等式⑴22320x x -->；⑵240x x ->；⑶210x x -+≤．⑷2233312x x x -+>-．【拓展】若01a <<，则不等式1()0x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集是______________．****************************************************************************************考点3：同一函数同一函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．【例10】下列各组函数中，表示同一函数的有________．①1y =与x y x= ；②y x =与33y x = ③y x =与2()y x =；④y x =与2y x = ⑤y x =与00x x y x x ⎧=⎨-<⎩，≥，；⑥11y x x =+-21y x =-11y x x =+-21y x =-考点4：复合函数及其定义域复合函数的概念：如果y 是u 的函数，记作()y f u =，u 是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()y f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数．⑴ 只有当外层函数()f u ()g x [()]f g x ．⑵ 理解函数符号()f x ，及[()]f g x 与[()]g f x 的区别．⑶ 复合函数的定义域是由外层函数的定义域、内层函数的值域与定义域共同决定的．【例11】⑴已知()21f x x =+，()21g x x =-，求[()]f f x ，[()]f g x ，[()]g f x 与[()]g g x ．⑵已知()f x 与()g x 分别由下表给出：x 12 34x 1 2 3 4()f x2 34 1 ()g x 2 1 43 那么()()2f f =＿＿，()()2f g =＿＿，()()2g f =＿＿，()()2g g =＿＿；满足()()f g x g f x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的x 的值是＿＿．【例12】⑴若()f x 的定义域为(1,3]，求(2)f x +的定义域；⑵若(2)f x +的定义域是(1,3]，求()f x 的定义域； ⑶若(2)f x +的定义域是(2,5]，求2(3)f x +的定义域．考点5：函数的值域1．部分常见函数的值域：常见函数的值域问题都可以借助函数的草图解决． ⑴一次函数：(0)y kx b k =+≠，图象为一条直线．不加限制时，定义域为R ，值域为R ．若定义域发生限制，21y x =+，[31]x ∈-，，值域为[53]-，，就是把端点值代入．若是取不到端点，如12y x =-，(2]x ∈-∞，，结合图象易知答案为[3)-+∞，． ⑵二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠，图象为抛物线．进入高中后，要习惯性把0a ≠写上．若定义域无限制，值域为从最小值到正无穷（0a >）或从负无穷到最大值(0)a <．若定义域有限制，需要判断对称轴是否在区间内，并考虑端点离对称轴的远近，结合图象得到结果．⑶反比例函数：ky x=（0k ≠），图象为双曲线．0k >，图象在第一、三象限：0k <，图象在第二、四象限：如果定义域无其它限制，值域为(0)(0)-∞+∞，，；如果定义域有其它限制，结合图象得到结果．遇到这三种函数的值域问题，我们应该首先画这些函数的草图，然后再看看函数对应的是图象的哪一段，最后得到所求函数的值域．2．简单复合函数的值域：先求定义域，再自内而外一层一层求值域．练习3：求函数2()1f x x =-的值域．【铺垫】求下列函数的值域：⑴21y x =--，[13]x ∈-，；⑵21y x x =++，[13]x ∈-，；⑶1[13]1y x x =∈+，，；【例13】求下列函数的值域．⑴2y =-，[21]x ∈--，；⑵1212y x x =->-+，；⑶21y x =-+ ⑷232y x x =-+；⑸282y x x =--【拓展】2()245f x x x =-+集合的表示方法列举法描述法图示法优点简单、直观严谨直观缺点不能表示复杂的集合抽象很难表示规则函数的表示方法列表法解析法图象法优点不需要计算、直观简明概括，易求值直观，能反映大趋势缺点不能表示复杂的函数不直观不够精细考点6：函数的表示法函数的三种表示法⑴ 列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法．优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用．⑵ 图象法：把一个函数定义域内的每个自变量x 的值和它对应的函数值()f x 构成的有序实数(())x f x ，对作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数()y f x =的图象，即{()|()}F P x y y f x x A ==∈，，．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质．⑶ 解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如26y x =-．优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．练习4：赵小雪同学开了一个小店，里面有5件商品，每个商品的定价都为2元，x 表示卖出商品的数量，y 表示销售收入，用三种方法表示y 关于x 的函数．【例14】求下列函数解析式⑴已知2()1f x x =+，求(21)f x +； ⑵已知2(1)3f x x x -=+-，求()f x ；⑶已知(32f x x x =-()f x ．已知函数()21f x x =+的定义域为[22]-，，求函数(2)()f x f x -的值域．【演练1】已知集合A *=N ，{}21Z B a a n n ==-∈，，映射:f A B →，使A 中任一元素a 与B 中元素21a -对应，则与B 中元素17对应的A 中元素是（） A ．3 B ．5C ．17D ．9【演练2】下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A ．1y x =-和211x y x -=+ B ．0y x =和1y =C ．()2f x x =和()()21g x x =+ D ．()()2x f x x=和()()2xg x x =【演练3】已知函数()34f x x =--的值域为[]105-，，则它的定义域为．【演练4】已知()f x 的定义域为[12)-，，则(||)f x 的定义域为（）．A ．[12)-，B ．[11]-，C ．(22)-，D ．[22)-，【演练5】 ⑴已知()123f x x +=+，则()3f = ．⑵设(2)23g x x +=+，则()g x =_______．【演练6】已知210()20x x f x x x ⎧+=⎨->⎩≤，，，若()10f a =，求a ．实战演练概念要点回顾1．函数的概念：设集合A是非空的数集，对于A中的____实数x，按照确定的对应法则f，都有_____的实数值y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作，．y f x x A=∈()2．函数的三要素是：________、________与________，其中________与________一致的函数就称为同一函数；3．函数的表示方法有______、_______与_______．4．对于复合函数[()]f g x，内层函数是______，外层函数是______，求复合函数的值域需要先求_____，再________一层一层求值域．第3讲函数的单调性考点1：单调性的概念1．一般地，设函数()y f x =的定义域为D ，区间I D ⊆：⑴ 增函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数； ⑵ 减函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数；2．单调性：如果函数()y f x =在某个区间I 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这个区间上具有单调性，区间I 叫做()y f x =的单调区间．【例15】已知定义在区间[44]-，上的函数()y f x =的图象如下，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．O yx431124【解析】函数()y f x =的单调区间有：[42]--,，[21]--,，[11]-，，[13]，，[34]，．其中在区间[21]--,，[13]，上是减函数，在区间[42]--,，[11]-，，[34]，上是增函数．考点2：单调性的严格证明用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x <．②作差变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．练习1：()21f x x =+，证明()f x 在R 上单调递增．3.1函数单调性的定义与判别【例16】⑴证明：函数2()f x x =在(0]-∞，上单调递减；⑵证明：函数1()f x x=在(0)+∞，上单调递减．【例17】⑴证明：函数3()f x x =在定义域上是增函数．⑵证明：函数2()3x g x x =-在区间[12]，上是减函数．****************************************************************************************初高衔接——立方和与立方差公式⑴立方和公式 3322()()a b a b a ab b +=+-+； ⑵立方差公式 3322()()a b a b a ab b -=-++．【例题】⑴已知12x x +=，则331x x +=_____．⑵已知1x y +=，则333x y xy ++的值为_________．【练习】已知12x x-=，则331x x -=_____．【拓展】实数a b ，满足3331a b ab ++=，则a b += ．****************************************************************************************【拓展】讨论函数2()1axf x x =-（110x a -<<≠，）的单调性．考点3：利用单调性解简单的函数不等式【例18】 ⑴已知函数()f x 为R 上的增函数，且(21)(2)f m f m ->+，则m 的取值范围是_______．⑵函数()f x 在(0)+∞，上为减函数，那么2(23)f a a -+与(1)f 的大小关系是________．【拓展】已知函数()f x 为R 上的减函数，则下列各式正确的是（）A ．()(2)f a f a >B ．2()()f a f a <C ．2()()f a a f a +<D ．2(1)()f a f a +<考点4：常见函数的单调性常见函数的单调性：1．一次函数()f x kx b =+（0k ≠），单调性由k 决定，12x x <，()()()1212f x f x k x x -=-，当0k >时，()f x 在R 上单调递增；当0k <时，()f x 在R 上单调递减．2．二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦，上单调递减，在2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增；当0a <时，()f x 在2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，上单调递增，在2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递减．3.2常见函数单调性练习2：一个二次函数在()05，上单调递增，在()30-，上单调递减，则它的对称轴为_____．3．反比例函数()kf x x=，0k ≠．当0k >时，()f x 在()0-∞，和()0+∞，上分别单调递减；当0k <时，()f x 在()0-∞，和()0+∞，上分别单调递增．【例19】⑴已知函数y ax =和by x=-在区间(0)+∞，上都是减函数，则函数1by x a=+在R 上的单调性是_____________．(填增函数或减函数或非单调函数)⑵已知函数2()(1)2f x a x =-+在()-∞+∞，上为减函数，则a 的取值范围为________．⑶若函数2()2012f x x ax =++在(2)-∞，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增，则a =___．⑷若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(4)-∞，上为减函数，则a 的取值范围是．【拓展】已知函数()()213f x ax a x a =+-+在区间[)1+∞，上递增，则a 的取值范围是．考点5：复合函数单调性对于复合函数[()]y f g x =的单调性，必须考虑函数()y f u =与函数()u g x =的单调性，函数[()]y f g x =的单调性如下表：()y f u = 增函数增函数减函数减函数 ()u g x = 增函数减函数增函数减函数 [()]y f g x = 增函数减函数减函数增函数小结：同增异减．练习3：判断函数1y x =+的单调性．【例20】判断下列函数的单调性．⑴1y x =- ⑵15y x=- ⑶2145y x x =++ ⑷232y x x =-+．【例21】判断函数324y x=--的单调性．【拓展】判断函数2312y x=--的单调性．1．若函数()f x 在区间[13)，上是增函数，在区间[35]，上也是增函数，则函数()f x 在区间[15]，上（）A ．必是增函数B ．不一定是增函数C ．必是减函数D ．一定是增函数或减函数若函数211()21x x f x ax x ⎧+=⎨-<⎩，≥，在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围为__________．2．如果函数2y ax =+在()1-+∞，上单调递增，求a 的取值范围．【演练1】关于函数()(0)kf x k x=<的下列说法正确的是（）A ．()f x 在(0)+∞，上单调递减B ．()f x 在(0)-∞，上单调递减C ．()f x 的单调增区间为(0)(0)-∞+∞，，D ．()f x 的单调增区间为(0)-∞，和(0)+∞，【演练2】函数2()21f x x x =-+-在区间[2011]a -，上是增函数，则a 的取值范围为________．【演练3】证明：函数()f x x =-在定义域上是减函数．【演练4】已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x⎛⎫> ⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（）实战演练A ．(1)-∞，B ．(1)+∞，C ．(0)(01)-∞，，D ．(0)(1)-∞+∞，，【演练5】判断下列函数的单调性：⑴15y x=+；⑵42y x =-；⑶243y x x =--．1．函数的单调性的定义：如果对于区间I 上的________12x x ，，当12x x <时，都有________，那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数；如果对于区间I 上的________12x x ，，当12x x <时，都有________，那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数；2．常见函数的单调性：⑴一次函数y kx b =+：0k >时，在____上是____函数；0k <时，在____上是____函数； ⑵二次函数2y ax bx c =++：0a >时，在_________上单调递增，在________上单调递减；0a <时，在_________上单调递增，在________上单调递减；⑶反比例函数k y x=：0k >时，在_________________上单调______；0k <时，在_________________上单调______；3．复合函数的单调性概念要点回顾当()f g x单调递增；f x与()g x的单调性______时，[()]当()f x与()f g x单调递减．g x的单调性______时，[()]第4讲函数的奇偶性考点1：函数奇偶性的定义与判定1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；2．偶函数：如果对于函数()y g x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()g x g x -=，那么函数()g x 就叫做偶函数．3．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．练习1：⑴证明：()4211f x x x =++是偶函数．⑵证明：31()g x x x=+是奇函数．【铺垫】判断下列函数的奇偶性：①()3f x x =；②()31f x x =-；③4()1f x x =+；④1()f x x x=-；⑤2()1f x x x =-+；⑥2()1f x x x =-+．【例22】将下列函数按照奇偶性分类：①(]2()11f x x x =∈-，，；②()()011f x x =∈-，，；③1()1f x x =-； ④()11f x x x =-+-；⑤22()11f x x x =-+-；⑥32()1x xf x x +=-； ⑦()212|2|x f x x -=-+； ⑧1()(1)1xf x x x +=⋅--；⑨10()10x f x x ⎧=⎨-<⎩≥，，； ⑩10()10x x f x x x ->⎧=⎨+<⎩，，．⑴ 是奇函数但不是偶函数的有__________________；⑵ 是偶函数但不是奇函数的有___________________； ⑶ 既不是奇函数也不是偶函数的有__________________；⑷ 既是奇函数又是偶函数的有（填相应函数的序号）．4.1函数奇偶性的定义与判别【拓展】函数29|4||3|x y x x -=++-的图象关于（）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线0x y -=对称【例23】 ⑴若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是．⑵已知函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++，当m = ，n = 时，()f x 是奇函数．【例24】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，且23()()1f x g x x x -=--，则()g x 的解析式为（）A ．21x -B ．222x -C ．21x -D ．222x -【例25】 ⑴已知()()f x g x ，都是定义在R 上的函数，下列说法正确的是（）A ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则()()f x g x ⋅为奇函数B ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则()()f x g x +为奇函数C ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则[()]f g x 为偶函数D ．若()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()]f g x 为奇函数 ⑵设函数3()(1)()f x x x x a =++是奇函数，则a =_______．考点2：函数奇偶性的简单应用练习2：()f x 是偶函数，且在[)0+∞，上，()21f x x =+，则在()0-∞，上，()f x =_______．【例26】 ⑴()f x 是偶函数，在[)0+∞，上，()243f x x x =-+，则在()0-∞，上()f x =________．⑵()f x 是偶函数，在()0+∞，上，()31f x x x=+，则在()0-∞，上，()f x = ．⑶已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，21()f x x x=-．求函数()f x 的解析式．．单调性：若一个偶函数在()0+∞，上单调递增，则在()0-∞，上单调递减；若一个奇函数在()0+∞，上单调递增，则在()0-∞，上单调递增．说明：偶函数在对应区间上单调性相反，奇函数在对应区间上单调性相同．4.2单调性与奇偶性综合练习3：已知()1f x x x=+，它是奇函数，已知它在()01，上单调递减，在()1+∞，上单调递增，那么可以得到它在(0)-∞，上的单调情况为______________．【例27】⑴定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0)+∞，上单调递增，则（）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<- ⑵设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0)-∞，上是增函数，则(1)f -与2(23)f a a -+（a ∈R ）的大小关系是__________．⑶()f x 是偶函数，在[)0+∞，上单调递增，且()10f =，解不等式()220f x -<． ⑷()f x 是奇函数，在()0+∞，上单调递增，且()10f =，解不等式()220f x -<．【拓展】已知定义在R 上的奇函数()f x 是一个减函数，且120x x +<，230x x +<，310x x +<，则()()()123f x f x f x ++的值（）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．以上均有可能已知定义在[22]-，上的奇函数()f x 是增函数，求使(21)(1)0f a f a -+->成立的实数a 的取值范围．【演练1】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且()0f x ≠，则2()1()F x x f x =--⋅（）A ．是奇函数但非偶函数B ．是偶函数但非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．为非奇非偶函数实战演练。

步步高高中数学必修 1 新高一暑假集合

集合1.1.1 集合的含义与表示第1课时集合的含义学习目标 1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法.知识点一集合的概念思考有首歌中唱道“他大舅他二舅都是他舅”，在这句话中，谁是集合？谁是集合中的元素？答案 “某人的舅”是一个集合，“某人的大舅、二舅”都是这个集合中的元素. 梳理元素与集合的概念(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示.(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示. 知识点二元素与集合的关系思考 1是整数吗？12是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？答案 1是整数；12不是整数.没有.梳理元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为∈、∉. 知识点三元素的三个特性思考1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？答案某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准.高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定.元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.思考2 构成单词“bee ”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？答案 2个.集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性.思考3 “中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：“北京、上海、天津、重庆”；乙同学说：“上海、北京、重庆、天津”，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？答案两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的.由此说明，集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性.只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的. 梳理元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性. 知识点四常用数集及表示符号类型一判断给定的对象能否构成集合例1考察下列每组对象能否构成一个集合.(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某班的所有高个子同学；(4)3的近似值的全体.解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；(2)能构成集合；(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.反思与感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.跟踪训练1下列各组对象可以组成集合的是()A.数学必修1课本中所有的难题B.小于8的所有素数C.直角坐标平面内第一象限的一些点D.所有小的正数答案B解析A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合.类型二元素与集合的关系命题角度1判定元素与集合的关系例2给出下列关系：①12∈R；②2∉Q；③|－3|∉N；④|－3|∈Q；⑤0∉N，其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析 12是实数，①对；2不是有理数，②对； |－3|＝3是自然数，③错； |－3|＝3为无理数，④错； 0是自然数，⑤错. 故选B.反思与感悟要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N ，R ，Q ，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件. 跟踪训练2 用符号 “∈”或“∉”填空. －2________R ；－3________Q ；－1________N ； π________Z . 答案 ∈ ∈ ∉ ∉命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理例3 集合A 中的元素x 满足63－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________.答案 0,1,2解析 ∵x ∈N ，63－x ∈N ，∴0≤x ≤2且x ∈N .当x ＝0时，63－x ＝63＝2∈N ；当x ＝1时，63－x ＝63－1＝3∈N ；当x ＝2时，63－x ＝63－2＝6∈N .∴A 中元素有0,1,2.反思与感悟判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接给出的.②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现. (2)推理法①使用前提：对于某些不便直接表示的集合.②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征. 跟踪训练3 已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R ，若1∉A,2∈A ，则( )A.a >－4B.a ≤－2C.－4<a <－2D.－4<a ≤－2答案 D解析 ∵1∉A ，∴2×1＋a ≤0，a ≤－2.又∵2∈A ，∴2×2＋a >0，a >－4，∴－4<a ≤－2. 类型三元素的三个特性的应用例4 已知集合A 有三个元素：a －3,2a －1，a 2＋1，集合B 也有三个元素：0,1，x . (1)若－3∈A ，求a 的值； (2)若x 2∈B ，求实数x 的值； (3)是否存在实数a ，x ，使A ＝B . 解 (1)由－3∈A 且a 2＋1≥1，可知a －3＝－3或2a －1＝－3，当a －3＝－3时，a ＝0；当2a －1＝－3时，a ＝－1. 经检验，0与－1都符合要求. ∴a ＝0或－1.(2)当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈B ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故x ＝－1. (3)显然a 2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能a －3＝0或2a －1＝0.若a －3＝0，则a ＝3，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1} ＝{0,5,10}≠B .若2a －1＝0，则a ＝12，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}＝{0，－52，54}≠B .故不存在这样的实数a ，x ，使A ＝B .反思与感悟元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等.元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等.跟踪训练4 已知集合M 中含有三个元素：2，a ，b ，集合N 中含有三个元素：2a,2，b 2，且M ＝N ，求a ，b 的值.解方法一根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.方法二 ∵两个集合相等，则其中的对应元素相同.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2a ＋b 2，a ·b ＝2a ·b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b (b －1)＝0， ①ab ·(2b －1)＝0， ② ∵集合中的元素互异， ∴a ，b 不能同时为零.当b ≠0时，由②得a ＝0，或b ＝12.当a ＝0时，由①得b ＝1，或b ＝0(舍去). 当b ＝12时，由①得a ＝14.当b ＝0时，a ＝0(舍去).∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.1.下列给出的对象中，能组成集合的是( ) A.一切很大的数 B.好心人 C.漂亮的小女孩D.方程x 2－1＝0的实数根答案 D2.下面说法正确的是( ) A.所有在N 中的元素都在N *中 B.所有不在N *中的数都在Z 中 C.所有不在Q 中的实数都在R 中D.方程4x＝－8的解既在N中又在Z中答案C3.由“book中的字母”构成的集合中元素个数为()A.1B.2C.3D.4答案C4.下列结论不正确的是()A.0∈NB.2∉QC.0∉QD.－1∈Z答案C5.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()A.2B.3C.0或3D.0,2,3均可答案B解析由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意.1.考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.2.元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A.3.集合中元素的三个特性(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合.这个性质通常用来判断两个集合的关系.第2课时集合的表示学习目标 1.掌握用列举法表示有限集.2.理解描述法格式及其适用情形.3.学会在集合不同的表示法中作出选择和转换.知识点一列举法思考要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合.而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？答案把它们一一列举出来.梳理把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.适用于元素较少的集合.知识点二描述法思考能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？答案不能.表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}.梳理描述法常用以表示无限集或元素个数较多的有限集.表示方法是在花括号内画一竖线，竖线前写元素的一般符号及取值(或变化)范围，竖线后写元素所具有的共同特征.类型一用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合.(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合.解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}.反思与感悟(1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；(2)列举法表示的集合的种类①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}.跟踪训练1用列举法表示下列集合.(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；(2)由1～20以内的所有素数组成的集合.解(1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}.(2)设由1～20以内的所有素数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.类型二用描述法表示集合例2试用描述法表示下列集合.(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.解(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}.(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10<x<20}.引申探究用描述法表示函数y＝x2－2图象上所有的点组成的集合.解{(x，y)|y＝x2－2}.反思与感悟用描述法表示集合时应注意的四点(1)写清楚该集合中元素的代号；(2)说明该集合中元素的性质；(3)所有描述的内容都可写在集合符号内；(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略.跟踪训练2用描述法表示下列集合.(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合.解(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}.(2)“二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}.类型三集合表示的综合应用命题角度1选择适当的方法表示集合例3用适当的方法表示下列集合.(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合.解(1)列举法：{0,2,4}；或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}.(2)列举法：{(0,0)，(2,0)}.(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}.反思与感悟用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合.跟踪训练3若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________.答案{2 000,2 001,2 004}解析由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x2∈{0,1,4}，x2＋2 000的值为2 000,2 001,2 004，所以B＝{2 000,2 001,2 004}.命题角度2新定义的集合例4对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m ＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是()A.18B.17 D.16 D.15答案B解析因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B.反思与感悟命题者以考试说明中的某一知识点为依托，自行定义新概念、新公式、新运算和新法则，做题者应准确理解应用此定义，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求.跟踪训练4定义集合运算：A※B＝{t|t＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A※B的所有元素之和为________.答案6解析由题意得t＝0,2,4，即A※B＝{0,2,4}，又0＋2＋4＝6，故集合A※B的所有元素之和为6.1.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A.{1,1}B.{1}C.{x＝1}D.{x2－2x＋1＝0}答案B2.一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是()A.{1，－2}B.{x＝1，y＝－2}C.{(－2,1)}D.{(1，－2)}答案D3.设A＝{x∈N|1≤x<6}，则下列正确的是()A.6∈AB.0∈AC.3∉AD.3.5∉A答案D4.第一象限的点组成的集合可以表示为()A.{(x，y)|xy>0}B.{(x，y)|xy≥0}C.{(x，y)|x>0且y>0}D.{(x，y)|x>0或y>0}答案C5.下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是()A.{x|x＝4k－1，k∈Z}B.{x|x＝2k－1，k∈Z}C.{x|x＝2k＋1，k∈Z}D.{x|x＝2k＋3，k∈Z}答案A1.在用列举法表示集合时应注意：(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集.若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示.2.在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑.1.1.2集合间的基本关系学习目标 1.理解子集、真子集、空集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法.知识点一子集思考如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？答案所有的白马都是马，马不一定是白马.梳理对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”). 子集的有关性质：(1)任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .(2)对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C . (3)若A ⊆B ，B ⊆A ，则A ＝B . 知识点二真子集思考在知识点一中，我们知道集合A 是它本身的子集，那么如何刻画至少比A 少一个元素的A 的子集？答案用真子集.梳理如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，称集合A 是集合B 的真子集，记作：B A ≠⊂或A B ≠⊃，读作：A 真包含于B (或B 真包含A ). 知识点三空集思考集合{x ∈R |x 2＜0}中有几个元素？答案 0个. 梳理知识点四 Venn 思考图中集合A ，B ，C 的关系用符号可表示为__________.答案 A ⊆B ⊆C梳理一般地，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图.Venn 图可以直观地表达集合间的关系.类型一求集合的子集例1 (1)写出集合{a ，b ，c ，d }的所有子集；(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论.解(1)∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}.(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集.如∅，有一个子集，0个真子集.反思与感悟为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等.跟踪训练1适合条件{1}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合A的个数是()A.15B.16C.31D.32答案A解析这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个.类型二判断集合间的关系命题角度1概念间的包含关系例2设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为() A.P⊆N⊆M⊆Q B.Q⊆M⊆N⊆PC.P⊆M⊆N⊆QD.Q⊆N⊆M⊆P答案B解析正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，所以选B.反思与感悟一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先得准确理解概念的定义.跟踪训练2我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N、Z、Q、R表示，用符号表示N、Z、Q、R的关系为________.答案N Z Q R命题角度2数集间的包含关系例3设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为()A.A∈BB.B∈AC.A⊆BD.B⊆A答案C解析∵0<2，∴0∈B.又∵1<2，∴1∈B.∴A⊆B.反思与感悟判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察.(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法：利用数轴或Venn 图.跟踪训练3 已知集合A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |x <5}，则( ) A.A ∈B B.A ⊆B C.B ⊆A D.B ⊆A答案 B解析由数轴易知A 中元素都属于B ，B 中至少有一个元素如－2∉A ，故有A ⊆B类型三由集合间的关系求参数(或参数范围)例4 已知集合A ＝{x |x 2－x ＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，且A ⊇B ，求实数a 的值. 解 A ＝{x |x 2－x ＝0}＝{0,1}. (1)当a ＝0时，B ＝∅⊆A ，符合题意. (2)当a ≠0时，B ＝{x |ax ＝1}＝{1a }，∵1a ≠0，要使A ⊇B ，只有1a ＝1，即a ＝1. 综上，a ＝0或a ＝1.反思与感悟集合A 的子集可分三类：∅、A 本身，A 的非空真子集，解题中易忽略∅. 跟踪训练4 已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |2a －3<x <a －2}，且A ⊇B ，求实数a 的取值范围. 解 (1)当2a －3≥a －2，即a ≥1时，B ＝∅⊆A ，符合题意. (2)当a <1时，要使A ⊇B ，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a －3≥1，a －2≤2，这样的实数a 不存在.综上，实数a 的取值范围是{a |a ≥1}.1.下列集合中，结果是空集的是( ) A.{x ∈R |x 2－1＝0} B.{x |x ＞6或x ＜1} C.{(x ，y )|x 2＋y 2＝0} D.{x |x ＞6且x ＜1}答案 D2.集合P ＝{x |x 2－1＝0}，T ＝{－1,0,1}，则P 与T 的关系为( ) A.P ⊆T B.P ∈T C.P ＝T D.P ⊈T答案 A3.下列关系错误的是( )A.∅⊆∅B.A⊆AC.∅⊆AD.∅∈A答案D4.下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()答案B5.若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A⊆B，则实数a可以是()A.3B.4C.5D.6答案D1.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法.(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但xD∈/A.2.集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉.3.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.1.1.3集合的基本运算第1课时并集与交集学习目标 1.理解并集、交集的概念.2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集.3.会求简单集合的并集和交集.知识点一并集思考某次校运动会上，高一(1)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛.已知两项都报的有3人，你能算出高一(1)班参赛人数吗？答案19人.参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10＋12－3＝19人.梳理(1)定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”).(2)并集的符号语言表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.(3)图形语言：、阴影部分为A∪B.(4)性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆A∪B.知识点二交集思考一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？答案1张.红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张.梳理(1)定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”).(2)交集的符号语言表示为A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.(3)图形语言：阴影部分为A∩B.(4)性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，A∩B⊆A∪B，A∩B⊆A，A∩B⊆B.类型一求并集命题角度1数集求并集例1(1)已知集合A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则集合A∪B是()A.{1,3,4,5,6}B.{3}C.{3,4,5,6}D.{1,2,3,4,5,6}答案A解析A∪B是将两集合的所有元素合并到一起构成的集合(相同元素算一个)，因此A∪B＝{1,3,4,5,6}，故选A.(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B.解如图：由图知A∪B＝{x|－1<x<3}.反思与感悟有限集求并集就是把两个集合中的元素合并，重复的保留一个；用不等式表示的，常借助数轴求并集.由于A∪B中的元素至少属于A，B之一，所以从数轴上看，至少被一道横线覆盖的数均属于并集.跟踪训练1(1)A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，求A∪B.解B＝{－1,2}，∴A∪B＝{－2，－1,0,2}.(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x≤1或x>3}，求A∪B.解如图：由图知A∪B＝{x|x<2或x>3}.命题角度2点集求并集例2集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∪B，并说明其几何意义.解A∪B＝{(x，y)|x>0或y>0}.其几何意义为平面直角坐标系内去掉第三象限和x轴、y轴的非正半轴后剩下的区域内所有点.反思与感悟求并集要弄清楚集合中的元素是什么，是点还是数.跟踪训练2A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝2}.求A∪B，并说明其几何意义.解A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上所有的点组成的集合.类型二求交集例3(1)若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，则A∩B等于()A.{x|－3<x<2}B.{x|－5<x<2}C.{x|－3<x<3}D.{x|－5<x<3}答案A解析在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分，即A∩B＝{x|－3<x<2}，故选A.(2)若集合M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于()A.{0}B.{1}C.{0,1,2}D.{0,1}答案D解析M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，则M∩N＝{0,1}，故选D.(3)集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∩B并说明其几何意义.解A∩B＝{(x，y)|x>0且y>0}，其几何意义为第一象限所有点的集合.反思与感悟求集合A∩B的步骤(1)首先要搞清集合A，B的代表元素是什么；(2)把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式；(3)把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可.跟踪训练3(1)集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x≤1或x>3}，求A∩B；(2)集合A＝{x|2k<x<2k＋1，k∈Z}，B＝{x|1<x<6}，求A∩B；(3)集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，求A∩B.解(1)A∩B＝{x|－1<x≤1}.(2)A∩B＝{x|2<x<3或4<x<5}.(3)A∩B＝∅.类型三并集、交集性质的应用例4已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝B，求a的取值范围.解A∪B＝B⇔A⊆B.当2a >a ＋3，即a >3时，A ＝∅，满足A ⊆B . 当2a ＝a ＋3，即a ＝3时，A ＝{6}，满足A ⊆B . 当2a <a ＋3，即a <3时，要使A ⊆B ，需⎩⎪⎨⎪⎧ a <3，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a <3，2a >5，解得a <－4，或52<a <3.综上，a 的取值范围是{a |a >3}∪{a |a ＝3}∪{a |a <－4，或52<a <3}＝{a |a <－4，或a >52}.反思与感悟解此类题，首先要准确翻译，诸如“A ∪B ＝B ”之类的条件.在翻译成子集关系后，不要忘了空集是任何集合的子集.跟踪训练4 设集合A ＝{x |2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2＋x ＋q ＝0}，其中p 、q 为常数，x ∈R ，当A ∩B ＝{12}时，求p 、q 的值和A ∪B . 解 ∵A ∩B ＝{12}，∴12∈A ，∴2×(12)2＋3p ×12＋2＝0，∴p ＝－53，∴A ＝{12，2}.又∵A ∩B ＝{12}，∴12∈B ，∴2×(12)2＋12＋q ＝0，∴q ＝－1.∴B ＝{12，－1}.∴A ∪B ＝{－1，12，2}.1.已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{0,1,2}，则M ∪N 等于( ) A.{－1,0,1} B.{－1,0,1,2} C.{－1,0,2} D.{0,1}答案 B2.已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B 等于( ) A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2}答案C3.已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|0<x<2}，则A∪B等于()A.{x|x>0}B.{x|x>1}C.{x|1<x<2}D.{x|0<x<2}答案A4.已知A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合A∩B等于()A.∅B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案A5.已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A.0或 3B.0或3C.1或 3D.1或3答案B1.对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合.(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B 没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2.集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否.第2课时补集及综合应用学习目标 1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题.知识点一全集思考老和尚问小和尚：“如果你前进是死，后退是亡，那你怎么办？”小和尚说：“我从旁边绕过去.”在这一故事中，老和尚设定的运动方向共有哪些？小和尚设定的运动方向共有哪些？答案老和尚设定的运动方向只有2个：前进，后退.小和尚偷换了前提：运动方向可以是四面八方任意方向.梳理思考实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？答案剩下不大于1的数，用集合表示为{x∈R|x≤1}.梳理类型一求补集例1(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁U A等于()A.{x|0<x<2}B.{x|0≤x<2}C.{x|0<x≤2}D.{x|0≤x≤2}答案C解析∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，∴∁U A＝{x|0<x≤2}，故选C.(2)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求∁U A，∁U B.解根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U A＝{4,5,6,7,8}，∁U B＝{1,2,7,8}.(3)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B).解根据三角形的分类可知A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，∁U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}.反思与感悟求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn 图、数轴、坐标系来求解.跟踪训练1(1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝________.答案{3,4,5}(2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则∁U A＝________.答案{x|－1<x<2}(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy>0}，则∁U A＝________.答案{(x，y)|xy≤0}类型二补集性质的应用命题角度1补集性质在集合运算中的应用例2已知A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，∁U B＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.解∵A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}.而∁U B＝{－1,0,2}，∴B＝∁U(∁U B)＝{－3,1,3,4,6}.反思与感悟从Venn图的角度讲，A与∁U A就是圈内和圈外的问题，由于(∁U A)∩A＝∅，(∁U A)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推.跟踪训练2如图所示的V enn图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.答案 {x |0≤x ≤1或x ＞2}解析 A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，由图可得A *B ＝∁(A ∪B )(A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x ＞2}.命题角度2 补集性质在解题中的应用)例3 关于x 的方程：x 2＋ax ＋1＝0，①x 2＋2x －a ＝0，②x 2＋2ax ＋2＝0，③若三个方程至少有一个有解，求实数a 的取值范围.解假设三个方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝a 2－4<0，Δ2＝4＋4a <0，Δ3＝4a 2－8<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a <－1，－2<a < 2. 解得－2<a <－1，∴当a ≤－2或a ≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，即a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ≥－1}.反思与感悟运用补集思想求参数取值范围的步骤：(1)把已知的条件否定，考虑反面问题；(2)求解反面问题对应的参数的取值范围；(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集.跟踪训练3 若集合A ＝{x |ax 2＋3x ＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.解假设集合A 中含有2个元素，即ax 2＋3x ＋2＝0有两个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a >0，解得a <98，且a ≠0，则集合A 中含有2个元素时，实数a 的取值范围是{a |a <98且a ≠0}. 在全集U ＝R 中，集合{a |a <98且a ≠0}的补集是 {a |a ≥98或a ＝0}，。

高中数学暑假培训资料 1-4 函数的单调性新人教A版必修1

§1-4 函数的单调性一、知识点：1．设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是，I 称为)(x f y =的如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是，I 称为)(x f y =的2．对函数单调性的理解（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即12x x <；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；（3）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明)(x f y =在某区间I 上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。

但是要注意，不能用区间I 上的两个特殊值来代替。

而要证明)(x f y =在某区间I 上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间I 上两个特殊的1x ，2x ，若21x x <，有)()(21x f x f ≥即可。

（4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数xy 1=分别在)0,(-∞和),0(+∞内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即),0()0,(+∞-∞ 内是单调递减的，只能说函数xy 1=的单调递减区间为)0,(-∞和),0(+∞ （5）一些单调性的判断规则：①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）。

②复合函数的单调性规则是“异减同增”二、基础篇：1．设()y f x =图象如下，完成下面的填空增区间有：减区间有：2．试画出函数1y x=的图象，并写单调区间3．写出函数2(0)y ax bx c a =++≠的单调区间三、提高篇：4．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是 A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)2()23()1(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f fD ．)1()23()2(-<-<f f f 5．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是A ．(],40-∞B ．[40,64]C ．(][),4064,-∞+∞D ．[)64,+∞6.函数x x x f -=2)(的单调递减区间是____________________7. 利用函数的单调性求函数x x y 21++=的值域8. 求函数22log (23)y x x =--单调递增区间知识整理、理解记忆要点 1. 2. 3. 4.四、自主练习：1．下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是A ．x y =B ．x y -=3C ．x y 1=D ．42+-=x y 2．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（）A.2a ≤-B.2a ≥-C.6-≥aD.6-≤a3．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2()2f x a x b x=++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3)223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和y =表示相等函数。

高一数学必修一(暑期自学材料,非常详细)

高一数学必修一(暑期自学材料,非常详细)第一章集合§1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1．元素与集合的概念（1）集合：一般来说，把一些______________________________(2)元素：构成集合的________叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母表示．2．集合中元素的特性：________、________.3．元素与集合的关系（1）如果a是集合a的一个元素，比如说，记为，如果a不是集合a的一个元素，比如，记为__4．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母____、____、____、____、____或____来表示．5.集合的分类集合?非空集：空集：不含任何元素，记作.按元素？：包含有限个元素的个数分为??：含有无限个元素一、多项选择题1．下列语句能确定是一个集合的是()著名的科学家B.长头发的女孩C 2022广州亚运会的事件D视力低下的男孩2。

集合a 只包含元素a，那么下面的正确表达式是（）a.0∈ A.b、 a？a、中情局∈a、 d.a＝a3．已知m中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是()a．直角三角形；b．锐角三角形；c．钝角三角形；d．等腰三角形4.集合A由a2、2-A和4组成。

如果a包含三个元素，实数a的值可以是（）a.1；b、－2；c.6；d.25．已知集合a是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈a，则实数m为()a．2；b．3；c．0或3；d．0,2,3均可三6．由实数x、－x、|x|、x2及－x3所组成的集合，最多含有()a．2个元素；b．3个元素；c．4个元素；d．5个元素二、填空题以下第7组（填写序列号）① 不超过π的正整数；② 这个班成绩好的学生；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．8.集合a包含三个元素0、1、x和X2∈ a、那么实数x的值是__9。

高中数学新高一暑期预习材料1

11）1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 一、课前准备（预习教材P 5~ P 7，找出疑惑之处）讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.二、新课导学 ※ 探索新知探究1：考察几组对象： ① 1～20以内所有的质数；② 到定点的距离等于定长的所有点； ③ 所有的锐角三角形；④ 2x , 32x +, 35y x -, 22x y +； ⑤ 东升高中高一级全体学生； ⑥ 方程230x x +=的所有实数根；⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车； ⑧ 2008年8月，广东所有出生婴儿. 试回答：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？新知1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）.试试1：探究1中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？新知2：集合元素的特征对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.互异性：同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性：集合中的元素没有顺序.只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 .试试2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：① 不等式30x ->的解； ② 3的倍数；③ 方程2210x x -+=的解； ④ a ，b ，c ，x ，y ，z ； ⑤ 最小的整数；⑥ 周长为10 cm 的三角形； ⑦ 中国古代四大发明； ⑧ 全班每个学生的年龄； ⑨ 地球上的四大洋； ⑩ 地球的小河流.探究3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？新知3：集合的字母表示集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于(belong to)集合A ，记作：a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于(not belong to)集合A ，记作：a ∉A .试试3：设B 表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B ，0.5 B ， 0 B ，－1 B .探究4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？新知4：常见数集的表示非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N ；正整数集：所有正整数的集合，记作N *或N +；整数集：全体整数的集合，记作Z ；有理数集：全体有理数的集合，记作Q ；实数集：全体实数的集合，记作R .试试4：填∈或∉：0 N ，0R ，3.7 N ，3.7Z ， .探究5：探究1中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？新知5：列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}不同.试试5：试试2中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示.※典型例题例1 用列举法表示下列集合：①15以内质数的集合；②方程2(1)0x x-=的所有实数根组成的集合；③一次函数y x=与21y x=-的图象的交点组成的集合.变式：用列举法表示“一次函数y x=的图象与二次函数2y x=的图象的交点”组成的集合.三、总结提升※学习小结①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元素三特征；③常见数集及表示；④列举法.※知识拓展集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的. 1874年康托尔提出“集合”的概念：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列说法正确的是（）.A．某个村子里的高个子组成一个集合B．所有小正数组成一个集合C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合D．1361,0.5,,,2242. 给出下列关系：①12R=；②Q；③3N+-∉；④.Q 其中正确的个数为（）.A．1个B．2个C．3个D．4个3. 直线21y x=+与y轴的交点所组成的集合为（）.A. {0,1}B. {(0,1)}C.1{,0}2- D.1{(,0)}2-4. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：深圳A；广州A. （填∈或∉）5. “方程230x x-=的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________.1. 用列举法表示下列集合：（1）由小于10的所有质数组成的集合；（2）10的所有正约数组成的集合；（3）方程2100x x-=的所有实数根组成的集合. 2. 设x∈R，集合2{3,,2}A x x x=-.（1）求元素x所应满足的条件；（2）若2A-∈，求实数x.§1.1.1 集合的含义与表示（2）231. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.一、课前准备（预习教材P 5~ P 7，找出疑惑之处）复习1：一般地，指定的某些对象的全体称为 .其中的每个对象叫作 .集合中的元素具备、、特征. 集合与元素的关系有、 .复习2：集合2{21}A x x =++的元素是，若1∈A ，则x = .复习3：集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？四个集合有何关系？二、新课导学 ※ 学习探究思考：① 你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗？② 你能用列举法表示不等式13x -<的解集吗？探究：比较如下表示法 ① {方程210x -=的根}； ② {1,1}-；③ 2{|10}x R x ∈-=.新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为{|}x A P ∈，其中x 代表元素，P 是确定条件.试试：方程230x -=的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 . ※ 典型例题例1 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程2(1)0x x -=的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.练习：用描述法表示下列集合.（1）方程340x x +=的所有实数根组成的集合；（2）所有奇数组成的集合.小结：用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看，x R ∈、x Z ∈明确时可省略，例如 {|21,}x x k k Z =-∈,{|0}x x >.例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）抛物线21y x =-上的所有点组成的集合；（2）方程组3222327x y x y +=⎧⎨+=⎩解集.变式：以下三个集合有什么区别. （1）2{(,)|1}x y y x =-；（2）2{|1}y y x =-；（3）2{|1}x y x =-. 反思与小结：① 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元4素，如2{(,)|1}x y y x =-与2{|1}y y x =-不同. ② 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如{|1}x x >，{|3,}x x k k Z =∈. ③ 集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z ，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R }也是错误的.④ 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.※ 动手试试练1. 用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数.练 2. 已知集合{|33,}A x x x Z =-<<∈，集合2{(,)|1,}B x y y x x A ==+∈. 试用列举法分别表示集合A 、B .三、总结提升 ※ 学习小结1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法）；2. 会用适当的方法表示集合；※ 知识拓展 1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如：（1）所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形，也可以写成：{直角三角形}；（2）集合2{(,)|1}x y y x =+与集合2{|1}y y x =+是同一个集合吗？2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn 图.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 设{|16}A x N x =∈≤<，则下列正确的是（）. A. 6A ∈ B. 0A ∈ C. 3A ∉ D. 3.5A ∉ 2. 下列说法正确的是（）.A.不等式253x -<的解集表示为{4}x <B.所有偶数的集合表示为{|2}x x k =C.全体自然数的集合可表示为{自然数}D. 方程240x -=实数根的集合表示为{(2,2)}- 3. 一次函数3y x =-与2y x =-的图象的交点组成的集合是（）.A. {1,2}-B. {1,2}x y ==-C. {(2,1)}-D. 3{(,)|}2y x x y y x =-⎧⎨=-⎩4. 用列举法表示集合{|510}A x Z x =∈≤<为. 5.集合A ＝{x |x =2n 且n ∈N }， 2{|650}B x x x =-+=，用∈或∉填空：4 A ，4 B ，5 A ，5 B .1. （1）设集合{(,)|6,,}A x y x y x N y N =+=∈∈ ，试用列举法表示集合A .（2）设A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N ，且n <10}，B ＝{3的倍数}，求属于A 且属于B 的元素所组成的集合.2. 若集合{1,3}A =-，集合2{|0}B x x ax b =++=，且A B =，求实数a 、b .§1.1.2 集合间的基本关系5学习目标1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2. 理解子集、真子集的概念；3. 能利用V enn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；4. 了解空集的含义.学习过程一、课前准备（预习教材P 8~ P 10，找出疑惑之处）复习1：集合的表示方法有、、 . 请用适当的方法表示下列集合. （1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数.复习2：用适当的符号填空.（1） 0 N ；2 Q ； -1.5 R .（2）设集合2{|(1)(3)0}A x x x =--=，{}B b =，则1 A ；b B ；{1,3} A .思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？二、新课导学 ※ 学习探究探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：{3,6,9}A =与*{|3,333}B x x k k N k ==∈≤且； {}C =东升高中学生与{}D =东升高中高一学生； {|(1)(2)0}E x x x x =--=与{0,1,2}F =.新知：子集、相等、真子集、空集的概念.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ），记作：()A B B A ⊆⊇或，读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含(contains)A . 当集合A 不包含于集合B 时，记作A B .② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为： ()A B B A ⊆⊇或.③ 集合相等：若A B B A ⊆⊆且，则A B =中的元素是一样的，因此A B =.④ 真子集：若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作：A B （或B A ），读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.试试：用适当的符号填空.（1）{,}a b {,,}a b c ，a {,,}a b c ；（2）∅ 2{|30}x x +=，∅ R ；（3）N {0,1}，Q N ；（4）{0} 2{|0}x x x -=.反思：思考下列问题.（1）符号“a A ∈”与“{}a A ⊆”有什么区别？试举例说明.（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？① 若,,a b b a a b ≥≥=且则； ② 若,,a b b c a c ≥≥≥且则.※ 典型例题例 1 写出集合{,,}a b c 的所有的子集，并指出其中BA哪些是它的真子集.变式：写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合.例2 判断下列集合间的关系：（1）{|32}A x x=->与{|250}B x x=-≥；（2）设集合A={0,1}，集合{|}B x x A=⊆，则A 与B的关系如何？变式：若集合{|}A x x a=>，{|250}B x x=-≥，且满足A B⊆，求实数a的取值范围.※动手试试练1. 已知集合2{|320}A x x x=-+=，B＝{1,2}，{|8,}C x x x N=<∈，用适当符号填空：A B ，A C，{2} C，2 C.练 2. 已知集合{|5}A x a x=<<，{|2}B x x=≥，且满足A B⊆，则实数a的取值范围为.三、总结提升※学习小结1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn 图图示；一些结论.2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法. ※知识拓展如果一个集合含有n个元素，那么它的子集有2n 个，真子集有21n-个.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列结论正确的是（）.A. ∅AB. {0}∅∈C. {1,2}Z⊆ D. {0}{0,1}∈2. 设{}{}1,A x xB x x a=>=>，且A B⊆，则实数a的取值范围为（）.A. 1a< B. 1a≤C. 1a> D. 1a≥3. 若2{1,2}{|0}x x bx c=++=，则（）.A. 3,2b c=-= B. 3,2b c==-C. 2,3b c=-= D. 2,3b c==-4. 满足},,,{},{dcbaAba⊂⊆的集合A有个.5. 设集合{},{},{}A B C===四边形平行四边形矩形，{}D=正方形，则它们之间的关系是，并用V enn图表示.课后作业1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格. 若用A表示合格产品的集合，B表示质量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？,,,A B B A A C C A⊆⊆⊆⊆试用V enn图表示这三个集合的关系.2. 已知2{|0}A x x px q=++=，2{|320}B x x x=-+=且A B⊆，求实数p、q所满足的条件.§1.1.3 集合的基本运算（1）学习目标61. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；3. 能使用V enn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.一、课前准备（预习教材P11~ P15，找出疑惑之处）复习1：用适当符号填空.0 {0}；0 ∅；∅{x|x2＋1＝0,x∈R}；{0} {x|x<3且x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}；{x|x>6} {x|x<－2或x>5}.复习2：已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5}，则A S，{x|x∈S且x∉A}= .思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？二、新课导学※学习探究探究：设集合{4,5,6,8}A=，{3,5,7,8}B=.（1）试用Venn图表示集合A、B后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？新知：交集、并集.①一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集（intersection set），记作A∩B，读“A交B”，即：{|,}.A B x x A x B=∈∈且Venn图如右表示.②类比说出并集的定义.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B 的并集（union set），记作：A B，读作：A并B，用描述法表示是：{|,}A B x x A x B=∈∈或.Venn图如右表示.试试：（1）A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝；（2）设A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝；（3）A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝，A∩B＝.（4）分别指出A、B两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.反思：（1）A∩B与A、B、B∩A有什么关系？（2）A∪B与集合A、B、B∪A有什么关系？（3）A∩A＝；A∪A＝.A∩∅＝；A∪∅＝.※典型例题例1 设{|18}A x x=-<<，{|45}B x x x=><-或，求A∩B、A∪B.变式：若A＝{x|-5≤x≤8}，{|45}B x x x=><-或，则A∩B= ；A∪B= . 小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究. 例2 设{(,)|46}A x y x y=+=，{(,)|327}B x y x y=+=，求A∩B.A7变式：（1）若{(,)|46}A x y x y=+=，{(,)|43}B x y x y=+=，则A B =；（2）若{(,)|46}A x y x y=+=，{(,)|8212}B x y x y=+=，则A B=.反思：例2及变式的结论说明了什么几何意义？※动手试试练 1. 设集合{|23},{|12}A x xB x x=-<<=<<.求A∩B、A∪B.练2. 学校里开运动会，设A={x|x是参加跳高的同学}，B={x|x是参加跳远的同学}，C={x|x是参加投掷的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释A B与B C的含义.三、总结提升※学习小结1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质；2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn图.※知识拓展A B C A B A C=（）（）（），A B C A B A C=（）（）（），A B C A B C=（）（），A B C A B C=（）（），A AB A A A B A==（），（）.你能结合Venn图，分析出上述集合运算的性质吗？学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设{}{}5,1,A x Z xB x Z x=∈≤=∈>那么A B 等于（）.A．{1,2,3,4,5}B．{2,3,4,5} C．{2,3,4}D．{}15x x<≤2. 已知集合M＝｛(x, y)|x+y=2｝，N={(x, y)|x－y=4},那么集合M∩N为（）.A. x=3, y=－1B. (3，－1)C.｛3，－1｝D.｛(3，－1)｝3. 设{}0,1,2,3,4,5,{1,3,6,9},{3,7,8}A B C===，则()A B C等于（）.A. {0,1,2,6}B. {3,7,8,}C. {1,3,7,8}D. {1,3,6,7,8}4. 设{|}A x x a=>，{|03}B x x=<<，若A B=∅，求实数a的取值范围是.5. 设{}{}22230,560A x x xB x x x=--==-+=，则A B= .课后作业1. 设平面内直线1l上点的集合为1L，直线2l上点的集合为2L，试分别说明下面三种情况时直线1l与直线2l的位置关系？（1）12{}L L P=点；（2）12L L=∅；（3）1212L L L L==.2. 若关于x的方程3x2+px－7=0的解集为A，方程3x2－7x+q=0的解集为B，且A∩B={13-}，求A B.§1.1.3 集合的基本运算（2）学习目标1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；892. 能使用V enn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.学习过程一、课前准备（预习教材P 9，找出疑惑之处）复习1：集合相关概念及运算.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的，记作 .若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的，记作 . 若A B B A ⊆⊆且，则 . ② 两个集合的部分、部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为： A B = ； A B = .复习2：已知A ＝{x |x ＋3>0}，B ＝{x |x ≤－3}，则A 、B 、R 有何关系？二、新课导学※ 学习探究探究：设U ={全班同学}、A ={全班参加足球队的同学}、B ={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系？新知：全集、补集. ① 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U .② 补集：已知集合U , 集合A ⊆U ，由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作A 相对于U 的补集（complementary set ），记作：U C A ，读作：“A 在U 中补集”，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且. 补集的Venn 图表示如右：说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制. 试试：（1）U ={2,3,4}，A ={4,3}，B =∅，则U C A = ，U C B = ；（2）设U ＝{x |x <8，且x ∈N }，A ＝{x |(x -2)(x -4)(x -5)＝0}，则U C A ＝；（3）设集合{|38}A x x =≤<，则R A = ；（4）设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ . 反思：（1）在解不等式时，一般把什么作为全集？在研究图形集合时，一般把什么作为全集？（2）Q 的补集如何表示？意为什么？※ 典型例题例1 设U ＝{x |x <13，且x ∈N }，A ＝{8的正约数}，B ＝{12的正约数}，求U C A 、U C B .例2 设U =R ，A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，求A ∩B 、A ∪B 、U C A 、U C B .变式：分别求()U C A B 、()()U U C A C B . ※ 动手试试练1. 已知全集I ={小于10的正整数}，其子集A 、B 满足()(){1,9}I I C A C B =，(){4,6,8}I C A B =，{2}A B =. 求集合A 、B .10练2. 分别用集合A 、B 、C 表示下图的阴影部分.（1）；（2）；（3）；（4） .反思：结合V enn 图分析，如何得到性质：（1）()U A C A = ，()U A C A = ；（2）()U U C C A = .三、总结提升 ※ 学习小结1. 补集、全集的概念；补集、全集的符号.2. 集合运算的两种方法：数轴、Venn 图.※ 知识拓展试结合Venn 图分析，探索如下等式是否成立？（1）()()()U U U C A B C A C B =；（2）()()()U U U C A B C A C B =.学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 设全集U =R ，集合2{|1}A x x =≠，则U C A =（） A. 1 B. －1，1 C. {1} D. {1,1}-2. 已知集合U ={|0}x x >，{|02}U C A x x =<<，那么集合A =（）.A. {|02}x x x ≤≥或B. {|02}x x x <>或C. {|2}x x ≥D. {|2}x x > 3. 设全集{}0,1,2,3,4I =----,集合{}0,1,2M =--, {}0,3,4N =--，则()I M N =（）.A ．｛０｝B ．{}3,4--C ．{}1,2--D ．∅4. 已知U ={x ∈N |x ≤10}，A ={小于11的质数}，则U C A = .5. 定义A —B ={x |x ∈A ，且x ∉B }，若M ={1,2,3,4,5}，N ={2,4,8}，则N —M = .课后作业1. 已知全集I =2{2,3,23}a a +-，若{,2}A b =，{5}I C A =，求实数,a b .2. 已知全集U =R ，集合A ={}220x x px ++=，{}250,B x x x q =-+= 若{}()2U C A B =，试用列举法表示集合A§1.1 集合（复习）学习目标1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号；2. 能使用数轴分析、Venn 图表达集合的运算，体11会直观图示对理解抽象概念的作用.一、课前准备（复习教材P 2~ P 14，找出疑惑之处）复习1：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？A B = ； A B = ； U C A = .复习2：交、并、补有如下性质.A ∩A ＝；A ∩∅＝； A ∪A ＝；A ∪∅＝；()U A C A = ；()U A C A = ； ()U U C C A = . 你还能写出一些吗？二、新课导学 ※ 典型例题例1 设U =R ，{|55}A x x =-<<，{|07}B x x =≤<.求A ∩B 、A ∪B 、C U A 、C U B 、(C U A )∩(C U B )、(C U A )∪(C U B )、C U (A ∪B )、C U (A ∩B ).小结：（1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进行分析，注意端点；（2）由以上结果，你能得出什么结论吗？例2已知全集{1,2,3,4,5}U =，若A B U =，A B ≠∅，(){1,2}U A C B =，求集合A 、B .小结：列举法表示的数集问题用Venn 图示法、观察法.例3 若{}{}22430,10A x x x B x x ax a =-+==-+-=，{}210C x x mx =-+=,A B A A C C ==且，求实数a 、m 的值或取值范围．变式：设2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若B ⊆A ，求实数a 组成的集合、.※ 动手试试练1. 设2{|60}A x x ax =-+=，2{|0}B x x x c =-+=，且A ∩B ＝{2}，求A ∪B .练2. 已知A={x|x<-2或x>3}，B={x|4x+m<0}，当A⊇B时，求实数m的取值范围。

高一数学暑假预科讲义

高一数学暑假预科讲义第一节集合的含义与表示随堂练习1、下列说法正确的是（）A.若,N a ∈-则N a ∈B.方程0442=+-x x 的解集为{}2,2C.高一年级最聪明的学生可构成一个集合D.在集合N 中，1不是最小的数2、-3、集合{}2,1,12--x x 中x 不能取的值是（）A.2B.3C.4D.54、方程组⎩⎨⎧=-=+0,2y x y x 的解构成的集合是( ) A.{})1,1( B.{}1,1 C.()1,1 D.{}1 4、若{},1,3,132+-∈-m m m 则._______=m5、集合{}Z x x x y y x ∈≤-=,1||,1|),(2，用列举法表示为.________6、由332,|,|,,x x x x x --组成的集合，元素的个数最多为几个？7、已知集合M 满足条件：若,M a ∈则).0,1(11≠±≠∈-+a a M a a 若,3M ∈试求集合.M8、#9、已知集合{},,023|2R x x ax x A ∈=+-=若A 中的元素至多有一个，求a 的取值范围.第二节集合间的基本关系随堂练习1、设{},62,8|=≤=a x x P 则下列关系中正确的是（）A.P a ⊆B.P a ∉C.{}P a ⊆D.{}P a ∈2、集合{}3,2,1=M 的真子集的个数是（）A.6B.7C.8D.93、~4、设集合{}{},,|),(,,|22R x x y y x Q R x x y y P ∈==∈==则P 与Q 的关系是A.Q P ⊆B.Q P ⊇C.Q P =D.以上都不正确4、已知集合A {},7,3,2且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有A.3个B.4个C.5个D.6个5、已知集合{},12,3,1--=m A 集合{},,32m B =若,A B ⊆则.________=m6、设集合{}{},1212|,23|+≤≤-=≤≤-=k x k x B x x A 且,B A ⊇则实数k 的取值范围是.____________7、已知集合{}{},,01|,0158|2A B ax x B x x x A ⊆=-==+-=求实数a 的不同取值组成的集合.8、已知集合{}{},0))(1(|,31|=--=≤≤=a x x x B x x A（1）·（2）当集合B 是A 的子集时，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a 使得B A =成立？第三节集合的基本运算1、！2、设集合{}{},23|,312|<<-=<+=x x B x x A 则=B A （）A.{}13|<<-x xB.{}21|<<x xC.{}3|->x xD.{}1|<x x2、设集合,21|,2|⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z x x N Z x x M 则=N M （） A.∅ B.M C.Z D.{}03、集合{},2,1=A 则满足{}3,2,1=B A 的集合B 的个数是( )A.1B.3C.4D.84、若,,C D C A B A == 则( )A.D C B A ⊆⊆,B.D C A B ⊆⊆,C.C D B A ⊆⊆,D.C D A B ⊆⊆, 5、`6、设集合{}{},,2|||,4,3,2,1R x x x Q P ∈≤==则._______=Q P7、已知集合{}{},1|,1,1==-=mx x B A 且,A B A = 则._______=m8、设二次方程：05,01522=+-=+-q x x px x 的解集分别为B A 、且{}{},3,5,3,2==B A B A 试求B A 、及q p 、的值.9、已知全集{}{}{},9,1)()(,2,9,8,7,6,5,4,3,2,1===B C A C B A U U U{},8,6,4)(=B A C U 试确定.B A 、10、若{}{},73,22,3,4,72,4,223223++++-+-=+--=a a a a a a B a a a A 且{},5,2=B A 试求a 的值.]第四节函数的概念随堂练习1、集合{}{},20|,40|≤≤=≤≤=y y B x x A 下列对应中不表示从A 到B 的函数的是（）A.x y x f 21:=→B.x y x f 31:=→C.x y x f 32:=→ D.x y x f =→: | 2、下列各组函数中表示同一个函数的是（）A. x x f =)(与2)()(x x g =B. x x f =)(与33)(x x g =C. x x x f =)(与⎩⎨⎧<->=)0(,)0(,)(22x x x x x g D. 11)(2--=x x x f 与)1(1)(≠+=t t t g 3、已知函数.1112)(xx x f -+-= （1）求函数)(x f 的定义域（用区间表示）；（2）求)32(),2(f f 的值.4、已知,11)(,12)(2+=-=x x g x x f 求]2)([)]([)(2+x f g x g f x f 、、 5、若函数344)(2++-=mx mx x x f 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是._ . 6、若函数862++-=a x ax y 的定义域为一切实数，求a 的取值范围.7、已知函数⎩⎨⎧>+≤-=)4(42)0(2)(2x x x x x f ，则)(x f 的定义域为___,[].____)4(=-f f 8、已知)(x f 的定义域为]2,3[-，求函数)()()(x f x f x g -+=的定义域.9、设函数)(x f 的定义域为]1,0[，求函数)1()(2-=x f x h 的定义域.10、已知)1(+x f 的定义域为]3,0[求)(x f 的定义域.11、已知)4(2+x f 的定义域为]2,1[，求)(x f 的定义域. 第五节函数的表示、值域、解析式解法随堂练习！1、下列四个命题正确的有_________.（1）函数是定义域到值域的映射；（2）x x y -+-=23是函数；（3）函数)(2N x x y ∈=的图象是一条直线；（4）⎩⎨⎧<-≥=)0(,)0(,22x x x x y 的图象是条抛物线. 2、某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水用水量分别为x x 3,5吨.求y 关于x 的函数；3、分别画出下列函数的图象（1）.1||22--=x x y@（2）.|12|2--=x x y4、函数值域的求法（1）（观察法）求函数x y 323-+=的值域.（2）（反函数法）求函数21++=x x y 的值域.（3）（分离常数法）形如bax d cx y ++=，求函数21++=x x y 的值域. 212,2312,121,212++-=++=++=++=x x y x x y x x y x x y （4）（配方法）求函数22++-=x x y 的值域.（5）（判别式法）求函数132222+-+-=x x x x y 的值域. ,（6）（图象法）求函数2)2(|1|-++=x x y 的值域.（7）（换元法）求函数123++-=x x y 的值域.5、函数解析式的解法（1）直接法已知,22)1(2++=+x x x f 求).3(),3(),(+x f f x f（2）换元法已知,22)1(2++=+x x x f 求).3(),3(),(+x f f x f（3）待定系数法*已知)(x f 是一次函数，且满足,43)]([+=x x f f 求)(x f 的解析式.（4）赋值法设)(x f 满足关系式,3)1(2)(x xf x f =+求)(x f 的解析式.@第六节函数的单调性与最大（小）值\随堂练习1、函数)(x f 在区间]3,2[-上是增函数,则)5(+=x f y 的递增区间是（）A.]8,3[B.]2,7[--C.]5,0[D.]3,2[-2、函数322--=ax x y 在区间]2,1[上是单调函数，则a 满足的条件是._3、已知函数.|34|)(2+-=x x x f 求函数)(x f 的单调区间，并指出其增减.4、判断函数1)(3+-=x x f 在)0,(-∞上是增函数还是减函数并证明.5、讨论函数的单调性，)0,11(1)(2≠<<--=a x x ax x f 6、求12)(2--=ax x x f 在区间]2,0[上的最小值.7、$8、若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是.________ 9、函数245x x y --=的递增区间是.__________（复合函数的单调性）10、已知定义在R 上的函数)(x f 对任意实数21,x x ,满足,2)()()(2121++=+x f x f x x f 且当0>x 时，有.2)(->x f 求证：)(x f 在R 上是增函数.10、定义在区间()+∞,0上的函数)(x f 满足)()()(2121x f x f x x f -=且当1>x 时，,0)(<x f 试判断)(x f 的单调性，并当1)3(-=f 时，解不等式.2|)(|-<x f· 第七节函数的奇偶性随堂练习1、判断下列函数的奇偶性（1）;1)(3xx x f -= （2）;)(32x x x f -=（3）;11)(22x x x f -+-= （4）;2112x x y -+-=（5）.)0(2)0(0)0(2)(22⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+=x x x x x x f 2、已知)(x f 在R 上是奇函数，且满足),()4(x f x f =+当)2,0(∈x 时，22)(x x f =，则.__________)2011(=f3、函数32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在区间)3,5(--上（） }A 、先减后增B 、先增后减C 、单调递减D 、单调递增4、已知函数)(x f y =为奇函数，若,1)2()3(=-f f 则._____)3()2(=---f f5、设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则.______=a6、函数)(x f 在R 上为奇函数，且),0(,1)(>+=x x x f 则当0<x 时，.________)(=x f7、设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x ++=22)(（b 为常数），则.__________)1(=-f8、若)(x f 是R 上周期为5的奇函数且满足,2)2(,1)1(==f f 则.________)4()3(=-f f9、函数)(x f 的定义域为R ，且满足：)(x f 是偶函数，)1(-x f 是奇函数，若,9)5.0(=f 则=)5.8(f ________.10、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有).()2(x f x f -=+当∈x [0,2]时，22)(x x x f -=.；（1）求证：)(x f 是周期函数；（2）当∈x [2,4]时，求)(x f 的解析式；（3）计算)2011()2()1()0(f f f f +⋅⋅⋅+++的值. 第八节函数单调性与奇偶性的综合运用1、定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且).2()(x f x f -=若)(x f 在区间[1,2]上是减函数，则)(x f 在区间[-2,-1]上是___函数，在区间[3,4]上是____函数.2、定义在R 上的偶函数)(x f ，满足),()1(x f x f -=+且在区间]0,1[-上位递增，则)2(),3(),2(f f f 的大小关系.3、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，,2)(2x x x f +=若),()2(2a f a f >-则实数a 的取值范围是._____________{4、已知)(x f 是奇函数，定义域为{},0,|≠∈x R x x 又)(x f 在),0(+∞上是增函数，且,0)1(=-f 则满足0)(>x f 的x 的取值范围.5、已知函数)(x f 对于任意R y x ∈,,总有),()()(y x f y f x f +=+且当0>x 时，.32)1(,0)(-=<f x f（1）求证：)(x f 在R 上是减函数；（2）求)0(f 的值；（3）证明函数)(x f 是奇函数；（4）求)(x f 在[-3,3]上的最大值和最小值.6、设)(x f 是R 上的偶函数，在区间)0,(-∞上递增，且有),123()12(22+-<++a a f a a f 求a 的取值范围.~7、已知)(x f y =是偶函数，且在),0[+∞上是减函数，求函数)1(2x f -的单调递增区间.第九节高一数学第一学期学情调研第Ⅰ卷：（选择题共10小题，每题5分）1、已知集合{}{}，圆，直线==N M 则N M 中元素个数是（）A.0B.0或1C.0或2D.0或1或22、集合{}{}=≤∈=<≤∈=N P x Z x M x Z x P 则,9|,30|2( )A.{}2,1B.{}2,1,0C.{}3,2,1D.{}3,2,1,0 3、—4、下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A.2)(|,|)(x x g x x f ==B.22)()(,)(x x g x x f ==C.1)(,11)(2+=--=x x g x x x f D.1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f 5、已知函数=∈⎩⎨⎧<+≥-=)8(,,)10)](5([)10(3)(f N n n n f f n n n f 则其中（）A.6B.7C.2D.4 6、设集合U 是实数集R ，{}{}13|,4|2<≥=>=x x x N x x M 或都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（） A.{}12|<≤-x x B.{}22|≤≤-x x;C.{}21|≤<x xD.{}2|<x x7、48373)27102(1.0)972(03225.0+-++--π的值为（）A.99B.5399 C.100 D.531008、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有（）人. A.5 B.7 C.8 D.108、设函数),()2(,32)(x f x g x x f =++=则)(x g 的表达式是（） A.12+x B.12-x C.32-x D.72+x9、)(x f 是定义在]6,6[-上的函数，且对任意R y x ∈,，都有),()()(y f x f y x f -=+当)1()3(f f >-时，下列各式一定成立的是（）!A.)6()0(f f <B.)2()3(f f >C.)3()1(f f <-D.)0()2(f f >10、设函数1)(+-=x b x x f 满足)4()1(f f =，若)(x f 的值域为],5,1[-则x 的取值范围是（）A.]4,2[B.]16,4[C.]16,4[]1,0[D.]4,2[]1,0[ 11、化简：.__________])()1)[(1(21212=----x x x12、函数||)3(x x y --=的递增区间是.________13、已知函数)(x f 是R 上的奇函数，当0≥x 时，).1()(+=x x x f 若,2)(-=a f 则实数.______=a14、有下列几个命题：①函数122++=x x y 在),0(+∞上不是增函数； —②函数11+=x y 在),1()1,(+∞---∞ 上是减函数；③函数245x x y -+=的单调区间是),2[+∞-； ④已知)(x f 在R上是增函数，若,0>+b a 则有).()()()(b f a f b f a f -+->+其中正确命题的序号是.__________第Ⅱ卷（非选择题，试题70分规范评价3分，共67分）填空题答案： 11.}12._________ 12.________ 13.________ 14.________15、（本小题满分9分）画出函数|32||1|++-=x x y 在区间)3,4[-的图象16、（本小题满分9分）函数)0)((≠=x x f y 是奇函数，且当),0(+∞∈x 时是增函数，若,0)1(=f 求不等式0)1(<-x f 的解集.，17、（本小题满分10分）已知函数a ax x x f -++-=12)(2在]1,0[∈x 时有最大值2，求a 的值..18、（本小题满分11分）设全集R I =，已知集合{}{}06|,0)3(|22=-+=≤+=x x x N x x M（1）求N M C I )(（2）记集合,)(N M C A I =已知{},,51|R a a x a x B ∈-≤≤-=若,A A B = 求实数a 的取值范围.—19、（本小题满分12分）利用函数单调性的定义谈论函数xxxf-+=2)(的单调性，并求函数在]2,2[-上的值域..第十节讲评高一数学第一学期学情调研第Ⅰ卷：（选择题共10小题，每题5分）1、—2、已知集合{}{}，圆，直线==NM则NM 中元素个数是（A）A.0B.0或1C.0或2D.0或1或23、集合{}{}=≤∈=<≤∈=N P x Z x M x Z x P 则,9|,30|2( B ) A.{}2,1 B.{}2,1,0 C.{}3,2,1 D.{}3,2,1,04、下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ A ） A.2)(|,|)(x x g x x f == B.22)()(,)(x x g x x f ==C.1)(,11)(2+=--=x x g x x x f D.1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f 5、已知函数=∈⎩⎨⎧<+≥-=)8(,,)10)](5([)10(3)(f N n n n f f n n n f 则其中（B ）￥A.6B.7C.2D.46、设集合U 是实数集R ，{}{}13|,4|2<≥=>=x x x N x x M 或都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（A ） A.{}12|<≤-x x B.{}22|≤≤-x x C.{}21|≤<x x D.{}2|<x x7、48373)27102(1.0)972(03225.0+-++--π的值为（ C ）A.99B.5399C.100D.531008、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有（ C ）人. ）A.5B.7C.8D.108、设函数),()2(,32)(x f x g x x f =++=则)(x g 的表达式是（B ） A.12+x B.12-x C.32-x D.72+x9、)(x f 是定义在]6,6[-上的函数，且对任意R y x ∈,，都有),()()(y f x f y x f -=+当)1()3(f f >-时，下列各式一定成立的是（ C ） A.)6()0(f f < B.)2()3(f f > C.)3()1(f f <- D.)0()2(f f > 10、设函数1)(+-=x b x x f 满足)4()1(f f =，若)(x f 的值域为],5,1[-则x 的取值范围是（ B ）A.]4,2[B.]16,4[C.]16,4[]1,0[D.]4,2[]1,0[ 11、化简：421212])()1)[(1(X x x x --=----12、》13、函数||)3(x x y --=的递增区间是].23,0[14、已知函数)(x f 是R 上的奇函数，当0≥x 时，).1()(+=x x x f 若,2)(-=a f 则实数.1-=a15、有下列几个命题：①函数122++=x x y 在),0(+∞上不是增函数； ②函数11+=x y 在),1()1,(+∞---∞ 上是减函数； ③函数245x x y -+=的单调区间是),2[+∞-； ④已知)(x f 在R上是增函数，若,0>+b a 则有).()()()(b f a f b f a f -+->+其中正确命题的序号是 ④）第Ⅱ卷（非选择题，试题70分规范评价3分，共67分）填空题答案：11._________ 12.________ 13.________ 14.________15、（本小题满分9分）画出函数|32||1|++-=x x y 在区间)3,4[-的图象⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤+<<-+-≤≤---=)31(23)123(4)234(23x x x x x x y%16、（本小题满分9分）函数)0)((≠=x x f y 是奇函数，且当),0(+∞∈x 时是增函数，若,0)1(=f 求不等式0)1(<-x f 的解集..0)1(,0110)1-(0-)()(.0)1(,211100)1(0)(<-<-<-∴=∞<-<<<-<∴=∞+x f x x f x f x f x f x x f x f 时，即当）上单调递增，，在（是奇函数，又时，即当）上单调递增，，在（ 17、（本小题满分10分）已知函数a ax x x f -++-=12)(2在]1,0[∈x 时有最大值2，求a 的值.a abx =-=2 2.a -1a 2.a 2,(1)(x)]1,0[)(,13)(251a 2,(a)(x),10(2)-1;a 2,(0)(x)]1,0[)(,0)1(max max max =====>±===<<===≤或综上所述，解得上单调递增，在时）当（；舍解得时当解得上单调递减，在时当f f x f a f f a f f x f a18、（本小题满分11分）设全集R I =，已知集合{}{}06|,0)3(|22=-+=≤+=x x x N x x M（1）}（2）求N M C I )(（3）记集合,)(N M C A I =已知{},,51|R a a x a x B ∈-≤≤-=若,A A B = 求实数a 的取值范围. (1){}2(2)A B A A B ⊆⇔=∅=B ,3,51>->-a a a 即{}2,=∅≠B B 3=a19、（本小题满分12分）利用函数单调性的定义谈论函数x x x f -+=2)(的单调性，并求函数在]2,2[-上的值域.任取]2,2[,21-∈x x 设21x x < &]49,0[]2,2[)(.2)2()(,49)47()(,]2,47[)(;0)()(,0)122(247.0)2()(,49)47()(]47,2[)(;0)()(,0)122(472-22)122)((........................22)(.......................22)()(min max 212121min max 212121212121211221221121上的值域是在上单调递减在时，当上单调递增，在时，当-∴====∴>-<--+-≤<<=-===-∴<->--+-≤<≤-+---+--=-+--+-=----+=-x f f x f f x f x f x f x f x x x x f x f f x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f第十一节指数与指数幂的运算随堂练习1、化简：778888)()(b a b a b -+++2、若,310,210==n m 则._____2310=-nm 3、.______)3()3(22=⋅ 4、;5、.________39623223=⨯+⨯--6、设,30,5,363===c b a 则c b a ,,的大小关系为._____________7、设,21=+-x x 则._________22=+-x x8、._______2222824=⋅⋅⋅9、.________)008.0()1.88()94(31021=+-+-9、化简化简下列各式（1）;)(65312121132ba bab a ⋅⋅⋅⋅---（2）;)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a)（3）.48373)27102(1.0)972(03225.0+-++--π（4）.__________)()(13212153323=⋅⋅⋅----a a a a 10、计算.________625625=++- 11、计算._______525233=-++12、设),(21,011n na a x a --=>求n x x )1(2++的值.…第十二节指数函数及其性质随堂练习1、当0>>n m ，确定下列各组数的大小. ①m )53(与n )53( ②m )4.1(与n )4.1( ③m )25(与n )25( ④m )3(π与n )3(π2、根据下列等式决定m 是正数还是负数？ ①710=m ②43)65(=m ③25)32(=m ④6.0)47(=m 3、比较下列各组数的大小①81.0)107(与92.0)731( ②8.07.1与1.39.0 ③3.08.0-与1.09.4-{4、设,3,02121=+>-aa a 则._________11122=++++--a a a a 5、将指数函数)(x f 的图象向右平移一个单位，得到如图所示的)(x g 的图象则._________)(=x f 6、函数)1,0(≠>=a a a y x 在[1,2]上的最大值比最小值大,2a 则.______________=a7、若函数)1,0(1)(≠>-=a a a x f x 的定义域和值域都是[0,2],则实数a=____.8、已知定义域为R 的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数.（1）求b a ,的值；（2）若对任意的,R t ∈不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 取值范围.9、设,)52(,)52(,)53(525352===c b a 则a,b,c 的大小关系是_________.，已知函数,22)(-=x x f 则函数|22|-=x y 的图象大致为10、求函数1313)(+-=x x x f 的值域.11、求函数432)21(+--=x x y 的定义域、值域及单调区间.12、设x x eaa e x f a +=>)(,0是R 上的偶函数.（1）求a 的值；（2）求证函数)(x f 在),0(+∞上是增函数. 13、解下列不等式（1）);1(13722>>+-a a x x —（2）).10(5213222<<>-++-a a a x x x x14、在同一直角坐标系画出x x x 4,3,2的图象 15、在同一直角坐标系画出x x x )41(,)31(,)21(的图象(第十三节对数与对数运算随堂练习 1、<2、求下列各式的值①81log 31 ②2719log③001.0lg ④7log 71 ⑤5log 212⑥5log 2)41(3、求下列各式中的x 的值①32log 3-=x ②1)12(log -=-x ③25)(log 22=x 4、不查表计算①27lg 81lg 3lg 27lg 539lg 523lg --++ ②2lg 50lg 5lg 2⋅+ ③212222)12(log 14lg 2lg 22lg 5lg -++---+ ④245lg 8lg 344932lg 21+- ⑤).347(log )32(-+5、（6、已知,2log 3a =则.________24log 6=7、._____8log 7log 6log 5log 4log 3log 765432= 8、已知,0)](log [log log 237=x 则._________21=-x9、.______)2log 2)(log 3log 3(log 9384=++ 10、.______)223(log12=+-11、设c b a ,,都是正数，且,643c b a ==那么下列等式中成立的是（） A.b a c 111+= B.b a c 122+= C.b a c 221+= D.ba c 212+=[第十四节对数函数及其性质随堂练习1、比较下列各组数的大小①4log 3.0和7.0log 2.0 ②7.4log 3.1和6.3log 9.1 ③3.02与23.0与3.0log 2 2、求下列各函数的定义域①)32(log 2--=x x y a (1,0≠>a a ) ②)13(log 5.0-=x y ③)12(log 25-=-x y x ④)54(log 22--=x x y3、设,1>a 函数x y a log =在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为,21则.__=a4、设,)21(,,log ,log 3.03121231===c b a 则a,b,c 的大小关系是_________.5、解不等式 ①)65(log )32(log 22->+x x ②121log <x6、设,log ,,)(log ,log 5423545===c b a 则a,b,c 的大小关系是_________.7、设c b a ,,分别是方程x x x x x x 22121log )21(,log )21(,log 2===的实数根，则a,b,c 的大小关系是_________.8、已知])3[(log )(a x a ax f --=是其定义域上的增函数，那么a 的取值范围？ 9、已知函数),1,0(log )(≠>=a a x x f a 如果对任意的),3(+∞∈x ，都有1|)(|≥x f 成立，试求a 的取值范围.10、已知),10(|,log |)(<<=a x x f a 则)41(),2(),31(f f f 的大小关系为____. 11、在同一直角坐标系画出x x x 432log ,log ,log 的图象. 12、在同一直角坐标系画出x x x 413121log ,log ,log 的图象.第十五节幂函数随堂练习1、比较下列各组数的大小 ①3032与2023 ②1816与16182、若,)21(,)51(,)21(313232===c b a 那么c b a ,,的大小关系为.__________3、分别指出幂函数αx y =的图象具有下列特点之一时的α的值，其中⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,2,1,21,1α①过原点递增②不过原点，不与坐标轴相交，递减 ③关于原点对称且通过原点４、幂函数)(x f 的图象经过点),3,3(则)(x f 的解析式是________.５、若函数97222)199(--+-=m m xm m y 是幂函数，且图象不过原点，求m 的值.６、若),1,0(∈x 则下列结论正确的是（） A. x x xlg 221>> B. 21lg 2x x x>>C. x x xlg 221>> D. x x x 2lg 21>>７、已知幂函数)()(322Z m xx f m m ∈=++-为偶函数，且)5()3(f f <，求m 的值，并确定)(x f 的解析式.８、直线1=y 与曲线a x x y +-=||2有4个交点，则a 的取值范围是_____.９、函数3x y =与xy 1=的图象的交点坐标为___________. １0、已知函数xx x f 1)(-=，求证：)(x f 在其定义域上为增函数.。

高一数学暑假学习材料09

暑期专题辅导材料九（旧课）复习与测试（第一章集合与简易逻辑）本章的重点是：(1)有关集合的基本概念、术语和符号；(2) x＜a与x＞a(a＞0)型的不等式的解法，一元二次不等式的解法；(3)逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充分条件和必要条件.本章的难点是：(1)有关集合的各个概念的涵义、它们之间的区别与联系；(2)对绝对值意义的理解；(3)弄清一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系；(4)对一些数学命题真假的判断、关于充要条件的判断和反证法的运用.本章内容是高中数学的基础知识，其中集合论是由18世纪德国数学家康托尔创始的，是近、现代数学的一个重要基础；逻辑是研究思想形式及其规律的一门基础学科，它们今后学习的内容有着密切联系，学好本章内容必将为进一步学习其它知识奠定坚实的基础.【基本概念】1.集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.表示集合的方法有列举法、描述法和图示法，集合可分为有限集和无限集.2.空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.3.子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A⊆B(或B⊇A).这时我们也说集合A是集合B的子集.当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作B⊇/）A⊆/（或AB我们规定：空集是任何集合的子集.也就是说，对任何一个集合A，有φ⊆A4.等集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A＝B5.全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示.6.补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即A⊆S)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)，记作C S A，即C S A＝{x｜x∈S，且x∉A}.7.交集，并集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A ∩B(读作“A交B”)，即A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}.而由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)，即A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}.对于交集“A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}”，不能简单地认为A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素，或者简单认为A与B的公共元素都属于A∩B，这是因为并非任何两个集合总有公共元素.当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝φ.对于并集“A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}”，不能简单地理解为A∪B是由A的所有元素与B的所有元素组成的集合，这是因为A与B可能有公共元素，故上述理解与集合的互异性不符.8.逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.不含逻辑联结词，是简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成，是复合命题.9.四种命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题.把其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题.一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题.把其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题.10.充要条件：一般地，如果已知p⇒q,那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件.【基本性质】1.基本符号∈x∈A x属于A；x是集合A的一个元素∉y∉A y不属于A；y不是集合A的一个元素{,...,} {a,b,c,...n} 诸元素a,b,c,...n构成的集合{｜} {x｜p(x),x∈A} 使命题p(x)为真的A中诸元素之集合φ空集N 非负整数集；自然数集N*或N+正整数集Z 整数集Q 有理数集R 实数集C 复数集⊆B⊆A B包含于A；B是A的子集B A B真包含于A；B是A的真子集B⊆/A B不包含于A；B不是A的子集∩A∩B A与B的交集∪A∪B A与B的并集C C A B A中子集B的补集或余集2.集合部分：φ⊆A；φA(A非空)；A⊆A；(C U A)∩A＝φ；(C U A)∪A＝U；C U(C U A)＝A；A⊆B⊆C⇒A⊆C；A B C⇒A C；A∩B⊆A；B⊆A∪B；C Uφ＝U；C U U＝φ；A⊆B⇔A∩B＝A；A⊆B⇔A∪B＝B；C U(A∩B)＝(C U A)∪(C U B)；C U(A∪B)＝(C U A)∩(C U B)3. ｜ax+b｜≤c(c＞0) ⇔-c≤ax+b≤c｜ax+b｜≥c(c＞0) ⇔ax+b≥c或ax+b≤－c【基本规律】1.复合命题真假判断表非p形式复合命题的真假可以用下表表示.p且qp或q2.四种命题之间的相互关系，如图所示.我们已经知道，原命题为真，它的逆命题不一定为真.一般地一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系.(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真.(2)原命题为真，它的否命题不一定为真.(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真.【基本方法与思想】1.绝对值不等式的解法：｜x｜＜a(a＞0)的解集是{x｜－a＜x＜a};｜x｜＞a(a＞0)的解集是{x｜x＜-a，或x＞a}.注：对于｜ax+b｜＞c(或＜c，其中c＞0)的解法可用换元法解.2.一元二次不等式的解法：一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集如下表.c2)3.充要条件的判定方法：若p⇒q但q p，则p只是q的充分不必要条件；若p q，但q⇒p,则p只是q的必要不充分条件；若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 只是q 的充要条件；注：必须看两个方向，即p ⇒q ，q ⇒p 结果如何?才能下结论.4.反证法：反证法是“原命题与其逆否命题同真同假”这一理论的具体体现，用反证法证明命题的一般步骤如下：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 学习要求和需要注意的问题： 1.学习要求 (1)集合①理解集合、子集、交集、并集、补集的概念 ②了解空集和全集的意义③了解属于、包含、相等关系的意义④会用集合的有关术语和符号表示一些简单的集合. ⑤掌握简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法. (2)简易逻辑①了解命题的概念和命题的构成.②理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. ③掌握四种命题及其相互关系. ④初步掌握充要条件. 2.需要注意的问题(1)集合与集合的元素是两个不定义的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似，但是，应该清楚集合中的元素具有确定性，互异性.确定性是指给定一个集合，一个对象属于不属于这个集合就是明确的，象很大的数，不能组成一个集合.互异性是指在一个集合中，任何两个元素是不同的对象，相同的对象只能算作这个集合的一个元素.此外，集合中的元素还具有无序性，例如，{1，2，4}＝{4，2，1}. (2)容易混淆的符号①∈与⊆的区别：∈符号是表示元素与集合之间关系的，例如，有1∈N ，－1∉N 等；⊆符号是表示集合与集合之间关系的，例如，有N ⊆R ，φ⊆R 等.②a 与{a}的区别：一般地，a 表示一个元素，而{a}表示只有一个元素的集合，例如，有1∈{1,3,4},0∈{0},{1}⊆{1,3,4}等，不能写成0＝{0},{1}∈{1,3,4},1⊆{1,3,4}.单元综合练习（集合与简易逻辑）一、选择题1．已知集合P={a ，b ，c ，d ，e}，集合QP ，且)(Q P a ⋂∈，)(Q P b ⋂∉，则满足上述条件的集合Q的个数为（）A.7B.8C.15D.242．已知全集I=R ，集合}71|{x x x M -≤+=，集合N={x||x|-2≥0}，那么N M ⋂等于（）A.（-∞，-1）B.（7，+∞）C.[2，3]D.（-∞，2）∪（3，+∞） 3．已知集合M 有3个真子集，集合N 有7个真子集，那么M ∪N 的元素个数为（）A.有5个元素B.至多有5个元素C.至少有5个元素D.元素个数不能确定4．集合A={（x ，y ）|y=a|x|}，B={（x ，y ）|y=x+a}，C=A ∩B ，且集合C 为单元素集合，则实数a 的取值范围为（）A.|a|≤1B.|a|>1C.a>1D.a>0或a<05．集合M={（x ，y ）|x>0，y>0}，N={（x ，y ）|x+y>0，xy>0}，则（）A.M=NB.MN C. MN D. φ=⋂N M6．设全集I={1，2，3，4，5}，}2,1{=⋂B A ，则集合B A ⋂的个数为（） A.3 B.4 C.7 D.87．设集合A={x|x=2k+1，k ∈N}，B={x|x=2k-1，k ∈N}，则A 、B 之间的关系是（）A.A=BB.A ∩B=AC.A ∪B=AD.φ=⋂B A 8．已知集合A {1，2，3，}且A 中至少有一个奇数，则这样的集合共有（）个。

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必修１第一章 §1-1 集合及其运算一、知识点总结：1．元素与集合的关系:用或表示； 2．集合中元素具有、、 3．集合的分类：①按元素个数可分：限集、限集；②按元素特征分：数集，点集等 4．集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N={0，1，2，3，…}； ②描述法③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R;5．集合与集合的关系: 6．熟记：①任何一个集合是它本身的子集；②空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集； ③如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B ；如果A B ⊆，B C ⊆，A C ⊆那么 .④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个.7．集合的运算（用数学符号表示）交集A∩B= ; 并集A ∪B= ；补集C U A= ，集合U 表示全集. 8.集合运算中常用结论:;A B A B A ⊆⇔=A B A B B ⊆⇔=二、基础练习：1．下列关系式中正确的是（）A. 0∈∅B. 0{0}∈C. 0{0}⊆D. {0}⊂∅≠2．方程3231x y x y +=⎧⎨-=⎩解集为______.3．全集{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}I =，{1,2,3}A =,{2,5,6,7}B =，则AB ＝，A B ＝，()I C A B ＝4．设{}220,M x x x x R =++=∈，a =lg(lg10)，则{a }与M 的关系是( )A ．{a }=MB ． M {a }C ．{a }∉MD ．M ⊇{a }三、提高篇：5．集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，求A B ，A B ，()R C A B6．设{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--,已知{}9A B =,求实数a 的值.7．已知集合M=2{|1}y y x =+，N={|x y =x ∈R}，求M∩N8．集A ＝{－1，3，2m －1}，集B ＝{3，2m }．若B A ⊆，则实数m ＝四、知识整理、理解记忆要点1. 2.3. 4.五、自主练习：1．已知全集,U R =且{}|12,A x x =->{}2|680,B x x x =-+<则()U C A B 等于A ．[1,4)-B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(3,4)2．设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,B y y x ==-，则()R C AB 等于（）A ．(,0]-∞B ．{},0x x R x ∈≠ C ．(0,)+∞ D ．∅ 3．已知全集U Z =，{1,0,1,2},A =-，2{|}B x x x ==则U A C B 为4．{}2|60A x x x =+-=，{}|10B x mx =+=，且A B A =，满足条件的m 集合是______5．已知全集U ＝｛2，4，1－a ｝，A ＝｛2，a 2－a ＋2｝，如果{}1UA =-，那么a 的值为____§1-2 函数的概念及定义域一、基础知识： 1．定义：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中的一个数x ，在集合B 中确定的数f(x)和它对应，那么就称:f A B →为集合A到集合的一个，记作： 2．函数的三要素、、3．函数的表示法：解析法（函数的主要表示法），列表法，图象法； 4. 同一函数：相同，值域，对应法则 . 5．定义域：自变量的取值范围求法：（1）给定了函数解析式：使式子中各部分均有意义的x 的集合； (2) 活生实际中，对自变量的特殊规定. 6.常见表达式有意义的规定：① 分式分母有意义，即分母不能为0；② 有意义集合是{|0}x x ≥ ③ 00无意义④ 指数式、对数式的底a 满足：{|0,1}a a a >≠,对数的真数N 满足：{|0}N N >二、基础篇：1．设)(x f 232x x =-+，求(1)f x +2．已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .3．求函数1y x =-的定义域4．函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是（）A.),31(+∞- B. )1,31(- C. )31,31(- D. )31,(--∞ 三、提高篇：5．已知()f x 是一次函数，且满足：3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x6．已知()y f x =的定义域为[-1,1]，试求1(2)()2y f x f x =-+的定义域7．设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为A. ()()4,00,4 -B. ()()4,11,4 --C. ()()2,11,2 --D. ()()4,22,4 --8.设22 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x =9.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x ()F x =⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。

A ．⑴、⑵B ．⑵、⑶C ．⑷D ．⑶、知识整理、理解记忆要点1.2.3.4.四、自主练习：1．函数422--=x x y 的定义域2．函数0y=定义域是__________3．设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（）A ．21x +B ．21x -C ．23x -D ．27x + 4．已知2211()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为( ） A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21x x+- 5．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（）A ．1B ．0C ．0或1D ．1或26. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（）A ．10B ．11C ．12D ．13§1-3 函数的表示与值域一、基础知识：1．函数的表示法：，，2．函数的值域：{f (x )|x ∈A}为值域。

3．求值域的常用的方法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反解法；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法.4. 常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

① 函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R; 二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++= 当0>a 时值域是24[,)4ac b a-+∞,当0<a 时值域是(,-∞ab ac 442-]；② 反比例函数)0,0(≠≠=x k xk y 的值域为}0|{≠y y ；③ 指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为+R ； ④ 对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R ； ⑤ 函数sin ,cos ()y x y x x R ==∈的值域为[-1，1]；⑥ 函数 2k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R ；二、基础篇：1．图中的图象所表示的函数的解析式为(A)|1|23-=x y(0≤x ≤2) (B) |1|2323--=x y (0≤x ≤2)(C) |1|23--=x y (0≤x ≤2)(D) |1|1--=x y(0≤x ≤2)2．求函数的值域：y=-3x 2+2;3．求函数的值域：y=12++x x三、提高篇： 4．求函数y =432+x x的最值5．求函数y=34252+-x x 的值域.6．求函数的值域：y=5+21+x (x ≥-1).7. 求223([2,3])y x x x =-++∈的值域知识整理、理解记忆要点：1.2.3.4.四、自主练习：1．如图示：U 是全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是： A ．()M P S B ．()M P S C ．()UMP S D ．()UM P S2．求223y x x =++的值域3．求2sin 2sin 3y x x =++的值域4．求1xxe y e=+的值域5．求函数22 (01)() 2 (12)5 (5)x x f x x x x ⎧≤≤⎪=+<<⎨⎪≥⎩的值域§1-4 函数的单调性一、知识点：1．设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是，I 称为)(x f y =的如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是，I 称为)(x f y =的 2．对函数单调性的理解（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即12x x <；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；（3）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明)(x f y =在某区间I 上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。